JP2585371B2 - フーリエ変換装置 - Google Patents

Description

【発明の詳細な説明】 〔産業上の利用分野〕 本発明は振動波形の分析装置として広く使用されてい
る高速フーリエ変換（FFT）において、入力波形を実時
間で各サンプリング時間ごとに処理し、実時間で出力す
ることができる制御器としてのフーリエ変換装置及びフ
ーリエ変換法に関する。

〔従来の技術〕

離散フーリエ変換（以下「DFE」と略す）の原理を用
いた周波数分析器（以下「FFT分析器」と略す）の概要
を第２図により説明する。規定のサンプリング周期でメ
モリ個数分（Ｎ個のサンプリングとして一般的に論じら
れるが、ここでは終始８個の場合について例示する。Ｎ
個への拡張は省略する。）だけ波形値を読み、FFT分析
器内のメモリにしまいこむ。これが第３図のフローチヤ
ートのステツプ１である。格納された値がこの例では、 x₀,x₁,x₂,x₃,x₄,x₅,x₆,x₇ …（１） である。

これらのサンプリング値を用い、ステツプ２でDFT処
理を施す。DFT後の値はここでは A₀,A₁,A₂,A₃,A₄,A₅,A₆,A₇ …（２） と８個求まる。A_kの値は一般には複素数となり、この求
め方は次の公式に従う。

このA_kの値は各周波ω_ｋごとの複素振幅を意味してお
り、A_kの値の大きいもの程その周波数の振動が卓越して
いることを示している。

次に、計算結果A_k（ｋ＝０〜７）の絶対値を棒グラフ
としてデイスプレイ上に表示するのがステツプ３であ
る。

この図３のステツプ１から３に示される、データ取込
み→DFT処理→デイスプレイ表示の一連の操作を高速に
行うものがFFT分析器である。この一連の処理のタイミ
ングは第２図に示すようになる。もともとの振動波形の
うちある区間ごとに集中して取り込んだ波形値について
DFT計算が行なわれる。DFTの計算中およびデイスプレイ
への表示中は、データの取込みは中止される。よつて入
力波形のすべての区間がDFT計算されるわけではなく、
見逃される区間が存在することは避けられない。

DFT計算は取込んだデータx₀〜x₇の値が、その区間外
においても周期的に繰り返される周期関数であることを
前提としている。そのために、入力値x₀〜x₇の実際の値
をDFT計算に用いるのではなく、窓関数をかけた値が用
いられる場合が通常である。又、定義式（３）に示され
る複素振幅A_kを求めるアルゴリズムは、バタフライ演算
と呼ばれる非常に高速なものが採用されている。

このように実際のフーリエ変換装置では種々の工夫が
凝らされている。これらの従来のフーリエ変換装置とし
ては、特開昭61−196370号公報に記載されている装置な
どがある。

先に述べたように、通常のFFT分析器では、１回目の
データ取込みと次の回のデータ取込みの間には、データ
取込みの休止期間があつた。このFFT分析器は振動波形
の周波分析結果を表示モニタするのが主目的であるの
で、このような休止期間があつてもさしつかえない。出
力と表示された各周波数成分の複素振幅値をモニタし
て、異常振動の発生を検知したり、その原因を分析する
上で非常に有用な情報が得られるのでFFT分析器は広く
普及している。

ところで上記の休止期間をなくすために、波形データ
を１個取込むごとに、DFT処理を行い、複素振幅値を求
める計算公式も、文献（安居院猛、中島正之著「FFTの
使い方」電子科学シリーズ91産報出版1982年２月15日pa
ge132〜133）に載つている。

その計算公式をサンプリング値８個の場合について説
明する。

いま、ある時刻ｔにおいて、過去８個分の波形データ
値x_kがメモリの中に x₀,x₁,x₂,x₃,x₄,x₅,x₆,x₇ …（５） と格納されていて、その複素振幅値A_kが A₀,A₁,A₂,A₃,A₄,A₅,A₆,A₇ …（６） と与えられていたとする。この状況で、時刻ｔ＋Δｔ後
に、新たに波形データ値x₈を読み込んだと時波形データ
格納メモリの内容は x₁,x₂,x₃,x₄,x₅,x₆,x₇,x₈ …（７） と更新される。よつてこれに対応する新しい複素振幅値
A_k′を A₀′,A₁′,A₂′,A₃′,A₄′,A₅′,A₆′,A₇′ …（８） の形で求める方法を探すことになる。

第（５）式の波形データ値に対応する複素振幅値A
_kは、第（３）式の定義に従うと となる。同様に第（７）式の波形データ値に対応する新
しい複素振幅値A_k′は次式になる。

