CN115798648A - 一种针对材料非线性的非线性系统模型降阶方法 - Google Patents

一种针对材料非线性的非线性系统模型降阶方法 Download PDF

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郭泽
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Abstract

本发明涉及一种针对材料非线性的非线性系统模型降阶方法，基于建立单元级非线性材料属性的参数模型实现非线性系统的模型降阶，该方法可以简化涉及铁磁材料的饱和等非线性效应的材料非线性问题的降阶模型生成过程，并提高降阶模型的求解效率。

Description

一种针对材料非线性的非线性系统模型降阶方法
技术领域
本发明属于科学计算领域，具体涉及一种针对材料非线性的非线性系统模型降阶方法。
背景技术
电磁场的计算分析在电机、变压器等电气装备的设计中是一个关键环节。电磁场的计算基于麦克斯韦方程组理论体系，主要方法包括解析法和数值计算。对于大多数实际问题，由于其复杂性，难以得到电磁场分布的解析解。随着计算机计算能力的提升，数值计算也成为了电磁场分析的主要手段。电磁场的数值计算方法主要包括有限差分、有限元、有限体积、边界元等，这些方法的基本原理为将计算区域进行网格离散，在各网格上对待求解的物理方程进行离散化，并得到一个线性或非线性的代数系统，对这一系统进行求解即可得到电磁场分布的一个近似。数值计算结果的准确性和空间离散的精细程度，以及在单一网格中对物理方程进行近似的精度息息相关，但对空间离散进行加密以及提高数值格式对物理方程的近似精度均会增加最后得到的代数系统的求解自由度。
对电气装备的电磁分析常需要计算时变激励下电磁场的暂态变化，即时变问题；另外，在设计过程中，需要计算不同设计参数对装备电磁性能的影响，即参数化问题。时变问题和参数问题的计算需要多次重复组装和求解前述的代数系统，当求解自由度数量较大时，往往需要较长的计算时间。现有的模型降阶方法是通过减少求解自由度来提高计算效率的一类方法，其依据的主要思想是利用系统先验信息或数据，在解空间中寻找一组降阶基底，通过将原始代数系统进行投影得到其低阶近似，从而将大规模系统的求解转换为一个较小规模的问题。基于投影的模型降阶方法包括渐近波形估计(AWE,Asymptot icWaveform Evaluation),缩减基法(RBM,Reduced Basi s Method),本征正交分解法(POD,proper orthogonal decompos ition),广义本征分解法(PGD,proper generalizeddecomposition)等。其中，本征正交分解法POD是一类常用的模型降阶方法，也是本发明中主要考虑的模型降阶方法，这一方法将预先得到的一些切片解(snapshots)进行奇异值分解，并将部分主要的左奇异向量取出作为系统的降阶基底，其实现步骤如下：
(1)求得定义在参数空间中的原始参数化问题的一系列切片解；
(2)对切片解矩阵进行奇异值分解，得到左奇异向量；
(3)将占优的左奇异向量作为降阶基底，对原代数系统实现降阶。
线性系统的POD方法已经较为成熟，但非线性系统的降阶仍是一个难点问题。其中涉及的主要问题是降阶模型中非线性项的处理涉及全阶计算，比如在利用牛顿-拉夫逊(Newton-Raphson)迭代对非线性降阶问题进行求解时，需要在每次迭代中对全阶的雅可比矩阵进行构造，严重影响降阶系统的求解效率。目前，常见的非线性模型降阶方法包括轨迹分段线性近似法(TPWL,Trajectory Piecewise-Linear Approach)、离散经验插值法(DEIM,Discrete Empirical Interpolation Method等。轨迹分段线性近似法主要用于非线性电路的时域分析，其主要思想是通过在解的轨迹上建立分段线性的降阶基底和降阶模型来对非线性系统进行近似。采用这一方法和POD结合，实现非线性系统模型降阶的主要步骤为：
(1)对非线性系统在特定激励下进行全问题求解，并构造一系列降阶基底和线性近似模型：假设初始时刻t0的解向量为x0,在时步迭代的过程中，若到第n步为止所求得的解均落在x0的一个邻域中，则这些解视为一组切片，利用POD方法可以得到一组局部的降阶基底和线性化的降阶模型。从n+1步开始，将得到的解向量xn+1作为新的基准点，重复同样的步骤，得到下一组降阶基底和和线性化的降阶模型。重复这一过程，到时间迭代结束时，可得到一系列局部降阶基底和线性化的降阶模型。
