JP2017525185A - ウェーブレット変換行列に適応可能な高精度化及び量子化方法 - Google Patents

Abstract

原行列のエントロピーを減少する方法であって，原行列から変換行列へのウェーブレット変換を使用するステップを含み，量子化係数は各詳細行列に対応し，前記ウェーブレット変換は，１以上である小数点以下の第１の桁数，例えば小数点以下３桁を使用して，固定小数点で計算される。このような方法は，特に，画像圧縮に好適である。【選択図】なし

Description

発明の詳細な説明

本発明は，行列の符号化の分野に関するもので，特に，ディジタルファイル形式の画像又はビデオ媒体の符号化に適用可能である。更に，詳細には，以下に定義するようなシャノンの数式により定義されたこれらのファイルのエントロピーの減少方法に関する。

シャノンエントロピーは信号中に存在する情報の「量」を定義しており，それ故，算術符号化又はハフマン符号化のような二値符号化技術により，この信号を符号化するのに必要とされるビットの量の正確な情報を与える。より反復的及び定期的に信号中の値が分布する程，この信号のエントロピーは減少する。エントロピーを計算するための一般的な数式は，以下の通りである。

ここで，Ｐ_iは各符号の出現確率を示している。

この結果から導かれるディジタルファイルの重さ（ビット数）の減少方法は，そのエントロピーを減少させることである。

ウェーブレット変換はディジタルファイルの重さを減少させるために使用される。これは，特に，ＪＰＥＧ２０００のように，或るディジタル画像の圧縮フォーマットの形に組み入れられる。

行列のウェーブレット変換は，この行列を近似行列又はＬ行列と呼ばれる行列と詳細行列又はＨ行列と呼ばれる行列とに分割することを含む。これらの行列の各々は，原行列の略半分の値を含む。近似Ｌ行列は原行列の「縮小イメージ」に対応し，詳細Ｈ行列は行列のサイズを減少させるために除去された詳細部分に対応する。

二次元ウェーブレット変換のコンテキストでは，ウェーブレット変換を水平方向又は垂直方向に用いることが可能である。通常，変換は，Ｌ型の近似行列及びＨ型の詳細行列を取得するために一方向（例えば垂直）に実行され，次いで，各Ｌ及びＨ行列で異なる方向（例えば水平方向）に実行される。近似Ｌ行列に第２の変換を適用することにより，近似ＬＬ行列及び詳細ＬＨ行列が生成される。詳細Ｈ行列に第２の変換を適用することにより，２つの詳細ＨＬ及びＨＨ行列が生成される。以下では，ウェーブレットレベルは，上述の説明のように，１つの近似行列ＬＬと３つの詳細行列ＨＬ，ＬＨ，及びＨＨを取得するための両方向での連続的な変換の適用を意味する。

画像を二次元で圧縮するためにウェーブレットを使用する際，通常，最後のレベルで，エントロピーを減少させるために，詳細ＬＨ，ＨＬ，及びＨＨ行列は量子化されるが，一方で新たなウェーブレットのレベルがＬＬ行列に適用できる。従って，連続する近似ＬＬ行列に必要とされるレベルの数だけ適用できる。

ＪＰＥＧ２０００はまた，デッドゾーンスカラー量子化を使用する。幾つかのウェーブレット変換はロスレスであるが，各ウェーブレットのレベルに量子化を適用することは，最初は圧縮の際に，次いで圧縮されたディジタルファイルを復元する際に，連続したレベルを経る際に丸め誤差の蓄積を招く。この丸めの問題は，レベルに関連して詳細ＬＨ，ＨＬ，及びＨＨ行列が量子化されるときにのみ引き起こされる。

従って，本発明の目的は，ウェーブレット変換を使用する間のディジタルファイルの圧縮での丸め誤差を減少するための方法を提供することである。

本明細書では，演算は二進法の数値で行われるように設計されているが，説明を簡単にするために，別段の説明がない限り，数値は１０を基数にして記載している。２を基数として数値を記載する場合，そのように明確に表示しており，よって，２を基数とする１０００は（１０００）₂として示されることになる。

原行列のエントロピーを減少するための本発明による方法は，
前記原行列を変換行列へ変換するウェーブレット変換を使用するステップを含み，
量子化係数は，詳細行列の各々についての各詳細行列に対応し，
前記ウェーブレット変換は，１以上である小数点以下の第１の桁数を使用して固定小数点で計算され，少なくとも各ウェーブレットレベルについての前記詳細行列の前記量子化係数の少なくとも１つは，厳密に１より大きいことを特徴とする。

好ましくは，前記ウェーブレットレベルの各々における詳細行列の量子化係数は，以前のレベルの等価な行列の係数以下である。好ましくは，それはまた，同一のスカラー量子化器であり，即ち除算される値が何であっても，各行列に対して固有である。

前記固定小数点での前記ウェーブレットレベルの処理の終了時に，前記詳細行列の数値は，該詳細行列の前記量子化係数に従って量子化され得ると共に，整数値に変換されて，固定小数点での演算で使用された桁が切り捨てられる。固定小数点でのウェーブレットレベルの処理の最後に，新しいウェーブレットレベルが近似行列に適用された場合，後続するウェーブレットレベルの詳細行列の各々の量子化係数の各々が１の場合は，前記近似行列の数値が整数値に変換され得て，また，反対の場合には，固定小数点の数値で保持される。最後のレベルが固定小数点で処理される場合，最後のレベルの終わりに，最後の近似ＬＬ行列は整数値に変換される。

第１のレベルの詳細行列の量子化係数の少なくとも１つが１より大きい場合，原行列の全ての数値は，第１のウェーブレット変換レベルの計算の前に，前記固定小数点の数値に変換される。

