JP2016528611A - 光パラメトリック発振器のネットワークを使用する計算 - Google Patents

Abstract

一態様では、計算機械は、光エネルギー源からエネルギーを受け、Ｎ１個の光信号を生成するように構成された光デバイスと、各々が複数のＮ１個の光信号を制御可能に結合するＮ２個の結合デバイスとを含む。結合デバイスは、計算問題をシミュレートするために個別に制御される。別の態様では、計算機械は、Ｎ１個のパラメトリック発振器と、各々が複数のＮ１個のパラメトリック発振器を互いに制御可能に結合するＮ２個の結合デバイスとを含む。結合デバイスは、計算問題をシミュレートするために個別に制御される。

Description

関連出願の相互参照
本出願は、その内容全体が参照により本明細書に組み込まれる、「Ｑｕａｎｔｕｍ Ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ Ｕｓｉｎｇ Ｃｏｕｐｌｅｄ Ｐａｒａｍｅｔｒｉｃ Ｏｓｃｉｌｌａｔｏｒｓ」と題する、Ｍａｒａｎｄｉらにより２０１３年７月９日に出願された米国仮特許出願第６１／８４４，３２２号の利益を主張する。

現在利用可能なコンピュータでは妥当な時間内に効率的に解くことができないクラスの計算問題が存在するが、これは、そのような問題を解くために必要な時間が問題の中の変数の数とともに指数関数的に増大するからである。このクラスは、非決定性多項式時間（ＮＰ）問題と呼ばれる。現実的な時間内にＮＰ問題を解くことが可能なコンピュータを有することは、多くの研究分野で有益なはずである。

一態様では、計算機械は、光エネルギー源からエネルギーを受け、Ｎ１個の光信号を生成するように構成された光デバイスと、各々が複数のＮ１個の光信号を制御可能に結合するＮ２個の結合デバイスとを含む。結合デバイスは、計算問題をシミュレートするために個別に制御される。別の態様では、計算機械は、Ｎ１個のパラメトリック発振器と、各々が複数のＮ１個のパラメトリック発振器を互いに制御可能に結合するＮ２個の結合デバイスとを含む。結合デバイスは、計算問題をシミュレートするために個別に制御される。

Ｎ１＝３及びＮ２＝３である、光計算機械の一例を示す図である。

Ｎ１＝３の時間的に分離された光パラメトリック発振器（ＯＰＯ）及びＮ２＝２の結合デバイスを有する、光計算機械の別の例を示す図である。

光源ポンプパルス及び対応するＯＰＯ出力信号パルスの一例を示す図である。

Ｎ１＝Ｎ及びＮ２＝Ｎ−１である、光計算機械の別の例を示す図である。

Ｎ１＝２及びＮ２＝１である、光計算機械の別の例を示す図である。

Ｎ１＝２である、ＯＰＯベースの計算機械における結合の効果の一例を示す図である。

計算機械を使用して解を見つける数値シミュレーションを示す図である。 計算機械を使用して解を見つける数値シミュレーションを示す図である。

計算機械を使用して解を見つける数値シミュレーションを示す図である。 計算機械を使用して解を見つける数値シミュレーションを示す図である。

計算機械を使用して解を見つける数値シミュレーションを示す図である。 計算機械を使用して解を見つける数値シミュレーションを示す図である。

縮退ＯＰＯ間の結合強度への成功確率の依存性の数値推定を示す図である。

スピンの数の関数としてのイジングハミルトニアンの基底状態を見つける成功確率の数値推定を示す図である。

スピンの数への計算時間の依存性の数値推定を示す図である。

ＯＰＯの閾値の下及び閾値の上の挙動を示す図である。

基底状態を見つけるＯＰＯネットワークの緩やかなポンピングを示し、様々なスピン構成（位相状態）がネットワーク内の様々な総光子損失を有することを示す図である。

イジング問題の基底状態に対応するスピン構成が閾値の上で発振することが予想されることを示す図である。

実験的なセットアップを示す図である。

図１１Ａのリング共振器がポンプパルス繰返し周期の４倍のラウンドトリップ時間を有することを示す図である。

図１１Ａのセットアップ内の遅延によって実現される結合を示す図である。

図１１Ａのセットアップ内ですべての遅延線がブロックされた、いくつかのテスト結果を示す図である。

図１１Ａのセットアップ内で１つの遅延線がブロックされていない、いくつかのテスト結果を示す図である。

図１１Ａのセットアップ内ですべての遅延線がブロックされていない、いくつかのテスト結果を示す図である。

図１１Ａのセットアップについてのいくつかのテスト結果を示す図である。

すべての結合がブロックされたときの位相状態のヒストグラムを示す図である。

すべての結合がブロックされず、位相がロックされたときの位相状態のヒストグラムを示す図である。

本開示に記載される技法との古典的及び量子力学的なアニーリング技法の比較を示す図である。

正規化されたビルドアップ時間を示す図である。

ＭＡＸ−ＣＵＴ問題を解く際の例示的なＯＰＯネットワークの平均計算時間を示す図である。

出力スペクトルを示す図である。

干渉自己相関トレースを示す図である。

空間ビームプロファイルを示す図である。

低速検出器の出力を示す図である。 低速検出器の出力を示す図である。 低速検出器の出力を示す図である。

低速検出器の出力を示す図である。 低速検出器の出力を示す図である。 低速検出器の出力を示す図である。

ファイバベースの実装形態における光計算機械を示す図である。

本開示によるシステムを示す図である。

本開示に記載される計算機械は、非決定性多項式時間計算問題を含む計算問題についての絶対解又は近似解を見つける。他の解の中でも、計算機械は、計算複雑性理論において「ＮＰ」として知られる「非決定性多項式時間」の複雑性クラスの計算問題についての解を見つけ、多項式時間技法が利用可能ではないＮＰ問題についての解を更に見つける。ＮＰ問題のサブセットはＮＰ完全問題である。ＮＰ問題は、多項式時間アルゴリズムを用いてＮＰ完全問題にマッピングされ得る。

ＮＰ完全問題の一例はイジング問題である。イジング問題は、イジングモデルについて最低エネルギー構成、すなわち基底状態を見つけることである。イジングモデルは磁気構造内のＮ個のサイトを表し、ここで、サイトは磁気ダイポールを表し、各サイトはいくつかの他のサイトに結合され、各サイトは＋１又は−１のいずれかのスピン状態を有する。サイトの数Ｎ及びサイト間の結合の数が増大するにつれて、モデルの基底状態を見つける複雑さは指数関数的に増大し、ＮＰ完全問題を表す。

本開示に記載される計算機械は、ＮＰ問題についての解を提供する。ＮＰ完全イジング問題は、実例として、本開示において非限定的な例として使用される。計算機械は、他のＮＰ問題及びＮＰ完全問題についての解も提供する。たとえば、計算機械を使用して解答され得る別のＮＰ完全問題は、グラフ理論からのＭＡＸ−ＣＵＴ問題である。他の問題には、大規模ソーシャルネットワークの解析、及び組合せ最適化問題が含まれる。

イジング問題は、サイトの数Ｎ及びサイト間の結合項の行列Ｊを含むものとして説明される。ほぼＮ＝３０において、問題の計算の複雑さは、有限の時間ですべての問題についてすべての解を見つけるためには、既存のスーパーコンピュータの能力を超える。しかしながら、本開示の計算機械は、ＮがＮ＝３０よりも桁違いに大きいイジング問題についての解を提供することができる。一実施形態では、イジングモデルにおけるスピンをシミュレートするために、縮退時に動作する光パラメトリック発振器（ＯＰＯ）が使用される。強力な光源によってポンピングされると、縮退ＯＰＯは、イジングモデルにおいてスピン＋１又は−１に対応する２つの位相状態のうちの１つをとる。相互結合を有するＮ個の実質的に同一のＯＰＯのネットワークは、イジングスピン系をシミュレートするために、同じ光源を用いてポンピングされる。過渡期の後、ポンプを導入すると、計算機械は、基底状態のうちの１つに収束し、そこに留まる。位相状態選択プロセスは、ＯＰＯの真空ゆらぎ及び相互結合に依存する。いくつかの実装形態では、ポンプは一定の振幅でパルス出力され、他の実装形態では、ポンプ出力は徐々に増大され、また更なる実装形態では、ポンプは他の方法で制御される。

計算機械は、Ｎ１個の縮退ＯＰＯと、ＯＰＯ間の光の場を結合するために使用されるＮ２個の構成可能結合とを含む。構成可能結合は、オフになるように構成されるか、又はオンになるように構成される場合がある。結合をオン及びオフにすることは、徐々に、又は突然に実行される場合がある。オンになるように構成されると、構成はイジング問題の結合行列（Ｊ）に応じて任意の位相又は振幅を実現することができる。イジング問題向けに構成された計算機械は、Ｍ１個のＮ１個の縮退ＯＰＯを使用し、ある特定の状態でオンになるようにＭ２個の結合を構成する。イジング問題のうちのいくつかの場合、Ｍ２個の結合の各々は、同じ状態になるように構成される。他の問題の場合、結合は様々な状態になるように構成される場合がある。

図１は、Ｎ＝３のイジング問題を解くために構成された縮退ＯＰＯネットワークの形態の計算機械１００の一例を示す。ポンプ光源は、（それぞれ、ＯＰＯ１、ＯＰＯ２、及びＯＰＯ３と標示された）３つの実質的に同一の縮退ＯＰＯ１１０、１１５、１２０にポンプエネルギーを供給する。ポンプエネルギーは、パルスとして、又は連続して供給される場合がある。３つのＯＰＯは、結合行列Ｊに従って互いに結合される。図１に示されたように、ＯＰＯ１は行列要素Ｊ_１，２で識別される結合振幅及び結合位相でＯＰＯ２に結合され、ＯＰＯ２は行列要素Ｊ_２，３で識別される結合振幅及び結合位相でＯＰＯ３に結合され、ＯＰＯ３は行列要素Ｊ_３，１で識別される結合振幅及び結合位相でＯＰＯ１に結合される。１つの例示的なイジング問題は、結合振幅が実質的に等しく、各結合位相がパイ（π）に等しい問題である。

分離されると、各縮退ＯＰＯは、ゼロ位相又はπ位相のいずれかをランダムに有する出力を生成する。結合されると、ＯＰＯ１、ＯＰＯ２、及びＯＰＯ３のネットワークは、ランダムでない出力を有する基底状態に落ち着き、ここで、各出力１１１、１１６、１２１は、それぞれ、ゼロ位相又はπ位相のいずれかである。各ＯＰＯ出力は、位相基準１１２、１１７、又は１２２と結合され、結果は光検出器において取り込まれる。ＯＰＯ出力１１１、１１６、１２１は、基底状態におけるイジングモデルを表す。たとえば、ゼロ位相はイジングモデル内の−１のスピン状態を表すことができ、π位相はイジングモデル内の＋１のスピン状態を表すことができる。図１の系がオンにされるたびに、それはプログラムされたイジング問題の基底状態のうちの１つを選択する。