(2)通过加权平均，将得到的降阶基底和模型用于任意激励的时域仿真，实现系统的降阶。
由于对一般的参数化问题，不同参数对应的解不存在时变系统的时步依赖关系，在文献中尚未见到这一方法应用到一般参数化问题的非线性系统降阶。
另一种应用更为广泛的非线性模型降阶方法为离散经验插值法DEIM，这一方法将空间插值和投影结合进行非线性项的近似，其主要实现步骤为：
(1)求得定义在参数空间中的原始参数化问题的一系列切片解；
(2)对切片解矩阵进行奇异值分解，得到左奇异向量，将占优的左奇异向量作为降阶基底；
(3)基于步骤(2)中得到的降阶基底，利用离散经验插值算法得到一组关键插值点；
(4)利用(2)中得到的降阶基底和(3)中得到的关键插值点对非线性系统进行降阶。
在这一算法实现过程中，一些细节说明归纳如下：步骤(1)中，由于非线性系统中解和参数的依赖关系更为复杂，所以往往需要比线性系统更多的切片解来得到近似精度较高的降阶基底；步骤(3)中关键插值点的选取依赖于降阶基底；步骤(4)中，通过引入关键插值点，虽然可避免非线性项和雅可比矩阵取值中的全阶计算，但降阶后的系统仍为非线性。
发明内容
为解决上述技术问题，本发明提出一种针对材料非线性的非线性系统模型降阶方法，其为针对低频电磁场计算材料非线性问题的POD模型降阶方法，解决目前这一类非线性问题降阶效率低的问题。尽管如上一部分所述，基于离散经验插值技术的POD方法可以对非线性系统实现降阶，但实现过程复杂。需要实现离散经验插值法，通过迭代获取所需的插值点，且在每次迭代中，均需要构建和求解线性系统。对于降阶后得到的低阶非线性系统，仍需通过牛顿-拉夫逊、不动点等迭代方法进行求解，降阶效率有限。
由于磁性材料中涉及的磁饱和效应，材料非线性是电机、变压器等电气设备中低频电磁场分析中最常见的一类非线性问题。本发明针对材料非线性问题，提出了一种基于单元级材料参数模型的非线性系统降阶模型方法，即在获取用于构建降阶基底的切片解的同时将切片解对应的单元材料参数进行存储，并利用这些数据建立单元级的材料参数模型。在求解降阶问题时，可基于单元级材料参数模型进行非线性系统矩阵的近似构建。这一方法易于实现，所需的单元材料数据可以在得到切片解的同时同步获取，不需要实现额外的计算程序。在降阶系统求解过程中，通过单元级材料参数模型的取值，可以直接得到线性的降阶系统，无需再调用非线性求解过程，可提高降阶模型的计算效率。
为达到上述目的，本发明采用的技术方案为：
一种针对材料非线性的非线性系统模型降阶方法，包括如下步骤：
考虑以磁矢势a作为系统变量的方程：
Figure BDA0003982815900000031
其中，b为磁感应强度，满足
Figure BDA0003982815900000032
其中
Figure BDA0003982815900000033
为旋度算子，j0代表电流密度，为系统的激励源；μ为磁导率，其在磁性材料的磁饱和效应下依赖于磁感应强度，由磁滞回线描述；λ表示相关设计或运行参数，Λ为参数空间，由于电磁场分布依赖于参数λ，故式(1)中磁矢势和磁感应强度记为λ的函数a(λ)和b(λ)；
采取数值方法对式(1)进行离散化，得到如下的系统矩阵：
Kλ(b)a＝j0 (2)
其中，Kλ(b)为对应于相关设计或运行参数λ的系统矩阵；对于有限元方法，系统矩阵Kλ(b)由每个离散单元的单元矩阵组装得到；记四面体单元的单元矩阵为Kele,由于磁矢势a用棱单元进行离散，Kele的维度为6×6，单元矩阵Kele各元素由下面的积分求得：
Figure BDA0003982815900000041
其中，wi,wj分别为第i和j个棱边对应的插值函数；在非线性迭代求解过程中，对非线性材料区域的单元，磁阻率ν(b)＝1/μ(b)依赖于当前迭代步的磁感应强度，由磁滞回线给出；
利用本征正交分解法对式(2)进行模型降阶。
进一步地，所述利用本征正交分解法对式(2)进行模型降阶包括：
在参数空间Λ中给出一组参数样本集合
Figure BDA0003982815900000042
其中ns为参数样本个数，对这组参数样本对应的系统矩阵的式(2)进行求解，得到一组切片解，做成矩阵
Figure BDA0003982815900000043
Figure BDA0003982815900000044
