JPH06131471A

JPH06131471A - 凸多角形の三角形ポリゴン分割方法

Info

Publication number: JPH06131471A
Application number: JP27640092A
Authority: JP
Inventors: Toshiki Yamauchi; 俊樹山内
Original assignee: Fujitsu Ltd
Current assignee: Fujitsu Ltd
Priority date: 1992-10-15
Filing date: 1992-10-15
Publication date: 1994-05-13

Abstract

(57)【要約】【目的】凸多角形の三角形ポリゴン分割方法に関し、
三角形生成の高速化を目的とする。【構成】凸多角形（１）を複数の三角形で表現する方
法であって、該凸多角形（１）を格子状（１１，２１，
・・・）に分割し、該凸多角形（１）の辺が通過する各
格子の当該凸多角形の内部に属する四角形以上の多角形
部分を三角形に分割し、三角形はそのままとし、当該凸
多角形の辺が通過しない格子（２２，３２，・・・・）
については、その四角形の対角点を接続することによ
り、二つの三角形に分割するように構成する。

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】

【産業上の利用分野】グラフィックディスプレィ画面上
の２次元座標系で３次元の立体図形を現実感ある図形と
して表現する場合に、光線追跡法（レイトレーシング・
・・・RayTracing)が用いられている。

【０００２】図７は、物体の陰影モデルであり、光源か
ら出た光が物体の表面上の点Ｐの法線に対して角度αで
入射し、角度αで反射する。又、視点は反射光よりさら
に角度βだけ傾いた箇所にあるものとする。

【０００３】このとき、視点での点Ｐの色や明るさＩは
次の式で表される。（フォングモデル・・・Bui ・Tuon
g Phong モデル）Ｉ＝Ｉ_C＋Ｋ₁COS α＋Ｋ₂COS ⁿβ ここで、Ｉ_Cは定数、Ｋ₁とＫ₂は反射係数、COS ⁿの
ｎは視点の遠近を表すパラメータである。反射係数Ｋ₁
・Ｋ₂は物体の材質によって変化することは当然である
が、入射角度αによっても変化する。

【０００４】このようにして物体の或る面の点Ｐの色や
明るさＩを計算するのであるが、点Ｐの求め方が次に問
題となる。点Ｐの求め方は、物体の面（凸多角形）を三
角形に分割し、その三角形の重心を点Ｐとしている。

【０００５】本発明は、この光線追跡法で用いられる凸
多角形の三角形ポリゴン分割方法に関するものである。

【０００６】

【従来の技術】以下、グラフィックディスプレィ画面上
の２次元座標系で３次元の立体図形を現実感ある図形と
して表現する従来技術を図８〜図１１を用いて説明す
る。

【０００７】先にも述べたように、点Ｐを求めるさい
に、物体の面（凸多角形）を三角形に分割する方法が採
られているが、この三角形分割以外に矩形（長方形）に
分割する方法が考えられる。

【０００８】然し、一般的にメモリ容量と処理の高速化
の観点から以下に述べるように三角形に分割する方法が
採用されている。その三角形の重心を点Ｐとしている。
この状況を示しているのが図８と図９である。

【０００９】図８は、凸多角形の矩形分割の場合のメモ
リ上の表現であり、物体の表面である凸多角形１ａを矩
形に分割し、生成された矩形の頂点を「１，２，３，
４，５，６，・・・・・・」とする。生成された矩形は
「１−２−３−４」，「４−３−５−６」，・・・・と
なる。この各矩形の頂点の座標をメモリ上に表現したも
のが座標データテーブル１０である。

【００１０】この座標データテーブル１０では、点の座
標データが二重に記憶されており、無駄な表現となる。
図９は、凸多角形の三角形分割の場合のメモリ上の表現
であり、物体の表面である凸多角形１ｂを三角形に分割
し、生成された三角形の頂点を「１，２，４，３，６，
５，・・・・・・」とする。生成された三角形は「１−
２−４」，「２−４−３」，「４−３−６」，「３−６
−５」，・・・・となる。この三角形の頂点の座標をメ
モリ上に無駄なく表現したものが座標データテーブル１
０ａである。