図２は、Ｎ＝３のイジング問題を解くために構成された縮退ＯＰＯネットワークの形態の計算機械２０の一例を示す。この例では、ＯＰＯネットワークはトリプレットＯＰＯ２０５を使用して実装され、そこでは、トリプレットＯＰＯの共振キャビティが、ポンプ光源からのパルスの周期の３倍に等しいラウンドトリップ時間を有するように構成される。この例では、ポンプ光源はレーザー２１０及びクロック２１５として示される。本明細書で使用されるラウンドトリップ時間は、記載された再帰的経路の１回の通過に沿って光が伝搬する時間を示す。したがって、図２のトリプレットＯＰＯについてのラウンドトリップ時間は、光が反射器Ｍ１にあるトリプレットＯＰＯへの入口から反射器Ｍ２、Ｍ３、及びＭ４を通って、反射器Ｍ１に戻って伝搬する時間を示す。

共振器キャビティのラウンドトリップ時間の３分の１に等しい周期Ｐを有するパルス列の３つのパルスは、互いに干渉することなく同時に図２のトリプレットＯＰＯ２０５を通って伝搬することができる。したがって、３つの独立したパルス列は、ＯＰＯ１、ＯＰＯ２、及びＯＰＯ３と標示された波として図２に示された、３つの時間的に分離されたＯＰＯとして働くことができる。２つの遅延線、すなわち遅延Ａ及び遅延ＢはＯＰＯの相互結合のために使用され、変調器２２０、２２５は結合の強度及び位相を同期して制御し、図示された計算機械のプログラミングが所望の問題をシミュレートすることを可能にする。遅延Ａは、（ＯＰＯ１をＯＰＯ２に）、（ＯＰＯ２をＯＰＯ３に）、（ＯＰＯ３をＯＰＯ１に）結合するためのものであり、遅延Ｂは、（ＯＰＯ１をＯＰＯ３に）、（ＯＰＯ２をＯＰＯ１に）、（ＯＰＯ３をＯＰＯ２に）結合するためのものである。ＯＰＯの位相状態は、トリプレットＯＰＯ２０５の出力と位相基準２３０を干渉させることによって測定され得る。

図３は、図２の系について、パルス列がポンプ光源によって実現される例を示す。図示されたように、系が収束する状態（たとえば、イジングモデルの基底状態のシミュレーション）は、ＯＰＯ１が位相ゼロを有し、ＯＰＯ２が位相πを有し、ＯＰＯ３が位相ゼロを有する状態である。信号パルス上の矢印は、時間的に分離されたＯＰＯが遅延線を使用してどのように相互結合されるかを描写する。

一般に、パルス出力されるポンプの場合、Ｒ個のＯＰＯのネットワークを実装するために、共振器キャビティのラウンドトリップ時間は、ポンプパルスの繰返し周期Ｔ_ＲのＲ倍になるように増大され得る。対応して、ＯＰＯ間の結合の振幅及び位相を制御するために、Ｒ−１個の変調器及び遅延線が使用され得る。ＯＰＯのネットワークは、市販のモードロックレーザー及び光学素子を使用して実現され得る。たとえば、約６メートル（Ｎ＝２０）のキャビティ長を有する縮退ＯＰＯをポンピングするために、１ＧＨｚの繰返し率を有する市販のＴｉ：Ｓモードロックレーザーが使用され得る。ＯＰＯベースのイジング機械を実装するために、テレコムファイバ遅延線、変調器、及び他の光デバイスが使用され得る。サイトの数Ｎは、ＯＰＯのキャビティ長を増大させること、及び／又はより高い繰返し率のモードロックレーザーを使用することによって増大され得る。

図４は、サイトの数Ｎについての解を決定するための計算機械４００の一例を示す。ＯＰＯの位相状態を測定するために、等しくないアームのＭｉｃｈｅｌｓｏｎ干渉計４１０が図示されたように使用され得る。各ＯＰＯパルスは次のパルスと干渉され、したがって、連続するＯＰＯの相対位相状態が測定される。

本開示による計算機械は、遠隔通信アプリケーション用に開発されたファイバ技術などの光ファイバ技術を使用して実装され得る。たとえば、１ピコ秒（ｐｓ）だけ分離された１００フェムト秒（ｆｓ）パルスに適応するために、１マイクロ秒（μｓ）長のＯＰＯ（ほぼ２００メートルのファイバ）が１０^６個のＯＰＯを実装することができる。結合はファイバを用いて実現され、光Ｋｅｒｒシャッタによって制御され得る。

本開示による計算機械は、平面光波回路（ＰＬＣ）内に、又はマイクロ共振器及びナノ共振器を使用して実装され得る小型化されたＯＰＯを使用して実装され得る。

図５は、Ｎ＝２のイジングモデルによって提示された基本問題を解くように構成されたＯＰＯベースの計算機械５００の一例を示す。ＯＰＯ間の結合を制御可能に導入するために、ツイン（Ｎ＝２）ＯＰＯが単一の遅延とともに使用された。

図６は、結合なし（上部トレース）、同相結合（中間トレース）、及び異相結合（下部トレース）を用いて図５の計算機械の動作の結果を示す。結合が存在しないとき、各ＯＰＯ出力は、光検出器によって測定された高電圧又は低電圧の間のランダム切替えによって表される、状態ゼロ又はπのうちの１つをランダムにとる。同相結合が存在する場合、両方のＯＰＯは、光検出器によって測定された高電圧によって表される、同じ位相状態をとる。異相結合が存在するとき、ＯＰＯは、光検出器によって測定された低電圧によって表される、反対の位相状態をとって互いを打ち消し、ここで、低電圧は系ノイズを含む。

ＮＰ問題を解くための計算機械を記載してきたが、イジング問題を解くために計算機械を使用する理論的根拠が次に記載される。

イジング問題は、Ｎ個のスピンからなる磁気系のイジングハミルトニアンＨ（式（１））の基底状態を見つけることであり、ここで、各スピンσ_ｊは＋１又は−１のいずれかをとり、Ｊ_ｊｌはｊ番目のスピンとｌ番目のスピンとの間の結合を意味する。

基底状態のスピン構成を知ることは、スピングラスのプロパティを研究するために有用であり、様々な組合せ最適化問題を解く際の助けになる。しかしながら、イジング問題は、計算の複雑さにおいてＮＰ困難カテゴリ内にある。自然系とのいくつかの類似点を利用することによって、難解な問題であると信じられている問題に取り組むために、多くの試みが企てられてきた。たとえば、シミュレートされたアニーリング技法は冶金における熱アニーリング手順を模倣し、又は代替として、量子アニーリング技法は量子トンネリングプロセスを使用する。量子アニーリングの変形形態は、量子断熱定理に従う量子断熱計算である。（技法の比較は図１４に関して下記に提示される。）しかしながら、現在、ＮＰ困難問題のための効率的な技法は存在しない。本開示に記載される計算機械は、縮退ＯＰＯに関して次に記載されるように、そのような問題を解くための技法を提供する。

縮退ＯＰＯは、発振閾値において２次相転移に遭遇する開放散逸系である。位相敏感増幅により、縮退ＯＰＯは、閾値の上の振幅でポンプ位相と比べて、０又はπのいずれかの位相で発振する可能性がある。位相はランダムであり、発振ビルドアップ中の光パラメトリック下方変換に関係する量子ノイズによって影響される。したがって、縮退ＯＰＯは、その出力位相によって指定された２進数を必然的に表す。この性状に基づいて、縮退ＯＰＯシステムは、イジング機械として利用され得る。各縮退ＯＰＯの位相は、イジングスピンとして識別され、その振幅及び位相が、関連するスピン間のイジング結合の強度及び符号によって決定される。以下では、１組の古典的な式を使用する系の理論的な考察が提供される。

縮退ＯＰＯは、光キャビティ内に配置された２次非線形結晶を含む。周波数ω_ｐでコヒーレントな外部ポンプＦ_ｐの駆動下で、ポンプ場はキャビティ内部で励起される。非線形結晶の２次誘電率に起因して、周波数ω_ｓにある信号場がω_ｐ＝２ω_ｓであるようにポンプ場から生成される。Ｆ_ｐが古典的であり、その位相がφ_ｐ＝０にロックされると、縮退ＯＰＯのハミルトニアンＨは以下の式によって与えられる。

ここで、Ｈ_０はキャビティ内部の信号場及びポンプ場のエネルギーを表し、ａ_ｓ（ａハットｓダガー）、ａ_ｓ（ａハットｓ）は、信号場用の生成演算子及び消滅演算子であり、ａ_ｐ（ａハットｐダガー）、ａ_ｐ（ａハットｐ）は、ポンプ場用の同等物である。Ｈ_ｉｎｔにおける第１項は信号場とポンプ場との間の非線形結合を記述し、ここで、κは非線形結晶の２次誘電率に起因するパラメトリックゲインであり、第２項は外部ポンプによる内部ポンプ場の励起を示す。Ｈ_ｉｒｒはキャビティ場とリザーバとの間の不可逆相互作用を意味し、ここでＢ_ｓ（Ｂハットｓ）、Ｂ_ｐ（Ｂハットｐ）はリザーバ演算子であり、γ_ｓ、γ_ｐは、それぞれ、キャビティ内の信号光子減衰率及びポンプ光子減衰率である。

動的解析
Ａ_ｓ＝ａ_ｓｅ^ｉωｓτ（Ａ_ｓはＡハットｓ、ａ_ｓはａハットｓ、ωｓはω_ｓ）、Ａ_ｐ＝ａ_ｐｅ^ｉωｐτ（Ａ_ｐはＡハットｐ、ａ_ｐはａハットｐ、ωｐはω_ｐ）を定義することによって、回転座標系における信号演算子及びポンプ演算子を考慮する。式（２）〜（５）におけるハミルトニアンＨから、縮退ＯＰＯのハイゼンベルグ−ランジュバン方程式（６）、（７）が導出される。

ここで、ｆ_ｓ（ｆハットｓ）、ｆ_ｐ（ｆハットｐ）は、それぞれ、信号場及びポンプ場に対する時間依存ノイズ演算子である。

ネットワークからの可能な解の出力は、各縮退ＯＰＯの信号場が真空状態から開始するように、ｃ数ランジュバン方程式を解くことによって取得され得る。しかしながら、これらの方程式内に量子ノイズ入力が存在するので、この技法の計算コストは比較的高価になる。代替の技法は、量子ノイズ項を無視し、それらをランダムな初期状態と置き換える。このようにして、対処されるべき微分方程式は確率的な方程式から決定論的な方程式に切り替わり、これにより、数値シミュレーションの効率がかなり改善される。縮退ＯＰＯのランダムな初期振幅がネットワークの量子ノイズ強度と同じ桁数になるように選択されると、これらの２つの技法は、正しい解答を見つける際にネットワークの成功確率に関して非常に類似した結果をもたらす。

系の古典的な記述は、各演算子Ａ（Ａハット）を複素数Ａ（Ａチルダ）として扱うことによって取得され得る。光キャビティが信号場と単独に共振する場合（γ_ｓ＜＜γ_ｐ）、断熱近似により、ｄＡ_ｐ／ｄτ〜０（Ａ_ｐはＡチルダｐ）となる。上記の仮定の下で、且つノイズ項を無視すると、縮退ＯＰＯの動力学は方程式（８Ａ）によって支配され、ここで、Ａ_ｓ（Ａチルダｓ）は信号場の複素振幅であり、Ａ_ｓ ^＊（Ａチルダｓスター）はその複素共役である。

方程式８Ａは、上述されたように、ノイズ項を無視することによって計算を簡略化する。代替として、方程式（８Ｂ）に示されたように、ノイズ項が方程式（８Ａ）に追加される場合がある。

