JP2017146875A - 非線形有限要素解析方法及び該プログラム - Google Patents

Abstract

【課題】短時間で安定的に解析を行なうことができる非線形有限要素解析方法及び該プログラムを提供する。【解決手段】静的陰解法によって系の解析を行なう第１のプロセスと、第１のプロセスにより得られる解の収束が困難であるか否かを検証する第２のプロセスと、第２のプロセスにて収束が困難と判断した場合に、その時点での計算データに対して、静的陰解法に換えて静的陽解法によって解析を行う第３のプロセスと、第３のプロセスでの静的陽解法による計算データから、静的陰解法による解の収束が可能か否かを検証する第４のプロセスと、第４のプロセスにて収束が可能と判断した場合に、その時点での計算データに基づいて、前記第１のプロセスを行う。【選択図】図３

Description

本発明は、非線形有限要素解析方法及び該プログラムに関する。

従来の自動車には、ブレーキホース、ヒータホースなどのホース類や、パーキングワイヤなどのケーブル類が使用されている。これらのホース等は、周辺部品間の間隙を縫うように大きな曲げやねじりを行ないながら配置される。一方、自動車のサスペンションは、上下のストロークに伴って、これらのホース等に大きな曲げや捻じりを与えて追従させる。このような状況では、周辺部品と揺動するホース類が干渉しないようにレイアウトする必要がある。
しかしながら、開発初期段階のレイアウト検討では、周辺部品の取付位置や形状が変更される可能性が高い。このため、変更に応じてホース類のレイアウトを再検討する必要があった。
そこで、これまでシミュレーションを援用したレイアウト設計が行われてきた。
例えば設計者は、ホース類のレイアウト検討ツールを用いて、検討するレイアウト形状を簡便に設定する。
次に材料名、クランプ（継手）の種類と位置とを指定する。これにより、レイアウト検討ツール内部で梁要素を用いた非線形有限要素解析方法（Nonlinear Finite Element Method: NonlinearFEM 以下単にＦＥＭとも記す）に基づくモデルが自動作成される。
そして、ソルバによる計算結果がレイアウト検討ツールにて表示されて、変形形状や梁要素の断面力等の確認を行なうことができる。従来のレイアウト検討用ツール内では、幾何学的非線形性、材料非線形性を考慮したＦＥＭモデルに基づいて非線形方程式を陰解法を用いて反復法で解析が行われる。
単純な曲げが中心となる解析では、ホース類が大きく変形しても実物の変形状態に近似させた予測が行なえていた。
なお、この他に自動車の設計にシミュレーションを援用する方法も知られている（たとえば、特許文献１，２等参照）。

特開２０１６−４５４３号公報 特開２００５−２４１０１０号公報

しかしながら、ホース類が大きく捻じられながら曲げられる場合などでは、反復計算が収縮せずに途中で止まってしまう。このため、事前にレイアウト検討を行なえなかった。
反復法による計算によって収束させることが困難な領域では、外部から微小な入力が加わると変形状態が大きく変更されて物理系としては不安定な状態であると考えられる。
このような場合、陽解法を用いることで計算は可能となる。しかしながら、数値の安定性を確保するために、荷重増分を小さく設定しなければならない。このため、解析に必要とされる計算時間が増大してしまうといった問題があった。
本発明の課題は、短時間で安定的に解析を行なうことができる非線形有限要素解析方法及び該プログラムを提供することである。

本発明に係る非線形有限要素解析方法は、コンピュータに対して有限要素法によって系の特性の解を求める数値計算の実行を命令する非線形有限要素解析方法であって、静的陰解法によって系の解析を行なう第１のプロセスと、第１のプロセスにより得られる解の収束が困難であるか否かを検証する第２のプロセスと、第２のプロセスにて収束が困難と判断した場合に、その時点での計算データに対して、静的陰解法に換えて静的陽解法によって解析を行う第３のプロセスと、第３のプロセスでの前記静的陽解法による計算データから、前記静的陰解法による解の収束が可能か否かを検証する第４のプロセスとを有し、第４のプロセスにて収束が可能と判断した場合に、その時点での計算データに基づいて、第１のプロセスを行うものである。

このような構成によれば、非線形有限要素解析方法によって数値解析を行う際、静的陰解法による解の収束性を判定し、その判定結果に応じて静的陰解法と静的陽解法とを使い分ける。
これにより、計算精度を維持しつつ短時間で解を求めることができる。

本発明によれば、短時間で安定的に解析を行なうことができる非線形有限要素解析方法及び該プログラムが提供される。

座屈の概念を示すグラフ図である。 解の分岐の概念を示すグラフ図である。 本実施形態の非線形有限要素解析方法を説明するフローチャートである。 実施形態のハイブリッド解法と従来の解法とを比較のために示す表図である。

