JP2008543566A - ストリップの圧延工程における平坦度制御を最適化するための方法と装置 - Google Patents

Abstract

本発明は、任意の数のミルスタンドとアクチュエータとを用いて、ストリップの圧延工程における平坦度制御を最適化する方法と装置に関する。本発明は、各アクチュエータの平坦度効果の情報を含む、ミルマトリクスが表すミルモデルを使用し、各アクチュエータの平坦度効果を、用いるアクチュエータの数と等しい又は小さい寸法形状の座標システムに変成し、ストリップの全面における実際の平坦度の値をモニタ／サンプル抽出し、モニタ／サンプル抽出したストリップの平坦度と基準の平坦度ベクトルとの間の差として、平坦度誤差／偏差のベクトルを計算し、平坦度誤差を、より小さいパラメータ化した平坦度誤差ベクトルに変換し、パラメータ化した平坦度誤差を最小限にするために、最適化したアクチュエータ設定点を計算する動的コントローラを使用するので、所望のストリップ平坦度を達成する。本発明は、ストリップの圧延工程の平坦度制御を最適化するシステムにも関する。

Description

本発明は、任意の数の機械的な又はその他のアクチュエータを用いる、圧延製品の平坦度制御のための方法と装置に関する。

圧延製品、ストリップの平坦度は、圧延機のワークロールと圧延ストリップの厚みプロファイルとの間のロールギャッププロフィールから決まる。このためストリップの平坦度は、ワークロールギャッププロフィールに作用する、異なる制御装置の操作の影響を受ける。このようなアクチュエータは、ワークロール曲げ機、中間ロール曲げ機、歪曲又は転回装置、中間ロール移動装置、トップクラウンアクチュエータのような機械装置、又はワークロール冷却／加熱機などのような熱デバイスである。

本発明は、所望のストリップ平坦度が得られるよう、最適な方式でストリップ平坦度に影響するために、パラメータ化における平坦度効果や物理的な制約等のアクチュエータ特性を用いて、所望の目標平坦度と実際に測定した平坦度との間の偏差の特殊なパラメータ化と共に、任意の線形多変数系のコントローラから成る特殊な制御構造を用いて、制御装置（又はアクチュエータ）の設定点を定める方法と装置に関する。

圧延機の制御装置又はアクチュエータは、ワークロールのロールギャッププロフィールに作用することにより、異なる方式でストリップの平坦度に影響する。

高性能の平坦度制御のための条件は、ストリップ全面にわたる実際の平坦度への連続アクセス、即ち、平坦度プロファイルを有することである。既知の平坦度プロファイルから、圧延機は、測定した平坦度プロファイルと与えられた目標の又は基準の平坦度プロファイルとに基づいて、使用可能な制御装置の設定点を計算する平坦度制御システムを装着することができ、図１に示すような閉ループの平坦度制御を実現する。平坦度制御は幾つかの実行装置を具備しており、これは、比較的複雑な評価プロセスを、最良の結果を呈するような制御装置による様々な動作の強度を定めるために、実施しなければならないことを意味する。

測定装置は、金属の測定ロールとして設計され、１６〜６４測定点のようなものがストリップ全面に渡って配置されていてもよく、大抵の場合偏向ロールを使用せずに、ミルスタンドと巻取リールとの間に設置できる。このような測定ロールは、ＡＢＢが製作する“Ｓｔｒｅｓｓｏｍｅｔｅｒ"である。測定は、例えば、磁気弾性の原理に基づいて、フォーストランスデューサを用いて行われ、主に測定ロールに沿ったストリップの応力分布を呈する。応力が材料の座屈応力より大きい場合、シートは、ストリップが任意の引張力による影響が無い状態にある時に曲がる。応力分布が、圧延方向におけるストリップの平坦度プロファイルになる。平坦度測定装置の技術と現在の圧延速度とに準じて、ストリップ全面にわたる新たな完全な平坦度プロファイルを、４：ｔｈ ｍｓ（ミリ秒）ごとに測定できる。

ストリップを圧延する時に、常に所望の平坦度プロファイルを維持することが重要である。所望の平坦度からの偏差は、重大なストリップの破壊を招く結果となる。平坦度制御システムの課題は従って、計算の速度と精度においてこのようなシステムに特に要求される、所望の平坦度プロファイルにできるだけ近い実際の平坦度プロファイルを実現することである。

