JP2006209273A - 磁界解析法及び磁界解析プログラム - Google Patents

Abstract

【課題】
コイル電流の変化に伴う非定常磁界解析を高速処理する解析法を提供すること。
【解決手段】
非定常非線形磁界をNewton-Raphson法で解析する場合、前時刻の解を基点にして、それに対する補正項を求めるというプロセスで解を求める。もしくは、［磁束密度の変動量］／［磁界の変動量］で定義される差分透磁率を用いた変動場に関する方程式を解いて、磁気ベクトルポテンシャルの変動量を求め、求めた磁気ベクトルポテンシャルを基に、磁化曲線を用いて、新たに差分透磁率を求めなおし、求めなおす前後の２個の差分透磁率の線形結合で得られる別の差分透磁率を新たな差分透磁率とする。
【選択図】図２

Description

本発明は、磁界解析方法及び磁界解析プログラムに関するものである。

従来の代表的な非線形磁界解析法として、有限要素法による解析法があり、ＩＣＣＧ法による反復解法ならびに透磁率を逐次修正するNewton-Raphson法を併用している。例えば、文献：中田高義・高橋則雄著：「電気工学の有限要素法」１９８６年（森北出版）等に示されている。

「電気工学の有限要素法」中田高義・高橋則雄著、森北出版発行、１９８６年

有限要素法で磁界解析する場合の一般的な方法として、磁気ベクトルポテンシャルＡを用いたＡ法で記述すると、変位電流の影響が無視できる準静的な場の基礎方程式は、

となる。ここに、μは透磁率、σは導電率、Ｊ₀ はコイルの電流密度ベクトル、Ｍ₀ は磁石の残留磁束密度ベクトルである。なお、磁石に関しては、便宜上、Ｂ＝μＨ＋Ｍ₀ とした。透磁率μは場に依存するため、数（１）は非線形になり、通常Newton-Raphson法を用いて解を求めている。

数１を離散化すると、

の形に書ける。ここに、ｘ_j は磁気ベクトルポテンシャルＡの辺ｊに割り当てた未知数を意味している。

ここで、考え方を容易にするために、数２を次のような１次元問題に置き換える。

Ａ_ijは、１／μを被積分項に含む積分形式で表現できるため、ｂとｘの関係は磁界Ｈと磁束密度Ｂの関係法に類似しており、ＢＨカーブと類似したｂｘカーブを形成する。以上の準備のもとに、Newton-Raphson法における解の求め方を図１を用いて説明する。

図に示す解曲線ｘ＝ｆ(ｂ)はＢ＝Ｂ(Ｈ)と類似した曲線形状を示し、図に示すようにｂの増加とともにｘの伸びが緩慢になる飽和特性をもつ。前時刻ｔ−Δｔにおけるソース項ｂ₀ に対する解ｘ₀ に対して、現時刻ｔにおけるソース項ｂ₁ に対する解ｘ₁ を求めることを考える。

既存のNewton-Raphson法では、前時刻における透磁率を用いてまず線形解を求める。図１の（ｂ，ｘ）空間では、勾配ｘ₀ ／ｂ₀ を用いて、ソース項ｂ₁ に対する線形解を求めることに相当する。その後、Newton-Raphson 法により、非線形性による補正項を順次加算していく。しかし、この方法では、磁気飽和が顕著な場合、始めの線形解におけるｘの増加が顕著になり、収束のプロセスにおいて動作点（ｂ，ｘ）がｂの正の方向に大きく振られるため、解の収束性は大きく悪化することになり、多大な計算時間を要することになる。

上記目的を達成するために本発明に関る磁界解析法では、図２あるいは図３に示すように、前時刻の動作点から現時刻の動作点に直接近づくような解の求め方をすれば良い。その方法として、２つの方法が考えられる。

ひとつは、図２に示すように、前時刻の動作点から接線を引いて、近似解を求め、そこからNewton-Raphson法で解の精度を高めていく方法である。図に示すように、近似解は、現時刻の動作点の近傍にいるため、この場合のNewton-Raphson法による解の収束は極めて速い。

もうひとつの方法は、図３に示すように、現時刻の動作点をあらかじめ予測して、前時刻の動作点から現時刻の動作点あるいはその近傍に向かう線分を引き、これに相当する方程式を解いて、近似解を求め、この近似解により、前述の線分の傾きを修正して、再度方程式を解いて、解の精度を高める。このようなプロセスの反復により、高速に解を求めることができる。

