JP2021068290A - 三角形要素分割方法、モデル化装置、プログラム、及び二次元平面図形を定義するデータ - Google Patents

Abstract

【課題】膨大な計算時間を必要とせず、ロバスト性の高い三角形要素分割方法を提供する。【解決手段】二次元平面図形の縁の上に位置する複数の特徴点の位置情報を取得する。二次元平面図形を包含する仮想平面を四角形の複数のセルに区分する。二次元平面図形の縁の上で隣り合う２つの特徴点を結ぶ線分であるエッジと、複数のセルの縁とが交差する位置、及び複数のセルの頂点に、それぞれ付加点を配置する。セルごとに、セル内の領域が複数の三角形要素で満たされ、かつ三角形要素同士は重ならないという条件を満たすように、セル内に位置する特徴点及び付加点を頂点とする複数の三角形要素を生成する。二次元平面図形の外側に位置する三角形要素を取り除く。【選択図】図２

Description

本発明は、三角形要素分割方法、モデル化装置、プログラム、及び二次元平面図形を定義するデータに関する。

二次元点群データで形状が定義された二次元平面図形を、複数の三角形要素に分割する手法が、多角形を複数の三角形に分割する手法として古くから研究されてきた。また、近年、三次元計測器の発展に伴い、測定によって得られた点群データで定義された計測対象物の形状を三角形分割（ポリゴン化）して、計測対象物の形状をコンピュータに記憶させる需要が高まっている。

二次元平面図形を複数の三角形要素に分割手法が、以下の非特許文献１〜非特許文献４に説明されている。特許文献１に記載された手法では、すべての点間を線分で結び、重なった線分を除去する。非特許文献２に記載された耳刈り取り法では、２つの辺が多角形の辺で、残りの１つの辺が多角形の内部に位置する三角形要素（耳）を刈り取る。非特許文献３に記載された方法は、点群を包括する凸多面体をユニークに決定する方法であり、正三角形に近い要素を積極的に作成する。

Duppe, R. D., Gottschalk, H. J. (1970), "Automatische Interpolation von Isolinien bei willkurlich ver teilten Stutzpunkten", Allgemeine Vermessungs-Nachrichten, 77: 423-426 ElGindy, H. (1993), "Slicing an ear using prune-and-search", Pattern Recognition Letters 14 (9), 719-722, doi:10.1016/0167-8655(93)90141 Delaunay, Boris (1991), "Sur la sphere vide", Otdelenie Matematicheskikh i Estestvennykh Nauk, 7, pp.793-800

非特許文献１に記載された方法は、非常に単純な方法であるが、点群に含まれる点の個数が増えると計算時間が膨大になる。非特許文献２に記載された耳刈り取り法は、多角形内部に穴が存在する場合には使用できない。すなわち、取り扱う対象図形が制限され、ロバスト性が低い。非特許文献３に記載された方法は、多大な計算時間が必要とされる。

本発明の目的は、膨大な計算時間を必要とせず、ロバスト性の高い三角形要素分割方法を提供することである。

本発明の一観点によると、
二次元平面図形の縁の上に位置する複数の特徴点の位置情報を取得する工程と、
前記二次元平面図形を包含する仮想平面を四角形の複数のセルに区分する工程と、
前記二次元平面図形の縁の上で隣り合う２つの特徴点を結ぶ線分であるエッジと、前記複数のセルの縁とが交差する位置、及び前記複数のセルの頂点に、それぞれ付加点を配置する工程と、
前記複数のセルについてセルごとに、セル内の領域が複数の三角形要素で満たされ、かつ三角形要素同士は重ならないという条件を満たすように、セル内に位置する特徴点及び付加点を頂点とする複数の三角形要素を生成する工程と、
前記二次元平面図形の外側に位置する三角形要素を取り除く工程と
を有する三角形要素分割方法が提供される。

本発明の他の観点によると、
二次元平面図形の縁の上に位置する複数の特徴点の位置情報を取得する入力部と、
前記入力部に入力された前記位置情報で定義される前記二次元平面図形を複数の三角形要素に分割する処理部と、
前記処理部の処理結果を出力する出力部と
を有し、
前記処理部は、
前記二次元平面図形を包含する仮想平面を四角形の複数のセルに区分する処理と、
前記二次元平面図形の縁の上で隣り合う２つの特徴点を結ぶ線分であるエッジと、前記複数のセルの縁とが交差する位置、及び前記複数のセルの頂点に、それぞれ付加点を配置する処理と、
前記複数のセルについてセルごとに、セル内の領域が複数の三角形要素で満たされ、かつ三角形要素同士は重ならないという条件を満たすように、セル内に位置する特徴点及び付加点を頂点とする複数の三角形要素を生成する処理と、
前記二次元平面図形の外側に位置する三角形要素を取り除く処理と、
前記二次元平面図形の外側に位置する三角形要素を取り除く処理を行った後に残っている複数の三角形要素を定義する情報を前記出力部に出力する処理と
を実行するモデル化装置が提供される。

