JP2012221418A - 解析装置、その方法及びそのプログラム - Google Patents

Abstract

【課題】タイヤのトレッドパターンにおいて、一部の意匠を残したまま最適解を求めることができる解析装置を提供する。
【解決手段】解析装置は、有限要素モデルにおける意匠について、位相と形状が変更可能な変更初期意匠と両者を保持する固定初期意匠とに分け、両意匠から最適化した意匠を求める。
【選択図】 図１

Description

本発明は、タイヤのトレッドパターンにおいて、位相と形状との最適化を解析する解析技術に関するものである。

従来より、特許文献１においては、構造物の各部の弾性変形を利用して、所定部位に与えられた荷重又は変位に対し、他の部位に目的の荷重又は変位を出力する構造物を設計するための最適設計支援装置が提案されている（例えば、特許文献１参照）。

また、非特許文献１においては、レベルセット法に基づく機械構造物の構造最適化が提案されている。

さらに、非特許文献２においては、３次元の構造物に関してレベルセット法に基づく構造最適化も提案されている。

ＷＯ２００６／００９０２６Ａ１

「レベルセット法に基づく構造最適化」 京都大学 西脇真二他、日本機械学会論文集（Ｃ編）第７３巻第７２５号 "Structural optimization using sensitivity analysis and a level-set method"、Gregoire Allaire、Journal of Computational physics 194(2004) 363〜393

ところで、タイヤのトレッドパターンにおいて、例えば、図１３（ａ）に示すように、タイヤ接地形状が丸型で、ショルダー部の接地圧がセンター部に比べて高い場合、ショルダー部の磨耗性能の低下が懸念される。そのため、図１３（ｂ）のハッチング領域に示すように、ショルダー部のブロックは、磨耗性能の向上を図るため、予めブロック形状とする必要があるので、この領域のブロック形状（意匠）を残しておく必要がある。

しかし、上記のような従来の最適化の手法では、一部の意匠を残して構造物の形状の最適解を求めることはできないという問題点があった。

そこで、本発明は、上記問題点に鑑み、タイヤのトレッドパターンにおいて、一部の意匠を残したまま最適解を求めることができる解析装置、その方法及びそのプログラムを提供することを目的とする。

本発明は、タイヤのトレッドパターンの意匠を求める解析装置において、初期意匠を表した有限要素モデルを作成するモデル作成部と、前記有限要素モデルにおける初期意匠の境界を表した点列群に関するデータを取得するデータ取得部と、前記初期意匠に関して、設計変更が可能な初期意匠である変更初期意匠と、設計変更が不可能な初期意匠である固定初期意匠とに識別する識別部と、前記有限要素モデルにおける有限要素毎のヘビサイト関数の初期値を計算する第１計算部と、（１）前記有限要素毎の評価点と最短距離にある前記初期意匠を表す点を特定し、前記最短距離を値とするレベルセット関数を、前記有限要素毎に計算すると共に、（２）前記最短距離の値に関して前記ヘビサイト関数に基づいてプラス又はマイナスの符号を付加する第２計算部と、前記有限要素毎のレベルセット関数を用いて、前記初期値を計算したヘビサイト関数を再計算する第３計算部と、有限要素法を用いて各有限要素の変位場における歪みベクトルを少なくとも解析する解析部と、再計算した前記ヘビサイト関数の値と前記歪みベクトルとから目的凡関数を、前記有限要素毎に算出する関数算出部と、前記目的凡関数を最小化することにより、前記変更初期意匠に関する前記有限要素のレベルセット関数のみを更新する更新部と、更新した前記レベルセット関数を再初期化する再初期部と、前記有限要素毎の再初期化した前記レベルセット関数が収束しているか否かを判定し、収束していなければ前記解析部、前記関数算出部、更新部、再初期化部の処理を繰り返すように制御し、収束していれば、収束した前記レベルセット関数を最適化したレベルセット関数と判定する判定部と、前記有限要素毎の最適化したレベルセット関数から、最適化した意匠に変換する変換部と、を有することを特徴とする解析装置である。

本発明によれば、一部の初期意匠を残したままタイヤのトレッドパターンの最適解を求めることができる。

本発明の一実施形態を示す解析装置のブロック図である。 解析装置のフローチャートである。 有限要素モデルの例である。 有限要素モデルに意匠を表す点列群を表記した図である。 固定初期意匠と変更初期意匠の識別を行った有限要素モデルの図である。 有限要素モデルにおいてヘビサイト関数を説明する図である。 レベルセット関数の評価を説明する図である。 レベルセット関数の定義を説明する図である。 レベルセット関数φ＝０の等位線と有限要素との交差について説明する図である。 再初期化のための仮想点を説明する図である。 一般座標系と全体座標系の変換を示す図である。 レベルセット関数から意匠への変換を示す図である。 固定初期意匠を保持する理由を示す図である。 初期形状と固定初期意匠を設定しなかったときの図と、設定したときの図である。 反復回数、目的汎関数、Ｖｏｌｕｍｅとの関係を示す変更履歴のグラフである。

以下、本発明の一実施形態の解析装置１０について図１〜図１５に基づいて説明する。

本発明の解析装置１０は、タイヤのトレッドパターンの意匠に関する位相及び形状の最適解を求めるものである。

ここで「形状」とは、構造物（タイヤ）の表面形状を意味し、この形状最適化問題とは、構造物の表面形状を設計変数とする最適化問題をいう。

「位相」とは、空間上の位相、すなわち、構造物の形態を意味し、位相最適化問題とは、空間上の位相を設計変数とする最適化問題である。形態とは、上記形状の有無と配置という。