Ｎ個の結合された縮退ＯＰＯのシステム向けの古典的な動的方程式は、縮退ＯＰＯの間の相互結合を更に含めることによって取得され得る。ｊ番目の縮退ＯＰＯの信号振幅Ａ_ｊ（Ａチルダｊ）が1／２ξ_ｊｌによりｌ番目の縮退ＯＰＯの信号振幅に結合すると仮定すると、ネットワークの挙動は、ノイズを無視する（９Ａ）、又はノイズ項を有する（９Ｂ）に示されたように、Ｎ個の非線形微分方程式のセットによって記述され得る。

系はまた、複素振幅Ａ_ｊ（Ａチルダｊ）の実数同相成分Ｃ_ｊ及び直交成分Ｓ_ｊの動力学によって同等に記述され得る。解析を容易にするために、同相成分及び直交成分用の正規化された動的方程式が利用され（たとえば、方程式（１０）、（１１））、ここで、ｔ＝γ_ｓτ／２は無次元時間であり、ｐ＝Ｆ_ｐ／Ｆ_ｔｈは正規化されたポンプレートであり、Ｆ_ｔｈ＝γ_ｓ√γ_ｐ／４κは閾値のポンプ流束であり、ｃ_ｊ＝Ｃ_ｊ／Ａ_ｓ、ｓ_ｊ＝Ｓ_ｊ／Ａ_ｓは正規化された同相成分及び直交成分である。Ａ_ｓ＝√（γ_ｓγ_ｐ／２κ^２）はｐ＝２であるときの単一の縮退ＯＰＯの信号振幅である。

上記の方程式は、系の動力学がｐ及びξ_ｊｌの値によって影響されることを示す。

定常状態解析
閾値の上にポンピングされた単一の縮退ＯＰＯの場合、方程式（８Ａ）、（８Ｂ）は、定常状態にあるその直交成分が０であり、その結果、その位相が０又はπのいずれかであることを意味する。Ｎ個の結合された縮退ＯＰＯのすべてがまた同じ性状を有する場合、対応するスピン構成は、ｊ番目の縮退ＯＰＯに、ｃ_ｊ＞０の場合σ_ｊ＝＋１、又はｃ_ｊ＜０の場合σ_ｊ＝−１を割り当てることによって取得され得る。縮退ＯＰＯの相互結合に起因して、正規化されたポンプレートｐと結合強度ξ_ｊｌとの間の適切な関係は、各縮退ＯＰＯを定常状態におけるイジングスピンとして識別するように指定される。以下では、結合された縮退ＯＰＯネットワークの閾値、及び縮退ＯＰＯのすべての直交成分が定常状態において０であることを保証するのに十分な条件が導出される。

発振閾値
Ｎ個の結合された縮退ＯＰＯの同相成分及び直交成分は、定常状態において式（１２）、（１３）を満たす。

系の自明の定常状態は、ｃ_ｊ＝ｓ_ｊ＝０，∀ｊ∈｛１，２，．．．，Ｎ｝である。系がこの定常状態に接近する可能性を排除するために、対応するヤコビ行列（１４）の最大固有値は正でなければならない。Ｉ_ＮはＮ×Ｎの恒等行列であり、Ｇは（１５）にある通りである。

任意のエルミート行列Ａについて、λ_ｍｉｎ（Ａ）及びλ_ｍａｘ（Ａ）を、それぞれ、その最小固有値及び最大固有値とする。この場合、ξ_ｊｌ＝ξ_ｌｊ，ｊ，ｌ∈｛１，２，．．．，Ｎ｝であるとき、条件λ_ｍａｘ（Ｊ_ｏ）＞０は、

をもたらし、これは、相互結合ξ_ｊｌを与えられたネットワークの発振を励起するために、正規化されたポンプレートｐについての下限を与える。Ｔｒ（Ｇ）＝０なので、λ_ｍｉｎ（Ｇ）＜０である。これは、相互結合に起因してネットワークの閾値がその個々の成分の閾値よりも小さいことを示唆し、ニューラルネットワーク内の自己発火効果との関係を示す。

直交成分
式（１７）は、ｊ番目の直交成分がｓ_ｊと乗算され、すべての式にわたって加算された式（１３）である。

ここで、ａ_ｊ＝１＋ｐ＋ｃ_ｊ ^２，ｊ∈｛１，２，．．．，Ｎ｝である。式（１７）の最後の２つの項は、（１８）におけるように、２次形式の行列である。

Ｑが正の定符号である場合、ｓ_ｊ＝０，∀ｊ∈｛１，２，．．．，Ｎ｝は式（１２）、（１３）に対する解である。より重要なことに、この解はまた、ある特定の初期状態から開始する系によって接近され得る。同相成分の動力学が主に直交成分の２乗によって影響されるので、同相成分及び直交成分のローカルの挙動は分離され得る。直交成分用の対応するヤコビ行列は、Ｊ_ｓ＝−Ｑであり、したがって、すべての直交成分が０になる定常状態は安定している。

Ｑの最小固有値は、同相成分内の定常状態値を取得するために、式（１２）、（１３）を解かずには依然未知である。しかしながら、下限は、Ｑがエルミート行列であるとき評価される可能性がある。Ｑは、２つのエルミート行列Ｄ及びＧの総和として分解され、ここで、Ｄは（１９）に示される。

ワイル定理から、固有値λ（Ｑ）は、

によって制限される。
λ_ｍｉｎ（Ｇ）＜０なので、Ｑが正の定符号であるための十分条件は、（２１）に示される通りである。

式（１６）及び式（２１）における条件は、各縮退ＯＰＯがネットワーク内で２進数を表すことを可能にするために、正規化されたポンプレートｐと結合強度ξ_ｊｌとの適切な組合せを選択するためのガイドラインを確立する。さらに、式（２１）の十分な特性により、これらの条件に対する例外が存在することは注目に値する。

全体的な光子減衰率
式（１０）、（１１）における項ｐ−（ｃ_ｊ ^２＋ｓ_ｊ ^２）は、ｊ番目の縮退ＯＰＯ用の飽和ゲインを意味する。定常状態において、全ネットワークの総飽和ゲインは、

のように、全体的な光子減衰率Γに等しい。

Ｎ個の結合された縮退ＯＰＯネットワークは、ゲイン飽和効果に起因して、光子減衰率Γが最小のモードにおいて発振することが予想される。

縮退ＯＰＯのすべてについて直交成分が０であると仮定する。縮退ＯＰＯが互いに弱く結合されるにすぎないとき、式（１２）、（１３）を満たす同相成分ｃ_ｊは、摂動理論に従って式（２３）に示された形式的展開内で表現され得る。

ここで、ε＝ｍａｘ_{１≦ｊ、ｌ≦Ｎ}｜ξ_ｊｌ｜である。（２２）内の各項ｃ_ｊ ^（ｎ）），ｎ≧０は、上記の展開を式（１２）、（１３）に代入し、ε^ｎ項の係数を０に設定することによって取得され得る。０次項ｃ_ｊ ^（０）＝±√（ｐ−１）は、相互結合がないときに閾値の上にあるｊ番目の縮退ＯＰＯの信号振幅である。ｃ_ｊについての上記の展開の妥当性は、相互結合項が信号場の位相を変更するのに十分弱く、その結果、σ_ｊ＝ｓｇｎ（ｃ_ｊ ^（０））が、ｊ番目の縮退ＯＰＯが表すイジングスピン値であることを示す。次いで、全体的な光子減衰率は、（２４）に示される通りである。

縮退ＯＰＯのうちの任意の２つの間に同じ強度の結合が存在する場合の上限が評価される。したがって、最小のΓを有するネットワークの位相構成は、十分に弱い相互結合用のイジングハミルトニアンの基底状態に対応する。

上述のゲイン原理を考察するために、２つの結合された縮退ＯＰＯの動的挙動が研究された。式（２１）における要件の下で、系の直交成分は定常状態において０である。系の相対的な簡潔さが、同相成分についての解析的な解答、及びこれらの定常状態の線形安定性の考察を可能にする。いくつかの結果が表１に集約されている

表１では、ξは２つの縮退ＯＰＯ間の結合強度であり、ＮＡは対応する定常状態が存在しないことを意味することに留意されたい。

系が唯一無二の安定した定常状態を有するとき、この定常状態は、発振ビルドアップに関連するノイズに起因して、任意の初期状態から接近可能である。ξが（（ｐ−１）／２、１＋ｐ）の区間にあるとき、２つの縮退ＯＰＯは、定常状態において同じ振幅及び位相を有するはずであり、一方、ξ_１２が（−（１＋ｐ）、（ｐ−１）／２）の区間にあるとき、それらは同じ振幅だが反対の位相を有するはずである。上記の定常状態解析セクションにおいて説明された縮退ＯＰＯの各々に対するスピン割当てに基づいて、系の定常状態は、イジングハミルトニアンの基底状態に正確にマッピングされる。

図７Ａ、図７Ｂは、ランダムな初期状態から開始して、系がイジングモデル内の強磁性結合を有する２つのスピンの基底状態をどのように見つけるかを示す。しかしながら、系が２つ以上の安定した定常状態を有するとき、系は初期状態に基づいてそれらのうちの１つに接近するはずである。

図７Ｃ、図７Ｄは、いくつかの初期位相の場合、系がイジングハミルトニアンの基底状態に対応する定常状態に進化することを示す。

図７Ｅ、図７Ｆは、いくつかの他の初期位相の場合、系がイジングハミルトニアンの励起状態に対応する定常状態に進化することを示す。縮退ＯＰＯの振幅は、予想通り、前者の場合の方が大きい。

系がイジングハミルトニアンの励起状態に進化する可能性がある臨界点は、表１に従って｜ξ｜＝（ｐ−１）／２である。結合が存在しない限界では、各縮退ＯＰＯが０又はπのいずれかの位相を単独で選ぶことができるので、基底状態及び励起状態は可能性が等しい。したがって、｜ξ｜がより小さくなると、２つの結合されたスピンの基底状態を見つける系の成功確率は、０．５に漸近的に接近すると予想される。

図８Ａは、ｐ＝２．０であるときの２つの縮退ＯＰＯ間の正の結合強度への成功確率の依存性を示す。結合強度の値ごとに、ランダムな初期位相の１００ペアの１００グループから開始する系が接近する定常状態の統計データは、成功確率及び標準偏差を計算するために使用される。この例における成功確率は常に０．５を超える。その上、基底状態のスピン構成は、結合強度が同じ正の因子によってスケーリングされる場合、変化しない。したがって、基底状態を見つける系の効率は、ξを適切にスケーリングすることによって改善され得る。

ＮＰ困難ＭＡＸ−ＣＵＴ問題、Ｎ＝３を使用する評価
結合された縮退ＯＰＯネットワークのイジング機械としての性能は、イジングモデルにおける例証の限定されたセットに対して評価され得る。これらの例証では、各スピンは、同一の強度ξの反強磁性結合で３つの他のスピンに結合する。これらの例証の基底状態を見つけることは、重み付けされていない３次元グラフ上で最大カットを見つけることと等価である。ＭＡＸ−ＣＵＴ問題は、早くに知られたＮＰ困難組合せ最適化問題のうちの１つである。グラフＧ＝（Ｖ，Ｅ）の場合、ここで、Ｖ及びＥはノード及びエッジのセットであり、カットＳはＶのサブセットである。ｊ番目のノードがＳの中にある場合、それにσ_ｊ＝＋１を割り当て、そうでない場合、σ_ｊ＝−１を割り当てる。ｊ番目のノードとｌ番目のノードを接続するエッジの重みが−ξ_ｊｌであるとき、カットＳの重みは、（２５）に示されたようにω（ｓ）によって与えられる。