［個別の解析方法−静的陰解法］
従来静的な非線形現象の数理モデルである非線形方程式を解く手法として静的陰解法が主に使われている。
静的陰解法は、ある時間において力の平衡が取れるまでの解の予測値から開始し、Ｎｅｗｔｏｎ−Ｒａｐｈｓｏｎ法等の反復法で予測値を修正させながら解を求めていく方法である。
反復の中では幾何学的非線性や材料非線形性が考慮される。
静的陰解法は、求めたい時刻の物理量を正確に求める事ができる。また、この静的陰解法は、完全安定な時間積分法であり、増分量も大きく取れる。さらに、この静的陰解法は、計算時間も他の手法と比較して短時間で済むことが多い。

しかしながら、静的陰解法では、非線形性に起因して反復法によって収束させることが困難である場合がある。
図１は、座屈の概念を示すグラフ図である。
座屈が発生すると解曲線ａは、変曲点ａ１，ａ２を有して、変曲点ａ１，ａ２付近で接線勾配は急変する。このため、反復法によって非線形方程式の求解は困難なものとなる。

図２は、解の分岐の概念を示すグラフ図である。
非線形方程式の解に一意性はない。このため、解の分岐が起こりうる。
解曲線ｂの上に存在する点ｂ１と点ｂ２とは、異なる荷重に対して同じ変位を有する状態を示している。
このような状態は、たとえば、自動車に配策されたブレーキホースに微小な荷重が加えられるだけで異なる変位状態に落ち着いたり、薄板のスナップスルーのような解のモードが急変することが挙げられる。

このように非線形性の強い現象を数値解析する場合に、静的陰解法では計算途中で収束せずに計算を継続することができなくなる場合がある。

［個別の解析方法−静的陽解法］
このため、計算を最後まで安定して行える計算手法として静的陽解法がある。
静的陽解法では、反復法によらずに静的釣り合いを求めながら解を順次求めていく手法が取られる。
静的陽解法は、反復を繰り返すことなく要素ひずみや節点の回転量の増分などが許容範囲内に収まる範囲内で増分量を決定していく手法である。

この手法では、安定して最後まで解を求める事ができる。しかしながら、数値安定性の確保のための荷重増分を大きくとることが出来ない。このため、静的陰解法に比較して計算時間が増大してしまう傾向にある。
そのため、計算全体の中で静的陽解法を利用する部分は、最小限に留めるように工夫する必要がある。

[ハイブリッド解法]
そこで、静的陰解法と静的陽解法との利点を組み合わせて静的陰解法で求解出来る領域では静的陰解法を用いて求解を行い、静的陰解法では求解が困難な領域では静的陽解法を用いるというハイブリッド解法を示す。
図３は、本実施形態の非線形有限要素解析方法を説明するフローチャートである。
このフローチャートでは、まず、静的陰解法が用いられて求解が行なわれる。その後、非線形性が強く反復法による求解が行えなくなったと判断されると、静的陽解法に切り替えて求解を続行する。
その後、静的陽解法で求解中、非線形性が弱くなり、再び静的陰解法で求解可能であると判断されると静的陰解法に戻り、求解を続行する。以上の処理は、所要の計算時間内で行い、計算を終了するようにしてもよい。

すなわち、まず、図３中解析が開始されると、ステップＳ１では、静的陰解法によって系の解析が行なわれる（第１のプロセス）。
ステップＳ２では、第１のプロセスにより得られる解の収束が困難であるか否かが検証される（第２のプロセス）。
第２のプロセスにて収束できると判断された場合には、そのままで解析を継続する（ステップＳ２にてＮＯ）。

ステップＳ３では、求解が完了したか否かが判定される。求解が完了したと判定されない場合にはステップＳ１に戻り、静的陰解法による解析を継続する（ステップＳ３にてＮＯ）。求解が完了したと判定された場合（ステップＳ３にてＹＥＳ）は、処理を終了する。

また、第２のプロセスにて収束が困難と判断した場合（ステップＳ２にてＹＥＳ）には、ステップＳ４に処理を進める。

第２のプロセスにての収束の困難性の判断は、次のように行われる。
まず、予め設定された指定回数の反復計算を行い、収束しない場合は、時間増分（荷重増分）を縮小し（Ｃｕｔｂａｃｋ）、再度指定回数の反復計算を行い、収束値を求める。この操作を指定した回数繰り返しても収束値を求められない場合は、静的陰解法による求解はできないと判断して静的陽解法に切り替えるようにしている。

ステップＳ４では、その時点での計算データに対して、静的陰解法に換えて静的陽解法によって解析が行なわれる（第３のプロセス）。
ステップＳ５に処理が進むと、次のステップＳ５では、第３のプロセスでの静的陽解法による計算データから、静的陰解法による解の収束が可能か否かが検証される（第４のプロセス）。
第４のプロセスにて収束が可能と判断した場合には、その時点での計算データに基づいて、ステップＳ１に戻り、第１のプロセスを行うものである（ステップＳ５にてＹＥＳ）。