（１）解析装置１０の構成
本実施形態の解析装置１０の構成について、図１のブロック図に基づいて説明する。

図１に示すように、解析装置１０は、モデル作成部１２、データ取得部１４、識別部１６、第１計算部１８、第２計算部２０、第３計算部２２、解析部２４、関数算出部２６、更新部２８、再初期化部３０、修正部３２、判定部３４、変換部３６及び出力部３８を有する。

解析装置１０は、例えば汎用のコンピュータを基本ハードウエアとして用いることでも実現することは可能である。すなわち、解析装置１０の各部１２〜３８の構成は、前記のコンピュータに搭載されたプロセッサにプログラムを実行させることにより、実現することができる。このとき、各部１２〜３８の機能は、前記のプログラムをコンピュータに予めインストールすることで実現してもよいし、ＣＤ−ＲＯＭなどの記録媒体に記録して、又は、ネットワークを介して前記のプログラムを配布して、このプログラムをコンピュータに適宜インストールすることで実現してもよい。

以下、各部１２〜３８の内容について図２のフローチャートに基づいて説明する。

（２）モデル作成部１２
まず、モデル作成部１２について図３に基づいて説明する。

図２のステップ１において、モデル作成部１２は、有限要素法による解析のためのタイヤ全体を有限個の多数の要素に分割したタイヤ有限要素モデルを作成する。ここで、「有限要素法」とは、構造物の物性を調査するために、構造物を有限要素に分割し、それぞれ要素で記述される運動方程式を微積分演算により求める手法をいう。

そして、タイヤ有限要素モデルから、タイヤの接地形状におけるタイヤのトレッドパターン（以下、単に「タイヤパターン」という）の有限要素モデルを作成する。これが、初期形状の有限要素モデルとなる。

図３は初期形状の有限要素モデルを表し、各矩形の区画が有限要素を示し、その中央の黒丸が、各有限要素の重心点を表している。この各重心点が、後から説明するレベルセット関数の評価点となる。また、この初期形状の有限要素モデルにおいて表されている初期の各ブロックが初期の意匠であり、以下では、意匠の形状とは、タイヤのブロック形状を意味し、意匠の位相とは、ブロックの有無、配置を意味する。また、意匠は、閉領域である。さらに、後から説明する「仮想有限要素」とは、有限要素の各重心点を節点として、各節点を結んだ格子状の要素をいう。

（３）データ取得部１４
次に、データ取得部１４について図４に基づいて説明する。

図２のステップ２において、データ取得部１４が、初期形状の有限要素モデルのタイヤパターンの各ブロックに対応した初期の各意匠に関して、図４に示すように初期の各意匠の境界を表す点列群の各点の位置を２次元データとして取得して記憶する。すなわち、ｘ−ｙ直交座標系（全体座標系）において各点が（ｘ，ｙ）で表される。データ取得部１４は、初期の意匠が複数存在する場合には、意匠毎に点列群データを記録する。

（４）識別部１６
次に、識別部１６について図５に基づいて説明する。

図２のステップ３において、識別部１６は、図５に示すように、データ取得部１４で取得した初期意匠の点列群に関して、形状、位相を変更せず初期意匠のまま保持しておく点列データ群を識別する。この識別方法としては、ユーザ自身がフラグを立てたりして識別する。以下、初期意匠がそのまま保持されている意匠を「固定初期意匠」といい、形状や位相を変更させる初期意匠を「変更初期意匠」という。

（５）第１計算部１８
次に、第１計算部１８について図６に基づいて説明する。

図２のステップ４において、第１計算部１８は、ヘビサイト関数Ｈの初期値を設定する。ここで、ヘビサイト関数Ｈを用いるのは、有限要素法による変位場における歪みと応力の計算と、レベルセット関数の更新を安定的に行うためである。

第１計算部１８は、各有限要素におけるヘビサイト関数Ｈが、０又は１の何れかを初期値として設定する。この設定は、ユーザ自身が行ってもよく、また、アプリケーションを用いて意匠の境界が有る場合は１、無い場合は０のように計算する。

具体的には、ヘビサイト関数Ｈ（ｘ，ｙ）は、各有限要素の各重心点（ｘ，ｙ）での値を意味する。そして、第１計算部１８は、図６に示すように、有限要素の重心点が、初期意匠を表す境界よりも外側のときは、初期値をＨ（ｘ，ｙ）＝０と設定し、有限要素の重心点が、初期意匠を表す境界よりも内側のときは、初期値をＨ（ｘ，ｙ）＝１と設定する。

（６）第２計算部２０
次に、第２計算部２０について図７と図８に基づいて説明する。

図２のステップ５において、第２計算部２０は、有限要素毎にレベルセット関数φを計算する。

まず、レベルセット関数φとは、図８に示すように、各有限要素の重心点と最短距離にある意匠を表す点を求め、これら点の間の最短の距離を求める関数である。レベルセット関数φについて、さらに詳しく説明する。

レベルセット関数φは、各有限要素で値を持ち、その評価点を有限要素の中心（重心点）と設定し、その重心点の位置ベクトルをＰ＝（ｘ_Ｐ，ｙ_Ｐ）とすると、レベルセット関数はφ（Ｐ）で表される。任意の有限要素における中心（重心点）の位置ベクトルＰ（ｘ_Ｐ，ｙ_Ｐ）と、意匠を表す点列（境界）の中で、位置ベクトルＰに対して最短距離にある境界上の点の位置ベクトルをＱ＝（ｘ_Ｑ，ｙ_Ｑ）とすると、重心点におけるレベルセット関数φ（Ｐ）は次の式（１）で表される。