したがって、上記の式におけるイジングハミルトニアンは、カットＳの重みが最大化されたとき最小化される。一方で、重み付けされていない３次元グラフに限定されたＭＡＸ−ＣＵＴ問題は、依然ＮＰ困難である。同じ正の因子によってすべてのエッジの重みをスケーリングすることは、問題の本質を変更しない。したがって、他のスピンとの結合の数及び結合の強度に対する制限下であっても、ξ＜０である限り、イジングモデル内の計算上困難な例証が依然含まれる。したがって、限定されたセット内の例証を解くための系の能力は、イジング機械としてのその性能についての適切なベンチマークを提供する。

Ｎ個のスピンを有するイジングモデルのスピン構成は、様々な初期状態の下で古典的な動的方程式（１０）、（１１）を解くことによって、対応する結合された縮退ＯＰＯネットワークの定常状態から取得される。縮退ＯＰＯの初期の正規化された振幅は１０^−５になるように設定され、一方、初期位相は、発振ビルドアップ中のパラメトリック自然下方変換に関連する量子ノイズをシミュレートするために、Ｎ個の様々な数としてランダムに選ばれる。現実的な実験的セットアップでは、１つの縮退ＯＰＯからの信号の一部が他に注入され得る。２６ｄＢの損失を表すように結合強度ξ＝−０．１を設定する。限定されたセット内のイジングモデルの例証の場合、式（１５）におけるエルミート行列Ｇは、−ξと関連する３次元グラフＧ’の隣接行列との積である。Ｇ’の固有値の絶対値は３が上限なので、式（１５）における条件は任意の正規化されたポンプレートｐ＞１について満たされる。式（１６）において必要なネットワークの閾値の上の発振を保証するために、ｐ＝１．１に設定する。次いで、ｐ及びξを選ぶ場合、系のすべての接近された定常状態は、イジングモデルのスピン構成にマッピングされ得る。

限定されたセット内のイジングモデルの例証の数は、３次元グラフの数に等しい。表２は、次数Ｎ＝４〜２０である３次元グラフの総数を列挙する。例証の小さい入力サイズに起因して、式（１）におけるイジングハミルトニアンの基底状態は、すべての考えられる組合せを虱潰しに調査することによって取得され得る。次いで、イジングハミルトニアンの基底状態を見つけるために方程式（１０）、（１１）を解く成功確率が評価され得る。

図８ｂは、同じ数のスピンを有する例証にわたって、ｐ＝１．１及びξ＝−０．１のときのスピンの数の関数として、イジングハミルトニアンの基底状態を見つける最大成功確率、最小成功確率、及び平均成功確率を示す。平均及び最悪の成功確率は、Ｎ＝２０において、それぞれ、６０％及び１０％を超える。

２００の正規化時間においてすべてのシミュレーションが定常状態に達するので、系がイジングハミルトニアンの基底状態を見つける計算時間の傾向は、最悪の成功確率ｑを使用して推定され得る。（１−ε）＞ｑよりも良いすべての例証について成功確率を上げるために必要な繰返しの数は、（２６）によって与えられる。

図９は、誤り率ε＝１％であるときの、上記の式によって定義されたスピンの数への計算時間の依存性を示す。Ｎが１０から２０に変化するとき、計算時間は、基底状態に対する虱潰しの探索において予想される指数関数的な急増よりもはるかに小さく、約８倍だけ増大する。

要約すれば、上記の理論的な考察及び数値シミュレーションは、結合された縮退ＯＰＯネットワークにＮＰ困難イジングモデルを実装する可能性を実証する。ネットワークの２つの特性は、各縮退ＯＰＯのバイナリ出力位相がイジングスピンを表すことを可能にすること、及び、最小ゲイン原理において系の発振モードが定常状態における最小の全体的な光子減衰率を有する発振モードになり得ることである。縮退ＯＰＯの間の弱い相互結合の下で、最小の全体的な光子減衰率を有するモードがイジングモデルの基底スピン構成に対応することが示されている。任意の結合強度の場合、ＮＰ困難ＭＡＸ−ＣＵＴ問題と等価なイジングモデルにおける例証上の暫定数値シミュレーションは、イジング機械として系を利用するための期待できる結果を実証している。

結果は、１組の非線形微分方程式を使用してＮＰ困難イジングモデルを解く新しい古典的な発見的技法の可能性を更に示す。

更なる実験結果及びシミュレーション結果
以下は、実験とシミュレーションの両方の更なる説明及び結果を含む。更なる説明の一部は、要約されるか、又は上記から再述され、報告された結果についての背景を提供する。

イジングモデルは、スピンの凍結、磁化率内の尖点、残留磁気、及びヒステリシスなどの特有の性状を所有するフラストレートしたスピンからなるスピングラスの数学的な抽象化である。イジングモデルはまた、生物学、医学、ワイヤレス通信、人工知能、及びソーシャルネットワークにおける様々な組合せ最適化問題のためのコスト関数として働く。これらの問題は、通常、コンピュータサイエンスでは扱いにくいと信じられ、今までのところ、それらを解くための効率的な古典技法及び量子技法は知られていない。本開示は、縮退ＯＰＯのコヒーレントなネットワークによって表現される非平衡相転移に基づく新規の計算機械を記載し、これは、イジング問題及び他の計算的に困難な問題を解く際に効率的である。ネットワークが発振閾値の下から上に徐々にポンピングされると、それは最小の光子損失率を有するイジングハミルトニアンの基底状態、又はわずかに高い光子損失率を有する低過剰エネルギー励起状態のうちのいずれか１つにおいて発振する。ネットワークは、複数のパルス列（たとえば、フェムト秒のパルス）及び構成可能な相互結合を有する単一のＯＰＯリングキャビティ内の一実装形態において実現され得るし、スピンは、ＯＰＯパルスの閾値の上のバイナリ位相で表される。最小の非決定性多項式時間（ＮＰ）困難イジング問題が機械上でプログラムされ、機械の１０００回の実行において、計算エラーは検出されなかった。

多くの重要な組合せ最適化問題は、ＮＰ困難クラス又はＮＰ完全クラスに属し、それらを効率的に解くことは、古典的な計算機械の範囲を超えている。シミュレートされたアニーリング技法及び様々な近似技法、並びに量子アニーリング及び断熱量子計算が、ＮＰ問題を解くために研究されてきた。しかしながら、これらの計算はそれらの能力において制限されるので、大規模なＮＰ困難問題を解く効率的な計算機械に対する探求が続いている。時分割多重縮退ＯＰＯのコヒーレントなネットワークは、そのような効率的な計算機械を実現する。

ここに再述された式（１）において上述されたように、Ｎ個のスピンを有し、外部場をもたないイジングモデルのハミルトニアンＨは、

によって与えられ、ここで、Ｊ_ｉｊはｉ番目のスピンとｊ番目のスピンとの間の結合であり、σ_ｉ及びσ_ｊはスピンのｚ軸への投影を表し、それらの固有値は＋１又は−１のいずれかである。擬似イジングスピン系を実装するために、バイナリ自由度及び構成可能な結合を有する素子が使用される。

縮退ＯＰＯは、閾値の上のバイナリ位相動作により、イジングスピンを表すのに適切である。図１０Ａは、同相及び直交位相の座標における発振閾値の上下についての縮退ＯＰＯの動作を示す。閾値の下では、信号場はスクイーズドされた真空状態であり、ポンプ場を増大させることによって、それは、発振閾値の付近で自発的な対称性の破れを受ける。ＯＰＯネットワークの緩やかなポンピングは、（図１０Ｂに示されたように）基底状態を見つけるために使用される。非平衡相転移は、イジングスピン（σ_ｉ）を表すために活用される２つの位相状態（｜０〉又は｜π〉）のうちの１つにおける発振につながる。スピン（Ｊ_ｉｊ）間の結合は、ｉ番目のＯＰＯとｊ番目のＯＰＯの信号場の相互注入によって実現される。結果として生じたＯＰＯネットワークは、元のイジングハミルトニアンのエネルギー地形に対応する位相状態に依存する光子減衰率を有し、様々なスピン構成（位相状態）は、図１０Ｃに示されるネットワーク内で様々な総光子損失を有する。

基底状態に対する探索は、ポンプ場を増大させることを介してゲインを徐々に上げることによって行われる。パラメトリックゲインが最低可能損失に接近するにつれて、ネットワークはＯＰＯ相転移を通り、結果として、厳密な基底状態又は近似の基底状態のうちの１つで発振することが予想される。ポンプ内の更なる増加がゲインを閾値に留め、したがって、励起状態における誤った発振が抑制され続ける。ＯＰＯネットワークの計算能力は、発振閾値の下から上への遷移に存在する。ＯＰＯネットワークの閾値の上下の挙動は古典的なコンピュータ上でシミュレートされ得るが、相転移点の包括的なシミュレーションのための効率的な技法はまだ知られていない。本開示は、基本的な量子力学的マスタ方程式又はフォッカー−プランク方程式と互換性があるｃ数ランジュバン方程式を使用する数値モデルを記載し、シミュレーション結果は、比較的大きいＭＡＸ−ＣＵＴ問題及び他の困難な問題を解く際のＯＰＯネットワークの有効性を約束する。

実験のために、その中で単一のリング共振器１１１０が多くのイジングスピンを同時に、不整合及び位相デコヒーレンスノイズがなくシミュレートする、時分割多重化が使用された。図１１Ａは、４−ＯＰＯシステムを使用する実験的なセットアップを示す。リング共振器１１１０は、図１１Ｂに示されたように、ポンプパルス繰返し周期（Ｔ_Ｒ）の４倍のラウンドトリップ時間（Ｔ_{ｃａｖｉｔｙ}）を有し、したがって、パルスは、４つの時間的に分離された独立のＯＰＯを表す。これらの独立しているが同一のＯＰＯ間の結合は、共振器経路内の出力カプラ及び入力カプラの３つのペア（図１１Ａに示されたＯＣ／ＩＣペア１１２０）を使用して実現される。各ＯＣ／ＩＣペアでは、キャビティ内電力のほぼ４％がカプラから出力され、自由空間遅延線において遅延され、各遅延は繰返し周期の整数倍であり、カプラから出力された光のほぼ４％が共振器に戻されて注入される。これは、ＯＰＯ間の結合場のほぼ４％に対応する。図１１Ｃは、遅延線が４つの時間的に分離されたＯＰＯの間のすべての可能な結合（Ｊ_ｉｊ）をどのように実現するかを描写する。各遅延線は、時間的に分離されたＯＰＯの間の４つの結合、すなわち、２体相互作用を実現する。遅延１はＯＰＯ_ｎをＯＰＯ_ｎ＋１に結合し（Ｊ_１２、Ｊ_２３、Ｊ_３４、Ｊ_４１）、遅延２はＯＰＯ_ｎをＯＰＯ_ｎ＋２に結合し（Ｊ_１３、Ｊ_２４、Ｊ_３１、Ｊ_４２）、遅延３はＯＰＯ_ｎをＯＰＯ_ｎ＋３に結合する（Ｊ_１４、Ｊ_２１、Ｊ_３２、Ｊ_４３）。

