JP2744091B2

JP2744091B2 - 有限体の乗法的逆数元を計算するデータ処理方法及び装置

Info

Publication number: JP2744091B2
Application number: JP1269241A
Authority: JP
Inventors: ディルクローデウィエイクホールマンヘンドリック
Original assignee: フィリップスエレクトロニクスネムローゼフェンノートシャップ
Priority date: 1988-10-18
Filing date: 1989-10-18
Publication date: 1998-04-28
Anticipated expiration: 2013-04-28
Also published as: KR900006851A; EP0364627B1; DE3855497D1; US4989171A; DE3855497T2; JPH02148225A; KR100202206B1; EP0364627A1

Description

【発明の詳細な説明】（産業上の利用分野）本発明はガロア体元GF（q^m）をベクトル表現で供給す
る際このガロア体元の乗法逆数を計算する方法、特にデ
ータ処理方法に関するものである。

（従来の技術）上記ガロア体元GF（q^m）のｑは指数乗された素数であ
り、通常絶対的ではないがＱ＝2¹＝２とする。多くの用
途に対し、ｍは偶数とし、しばしばｍ＝８とする。従っ
て、かかる計算は、リードソロモン符号、高速フーリエ
変換等による如き、暗号、誤り防護の目的バイト状デー
タ処理を表わす。従って、このデータは、“コンパクト
ディスク”又は“ディジタルオーディオテープ”記録サ
ンプルを２バイト又は測定結果により構成するビデオデ
ータ又はオーディオデータに相当する。この種の方法の
文献としては米国特許第4578627号明細書がある。

（発明が解決しようとする課題）以下ガロア体における基本的特性及び計算演算は通常
既知であるものとする。一般に、任意のガロア体元は、
2⁸の種々の可能な入力組合せの各々に対して８ビット出
力が必要であるものとする限りではGF（2⁸）のような相
当な体に対してハードウエアの著しく拡大された量を必
要とする変換テーブル（PROM又はROM）によって反転さ
せることができる。例えばプログラムされたプロセッサ
を用いる他の方法は、大きなパイプライン処理、従って
著しく計算遅延を必要とする。

本発明は部分体の概念を用い、特に主有限体の部分体
の逆数によって有限体、主有限体のベクトル表現された
元の乗法的逆数を計算する。この有限体GF（q^m）には、
ｍ＝rn（本発明では１例としてｒ＝２とする）の場合
に、部分体としてGF（（qⁿ）を含むようにする。しか
し、本発明の原理はｒを他の値に適用し得ることであ
る。部分体上の主有限体の指標をｒとする。主有限体の
部分体の関連する演算よりも少いベクトル係数で部分体
の計算を行う限りにおいては、部分体の計算は容易及び
／又は迅速となる。

本発明は縮小の１部分を成す二次形式を標準形式に有
効に組合せることにより部分体、特に指標２の部分体に
逆数を用いることにより制限されたハードウエアの要求
で迅速に作動する有限体で乗法的逆数元を計算するデー
タ処理方法及び装置を提供することを目的とする。

（課題を解決するための手段）本発明は有限主体が部分体よりも二次的に大きな数の
元を含むように指標２の部分体を含む有限主体の入力元
の乗法的逆数を計算するに当り、ａ）第１集合のベクトル成分（X₀，X₁，…X_2n-1）、
（ｎは有限主体の大きさを示す）で表わされる入力元Ｘ
を受け、ｂ）この第１集合のベクトル成分から第２集合の一次形
式L_ij（Ｘ）（ここにｉ＝0,…,n−1,及びｊ＝1,…,2n）
と、第３集合のマトリックス構成一次形式W_lk（Ｘ）、
（ここにｌ＝0,2_n-1,k＝０…,n−１）とをこれら成分の
選択排他的OR処理によって発生し、ｃ）第３集合の二次形式を発生する体状乗算によって前
記第２集合の元を対状に組合せると共に排他的OR処理に
よりかかる二次形式を組合せて前記部分体の関連する他
のベクトル係数Q₀（Ｘ），…，Q_n-1（Ｘ）を表わすもの
として第４集合の二次形式を発生させ、ｄ）前記部分体において前記他のベクトル係数により表
わされる部分ベクトルを逆数部分ベクトルに変換し、ｅ）前記逆数部分ベクトルの元を前記第３集合の一次形
式の個別の元により乗算してこの乗数により得られた積
の加算と相俟って乗法逆数の成分を発生することを特徴
とする。