本発明に関する磁界解析法によれば、磁性材料を含む非線形磁界を従来のNewton-
Raphson法よりも高速に解析できるという効果がある。

本実施例は、磁性材料の非線形磁界解析の方法に係り、特に非線形磁界を高速に求めるための磁界解析法に関するものである。

用いる磁界解析法として、一般的な有限要素法をとりあげる。本発明の第一実施例を述べる。

第一の実施例として、Newton-Raphson法の高速化に関する方法について述べる。磁気ベクトルポテンシャルを有限要素法で解く場合、

のようにベクトル型内挿関数Ｎ_j で展開する。ここに、ａ_j は有限要素体系を構成する要素群の辺ｊに割り当てた未知変数である。解くべき方程式は、

と表現できる。ここに、νは透磁率の逆数である磁気抵抗率、σは導電率、Δｔは時間ステップ幅、ｂ_i は右辺ソース項である。この方程式を解くことにより、非線形性による補正項δａ_i を順次求めていく。ここで、補正前の近似解として、前時刻の解をそのまま使う。この操作は、図１に示したような接線を引いて近似解を求めるような操作に相当する。新しい近似解を求めたら、νとそのＢ² に関する微分を求め直して、残差Ｈ_i の絶対値がある収束判定値よりも小さくなれば、収束完了ということになる。

本実施例によれば、従来のNewton-Raphson法による解析手順、すなわち、前時刻における磁気抵抗率νを用いて、Ｈ_i ＝０を解いてまず線形解を求め、その後、非線形性による補正項を求めて加算していくというプロセスに比べて、高速に収束解を得られるという効果がある。

つぎに第二の実施例について述べる。まず、差分透磁率μ′を次のように定義する。

ここに、ΔＢおよびΔＨは、それぞれ磁束密度の変動量と磁界の変動量である。これを用いて、まず、磁気ベクトルポテンシャルの変動量に関する基礎方程式を導く。Maxwell方程式の一部をなすFaradayの式である

を出発点とする。ここに、添え字１，０は、それぞれ現時刻ｔ、並びに前時刻ｔ−Δｔにおける物理量であることを意味する。ここで、ΔＡ＝Ａ₁−Ａ₀として、Ａの時間微分項に関するNewmarkのβ法に基づく次式を用いる。

ここに、βは０≦β≦１なる固定定数であり、安定した時間応答解析のために１／２≦β≦１なるβを用いる必要がある。ここでβ×数１１＋(１−β)×数１２に数１３を用いると、

ここで、ΔＨ＝Ｈ₁−Ｈ₀，ΔＪ＝Ｊ₁−Ｊ₀を用いて変形すると、

全体をβで割って適宜移項すると、

を得る。ここで差分透磁率μ′を用いて、

と書けるため、数１６は、

となる。特にβ＝１では、

数１８のrotＨ₀の取り扱い方によって、次に示す３種類の解法が考えられる。

第一の方法は、rotＨ₀にAmpereの式を用いる方法である。rotＨ₀は数１２より

と書けるので、これを数１８に代入すると、

となる。右辺の∂Ａ₀／∂ｔは数１３より各時間ステップで∂Ａ／∂ｔを更新することにより、求めることができる。特にβ＝１では、

第二の方法は、透磁率μを用いる方法である。

を数１１の右辺に代入すると、

を得る。特にβ＝１では、

第三の方法は、ΔＨの時間積算を用いる方法である。時刻ｔ＝０におけるＨ，Ｊ，Ａ、をそれぞれＨ⁰，Ｊ⁰，Ａ⁰とおくと、

の関係式を用いると、数１７から

を得る。これを数１１に代入すると

となる。特にβ＝１では、

となる。

本発明における非線形動磁場解析のフローチャートを図４に示す。この図は第３時間ステップ目以降の解析の流れを示している。まず、前時刻におけるソース項の変動量Δｂ₀ と求めた磁界の変動量ΔＨ₀ から、現時刻におけるソース項の変動量Δｂ₁ に対する磁界の変動量ΔＨ₁ は、

で予測できる。これより、前時刻における磁界の変動量ΔＨ₀ から現時刻における磁界の変動量の第ゼロ近似値ΔＨ₁ ⁽⁰⁾を推定する。次に初期磁化曲線により磁束密度の変動量
ΔＢ₁ ⁽⁰⁾を求め、各要素における差分透磁率μ₁′⁽⁰⁾を求める。近似的に求めた差分透磁率μ₁ ⁽⁰⁾を用いて、次章に示す場の方程式を解くと、より正確な解（Ｈ₁ ⁽¹⁾，Ｂ₁ ⁽¹⁾）が求まる。この点と前時刻に得られた動作点（Ｈ₀，Ｂ₀）とを結ぶ線分の勾配として、より正確な差分透磁率μ₁′⁽⁰⁾が求まる。そこで、２つの差分透磁率μ₁′⁽⁰⁾とμ₁′⁽¹⁾を用いて、さらに正確な差分透磁率μ₁′⁽¹⁾を求める。ｎ回目の反復における差分透磁率
μ₁′ⁿは、次式のようになる。