この実施形態では、静的陽解法のまま最後まで計算を継続することもできるが、計算時間を削減するために、静的陰解法への切り替えを行う。
切り替えの際、静的陰解法への切り替え後、すぐに反復法により収束が行えずに再び静的陽解法に戻ることがないようにする必要がある。
したがって、座屈点などの非線形性の強い領域は避けて切り替えを行うことが望ましい。
一般に静的陽解法では非線形性が増すと残差が増加していくことが知られている。そこでこの実施形態では、残差がある一定の値より小さくなった時点で静的陰解法へ切り替える事を一つの切り替え条件として採用する。
また、第４のプロセスにて収束できないと判断した場合には、ステップＳ６に処理を進める（ステップＳ５にてＮＯ）。

ステップＳ６では、求解が完了したか否かが判定される。求解が完了したと判定されない場合にはステップＳ４に戻り、静的陽解法による解析を継続する（ステップＳ６にてＮＯ）。求解が完了したと判定された場合（ステップＳ６にてＹＥＳ）は、処理を終了する。

また、収束が困難なものとなる典型例としては、座屈や解の分岐が考えられる。これらは、以下のように特徴づけられる。（１）座屈点では剛性行列の行列式はゼロとなる。（２）分岐点では剛性行列の固有ベクトルと荷重ベクトルとは直交する。以上のことから剛性行列の行列式、固有ベクトル、および残差に依存した切り替え判定値が設定される。

剛性行列の固有値、固有ベクトルを毎回計算にて求めることは、計算時間の増大につながる。このため、これらの剛性行列の固有値、固有ベクトルは、残差の値により算出するか否かを判断するようにしている。

上述してきたように、本実施形態の非線形有限要素解析方法およびプログラムでは、上記ハイブリッド解法を用いることにより、静的陽解法の使用を最小限に抑え、精度の低下を抑制しつつ、計算時間の増大を抑制することができる。
また、実施形態のハイブリッド解法を用いた手法によれば、静的陰解法と静的陽解法とを組み合わせることで収束しづらい解析対象の計算も安定的に行えて、自動車の構造などの解析を確実に行なうことができる。

[従来ソルバとの比較]
実施形態のハイブリッド解法を用いた手法の有用性を示すため、従来のソルバでは収束せずに終了してしまうモデルを用いて、静的陰解法、静的陽解法、および実施形態のハイブリッド解法の三つの手法で計算を行い、計算終了までの時間、刻み数を比較した。

図４は、従来の解法との比較のために示す表図である。
ここで、静的陰解法では、計算途中で収束せずに停止していることがわかる。静的陽解法では最後まで計算を行なえているが時間刻み幅小さくならざるを得ないためにインクリメント数が増加してしまう。このため、静的陽解法では、計算終了に至るまでの計算時間も増加していることがわかる。
これらに対して、実施形態のハイブリッド解法では、最後まで計算が行なえている。また、計算時間も、静的陽解法を単独で用いた場合と比較して大幅に短縮されていることがわかる。
以上のことから、実施形態のハイブリッド解法は、静的陰解法、静的陽解法と比較して優位性を有していると確認された。

１ クランプ
１ａ 端部
２ ホース
３ ユニバーサルジョイント
４ ストッパ
１０ ブラケット
１１ キャリパ

Claims (2)

1. コンピュータに対して有限要素法によって系の特性の解を求める数値計算の実行を命令する非線形有限要素解析方法であって、
   静的陰解法によって前記系の解析を行なう第１のプロセスと、
   前記第１のプロセスにより得られる前記解の収束が困難であるか否かを検証する第２のプロセスと、
   前記第２のプロセスにて収束が困難と判断した場合に、その時点での計算データに対して、前記静的陰解法に換えて静的陽解法によって解析を行う第３のプロセスと、
   前記第３のプロセスでの前記静的陽解法による計算データから、前記静的陰解法による解の収束が可能か否かを検証する第４のプロセスとを有し、
   前記第４のプロセスにて収束が可能と判断した場合に、その時点での計算データに基づいて、前記第１のプロセスを行う、ことを特徴とする非線形有限要素解析方法。
2. コンピュータに対して有限要素法によって系の特性の解を求める数値計算の実行を命令するプログラムであって、
   静的陰解法によって前記系の解析を行なう第１のプロセスと、
   前記第１のプロセスにより得られる前記解の収束が困難であるか否かを検証する第２のプロセスと、
   前記第２のプロセスにて収束が困難と判断した場合に、その時点での計算データに対して、前記静的陰解法に換えて静的陽解法によって解析を行う第３のプロセスと、
   前記第３のプロセスでの前記静的陽解法による計算データから、前記静的陰解法による解の収束が可能か否かを検証する第４のプロセスとを有し、
   前記第４のプロセスにて収束が可能と判断した場合に、その時点での計算データに基づいて、前記第１のプロセスを行う、ことを特徴とする非線形有限要素解析方法のプログラム。

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