设系统矩阵的式(2)的自由度为N，则矩阵S的维度为N×ns；采用非线性求解算法求解式(2)；在此求解过程中，同时得到非线性材料区域上每个单元磁导率对应于参数样本集合
Figure BDA0003982815900000045
的一组数据，即
Figure BDA0003982815900000046
存储这组数据以构造单元级材料参数模型；得到切片解的矩阵S后，对其进行奇异值分解，如式(4)所示：
S＝ΦΣΨT (4)
其中，Φ和ΨT分别为矩阵S的左、右奇异矩阵，维度分别为N×N和ns×ns.
Figure BDA0003982815900000047
Figure BDA0003982815900000048
维数为N×ns,其中，
Figure BDA0003982815900000049
为对角线元素为矩阵S奇异值的对角矩阵，记为
Figure BDA00039828159000000410
Figure BDA00039828159000000411
Figure BDA00039828159000000412
为S的奇异值；
根据一个设定的阈值∈,选取满足条件
Figure BDA00039828159000000413
最小的k值对Φ进行截断，得到维度为N×k的矩阵Φk＝[φ1,φ2,…,φk]，其中，φi为奇异值σi对应的左奇异向量，即得到解空间的一组降阶基底{φ1,φ2,…,φk}；令a＝Φkar，得到自由度个数为k的降阶系统：
Figure BDA00039828159000000414
其中，Kλ(b)为非线性的系统矩阵。
进一步地，降阶模型中非线性系统矩阵Kλ(b)的近似构造方法包括：
利用在切片解生成过程中存储的各单元磁导率在不同参数下的取值，采用响应面方法建立单元级的材料参数模型，记为μele(λ)，并通过所述材料参数模型，得到一个线性系统矩阵
Figure BDA0003982815900000051
用于近似原非线性系统矩阵Kλ(b)，并得到相应的降阶模型：
Figure BDA0003982815900000052
记对应于线性系统
Figure BDA0003982815900000053
的单元矩阵为
Figure BDA0003982815900000054
Figure BDA0003982815900000055
的单元材料参数由单元级材料模型给出，即：
Figure BDA0003982815900000056
其中，dΩ为计算区域Ω的体微分，νele(λ)＝1/μele(λ)为参数取值为λ时单元上的磁阻率。
有益效果：
本发明给出了一种针对低频电磁场材料非线性问题的模型降阶方法，该方法相对于文献中已有的非线性模型降阶方法，实现过程更加简单，得到的降阶系统为线性，不需要进行非线性迭代过程，具有较高的降阶效率。本发明可与传统数值计算方法结合，应用于电气设备的高效优化设计以及数字孪生技术中。
附图说明
图1为本发明的针对材料非线性的非线性系统模型降阶方法流程图。
具体实施方式
为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。此外，下面所描述的本发明各个实施方式中所涉及到的技术特征只要彼此之间未构成冲突就可以相互组合。
如图1所述，以涉及磁饱和的静磁场系统的模型降阶问题来说明本发明的针对材料非线性的非线性系统模型降阶方法，具体包括如下步骤：
考虑如下以磁矢势a作为系统变量的方程：
Figure BDA0003982815900000057
其中，b为磁感应强度，满足
Figure BDA0003982815900000058
其中
Figure BDA0003982815900000059
为旋度算子，j0代表电流密度，为系统的激励源。μ为磁导率，其在磁性材料的磁饱和效应下依赖于磁感应强度，此依赖关系一般由磁滞回线(B-H曲线)描述。由于引入了这一依赖关系，式(1)为非线性问题。在对电气设备进行设计的过程中，往往需要对不同设计和运行参数下电磁场的分布进行计算，即对参数化问题进行求解，式(1)中用λ表示相关设计或运行参数，将涉及的参数空间记为Λ，由于电磁场分布依赖于参数λ，故式(1)中磁矢势和磁感应强度记为λ的函数a(λ)和b(λ)。
采取有限差分、有限元等数值方法可以对式(1)进行离散化，得到如下的系统矩阵：
Kλ(b)a＝j0 (2)
其中，Kλ(b)为对应于相关参数λ的系统矩阵。对于有限元方法，系统矩阵Kλ(b)由每个离散单元的单元矩阵组装得到。对于一个四面体单元，记其单元矩阵为Kele,由于磁矢势a一般用棱单元进行离散，Kele的维度为6×6，单元矩阵Kele各元素由下面的积分求得：