【００１１】この三角形の大きさが小さければ小さいほ
ど、即ち点Ｐを密に採れば採るほど、グラフィックディ
スプレィ画面上に表現される図形は現実感が増大する。
点Ｐの採り方の最大密度は、点Ｐをグラフィックディス
プレィ画面上の１ドットに対応させることである。縦10
24×横1024ドットのグラフィックディスプレィであれ
ば、点Ｐの個数は最大１Ｍ（メガ）となる。

【００１２】以上のような、物体の面（凸多角形）を三
角形に分割する分割の方法には、次の二つの方法があ
る。１．図１０は、従来の凸多角形の三角形ポリゴン分割方
法（１）である。

【００１３】この図１０において、凸多角形１ｃの頂点
を「ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ，・・・」とすると、或る頂点
「ａ」に着目し、その頂点「ａ」と他の各頂点「ｂ，
ｃ，ｄ，ｅ，・・・」とを接続すると、三角形(イ),(ロ),
(ハ) ・・・が生成される（（Ａ）一次レベル凸多角形参
照）。その後、この三角形(イ),(ロ),(ハ) ・・・の各々に
ついて、各三角形の各辺の中点を接続することにより、
面積が1/4 の小三角形が生成される（（Ｂ）二次レベル
凸多角形参照）。

【００１４】この小三角形の各辺の中点を再度接続する
ことにより、面積が(1/4)²であるさらに小さな三角形が
生成される（ｎ次レベル）。これを繰り返すことによ
り、１ドット或いは数ドットのサイズの三角形が生成さ
れる。

【００１５】２．図１１は、従来の凸多角形の三角形ポ
リゴン分割方法（２）である。この図１１において、凸
多角形１ｅの頂点を「ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ，・・・」と
すると、或る頂点「ａ」に着目し、その頂点「ａ」と
「ａ」の近接頂点「ｃ」（一つ飛んだ頂点「ｃ」）とを
接続し、次にその頂点「ｃ」と「ｃ」の近接頂点「ｅ」
とを接続し、これにより三角形(ア),(イ),・・・・が生成され
る（（Ａ）一次レベル凸多角形参照）。また、当該凸多
角形の内側に再びより小さな凸多角形（頂点は「ａ，
ｃ，ｅ，・・・・」となる。）が生成されるが、この小
さな凸多角形も上記と同様にして、一つおきに頂点を接
続することにより、三角形が生成される（（Ｂ）二次レ
ベル凸多角形参照）。

【００１６】これを凸多角形が無くなるまで繰り返す
（ｍ次レベル）。凸多角形が無くなったならば、上記
１．の方法と同一の方法で各三角形の各辺の中点を接続
し、面積が1/4 の小三角形を生成し、これを繰り返す。
最終的に１ドット或いは数ドットのサイズの三角形が生
成される。

【００１７】このようにして物体の或る面（凸多角形）
が三角形で覆われたならば、その三角形の重心を点Ｐと
して、前述したように点Ｐの明るさと色をもとめる。

【００１８】

【発明が解決しようとする課題】上記従来の凸多角形の
三角形ポリゴン分割方法（１），（２）では、何れも非
常に多くの三角形について、（１）．初期三角形の生成。

【００１９】（２）．三角形の辺の中点の計算。（３）．三角形の重心の計算。を実行しなければならず、計算機の処理時間が長いとい
う問題があった。

【００２０】本発明はこのような点にかんがみて、凸多
角形を複数の三角形で表現する場合の三角形生成処理時
間を短縮する方法を提供することを目的とする。

【００２１】

【課題を解決するための手段】上記の課題は下記の如く
に構成された凸多角形の三角形ポリゴン分割方法によっ
て解決される。

【００２２】凸多角形１を複数の三角形で表現する方法
であって、該凸多角形１を格子状１１，２１，・・・に
分割し、該凸多角形１の辺が通過する各格子の当該凸多
角形の内部に属する四角形以上の多角形部分を三角形に
分割し、三角形はそのままとし、当該凸多角形の辺が通
過しない格子２２，３２，・・・・については、その四
角形の対角点を接続することにより、二つの三角形に分
割するように構成する。