そこで第２計算部２０は、式（１）を用いて有限要素毎にレベルセット関数φ（Ｐ）を計算する。但し、Ｐは、上記したように各有限要素の重心点の位置ベクトルを示す。

次に、第２計算部２０は、有限要素毎に求めたレベルセット関数φ（Ｐ）を評価する。レベルセット関数φ（Ｐ）を評価するとは、レベルセット関数φ（Ｐ）が求めた最短距離に符号を付加することである。まず、このレベルセット関数φ（Ｐ）で表される距離の符号は、意匠（閉領域）の内側又は外側にあるかで決定する。上記で説明したように、意匠（閉領域）の内側又は外側にあるかは、ヘビサイト関数Ｈの初期値（０又は１）でわかるため、第２計算部２０は、図７に示すように対象とした有限要素の重心点が、意匠の外側にあれば（初期値＝０のとき）、レベルセット関数φ（Ｐ）で求めた最短距離の符号に−を付加し、意匠の内側（ハッチングの領域）にあれば（初期値＝１のとき）、＋の符号を付加する。

（７）第３計算部２２
次に、第３計算部２２について説明する。

図２のステップ６において、第３計算部２２は、第２計算部２０で求めた有限要素毎のレベルセット関数φ（Ｐ）を用いて、第１計算部１８で初期値を設定したヘビサイト関数Ｈを再計算する。ヘビサイト関数Ｈは、下記の式（２−１）〜式（２−３）に示すようにレベルセット関数φ（Ｐ）で計算できる。すなわち、ヘビサイト関数はＨ（φ（Ｐ））で表される。但し、Ｐは、ヘビサイト関数Ｈ（φ（Ｐ））を計算する評価点（各有限要素の重心点）の位置ベクトルを意味する。

φ（Ｐ）／ｈ＜−１のときは、

Ｈ（φ（Ｐ））＝Ｅｒａ ・・・（２−１）

−１＜＝φ（Ｐ）／ｈ＜＝１のときは、

Ｈ（φ（Ｐ））＝（１＋Ｅｒａ）／２＋φ（Ｐ）／ｈ×｛１５／１６−５／８×（φ（Ｐ）／ｈ）^２＋３／１６×（φ（Ｐ）／ｈ）^４｝×（１−Ｅｒａ） ・・・（２−２）


１＜φ（Ｐ）／ｈのときは、

Ｈ（φ（Ｐ））＝１．０ ・・・（２−３）

となる。但し、ｈはヘビサイト関数Ｈ（φ（Ｐ））が０〜１へ遷移するときの幅であって、本実施形態では有限要素の辺の長さとする。また、Ｅｒａとは相対ヤング率を意味し、相対ヤング率とは、意匠内側のヤング率に対する意匠外側のヤング率の比である。

（８）解析部２４
次に、解析部２４について説明する。

図２のステップ７において、解析部２４は、変位場（節点）における歪みベクトルと応力ベクトルを求める。

有限要素法における剛性方程式は、次の式（３−１）のように表される。なお、支配方程式として「最小ポテンシャルエネルギーの原理」を用いる。

Π＝Ｕ−Ｗ ・・・（３−１）

但し、Πとは全ポテンシャルエネルギー（外力を受けて変形した状態から元の状態に戻ろうとする仕事量）、Ｕとは歪みエネルギー、Ｗとは外力による仕事である。

Πについて変位ｕ、ｖ、ｗがつり合いを保つとき、Πは最小となる。

歪みエネルギーＵは次の式（３−２）のように表される。

但し、ε＝（ε_ｘ，ε_ｙ，γ_ｘｙ）は歪みベクトル、σは応力ベクトルである。＊はベクトルの内積を表す。

εは、次の式（３−３）のように表される。

ε＝Ｂ＊ｕ_ｉ ・・・（３−３）

但し、ｕ_ｉは節点変位ベクトル（但し、ｉ＝１〜ｎであり、ｎ＝節点の数×自由度である。節点とは、各有限要素が交わる点を意味し、自由度とは、次元数を意味し、本実施形態では２次元であるため、自由度は２である）、Ｂは歪み−変位マトリックスである。このＢはタイヤの材料によって決定できる。なお、節点が、タイヤという構造物の変位場となり、節点変位ベクトルｕ_ｉが、変位場の変位ベクトルとなる。