Figure BDA0003982815900000061
其中，wi,wj分别为第i和j个棱边对应的插值函数；在非线性迭代求解过程中，对非线性材料区域的单元，材料系数ν(b)＝1/μ(n)依赖于当前迭代步的磁感应强度，由B-H曲线给出，dΩ为计算区域Ω的体微分。
下面，利用POD方法对式(2)进行模型降阶。首先，在参数空间Λ中给出一组参数样本集合
Figure BDA0003982815900000062
其中ns为参数样本个数。对这组参数样本对应的系统矩阵式(2)进行求解，得到一组切片解，做成矩阵
Figure BDA0003982815900000063
设系统矩阵式(2)的自由度为N，则矩阵S的维度为N×ns。由于系统矩阵式(2)为非线性系统，需要采用牛顿-拉夫逊等非线性求解算法进行求解。在此求解过程中，可以同时得到非线性材料区域上每个单元磁导率对应于参数样本集合
Figure BDA0003982815900000064
的一组数据，即
Figure BDA0003982815900000065
在本发明提出的方法中，需要存储这一数据以构造单元级材料参数模型。得到切片解矩阵后，即可按照与线性系统相同的方式，对其进行奇异值分解，如式(4)所示：
S＝ΦΣΨT (4)
其中，Φ和ΨT分别为矩阵S的左、右奇异矩阵，维度分别为N×N和ns×ns.
Figure BDA0003982815900000066
Figure BDA0003982815900000067
维数为N×ns,其中
Figure BDA0003982815900000068
为对角线元素为矩阵S奇异值的对角矩阵，记为
Figure BDA0003982815900000069
Figure BDA00039828159000000610
为S的奇异值。根据一个设定的阈值∈,选取满足条件
Figure BDA00039828159000000611
最小的k值对Φ进行截断，得到维度为N×k的矩阵Φk＝[φ1,φ2,…,φk]，其中φi为奇异值σi对应的左奇异向量，即得到解空间的一组降阶基底{φ1,φ2,…,φk}。令a＝Φkar，即得到自由度个数为k的降阶系统：
Figure BDA00039828159000000612
对于非线性系统，需要特殊考虑降阶系统中非线性系统矩阵Kλ(b)的构造方法。根据
Figure BDA0003982815900000071
在非线性求解过程中，需要将降阶系统求得的解ar恢复到全阶，再对系统矩阵中的非线性项进行求值，包括系统的雅可比矩阵，计算量较大。因此，要保证降阶效率，需要通过对系统矩阵中非线性项进行近似来减少计算量。
本发明针对材料非线性问题，提出一种基于单元级材料模型的非线性系统矩阵近似方法。利用在切片解生成过程中存储的各单元磁导率在不同参数下的取值，采用响应面等方法建立单元级的材料参数模型，记为μele(λ)，即响应模型，并通过这一响应模型，得到一个近似的线性系统矩阵
Figure BDA0003982815900000072
以及相应的降阶模型：
Figure BDA0003982815900000073
记对应于线性系统矩阵
Figure BDA0003982815900000074
的单元矩阵为
Figure BDA0003982815900000075
不同于式(3)，
Figure BDA0003982815900000076
的单元材料参数由单元级材料模型给出，即：
Figure BDA0003982815900000077
上述的非线性模型降阶方法可归纳为如下步骤图1：
如图1所示，本发明可分解为三个步骤：数据生成，数据建模以及构建模型降阶。图1中左侧框内相关步骤为传统POD模型降阶的常规步骤，右侧框内步骤为本发明中提出的非线性材料问题模型降阶的主要技术点，主要特点是在构建降阶模型时，结合切片解对应的单元级材料数据和模型，提高降阶模型生成和求解的效率。
本发明中提到可以用响应面方法构造单元级材料参数模型，还可以采用多项式拟合、克林格方法及神经网络等不同数据建模方法得到响应模型。
虽然本发明针对低频电磁场材料非线性问题，但同样可以应用于其它物理场数值分析中材料非线性问题的降阶。
本领域的技术人员容易理解，以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (3)