又、本発明はベクトル表現で受信された主ガロア体の
入力元の乗法的逆数を計算する装置に関するものであ
る。斯る装置によって“コンパクトディスク”デコーダ
その他データ処理装置のサブシステムを表わすことがで
きる。

本発明装置は、指標２の部分体を含み、前記有限主体
の大きさ2nが前記部分体よりも二次的に大きな数の元を
含み、前記入力元からその乗法逆数元を計算する主有限
体の入力元を受信する装置において、ａ）ベクトル表現（X₀，…，X_2n-1）の入力元を受信す
る入力端子（20）と、ｂ）この入力端子により供給されベクトル表現に基き、
２進一次形式L_ij（Ｘ）（ｉ＝0,…,n−１及びｊ＝1,…,
2n）の第１アレイを第１出力端子（24）に発生すると共
に２進一次形式W_lk（Ｘ）の第２マトリックスアレイを
第２出力端子（26）に発生する一次形式発生器（22）
と、ｃ）前記第１出力端子により供給され、体乗法で前記第
１アレイの元を合成アレイに対状に組合せると共にこの
合成アレイを排他的OR処理して前記部分体において第２
ベクトル表現された二次形式Q₀（Ｘ），…，Q_n-1（Ｘ）
の第３アレイを発生する二次形式発生器（28）と、ｄ）この二次形式発生器により供給され、前記第２ベク
トル表現の二次形式の第３アレイを受けてこれを前記部
分体で逆数部分ベクトルに反転する反転器（30）と、ｅ）この反転器により供給される逆数部分ベクトルを受
けると共に前記一次形式発生器の第２出力端子により供
給される第２マトリックスアレイを受けて前記逆数部分
ベクトルの成分を前記一次形式の第３集合の各元で乗算
し、且つ前記乗算逆数の前記乗算成分により得られた積
と加算して前記乗法逆数の元を発生するマトリックスエ
バリュエータ（32）とを具えることを特徴とする。

（実施例）以下、本発明を先ずはその数学的見地について、つい
で順次の演算課程及びハードウェア回路について、最後
に図面を参照して特定例について詳細に説明する。

本発明の数学的形式化簡単なために、本発明を有限体GF（2^m）（ここにｍ＝
2n）について説明する。この場合にはｑ＝３によってビ
ットの代りに３値元となり、これらの元は原則として従
来の論理回路によって実現することができる。有限主体
GF（2^m）はｍ＝８の場合に例えば生成多項式ｇ（Ｘ）＝
X⁸＋X⁴＋X³＋X²＋１を有する。この多項式の元は標準基
数（1,d,…d⁷）に対して表わされ、ｇ（ｄ）＝０の解に
よって与えられる。本発明の出発点は式、即ちX^-1＝(X
²ⁿ⁺¹)^-1・X²ⁿを用いてＸ・X^-1によりGF（2^m）にて求め
た元Ｘの乗法逆数元X^-1を計算することにある。なお、
上式の（）内は部分体の元であるが、Ｘは有限主体の
元である。

GF（2^m）からGF（２）までのGF（2^m）にわたる一次形
式Ｌ（Ｘ）の関数をＬ（Ｘ）＝L₀・X₀＋L₁・X₁＋…＋L
_m-1・X_m-1と規定する。ここに規定したような一次形式
はＸのベクトル表現の選択係数のモジュロ２加算値であ
る。GF（2^m）〜GF（２）までのGF（2^m）における二次形
式Ｑ（Ｘ）はつぎのような関数として規定される。即
ち、ここにCi,aij E GF（２）である。なお、−Ｅ−は
「或る元」を意味する。従って、上述したように規定さ
れる二次形式はＸのベクトル表現の選択係数と、選択し
たANDED係数対とのモジュロ２加算値である。概略同じ
ような方法で高次形式を規定することができる。