本発明のさらに他の観点によると、
複数の三角形要素に分割された二次元平面図形を定義するデータであって、
前記二次元平面図形の内部が、第１方向に平行な複数の直線と、前記第１方向と交差する第２方向に平行な複数の直線とによって複数のセルに区分されており、前記複数のセルのうち前記二次元平面図形に包含されるセルは、１本の対角線によって２つの三角形要素に分割されている前記二次元平面図形を定義するデータが提供される。

本発明のさらに他の観点によると、
二次元平面図形の縁の上に位置する複数の特徴点の位置情報を取得する機能と、
前記二次元平面図形を包含する仮想平面を四角形の複数のセルに区分する機能と、
前記二次元平面図形の縁の上で隣り合う２つの特徴点を結ぶ線分であるエッジと、前記複数のセルの縁とが交差する位置、及び前記複数のセルの頂点に、それぞれ付加点を配置する機能と、
前記複数のセルについてセルごとに、セル内の領域が複数の三角形要素で満たされ、かつ三角形要素同士は重ならないという条件を満たすように、セル内に位置する特徴点及び付加点を頂点とする複数の三角形要素を生成する機能と、
前記二次元平面図形の外側に位置する三角形要素を取り除く機能と
をコンピュータに実行させるプログラムが提供される。

セルごとに三角形要素に分割するため、三角形要素を生成する対象となる点群の個数が少なくなる。その結果、計算時間の長大化を抑制することができる。また、二次元平面図形の外部に生成された三角形要素を除去することにより、内部に穴を持つ二次元平面図形についても三角形要素分割を行うことが可能になり、ロバスト性の高い三角形要素分割方法が提供される。

図１は、実施例によるモデル化装置のブロック図である。 図２は、実施例による三角形要素分割方法のフローチャートである。 図３は、二次元平面図形の一例を示す図である。 図４は、二次元平面図形の外側の縁及び内側の縁の上に配置された特徴点の一部を拡大した図である。 図５は、複数のセルに区分された仮想平面の図である。 図６は、付加点を配置した状態の仮想平面の一部を示す図である。 図７は、三角形要素が生成された仮想平面の図である。 図８は、ステップＳ５（図２）で三角形要素を除去する前の状態の仮想平面を示す図である。 図９は、エッジを含み、二次元平面図形の外部に位置する三角形要素を除去した状態の仮想平面を示す図である。 図１０は、三角形要素を除去した状態の仮想平面を示す図である。 図１１は、複数の三角形要素に分割した状態の二次元平面図形を示す図である。 図１２は、三次元立体形状の一部分の斜視図である。 図１３は、三次元立体形状の上面の外側の縁の一部、及び上面に過不足なく生成された複数の三角形要を示す図である。 図１４Ａは、エッジ上の１つの付加点４２を頂点とする２つの三角形要素と、そのエッジを辺とする１つの三角形要素を示すであり、図１４Ｂは、エッジ上の付加点を、その両側の２つの特徴点のいずれか一方の位置まで移動させた状態の三角形要素を示す図である。 図１５Ａは、エッジ上の付加点Ｐを頂点とする複数の三角形要素を示す図であり、図１５Ｂは、付加点Ｐを特徴点Ａの位置まで移動させた状態の複数の三角形要素を示す図である。 図１６Ａは、エッジ上の付加点Ｐを頂点とする複数の三角形要素を示す図であり、図１６Ｂは、付加点Ｐを特徴点Ｂの位置まで移動させた状態の複数の三角形要素を示す図である。

図１〜図１１を参照して、実施例による三角形要素分割方法及びモデル化装置について説明する。

図１は、実施例によるモデル化装置のブロック図である。実施例によるモデル化装置は、処理部２０、入力部２１、出力部２２、及び記憶部２３を含む。

入力部２１に対して、モデル化装置に対する種々のコマンドの入力、三角形要素分割の対象となる二次元平面図形の形状を定義するデータ等の入力が行われる。入力部２１は、例えば、キーボード、タッチパネル、ポインティングデバイス、リムーバブルメディア読み取り装置、通信装置等を含む。

処理部２０は、入力部２１に入力されたコマンドに応じて種々の処理を実行する。例えば、入力部２１に入力された二次元平面図形の形状を定義するデータに基づいて、二次元平面図形を複数の三角形要素に分割する。さらに、処理結果を出力部２２に出力する。処理部２０は、例えばコンピュータの中央処理ユニット（ＣＰＵ）等で構成される。