1.一种针对材料非线性的非线性系统模型降阶方法，其特征在于，包括如下步骤：
考虑以磁矢势a作为系统变量的方程：
Figure FDA0003982815890000011
其中，b为磁感应强度，满足
Figure FDA0003982815890000012
其中
Figure FDA0003982815890000013
为旋度算子，j0代表电流密度，为系统的激励源；μ为磁导率，其在磁性材料的磁饱和效应下依赖于磁感应强度，由磁滞回线描述；λ表示相关设计或运行参数，Λ为参数空间，由于电磁场分布依赖于参数λ，故式(1)中磁矢势和磁感应强度记为λ的函数a(λ)和b(λ)；
采取数值方法对式(1)进行离散化，得到如下的系统矩阵：
Kλ(b)a＝j0 (2)
其中，Kλ(b)为对应于相关设计或运行参数λ的系统矩阵；对于有限元方法，系统矩阵Kλ(b)由每个离散单元的单元矩阵组装得到；记四面体单元的单元矩阵为Kele,由于磁矢势a用棱单元进行离散，Kele的维度为6×6，单元矩阵Kele各元素由下面的积分求得：
Figure FDA0003982815890000014
其中，wi,wj分别为第i和j个棱边对应的插值函数；在非线性迭代求解过程中，对非线性材料区域的单元，磁阻率v(b)＝1/μ(b)依赖于当前迭代步的磁感应强度，由磁滞回线给出；
利用本征正交分解法对式(2)进行模型降阶。
2.根据权利要求1所述的一种针对材料非线性的非线性系统模型降阶方法，其特征在于，所述利用本征正交分解法对式(2)进行模型降阶包括：
在参数空间Λ中给出一组参数样本集合
Figure FDA0003982815890000015
其中ns为参数样本个数，对这组参数样本对应的系统矩阵的式(2)进行求解，得到一组切片解，做成矩阵
Figure FDA0003982815890000016
Figure FDA0003982815890000017
设系统矩阵的式(2)的自由度为N，则矩阵S的维度为N×ns；采用非线性求解算法求解式(2)；在此求解过程中，同时得到非线性材料区域上每个单元磁导率对应于参数样本集合
Figure FDA0003982815890000018
的一组数据，即
Figure FDA0003982815890000019
存储这组数据以构造单元级材料参数模型；得到切片解的矩阵S后，对其进行奇异值分解，如式(4)所示：
S＝ΦΣΨT (4)
其中，Φ和ΨT分别为矩阵S的左、右奇异矩阵，维度分别为N×N和ns×ns.
Figure FDA00039828158900000110
Figure FDA0003982815890000021
维数为N×ns,其中，
Figure FDA0003982815890000022
为对角线元素为矩阵S奇异值的对角矩阵，记为
Figure FDA0003982815890000023
Figure FDA0003982815890000024
Figure FDA0003982815890000025
为S的奇异值；
根据设定的阈值∈,选取满足条件
Figure FDA0003982815890000026
最小的k值对Φ进行截断，得到维度为N×k的矩阵Φk＝[φ1,φ2,…,φk]，其中φi为奇异值σi对应的左奇异向量，即得到解空间的一组降阶基底{φ1,φ2,…,φk}；令a＝Φkar，得到自由度个数为k的降阶系统：
Figure FDA0003982815890000027
其中，Kλ(b)为非线性的系统矩阵。
3.根据权利要求2所述的一种针对材料非线性的非线性系统模型降阶方法，其特征在于，降阶模型中非线性系统矩阵Kλ(b)的近似构造方法包括：
利用在切片解生成过程中存储的各单元磁导率在不同参数下的取值，采用响应面方法建立单元级的材料参数模型，记为μele(λ)，并通过所述材料参数模型，得到一个线性系统矩阵
Figure FDA0003982815890000028
用于近似原非线性系统矩阵Kλ(b)，并得到相应的降阶模型：
Figure FDA0003982815890000029
记对应于线性系统
Figure FDA00039828158900000210
的单元矩阵为
Figure FDA00039828158900000211
Figure FDA00039828158900000212
的单元材料参数由单元级材料模型给出，即：
Figure FDA00039828158900000213
其中，dΩ为计算区域Ω的体微分，vele(λ)＝1/μele(λ)为参数取值为λ时单元上的磁阻率。
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* Cited by examiner, † Cited by third party
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CN117421939B (zh) * 2023-12-18 2024-03-19 中国石油大学(华东) 一种基于轨迹分段线性化的页岩油裂缝系统模拟代理方法

Cited By (1)

* Cited by examiner, † Cited by third party
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CN117421939B (zh) * 2023-12-18 2024-03-19 中国石油大学(华东) 一种基于轨迹分段线性化的页岩油裂缝系统模拟代理方法

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