平坦度制御の技術は、下記の異なる公開文献に記されている。
Ｍ．Ｊ．Ｇｒｉｍｂｌｅ、Ｊ．Ｆｏｔａｋｉｓ、“Ｓｅｎｄｚｉｍｉｒ Ｍｉｌｌｓのストリップ形状制御システムの設計"、自動制御のＩＥＥＥトランザクション、ＡＣ−２７巻、Ｎｏ．３、１９８２
Ｊ．Ｖ．Ｒｉｎｇｗｏｏｄ、“Ｓｅｎｄｚｉｍｉｒ Ｓｔｅｅｌ Ｍｉｌｌｓの形状制御システム"、制御システム技術のＩＥＥＥトランザクション、８巻、 Ｎｏ．１、２０００
Ａ．Ｗｏｌｆｆ、Ｆ．Ｇｏｒｇｅｌｓ、Ｍ．Ｊｅｌａｌｉ、Ｒ．Ｌａｔｈｅ、Ｇ．Ｍｕｃｋｅ、Ｕ．Ｍｕｌｌｅｒ、Ｗ．Ｕｎｇｅｒｅｒ、“金属処理制御における技術の状態と将来の傾向"、第三回ヨーロッパ圧延会議の議事録、ドイツ、Ｄｕｓｓｅｌｄｏｒｆ、
２００３年６月１６〜１８日
Ｍ．Ｊｅｌａｌｕ、Ｕ．Ｍｕｌｌｅｒ、Ａ．Ｗｏｌｆｆ、Ｗ．Ｕｎｇｅｒｅｒ、“圧延機の優れた制御戦術"、Ｍｅｔａｌｌｕｒｇｉｃａｌプラントとテクノロジーインターナショナル、Ｎｏ．３、２００１
Ｓ．Ｒ．Ｄｕｎｃａｎ、Ｊ．Ｍ．Ａｌｌｗｏｏｄ、Ｓ．Ｓ．Ｇａｒｉｍｅｌｌａ、“ストリップメタルの圧延工程における空間制御システムの分析と設計"、制御システムテクノロジーのＩＥＥＥトランザクション、第６巻、Ｎｏ．２、１９８８

ＵＳ６，７２１，６２０では、圧延中に平坦度を制御する方法も提示されている。実際のストリップ平坦度プロファイルは、直交多項式を用いて測定されパラメータ化される。平坦度の誤差偏差は、同じ直交多項式でパラメータ化した所望の基準平坦度プロファイルを用いて生成される。制御変数は、モデル予測制御／内部モード制御スキームの組み合わせを用いて生成される。

本発明は、（直交多項式で表されていない）平坦度誤差プロファイルに直接作用する、より旧式の制御構成を用いることで、この従来技術と異なる。現時点のストリップ全体の平坦度偏差プロファイルは、（パラメータ化誤差をもつ）下記の線形多変数系のコントローラにより作成されるアクチュエータ設定点が、アクチュエータの物理的な制約を超えるように、オンラインミルモデル（ミルマトリクス）の特異値分解（ＳＶＤ）を用いてパラメータ化される。本発明によれば、いかなるタイプのアクチュエータの制御も可能となる。

マルチアクチュエータの冷間圧延機のための、ミルマトリクスの直接インバージョンに基づく従来の平坦度制御方法を用いると、下記の問題をしばしば呈する。

１．ミルモデル（ミルマトリクス）の直接インバージョンは、制御システムをモデル誤差に対して敏感にするので、幾つかのアクチュエータを不安定にし、又はそれらの不要な動きをもたらす。

２．全てのアクチュエータが同時に用いられる。しかし、不完全なデカップリングのために、アクチュエータが個々に制御されない。このため、一つのアクチュエータの僅かな動きが原因で他のアクチュエータが大きく動くことになり、これらを限界状態に陥らせる。

３．前述の問題により結果的に、圧延機のオペレータは、一部のアクチュエータを手動モードで用いることになる。

本発明では、ミルマトリクスのＳＶＤを用いて抽出した、重要な曲げモードのみを用いて、平坦度誤差プロファイルをパラメータ化するので、より安定した確実な制御挙動となり、前述の問題が解決する。

本発明は、ストリップの平坦度制御のために任意の数の制御装置（又はアクチュエータ）の動作を最適化する方法と装置に関し、制御機器の統合部を構成する、評価／計算装置だけでなく制御動作を確実に評価する方法を備える。