処理される原行列が，比色変換の結果として前記第１の桁数より高い精度を有する固定小数点の数値となるときには，前記第１の桁数を取得するために，固定小数点の数値は，好ましくは桁数を減少させて取得する。

前記変換行列から復元行列を計算するために，前記変換行列の逆ウェーブレット変換を含み，前記逆ウェーブレット変換の計算は，１以上である，小数点以下の第２の桁数を使用して固定小数点で行われ，各ウェーブレットレベルについての各詳細行列の量子化係数の少なくとも１つは，厳密に１より大きい。

固定小数点で処理されるウェーブレットレベルの逆変換中，前記詳細行列の数値は固定小数点の数値に変換され，逆ウェーブレット変換の前に逆量子化され得る。同様に，このレベルの近似行列が整数の場合，逆ウェーブレットのレベルが行われる前に，固定小数点に変換されることになり，これは，続くレベルで使用される復元近似行列を与えることになる。

有利には，前記復元行列は，利用可能な全てのレベルで，逆ウェーブレット変換，逆量子化，及び整数と固定小数点との変換により取得される。

有利には，前記中間復元行列は，利用可能な全てのレベルの数値未満のレベルの数値で，逆ウェーブレット変換，逆量子化及び整数と固定小数点間の変換により取得され得る。実施された最後の逆ウェーブレット変換に対応するウェーブレットレベルが固定小数点の数値で処理された場合，取得された中間復元行列の数値は，好ましくは，小数点以下の前記第２の桁数に等しい桁数を含んでいる精度を有する前記固定小数点の数値である。前記中間復元行列の処理に続いて，前記復元行列の数値の各々は，整数値に変換され得る。

全ての圧縮データが利用可能でない場合，全てのデータが利用可能なレベルに対応するレベルの数値を有する中間復元行列が使用される。同様に，前記復元行列より低い解像度への適用に対応するために，最小レベル数値の中間復元行列を使用することで，少なくとも前記低解像度の達成を可能にすることができる。

第１のウェーブレットレベルが固定小数点の数で処理された場合，取得される復元行列の数は，小数点以下第２の桁数に等しい桁数を含んでいる精度を有する固定小数点の数となり得る。

このように復元された行列のそれに続く処理のために，前記復元行列の値の各々は，整数値に変換できる。逆ウェーブレット変換は，逆ウェーブレット変換に使用する桁数より大きい桁数の固定小数点の数で逆カラーメトリック変換に続けることができる。

固定小数点の計算を実行するために，桁数Ｄの行列の値の各々を左にシフトすることが可能である。或いは，行列の各数値は，２を基数として１０のＤ乗が乗算され，（１０^D）₂とされることが可能である。

固定小数点の計算が終了すると，好ましくは桁数Ｄの行列の各数値は，右へシフトされ，行列の各数値は，２を基数として１０の−Ｄ乗が乗算され，（１０^-D）₂とされる。

変換行列から復元された行列として原行列を復元するために，好ましくは，逆ウェーブレット変換は，固定小数点で小数点以下少なくとも１の第２の桁数を使用し，少なくとも各ウェーブレットレベルで１より大きい量子化係数を有する少なくとも１つの詳細行列を有する。

原行列は，少なくとも部分的に画像を表し，例えば，画像のＹ，Ｃｂ及びＣｒの１つを表してもよい。好ましくは，ウェーブレット変換の計算に先立ち，ＹＣｂＣｒ変換の結果により生じた第１の桁数Ｄが保持される。

有益なことに，ＹＣｒＣｂ変換は，桁数Ｄより大きい精度で行うことができる。この場合，データの精度は，桁数Ｄが減じられるため，減少される。

前記ウェーブレット変換が，リフティングスキームを有するCohen-Daubechies-Feauveau（ＣＤＦ）５／３変換であり得る。

なし

本発明の幾つかの実施形態を，添付図面を参照して以下に説明するが，この例に限定されるものではない。

図１は，８行に各８画素が配置された６４画素の行列を形成する白黒の原画像の例を示す。

図２Ａは，図１に示した画像の行列を示す。この図において，各セルは画素の輝度のリテラル値を含み，行列中のセルの位置が示されている。

図２Ｂは，各セルが原画像に対応する画素の輝度を表す０から２５５までの原数値を含む同様の原行列Ｘを示す。

図２Ｂ，図３Ｂ，図４Ｂ，図５Ｂ，図６Ｂ，図７Ｂ，図８Ｂ，図９Ｂ，図１０Ｂ，図１１Ｂ，図１２Ｂ，図１３Ｂ，及び図１４Ｂは，従来の技術の方法の説明であり，図２Ｃ，図３Ｃ，図４Ｃ，図５Ｃ，図６Ｃ，図７Ｃ，図８Ｃ，図９Ｃ，図,１０Ｃ，図１１Ｃ，図１２Ｃ，図１３Ｃ，図１４Ｃ，及び図１５Ｃは，本発明に係る方法の説明である。

図３Ａ及び図３Ｂは，それぞれ，第１のウェーブレットレベルの計算を行う第１のステップの終了時における部分行列のリテラル値及び数値を示し，従来技術の方法で図２Ｂの行列の値に垂直ウェーブレット変換を適用したものである。

図４Ａ及び図４Ｂは，それぞれ，第１のウェーブレットレベルの計算を行う第２のステップ中に取得されたリテラル値及び数値の部分行列を示し，これは，従来技術の方法で図３Ｂの各部分行列の数値に水平ウェーブレット変換を適用したものである。