ここに、μ_dは前時刻に得られた動作点（Ｈ₀，Ｂ₀）における微分透磁率である。数
（８）におけるμ₁′⁽ⁿ⁾とμ₁′^n-1の線形結合係数は、経験的に求めた値であり、
μ₁′⁽ⁿ⁾よりも正確な差分透磁率を求める式になっている。

この係数は、数３２のものと多少ずれたものでも良い。この差分透磁率μ₁′ⁿならびに数２１，数２４，数２９のいずれかの式を用いて、有限要素法により、ΔＡ₁ ⁽¹⁾，
ΔＢ₁ ⁽¹⁾を求め、Ｂ₁ ⁽¹⁾＝Ｂ₀＋ΔＢ₁ ⁽¹⁾より、磁束密度を求める。以上の操作を
｜ΔＢ₁ ⁽ⁿ⁾｜＜ε（ε：収束判定値）を満足するまで反復する。

本実施例によれば、反復計算において、既に求めてある変動場に関する解を初期値にして、行列方程式を反復解法で計算するために、Newton-Raphson法よりも高速に解を求められるという効果がある。

図５に解析システムの一例の図を示す。本解析システムは、計算機１，表示装置２，記憶媒体３から構成される。ここでは、記憶媒体３を明示するために、計算機１の外に出しているが、計算機１内部に記憶媒体３を設置しても良い。計算機１には、上記に示した２つの実施例のいずれかのアルゴリズムに基づくプログラムが格納されており、計算機１で計算を実行し、計算結果を表示装置２に表示する。計算結果の一部は記憶媒体３に記憶される。時間ステップを刻みながらの解析になるため、記憶媒体３に記憶したデータを再利用しながら、計算を進めていくことになる。

従来のNewton-Raphson法による解の収束過程を示す図。 本発明の第一の実施例である新しいNewton-Raphson法による解の収束過程を示す図。 本発明の第二の実施例である差分透磁率を用いたときの解の収束過程を示す図。 本発明の第二の実施例である差分透磁率を用いたときの非線形動磁場解析のフローチャート計算を示す図。 本発明による解析システムの一例を示す図。

符号の説明

１…第１および第２の実施形態における計算機、２…第１および第２の実施形態における表示装置、３…第１および第２の実施形態における記憶媒体、１１…本発明の第二の実施例における計算ステップ１、１２…本発明の第二の実施例における計算ステップ２、
１３…本発明の第二の実施例における計算ステップ３、１４…本発明の第二の実施例における計算ステップ４、１５…本発明の第二の実施例における計算ステップ５、１６…本発明の第二の実施例における計算ステップ６、１７…本発明の第二の実施例における計算ステップ７。

Claims (5)

1. 非定常非線形磁界をNewton-Raphson法で解析する場合、前時刻の解を基点にして、それに対するソース項の変動による補正項を求めるというプロセスで解を求めることを特徴とする磁界解析法。
2. ［磁束密度の変動量］／［磁界の変動量］で定義される差分透磁率を用いた変動場に関する方程式を解いて、磁気ベクトルポテンシャルの変動量を求め、求めた磁気ベクトルポテンシャルを基に、磁化曲線を用いて、新たに差分透磁率を求めなおし、求めなおす前後の２個の差分透磁率の線形結合で得られる別の差分透磁率を新たな差分透磁率とすることを特徴とする磁界解析法。
3. 請求項１または２において、行列方程式を反復解法で解く場合に、変動場を表現する未知数ベクトルの初期値として、前時刻における解を用いることを特徴とする磁界解析法。
4. 請求項１または２において、行列方程式を反復解法で解く場合に、前時刻でのコイル電流等の磁界発生ソースの変動量に関する前記行列方程式の右辺ベクトルをｂとし、現時刻でのコイル電流等の磁界発生ソースの変動量に関する前記行列方程式の右辺ベクトルを
   ｂ′として、変動場を表現する未知数ベクトルの初期値として、前時刻における解に因子ｇ＝ｂ・ｂ′／｜ｂ｜｜ｂ′｜をかけたものを用いることを特徴とする磁界解析法。
5. コンピュータに請求項１から請求項４までのいずれかの処理を実行させることを特徴とするプログラム。
   

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