両式（９）と（10）を比べると次式を得る。

上式の意味しているところは、第４図に示すようにな
る。時々刻々と各サンプリング時刻ごとに波形値を読
み、その値がメモリに入る。それをx_in（＝x₈）とす
る。そうすると、メモリ内の最も古いデータを捨てなけ
ればならない。それがx_out（ｘ＝x₀）である。

サンプリング波形データの個数がＮとすると複素振幅
値A_kは下記 なる公式で更新すれば良いことになる。このようにし
て、データ取込みの休止区間なく、次々と波形データを
サンプリング入力し、そのつど時々刻刻の複素振幅値が
得られることなる。これが連続形DFTの処理原理であ
る。

〔発明が解決しようとする課題〕

上記従来技術におけるFFT分析器はモニタするのが主
機能であつたため、第２図に示したようにある１回目の
Ｎ個のデータサンプリング取込みと次の回のＮ個のデー
タ取込みの間に、データ取込みの休止期間があつた。Ｎ
個ずつのデータ取込み作業の休止期間は、DFTの計算お
よび計算結果の表示を行うために必要な時間である。

通常のFFT分析器では上記のデータ取込み作業の中断
は避けられないことである。モニタ装置としてはこれで
十分であるが、制御装置として応用するにはデータ取込
みの中断は許されない。時時刻々とデータを取込み、そ
のつどDFT処理を行う連続形のアルゴリズムが制御装置
には要求される。

一方、連続的にDFT処理するアルゴリズムとして、前
述の第12式のものも提案されている。いま、仮に第５図
のように原信号がサンプリングデータ取込み区間に同期
していたとしよう。このとき x_in＝x_out …（13） だから第（12）式は となる。我々がFFT分析器で見る振動スペクトラム、す
なわち複素振幅の絶対値としては一定の|A_k|となるが、
複素振幅としては の回転が各サンプリング時刻ごとにA_kにかかつたものと
なる。これを図式化すると第５図のようにA_kは各サンプ
リングごとに の角度で回転する。このため、複素振幅のA_kの実数部と
虚数部とは一定の値とならない。

データ読込み誤差、計算誤差などのために、一般に複
素振幅A_k自体にも誤差が生まれる。このようなエラーを
緩和するため、一定の値になるべきものについては加算
平均のアルゴリズムが用いられる。しかし、従来の連続
形FFTでは複素振幅A_kはエラーがなくても一定の値とは
ならないので、エラー回避のための加算平均法が利用で
きないのが欠点である。

原信号波形がある一定の周波数でかつ一定の振幅で振
動しているなら、複素振幅値A_kも一定の値となるような
DFTアルゴリズムが望ましい。この意味で、旧い複素振
幅から新しい複素振幅値を推定する際に、第（12）式に
おいてA_kの係数に が掛つていない形のアルゴリズムが求められるわけであ
る。

本発明の目的は波形データの取込みを規定のサンプリ
ング時間ごとに休みなく連続的に行い、同時にDFT処理
も連続的に行うことができる。

また、DFT処理アルゴリズムを提供し、フーリエ逆変
換によつて発生される制御信号も規定のサンプリング時
間ごとに連続的に出力することができるフーリエ変換装
置あるいは制御装置を提供することにある。

〔課題を解決するための手段〕

上記の目的を達成するために、本発明のフーリエ変換
装置は、制御対象の振動波形をサンプリング時間毎に読
み取った複数の振動波形値を格納する第１の記憶部と、
前記振動波形値をフーリエ変換して複素振幅値を求める
演算部と、前記複素振幅値を格納する第２の記憶部と、
前記複素振幅値から制御対象の制御信号を求め出力する
制御部とを備えたフーリエ変換装置において、前記演算
部で、振動波形値をサンプリングする毎に、サンプリン
グした最新の振動波形値x_in、第１の記憶部に記憶され
た最先の振動波形値x_out及び既に求められている最新の
複素振幅値C_kを用いて、ｋ＝０からＮ−１までのＮ個の
複素振幅値C_k′を、 により、βの値にＮ、Ｎ^（1/2）又は１のいずれかを選
択して求め、前記制御部で、複素振幅値C_k′に虚数ｊを
乗じて位相を進めた複素振幅値B_kを求め、この複素振幅
値B_kをフーリエ逆変換して制御信号を求めるようにした
ものである。

〔作用〕

振動波形をサンプリング時間ごとに連続的にデータを
取り込まれるとすると、記憶部に格納されている内容
は、ある振動波形がサンプリングされる前後では、 サンプリング前:x₀,x₁,…x_N-1,x_N サンプリング後:x₁,x₂,…x_N,x_N+1 となる。即ち、振動波形がサンプリングさると振動波形
値が記憶されている内容は、x₀が出ていつて、新たなx
_N+1が入つてきたものとなる。従つて、x₁からx_Nのデー
タは依然としてこの記憶部に残つていることになるた
め、新しく入つてきたx_N+1と出ていつたx₀によりフーリ
エ変換をすれば簡単な変換式によつて演算することがで
きる。この変換式の簡単化は処理の高速性を向上させ、
そのために、次のサンプリングするまでのサンプリング
時間内にフーリエ変換計算処理を終了させることが可能
となる。