図５Ｂ及び図６Ｂは，従来技術の方法で第２のウェーブレットレベルの計算中に，垂直ウェーブレット変換を行い，次いで，水平ウェーブレット変換を行った後に，それぞれ取得された部分行列を示す。

図７Ｂは，部分行列の量子化を示し，従って，従来の技術による変換の最後における全ての部分行列を表す。

図８Ｂは，原行列と同じサイズの行列中に，従来技術により変換され及び量子化された値を結合させたものを示す。

図２Ｃは，本発明の方法において図２Ｂの行列の値を左シフトする事前ステップを示す。

図３Ａ及び図３Ｃは，それぞれ，第１のウェーブレットレベルを計算する第１のステップ中に取得されたリテラル値及び数値の部分行列を示し，本発明の方法により図２Ｂに示される原行列Ｘの数値に垂直ウェーブレット変換を適用したものである。

図４Ａ及び図４Ｃは，それぞれ，第１のウェーブレットレベルを計算する第２のステップ中に取得されたリテラル値及び数値の部分行列を示し，本発明の方法により図３Ｃに示される部分行列Ｌ１及びＨ１の数値に水平ウェーブレット変換を適用したものである。

図５Ｃ及び図６Ｃは，それぞれ，本発明の方法による第２のウェーブレットレベルの計算中に，垂直ウェーブレット変換からなる第１のステップの後に取得された部分行列，及び水平ウェーブレット変換からなる第２のステップの後に取得された部分行列を示す。

図７Ｃは，変換された部分行列の量子化を示し，従って，本発明の方法による変換の最後における全ての部分行列を表す。

図８Ｃは，原行列と同じサイズの行列中に，本発明の方法で変換され及び量子化された値を結合させたものを示す。

図１０Ｂ，図１１Ｂ，図１２Ｂ，及び図１３Ｂは，ＸＲＺ行列の復元のための各種のステップを示し，図１の画像の画素の復元された輝度を示している。

図１０Ｃ，図１１Ｃ，図１２Ｃ，図１３Ｃ，及び図１４Ｃは，ＸＲ行列の復元のための各種のステップを示し，図１の画像の画素の復元された輝度を示している。

図１４Ｂ及び図１５Ｃは，それぞれ，従来技術及び本発明の方法における誤差の行列を示し，そのそれぞれのセルは，復元された値と対応する原値との誤差を示す。

本発明に係る方法の記述は，ディジタル画像の圧縮の分野に対するものである。このため，図１は，８行８列の画像行列に対応する原白黒画像を示している。

図２Ａは，原画像の画素の明るさの値を表すＸ行列を示しており，水平ラインｉ（以下，行）と垂直ラインｊ（以下，列）との交点で配置された行列の各セルは，原画像において同様の行ｉ及び同様の列ｊで，そこに位置する画素の輝度を表すリテラル値ｘ_ijを含んでいる。

図２Ｂは，各リテラル値が原画像１についての対応する数値により置き換えられた同様のＸ行列が示されている。これらの値は，８ビットの符号なしの整数，即ち０から２５５で符号化されている。この例によると，最も暗い画素の値はｘ₂₈＝２５であり，最も明るいのはｘ₁₇＝２２４である。エントロピー計算式を適用すると，この行列から５．６２５のエントロピーが得られる。

以下の例で使用されるウェーブレット変換は，リフティングスキームを有するCohen-Daubechies-Feauveau（ＣＤＦ）５／３変換である。これは，ＪＰＥＧ２０００で使用されるウェーブレット，即ちロスレスＣＤＦ５／３及びロッシーＣＤＦ９／７と異なり，隣接の値の数を介してのみ詳細部及びそれに関連する除数が使用される。

ＣＤＦ５／３ウェーブレットはＹ行列に適用でき，その値は上述のように索引付けされている。

垂直ウェーブレットのステップは，以下の式により取得される。
詳細行列の計算：
ｈ_m,n＝ｙ_2m,n−［ｙ_2m-1,n＋ｙ_2m+1,n］／２
いずれのｍも１とＹの高さの半分との間にあり，いずれのｎもＹの幅である。例えば，Ｈ１Ｚ行列は，原行列Ｘから取得される（図３Ｂ参照）。
近似行列の計算：
ｌ_mn＝ｙ_2m-1,n＋［ｈ_m-1,n＋ｈ_m,n］／４
ｍはＹの高さの半分以下であり，仮にＹの高さが奇数であれば＋１したものであり，いずれのｎもＹの幅である。この例によれば，Ｌ１Ｚ行列が原行列Ｘ及びＨ１Ｚ行列から取得される（図３Ｂ参照）。

水平ウェーブレットのステップは，以下の式により取得される。
詳細行列の計算：
ｈ_m,n＝ｙ_m,2n−［ｙ_m,2n-1＋ｙ_m,2n+1］／２
いずれのｎも１とＹの幅の半分との間であり，いずれのｍもＹの幅である。この例によれば，ＨＨ１ＺがＨ１Ｚから取得される。そして，ＬＨ１ＺはＬ１Ｚからである。
近似行列の計算：
ｌ_mn＝ｙ_m,2n-1＋［ｈ_m,n-1＋ｈ_m,n］／４
ｎはＹの幅の半分以下であり，仮にＹの幅が奇数なら＋１したものであり，いずれのｍもＹの高さである。この例によれば，ＨＬ１ＺがＨ１Ｚ及びＨＨ１Ｚ行列から取得され，ＬＬ１ＺがＬ１Ｚ及びＬＨ１Ｚから取得される。