そこで、Ｌ（Ｘ）＝X²ⁿ及びＱ（Ｘ）＝X²ⁿ⁺¹（ここに
X E GF（2^m=2n）である）に対するＬ（Ｘ）は、或る標
準化協定に従って固定化した標準基数を必要としないGF
（2^m）における或る基数に対しＬ（Ｘ）＝（L₀（Ｘ），
…L_m-1（Ｘ））として書き表わすことができる。ここ
に、各係数L_i（Ｘ）は一次形式である。実際上、X,YE G
F（2^m）に対してはXY＋XY＝０であり、又(X+Y)²ⁿ＝X²ⁿ
＋Y²ⁿであるため、(X+Y)²＝X²＋2XY＋Y²＝X²＋Y²であ
る。従って、ＸからＬ（Ｘ）までの遷移部は一次演算と
なり、各L_i（Ｘ）は一次形式である。

そこで、X E GF（2^m）に対して、Ｑ（Ｘ）はGF（2ⁿ）
内にある。実際上、GF（2^m）の成分ＸはX^2m＝Ｘを満足
する。さらに、GF（2ⁿ）＝GF（2^m）の元ＹはY²ⁿ＝Ｙを
満足する元そのものである。ところで、(Q(X))²ⁿ＝X
^{2 2n+2n}＝X^{2 2n}・X²ⁿ＝Ｘ・X²ⁿ＝Ｑ（Ｘ）である。GF
（2ⁿ）における基数b₀，b₁…b_n-1に対するＱ（Ｘ）はＱ
（Ｘ）＝（Q₀（Ｘ），Q₁（Ｘ），…Q_n-1（Ｘ））と書き
表わすことができ、これから係数の値に影響を及ぼす基
数を選定する。

この場合の各係数Q_j（Ｘ）は二次形式のものである。
実際上、Ｂ（X,Y）＝Ｑ（Ｘ＋Ｙ）＋Ｑ（Ｘ）＋Ｑ
（Ｙ）に対する係数はＢ（X,Y）＝（X²ⁿ＋Y²ⁿ）（Ｘ＋
Ｙ）＋X²ⁿ⁺¹＋Y²ⁿ⁺¹＝X²ⁿ・Ｙ＋Ｘ・Y²ⁿ＝Ｌ（Ｘ）・Ｙ
＋Ｘ・Ｌ（Ｙ）となるため、Ｂ（X,Y）は正に双線形演
算を規定する。このことはQ_j（Ｘ）についての先の説明
を立証明することになる。

一次及び二次形式L_j（Ｘ），Q_k（Ｘ）の表現の求め方 GF(2^m）における所定の基数α₀…α_m-1及びGF（2ⁿ）
における基数β₀…β_n-1に対する先に述べた一次形式L_i
（Ｘ）,i＝０…ｍ−１及び二次形式Q_j（Ｘ）,j＝０…ｎ
−１の表現を計算するには簡単な方法がある。従って、
このような計算はコンピュータプログラムによって自動
的に行なうことができる。

全てのi,jに対し、α_i・α_j ²ⁿ＋α_i ²ⁿ・α_j E GF
（2ⁿ）；α_i ²ⁿ⁺¹E GF（2ⁿ）；α_i ²ⁿE GF（2^m）となる。
これに対して、全てのi,jに対する所定数C_ij，b_ij，a_ij
k E GF（２）に対しては、及びとなる。これがためつぎのようになる。

及びこの結果としてつぎのようになる。

（ｋ＝0,…ｎ−１）上式からして、そのように規定される二次形式はより
一層取扱い易い表現で書き表わすことができる。この
際、Ｍ（X,Y）を考察するに、これは（X²ⁿ・Ｙ）として
規定され、ここにX E GF（2^m）及びY E GF（2ⁿ）であ
る。又、である。従って、となり、と表わすことができる。従って、次式が成立する。