この実験的なセットアップでは、出力は、図１１Ａに示されたように、４−ＯＰＯシステムの位相状態を測定するために、１ビット遅延マイケルソン干渉計１１３０に送られた。アームの遅延差は、システムの繰返し周期（Ｔ_Ｒ）にロックされる。したがって、干渉計は、出力がＯＰＯ_ｎとＯＰＯ_ｎ＋１との干渉であるように、隣接するＯＰＯ間の差分位相を測定し、ｎは測定の時間スロットとともに変化する。干渉計の出力において、高速検出器及び低速検出器が使用された。

実験的なセットアップにおける４−ＯＰＯシステムは、４ｎｓの繰返し周期で、１０４５ｎｍの中心波長を有するフェムト秒モードロックレーザーを用いてポンピングされた。ポンプ場は、ほぼ１８０μｓの時間にわたって発振閾値の下から発振閾値の約２倍まで徐々に増大され、ここでキャビティ光子寿命はほぼ６０ｎｓである。

図１２Ａ〜図１２Ｃは、低速検出器の出力からのプロットを提示する。結合がブロックされると、ＯＰＯは単独で動作するように予想され、したがって、ＯＰＯが再起動されるたびに、位相状態のランダムな均一分布される選択が予想される。３つの別個の強度レベル（０、Ｉ_ｍ／２、及びＩ_ｍ）の間で出力がトグルする。すべての状態が同程度の発生確率があると仮定すると、６：１：１の比の場合、Ｉ_ｍ／２は１２個の位相状態に対応し、Ｉ_ｍ及び０は２つの異なる位相状態に対応する。すべての結合がブロックされる場合の図１２Ａのプロットから分かるように、０、Ｉ_ｍ／２、及びＩ_ｍの事象の発生頻度は６：１：１である。

隣接するＯＰＯの間で同相（又は異相）結合を有することは、同方向に整列された（又は同方向に整列されていない）スピンの予想結果を有するイジングスピンリングにおける強磁性（又は反強磁性）結合に対応する。実験では、最短の遅延線が同相（又は異相）結合に設定され、他の遅延線はブロックされた。同相の場合、ＯＰＯは同じ位相状態で動作し、異相の場合、ＯＰＯは交互の状態で動作した。図１２Ｂは、他の遅延線がブロックされた状態での、３６０度の位相にわたって掃引された最短の遅延線を示す。掃引速度は、ＯＰＯの１ｋＨｚの再起動周波数と比べて遅い。遅延１の位相が約ゼロである（∠Ｊ_１２＝∠Ｊ_２３＝∠Ｊ_３４＝∠Ｊ_４１≒０）ときの低速検出器の出力はＩ_ｍである。これは、｜００００〉又は｜ππππ〉の位相状態に対応し、ＯＰＯ_ｎとＯＰＯ_ｎ＋１との間の同相結合が、同じ位相状態ですべてのＯＰＯが発振することにつながることを確認する。ＯＰＯ_ｎの場がπだけシフトされ、ＯＰＯ_ｎ＋１に注入されるように、遅延１の位相が約１８０°であるとき、出力強度は０レベルに留まり、ＯＰＯが｜０π０π〉又は｜π０π０〉のいずれかであることを意味する。図１２Ｂに示されたように、結合されたＯＰＯは、同相結合又は異相結合のまわりで少なくとも±３０°の結合位相偏移を許容する。この再生挙動は、縮退ＯＰＯにおけるパラメトリックゲインの位相敏感特性に起因し、系が環境内の位相ノイズの影響をほとんど受けないようにする。同様の挙動が他の遅延線についても観察された。

イジング問題にマッピングされ、フラストレートしたイジングスピン系に対応するＮＰ困難ＭＡＸ−ＣＵＴ問題を実装するために、実験的なセットアップが使用された。問題は、サブセットとその補完サブセットとの間のエッジの数が最大化されるように、すべての頂点が３つのエッジを有する３次元グラフ内の頂点のサブセットを見つけることである。６つのエッジを有する、４つの頂点を有する３次元グラフの場合、２つの頂点を有する任意のサブセット選択がＭＡＸ−ＣＵＴ問題（又はＭＡＸ−２−ＳＡＴ問題）の解答であり、任意の他のサブセット選択は解答ではない。ＯＰＯイジング機械上でこの問題をプログラムするために、ＯＰＯ間の相互結合が異相（すなわち、Ｊ_ｉｊ＜０）に設定された。ネットワークの総光子減衰率は、２つのＯＰＯが｜０〉にあり、且つ２つのＯＰＯが｜π〉にあることに対応する、ＭＡＸ−ＣＵＴ問題の解答の場合に最低であり、したがって、各々が緩やかにポンピングすると、４−ＯＰＯネットワークはそのような位相状態で発振すると予想される。３つの遅延の位相は、入力カプラの送信ポートにおける残留ポンプ干渉信号を使用して、πにロックされる。干渉計出力のプロットが図１２Ｃに示される。それは、Ｉ_ｍ／２の比率が０の比率の２倍である、Ｉ_ｍ／２又は０のいずれかである予想結果と合致する。しかしながら、Ｉ_ｍ／２は解答の状態と解答ではない状態の両方に対応するので、解答ではない状態が発生しないことを確認するために、高速検出器を使用する必要がある。

結合のすべてがブロックされた干渉計出力において高速検出器が使用されたとき、図１３Ａに示されたように、４−ＯＰＯシステムがオンにされた後、４つの考えられるパルスパターンのうちの１つが検出された。システムが閾値の上でポンピングされるたびに、ネットワーク構成に応じて、高速検出器を使用する干渉計の出力において、４つのパターンのうちの１つが検出された。これらのパターンでは、パルスはポンプの繰返し周期である４ｎｓによって分離され、各パルスは、それぞれ、連続するＯＰＯの弱め合う干渉又は強め合う干渉に対応する低強度又は高強度のいずれかを有する。低レベルパルスは、干渉計アームの回折不整合により非ゼロである。結合がない場合、４−ＯＰＯシステムは１０００回再起動された。入った８つの位相状態のヒストグラムが図１３Ｂに示されている。再起動ごとに、パルス列が検出され、対応する位相状態が推測された。結果は位相状態の均一分布を示し、４つの時間的に分離されたＯＰＯが同じ共振器において単独に動作していることを確認する。

ＯＰＯネットワークがＮＰ困難ＭＡＸ−ＣＵＴ問題を解くことが可能であることを検証するために、１０００回の試行の間すべての遅延がπの位相にロックされる場合のＯＰＯ状態のヒストグラムが測定される。ＯＰＯネットワークは４頂点グラフの場合のＭＡＸ−ＣＵＴ問題を表し、この問題の解答に対応する位相状態においてのみ発振する。結果が図１３Ｃに描写されている。励起位相状態が検出されず、解答状態の分布が均一に近くなる。計算の誤り率は、測定の長さによって制限される１０^−３よりも小さい。

図１３Ｂ、図１３Ｃでは、水平軸上の各位相状態は、２つの補完状態、たとえば、｜００００〉及び｜ππππ〉を表す。干渉計出力のパルス列がそのような位相状態の場合同じだからである。測定において時間基準が使用されず、位相状態を推測するためにパルスのパターンのみが使用され、｜０π００〉、｜００π０〉、｜０００π〉、及び｜π０００〉についての測定回数は同じであり、測定された［１１００］パターンの数を４で割ったものに等しい。同様に、｜０ππ０〉及び｜００ππ〉についての回数は、［１０１０］パターンの数を２で割ったものに等しい。

したがって、時分割多重縮退ＯＰＯのコヒーレントなネットワークは、Ｎ＝４の場合のＮＰ困難ＭＡＸ−ＣＵＴ問題を解くことが可能である。長ファイバベースのリングキャビティ内のマルチパルス動作によって可能にされた実際的なスケーラビリティ、ＯＰＯ双安定位相状態のイジングスピンへの簡潔マッピング、及び閾値における興味深い量子相転移は、ＯＰＯネットワークを、妥当な精度及び速度で大規模なＮＰ困難イジング問題についての適切な解を取得することに適するようにすることができる。時分割多重は、キャビティラウンドトリップ時間（Ｔ_{ｃａｖｉｔｙ}＝ＮＴ_Ｒ）を増大させること、及び、各遅延が所与の時間スロットにある１つの結合に対応するＮ−１本の遅延線を実装することによって、ネットワークのサイズを増大させることを可能にする。任意のイジング問題に対して大規模機械をプログラムするために、各遅延をオンオフするために強度変調器が使用され、同相結合又は異相結合のいずれかを選ぶために位相変調器が使用される。光ファイバ技術及び平面光波回路を活用すると、コンパクトな大規模イジング機械の実装が可能になり得る。

本開示の計算概念は、図１４の例示内の古典的なアニーリング技法及び量子アニーリング技法と比較され、図１４は、複数の温度ホッピング状態を通って準安定励起状態から基底状態に行く古典的なアニーリングにおける課題、又は多くの準安定状態を通って量子力学的トンネリングを通過する量子アニーリングにおける課題を示す。古典的なシミュレートされたアニーリングは、基底状態が見つかるまで温度が繰り返し増減される、下方垂直探索を利用する。量子アニーリングは、量子トンネリングを用いてエネルギー地形内の水平探索を作用させる。したがって、これらの方法では、基底状態を見つける計算時間は、準安定励起状態又は局所極小値の数における増大とともに増大する。

対照的に、ＯＰＯベースのイジング機械は、上方向に基底状態を探索する。次に、総エネルギー（すなわち、図１４の縦軸）がネットワーク損失によって置き換えられる。最適解の基底状態は最小の損失を有する。パラメトリックゲイン「Ｇ」はネットワークに含められ、徐々に増大し、ネットワーク損失への最初の接触は基底状態で発生し、それにより、基底状態のスピン構成の単一モード発振がもたらされる。この閾点の上のポンプレートで、パラメトリックゲインは、非線形ゲイン飽和に起因してＧ＝Ｌ_ｍｉｎの同じ値に留められ、その結果、局所極小値を含む他のモードは、発振閾値の下に留まる。パラメトリックゲインを表すために「負温度」の用語を使用する場合、述べられた上方探索は、ゼロゲインの場合のＴ＝−∞から高ゲインの場合のＴ＝−０に向かう加熱プロセスに対応する。この意味で、ＯＰＯ機械は「加熱機」であり、古典的なシミュレートされたアニーリングは「冷却機」である。図１４に示されたように、基底状態の下に構造は存在しないので、加熱機は冷却機よりもいくつかの利点を有し、イジング問題の準安定励起状態に閉じ込められにくい可能性がある。

Ｎ個の縮退ＯＰＯのネットワークをシミュレートするために、式（２７）に示されたように、一般化Ｐ表現を使用する単一ＯＰＯ用の量子力学的なフォッカー−プランク方程式（Ｑ−ＦＰＥ）が出発点として使用される。