σは、次の式（３−４）のように表される。

σ＝Ｄ＊ε ・・・（３−４）

但し、Ｄとは応力−歪みマトリックスである。

式（３−３）と式（３−４）より

σ＝Ｄ＊Ｂ＊ｕ_ｉ ・・・（３−５）

となる。式（３−２）へ式（３−３）及び式（３−５）を代入すると、

一方で、外力による仕事を考えると、

−Ｗ＝−ｆ_ｉ ^Ｔ＊ｕ_ｉ ・・・（３−７）

となる。但し、ｆ_ｉは節点外力ベクトルである（但し、ｉ＝１〜ｎであり、ｎ＝節点数×自由度である）。

以上より、Πは次の式（３−８）のように表される。

Π＝（ｕ_ｉ ^Ｔ＊Ｋ＊ｕ_ｉ−ｆ_ｉ ^Ｔ＊ｕ_ｉ）／２ ・・・（３−８）

Πを各節点変位について偏微分して、まとめると、

ｄΠ／ｄｕ_ｉ＝Ｋ＊ｕ_ｉ−ｆ_ｉ ・・・（３−９）

となる。

また、Πの停留条件により、ｕ_ｉがつり合いを保つには

ｄΠ／ｄｕ_ｉ＝０ ・・・（３−１０）

したがって式（３−９）と式（３−１０）より

Ｋ＊ｕ_ｉ−ｆ_ｉ＝０ ・・・（３−１１）

となる。この式を変形すると、

Ｋ＊ｕ_ｉ＝ｆ_ｉ ・・・（３−１２）

となる。この式（３−１２）が剛性方程式である。式（３−１２）より未知数ｕ_ｉを求め、歪みベクトル及び応力ベクトルは次のように求めることができる。

歪みベクトル ε＝Ｂ＊ｕ_ｉ ・・・（３−１３）
応力ベクトル σ＝Ｄ＊ε ・・・（３−１４）

以上により、変位場（節点）における歪みベクトルと応力ベクトルを導くことができる。

（９）関数算出部２６
次に、関数算出部２６ついて説明する。

図２のステップ８において、関数算出部２６は、目的汎関数を求める。この目的汎関数を求める前に、関数算出部２６は、ラグランジュの未定定数λと歪力βを求める。

（９−１）歪力βの求め方
関数算出部２６が歪力βを求める方法について説明する。

歪力βは、非特許文献１から次の式（４−１）のように表される。

β＝−ε＊Ｄ＋２ｂ＊ｕ （４−１）

ここでｂは物体力のベクトル、ｕは変位場（２次元で表された節点変位ベクトル、簡略表記のために有限要素のアドレスを示す添え字のｉは省略している）、εは歪みベクトル、Ｄは応力−歪みマトリックス（弾性定数マトリックス）を意味する。本実施形態で扱う問題は、物体力（重力、遠心力など）は無視するので式（４−１）は次のようになる。

β＝−ε＊Ｄ＊ε ・・・（４−２）

本実施形態は２次元であるので、εは次の式（４−３）のように表される。

ε＝（ε_ｘ，ε_ｙ，γ_ｘｙ） ・・・（４−３）

ε_ｘ，ε_ｙ，γ_ｘｙは式（３−３）より求められる。すなわち、式（３−３）を再表記すると、

ε＝（ε_ｘ，ε_ｙ，γ_ｘｙ）＝Ｂ＊ｕ_ｉ ・・・（４−４）

となる。Ｄは次の式（４−５）のように表される。

以上によりβは、次の式（４−６）のように表される。

関数算出部２６は、βを上記の式（４−６）から求める。このβはスカラー量であり、有限要素毎に値が存在する。

（９−２）ラグランジュの未定係数λの求め方
関数算出部２６が、ラグランジュの未定定数λを求める方法について説明する。

未定係数λは、非特許文献１から次の式（５−１）のように表される。

ここでΩは全領域を意味し、本実施形態では有限要素モデルの全領域を意味する。

また、ｄＨ（φ）／ｄφは、式（２−１）〜式（２−３）を微分すると次のように表される。なお、φ（Ｐ）はφと簡易に表記している。

φ／ｈ＜−１のときは、

ｄＨ（φ）／ｄφ＝０ ・・・（５−２）

−１＜＝φ／ｈ＜＝１のときは、

ｄＨ（φ）／ｄφ
＝１５／１６ｈ×｛１−（φ／ｈ）^２｝^２×（１−Ｅｒａ） ・・・（５−３）

１＜φ／ｈのときは、

ｄＨ（φ）／ｄφ＝０ ・・・（５−４）

となる。

そして、λを求めるために、式（５−１）の分子と分母の値をそれぞれ計算する。

式（５−１）の分子の値Ａを求め方は次の通りである。まず、第１〜第４の算出処理を有限要素毎に繰り返し行う。

第１に、βを求める。

第２に、φ／ｈを求める。

第３に、φ／ｈの値によりｄＨ（φ）／ｄφを求める。

第４に、β×（ｄＨ（φ）／ｄφ）^２を求める。

そして、第１〜第４の算出処理を繰り返して、有限要素毎に求めたβ×（ｄＨ（φ）／ｄφ）^２を全て積算して分子の値Ａを求める。

式（５−１）の分母の値Ｂを求め方は次の通りである。まず、第１〜第３の算出処理を有限要素毎に繰り返し行う。

第１に、φ／ｈを求める。

第２に、φ／ｈの値によりｄＨ（φ）／ｄφを求める。

第３に、（ｄＨ（φ）／ｄφ）^２を求める。

そして、第１〜第３の算出処理を繰り返して、有限要素毎に求めた（ｄＨ（φ）／ｄφ）^２を全て積算して分子の値Ｂを求める。

関数算出部２６は、最後に次の式（５−５）からλを求める。なお、λは全領域Ω（全ての有限要素）に対して１つの値をとる。

λ＝Ａ／Ｂ ・・・（５−５）

（９−３）目的汎関数Ｊの求め方
関数算出部２６が、最終的な目的汎関数Ｊを求める方法について説明する。

目的汎関数Ｊは、次の式（６）から求まる。

但し、ヘビサイト関数Ｈ（φ（Ｐ））は、式（２−１）〜式（２−３）で表されたものであり、Ｍ_ｍａｘは許容される面積の最大値、Ｍ_Ωは、全領域Ω（有限要素全体）の面積を表す。

（１０）更新部２８
次に、更新部２８について説明する。

図２のステップ９において、更新部２８は、下記の式（７−３）で示す偏微分方程式を満たすために、レベルセット関数φ（Ｐ）を更新幅Δｔで更新する。なお、本実施形態では、固定初期意匠は保持した状態で最適解を求めるため、固定初期意匠に属する有限要素のレベルセット関数φ（Ｐ）は更新させない。

まず、上記で説明した目的汎関数Ｊを更新するために最小化することは、次の偏微分方程式を解くことと等価である。なお、偏微分を表す記号が明細書で表記できないため、「ｄ」で代用する。また、φ（Ｐ）はφで簡略に表記する。