とすると、 W_lk（Ｘ）がGF（2^m）全体にて一次形式となることを証
明することができる。従って、Ｍ（X,Y）は成分（０…
ｍ−１）、即ちを有する。この際、GF（2^m）からGF（２）までの関数Ｌ
（Ｘ）は、Ｌ（Ｘ）そのものか、又は１＋Ｌ（Ｘ）が一
次形式のものである場合には本来一次関数であると称す
る。従って、つぎのようなことが成立することがわか
る。GF（2^m）における二次形式とすべきＱ（Ｘ）に対し
ては、このＱ（Ｘ）に必要とされるような一次形式の必
要数2kをGF（2^m）におけるＱ（Ｘ）の０の数だけで決定
する場合のＱ（Ｘ）＝L₁（Ｘ）・L₂（Ｘ）＋L₂（Ｘ）・L₃（Ｘ）＋
…＋ L_2k-1（Ｘ）・L_2k（Ｘ），又はL₁（Ｘ）…L_2k（Ｘ）
＋１のような本来一次形式L_i（Ｘ）を求めることができ
る。二次形式Q_i（Ｘ）の数は１＋（2ⁿ＋１）（2^n-1−
１）に等しくなり、しかもその数は実際に用いるGF（2
²ⁿ）における基数（α_j）及びGF（2²）における基数
（β_j）に無関係であることを確かめた。実際上、この
ような０はx²ⁿ⁺¹＝y²ⁿ⁺¹の場合に生成され、この場合に
はＸ＝Ｙ＝０か、又は(X/Y)²ⁿ⁺¹＝１のいずれかであ
る。GF（2^m）における原始元をαとする場合には、式Z
²ⁿ⁺¹＝１はｊ＝0,…2_nに対して確実に2_n＋１個の解Z_j＝
α^j(2n-1)を有する。従って、Ｑ（Ｘ）＝X²ⁿ⁺¹は０の2
ⁿ⁺¹倍正確に異なる各値をとる。

Ｑ（Ｘ）E GF（2ⁿ）であるため、GF（2²ⁿ）は2²ⁿ個の元
を有し、又GF（2ⁿ）は2ⁿ個の元を有し、Ｑ（Ｘ）は０の
2ⁿ⁺¹倍確実に異なるGF（2ⁿ）における各値をとり、一旦
は正確に値0Jなる。そこで、ＹがGF（2ⁿ）の全ての元に
及ぶ場合には或る固定の基数に対するＹの各係数は対称
性の理由からして、事例の数の半分は確実に０となる。
従って、GF（2ⁿ）における全ての非ゼロ元のいずれの特
定係数も確実に０の2^n-1−１倍となる。

二元形式Q_i（Ｘ）の表現に必要な本質的な一次形式の
数2KはGF（2ⁿ）上の１つの二次形式Ｑ（Ｘ）内の零の
数、即ち１＋（2^k＋１）＋（2^k-1−１）により決まる。
これがため本質的な一次形式は次の如き二次形式を与え
る。Q_i（Ｘ）＝L_i,1（Ｘ）・L_i,2（Ｘ）＋…＋L_i，2n_-1
（Ｘ）・L_i,2n（Ｘ）一連の課程として公式化された結果の要約以上に従って、乗法逆数は次のように計算する。

X^-1＝X²ⁿ⁺¹・X²ⁿ ここに、Ｌ（Ｘ）＝X²ⁿE GF（2^m）Ｑ（Ｘ）＝X²ⁿ⁺¹E GF（2ⁿ）最初に、２つの基数、即ち GF（2^m）：α₀，α₁，…α_2n-1 GF（²ⁿ）：β₀，β₁，…β_n-1 を選択する。特に、第２の基数の選択は任意である。第
１の基数で表わすと、Ｌ（Ｘ）＝（（L₀（Ｘ），…，L
_2n-1（Ｘ））になり、ここで係数は一次形式であるが、
明確に計算されない。更に、Ｑ（Ｘ）＝（Q₀（Ｘ），
…，Q_n-1（Ｘ））になり、ここで係数は二次形式であ
る。基数は第２ガロア体に対し自由に選択することがで
きる点に注意されたい。

今、第１の目的は部分体GF（2ⁿ）内のＱ（Ｘ）の逆数
であるＲ（Ｘ）＝（R₀（Ｘ），…，R_n-1（Ｘ））を計算
することにある。この場合には次の積を計算する。

一次形式を定義する。これらは特に計算する必要のある一次形式
である。

要するに、求めるべき逆数量の第ｋ成分はで与えられる。ここでR_j（Ｘ）（ｊ）からQ_j（Ｘ）
（ｊ）を発生させる必要がある。前述したところから、であること明らかである。ここにおいて、量L_j，…は一
次形式である。次に、次の量を発生させる必要がある。