各値は，計算の最後にルーチン的に整数に丸められる。以下の例では，丸めに以下のルールが適用される。上述の丸めルールによれば，０．５は１に丸められ，−０．５は−１に丸められる。よって，２．４９は２に，２．５は３に，２．３は２に丸められることになる。

行列の端での行及び列の計算を可能にするために，それ自身では処理されないが，他への処理を可能にするような仮想値が以下のルールに従って付加される。
−行列の各々及び復元行列の各々の真上及び真左に位置する仮想値はゼロである。従って，図３Ｂに示される詳細行列Ｈ１Ｚは，仮想値Ｈ１Ｚ₀₁＝０又はＨ１Ｚ₀₈＝０をその中に有することになる。同様に，図１２Ｂに示される復元詳細行列Ｈ１ＲＺは，仮想値Ｈ１ＲＺ₀₁＝０又はＨ１ＲＺ₀₈＝０をその中に有することになり，詳細行列ＬＨ１Ｚは仮想値ＬＨ１Ｚ₁₀＝０又はＬＨ１Ｚ₄₀＝０，復元詳細行列ＬＨ１ＲＺは仮想値ＬＨ１ＲＺ₁₀＝０又はＬＨ１ＲＺ₄₀＝０をその中に有することになる。
−行列の各々及び復元行列の各々の真右及び真下に位置する仮想値は，それぞれ，２セル左及び２セル上に位置する値と等しい。従って，Ｘ中にｘ₉₁＝ｘ₇₁の仮想値があり，Ｌ１Ｚ中にＬ１Ｚ₁₉＝Ｌ１Ｚ₁₇の仮想値があり，Ｌ１ＲＺの中にＬ１ＲＺ₁₉＝Ｌ１ＲＺ₁₇の仮想値があり，ＬＬ１Ｚの中にＬＬ１Ｚ₁₅＝ＬＬ１Ｚ₁₃の仮想値があり，及びＬＬ１ＲＺ中にＬＬ１ＲＺ₅₁＝ＬＬ１ＲＺ₃₁の仮想値がある。

図示の例では，ウェーブレットレベルＮで生成された各部分行列に対してそれぞれ量子化除数Ｑが適用されており，各々の除数は，この例では，同一レベルの詳細行列の各々で同一としている。
−第１のレベルＮ＝Ｎ−１については，Ｑ＝Ｑ１＝Ｑ_LH1＝Ｑ_HL1＝Ｑ_HH1＝４
−第２のレベルＮ＝Ｎ−２＝２については，Ｑ＝Ｑ２＝Ｑ_LH2＝Ｑ_HL2＝Ｑ_HH2＝２

図３Ｂ及び図４Ｂは，従来技術の方法に従った量子化除算を適用する前の，原行列Ｘに対する第１のウェーブレットレベルの適用例を示している。

このため，原行列Ｘに垂直ウェーブレットを適用することにより，図３Ｂに示される部分行列Ｌ１Ｚ及びＨ１Ｚが取得され，これは図３Ａ及び図３Ｂに示すように，各々Ｈ画素の４列からなる。

従って，第１番目の２つの行の第１番目の画素ｘ₁₁及びｘ₂₁の変換は，以下の計算式に従って行われる。
詳細部分行列Ｈ１Ｚの対応する値：
Ｈ１Ｚ₁₁＝ｘ₂₁−（ｘ₁₁＋ｘ₃₁）／２＝１２１−（１１６＋１１０）／２＝８
近似部分行列Ｌ１Ｚの対応する値：
Ｌ１Ｚ₁₁＝ｘ₁₁＋（Ｈ１Ｚ₀₁＋Ｈ１Ｚ₁₁）／４＝１１６＋（０＋８）／４＝１１８

それに続く２つの行の第１番目の画素ｘ₃₁及びｘ₄₁の変換は，以下の計算式に従って行われる。
部分行列Ｈ１Ｚの対応する値：
Ｈ１Ｚ₂₁＝ｘ₄₁−（ｘ₃₁＋ｘ₅₁）／２＝１１５−（１１０＋１２６）／２＝−３
部分行列Ｌ１Ｚの対応する値：
Ｌ１Ｚ₂₁＝ｘ₃₁＋（Ｈ１Ｚ₁₁＋Ｈ１Ｚ₂₁）／４＝１１０＋（８＋（−３））／４＝１１１

次に，水平ウェーブレットが部分行列Ｌ１Ｚ及びＨ１Ｚの各々に適用されるので，図４Ｂに示されるようなものがそれぞれ取得される。
−部分行列Ｌ１Ｚについて，２つの新たな部分行列ＬＬ１Ｚ及びＬＨ１Ｚ；
−部分行列Ｈ１Ｚについて，２つの新たな部分行列ＨＬ１Ｚ及びＨＨ１Ｚ。

図５Ｂは，前に取得された部分行列ＬＬ１Ｚへの第２のレベルＮ２のウェーブレットの第１のステップの適用の結果が示されており，その結果は，２つの部分行列Ｌ２Ｚ及びＨ２Ｚである。図６Ｂは，行列Ｌ２Ｚ及びＨ２Ｚへの第２のレベルのウェーブレットの第２のステップの適用の結果が示されており，その結果は，図６Ｂでの部分行列ＬＬ２Ｚ，ＬＨ２Ｚ，ＨＬ２Ｚ，及びＨＨ２Ｚである。

