JP2002520703A

JP2002520703A - コンピュータ・グラフィックス・アニメーションの装置及び方法

Info

Publication number: JP2002520703A
Application number: JP2000558489A
Authority: JP
Inventors: ブロインスヨハネス; ウェーアーエムファンオフェルフェルトコルネリス
Original assignee: Philips Electronics NV
Current assignee: Koninklijke Philips NV
Priority date: 1998-07-01
Filing date: 1999-06-17
Publication date: 2002-07-09
Also published as: WO2000002164A3; EP1040451B1; TW389866B; CN1277699A; US6515668B1; DE69926986T2; EP1040451A2; KR100657775B1; DE69926986D1; KR20010023497A; WO2000002164A2; CN1143246C

Abstract

(57)【要約】陰関数サーフェイスとは、時間に依存する陰関数サーフェイス・モデルによって記述されるものである。この陰関数サーフェイスモデルから、２次のベツィエ関数等の第１及び第２の非線形座標値関数の制御点の第１及び第２メッシュが、それぞれ計算される。この第１及び第２非線形座標値関数は、第１及び第２時点における陰関数サーフェイスの近似を表わすものである。第１メッシュの点は、第２メッシュの点の近似を計算するための開始点として使用される。それぞれ第１及び第２非線形座標値関数によって記述されるサーフェイスは、例えば、平坦な３角形のそれぞれのメッシュにより、各々を近似することによってレンダリングされる。

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】本発明は、請求項１の前書きで述べるようにコンピュータ・グラフィックス・
アニメーションの方法に関するものである。

【０００２】この方法は、１９９７年にアインドホーベン（Eindhoven）工科大学で発表さ
れたディー・デッカース（D.Dekkers）による修士論文として知られている。

【０００３】陰関数サーフェイス表現（implicit surface definition）は、コンピュータ
グラフィックスの利用において、変形可能な形状を有するサーフェイス（表面）
を記述する強力なツールを構成するものである。この陰関数サーフェイスは、サ
ーフェイスが置かれる空間上の座標をパラメータとして用いる関数によって記述
される。この陰関数サーフェイス上の点は、座標がこの関数を表す式を満たす点
である。例えば、球のサーフェイスは、各座標の自乗の和の関数によって記述さ
れるが、この場合、このサーフェイス上の各点に対してこの関数は所定の正の値
を持つ必要がある。他に、この式に関数を組み合わせること（例えば加算）によ
って、より複雑なサーフェイスを記述することができる。

【０００４】陰関数サーフェイス表現は、サーフェイスを記述する強力なツールであるが、
このようなサーフェイスを実際にレンダリングすること、即ちサーフェイスを含
むシーンのイメージを計算するのには不便である。

【０００５】デッカースは、この陰関数サーフェイス表現から、平坦な３角形からなるメッ
シュを計算し、平坦な３角形を用いてこのメッシュをレンダリングすることを提
案している。

【０００６】サーフェイスをレンダリングするのに利用可能なハードウェアは平坦な３角形
のメッシュから構成されるサーフェイスに最適化されていることから、この提案
は興味深いものである。このような３角形を表わす式の線形性の属性は、このよ
うな３角形を高速かつ高効率でレンダリングすることを可能にする。

【０００７】平坦な３角形を用いないハードウェアは、魅力のない代替手段である。即ち、
サーフェイス上の点を見つけるために非線形式の解を必要とする非線形サーフェ
イス表現は、このような高速ではレンダリングすることができない。更に、たい
ていのグラフィックス・タスクは、大体は平坦な３角形を必要とするか、或いは
これのみを必要とする。そのため、平坦な３角形をレンダリングするのに最適化
された利用可能なハードウェアの他に、陰関数サーフェイスをレンダリングする
ハードウェアを提供しなければならない。

【０００８】陰関数サーフェイス表現は、時間によって変化する形状を持つアニメーション
によるサーフェイスを記述するのに非常に適している。例えば、２つのサブ関数
の和である関数を使用し、一方のサブ関数を他方のサブ関数に対して時間の関数
として移動や回転させることができる。

【０００９】このような時間によって変化する形状を持つアニメーションによるサーフェイ
スのイメージは、リアルタイムで計算することが望ましい。即ち、ディスプレイ
装置上で、できるだけ速くこれらのイメージを他のものに変換することが望まし
い。このことは、例えば、プレイヤーによって形状がインタラクティブに制御さ
れるコンピュータゲーム・アプリケーションには都合が良い。

【００１０】しかしながら、陰関数サーフェイス表現から平坦な３角形からなるメッシュを
計算するには、非常に時間がかかる。この関数は非線形であるため、一般的に、
関数を含む式の解を反復によって求める必要がある。更に、平坦な３角形でサー
フェイスを近似することによって生じる近似エラーを制限すると共に、多数の平
坦な３角形をレンダリングする必要があることを回避するために、メッシュの頂
点（corner point）をサーフェイス上に分散させなければならない。