ｄφ／ｄｔ＋（β＋λ）×ｄＨ（φ）／ｄφ＝０ ・・・（７−１）

ここで、

ｇ＝（β＋λ）×ｄＨ（φ）／ｄφ ・・・（７−２）

とおくと、

ｄφ／ｄｔ＋ｇ＝０ ・・・（７−３）

となる。この式（７−３）が偏微分方程式である。この偏微分方程式を前進オイラー法を用いて有限差分法で近似すると次の式（７−４）のようになる。

（φ^ｎ＋１ _ｉ−φ^ｎ _ｉ）／Δｔ＝−ｇ ・・・（７−４）

但し、添字のｎは反復回数、ｉは有限要素のアドレス、Δｔは更新幅である。式（７−４）を変形すると、

φ^ｎ＋１ _ｉ＝φ^ｎ _ｉ−Δｔ×ｇ ・・・（７−５）

となる。この式（７−５）によりレベルセット関数φを更新幅Δｔで更新する。

この求解において安定的に計算を進めるためには、Δｔを適切に定める必要がある。この条件をＣＦＬ条件と呼び、次の式（７−６）で表わせる。

ｄφ_ｍｉｎ／Δｒ＜＝１ ・・・（７−６）

ここでΔｒは有限要素の間隔である。この式（７−６）を変形すると、

ｄφ_ｍｉｎ＜＝Δｒ ・・・（７−７）

この式（７−６）で表されたＣＦＬ条件を満たすようにｄφ_ｍｉｎを決定する。ｄφ_ｍｉｎを決めた後に、Δtを以下の式（７−８）により定める。

Δｔ＝ｄφ_ｍｉｎ／ｍａｘ｛ｇ｝ ・・・（７−８）

この更新幅Δｔを用いることで安定的に解が求まる。但し、ｍａｘ｛ｇ｝は、上記の式（７−２）で求めるｇの最大値を意味する。

そして、本実施形態では、更新部２８は、固定初期意匠については更新を行わないため、固定初期意匠に属する有限要素のときはΔｔ＝０として計算するか、この計算をスキップして計算しない。

（１１）再初期化部３０
次に、再初期化部３０について説明する。

図２のステップ１０において、再初期化部３０は、レベルセット関数φの再初期化を行う。

再初期化を行う理由は、レベルセット関数φを更新すると、レベルセット関数φがゼロ等位線φ＝０からの符号付距離関数の性質を失うという問題が生じるため、この再初期化を行う必要があるからである。

（１１−１）φ＝０の等位線の求め方
φ＝０の等位線を求めるには、図９に示すように、レベルセット関数φの４つの評価点で囲まれた仮想有限要素について、各辺を構成する評価点のレベルセット関数φの符号が異なる辺で必要があることがわかる。

φ＝０の等位線が交差する有限要素を特定した後、図１０に示すように、特定した有限要素内でφ＝０の仮想点Ｒを作成する。

ここで、

φ（ｓ，ｔ）＝ａ_０＋ａ_１×ｓ＋ａ_２×ｔ＋ａ_３×ｓ×ｔ ・・・（８−１）

と定義する。但し、ａ_３＝０の場合について考える。φ（ｓ，ｔ）＝０上の点は、任意のθを用いて次の式（８−２）、式（８−３）のように表せる。

ｓ＝−ａ_２／ａ_３＋（｜（ａ_１×ａ_２−ａ_０×ａ_３）／ａ_３ ^２｜）^１／２×ｅ^θ
・・・（８−２）

ｔ＝−ａ_１／ａ_３＋（｜（ａ_１×ａ_２−ａ_０×ａ_３）／ａ_３ ^２｜）^１／２×ｅ^θ
・・・（８−３）

となる。θは、図１０に示すように点Ｐ_０と仮想点Ｒとの間の角度であるので、次の式（８−４）により求まる。

θ_ｋ＝θ_０＋（θ_ｋ−１−θ_０）×ｋ／（ｍ−１） ・・・（８−４）

但し、ｋ＝１，２，・・・ｍ−２である。

再初期化部３０は、式（８−４）を式（８−２）と式（８−３）に代入して、φ＝０の仮想点Ｒ（ｓ_１，ｔ_１）を求める。

（１１−２）全体座標系への変換
再初期化部３０は、上記で求めた仮想点Ｒを一般座標系（ｓ，ｔ）から全体座標系（ｘ，ｙ）へ座標変換する。その変換について図１１に基づいて説明する。

任意の有限要素に関する一般座標系（ｓ，ｔ）における仮想点Ｒと、全体座標系（ｘ，ｙ）における点Ｑとの関係は、形状関数を用いると次のようになる。なお、Ｒ_１、Ｒ_２、Ｒ_３、Ｒ_４は、一般座標系（ｓ，ｔ）における有限要素の節点である。

Ｆ_１＝（１．０＋ｓ_１）（１．０＋ｔ_１）
Ｆ_２＝（１．０−ｓ_１）（１．０＋ｔ_１）
Ｆ_３＝（１．０−ｓ_１）（１．０−ｔ_１）
Ｆ_４＝（１．０＋ｓ_１）（１．０−ｔ_１） ・・・（９−１）

全体座標系における有限要素の４つの節点座標をＱ_１（ｘ_１，ｙ_１），Ｑ_２（ｘ_２，ｙ_２），Ｑ_３（ｘ_３，ｙ_３），Ｑ_４（ｘ_４，ｙ_４）とする。これらより点Ｑ（ｘ’，ｙ’）は次の式（１０−１）、式（１０−２）により求まる。