記憶部２３は、主記憶装置と補助記憶装置とを含む。補助記憶装置に、処理部２０の動作のためのオペレーティングシステム（ＯＳ）、処理部２０が実行するプログラム等が格納されている。処理部２０は、補助記憶装置に格納されているプログラムを主記憶装置に読み出して、主記憶装置に記憶されているプログラムを実行する。さらに、処理部２０は、主記憶装置に、処理部２０の処理に必要な種々のデータを一時的に記憶させる。補助記憶装置には、例えば、ハードディスクドライブ、フラッシュメモリ等が用いられる。主記憶装置には、例えば、ランダムアクセスメモリ（ＲＡＭ）が用いられる。

出力部２２は、例えばディスプレイ、リムーバブルメディア書き込み装置、通信装置等を含む。ディスプレイは、処理部２０の処理結果を画像として表示する。リムーバブルメディア書き込み装置は、処理部２０の処理結果をリムーバブルメディアに書き込む。通信装置は、処理部２０の処理結果を外部機器に送信する。

図２は、実施例による三角形要素分割方法のフローチャートである。図２に示されたフローチャートの各ステップの機能は、処理部２０（図１）が記憶部２３に記憶されたプログラムを実行することにより実現される。図２のフローチャートの各ステップにおいて、二次元平面図形に対して行われる処理は、二次元平面図形の形状を定義する点群の各点の位置を定義する位置データに対してデータ処理を行うことにより実行される。

まず、ステップＳ１において、処理部２０（図１）が、入力部２１（図１）に入力された二次元平面図形の複数の特徴点の位置情報を取得する。位置情報は、例えばｘｙ座標上のｘ座標及びｙ座標の値を含む。

図３に、二次元平面図形３０の一例を示す。二次元平面図形３０の外形が縁３１によって画定される。縁３１で囲まれた領域の内部に穴３３が設けられている。穴３３の周囲は、縁３２により画定される。外側の縁３１と内側の縁３２との間の領域が、二次元平面図形３０の内部である。外側の縁３１より外側の領域、及び穴３３の内側の領域は、二次元平面図形３０の外部である。外側の縁３１は、外側に向かって凸の部分３５と内側に向かって凸の部分３６とを含んでいる。外側の縁３１及び内側の縁３２の上に、複数の特徴点４０が定義されている。複数の特徴点４０に、配列の順番に通し番号が付されており、通し番号によって１つの特徴点４０が特定される。複数の特徴点４０の位置が、位置情報によって定義されており、複数の特徴点４０の位置によって二次元平面図形の形状が定義される。なお、図３では、一部の特徴点４０のみを示している。

図４は、外側の縁３１及び内側の縁３２の上に配置された特徴点４０の一部を拡大した図である。外側の縁３１の上に配置された３個の特徴点４０に、通し番号ｉ−１、ｉ、ｉ＋１が付されており、内側の縁３２の上に配置された３個の特徴点４０に、通し番号ｊ−１、ｊ、ｊ＋１が付されている。ここで、ｉ、ｊは整数である。若番の特徴点４０から老番の特徴点４０を見たとき、左側及び右側の領域がそれぞれ二次元平面図形３０の内部及び外部と定義する。なお、内部と外部の定義は、逆にしてもよい。その他の方法で内部と外部とを定義してもよい。通し番号が連続する２つの特徴点４０を両端とする線分を、エッジ４１ということとする。

ステップＳ１の後、ステップＳ２（図２）において、二次元平面図形３０を包含する有限な仮想平面を定義し、この仮想平面を複数のセルに区分する。

図５に、複数のセル５１に区分された仮想平面５０の図を示す。仮想平面５０に二次元平面図形３０が包含されている。仮想平面５０が、第１方向Ｄ１（図５において左右方向）に平行な複数の直線、及び第１方向Ｄ１に対して垂直な第２方向Ｄ２（図５において上下方向）に平行な複数の直線で区切られて、複数のセル５１に区分されている。複数のセル５１の各々は、例えば長方形である。

次に、ステップＳ３（図２）において、エッジ４１とセル５１の縁とが交差する位置、及びセル５１の頂点に付加点４２を配置する。

図６に、付加点４２を配置した状態の仮想平面５０の一部を示す。セル５１の縁５２と、エッジ４１とが交差する位置に付加点４２が配置される。さらに、セル５１の頂点にも付加点４２が配置される。なお、セル５１の縁５２が特徴点４０を通過する状態が発生した場合には、仮想平面５０と二次元平面図形３０とを相対的にわずかにずらすことにより、セル５１の縁５２が特徴点４０を通過する状態の発生を回避する。