ｓ＝０…2_n-1,j＝０…ｎ−１に対するL_js（Ｘ）ｋ＝０…2_n-1,j＝０…ｎ−１に対するW_jk（Ｘ）後記の実施例に示すように、これらの計算の所定の部
分を結合することができる。次に、量Q_j（Ｘ）を形成
し、これと一緒に量Ｑ（ｘ）を発生させる。斯る後に、
Ｑ（Ｘ）の逆数（Ｒ（Ｘ）と称す）を部分体内でその係
数R_j（Ｘ）を用いて計算する。この計算は一般に古典的
方法で行なわれる。或は又、逆数の部分体を二次部分体
内の他の逆数に分割することができる。最後に、主体内
の逆数の係数はX ^-1Ｋの表示により与えられる。

ハードウエアの実施例の説明第１図は本発明装置の基本ブロック図である。第１レ
ベルでは種々のサブシステムがブロックとして示されて
いるにすぎない。これらのサブシステムは、HIFIオーデ
ィオコンパクトディスクシステムに対し定義されてい
る、クロスインターリーブリードソロモン符号に基づく
誤り訂正を行なう単一ガロア体を超高速演算するハード
ウエアロジックとしても、或いは他の信号処理用のハー
ドウエアロジックとしても実現することができる。或は
又、種々のブロックを８ビットマイクロプロセッサのよ
うな一般に応用し得るプロセッサブロックのプログラム
制御によって実現することができる。後者の場合には複
数の機能の間で種々のブロックの時分割使用を実行し、
チップ面積を減少させることができると共に、他の利点
も得ることができる。処理能力対演算速度は矛盾すると
考えられること勿論である。後者の実現法は更に主体内
の直接逆数に必要とされる長いパイプライン方式に改善
を示す。更に、単一主ガロア体のみにおける演算に対す
るあらからさまな制限が存在せず、種々の体の交換及び
／又は対応する体に対する種々の基数の交換を完全に実
行することができる。簡単のために、斯る標準構成ブロ
ックのこれ以上の説明は省略する。

さて、第１図の回路において、入力端子20は2nビット
の入力量を並列に搬送する。ブロック22において一次形
式L_ij（Ｘ）及びW_lk（Ｘ）の計算が行なわれ、2n²個の
一次形式を発生する。ワイルドロジックの場合には、装
置のゲート深さを最大で（１＋Ｋ）とする（ここでＫ＝
21ogn又はその次の整数）。従ってコンパクトディスク
に対してはＫ＝３である。以上では量Ｌ及びＷの計算を
結合する効果は考えてない。一次形式L_ij（Ｘ）はブロ
ック24に至る相互接続ライン24に出力され、一次形式W
_lk（Ｘ）はブロック32へと直接至る相互接続ライン26に
出力される。相互接続ライン24,26のビット幅は明示し
てない。

ブロック28において、一次形式がペアに組合わされ、
加算されて量Q_i（Ｘ）を発生し（ここでｉ＝０…ｎ−
１）、すべての加算はモジュロ２加算で実行される。こ
れは１＋Ｋのロジックゲート深さに対し全部でn²のAND
演算とｎ（ｎ−１）のXOR演算を必要とする。その結果
はｎビット幅量としてブロック30に出力される。

ブロック30において逆数量Ｒ（Ｘ）＝Ｑ（Ｘ）^-1が部
分体GF（2ⁿ）内で、例えばプログラムドテーブルメモリ
を用いて計算される。その結果はｎビット幅量としてブ
ロック32に出力される。

ブロック32は部分体内の逆数を受信すると共に一次形
式W_lk（Ｘ）も受信して次式：X ^-1 ｌ＝W_l（Ｘ）・R₀（Ｘ）＝R₀（Ｘ）・W_lo（Ｘ）＋… ＋R_n-1（Ｘ）・W_l，_n-1（Ｘ）を計算する（ここでｌ＝０…2_n-1）。この演算は（Ｋ＋
１）の総合ロジックゲート深さに対して全部で2n²のAND
演算と2n（ｎ−１）のXOR演算を必要とする。従ってXOR
演算の総数は8n³−n²−3nであり、これはｎの合理的な
値（４）に対しては約8n³になる。更に3n²のAND演算
の構造が著しく簡単であるためにかなり無視することが
できる。総合ロジックゲート深さは３＋3Kである。