マルチアクチュエータ冷間圧延機のための従来の平坦度制御方法は、しばしば別の問題を招く。例えば、このシステムはモデル誤差に対し敏感なため、幾つかのアクチュエータの不安定な又は不要な動きの原因となる。アクチュエータを同時に用いても、アクチュエータは独自のものとはならず、一つのアクチュエータの僅かな動きが、他のアクチュエータの大きな動きとなり、これらを限界状態に陥らせる。しばらく時間がたった後、圧延機のオペレータは、望ましくない手動モードで一部のアクチュエータを用いることになる。

本発明の目的は、前述の問題を解決し、使用可能なアクチュエータの最適な組み合わせを常に使用する、改善され安定し確実な平坦度制御システムを構築することにある。

本発明の目的は、任意の数のアクチュエータを用いて、ストリップの圧延工程における平坦度制御を最適化する方法によって実現され、この方法が、
− 各アクチュエータの平坦度効果の情報を含む、ミルマトリクスが表すミルモデルを使用し、
− 各アクチュエータの平坦度効果を、用いるアクチュエータの数と等しい又は小さい寸法形状の座標システムに変成し、
− ストリップ全域における、実際の平坦度の値をモニタ／サンプル抽出し、
− モニタ／サンプル抽出したストリップの平坦度と基準の平坦度ベクトルとの間の差として、平坦度の誤差／偏差のベクトルを計算し、
− 平坦度の誤差を、より小さいパラメータ化した平坦度誤差ベクトルに変換し、
− パラメータ化した平坦度誤差を最小限にするために、最適化したアクチュエータ設定点を計算する動的コントローラを使用するので、
所望のストリップ平坦度を達成する。

本発明の方法は、使用可能なアクチュエータの最適な組み合わせを常に使用する、改善され安定し確実な平坦度制御システムを構築する。

この方法は制御の問題を、より少ない制御ループに関する問題に低減し、一方では、全てのアクチュエータを同時に用いる。制御ループの数は、アクチュエータの異なる組み合わせにより実現する、重要な平坦度効果の数から決まる。重要な効果の数は、ミルマトリクスの特異値分布から順に推定される。

更に本発明は、オペレータが自動モードを十分に使用することを可能にし、これにより圧延機の出力を向上させ、スクラップの発生を減らし、同じ品質を保ちながらより高速の圧延が可能となる。

図１に示すように、平坦度制御システム１は、幾つかのアクチュエータ３とロール４とを有する、ミルスタンド２を備えるシステムで統合されている。アンコイラ５は、ストリップ６をミルスタンド２に及びそれを介して送り、そこで、ストリップ６が平坦度測定装置７又は張力検出手段、例えば、“Ｓｔｒｅｓｓｏｍｅｔｅｒ"を通ってコイラ８上に巻上がる。ミルスタンドは、ロール４のゆがみや湾曲及び／又は位置ずれを制御できる。圧延プロセスの最終生産品は、所望の平坦度を有する圧延ストリップ６である。

平坦度制御システム１は、図２から分かるように、必要な機能を全て有する、多数の高度な構成要素の周辺に設計されている。

基準平坦度９は、コンパレータ１０で測定したストリップの平坦度と比較される。最終的な平坦度誤差ｅは、今現在のアクチュエータの制約を表す第一ユニット１２からの信号と、アクチュエータストリップ情報のモデル、ミルマトリクスＧ_Ｍを表す第二ユニット１３からの信号と共に、平坦度誤差パラメータ化ユニット１１に送られる。最終的にパラメータ化した平坦度誤差ベクトルｅ^ｐは、情報をアクチュエータ空間とアクチュエータの制約飽和とに変換する、多変数系／動的コントローラ１４に送られる。一方、アクチュエータとストリップ搬送と平坦度センサの動的モデルＧは、第三ユニット１５から多変数系コントローラ１４に送られる。最終的な座標システムｕが、ミルスタンド２とアクチュエータ３とに送られる。

異なる圧延条件は異なる制御戦術を必要とし、補強は、圧延ストリップ、例えばその幅と厚みと材料とに準じて、実施しなければならない。重要なことは、全てのアクチュエータが有する物理的制約を処理することである。これらは、ストローク、最小／最大、スルーレート限界（速度）、相対的ストローク限界、例えば、クラスタミルのステップ限界である。これらの制約も全て、可変と考えられる。