次に、ステップＳ４（図２）において、セル５１ごとに、特徴点４０及び付加点４２を頂点とする複数の三角形要素を生成する。このとき、セル５１内が複数の三角形要素で完全に埋め尽くされること、三角形要素同士は重ならないことという２つの条件を満たすように、三角形要素を生成する。この２つの条件を満たすように三角形要素を生成することを、三角形要素を過不足なく生成するという。

図７に、三角形要素６０が生成された仮想平面５０の一部を示す。以下、複数の三角形要素６０を生成する手順について説明する。まず、１つのセル５１内のすべての特徴点４０、当該セル５１の縁５２の上に位置するすべての付加点４２を結ぶ線分を生成する。これらの線分のうち相互に交差する２本の線分を検出し、一方を削除する。この手順を、相互に交差する線分がなくなるまで繰り返す。これにより、当該セル５１内に、過不足なく三角形要素６０が生成される。なお、複数の線分を順番に生成するときに、新たに生成する線分が既に生成されている線分と交差する場合には、新たな線分の生成を行わないようにしてもよい。

次に、ステップＳ５（図２）において、二次元平面図形３０の外部の三角形要素６０を除去する。図８〜図１１を参照して、ステップＳ５の具体的な手順について説明する。

図８は、ステップＳ５で三角形要素６０を除去する前の状態の仮想平面５０を示す図である。この段階では、すべてのエッジ４１の各々の両側に三角形要素６０が生成されている。エッジ４１は、二次元平面図形３０の縁に相当するため、エッジ４１の両側の三角形要素６０のうち一方は二次元平面図形３０の内部に位置し、他方は二次元平面図形３０の外部に位置する。まず、すべてのエッジ４１の各々について、そのエッジ４１を含み、二次元平面図形３０の外部に位置する方の三角形要素６０Ａを除去する。図８において、エッジ４１を含み、二次元平面図形３０の外部に位置する三角形要素６０Ａにハッチングを付している。

図９は、エッジ４１を含み、二次元平面図形３０の外部に位置する三角形要素６０Ａ（図８）を除去した状態の仮想平面５０を示す図である。この段階では、二次元平面図形３０の外部に位置し、かつエッジ４１を含まない三角形要素６０Ｂが除去されないで残っている。図９において、三角形要素６０Ｂにハッチングを付している。

二次元平面図形３０の内部に位置する三角形要素６０は、エッジ４１以外の辺を介して隣の三角形要素６０に接している。すなわち、三角形要素６０のエッジ４１以外の辺は、その両側に三角形要素６０が配置されている。従って、二次元平面図形３０の外部に位置する三角形要素６０Ｂを抽出するには、まずエッジ４１以外の辺の中から、片側にしか三角形要素６０が配置されていないものを抽出すればよい。図９において、片側にしか三角形要素６０が配置されていない辺として、辺６１が抽出される。これらの辺６１を含む４つの三角形要素６０Ｂが、二次元平面図形３０の外部に位置すると判定される。

図１０は、三角形要素６０Ｂ（図９）を除去した状態の仮想平面５０を示す図である。二次元平面図形３０の外部に位置する三角形要素６０Ａ（図８）及び三角形要素６０Ｂ（図９）が除去され、二次元平面図形３０の内部にのみ三角形要素６０が残っている。

次に、ステップＳ６（図２）において、処理部２０は、内部が複数の三角形要素６０に分割された二次元平面図形３０を定義するデータを、出力部２２に出力する。

図１１は、複数の三角形要素６０に分割した状態の二次元平面図形３０を示す図である。二次元平面図形３０の内部が、第１方向Ｄ１に平行な複数の直線と、第１方向Ｄ１に直交する第２方向Ｄ２に平行な複数の直線とによって、複数のセル５１に区分されている。セル５１ごとに、複数の三角形要素６０が生成されており、二次元平面図形３０の外部には三角形要素６０が配置されていない。また、二次元平面図形３０の内部には、過不足なく複数の三角形要素６０が生成されている。

二次元平面図形３０の外側の縁３１及び内側の縁３２の少なくとも一方が内部を通過しているセル５１Ａ内には、エッジ４１を少なくとも１つの辺とする複数の三角形要素６０Ｃが生成されている。二次元平面図形３０に全域が包含されているセル５１Ｂは、１本の対角線によって２つの三角形要素６０Ｄに分割されている。なお、二次元平面図形３０の縁３１、３２が内部を通過しているセル５１Ａ内にも、セル５１の対角線で分割された１つの三角形要素６０Ｅが生成される場合がある。