上述の変換の構造は固定することができるが、精密な
実現に関してはなおかなりの自由度がある。主体内の基
数が既に指定されている場合でも、次のオプションが存
在する。

ａ）GF（2ⁿ）内の基数β₀…β_n-1の選択。この選択は一
次形式W_lk（Ｘ）、二次形式Q_i（Ｘ）及び従って一次形
式L_ij（Ｘ）に影響を与える。

ｂ）GF（2ⁿ）内の基数（β₀…β_n-1）の選択を定めた後
でも、本質的な一次形式の積としてのQ_i（Ｘ）の表現、
即ち一次形式L_ij（Ｘ）の精密な公式化が選択のために
開放されている。

特に、上述した第２の方法を選択するのが有利であ
る。多くの場合、一次形式L_ij（Ｘ）を選択し、各々が
（2n個の代わりに）係数の多くともｎ個のみを含むよう
にすることができる。この場合、論理深度が１だけ減少
され、L_ij（Ｘ）を計算するXOR演算の回数が半分とな
る。更に、種々の中間結果を、量L_ij（Ｘ）およびXOR演
算を更に減少させる量W_lk（Ｘ）の双方の計算に対しそ
れぞれの間で共有することができる。実際にはXOR演算
の回数は１…1^1/2）・n³にする必要がある。双方の基数
α及びβを自由に選択しうる場合には、正規基数を選択
することが提案される。この場合、逆数の係数の各々を
計算するのに同じハードウェアを用いることができる。
またこの場合ハードウェアの構造全体が一層規則的とな
る。或いはまた、逆数の係数を順次に計算しうる場合に
は、これら係数の各々に対し同じハードウェアを順次に
用いうる。

方法の実施例以下に一例としてGF（2⁴）における逆数（ｍ＝２ｎ
＝４）を説明する。有限体GF（2⁴）はGF（２）に亘る既
約多項式ｇ（Ｘ）＝X⁴＋Ｘ＋１によって発生させる。α
をｇ（Ｘ）の形式的な零とすると、α⁴＝α＋１とな
る。GF（2⁴）における基数として（1,α，α²，α³）を
取る。この際、GF（2⁴）はGF（2²）を含む。実際GF
（2²）の元は｛0,1,α⁵，α¹⁰｝として書き表わすこと
ができる。GF（2²）におけるベースとして正規基数（α
⁵，α¹⁰）を選択する。

この際、逆数とすべきベクトルはＸ＝（X₀，X₁，X₂，X₃）＝X₀＋X₁α＋X₂α²＋X₃α³であ
る。またＱ（Ｘ）＝Q₀（Ｘ）α⁵＋Q₁（Ｘ）α¹⁰と書
く。これにより今必要とする２つのみの二次形式に対す
る以下の式が得られる。

Q₀（Ｘ）＝X₀＋X₁＋X₃＋X₀X₁＋X₀X₂＋X₁X₂＋X₁X₃ Q₁（Ｘ）＝X₀＋X₂＋X₃＋X₀X₁＋X₀X₂＋X₀X₃＋X₂X₃ ここで式Ｑ（Ｘ）＝X²⁺¹を用い、次にこの式をその基数
元に対して解く。

この簡単な部分体では元Y₁α⁵＋Y₂α¹⁰の逆数を直接Y
₂α⁵＋Y₁α¹⁰として書き表わすことができる為、R
₁（Ｘ）＝Q₀（Ｘ）及びR₀（Ｘ）＝Q₁（Ｘ）となる。よ
り大きな部分体では逆数自体が表−ROMにより一般的な
ものとなる。ここで形式W_lk（Ｘ）を計算すると、以下
のものが得られる。

X₀ ^-1＝R₀・（X₂）＋R₁・（X₀＋X₁＋X₃） Xn^-1＝R₀・（X₀＋X₁）＋R₁・（X₀＋X₃） X2^-1＝R₀・（X₀＋X₂＋X₃）＋R₁・（X₀） X3^-1＝R₀・（X₁＋X₂）＋R₁・（X₁＋X₂＋X₃） Q₀（Ｘ），Q₁（Ｘ）に対する代りの式は以下の通りであ
る。