１つのレベルを再び行うことも，行列ＬＬ２Ｚを保持することも，又はそれを量子化することも可能である。

ここでは，第３のレベルのウェーブレットは適用せず，行列ＬＬ２Ｚを同一のまま保持することを選択する。

従って，部分行列ＬＬ２Ｚは，新たなウェーブレットに左右されずに，同一の値を有する行列ＬＬ２ＱＺの形式で蓄積されるように保持されることになる。

次に，それぞれの量子化が各レベルに対して適用される。このため，部分行列ＬＨ１Ｚ，ＨＬ１Ｚ及びＨＨ１Ｚの各々の値を第１のレベルＮ１の除数Ｑ１に等しい量子化除数Ｑ_LH1，Ｑ_HL1，及びＱ_HH1でそれぞれ除算し，上述のルールに従って丸めを施すことにより，量子化された部分行列ＬＨ１ＱＺ，ＨＬ１ＱＺ，及びＨＨ１ＱＺが取得される。同様に，部分行列ＬＨ２Ｚ，ＨＬ２Ｚ，及びＨＨ２Ｚの各々の値を，第２のレベルＮ２の除数Ｑ２に等しい量子化除数Ｑ２_LH2，Ｑ_HL2，及びＱ_HH2でそれぞれ除算し，上述のルールに従って丸めを施すことにより，量子化された部分行列ＬＨ２ＱＺ，ＨＬ２ＱＺ，及びＨＨ２ＱＺが取得される。これら全ての量子化行列は，図７Ｂに示される。

従来技術の方法による行列Ｘの変換ＴＺは，原行列Ｘの値を部分行列ＬＬ２ＱＺ，ＬＨ２ＱＺ，ＨＬ２ＱＺ，ＨＨ２ＱＺ，ＬＨ１ＱＺ，ＨＬ１ＱＺ，及びＨＨ１ＱＺの値に変換することにより取得される。これらの新たな値は，特定の場所に蓄積できる。これらは，また，同じサイズの行列を形成するために，行列Ｘの値に置換できる。図８Ｂは，そのような値の置換の例が示されている。

この変換行列では原行列に比べて異なる値の数が削減されており，これは各々の出現確立を増加させることを可能にする。従って，新たな行列の前述した数式で示されるシャノンエントロピーは，原行列より低く，それは４．６４１である。

次に，本発明に係る方法を記述する。
本発明に係る方法は，ウェーブレット変換の計算中，小数点以下のＤ桁（二進法の表記で）を保持すること，即ち２のマイナスＤ乗を保持することを含む。この計算をより高速で行うために，これを浮動小数点で実行するよりも，むしろ，これは固定小数点で実行される。このようにすると，原行列Ｘの各数値とシフト係数２^D，即ち（１０^D）₂との乗算が可能になる。これは，二進表記の数値をＤ桁左にシフトすることでも可能である。次にこのようにして取得されて増加した整数の部分だけが保持され，よって，演算される数値は，２のマイナスＤ乗を表す最後のＤ桁の整数と，原数値の整数部分を表す他の桁との数となる。

この説明の例では，３つの桁数が保持される。行列ＸＤの増加した数値が図２Ｃに示されている。従って，行列ＸＤの各数値ＸＤ_ijは，原行列Ｘの数値Ｘ_ijより８倍大きい：
ＸＤ_ij＝８×Ｘ_ij
従って，コンピュータの計算で使用される二進法の値は，（１０００）₂倍されたことになり，即ちシフト係数は８に等しい。

変換行列ＴＺを取得するための従前に使用されているのと同様の変換により，増加された行列ＸＤから，先ず第１に，垂直ウェーブレットにより，図３Ｃに示される部分行列Ｌ１及びＨ１が取得され，それから，図４Ｃに示される水平部分行列ＬＬ１，ＬＨ１，ＨＬ１及びＨＨ１が取得される。次に，部分行列ＬＬ１に対するウェーブレットの第２の適用により，先ず第１に垂直ウェーブレットにより，図５Ｃに示される部分行列Ｌ２及びＨ２が取得され，それから，水平ウェーブレット変換により，図６Ｃに示される水平部分行列ＬＬ２，ＬＨ２，ＨＬ２，及びＨＨ２が取得される。

次にそれぞれの量子化が各レベルに対して適用され，取得された数値が８で除算される。代わりに，それぞれの量子化除数で割り算した後に取得された二進法の数値を右に３桁分シフトすることも可能である。

従って，部分行列ＬＨ１，ＨＬ１，及びＨＨ１の数値の各々を，これらの量子化除数Ｑ_LH1，Ｑ_HL1及びＱ_HH1の８倍，即ち各行列に対して８×Ｑ１で除算し，上述のルールに従って丸めを施すことで，図７Ｃに示されるような量子化された部分行列ＬＨ１Ｑ，ＨＬ１Ｑ，及びＨＨ１Ｑが取得される。同様に，部分行列ＬＨ２，ＨＬ２，及びＨＨ２の数値の各々を，これらの量子化除数Ｑ_LH2，Ｑ_HL2及びＱ_HH2の８倍，即ち各行列に対して８×Ｑ２で除算し，上述のルールに従って丸めを施すことで，図７Ｃに示されるような，量子化された部分行列ＬＨ２Ｑ，ＨＬ２Ｑ，及びＨＨ２Ｑが取得される。最終的には，行列ＬＬ２の数値を８で除算し，上述のルールに従って丸めを施すことにより，行列ＬＬ２を完全に再変換し，図７Ｃに示されるような部分行列ＬＬ２Ｑが取得される。これらの全ての変換行列は，図７Ｃに示される。

本発明に係る方法による行列の変換Ｔは，原行列Ｘの数値を，部分行列ＬＬ２Ｑ，ＬＨ２Ｑ，ＨＬ２Ｑ，ＨＨ２Ｑ，ＬＨ１Ｑ，ＨＬ１Ｑ，及びＨＨ１Ｑの数値に変換することにより取得される。これらの新たな数値は，特定の場所に蓄積できる。これらは，また，同じサイズの行列を形成するために，行列Ｘの数値に置換できる。図８Ｃは，そのような数値の置換の例が示されている。