次に、上記実施例の優れた効果について説明する。
上記実施例では、二次元平面図形３０を複数のセル５１に区分し（ステップＳ２）、セル５１ごとに三角形要素６０に分割する（ステップＳ４）ため、三角形要素６０を生成するときに着目する特徴点４０の個数が少なくなる。また、セル５１ごとに並行して三角形要素６０に分割する処理を実行することができる。これにより、計算に必要な時間を短縮することができる。

また、上記実施例では、二次元平面図形３０の外部に生成された三角形要素６０を除去するため（ステップＳ５）、内部に穴３３（図３）を有するような二次元平面図形３０についても、複数の三角形要素６０に分割することができる。このため、上記実施例による三角形要素分割方法は、ロバスト性が高いということができる。

また、上記実施例による三角形要素分割方法のアルゴリズムは単純である。このため、分割結果に不都合が生じた場合に、その原因の探索が容易であるという優れた効果も得られる。

次に、上記実施例の変形例について説明する。上記実施例では、仮想平面５０（図５）を、相互に直交する２組の直線群で区切ることにより、複数のセル５１に区分している。すなわち、第１方向Ｄ１と第２方向Ｄ２とが垂直である。このため、セル５１は、正方形または長方形である。その他の方法として、第１方向Ｄ１と第２方向Ｄ２とが斜めに交わるようにしてもよい。この場合、セル５１は平行四辺形になる。また、セル５１が平行四辺形以外の四角形になるように仮想平面５０を区分してもよい。

次に、図１２〜図１６Ｂを参照して、他の実施例による三角形要素分割法について説明する。図１〜図１１に示した実施例による三角形要素分割方法では、単独の二次元平面図形３０（図３等）を過不足なく三角形要素６０に分割する。以下に説明する実施例では、二次元平面図形３０が三次元立体形状の１つの表面を構成している。

図１２は、三次元立体形状７０の一部分の斜視図である。三次元立体形状７０の表面の一部（以下、上面７１という。）が、二次元平面図形３０（図３）と同一の形状を有する。すなわち、上面７１は、二次元平面図形３０と同様に、外側の縁３１と内側の縁３２とを有する。上面７１の外側の縁３１及び内側の縁３２に、それぞれ三次元立体形状７０の外側の側面７２及び内側の側面７３が連続する。本実施例では、上面７１に生成される複数の三角形要素６０と、外側の側面７２及び内側の側面７２に生成される複数の三角形要素との整合性を図ることができる。ここで、「整合性を図る」とは、縁３１、３２を介して接続されている２つの表面のうち一方の表面の三角形要素と、他方の表面の三角形要素とが、エッジを介して１対１に対応する関係を持たせることを意味する。

まず、図１〜図１１に示した実施例による三角形要素分割方法を適用して、上面７１を過不足なく複数の三角形要素６０に分割する。なお、図１２では一部の三角形要素６０のみを示している。

図１３に、上面７１の外側の縁３１の一部、及び上面７１に過不足なく生成された複数の三角形要素６０を示す。さらに、外側の側面７２に過不足なく生成された三角形要素６５を示す。上面７１を複数の三角形要素６０に分割する際に、図１〜図１１に示した方法を適用すると、外側の縁３１上に、特徴点４０の他に付加点４２が配置される。上面７１内に、この付加点４２を頂点とする２つの三角形要素６０Ｆが生成される。

外側の側面７２を複数の三角形要素６５に分割する処理を、上面７１を複数の三角形要素６０に分割する処理と並行して実行する場合、外側の側面７２を複数の三角形要素６５に分割する際には、外側の縁３１上には付加点４２が配置されていない。この状態で外側の側面７２を複数の三角形要素６５に分割すると、外側の側面７２生成される１つの三角形要素６５Ｆに対して、付加点４２を頂点に持つ２つの三角形要素６０Ｆが上面７１に生成されてしまう。この状態では、整合性が図られているとはいえない。

次に、図１４Ａ及び図１４Ｂを参照して、図１３に示した２つの三角形要素６０Ｆと１つの三角形要素６５Ｆのような整合していない位置関係を持つ三角形要素の発生を回避する方法について説明する。

図１４Ａは、エッジ４１上の１つの付加点４２を頂点とする２つの三角形要素６０Ｆと、そのエッジ４１を辺とする１つの三角形要素６５Ｆを示す図である。エッジ４１上の付加点４２の両側にそれぞれ特徴点４０が配置されている。三角形要素６０Ｆの各々は、エッジ４１上の１つの付加点４２とエッジ４１上の１つの特徴点４０とを２つの頂点とする。エッジ４１上の付加点４２を、その両側の２つの特徴点４０のいずれか一方の位置まで移動させる。