図３は、平坦度制御システムの機能のフローチャートを示す。この方法は下記を具備する。
Ａ． 各アクチュエータの平坦度効果の情報を含む、ミルマトリクスが表すミルモデルの使用。
Ｂ． 各アクチュエータの平坦度効果を、用いるアクチュエータの数と等しい又は小さい寸法形状の座標システムに変成
Ｃ． ストリップの全域における、実際の平坦度値のモニタ／サンプル抽出
Ｄ． モニタ／サンプル抽出したストリップの平坦度と基準の平坦度ベクトルとの間の差として、平坦度誤差／偏差のベクトルを計算
Ｅ． 平坦度誤差を、より小さいパラメータ化した平坦度誤差ベクトルに変換
Ｆ． パラメータ化した平坦度誤差を最小限にするために、最適化したアクチュエータの設定点を計算する動的コントローラを使用
Ｇ． 制御信号をアクチュエータに送って、所望のストリップ平坦度を達成

本発明は、異なるアクチュエータの制約を処理する、高度な平坦度誤差パラメータ化方法を用いている。基本的な平坦度制御システム構造に依存する文献の従来の方法、動的コントローラの前に行う平坦度誤差パラメータ化ステップにおいては、アクチュエータの制約が考慮されていないことが明白である。

本発明は、アクチュエータの制約を超えないように、平坦度誤差をパラメータ化することにより、この問題を解決する。この特長は、平坦度を制御するのに使用可能なアクチュエータを最大限に活用するために不可欠である。

実際には、異なるアクチュエータがいつでも自動又は手動モードにされる可能性があるため、平坦度制御システムは、このような状況に対処できなければならない。本発明では明確に、パラメータ化ステップにおいて直接モード処理を考慮に入れている。

本発明は、一つ又は複数のアクチュエータが手動モードにされて平坦度制御に使用できない場合でも、平坦度制御が最適になるように、平坦度誤差をパラメータ化することにより、この問題を解決する。

本発明は、下記の想定を用いて、平坦度制御の問題を解決する。
１．制御システムはイベント駆動される、即ち、平坦度サンプルがイベントベースで到着又は周期的に駆動される、即ち、平坦度サンプルは周期的に到着する。
２．平坦度誤差のパラメータ化は、任意のタイプの線形写像でよい。従って、任意のパラメータ化マトリクスＧ_ｐが許容になり、このようなマトリクスの一タイプを得るのに、特異値分解、ＳＶＤが用いられる。
３．動的コントローラは、直接項をもつ離散時間線形コントローラの任意のタイプでよい。任意のこのようなコントローラは、状態空間形式で記すことができる。

ここで、
Ｘ_ｃ（ｋ）は、内部コントローラ状態ベクトルであり、
ｙ_ｃ（ｋ）は、パラメータ化した平坦度誤差ｅ^ｐと任意の他のミル変数との連結である、コントローラ入力ベクトルであり、
Ａ（ｋ）、Ｂ（ｋ）、Ｃ（ｋ）、Ｄ（ｋ）は、サンプルとは異なる、コントローラマトリクスである。これは、ロールギャップと平坦度測定装置との間における、変動するアクチュエータ動的要素とストリップ搬送遅延等の、変化するシステム動的要素に対処するために必要である。

下記の二つのステップは、新しい平坦度サンプルｙ（ｋ）ごとに行われる。
１．制約された最小二乗法と任意のパラメータ化マトリクスＧ_ｐとを用いて、アクチュエータの限界を超えないように、平坦度誤差パラメータｅ^ｐを計算する、平坦度誤差のパラメータ化
２．動的コントローラは、機械的アクチュエータに適用される制御信号ｕを得るために、計算したｅ^ｐにより実行される。

本発明の最も重要な特長は、パラメータ化マトリクスＧｐの構築と、ＳＶＤベースの平坦度誤差パラメータ化を用いる場合の、アクチュエータ入力に対するコントローラ出力からの関連マッピングと、アクチュエータの制約を超えないように、リアルタイムでパラメータ化した平坦度誤差ｅ^ｐを計算できる、制約された凸最適化問題の定式化である。