ｘ’＝Ｆ_１×ｘ_１＋Ｆ_２×ｘ_２＋Ｆ_３×ｘ_３＋Ｆ_４×ｘ_４ ・・・（１０−１）

ｙ’＝Ｆ_１×ｙ_１＋Ｆ_２×ｙ_２＋Ｆ_３×ｙ_３＋Ｆ_４×ｙ_４ ・・・（１０−２）

以上により、再初期化部３０は、等位線φ＝０上の仮想点Ｒの群を一般座標系（ｓ，ｔ）から全体座標系（ｘ，ｙ）へ座標変換して点Ｑの群を求める。

（１１−３）再初期化したφの求め方
再初期化部３０は、上記で求めた点Ｑの群とレベルセット関数φの評価点（有限要素の重心点）との距離を計算し、最短距離にある点間距離を新たにレベルセット関数φの値とする。この計算は、第２計算部２０が式（１）を用いて計算した方法と同様にして求める。この計算が再初期化である。なお、各レベルセット関数の符号は、再初期化する前のレベルセット関数の符号をそのまま付加する。

さらに、再初期化部３０は、再初期化したレベルセット関数を用いて、第３計算部２２と同様に式（２−１）〜式（２−３）を用いてヘビサイト関数Ｈを再計算する。この再計算したヘビサイト関数Ｈは、解析部２４において、歪みベクトル等を反復計算するときに用いる。

（１２）修正部３２
次に、修正部３２について説明する。

図２のステップ１１において、修正部３２は、面積制約に対するレベルセット関数φの修正を行う。この修正を行う理由は、前記タイヤパターンの設計領域においては、最大面積が定められているからである。

トポロジーを保存したまま面積の制約を満たすには、φ＝０の等位線と同じトポロジーを持ち、距離ｑだけ離れたφ−ｑ＝０の等位線を求める必要がある。

この式（１１−１）は、φ−ｑ＝０の等位線を意匠の境界とみなした領域の面積である。

このｑを求めるために次のように計算する。

ｑが十分小さいとすれば次の式（１１−３）のように近似できる。

したがって、ｑは次の式（１１−４）のようになる。

Ｍ（ｑ）は目標の面積を表し、Ｍ（０）は現在の面積を表している。

求めた面積の制約分の補正値ｑをレベルセット関数φから引くと修正したレベルセット関数φ’となる。すなわち、

φ’＝φ−ｑ ・・・（１１−５）

となる。なお、以下の説明では、φ’は、単にφで表記する。

（１３）判定部３４
次に、判定部３２について説明する。

図２のステップ１２において、判定部３２は、求解時の収束判定条件に基づいてレベルセット関数φ（Ｐ）が最適化されているか否かを判定する。

まず、求解時の収束判定条件について説明する。

判定部３４は、（ｎ＋１）反復回数で求めたレベルセット関数φとｎ反復回数で求めたレベルセット関数φを用いて、収束判定を行う。

平均自乗残差は次の式（１２）のように表せる。

但し、ｅｒｒは収束判定値であり、本実施形態ではｅｒｒ＝１．０×１０^−６とする。なお、式（１２）の中における（ｉ，ｊ）は、有限要素のアドレスを意味し、この判定部３２までに記載された有限要素のアドレスｉをｘ−ｙ座標系における２次元で表記したものである。

判定部３２は、図２のステップ１２において式（１２）を満たすまで、すなわち、レベルセット関数φが収束するまで解析部２４から修正部３２の動作を繰り返すように制御する。すなわち、判定部３２は、レベルセット関数φが式（１２）に基づいて収束しなければ、反復回数ｎを１増加させてステップ７に戻る（図２のステップ１２のＮの場合）。

そして、判定部３２は、式（１２）を具備すると、レベルセット関数φが収束したとして（図２のステップ１２のＹの場合）、ステップ１３に進み、判定部３２は、収束したそのレベルセット関数φ（Ｐ）を、最適化したレベルセット関数φ（Ｐ）と判定する。

（１４）変換部３６
次に、変換部３６について図１２に基づいて説明する。

図２のステップ１４において、変換部３６は、最適化したレベルセット関数φ（Ｐ）を、タイヤパターンにおける意匠へ変換する。

図１２には仮想有限要素を示し、仮想有限要素の各節点は、有限要素における中心（重心点）を示している。この仮想有限要素の辺を構成する節点に、最適化したレベルセット関数φ（Ｐ）の値が格納されている。但し、Ｐは各節点における位置ベクトルである。

仮想有限要素の両端の節点に格納されたレベルセット関数φの値が異符号であれば、その辺上にレベルセット関数φ＝０の点が存在する。変換部３６は、そのゼロ点を、両端の節点でのレベルセット関数φの値で内分して求め、有限要素毎に求めたゼロ点をそれぞれ結んで線を求める。この結んだ線が、形状と位相が最適化されたタイヤパターンの意匠として表される。なお、この最適化された意匠は、固定初期意匠を保持し、変更初期意匠のみが変更されている。

（１５）出力部３８
次に、出力部３８について図１４と図１５に基づいて説明する。

図２のステップ１５において、出力部３８は、以上のようにして求めた意匠を出力する。出力は、ディスプレイによって表示するか、又は、プリンタによって印刷する。

図１４（ａ）が初期意匠を示すタイヤパターンであり、図１４（ｂ）が従来の手法で最適化した意匠のタイヤパターンであり、図１４（ｃ）が本実施形態で最適化した意匠のタイヤパターンである。

従来の手法では、固定初期意匠についても変更されているが、本実施形態では、固定初期意匠については形状及び位相が変更されず、変更初期意匠のみが変更されたものとなっている。