図１４Ｂは、エッジ４１上の付加点４２を、その両側の２つの特徴点４０のいずれか一方の位置まで移動させた状態の三角形要素を示す図である。この移動に伴って、付加点４２は消滅し、付加点４２を頂点とする三角形要素６０Ｆの形状が変化する。具体的には、２つの三角形要素６０Ｆのうち一方は消滅し、他方は大きくなる。このように、エッジ４１上の付加点４２をそのエッジ４１の両端に位置する特徴点４０の一方の位置まで移動させることにより、エッジ４１上の付加点４２を除去することができる。

図１４Ａ及び図１４Ｂに示した例では、付加点４２をその両側のどちらの特徴点４０の位置に移動させても、得られる結果は同一である。ところが、付加点４２を移動させる方向によっては、得られる結果が「過不足なく三角形要素を生成する」という条件を満たさなくなる場合がある。以下、図１５Ａ〜図１６Ｂを参照して、「過不足なく三角形要素を生成する」という条件を満たさなくなる例について説明する。

図１５Ａは、エッジ４１上の付加点４２を頂点とする複数の三角形要素６０を示す図である。付加点４２をＰと表記し、付加点４２の両側の特徴点４０を、それぞれＡ、Ｂと表記し、三角形要素６０の辺で付加点４２に接続される他の５個の特徴点４０を、それぞれＣ、Ｄ、Ｅ、Ｆ、Ｇと表記する。合計６個の三角形要素ＧＡＰ、ＧＰＦ、ＦＰＥ、ＥＰＤ、ＤＰＣ、ＣＰＢが生成されている。

図１５Ｂは、付加点Ｐを特徴点Ａの位置まで移動させた状態の複数の三角形要素６０を示す図である。元の三角形要素ＧＡＰは消滅している。この状態で、三角形要素ＣＰＢが、他の三角形要素ＧＰＦ、ＦＰＥ、ＥＰＤ、ＤＰＣと重なっている。従って、「過不足なく生成」という条件を満たさない。この場合、付加点Ｐを移動した後に残った５個の三角形要素ＧＰＦ、ＦＰＥ、ＥＰＤ、ＤＰＣ、ＣＰＢの面積の合計は、元の６個の三角形要素ＧＡＰ、ＧＰＦ、ＦＰＥ、ＥＰＤ、ＤＰＣ、ＣＰＢの面積の合計より広い。

図１６Ａは、付加点Ｐを移動する前の図１５Ａの状態と同じ複数の三角形要素６０を示す図である。図１６Ｂは、付加点Ｐを特徴点Ｂの位置まで移動させた状態の複数の三角形要素６０を示す図である。この場合には、元の三角形要素ＣＰＢが消滅し、残りの５個の三角形要素ＧＡＰ、ＧＰＦ、ＦＰＥ、ＥＰＤ、ＤＰＣが残る。残された５個の三角形要素ＧＡＰ、ＧＰＦ、ＦＰＥ、ＥＰＤ、ＤＰＣは、「過不足なく生成」という条件を満たしている。この場合、付加点Ｐを移動した後に残った５個の三角形要素ＧＡＰ、ＧＰＦ、ＦＰＥ、ＥＰＤ、ＤＰＣの面積の合計は、元の６個の三角形要素ＧＡＰ、ＧＰＦ、ＦＰＥ、ＥＰＤ、ＤＰＣ、ＣＰＢの面積の合計と等しい。

エッジ４１上の付加点４２をエッジ４１の両端のいずれかの特徴点４０の位置まで移動した後に、付加点４２を頂点とする複数の三角形要素６０の面積の合計が、移動前の三角形要素の面積の合計より広くなる場合（図１５Ｂ）には、その移動は不適切な移動であると判定することができる。この場合には、図１６Ｂに示したように、付加点４２をエッジ４１上の反対側の特徴点４０の位置まで移動させるとよい。

次に、図１２〜図１６Ｂに示した実施例の優れた効果について説明する。
本実施例では、三次元立体形状７０（図１２）の表面うち平面である一部分を複数の三角形要素６０に分割した後、図１４Ｂ、図１６Ｂに示したように複数の三角形要素６０に分割された領域の縁３１、３２に、付加点４２（図１４Ａ）が配置されない。このため、複数の三角形要素６０に分割された表面領域に、縁を介して接続された他の表面領域を複数の三角形要素に分割する場合には、縁を介して接続された２つの表面領域の三角形要素の配置の整合性を図ることができる。

上述の各実施例は例示であり、異なる実施例で示した構成の部分的な置換または組み合わせが可能であることは言うまでもない。複数の実施例の同様の構成による同様の作用効果については実施例ごとには逐次言及しない。さらに、本発明は上述の実施例に制限されるものではない。例えば、種々の変更、改良、組み合わせ等が可能なことは当業者に自明であろう。