しかも の回転のかからない複素振幅値を求めるアルゴリズムと
なるようにするので、複素振幅値の加算平均化処理など
ノイズに対して強くすることができる。

また、複素振幅値C_kに虚数ｊを乗じることにより、複
素振幅値C_kの位相を進めることができ、この位相を進め
た複素振幅値B_kをフーリエ逆変換して制御信号を求めれ
ば、位相進み補償を行うことができる。

〔実施例〕

以下、本発明の一実施例を第１図により説明する。サ
ンプリング数Ｎ＝８の場合について今まで説明したが、
ここでは一般的にＮとする。

準備するメモリーエリアは、波形データを格納するx₀
〜x_N-1の実数エリア及び、フーリエ変換後の複素振幅値
C_k（ｋ＝０〜（Ｎ−１）を格納するエリア並びに、C_kを
もとに周波数領域で制御則に従つて加工された複素振幅
値B_k（ｋ＝０〜（Ｎ−１））のエリアと、B_kをフーリエ
逆変換して求めた制御信号の値ｖである。

初めに波形データエリアx₀〜x_N-1及び複素振幅値エリ
アC_k（ｋ＝０〜（Ｎ−１））ならびにカウンタｌをゼロ
クリアーしておく。

次に波形データエリアのデータを左側へ１コずつシフ
トし、x₀の内容は捨てられるデータであるからx_out＝x₀
としてx_outに納める。そして新たに波形データを読みと
りx_inエリア及びx_N-1エリアにそれを納める。これがス
テツプ＃１である。

次に、ステツプ＃２において、入つてきたデータx_in
と捨てられるべきデータx_outを用い、複素振幅値C_kの内
容を連続形実時間FFTと呼ぶ次式で更新する。

ｌ＝（x_inを取込んだ回数）−１ このようにして、波形データエリアx₀〜x_N-1に格納し
ている波形に対するフーリエ変換値C_kが求まる。

ところでカウンタｌはサンプリング回数から１だけ減
じた値として設定される。

よつてステツプ＃２からステツプ＃４までのループ作
業の最後にカウンタ更新ｌ＝ｌ＋１とすればよい。

このカウンタｌの値は、連続形実時間FFT処理を時々
刻々と続けると最後には天文学的な数字になる。しかし
ｌはＮを越えるごとに ｌ＝ｌ−Ｎ …（17） でリセツトすることができるので、Ｎを越えない値に維
持されるカウンタとして機能する。

また、上述の第（16）式は で代用してもよい。

次にステツプ＃３でC_kをある制御則に加工した複素振
幅値B_kを算出する。例えば、変位信号x₀〜x_N-1に対し
て、速度信号のフーリエ変換値を求める時には B_k＝ｊω_kC_k for k＝０〜Ｎ−１ …（19） となる。その他、あらゆる種類の加工が可能であり、 B_k＝jC_k for k＝０〜Ｎ−１ …（20） とすると、ゲインを変えることなく90゜位相の進んだ複
素振幅値を得ることができる。いずれにしてもある規則
に則つとり制御信号の複素振幅値B_kが定義される。その
規則をα_ｋと一般的に表わすと B_k＝α_kC_k for k＝０〜Ｎ−１ …（21） として、出力信号の周波数領域の表現を得ることにな
る。

次にステツプ＃４で、B_kのフーリエ逆変換を行ない周
波数領域B_kから実時間波形への表現に移す。最新時刻で
の制御信号の値ｖは次式で求められる。

このステツプ＃１〜＃４の処理を、波形読とりのサン
プリング時間ごとに繰返すことよつて、時々刻々のフー
リエ変換値C_k及び制御信号ｖが得られる。結局、x_inを
入力として制御信号ｖを出力とするデイジタルコントロ
ーラとして利用することができる。制御則は複素振幅値
C_kからB_kへの加工をどのように行うかということに反映
される。制御を巧く行うにはα_ｋの決め方が大切である
ということになる。

このように入力の振動波形がフーリエ変換されるの
で、その複素振幅の値を種々に加工することができ、そ
の加工した複素振幅の逆フーリエ変換により最新の値を
出力値として得る。この出力値を制御信号として利用す
ることも可能となる。この場合の周波数領域での複素振
幅の加工は任意の形にできるので、従来の伝達関数で規
定される以上のバラエテイに富んだ入出力関係を作るこ
とができ、そのために制御方式がより高度になる効果が
ある。

ところで、実信号x_in入力に対してフーリエ変換した
複素振幅値C_kについてはある関係がある。

すなわち C₀＝定数 C_k＝C_N−Ｋ＋１｝共役関係 Ｃ_N/2＝実数 これらの内容に注目するとC_kのエリアはｋ＝０〜Ｎ−
１のＮ個ではなく、 までの半分ですませることも可能である。