また、図１５に示すように、本実施形態では、面積の制約条件を具備し、かつ、目的汎関数が収束している。

（１６）効果
以上により、本実施形態の解析装置１０であると、固定初期意匠を保持したまま、変更初期意匠のみについて形状及び位相の最適化問題を解決できる。

変更例

上記実施形態では、タイヤパターンにおける意匠は、ブロック形状で説明したが、これに限らず、タイヤの接地形状において、陸部、溝部によって表される閉領域のどのような意匠であっても、解析装置１０は最適化ができる。

また、上記実施形態では、前記タイヤパターンの設計領域に関する面積制約を行ったが、面積制約が不要な場合には、修正部３２を省略してもよい。

また、上記実施例では、２次元のタイヤパターンで説明したが、３次元のタイヤパターンでも同様にこの解析装置１０で解析できる。なお、この場合には、修正部３２は、面積制約ではなく、前記タイヤパターンの設計領域に関する体積制約を行うこととなり、また、意匠は境界線ではなく境界面で表され、さらに、φ＝０で表現されるのは等位線でなく等位面で表される。

上記では本発明の一実施形態を説明したが、この実施形態は、例として提示したものであり、発明の範囲を限定することは意図していない。本発明の主旨を逸脱しない範囲で、種々の省略、置き換え、変更を行うことができる。

１０・・・解析装置、１２・・・モデル作成部、１４・・・データ取得部、１６・・・識別部、１８・・・第１計算部、２０・・・第２計算部、２２・・・第３計算部、２４・・・解析部、２６・・・関数算出部、２８・・・更新部、３０・・・再初期化部、３２・・・修正部、３４・・・判定部、３６・・・変換部、３８・・・出力部

Claims (16)