【００２３】

【作用】即ち、本発明は凸多角形をまずグラフィックデ
ィスプレィの分解能である１ドット或いは数ドットのサ
イズの格子状に分割し、該凸多角形１の辺が通過するこ
とによって、その格子が三角形、或いは四角形、或いは
五角形に分割されるが、この時の各格子の当該凸多角形
の内部に属する四角形以上の多角形部分を三角形に分割
し、三角形の場合はそのままとし、当該凸多角形の辺が
通過しない格子２２，３２，・・・・については、その
四角形の対角点を接続することにより、二つの三角形に
分割する方法である。

【００２４】三角形の分割方法は、従来技術のいわば一
次レベルの分割だけで良く、高速に三角形分割が可能と
なる。本発明の方法では、三角形の大きさにばらつきが
でるが、面積にして数グリッドの範囲であるから、前述
の視点に於ける反射光の明るさや色を計算するさいには
誤差の範囲内となり、三角形の大きさのばらつきは無視
できる。

【００２５】このようにして求めた三角形に対して重心
を求め、視点に於ける反射光の明るさや色を計算するこ
とになる。

【００２６】

【実施例】図１は、本発明の一実施例である。本実施例
では、物体の或る面が矩形であったとして、その頂点を
「ａ，ｂ，ｃ，ｄ」とし、この矩形を１ドット或いは数
ドットのサイズの格子状（正方形或いは長方形）に分割
する。即ち、同一点を表現するのに、各点の座標はグラ
フィックディスプレィ画面上のドット座標と、ドットの
整数倍の図１のような配列座標とがある。

【００２７】これを纏めたものが図２である。このケー
スでは、格子の区切り方をＸＹ座標で「２」おきにして
ある。例えば、点ａのＸＹ座標（ドット座標）は（Ｘ，
Ｙ）＝（４，０）であり、格子座標は（列，行）＝
（２，１）或いは（３，１）である。点ａの場合には、
Ｘ＝４であり、丁度格子２１と格子３１の境界に存在す
るため、格子座標で考えた時には、（２，１）或いは
（３，１）となる。このため、列座標が「３」である方
を（）内に表示した。

【００２８】次に図２をもとにして、ＸＹ座標上の各辺
の直線の方程式をもとめる。任意の二点Ａ（Ｘ１，Ｙ
１），Ｂ（Ｘ２，Ｙ２）を結ぶ直線の方程式は周知の通
り下記のような簡単な計算で求めることができる。

【００２９】Ｙ＝Ｆ×Ｘ＋Ｇ但し、Ｆ＝（Ｙ２ーＹ１）／（Ｘ２ーＸ１）、Ｇ＝Ｙ１
ーＦ×Ｘ１である。これを纏めたものが図３である。

【００３０】この図３に示すように、一般に凸多角形に
於いて、凸多角形の最上頂点より最左頂点に向かって反
時計回りに回った時に、直線（辺）の方程式の傾きは
「ー」であり、その直線（辺）の傾きの絶対値は段々に
大きくなる。最左頂点より最下頂点に向かって反時計回
りに回った時に、直線（辺）の方程式の傾きは「＋」で
あり、その直線（辺）の傾きの絶対値は段々に小さくな
る。

【００３１】また、凸多角形の最上頂点より最右頂点に
向かって時計回りに回った時に、直線（辺）の方程式の
傾きは「＋」であり、その直線（辺）の傾きの絶対値は
段々に大きくなる。最右頂点より最下頂点に向かって時
計回りに回った時に、直線（辺）の方程式の傾きは
「ー」であり、その直線（辺）の傾きの絶対値は段々に
小さくなる。