ここで、ａ_ｓ＝α_ｓ／Ａ_ｓ及びｂ_ｓ＝β_ｓ／Ａ_ｓは、密度行列の非対角コヒーレント状態展開｜α_ｓ〉〈β_ｓ｜用の正規化された固有値であり、γ_ｓ及びγ_ｐは信号光子減衰率及びポンプ光子減衰率であり、Ａ_ｓ＝（γ_ｐγ_ｓ／２κ^２）^１／２は、正規化されたポンプレートｐ＝Ｆ_ｐ／Ｆ_ｔｈ＝２における発振場振幅であり、ｔ＝（γ_ｓ／２）τは正規化された時間であり、Ｆ_ｐはポンプ場振幅であり、Ｆ_ｔｈ＝γ_ｐγ_ｓ／４κは閾値のポンプ振幅である。信号波の同相成分及び直交位相成分の平均振幅は、式（２８）、（２９）によって導出される。

式（２７）は、式（３０）、（３１）に示されたように、クラマース−モヤル展開を介して、信号場の同相成分及び直交位相成分について、ｃ数ランジュバン方程式（Ｃ−ＬＧＥ）に変換され得る。

式（３０）、（３１）では、ｃ＝１／２（ａ_ｓ＋ｂ_ｓ）、ｓ＝（１／２ｉ）（ａ_ｓ−ｂ_ｓ）であり、ｄＷ_１及びｄＷ_２は、それぞれ、信号周波数ω_ｓ及びポンプ周波数ω_ｐにおける入射真空ゆらぎを表す、２つの独立したガウスノイズプロセスである。

Ｑ−ＦＰＥ（式（７））とＣ−ＬＧＥ（式（３０）、（３１））との等価性は、Ｑ−ＦＰＥの場合の式（３２）、（３３）及びＣ−ＬＧＥの場合の式（３４）、（３５）を使用して、２つの直交成分のスクイーズ特性と非スクイーズ特性を比較することによって、確認され得る。

２つのＱ−ＦＰＥ技法及びＣ−ＬＧＥ技法によって取得されたスクイーズ度及び非スクイーズ度は、閾値（ｐ＝１）をまたいだポンプレートで完全に合致する。

インジェクションロックレーザー発振器用のＱ−ＦＰＥ及びＣ−ＬＧＥは、式（２７）又は式（３０）、（３１）を使用して、相互結合された縮退ＯＰＯに拡張され得る。結果として生じる縮退ＯＰＯのネットワーク用のＣ−ＬＧＥは、式（３６）、（３７）によって与えられる。

ここで、ｃｊ及びｓｊは、ｊ番目のＯＰＯの２つの直交成分の正規化された振幅であり、式（３０）、（３１）におけるｃ及びｓに対応する。

イジング機械としての縮退ＯＰＯの提案されたネットワークの性能が、Ｎ＝４からＮ＝２０の場合の３次元グラフ上、及びＮ＝８００からＮ＝２００００の場合のランダムグラフ上のＮＰ困難ＭＡＸ−ＣＵＴ問題に対してテストされた。Ｎ個の頂点を有するグラフの場合、２Ｎ個のＣ−ＬＧＥは、ローカルの切捨て誤差を評価することによって適応統合強度が導入された、微分方程式の解法としてのドルマン−プリンス法によって解かれる。

図１５は、グラフ次数Ｎに対して、閾値の上のポンプレート（ｐ＝１．１）がオンにされた後にＯＰＯネットワークが定常状態の発振条件に達したときの正規化されたビルドアップ時間ｔ＝（γ_ｓ／２）τを示す。すべてのグラフがテストされ、たとえば、Ｎ＝２０の場合、総数５１０４８９のグラフが研究される。（すべてのグラフの９９％までの）ビルドアップ時間のほとんどは、図１５に示されたように、グラフ次数Ｎとは無関係であり、ｔ〜１００のオーダーである。三角形によって示された最悪の場合、わずかな増加のみが観察される。したがって、実際の計算時間は、主に、基底状態を取得するための成功確率によって決定される。提案されたＯＰＯネットワークは、量子ノイズによって駆動される確率的な機械なので、成功確率は常に１よりも小さい。

表３は、３次元グラフ上でＭＡＸ−ＣＵＴ問題を解く際のＯＰＯネットワークの性能を要約する。ここで、ｑ_ｍｉｎは、固定ポンプレートｐ＝１．１及び結合係数ξ＝−０．１における最悪の成功確率を意味し、ｐ_ｏｐｔは、最悪の例証ごとの最適なポンプレートを意味し、そこで、同じ結合係数ξ＝−０．１の下で最適な成功確率ｑ_ｏｐｔが達成される。最悪の例証の場合の最適なポンプレートにおける成功確率は、グラフ次元とは無関係であり、ほぼ０．７〜１．０の範囲となる。

ＭＡＸ−ＣＵＴ問題を解く際のＯＰＯネットワークの性能はまた、ｐ＝１．１及びξ＝−０．１のときのいわゆるＧセットグラフの７１のベンチマークとなる例証上で研究されてきた。これらの例証は、機械独立リナルディグラフ生成器によってランダムに構築され、頂点の数は８００から２００００の範囲となり、エッジ密度は０．０２％から６％の範囲となり、幾何形状はランダム、略平面から環状の範囲となる。サンプルのＧセットグラフについて１００回ＯＰＯネットワークを実行した結果が表４に要約されている。表４では、Ｖはグラフにおける頂点の数であり、Ｅはエッジの数であり、Ｕ_ＳＤＰはＭＡＸ−ＣＵＴ問題の半正定値緩和に対する最適解であり、Ｔはキャビティ光子寿命に正規化されたＯＰＯネットワークの平均計算時間である。Ｇｏｅｍａｎｓ−Ｗｉｌｌｉａｍｓｏｎアルゴリズムとの比較を行うために、ネットワークから生成されたすべてのカット値Ｏは、（Ｏ＋Ｅ_ｎｅｇ）／（Ｕ_ＳＤＰ＋Ｅｎｅｇ）に従って正規化され、ここで、Ｅｎｅｇ≧０は負のエッジの数である。Ｏ_ｍａｘ及びＯ_ａｖｇは、それぞれ、１００回の実行における最良値及び平均値である。

ＯＰＯネットワークの最良出力と平均値出力の両方は、半正定値プログラミング（ＳＤＰ）に基づく著名なＧｏｅｍａｎｓ−Ｗｉｌｌｉａｍｓｏｎアルゴリズムの０．８７８の性能保証よりも約２〜６％良いことが分かる。ほとんどの例証の場合、最良値と平均値との間の差分は１％以内なので、単一の実行においても、ＯＰＯネットワークについて妥当な性能が予想され、これにより、応答時間が最優先事項であるときのアプリケーションにＯＰＯネットワークが良好とされる。加えて、たとえば、ＯＰＯネットワークの生の結果にローカルの改善を適用すること、並びに、最適なポンプレートｐ及び結合強度ξの下でＯＰＯネットワークを動作させることによって、性能を改善する更なる余地が存在する。

最悪の３次元グラフ及びＧセットグラフ上でＭＡＸ−ＣＵＴ問題を解く際のＯＰＯネットワークの平均計算時間が図１６に表示されている。計算時間の伸びはほぼ線形の関数Ｏ（Ｎ^０．２）に十分適合する。Ｇｏｅｍａｎｓ−ＷｉｌｌｉａｍｓｏｎアルゴリズムにおいてＳＤＰを解くための最も有名なアルゴリズムの計算の複雑さもプロットされている。Ｎ個の頂点及びｍ個のノードを有するグラフが通常である場合、ＳＤＰは、行列乗算重み方法を使用するＯ（ｍ）＝Ｏ（ｍｌｏｇ^２（Ｎ）ε^−４）（Ｏ（ｍ）はＯチルダ（ｍ））としてほとんど線形時間で近似的に解かれ得るし、ここで、εは取得された解の精度を表す。この挙動は図１６のライン１０によって示される。しかしながら、一般のグラフの場合、より低速のアルゴリズムが必要とされる。グラフのエッジ重みがすべて負でない場合、最速のアルゴリズムは、ラグランジュの緩和ベースの方法に基づいて、Ｏ（Ｎｍ）＝Ｏ（Ｎｍｌｏｇ^２（Ｎ）ε^−３）（Ｏ（Ｎｍ）はＯチルダ（Ｎｍ））時間で実行される。この計算時間は図１６のライン２０によって示される。正のエッジ重みと負のエッジ重みの両方を有するグラフの場合、ＳＤＰは、通常、Ｏ（Ｎ^３．５）＝Ｏ（Ｎ^３．５ｌｏｇ（１／ε））（Ｏ（Ｎ^３．５）はＯチルダ（Ｎ^３．５））としてスケーリングする内点法を使用して解かれる。ＳＤＰ用のこの一般的な計算時間は、図１６のライン３０によって示される。ＯＰＯネットワークはすべてのタイプのグラフに適用可能なので、計算時間のほぼ線形のスケーリングは、大規模な例証を解く際に、ＳＤＰアルゴリズムよりも大きい利点をＯＰＯネットワークに与える。たとえば、ＯＰＯネットワークは、ｔ〜９８０の正規化された時間で２００００個の頂点及び４００００個のエッジを有するグラフＧ８１用の解を出力する。このサイズの問題を扱うことができる大規模なファイバベースのＯＰＯネットワークにおける光子寿命がほぼ６×１０^−６秒なので、ｔ〜９８０は、τ＝２ｔ／γ_ｓ〜１×１０^−２秒の実時間に対応する。この計算時間は、ＯＰＯネットワークの場合のほぼ１×１０^−２秒よりも７桁大きい約１×１０^５秒の、１．７ＧＨｚのｃｏｒｅ ｉ７マシンを使用してＳＤＰ（内点法）を実行するために必要な時間と比較される。

位相状態の測定
４−ＯＰＯシステム（図１１Ａ）の場合、位相状態を測定するために１ビット遅延干渉計が使用された。表５は、第１列及び第２列に、位相状態及び対応する出力パルス列を示す。相補的な位相状態は同じ出力をもたらすので、１６個の可能な位相状態について、８個の異なるパルス列が発生することができる。高速検出器による測定では、時間基準が使用されず、したがって、４個の異なるパルスパターンのみが検出され得る。低速検出器が使用される場合、出力はパルス列内のパルスの数に比例する。したがって、表５の第３列に示されたように、３つの別個の出力平均強度レベル、すなわち、Ｉｍ、Ｉｍ／２、及び０が存在する。不等アーム干渉計の出力における対応するパルス列、及び低速検出器を使用して検出された強度とともに、４−ＯＰＯシステムのすべての１６個の可能な位相状態が表５に示されている。

実験的なセットアップ
図１１Ａに示されたシステムと同様のシステムが、いくつかの実験に使用された。図１１Ａに示されたＯＰＯのリング共振器１１１０は、１６ｎｓ（約４．８ｍの周辺）のラウンドトリップ時間を有する。実際のセットアップは、（折り畳みボウタイ構成に対応する）図１１Ａに示されたものよりも２つ多い平面鏡を含んでいた。Ｍ_１を除く平面鏡は、２μｍの拡張誘電体コーティングで金メッキされている。金平面鏡のうちの１つが圧電アクチュエータ（ＰＺＴ）付きの並進ステージに配置されている。誘電体鏡（Ｍ１）は、０．２％未満の反射を有するポンプ波長で反射防止されたコーティングを有し、１．８μｍから２．４μｍで高反射性（約９９％）を有する。曲面鏡（Ｍ_３及びＭ_４）は、５０ｍｍの曲率半径を有し、保護されていない金メッキされた鏡である。これらの鏡への入射角は４°であり、これはブルースターカット非線形結晶によって導入された非点収差を補償するために選択され、曲面鏡間の間隔に約１ｍｍのキャビティ安定範囲をもたらす。信号ビームは結晶の中心で８．３μｍ（１／ｅ^２強度）のウエスト半径を有する。