本発明は、平坦度誤差パラメータ化の問題に関して、制約された最適化の公式を作る。次に示す離散時間型の多変数系コントローラの場合、

ここで、

ｙ_ｍ（ｋ）は、任意のミルプロセス変数であり、平坦度パラメータ化問題は、本発明により次のように定式化され、

ここで、Ｃ_ｉｅｑ（ｋ）とｄ_ｉｅｑ（ｋ）は、コントローラパラメータＣ（ｋ）、Ｄ（ｋ）、Ｘ_ｃ（ｋ）とを用いて作成されるので、制御信号ｕ（ｋ）は、アクチュエータの振幅、スルーレート及び限界を超えない。異なるアクチュエータ間の相対的な限界を特定することもできる。マトリクスＧ_ｅｑ（ｋ）は、アクチュエータｉを自動制御に用いるべきでない場合、直接項Ｄ（ｋ）を経由してアクチュエータｉに進むパラメータ化平坦度誤差ｅ^ｐ（ｋ）の大きさがゼロになるように作成される。

下記に、ＳＶＤベース平坦度誤差パラメータ化のための、パラメータ化とマッピングマトリクスの定式化が提示される。ミルマトリクスＧ_Ｍ（ｋ）とその特異値分解Ｕ（ｋ）・Σ（ｋ）・Ｖ^Ｔ（ｋ）を考慮すると、パラメータ化マトリクスは、ゼロよりかなり大きいΣ（ｋ）の第一のＮ_ｐ対角要素に対応する、Ｕ（ｋ）の第一のＮ_ｐカラムから得られる。従って、下記のように表される。

動的コントローラを選定して、平坦度誤差パラメータ空間でその制御を行う場合、例えば、平坦度誤差パラメータごとに一つのＰＩコントローラの場合には、コントローラからの出力は、アクチュエータ空間にマップしなければならない。このマッピングＭは、下記のように行われる。

従って、マップされたコントローラ出力は、下記により得られる。

本発明の長所は、線形多変数系コントローラと共に、パラメータ化マトリクスＧ_ｐで説明可能な限り、単純で高度な平坦度誤差パラメータ化方法の使用を促す、アクチュエータの制約とモード処理が適切に対処されるような手法の、凸最適化問題の一般的定式化にある。

本発明では、使用可能なアクチュエータの最適な組み合わせを常に用いる。それは数学的に、ＳＶＤ（特異値分解）の拡張版を平坦度誤差のパラメータ化に用いることを含む。この拡張は、パラメータ化におけるアクチュエータの特性を用いることである。考慮すべきアクチュエータの特性として、例えば、速度、平坦度効果、稼働範囲がある。

本発明は制御の問題を、より少ない制御ループに関する問題に低減し、一方では、全てのアクチュエータを同時に用いる。制御ループの数は、用いるＳＶＤ値の数から決まる。これにより、オペレータが自動モードを十分に使用できるようになるため、圧延機の出力を向上させる。

前述のように本発明の実施例を例示してきたが、添付する請求項で定めるように、本発明の範囲から逸脱することなく、開示した解決方式に対して実施できると考えられる幾つかの変形と修正があることが明記される。

本発明をより良く理解するために、次に示す図面／図表を参照する。
使用可能な制御装置やアクチュエータが位置する一つのミルスタンドを有する圧延機と、平坦度測定装置及びアクチュエータの設定点を計算する平坦度制御システムの概略を示す。 本発明の制御構成と、圧延機における他の構成部品との関係を示す。 現状の平坦度制御システムにおける、異なる方法ステップの基本的なフローチャートを示す。

Claims (18)