1. タイヤのトレッドパターンの意匠を求める解析装置において、
   初期意匠を表した有限要素モデルを作成するモデル作成部と、
   前記有限要素モデルにおける初期意匠の境界を表した点列群に関するデータを取得するデータ取得部と、
   前記初期意匠に関して、設計変更が可能な初期意匠である変更初期意匠と、設計変更が不可能な初期意匠である固定初期意匠とに識別する識別部と、
   前記有限要素モデルにおける有限要素毎のヘビサイト関数の初期値を計算する第１計算部と、
   （１）前記有限要素毎の評価点と最短距離にある前記初期意匠を表す点を特定し、前記最短距離を値とするレベルセット関数を、前記有限要素毎に計算すると共に、（２）前記最短距離の値に関して前記ヘビサイト関数に基づいてプラス又はマイナスの符号を付加する第２計算部と、
   前記有限要素毎のレベルセット関数を用いて、前記初期値を計算したヘビサイト関数を再計算する第３計算部と、
   有限要素法を用いて各有限要素の変位場における歪みベクトルを少なくとも解析する解析部と、
   再計算した前記ヘビサイト関数の値と前記歪みベクトルとから目的凡関数を、前記有限要素毎に算出する関数算出部と、
   前記目的凡関数を最小化することにより、前記変更初期意匠に関する前記有限要素のレベルセット関数のみを更新する更新部と、
   更新した前記レベルセット関数を再初期化する再初期部と、
   前記有限要素毎の再初期化した前記レベルセット関数が収束しているか否かを判定し、収束していなければ前記解析部、前記関数算出部、更新部、再初期化部の処理を繰り返すように制御し、収束していれば、収束した前記レベルセット関数を最適化したレベルセット関数と判定する判定部と、
   前記有限要素毎の最適化したレベルセット関数から、最適化した意匠に変換する変換部と、
   を有することを特徴とする解析装置。
2. 前記モデル作成部が作成する有限要素モデルは、２次元の有限要素モデル、又は、３次元の有限要素モデルである、
   ことを特徴とする請求項１に記載の解析装置。
3. 前記タイヤパターンの設計領域に関する面積制約、又は、体積制約に基づいて、再初期化した前記レベルセット関数を修正する修正部をさらに有する、
   ことを特徴とする請求項１又は２に記載の解析装置。
4. 前記評価点が、前記有限要素の重心点である、
   ことを特徴とする請求項１乃至３のいずれか一項に記載の解析装置。
5. 前記第１計算部は、前記有限要素の前記評価点が、前記初期意匠を表す境界よりも外側のときは前記初期値を０と設定し、前記初期意匠を表す境界よりも内側のときは前記初期値を１と設定する、
   ことを特徴とする請求項４に記載の解析装置。
6. 前記第２計算部は、前記最短距離を値とする前記レベルセット関数の符号に関して、前記ヘビサイト関数の前記初期値が０のときはマイナスの符号を付加し、前記初期値が１のときはプラスの符号を付加する、
   ことを特徴とする請求項５に記載の解析装置。
7. 前記第３計算部は、前記レベルセット関数の値に加えて、前記有限要素の辺の長さと相対ヤング率から前記ヘビサイト関数の値を、前記有限要素毎に再計算する、
   ことを特徴とする請求項６に記載の解析装置。
8. 前記解析部は、前記有限要素の前記評価点を節点とした前記変位場における前記歪みベクトルと応力ベクトルを、前記有限要素法における剛性方程式に基づいて解析する、
   ことを特徴とする請求項７に記載の解析装置。
9. 前記関数算出部は、
   前記歪みベクトルを用いて歪力を前記有限要素毎に算出し、
   前記歪力と前記レベルセット関数を用いてラグランジュの未定定数を前記有限要素毎に算出し、
   再計算した前記ヘビサイト関数、前記ラグランジュの未定定数、前記歪みベクトルを用いて、前記目的凡関数を前記有限要素毎に算出する、
   ことを特徴とする請求項８に記載の解析装置。
10. 前記更新部は、
    前記レベルセット関数に関する偏微分方程式を、前進オイラー法を用いた有限差分法で近似し、この近似した式に関して、前記変更初期意匠に属する前記有限要素については所定の更新幅で更新し、かつ、前記固定初期意匠に属する前記有限要素については前記更新幅を０として更新するか、又は、この更新を計算しない、
    ことを特徴とする請求項９に記載の解析装置。
11. 前記再初期化部は、
    更新した前記レベルセット関数φに関して、φ＝０の等位線又は等位面を算出し、
    前記有限要素毎の評価点と前記φ＝０上の点と最短距離にある前記φ＝０上の点を特定し、前記最短距離を値とする前記レベルセット関数を、前記有限要素毎に計算する、
    ことを特徴とする請求項１０に記載の解析装置。
12. 前記判定部は、
    前記更新後で、かつ、再初期化した前記レベルセット関数の値と、前記更新前で、かつ、再初期化した前記レベルセット関数の値との平均自乗残差値を求め、前記平均自乗残差値が所定値より小さくなれば収束したと判定する、
    ことを特徴とする請求項１１に記載の解析装置。
13. 前記変換部は、
    前記有限要素毎の最適化した前記レベルセット関数から求めたφ＝０の各点をそれぞれ結んだ線又は面を、最適化した意匠の境界線又は境界面に設定する、
    ことを特徴とする請求項１２に記載の解析装置。
14. 最適化した前記意匠を出力する出力部をさらに有する、
    ことを特徴とする請求項１乃至１３のいずれか一項に記載の解析装置。
15. タイヤのトレッドパターンの意匠を求める解析方法において、
    初期意匠を表した有限要素モデルを作成するモデル作成ステップと、
    前記有限要素モデルにおける初期意匠の境界を表した点列群に関するデータを取得するデータ取得ステップと、
    前記初期意匠に関して、設計変更が可能な初期意匠である変更初期意匠と、設計変更が不可能な初期意匠である固定初期意匠とに識別する識別ステップと、
    前記有限要素モデルにおける有限要素毎のヘビサイト関数の初期値を計算する第１計算ステップと、
    （１）前記有限要素毎の評価点と最短距離にある前記初期意匠を表す点を特定し、前記最短距離を値とするレベルセット関数を、前記有限要素毎に計算すると共に、（２）前記最短距離の値に関して前記ヘビサイト関数に基づいてプラス又はマイナスの符号を付加する第２計算ステップと、
    前記有限要素毎のレベルセット関数を用いて、前記初期値を計算したヘビサイト関数を再計算する第３計算ステップと、
    有限要素法を用いて各有限要素の変位場における歪みベクトルを少なくとも解析する解析ステップと、
    再計算した前記ヘビサイト関数の値と前記歪みベクトルとから目的凡関数を、前記有限要素毎に算出する関数算出ステップと、
    前記目的凡関数を最小化することにより、前記変更初期意匠に関する前記有限要素のレベルセット関数のみを更新する更新ステップと、
    更新した前記レベルセット関数を再初期化する再初期ステップと、
    前記有限要素毎の再初期化した前記レベルセット関数が収束しているか否かを判定し、収束していなければ前記解析ステップ、前記関数算出ステップ、更新ステップ、再初期化ステップの処理を繰り返すように制御し、収束していれば、収束した前記レベルセット関数を最適化したレベルセット関数と判定する判定ステップと、
    前記有限要素毎の最適化したレベルセット関数から、最適化した意匠に変換する変換ステップと、
    を有することを特徴とする解析方法。
16. タイヤのトレッドパターンの意匠を求める解析プログラムにおいて、
    コンピュータに、
    初期意匠を表した有限要素モデルを作成するモデル作成機能と、
    前記有限要素モデルにおける初期意匠の境界を表した点列群に関するデータを取得するデータ取得機能と、
    前記初期意匠に関して、設計変更が可能な初期意匠である変更初期意匠と、設計変更が不可能な初期意匠である固定初期意匠とに識別する識別機能と、
    前記有限要素モデルにおける有限要素毎のヘビサイト関数の初期値を計算する第１計算機能と、
    （１）前記有限要素毎の評価点と最短距離にある前記初期意匠を表す点を特定し、前記最短距離を値とするレベルセット関数を、前記有限要素毎に計算すると共に、（２）前記最短距離の値に関して前記ヘビサイト関数に基づいてプラス又はマイナスの符号を付加する第２計算機能と、
    前記有限要素毎のレベルセット関数を用いて、前記初期値を計算したヘビサイト関数を再計算する第３計算機能と、
    有限要素法を用いて各有限要素の変位場における歪みベクトルを少なくとも解析する解析機能と、
    再計算した前記ヘビサイト関数の値と前記歪みベクトルとから目的凡関数を、前記有限要素毎に算出する関数算出機能と、
    前記目的凡関数を最小化することにより、前記変更初期意匠に関する前記有限要素のレベルセット関数のみを更新する更新機能と、
    更新した前記レベルセット関数を再初期化する再初期機能と、
    前記有限要素毎の再初期化した前記レベルセット関数が収束しているか否かを判定し、収束していなければ前記解析機能、前記関数算出機能、更新機能、再初期化機能の処理を繰り返すように制御し、収束していれば、収束した前記レベルセット関数を最適化したレベルセット関数と判定する判定機能と、
    前記有限要素毎の最適化したレベルセット関数から、最適化した意匠に変換する変換機能と、
    を実現させるための解析プログラム。

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