【００３２】この図３を基にして、各辺が通過する格子
座標をもとめる。これを纏めたものが図４である。例え
ば、辺ａｂは格子「２１」，「１１」を通過する。

【００３３】各辺が格子を通過する時、前述の直線の方
程式より格子を形成する上下左右の直線との交点をもと
める。辺ａｂがＹ軸と平行な直線と交わる交点をｐと
し、辺ｂｃがＸ軸と平行な直線と交わる交点をｑとし、
辺ｂｃがＹ軸と平行な直線と交わる交点をｒとし、辺ｃ
ｄがＹ軸と平行な直線と交わる交点をｓとし、辺ｃｄが
Ｙ軸と平行な直線と交わる交点をｔとし、辺ｃｄがＸ軸
と平行な直線と交わる交点をｕとし、辺ｄａがＸ軸と平
行な直線と交わる交点をｖとし、辺ｄａがＹ軸と平行な
直線と交わる交点をｗとする。

【００３４】この場合、凸多角形の辺が格子と交差する
交差パターンは八通りしかなく、この内右肩上がりの直
線（凸多角形の辺）、即ち凸多角形の最上頂点より最左
頂点に向かって反時計回りに回った時の直線及び最右頂
点より最下頂点に向かって時計回りに回った時の、直線
が格子を通過する四通りのパターンを図５に示した。
（頂点を含む場合と含まない場合がある。）図５は、最
上頂点から最左頂点までに現れる格子と辺の交差パター
ンであり、（ａ）の，（ｂ）の，（ｃ）の，
（ｄ）のの各部分は凸多角形の外部であり、（ａ）の
，（ｂ）の，（ｃ）の，（ｄ）のの各部分は凸
多角形の内部である。（ａ）のは四角形、（ｂ）の
は四角形、（ｃ）のは五角形、（ｄ）のは三角形で
ある。

【００３５】図１に於いて、辺ａｂが格子２１を通過す
る時には、格子２１の左（点ｐ）及び右（点ａ）の直線
を横切ることから、図５の（ａ）のケースとなる。格子
１１を通過する時には、格子１１の右直線（点ｐ）及び
下直線（点ｂ）を横切ることから、図５の（ｄ）のケー
スの三角形となる。

【００３６】各辺が格子を通過する時に形成される四角
形及び五角形を三角形に分割することになる。図５の
（ｄ）のケースの三角形はそのままとする。例えば、上
述したように辺ａｂが格子２１を横切った時には、図５
の（ａ）のような四角形が形成されるが、先に求めた点
ｐと格子２１の右下の点、ＸＹ座標で点（４，２）とを
接続することにより二つの三角形に分割することができ
る。

【００３７】このようにして、点ｐ，ｑ，ｒ，ｓ，ｔ，
ｕ，ｖ，ｗと各格子の四隅の点の内の或る一点とを接続
した状況を図１の点線で示してある。尚、図５の（ｄ）
のような三角形が形成される場合は、以下の場合であ
る。

【００３８】・辺ａｂが格子１１を通過する時。・辺ｂｃが格子１３を通過する時。・辺ｃｄが格子４３を通過する時。

【００３９】・辺ｄａが格子４１を通過する時。次に凸多角形の辺が通過しない凸多角形の内部格子、例
えば図１の格子２２，３２の存在場所の求め、その格子
を三角形に分割する必要がある。

【００４０】凸多角形の辺が通過しない内部格子の存在
箇所が求まれば、その格子の対角点を接続することによ
り容易に三角形に分割出来る。凸多角形の辺が通過しな
い格子の求め方を以下に説明する。

【００４１】この凸多角形の辺が通過しない格子の求め
方は、同一行の複数個の格子の内、反時計回り（左）の
辺と時計回り（右）の辺とが通過する格子に挟まれた凸
多角形の内部の格子を求めるものである。

【００４２】即ち、反時計回りに回った時の各辺が通過
する格子について、各行に関し列の値が最も大きい格子
を求め、時計回りに回った時の各辺が通過する格子につ
いて、各行に関し列の値が最も小さい格子を求めれば、
辺が通過する格子に挟まれた凸多角形の内部の格子を求
めることができる。