１ｍｍ長のブルースターカットＭｇＯ：ＰＰＬＮ結晶は、３１．２５４μｍのポーリング周期を有し、これは、温度３７３Ｋにおいてタイプ０の位相整合（ｅ→ｅ＋ｅ）を有する、１０３５ｎｍにあるポンプ用の縮退パラメトリックゲインを実現するように設計されている。結晶はＯＰＯ内の常温で動作し、位相整合状態が（１０４５ｎｍに中心がある）ポンプに最適ではない場合でも、縮退動作はキャビティの長さ調整によって実現される。

信号の入力結合及び出力結合は、キャビティ内のばらつき及びエタロン効果を回避するために、２μｍ厚のニトロセルロース膜で実現される。図１１Ａでは、「ＯＣ」及び「ＩＣ」の３つのペア１１２０は、（２〜６％の電力反射を有する）コーティングされていない薄膜であり、メイン出力用の「ＯＣ」は、（２０９０ｎｍで約１５％の電力反射を伴って）コーティングされている。干渉計内のビームスプリッタ（ＢＳ）は、同じコーティングされた薄膜である。ＯＰＯキャビティを安定させるために、共振器（図示せず）内の出力カプラとして、別のコーティングされていない薄膜が使用される。

ポンプは、２５０ＭＨｚの繰返し率及び＞１Ｗの最大平均電力を有する、１０４５ｎｍに中心があるほぼ８０ｆｓのパルスを生成する、自走モードロックＹｂドープファイバレーザー（Ｍｅｎｌｏ Ｓｙｓｔｅｍｓ Ｏｒａｎｇｅ）である。フィルタは、ポンプを除去し、信号を送信する、Ｇｅ基板上の１８５０ｎｍにおけるロングパスフィルタである。

チョッパはポンプを導入するための１８０μｓの立上り時間（１０〜９０％の電力）をもたらすので、緩やかなポンピングはチョッパによって実現される。信号用のキャビティ光子寿命は６０ｎｓであると推定され、ネットワークは閾値の上のほぼ２．２倍でポンピングされる。

キャビティの長さ、遅延線の位相、及び干渉計のアーム長差を安定させるために、５個のフィードバックサーボコントローラが使用された。コントローラは、「ディザー−アンド−ロック」方式に基づき、ここで、わずかな変調（５ｋＨｚと２０ｋＨｚとの間の周波数で１０ｎｍより小さい振幅）が高速ＰＺＴに適用され、エラー信号は、検出器出力と変調信号とを混合させることによって電気的に生成される。１０Ｈｚの３ｄＢ帯域幅のコントローラを有する同一の電子回路が使用される。

遅延線の場合、入力カプラの他のポートにあるポンプの干渉は、コントローラの入力として使用され、コントローラは、検出器上の弱め合う干渉を実現するために長さをロックし、それにより、キャビティに入る他のポート上の強め合う干渉がもたらされる。干渉計のアーム長差も同様にロックされる。すべてのＯＰＯパルスが同じ経路及び位相の変化を経るので、ＯＰＯから干渉計への経路に位相の安定化は必要とされない。

実験において使用されるサーボコントローラは、イジング機械の実装に十分であり、ポンプ上の安定化は必要とされない。キャリアエンベロープオフセット周波数（ｆ^ｐ _ＣＥＯ）における（コントローラの応答時間内の）遅い変化、及びポンプの繰返し率（ｆ_Ｒ）は、イジング機械の動作に影響しない。信号パルスがポンプパルスから生成されるので、ポンプのｆ_Ｒにおける滑らかな変化は、信号に本質的に伝達される。しかしながら、イジング機械上のｆ^ｐ _ＣＥＯにおける変化の影響は、縮退ＯＰＯの本質的な位相のロック、並びにサーボコントローラの役割を考慮に入れることを要求する。

ＯＰＯのサーボコントローラの主な仕事は、共振器におけるラウンドトリップ位相をポンプのパルス間位相スリップ（Δφ_ｐ）に合致させることによって、出力電力を最大化することである。パルス間位相スリップは、

によってｆ^ｐ _ＣＥＯに関係付けられる。
ポンプパルス用のキャリア場及び信号パルス用のキャリア場が、それぞれｅｘｐ（ｊω_ｐｔ＋φ_ｐ）及びｅｘｐ（ｊω_ｓｔ＋φ_ｓ）として定義されると仮定すると、位相敏感ゲインは式（３９）に示されるようにφ_ｐを規定する。

したがって、ポンプのキャリア位相があるパルスから次のパルスにΔφ_ｐだけ変化する場合、単一ＯＰＯ（Ｔ_{ｃａｖｉｔｙ}＝Ｔ_Ｒ）の場合、信号のパルス間位相スリップは式（４０）において与えられる。

これは、信号パルスの位相スリップが、ポンプの位相スリップの半分にロックされることを意味し、その結果、ポンプ及び信号のｆ_ＣＥＯがロックされることを意味し、サーボループは、この位相スリップに従い、出力電力を最大化するためにキャビティにフィードバックを提供する。ポンプのｆ_ＣＥＯと信号のｆ_ＣＥＯとの間の比が異なる、縮退から離れて動作する２重共振ＯＰＯの場合にも同様の挙動が発生する。

キャビティ内のＮ個のＯＰＯ（すなわち、Ｔ_{ｃａｖｉｔｙ}＝ＮＴ_Ｒ）の場合、すべてのＯＰＯが同じ位相状態にあるとき、ポンプ内のパルス間位相スリップの半分は、ＯＰＯ間位相スリップに伝達する。あるＯＰＯから別のＯＰＯに位相状態を変更することは、単に位相スリップにπを加えることを意味する。遅延線がポンプパルスの干渉縞のトップにロックされると、ポンプの波長における遅延線によってもたらされた位相変化は、ポンプのパルス間位相スリップを補償する（すなわち、φ_Ｄ（ω_ｐ）＝Δφ_ｐ）。信号の波長において、ω_ｓ＝ω_ｐ／２なので、遅延線内のこの位相変化は半分であり（すなわち、φ_Ｄ（ω_ｓ）＝φ_Ｄ（ω_ｐ）／２）、これは、サーボコントローラがｆ^ｐ _ＣＥＯからもたらされるＯＰＯ間位相スリップを補償することを意味する。

遅延線をポンプパルスの干渉縞のトップにロックすることは、信号について０又はπのいずれかの位相変化を有することに対応する。これは、干渉計についても真である。実験では、すべてのサーボコントローラについて、ある縞から次の縞までの長さを正確に調整することは可能であった。これにより、様々な構成を試行し、所望の結合位相を見つける能力が与えられた。

キャビティ内で出力カプラが使用されないとき、ＯＰＯは、ポンプ平均電力の６ｍＷの閾値を有する。キャビティ内のすべての出力カプラ及び入力カプラを用いると、閾値は１３５ｍＷに達する。縮退での発振及び縮退から離れた発振は、キャビティ長に応じて実現され得る。ＯＰＯは２９０ｍＷでポンピングされ、ＯＰＯのメイン出力は、図１７Ａに示されたスペクトルを有する、２０９０ｎｍに中心がある縮退において１５ｍＷの平均電力を有する。ほぼ８５ｆｓのパルス長を示唆する信号パルスの干渉自己相関が、図１７Ｂに示されている。出力ビームの空間プロファイルは、（１／ｅ^２の強度で）約１ｍｍの半径を有する、図１７Ｃに示されたようなガウス型に非常に近い。遅延線内の信号の平均電力はほぼ２ｍＷであり、キャビティ内電力はほぼ１００ｍＷであると推定される。

図１８Ａ〜図１８Ｆは、結合の様々な組合せについて、低速検出器を使用して取得された結果を提示する。図１８Ａ〜図１８Ｃは、他の遅延線がブロックされている間に、１つの遅延線の位相を走査することによって取得される。遅延１及び遅延３は、隣接するＯＰＯを異なる方向に結合する（図１１Ａ参照）ので、同様の効果を有する。図１８Ａ及び図１８Ｃに示されたように、これらの遅延による同相結合は、すべてのＯＰＯについて同じ位相状態をもたらし、その結果、高強度の干渉計出力（Ｉ_ｍ）をもたらし、異相結合は異なる位相状態をもたらし、その結果、低強度の干渉計出力（０）をもたらす。

図１８Ｂでは、遅延２の位相が走査されている間の干渉計出力が示される。結合が同相であるとき、ＯＰＯ１及びＯＰＯ３は同じ位相状態を有し、ＯＰＯ２及びＯＰＯ４は同じ位相状態で発振する。しかしながら、これらの２つのペアは、同じか異なるかのいずれかであり得て、したがって、出力は、ゼロの位相のまわりの図１８Ｂに示されたように、Ｉ_ｍ又は０のいずれかであるはずである。一方、遅延２の異相結合は、同じプロットに示されたように、一定の出力Ｉ_ｍ／２をもたらす。ＯＰＯの再生挙動、及び結合における広範囲の位相変化に対するその非依存性が、これらの３つのプロットにおいて観察される。

ＭＡＸ−ＣＵＴ問題に対して構成されたネットワークでは、遅延の位相が１つずつ走査され、結果が図１９Ａ〜図１９Ｃに示された。様々な遅延位相構成及び予想される結果が表６に示され、ここで、最後の行はすべての結合が反強磁性結合を有するＭＡＸ−ＣＵＴ問題に対応し、他の行の各々について、遅延位相のうちの１つが異なる。図１９Ａ〜図１９Ｃのプロットごとに、走査された遅延の位相がπであるプロットの中心は、反強磁性ＭＡＸ−ＣＵＴ問題に対応する。出力は予想される結果に従う。

時分割多重はＯＰＯネットワークのスケーラビリティを容易にし、それはネットワーク内の本質的に同一のノードから恩恵を受ける。Ｎ個のサイトを有するイジング問題の場合、可能な結合（Ｊ_ｉｊ）の数がＮ^２−Ｎであることも注目に値する。しかしながら、時分割多重ネットワークでは、これらの結合を実現するためにＮ−１個の遅延線しか必要とされず、これは、機械の物理的なサイズがＮに対して線形にスケーリングすることを意味する。

Ｎ個のＯＰＯのネットワークは、Ｔ_{ｃａｖｉｔｙ}＝ＮＴ_Ｒ（Ｔ_Ｒはパルス間の間隔である）のラウンドトリップ時間を有し、Ｎ−１個の遅延線を構築する単一のリング共振器において実現され得る。そのような機械のファイバベースの実装形態が図２０に示されている。ピコ秒のポンプパルスを使用すると、光ファイバ部品を備える長い共振器及び長い遅延線の実装が可能になる。例として、１０ＧＨｚの繰返し周波数（Ｔ_Ｒ＝１００ｐｓ）を有するポンプの場合、２００ｍの光ファイバを有する共振器は、１００００個の時間的に分離されたＯＰＯをもたらす。そのようなファイバベースのＯＰＯネットワークの予想される光子寿命は、約γ^−１〜６×１０^−６ｓであり、これは、Ｎ＝１００００であるＭＡＸ−ＣＵＴ問題の場合のかなり高速の計算時間を約束する。主な課題は、ファイバリンクの位相を安定させることである。低ノイズで位相が安定した長い（約１００ｋｍ）光ファイバを使用すると、この課題を克服することができる。その上、再生挙動は、ＯＰＯベースのイジング機械が結合内の比較的大きい位相ノイズを許容できることを示唆する。