２０ 処理部
２１ 入力部
２２ 出力部
２３ 記憶部
３０ 二次元平面図形
３１ 外側の縁
３２ 内側の縁
３３ 穴
３５ 外側に向かって凸の部分
３６ 内側に向かって凸の部分
４０ 特徴点
４１ エッジ
４２ 付加点
５０ 仮想平面
５１、５１Ａ、５１Ｂ セル
５２ セルの縁
６０ 三角形要素
６０Ａ エッジを含み二次元平面図形の外部に位置する三角形要素
６０Ｂ エッジを含まず二次元平面図形の外部に位置する三角形要素
６０Ｃ エッジを少なくとも１つの辺とする三角形要素
６０Ｄ、６０Ｅ セルの１本の対角線によって生成された三角形要素
６０Ｆ 付加点を１つの頂点とする三角形要素
６１ 三角形要素の辺
６５ 三角形要素
６５Ｆ １つの辺の上に付加点を持つ三角形要素
７０ 三次元立体形状
７１ 上面
７２ 外側の側面
７３ 内側の側面

二次元平面図形を複数の三角形要素に分割手法が、以下の非特許文献１〜非特許文献３に説明されている。非特許文献１に記載された手法では、すべての点間を線分で結び、重なった線分を除去する。非特許文献２に記載された耳刈り取り法では、２つの辺が多角形の辺で、残りの１つの辺が多角形の内部に位置する三角形要素（耳）を刈り取る。非特許文献３に記載された方法は、点群を包括する凸多面体をユニークに決定する方法であり、正三角形に近い要素を積極的に作成する。

図１は、実施例によるモデル化装置のブロック図である。 図２は、実施例による三角形要素分割方法のフローチャートである。 図３は、二次元平面図形の一例を示す図である。 図４は、二次元平面図形の外側の縁及び内側の縁の上に配置された特徴点の一部を拡大した図である。 図５は、複数のセルに区分された仮想平面の図である。 図６は、付加点を配置した状態の仮想平面の一部を示す図である。 図７は、三角形要素が生成された仮想平面の図である。 図８は、ステップＳ５（図２）で三角形要素を除去する前の状態の仮想平面を示す図である。 図９は、エッジを含み、二次元平面図形の外部に位置する三角形要素を除去した状態の仮想平面を示す図である。 図１０は、三角形要素を除去した状態の仮想平面を示す図である。 図１１は、複数の三角形要素に分割した状態の二次元平面図形を示す図である。 図１２は、三次元立体形状の一部分の斜視図である。 図１３は、三次元立体形状の上面の外側の縁の一部、及び上面に過不足なく生成された複数の三角形要素を示す図である。 図１４Ａは、エッジ上の１つの付加点４２を頂点とする２つの三角形要素と、そのエッジを辺とする１つの三角形要素を示すであり、図１４Ｂは、エッジ上の付加点を、その両側の２つの特徴点のいずれか一方の位置まで移動させた状態の三角形要素を示す図である。 図１５Ａは、エッジ上の付加点Ｐを頂点とする複数の三角形要素を示す図であり、図１５Ｂは、付加点Ｐを特徴点Ａの位置まで移動させた状態の複数の三角形要素を示す図である。 図１６Ａは、エッジ上の付加点Ｐを頂点とする複数の三角形要素を示す図であり、図１６Ｂは、付加点Ｐを特徴点Ｂの位置まで移動させた状態の複数の三角形要素を示す図である。

外側の側面７２を複数の三角形要素６５に分割する処理を、上面７１を複数の三角形要素６０に分割する処理と並行して実行する場合、外側の側面７２を複数の三角形要素６５に分割する際には、外側の縁３１上には付加点４２が配置されていない。この状態で外側の側面７２を複数の三角形要素６５に分割すると、外側の側面７２に生成される１つの三角形要素６５Ｆに対して、付加点４２を頂点に持つ２つの三角形要素６０Ｆが上面７１に生成されてしまう。この状態では、整合性が図られているとはいえない。

Claims (10)