Q₀（Ｘ）＝１＋（X₀＋X₁）・（X₂）＋（▲
▼₃）・▲▼ Q₁（Ｘ）＝１＋▲▲）・▲▼＋
（▲▼₃）・（X₁＋X₂）ここに、かっこ内の式は実質的に一次形式を表わし、上
側の横線は反転論理値を表わす。部分項は数回用いら
れ、 a₁＝X₀＋X₁ a₄＝a₁＋X₃＝X₀＋X₁＋X₃ a₂＝X₀＋X₃ a₅＝a₂＋X₂＝X₀＋X₂＋X₃ a₃＝X₁＋X₂ a₆＝a₃＋X₃＝X₁＋X₂＋X₃ によって共有しうる。

必要とするEXOR−加算の回数は前に特定した上界より
も著しく少なくなる（4n²（2n−１）＝48）。

より大きな主体では、従ってより大きな関連の部分体
では、計算により多くの量が含まれ、従って必要とする
ゲートの入力端子が一層多くなり、論理深度も大きくな
る。すべてをひとまとめにして考えると、計算の原理は
同じであり、この計算は前述した一般的な処理を沿って
行なう。

好適実施例の説明明細書末尾に示す表1A〜1Eはコンパクトディスクガロ
ア体GF（2⁸）における逆数に対する好適実施例を表で表
わすものである。ゲートの標準の個数は4n²（2n−１）
＝448個程度である。ゲートは３列で示してある。第１
例はゲートの名前を挙げており、この名前はゲートの出
力信号の名前としても用いられる。第２列はゲートの機
能を挙げている。第３列は関連のゲートの入力信号を挙
げている。表1Aの一番上の２行は入力ベクトルの８つの
成分（I7〜I0）と、入力ベクトルの乗法逆数である出力
ベクトルの８つの成分（J7〜J0）とをそれぞれ規定して
いる。

35個のＤ−ゲートは部分体における反転を行なう。こ
の反転はそれ自体で実際にテーブルルックアップに対応
する。この反転は入力信号として、後に説明する種々の
Ｃ信号を用い且つ反転アレイ自体で生ぜしめられる種々
の中間信号をも用いる。ゲートライブラリは本発明で用
いる以下の素子を有する。

QNOR2:2入力NORゲート QNAND2:2入力NANDゲート QIN1:1入力インバータ QIN2:大きなファンアウトを有する１入力インバータ QAND3:3入力ANDゲート QNOR3:3入力NORゲート QAND4:4入力ANDゲート QNAND3:3入力NANDゲート QXNOR:2入力排他的NORゲート QOR3:3入力ORゲート QIN3:更に大きなファンアウトを有する１入力インバー
タ QF06:4つの入力信号a₁〜a₄の列に対し（a₁＋a₂＋a₃・
a₄）として表現される第１特別関数 QF08:5つの入力信号a₁〜a₅の列に対し（a₁＋a₂・a₃＋a₄
・a₅）として表現される第２特別関数ライブラリの他の素子は簡単には特定できない。

第１図のブロック22では、種々の一次形式が計算され
る。この計算はゲートN47から開始しゲートB256（或い
はゲートN5）までのゲートの組によって行なう。これら
の一次形式は排他的ORゲート、排他的NORゲート及びイ
ンバータのみである。ブロック28では、二次形式が計算
される。この計算はゲートNC01から開始しゲートC3まで
のゲートの組によって行われる。その後、必要とするベ
クトル成分C0〜C3がブロック30において処理準備完了状
態となる。部分体における反転が行なわれてベクトル成
分D0〜D3を生ぜしめた後、ブロック32において乗算が行
なわれる。この乗算はゲートNJ01から開始するゲートに
よって行なわれる。

合計のゲート数は以下の通りである。

ブロック22:76 ブロック28:32 ブロック30:35 ブロック32:64 合計:207 概説前述した方法を以下に概説する。

最終結果はX ^-1ｋとすべきである。すなわち逆ベクト
ルのｋ番目の成分はとなる。R_j（Ｘ）（ｊ＝０〜ｎ−１）を得るためには、
二次形式Q_j（Ｘ）（ｊ＝０〜ｎ−１）を計算する必要が
あった。