1. 任意の数のミルスタンドとアクチュエータとを用いて、ストリップの圧延工程における平坦度制御を最適化する方法であって、
   − 各アクチュエータの平坦度効果の情報を含む、ミルマトリクスが表すミルモデルを使用し、
   − 各アクチュエータの平坦度効果を、用いるアクチュエータの数と等しい又は小さい寸法形状の座標システムに変成し、
   − ストリップの全域における、実際の平坦度の値をモニタ／サンプル抽出し、
   − モニタ／サンプル抽出したストリップの平坦度と基準の平坦度ベクトルとの間の差として、平坦度誤差／偏差のベクトルを計算し、
   − 平坦度誤差を、より小さいパラメータ化した平坦度誤差ベクトルに変換し、
   − パラメータ化した平坦度誤差を最小限にするために、最適化したアクチュエータ設定点を計算する動的コントローラを使用し、
   これにより、所望のストリップ平坦度を達成することを特徴とする、前記の方法。
2. 用いる動的コントローラが、線形多変数系のコントローラであることを特徴とする、請求項１に記載の方法。
3. 速度、異なるアクチュエータ間の相対位置制限、絶対位置制限、アクチュエータ平坦度効果、及び／又はアクチュエータの他の物理的制約等の、異なるアクチュエータ特性を用いて、パラメータ化した平坦度誤差を計算することを特徴とする、請求項１又は２に記載の方法。
4. 異なるアクチュエータ特性だけでなく、線形多変数系のコントローラの状態及び／又はパラメータの知識を用いて、パラメータ化した平坦度の誤差を計算することを特徴とする、請求項１〜３の何れかに記載の方法。
5. 多変数系のコントローラが、アクチュエータの数とは別の寸法形状の空間で制御信号を生成する場合、本来のアクチュエータ座標システムに戻す変成を用いることを特徴とする、請求項１〜４の何れかに記載の方法。
6. 各アクチュエータの平坦度効果を座標システムに変成する時に、特異値分解（ＳＶＤ）を用いることを特徴とする、請求項１〜５の何れかに記載の方法。
7. 平坦度誤差を、より小さいパラメータ化した平坦度誤差ベクトルに変換する時に、アクチュエータの平坦度効果を示すために用いる座標システムの基本ベクトルによってスパンされる空間に、平坦度誤差をプロジェクトすることを特徴とする、請求項１〜６の何れかに記載の方法。
8. パラメータ化した平坦度誤差を計算する時に、リアルタイムで稼働することを特徴とする、請求項１〜７の何れかに記載の方法。
9. 任意の数のミルスタンド（２）とアクチュエータ（３）とを用いて、ストリップ（６）の圧延工程における平坦度制御を最適化するシステムであって、
   − 各アクチュエータ（３）の平坦度効果の情報を含む、ミルマトリクスが表すミルモデル（Ｇ_Ｍ）を使用し、
   − 各アクチュエータの平坦度効果を、用いるアクチュエータ（３）の数と等しい又は小さい寸法形状の座標システム（ｕ）に変成し、
   − ストリップ（６）全域における、実際の平坦度の値（１５）をモニタ／サンプル抽出し、
   − モニタ／サンプル抽出したストリップの平坦度と基準の平坦度ベクトル（９）との間の差として、平坦度誤差／偏差（ｅ）のベクトル（ｅ^ｐ）を計算し、
   − 平坦度誤差（ｅ）を、より小さいパラメータ化した平坦度誤差ベクトル（ｅ^ｐ）に変換し、
   − パラメータ化した平坦度誤差（ｅ^ｐ）を最小限にするために、最適化したアクチュエータ設定点を計算する動的コントローラ（１４）を使用するので、
   所望のストリップ平坦度を達成することを特徴とする、前記のシステム。
10. 動的コントローラが線形多変数系のコントローラであることを特徴とする、請求項９に記載のシステム。
11. 速度、異なるアクチュエータ間の相対位置制限、絶対位置制限、アクチュエータ平坦度効果、及び／又はアクチュエータの他の物理的制約等の、異なるアクチュエータ特性を用いて、パラメータ化した平坦度誤差（ｅ）を計算する手段を特徴とする、請求項９又は１０に記載のシステム。
12. 異なるアクチュエータ特性だけでなく、線形多変数系のコントローラの状態及び／又はパラメータの知識を用いて、パラメータ化した平坦度誤差（ｅ）を計算する手段を特徴とする、請求項９〜１１の何れかに記載のシステム。
13. 多変数系のコントローラが、アクチュエータの数とは別の寸法形状の空間で制御信号を生成する場合、本来のアクチュエータ座標システムに戻す変成のための手段を特徴とする、請求項９〜１２の何れかに記載のシステム。
14. 各アクチュエータの平坦度効果を座標システムに変成する時に特異値分解（ＳＶＤ）を用いる手段を特徴とする、請求項９〜１３の何れかに記載のシステム。
15. 平坦度誤差（ｅ）を、より小さいパラメータ化した平坦度誤差ベクトル（ｅ^ｐ）に変換する時に、アクチュエータの平坦度効果を示すために用いる座標システムの基本ベクトルによってスパンされる空間に、平坦度誤差をプロジェクトする手段を特徴とする、請求項９〜１４の何れかに記載のシステム。
16. パラメータ化した平坦度誤差（ｅ^ｐ）を計算する時に、リアルタイムで稼働する手段を特徴とする、請求項９〜１５の何れかに記載のシステム。
17. 請求項１〜８の何れかに記載の方法のステップを実施する、コンピュータプログラムコードを備えるコンピュータプログラム。
18. 請求項１７に記載のコンピュータプログラムの少なくとも一部を備える、コンピュータ可読媒体。

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