1. 二次元平面図形の縁の上に位置する複数の特徴点の位置情報を取得する工程と、
   前記二次元平面図形を包含する仮想平面を四角形の複数のセルに区分する工程と、
   前記二次元平面図形の縁の上で隣り合う２つの特徴点を結ぶ線分であるエッジと、前記複数のセルの縁とが交差する位置、及び前記複数のセルの頂点に、それぞれ付加点を配置する工程と、
   前記複数のセルについてセルごとに、セル内の領域が複数の三角形要素で満たされ、かつ三角形要素同士は重ならないという条件を満たすように、セル内に位置する特徴点及び付加点を頂点とする複数の三角形要素を生成する工程と、
   前記二次元平面図形の外側に位置する三角形要素を取り除く工程と
   を有する三角形要素分割方法。
2. 前記二次元平面図形の外側に位置する三角形要素を取り除く工程は、
   前記エッジの両側に位置する三角形要素のうち、前記二次元平面図形の外側の三角形要素を取り除く工程と、
   三角形要素の、前記エッジではない辺のうち、片側にしか三角形要素が配置されていない辺を持つ三角形要素を取り除く手順を、片側にしか三角形要素が配置されていない辺を持つ三角形要素がなくなるまで繰り返す工程と
   を有する請求項１に記載の三角形要素分割方法。
3. 前記二次元平面図形の外側に位置する三角形要素を取り除く工程の後、
   前記エッジ上の付加点を、前記エッジの端部の特徴点の位置まで移動させると共に、移動させた付加点を頂点とする三角形要素を付加点の移動に基づいて変形させる工程を、さらに有する請求項１または２に記載の三角形要素分割方法。
4. 前記エッジ上の付加点を移動させるときに、移動の前後で、移動した付加点を頂点とする複数の三角形要素の面積の合計が増加しない方向に移動させる請求項３に記載の三角形要素分割方法。
5. 二次元平面図形の縁の上に位置する複数の特徴点の位置情報を取得する入力部と、
   前記入力部に入力された前記位置情報で定義される前記二次元平面図形を複数の三角形要素に分割する処理部と、
   前記処理部の処理結果を出力する出力部と
   を有し、
   前記処理部は、
   前記二次元平面図形を包含する仮想平面を四角形の複数のセルに区分する処理と、
   前記二次元平面図形の縁の上で隣り合う２つの特徴点を結ぶ線分であるエッジと、前記複数のセルの縁とが交差する位置、及び前記複数のセルの頂点に、それぞれ付加点を配置する処理と、
   前記複数のセルについてセルごとに、セル内の領域が複数の三角形要素で満たされ、かつ三角形要素同士は重ならないという条件を満たすように、セル内に位置する特徴点及び付加点を頂点とする複数の三角形要素を生成する処理と、
   前記二次元平面図形の外側に位置する三角形要素を取り除く処理と、
   前記二次元平面図形の外側に位置する三角形要素を取り除く処理を行った後に残っている複数の三角形要素を定義する情報を前記出力部に出力する処理と
   を実行するモデル化装置。
6. 前記処理部は、
   前記二次元平面図形の外側に位置する三角形要素を取り除く処理において、
   前記エッジの両側に位置する三角形要素のうち、前記二次元平面図形の外側の三角形要素を取り除く処理と、
   三角形要素の、前記エッジではない辺のうち、片側にしか三角形要素が配置されていない辺を持つ三角形要素を取り除く手順を、片側にしか三角形要素が配置されていない辺を持つ三角形要素がなくなるまで繰り返す処理と
   を実行する請求項５に記載のモデル化装置。
7. 前記処理部は、
   前記二次元平面図形の外側に位置する三角形要素を取り除く処理を実行した後、
   前記エッジ上の付加点を、前記エッジの端部の特徴点の位置まで移動させると共に、移動させた付加点を頂点とする三角形要素を付加点の移動に基づいて変形させる処理を、さらに実行する請求項５または６に記載のモデル化装置。
8. 前記処理部は、前記エッジ上の付加点を移動させる処理において、移動の前後で、移動した付加点を頂点とする複数の三角形要素の面積の合計が増加しない方向に移動させる請求項７に記載のモデル化装置。
9. 複数の三角形要素に分割された二次元平面図形を定義するデータであって、
   前記二次元平面図形の内部が、第１方向に平行な複数の直線と、前記第１方向と交差する第２方向に平行な複数の直線とによって複数のセルに区分されており、前記複数のセルのうち前記二次元平面図形に包含されるセルは、１本の対角線によって２つの三角形要素に分割されている前記二次元平面図形を定義するデータ。
10. 二次元平面図形の縁の上に位置する複数の特徴点の位置情報を取得する機能と、
    前記二次元平面図形を包含する仮想平面を四角形の複数のセルに区分する機能と、
    前記二次元平面図形の縁の上で隣り合う２つの特徴点を結ぶ線分であるエッジと、前記複数のセルの縁とが交差する位置、及び前記複数のセルの頂点に、それぞれ付加点を配置する機能と、
    前記複数のセルについてセルごとに、セル内の領域が複数の三角形要素で満たされ、かつ三角形要素同士は重ならないという条件を満たすように、セル内に位置する特徴点及び付加点を頂点とする複数の三角形要素を生成する機能と、
    前記二次元平面図形の外側に位置する三角形要素を取り除く機能と
    をコンピュータに実行させるプログラム。
    

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