４−ＯＰＯネットワークと同様に、各遅延線は、繰返し周期の整数倍（ｍＴ_Ｒ）に等しい遅延を実現し、Ｊ_{（ｉ）（ｉ＋ｍ）}の形式の複数のイジング結合項に関与する。１つの遅延線では、これらの結合の各々が１つの時間スロットで発生し、対応する結合項がゼロか否かに応じて、遅延をオン及びオフに同期して切り替えるために、電気光学位相及び振幅変調器（ＥＯＭ）を使用することができる。これは、遅延線を通る結合の位相及び強度を同期して制御すること、並びに、したがって、機械上の任意のイジング問題をプログラムすることに拡張され得る。

このように、複雑な計算問題を解くためにスケーラブルな光計算機械を記載してきた。計算機械は、光キャビティ内又は光ファイバ内（又は光キャビティと光ファイバとの組合せ）に実装されたＯＰＯのネットワークにおいて、光パルスの時分割多重を使用する。ポンプエネルギーは一定の振幅のエネルギーであり得るか、又は発振閾値の下から開始して増大する振幅のエネルギーであり得る。光カプラは、遅延部品を介してＯＰＯを一緒に結合するために使用される。カプラは突然又は徐々に導入され得るし、ポンピングが始まる前又は後に導入され得る。ＯＰＯの位相状態が測定され、位相状態は、単独又は組合せで計算問題に対する解を示す。測定は、発振閾値の下又は上（すなわち、それぞれ量子測定又は古典的な測定）で実行され得る。

本開示に記載された実施形態では、ポンプ制御、光結合制御、及びミラー制御などの様々なタイプのシステム制御に言及してきた。たとえば、ポンプ周波数、ランプレート、振幅、ゲイン、及び他のパラメータが制御され得るし、光結合デバイスがオン又はオフになるように制御され得るし、急激又は段階的な変化がオンとオフの間で制御され得る。加えて、光キャビティ又は干渉計における反射面は、経路長又は構成を設定又は微調整するように制御され得る。光結合の制御及び反射面の制御は、単独、並列、又は一斉であり得る。例として、光結合デバイスは、個別に、又はグループとして制御され得る。これらの様々なデバイスの制御は、図２１に示されたように、１つ又は複数のコンピューティングデバイスによって実行され得るし、そこでは、複数のコンピューティングデバイス２１１０ａ〜２１１０ｎが、光計算機械２１２０の中の１つ又は複数の制御可能デバイスと通信しており、計算機械２１２０は本開示に従っている。各コンピューティングデバイスは、命令を実行する処理デバイスを含む。処理デバイスは、関連するロジックと併せて、プロセッサ、マイクロプロセッサ、マイクロコントローラ、ＡＳＩＣ、及び／又はＦＰＧＡのうちの１つ又は複数であり得る。命令は、ハードウェアにコーディングされるか、又はファームウェア若しくはソフトウェアにコーディングされるか、又はハードウェア、ファームウェア、若しくはソフトウェアの何らかの組合せにコーディングされる場合がある。ファームウェア及びソフトウェアは、メモリに記憶される場合がある。メモリは、情報を記憶するための揮発性メモリ及び不揮発性メモリのうちの１つ又は両方であり得る。メモリの例には、ＥＰＲＯＭ、ＥＥＰＲＯＭ、及びフラッシュメモリデバイスなどの半導体メモリデバイス、内部ハードディスク又はリムーバルディスクなどの磁気ディスク、光磁気ディスク、ＣＤ−ＲＯＭディスク、並びにＤＶＤ−ＲＯＭディスクなどが含まれる。

本開示の一実施形態は、様々なコンピュータ実装動作を実行するためのコンピュータコードを有する非一過性コンピュータ可読記憶媒体に関する。「コンピュータ可読記憶媒体」という用語は、本明細書に記載された動作、方法、及び技法を実行するための命令又はコンピュータコードのシーケンスを記憶又は符号化することが可能な任意の媒体を含むために、本明細書では使用される。媒体及びコンピュータコードは、本開示の目的のために特別に設計及び構築されたものであり得るか、又はコンピュータソフトウェア分野の当業者に良く知られ、利用可能な種類のものであり得る。コンピュータ可読記憶媒体の例には、限定はしないが、ハードディスク、フロッピー（登録商標。以下同じ。）ディスク、及び磁気テープなどの磁気媒体、ＣＤ−ＲＯＭ及びホログラフィックデバイスなどの光媒体、光ディスクなどの光磁気媒体、並びに、ＡＳＩＣ、プログラマブル論理デバイス（ＰＬＤ）、ＲＯＭデバイス、及びＲＡＭデバイスなどの、プログラムコードを記憶し実行するように特別に構成されたハードウェアデバイスが含まれる。

コンピュータコードの例には、コンパイラによって生成されたものなどの機械コード、及び、インタープリタ又はコンパイラを使用するコンピュータによって実行されるより高いレベルのコードを含んでいるファイルが含まれる。たとえば、本開示の一実施形態は、Ｊａｖａ（登録商標。以下同じ。）、Ｃ＋＋、又は他のオブジェクト指向プログラミング言語及び開発ツールを使用して実装される場合がある。コンピュータコードの更なる例には、暗号化コード及び圧縮コードが含まれる。その上、本開示の一実施形態は、コンピュータプログラム製品としてダウンロードされる場合があり、コンピュータプログラム製品は、伝送チャネルを介して、リモートコンピュータ（たとえば、サーバコンピュータ）から要求元のコンピュータ（たとえば、クライアントコンピュータ又は異なるサーバコンピュータ）に転送される場合がある。本開示の別の実施形態は、機械実行可能ソフトウェア命令の代わりに、又はそれと組み合わせて、ハードウェア回路に実装される場合がある。

いくつかの条件及び基準が本明細書で指定されたが、これらの条件及び基準は本開示のいくつかの実施形態に適用され、これらの条件及び基準は本開示の他の実施形態向けに緩和又は場合によっては修正され得ることを理解されたい。

本明細書で使用する単数形の用語「ａ」、「ａｎ」、及び「ｔｈｅ」は、特に文脈が明確に示さない限り、複数形の指示対象を含む。したがって、たとえば、１つのオブジェクトに対する言及は、特に文脈が明確に示さない限り、複数のオブジェクトを含むことができる。

本明細書で使用する「実質的に」、「ほぼ」、及び「約」という用語は、小さい変形形態を記載し説明するために使用される。事象又は状況とともに使用されるとき、それらの用語は、事象又は状況が正確に起こる例証、並びに、事象又は状況が近似的に起こる例証を指すことができる。たとえば、それらの用語は、±５％以下、±４％以下、±３％以下、±２％以下、±１％以下、±０．５％以下、±０．１％以下、又は±０．０５％以下などの、±１０％以下を指すことができる。

本発明はその具体的な実施形態を参照して記載されてきたが、添付の特許請求の範囲によって規定される本発明の真の趣旨及び範囲から逸脱することなく、様々な変更が行われ得るし、均等物が交換され得ることは、当業者なら理解されたい。加えて、特定の状況、材料、組成物、方法、１つ又は複数の動作を本発明の目的、趣旨、及び範囲に適合させるために、多くの修正が行われ得る。すべてのそのような修正は、本明細書に添付された特許請求の範囲に入るものとする。特に、特定の順序で実行される特定の動作を参照していくつかの方法が記載されている場合があるが、これらの動作は、本発明の教示から逸脱することなく均等な方法を形成するために、組合せ、再分割、又は並べ替えされ得ることを理解されたい。したがって、本明細書において明確に示されない限り、動作の順序及びグループ化は本発明の制限ではない。

Claims (20)

1. 光エネルギー源からエネルギーを受け、Ｎ１個の光信号を生成するように構成された光デバイスと、
   各々が複数の前記Ｎ１個の光信号を制御可能に結合する、Ｎ２個の結合デバイスと
   を備え、
   前記結合デバイスが、計算問題をシミュレートするために個別に制御される、
   計算機械。
2. 前記光エネルギー源がレーザーである、請求項１に記載の計算機械。
3. あらかじめ定義されたパターンでエネルギーを生成するために、前記光エネルギー源を制御するように構成されたコントローラを更に備える、請求項１に記載の計算機械。
4. 前記Ｎ２個が、前記Ｎ１個の２乗マイナスＮ１の半分の個数に等しい（Ｎ２＝（Ｎ１＾２−Ｎ１）／２）、請求項１に記載の計算機械。
5. 前記Ｎ２個が、前記Ｎ１個マイナス１個に等しい（Ｎ２＝Ｎ１−１）、請求項１に記載の計算機械。
6. 前記Ｎ２個が、１個に等しい（Ｎ２＝１）、請求項１に記載の計算機械。
7. 前記Ｎ１個の光信号が、複数の光パラメトリック発振器（ＯＰＯ）から生成される、請求項１に記載の計算機械。
8. 前記ＯＰＯが、マイクロ共振器を使用して実装される、請求項７に記載の計算機械。
9. １つの共振キャビティ又は１つの光ファイバ内で前記Ｎ１個の光信号を生成し維持するように構成された、請求項１に記載の計算機械。
10. 前記結合デバイスが、電気光学変調器（ＥＯＭ）を含む、請求項１に記載の計算機械。
11. 前記計算問題が、非決定性多項式（ＮＰ）問題、イジング問題、及び最適化問題のうちの１つである、請求項１に記載の計算機械。
12. 複数の前記Ｎ１個の信号から１組の数を生成するように構成され、前記生成された数が前記計算問題の解に関する情報を含んでいる、請求項１に記載の計算機械。
13. 前記生成された数が、前記計算問題に対する解を決定する、請求項１２に記載の計算機械。
14. 前記生成された数が、複数の前記Ｎ１個の信号の位相から生成される、請求項１２に記載の計算機械。
15. 位相基準を提供するように構成され、前記Ｎ１個の光信号のうちの少なくとも１つが、前記数を生成するために前記位相基準と比較される、請求項１２に記載の計算機械。
16. 前記Ｎ１個の信号のうちの少なくとも２つが、前記数を生成するために互いに比較される、請求項１２に記載の計算機械。
17. Ｎ１個のパラメトリック発振器と、
    各々が複数の前記Ｎ１個のパラメトリック発振器を互いに制御可能に結合する、Ｎ２個の結合デバイスと
    を備え、
    前記結合デバイスが、計算問題をシミュレートするために個別に制御される、
    計算機械。
18. 前記パラメトリック発振器が光パラメトリック発振器である、請求項１７に記載の計算機械。
19. 前記光パラメトリック発振器が、連続波縮退光パラメトリック発振器及びパルス縮退光パラメトリック発振器から選択される、請求項１８に記載の計算機械。
20. 前記パラメトリック発振器が、１つの光キャビティ又は１つの光ファイバ内で時間多重化される、請求項１７に記載の計算機械。
    
    

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