それに伴い、フーリエ変換の式（16）も簡略化するこ
とができる。

また出力信号ｖのフーリエ変換値である複素振幅B
_k（ｋ＝０〜Ｎ−１）のエリアも半分で十分なことにな
る。それに伴い、式（22）のフーリエ逆変換式も簡易化
できる。

一方、x_inのデータを読みとり格納する過程において
第１図の＃１ブロツクのように左側へシフトする操作を
省略することも可能である。この時はデータ読み込みx₀
〜x_N-1エリアにおいて順次入れていき、どの位置データ
が最新でどの位置のデータが最も古いかを記憶してお
き、その情報により最も新しいx_inと最も古いx_outを使
つて、第１図の＃２ブロツクの計算を実施することも可
能である。データ個数Ｎが大きくなるとこのシフト操作
に要する時間も多大となりシフト機能を省略する方法の
有効性が生じてくる。

ところで、連続形FFTの処理の第16式や出力信号を求
める第22式について証明なしに定義した。第６図を用い
てアルゴリズムの妥当性を説明する。同図で左側は従来
の手法で求めた複素振幅A_k、右側が本発明の計算法によ
る複素振幅値C_kである。入力の複素波形がサンプリング
区間に同期しているなら、A_kは回転するので一定値にな
らないが、C_kは一定値となるか特長である。

波形メモリの内容がx₀〜x₇で、この時の複素振幅値は
それぞれA_k ⁰,C_k ⁰とする。肩の添字はサンプリング回数
を示す。いまA_k ⁰＝C_k ⁰からスタートしたとする。

次のサンプリングから、メモリの内容に対して複素振
幅値A_k ^l,C_k ^lが、 と次々と決まつていく。複素振幅値A_k ^lの回転を止めた
ものがC_k ^lであるから、両者の間には、定義により である。そうすると、従来の連続で回転する形のFFTか
ら本発明の連続で非回転の形のFFTのアルゴリズムは第
６図のようになり、DFTへのアルゴリズムの公式として
は第16式のようになる。

同様に周波数領域α_kA_kから実時間出力信号ｖを得る
従来のアルゴリズムをもとに、本発明の周波数領域α_kC
_kから実時間出力信号ｖを得る計算法は第６図のように
得られ、DFT逆変換のアルゴリズムとしては第22式の公
式になる。

このようにして、第６図の説明のごとく、本発明の回
転しない連続FFT処理のアルゴリズムの正当性がわか
る。

〔発明の効果〕

本発明によれば、複素振幅値C_kについて、加算平均が
可能なので、ノイズや誤差に対して強くなるとともに、
複素振幅値C_kに虚数ｊを乗じて複素振幅値C_kの位相を進
めることにより、位相進み補償を行うことができる。

【図面の簡単な説明】

第１図は本発明の一実施例を示す図、第２図は従来のFF
T分析器の機能と時間タイミング図、第３図は従来のフ
ーリエ変換のフローチヤート、第４図は従来の連続形フ
ーリエ変換のタイミングとアルゴリズム、第５図は入力
がサンプリング区間に同期した信号の時に生じる従来の
複素振幅の回転を表した説明図、第６図は従来のものと
本発明のものとのアルゴリズムの相関性を示す説明図で
ある。

フロントページの続き (72)発明者 井田 道秋 茨城県土浦市神立町502番地 株式会社 日立製作所機械研究所内 (56)参考文献 特開 昭62−73378（ＪＰ，Ａ) 特開 昭54−89452（ＪＰ，Ａ)

Claims (1)

(57)【特許請求の範囲】
1. 【請求項１】制御対象の振動波形をサンプリング時間毎
   に読み取った複数の振動波形値を格納する第１の記憶部
   と、前記振動波形値をフーリエ変換して複素振幅値を求
   める演算部と、前記複素振幅値を格納する第２の記憶部
   と、前記複素振幅値から制御対象の制御信号を求め出力
   する制御部とを備えたフーリエ変換装置において、 前記演算部で、振動波形値をサンプリングする毎に、サ
   ンプリングした最新の振動波形値x_in、第１の記憶部に
   記憶された最先の振動波形値x_out及び既に求められてい
   る最新の複素振幅値C_kを用いて、ｋ＝０からＮ−１まで
   のＮ個の複素振幅値C_k′を、 により、βの値にＮ、Ｎ^（1/2）又は１のいずれかを選
   択して求め、 前記制御部で、複素振幅値C_k′に虚数ｊを乗じて位相を
   進めた複素振幅値B_kを求め、この複素振幅値B_kをフーリ
   エ逆変換して制御信号を求めることを特徴とするフーリ
   エ変換装置。