【００４３】具体的には、該辺が通過する格子の最も内
側の格子を求め、同一の行の値に対して左辺が通過する
格子の列の値の最大値と右辺が通過する格子の列の値の
最小値との差が「２」以上であると、その行の格子群の
中に凸多角形の辺が通過しない格子が存在することにな
る。

【００４４】以下具体的な例を挙げて説明する。先に求
めた図４を基にして、以下の操作を行う。（１）．凸多角形の最上頂点より最下頂点に向かって反
時計回りに回って、辺か通過する格子を求める。

【００４５】例えば、図１に於いて、最上頂点より最下
頂点に向かって反時計回りに回った時の辺は、辺ａｂ、
辺ｂｃの二辺であり、この二辺が通過する格子は、「２
１，１１，１２，１３，２３」の四つである。

【００４６】（２）．上記求めた格子を行の小さい順に
ならべる。例えば、上記の例で、格子「２１，１１」は
行の値が共に「１」である。格子「１２」は行の値が
「２」であり、格子「１３，２３」は行の値が共に
「３」である。

【００４７】従って、行の値＝「１」の格子では・・・・「２１，１１」行の値＝「２」の格子では・・・・「１２」行の値＝「３」の格子では・・・・「１３，２３」となる。

【００４８】（３）．同一行の中で、列の最も大きい格
子を求める。例えば、上記（２）の例で、行の値＝
「１」の格子は「２１，１１」てあるが、格子「２１」
の列の値は「２」であり、格子「１１」の列の値は
「１」であるから、格子「２１」を採用する。同様に、
行の値＝「２」、行の値＝「３」についても列の最も大
きい格子をもとめる。

【００４９】これを纏めると、行の値＝「１」の格子では・・・・「２１」（列の値は
「２」）行の値＝「２」の格子では・・・・「１２」（列の値は
「１」）行の値＝「３」の格子では・・・・「２３」（列の値は
「２」）となる。

【００５０】（４）．凸多角形の最上頂点より最下頂点
に向かって時計回りに回って、辺が通過する格子を求め
る。例えば、前記（１）と同様に、図１に於いて、最上
頂点より最下頂点に向かって時計回りに回った時の辺
は、辺ａｄ、辺ｄｃの二辺であり、この二辺が通過する
格子は、「３１，４１，４２，４２，４３，３３，２
３」の七つである。

【００５１】（５）．上記求めた格子を行の小さい順に
ならべる。上記（４）の例では、行の値＝「１」の格子では・・・・「３１，４１」行の値＝「２」の格子では・・・・「４２」行の値＝「３」の格子では・・・・「４３，３３，２
３」となる。

【００５２】（６）．同一行の中で、列の最も小さい格
子を採用する。上記（５）の例では、行の値＝「１」の格子では・・・・「３１」（列の値は
「３」）行の値＝「２」の格子では・・・・「４２」（列の値は
「４」）行の値＝「３」の格子では・・・・「２３」（列の値は
「２」）となる。

【００５３】（７）．この時、行のある値に対して、反
時計回りの列の値と時計回りの列の値との差が２以上の
時に、その行の値の箇所に図１の格子「２２」，「３
２」のような凸多角形の辺が通過しない四角形が存在す
る。その差が「０」の時には、元の凸多角形の頂点が格
子内に存在し、その差が「１」の時には、元の凸多角形
の辺が格子の辺上に存在することを表す。

【００５４】例えば、（３）と（６）より、・行の値＝「１」の反時計回りの通過格子は「２１」
（列の値は「２」）であり、時計回りの通過格子は「３
１」（列の値は「３」）である。列の値の差は「１」で
ある。

【００５５】・行の値＝「２」の反時計回りの通過格子
は「１２」（列の値は「１」）であり、時計回りの通過
格子は「４２」（列の値は「４」）である。列の値の差
は「３」である。

【００５６】・行の値＝「３」の反時計回りの通過格子
は「２３」（列の値は「２」）であり、時計回りの通過
格子は「２３」（列の値は「２」）である。列の値の差
は「０」である。