この変換行列では原行列に比べて異なる値の数が削減されており，これは，シャノンエントロピーを減少することを可能にする。前述の与えられた数式によれば，新たに変換された行列のシャノンエントロピーは，４．５２０である。

次に，復元ステップ即ち画像の復元のバージョンを表す復元行列ＸＲの取得のプロセスについて，先ず本発明の方法に従って説明し，次に従来技術の方法に従って説明する。

最初に，それぞれの量子化係数をその数値に乗算し，ウェーブレット変換中と同様の精度レベルを得るために，それから８を乗算することで，量子化された詳細行列から逆量子化された詳細行列が計算される。従って，図９Ｃに示される部分行列が取得される。
−ＬＬ２Ｒについては，その数値は，部分行列ＬＬ２Ｑの数値に８を乗算したものと等しい；
−ＬＨ２Ｒ，ＨＬ２Ｒ，及びＨＨ２Ｒについては，その数値は，それぞれ，部分行列ＬＨ２Ｑ，ＨＬ２Ｑ，及びＨＨ２Ｑを，８×Ｑ_LH2，８×Ｑ_HL2，及び８×Ｑ_HH2，つまり８×Ｑ２，即ち単純に１６で乗算したものと等しく，レベル２の各々の量子化除数はＱ２に等しく，即ち２である；
−ＬＨ１Ｒ，ＨＬ１Ｒ，及びＨＨ１Ｒについては，その数値は，それぞれ，部分行列ＬＨ１Ｑ，ＨＬ１Ｑ，及びＨＨ１Ｑに，８×Ｑ_LH1，８×Ｑ_HL1，及び８×Ｑ_HH1，つまり８×Ｑ１，即ち単純に３２を乗算したものと等しく，レベル１の各々の量子化除数はＱ１に等しく，即ち４である。

次に，図１１Ｃに示される部分行列ＬＬ１Ｒを取得するために，レベル２の逆ウェーブレットが部分行列ＬＬ２Ｒ，ＬＨ２Ｒ，ＨＬ２Ｒ，及びＨＨ２Ｒに適用される。

次に，図１３Ｃに示される行列ＬＬ０Ｒを取得するために，レベル１の逆ウェーブレットが部分行列ＬＬ１Ｒ，ＬＨ１Ｒ，ＨＬ１Ｒ，及びＨＨ１Ｒに適用され，この行列の数値ＬＬ０Ｒ_ijは，上述のルールに従って丸められる。

次に，行列ＬＬ０Ｒの数値ＬＬ０Ｒ_ijの各々は８で除算され，又は対応する二進法の数値は右に３桁シフトされ，そして，このようにして取得されたＸＲ_ijの数値の各々は上述のルールに従って丸められる。このようにして図１４Ｃに示されるような数値ＸＹ_ijの復元行列ＸＲが取得される。ＸＲ_ijの各数値は，本発明による方法で復元された原画像の復元画像の画素の輝度を表している。

図１５Ｃに示す行列Ｅの各数値Ｅ_ijは，復元行列ＸＲの数値ＸＲ_ijと，原行列の数値Ｘ_ijとの間の相違を表している。この例では，これらの相違の平均は，約０．７８である。

逆ウェーブレット変換レベルを部分的にだけ行うことで，画像を部分的にのみ復元することも可能である。例えば，中間復元行列を使用することで，１／４の画像のみ復元することが可能である。そのような４×４のサイズの行列は，図１１Ｃに示す行列ＬＬ１Ｒの数値ＬＬ１Ｒ_ijの各々を８で除算するか，又は二進法の数値を３桁右にシフトすることで取得できる。このように取得される中間復元行列は，縮小された復元画像に対応する。

この段階的な展開の可能性は，スケーラビリティとして言及され，全てのデータが利用可能でないような場合の画像に関する着想を可能にする。これは，重たい画像ファイルをダウンロードする間，画像の到着が完了する前，最終的に完全に利用可能なレベルに画像を展開するまでの間，有益に利用できる。

これは，また，例えばギャラリーで画像を表示する際に，必要とされる解像度にだけ画像を展開することを可能にする。部分的な展開は，不必要な展開を回避することで，資源の節約が図れる。

次に従来技術の方法での変換行列ＴＺからの画像の復元のステップについて説明する。

最初に，その数値にそれぞれの量子化係数を乗算することで，量子化された詳細行列から逆量子化された詳細行列が計算される。このようにして，図９Ｂに示される部分行列が取得される。
−ＬＬ２ＲＺについては，その数値は，部分行列ＬＬ２ＱＺの数値に等しい，この行列は，ウェーブレットレベルにより変更されていない；
−ＬＨ２ＲＺ，ＨＬ２ＲＺ，及びＨＨ２ＲＺについては，その数値は，それぞれ，部分行列ＬＨ２ＱＺ，ＨＬ２ＱＺ，及びＨＨ２ＱＺに，これらの量子化除数Ｑ_LH2，Ｑ_HL2，及びＱ_HH2を乗算したものに等しく，ここで各行列のＱ２は２であり，レベル２の量子化除数Ｑ２は２に等しい；
−ＬＨ１ＲＺ，ＨＬ１ＲＺ，及びＨＨ１ＲＺについては，その数値は，それぞれ，部分行列ＬＨ１ＱＺ，ＨＬ１ＱＺ，及びＨＨ１ＱＺに，これらの量子化除数Ｑ_LH1，Ｑ_HL1，及びＱ_HH1を乗算したものに等しく，ここで各行列のＱ１は４であり，レベル１の各量子化除数Ｑ１は４に等しい。