この効果のために、を書いた。双方のＬは一次形式である。実際には一次形
式 L_js（Ｘ）ｓ＝０〜2n−1,j＝０〜ｎ−１ W_JK（Ｘ）ｋ＝０〜2n−1,j＝０〜ｎ−１を計算した。

Q_j（Ｘ）は式（Ｂ）から得られ、これによりＱ（Ｘ）
を得る。R_j（Ｘ）（ｊ＝０〜ｎ−１）はＱ（Ｘ）を反転
させることにより得られる。最後にX ^-1ｋを式（Ａ）か
ら得る。

【図面の簡単な説明】

第１図は本発明装置の構成を示すブロック回路図であ
る。 20…入力端子 22…一次形式発生器 24…第１出力端子 26…第２出力端子 28…二次形式発生器 30…反転器 32…マトリックスエバリュエータ

Claims

(57)【特許請求の範囲】

【請求項１】有限主体が部分体よりも二次的に大きな数
の元を含むように指標２の部分体を含む有限主体の入力
元の乗法的逆数を計算するに当り、ａ）第１集合のベクトル成分（X₀，X₁，…X_2n-1）、
（ｎは有限主体の大きさを示す）で表わされる入力元Ｘ
を受け、ｂ）この第１集合のベクトル成分から第２集合の一次形
式L_ij（Ｘ）（ここにｉ＝0,…,n−1,及びｊ＝1,…,2n）
と、第３集合のマトリックス構成一次形式W_lk（Ｘ）、
（ここにｌ＝0,2_n-1,k＝０…,n−１）とをこれら成分の
選択排他的OR処理によって発生し、ｃ）第３集合の二次形式を発生する体状乗算によって前
記第２集合の元を対状に組合せると共に排他的OR処理に
よりかかる二次形式を組合せて前記部分体の関連する他
のベクトル係数Q₀（Ｘ），…，Q_n-1（Ｘ）を表わすもの
として第４集合の二次形式を発生させ、ｄ）前記部分体において前記他のベクトル係数により表
わされる部分ベクトルを逆数部分ベクトルに変換し、ｅ）前記逆数部分ベクトルの元を前記第３集合の一次形
式の個別の元により乗算してこの乗算により得られた積
の加算と相俟って乗法逆数の成分を発生することを特徴
とする有限主体の入力元の乗法的逆数を計算する方法。
【請求項２】指標２の部分体を含み、前記有限主体の大
きさ2nが前記部分体よりも二次的に大きな数の元を含
み、前記入力元からその乗法逆数元を計算する主有限体
の入力元を受信する装置において、ａ）ベクトル表現（X₀，…，X_2n-1）の入力元を受信す
る入力端子（20）と、ｂ）この入力端子により供給されベクトル表現に基き、
２進一次形式L_ij（Ｘ）（ｉ＝0,…,n−１及びｊ＝1,…,
2n）の第１アレイを第１出力端子（24）に発生すると共
に２進一次形式W_lk（Ｘ）の第２マトリックスアレイを
第２出力端子（26）に発生する一次形式発生器（22）
と、ｃ）前記第１出力端子により供給され、体乗法で前記第
１アレイの元を合成アレイに対状に組合せると共にこの
合成アレイを排他的OR処理して前記部分体において第２
ベクトル表現された二次形式Q₀（Ｘ），…，Q_n-1（Ｘ）
の第３アレイを発生する二次形式発生器（28）と、ｄ）この二次形式発生器により供給され、前記第２ベク
トル表現の二次形式の第３アレイを受けてこれを前記部
分体で逆数部分ベクトルに反転する反転器（30）と、ｅ）この反転器により供給される逆数部分ベクトルを受
けると共に前記一次形式発生器の第２出力端子により供
給される第２マトリックスアレイを受けて前記逆数部分
ベクトルの成分を前記一次形式の第３集合の各元で乗算
し、且つ前記乗算逆数の前記乗算成分により得られた積
と加算して前記乗法逆数の元を発生するマトリックスエ
バリュエータ（32）とを具えることを特徴とする主有限
体の入力元を受信する装置。
【請求項３】前記入力端子を2nビットの広さとし、前記
マトリックスエバリュエータの他の出力端子を2nビット
の広さとしたことを特徴とする請求項２に記載の装置。