【００５７】となる。この操作は、同一行において通過
格子で挟まれた内側の格子を求める操作である。これを
纏めたものが図６であって、凸多角形の各辺が通過する
格子（列，行で示す。）を各行の値毎に分類して纏めた
ものである。

【００５８】例えば、行の値が「１」に着目すると、反
時計回りでは列の値が「２」である格子２１、時計回り
では列の値が「３」である格子３１が最も内側の格子と
して存在し、格子１１，４１では各々通過する辺ａｂ，
ａｄによって単純三角形が得られる格子が存在すること
を示している。（以下省略）前述の辺が格子を通過する時に形成される三角形と、上
記の辺が通過しない格子を分割して出来る三角形一個を
単純三角形の列の値の欄に纏めてある。

【００５９】以上を纏めると、本発明における凸多角形
の三角形への分割の方法は、大別すると次の二つのステ
ップで行われる。Ａ．凸多角形の縁（辺）が通過する格子の部分を三角形
に分割する。

【００６０】図形の最上頂点、最下頂点、最左頂点、最
右頂点を求め、図形の最上頂点から最左頂点を経由して
最下頂点（反時計回り）に到る経路と、最上頂点から最
右頂点を経由して最下頂点（時計回り）に到る２つの経
路で縁を探索し（図４参照）、縁が通過する格子だけを
まず三角形に分割する。

【００６１】即ち、反時計回り及び時計回りに各々凸多
角形の各辺の直線方程式を求め、その直線が通過する格
子の位置を拾い出してゆく。この通過格子を図５のよう
なパターンに従って分類し、三角形はそのままとし、四
角形と五角形を三角形に分割する。

【００６２】Ｂ．凸多角形の辺が交差しない格子を求
め、例えば図１においては格子座標値（列，行）＝
（２，２），（３，２）の二個の格子については、その
格子の対角点を接続することにより簡単に各々二つの三
角形に分割出来る。

【００６３】以上のようにして、単純に且つ高速に凸多
角形を三角形に分割できる。本発明による凸多角形の三
角形ポリゴン分割方法に於ける処理時間と、従来技術に
よる凸多角形の三角形ポリゴン分割方法の処理時間とを
比較すると、一般に図１に於ける凸多角形の辺が通過し
ない格子が多く、このような格子はその対角点を接続す
ることにより簡単に三角形に分割出来るから、辺の中点
をもとめるというような計算はしなくとも良い。

【００６４】従って、従来技術よりも高速化が期待でき
る。

【００６５】

【発明の効果】以上の説明から明らかなように本発明に
よれば凸多角形を単純に且つ高速に三角形に分割できる
という工業的効果がある。

【図面の簡単な説明】

【図１】本発明の一実施例

【図２】ＸＹ座標と格子座標

【図３】各辺の直線の方程式

【図４】各辺が通過する格子座標

【図５】最上頂点から最左頂点までに現れる格子と辺
の交差パターン

【図６】図１の四角形の各辺が通過する格子の行の値
と列の値

【図７】物体の陰影モデル

【図８】凸多角形の矩形分割の場合のメモリ上の表現

【図９】凸多角形の三角形分割の場合のメモリ上の表
現

【図１０】従来の凸多角形の三角形ポリゴン分割方法
（１）

【図１１】従来の凸多角形の三角形ポリゴン分割方法
（２）

【符号の説明】

１，１ａ〜１ｆ凸多角形１１，２１，３１，・・・・格子１０，１０ａ座標データテーブル２０単純三角形、四角形、五角形の
位置データテーブル

Claims

【特許請求の範囲】

【請求項１】凸多角形（１）を複数の三角形で表現す
る方法であって、該凸多角形（１）を格子状（１１，２
１，・・・）に分割し、該凸多角形（１）の辺が通過する各格子の当該凸多角形
の内部に属する四角形以上の多角形部分を三角形に分割
し、三角形はそのままとし、当該凸多角形の辺が通過しない格子（２２，３２，・・
・・）については、その四角形の対角点を接続すること
により、二つの三角形に分割するようにしたことを特徴
とする凸多角形の三角形ポリゴン分割方法。