次に，水平の逆ウェーブレット変換の最後に，図１０Ｂに示される部分行列Ｌ２ＲＺ及びＨ２ＲＺを取得し，次いで，垂直の逆ウェーブレット変換の最後に，図１１Ｂに示される部分行列Ｌ２ＲＺ及びＨ２ＲＺ，部分行列ＬＬ１Ｒを取得するために，レベル２の逆ウェーブレットが部分行列ＬＬ２ＲＺ，ＬＨ２ＲＺ，ＨＬ２ＲＺ，及びＨＨ２ＲＺに適用される。

次に，水平の逆ウェーブレット変換の最後に，図１２Ｂに示される部分行列Ｌ１ＲＺ及びＨ１ＲＺを取得し，次いで，垂直の逆ウェーブレット変換の最後に，図１３Ｂに示される部分行列Ｌ１ＲＺ及びＨ１ＲＺ，復元行列ＸＲＺを取得するために，レベル１の逆ウェーブレットが部分行列ＬＬ１ＲＺ，ＬＨ１ＲＺ，ＨＬ１ＲＺ，及びＨＨ１ＲＺに適用され，この行列の数値ＸＲＺ_ijは，上述のルールに従って丸められる。ＸＲＺ_ijの各数値は，従来の技術の方法で復元された原画像の復元画像の画素の輝度を表している。

図１４Ｂに示す行列ＥＺの各数値ＥＺ_ijは，復元行列ＸＲＺの数値ＸＲＺ_ijと，原行列Ｘの数値Ｘ_ijとの間の誤差を表している。この例では，これらの誤差の平均は約１．５６である。従って，この例では，従来技術の方法で取得された誤差は，本発明による方法で取得された誤差（０．７８）の約２倍であることがわかる。

同時に，本発明による変換行列Ｔのエントロピー（４．５２０）は，従来の技術による変換行列ＴＺのエントロピー（４．６４１）より僅かに小さく，また，原行列のエントロピー（５．６２５）より著しく小さい。

従って，本発明に係る方法は，従来技術で使用されるエントロピー減少方法に比べて，より正確な行列の数値の復元値を取得しつつ，行列のエントロピーを減少させることができる。

当然，本発明は，先に説明した例に限定されるものではない。よって，白黒画像の例は，ＲＧＢ画像のＲ，Ｇ，又はＢ成分の表現にも適用できる。ＲＧＢ画像の各成分Ｙ，Ｃｂ又はＣｒは，ＹＣｂＣｒ変換を受けており，特に，輝度要素Ｙは，上述の例の白黒画像と同じ方法で処理できる。このことから，ＣＭＹＫ空間から生じた成分であれ，又はＲＧＢ成分から取得されるいずれの比色変換（transformation colorimetrique）成分であれ，画像の如何なる成分についてもロスを伴い又は伴うことなく，より一般的に表現できる。

更に，もし，ウェーブレットが各レベルで最初に全て垂直に適用されたとしても，各レベルで最初に水平に適用され，次いで垂直に適用されたとしても，適用可能である。

付加的な桁数，即ち固定小数点計算で使用される２のマイナスの巾数は，変換Ｔの数値Ｔ_ijの計算でのものと，変換したものから数値ＸＲ_ijを復元するのに使用されるものとで，異なっていても良い。

好ましくは，桁の数は，ウェーブレットレベルが大きくなれば，より大きい数となる。

上述の説明では，詳細行列の数値の各々は，量子化とシフト係数による除算を同時に行った。これに対して，量子化は，シフト係数による除算と同時に行わないようにできる。更に，量子化及び／又はシフト係数による除算は，対応する部分行列が取得される毎に各時間で行うことができる。

上述の例では，計算精度は，整数値である入力データの精度より優れている。入力データの精度が計算精度より優れている場合，特に，もし，これらがウェーブレットの計算の精度より優れた計算精度を有する比色変換の結果から生じた場合，行列ＸＤは，２の負の巾数を増加するよりもむしろ減少することにより取得される。

同様に，展開では，例えば比色変換で，もし，データが出力で逆ウェーブレット変換の精度より優れた精度で処理されなければならない場合，それに続く変換の精度と同じになるように，データの精度を直接的に増加しても良い。

当然，本発明は，１又はそれ以上の次数の行列に適用できる。この場合，ウェーブレットレベルは，各次元の各々の一連の変換で取得される。

Claims (26)

1. 原行列（Ｘ）の形式で表される画像の成分のエントロピーを減少するためのステップを含む，ディジタル画像を圧縮するための方法であって，
   前記原行列を変換行列（Ｔ）へ変換するウェーブレット変換を使用するステップを含み，
   量子化係数は，詳細行列の各々についての各詳細行列に対応し，
   前記ウェーブレット変換は，１以上である小数点以下の第１の桁数（Ｄ）（Ｄ≧１）を使用して固定小数点で計算され，各ウェーブレットレベルについての前記詳細行列の各々に対応する前記量子化係数の少なくとも１つは，厳密に１より大きく，
   後続するレベルの詳細行列の各々の量子化係数の各々が１の場合，固定小数点でのウェーブレットレベルの処理の最後に，近似行列の数値が整数値に変換され，また，反対の場合には，固定小数点の数値で保持されることを特徴とする方法。
2. 前記ウェーブレットレベルの各々における詳細行列の量子化係数の各々は，以前のレベルの等価な行列の係数以下であるが，常に１より大きいことを特徴とする請求項１記載の方法。
3. 前記固定小数点での前記ウェーブレットレベルの処理の終了時に，前記詳細行列の数値は，該詳細行列に関連する前記量子化係数に従って量子化されると共に，整数値に変換されて，固定小数点での演算で使用されたＤ桁が切り捨てられることを特徴とする請求項１又は２記載の方法。
4. 使用される量子化器は，同一のスカラー量子化器であり，量子化される数値に拘わらず，各行列に対して固有であることを特徴とする請求項３記載の方法。
5. 第１のレベルの詳細行列の量子化係数の少なくとも１つが１より大きい場合，原行列（Ｘ）の全ての数値は，第１のウェーブレット変換レベルの計算の前に，前記固定小数点の数値に変換されることを特徴とする請求項１乃至４何れか１項記載の方法。
6. 処理される行列が，比色変換の結果として前記第１の桁数（Ｄ)より高い精度を有する固定小数点の数値となるときには，前記第１の桁数を取得するために，固定小数点の数値は，桁数を減少させて取得することを特徴とする請求項５記載の方法。
7. 前記変換行列（Ｔ）から復元行列（ＸＲ）又は中間復元行列を計算するために，前記変換行列（Ｔ）の逆ウェーブレット変換を含み，前記逆ウェーブレット変換の計算は，１以上である，小数点以下の第２の桁数を使用して固定小数点で行われ，各ウェーブレットレベルについての各詳細行列の各々に対応する量子化係数の少なくとも１つは，厳密に１より大きいことを特徴とする請求項１乃至６何れか１項記載の方法。
8. 固定小数点の数値で処理されるウェーブレットレベルの逆変換中，逆変換が適用される行列の数値は，前記行列の数値が初期状態で整数値の場合，前記固定小数点の数値に変換されることを特徴とする請求項７記載の方法。
9. 固定小数点で処理されるウェーブレットレベルの逆変換中，前記詳細行列の数値は固定小数点の数値に変換され，逆ウェーブレット変換の前に逆量子化されることを特徴とする請求項７又は８記載の方法。
10. 前記復元行列（ＸＲ）は，利用可能な全てのレベルで，逆ウェーブレット変換，逆量子化，及び整数と固定小数点との変換により取得されることを特徴とする請求項７乃至９何れか１項記載の方法。
11. 第１のウェーブレットレベルが固定小数点の数値で処理された場合，取得される復元行列（ＸＲ）の数値は，小数点以下の前記第２の桁数と等しい桁数を含む精度を有する固定小数点の数値であることを特徴とする請求項７乃至１０何れか１項記載の方法。
12. 前記復元行列（ＸＲ）に対する後続の処理のために，前記復元行列の数値の各々は，整数値に変換されることを特徴とする請求項１１記載の方法。
13. 前記中間復元行列は，利用可能な全てのレベルの数値未満のレベルの数値で，逆ウェーブレット変換，逆量子化及び整数と固定小数点間の変換により取得されることを特徴とする請求項７乃至９何れか１項記載の方法。
14. 生成された最後の逆ウェーブレット変換に対応するウェーブレットレベルが固定小数点の数値で処理された場合，取得された中間復元行列の数値は，小数点以下の前記第２の桁数に等しい桁数を含んでいる精度を有する前記固定小数点の数値であることを特徴とする請求項７，８，９又は１３記載の方法。
15. 前記中間復元行列の処理に続いて，前記復元行列の数値の各々は，整数値に変換されることを特徴とする請求項１４記載の方法。
16. 全ての圧縮データが利用可能でない場合，全てのデータが利用可能なレベルに対応するレベルの数値を有する中間復元行列が使用されることを特徴とする請求項１３乃至１５何れか１項記載の方法。
17. 前記復元行列（ＸＲ）より低い解像度への適用に対応するために，最小レベル数値の中間行列を使用することで，少なくとも前記低解像度の達成を可能にすることを特徴とする請求項１３乃至１６何れか記載の方法。
18. 逆ウェーブレット変換に続いて前記逆ウェーブレット変換に使用する桁数より大きい桁数の固定小数点の数値で逆比色変換が行われるとき，復元行列の値は直接，変換精度を有する固定小数点の数値に変換されることを特徴とする請求項７乃至１７何れか１項記載の方法。
19. 変換における固定小数点の計算を実行するために，桁数Ｄの行列の各数値が，左方向にシフトされることを特徴とする請求項１乃至１８何れか１項記載の方法。
20. 変換における固定小数点の計算を行うために，行列の各数値は，２を基数として１０のＤ乗が乗算され，（１０^D）₂とされることを特徴とする請求項１乃至１８何れか１項記載の方法。
21. 変換における固定小数点の計算が終了すると，桁数Ｄの行列の各数値は，右へシフトされることを特徴とする請求項１乃至２０いずれか１項記載の方法。
22. 変換における固定小数点の計算が終了すると，行列の各数値は，２を基数として１０の−Ｄ乗が乗算され，（１０^-D）₂とされることを特徴とする請求項１乃至２０何れか１項記載の方法。
23. 前記第１（Ｄ）及び第２の桁数が，同一であることを特徴とする請求項７乃至２２何れか１項記載の方法。
24. 行列は，少なくとも部分的に画像を表すことを特徴とする請求項１乃至２３何れか１項記載の方法。
25. 行列は，画像のＹ，Ｃｂ及びＣｒの１つを表すことを特徴とする請求項１乃至２４何れか１項記載の方法。
26. 前記ウェーブレット変換が，リフティングスキームを有するCohen-Daubechies-Feauveau（ＣＤＦ）５／３変換であることを特徴とする請求項１乃至２５何れか１項記載の方法。

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