【００１１】デッカースは、第１時点に近い第２時点において、あるイメージに対するメッ
シュの頂点に相当する計算をするために、第１時点においてあるイメージに対し
て計算されたメッシュ上の頂点を開始点として使用することによって、アニメー
ションで処理するときに平坦な３角形のメッシュを計算するのにかかる時間を減
少させることを提案している。このようにして、僅か数回の反復によって、十分
に近似されたサーフェイスを提供する更新された頂点を得ることができる。また
、この頂点の配置の殆どは、第１時点から引き継ぐことができる。デッカースは
、最適の配置を保持するために、この反復において、サーフェイスと平行に頂点
をシフトさせることを提案している。

【００１２】しかしながら、デッカースの方法は、依然として多くの時間がかかり、アニメ
ーションの陰関数サーフェイス表現は、コンピュータグラフィックスでは、高価
な選択肢のままとなっている。

【００１３】本発明の目的は、陰関数サーフェイス・モデルを使用するコンピュータアニメ
ーションの速度を上げることである。

【００１４】本発明による方法は、請求項１の特徴部分によって特徴付けられる。

【００１５】本発明によれば、陰関数サーフェイス表現を使用して、陰関数（implicit fun
ction）を近似する非線形座標値関数の制御点を計算する。関数により規定され
る座標は１つの関数であって、この関数は、サーフェイス上の座標をサーフェイ
ス上の位置のパラメータを決める変数に割り当てる。座標値関数の例としては、
ベツィエ形状を記述するとき等に使われるベルンシュタイン（Bernstein）多項
式の重み付けの和がある。

【００１６】上述した座標の値を持った関数は曲った形状を表わすのに平坦な３角形よりも
強力であるため、陰関数で記述されたサーフェイスが平坦な３角形によって近似
される場合よりも、ある程度正確に近似を計算するのにより少ない制御点しか必
要としない。

【００１７】それから、この座標値関数を用いて平面ポリゴンのメッシュ上の頂点を計算す
る。この計算は、頂点を陰関数サーフェイス表現から直接的に計算する場合より
も速い。座標値関数から頂点を計算することは、その他のレンダリングの問題に
も適用することができるため、この計算のために専用のハードウェアを提供する
ことは、経済的により魅力的であり、この方法も更に速くなる。

【００１８】アニメーション処理のとき、第１時点における関数により規定される座標の頂
点を、第２時点における関数により規定される座標の頂点を計算するための開始
点として使用する。このようにして、反復にかかる時間は、僅か、この制御点に
対して実行される時間と、平面ポリゴンのメッシュ上の一部の頂点に対して実行
される時間に過ぎない。結果として、反復に要する計算時間が短縮する。

【００１９】本発明による方法の一実施例では、非線形座標関数は、隣接する２次の３角形
からなるメッシュに相当する。これはサーフェイス表現、即ち、特に平坦な３角
形への変換に適している。

【００２０】これら、及びその他の本発明の特徴における利点は、図面を用いて説明される
が、これによって発明が限定されるものではない。

【００２１】陰関数サーフェイス表現は、コンピュータグラフィックスで用いる形状のサー
フェイスを記述するための強力なツールである。陰関数サーフェイス表現は、一
般的には、次式で表わすことができる。Ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＝Ｃこの式は、この式を満たす座標（ｘ，ｙ，ｚ）上の点の集合を記述する。このよ
うな記述の例としては、球のサーフェイスを構成する点の集合がある。この場合
、次の関数Ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＝（ｘ−ｘ０）^２＋（ｙ−ｙ０）^２＋（ｚ−ｚ０）^２を使うことが可能であり、Ｃ＞０の場合、式Ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＝Ｃを満たす座標
（ｘ，ｙ，ｚ）を持つ点の集合は、１つの球の１つのサーフェイスである。

【００２２】陰関数サーフェイス表現はサーフェイスを記述するための強力な方法であるた
め、これはコンピュータグラフィックスのアプリケーションにとっては興味深い
ものである。例えば、幾つかのサブ関数からこの関数Ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）を構成す
ることもできる。このサブ関数の各々は、単独で１つの基本的な形状を陰関数で
で記述することができる。この構成された物は、これらの基本形状の組合わせで
あって形状の間でスムーズに変化するものを表わすものである。例えば、次の関
数を用いて２つの球のサーフェイスの組合わせから作られる１つのサーフェイス
を記述することができる。Ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＝Ｆ１（ｘ，ｙ，ｚ）＋Ｆ２（ｘ，ｙ，ｚ）この関数Ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）は、次のサブ関数からできている。Ｆ１（ｘ，ｙ，ｚ）＝Ａ１／{１＋（ｘ−ｘ１）^２＋（ｙ−ｙ１）^２＋（ｚ
−ｚ１）^２} Ｆ２（ｘ，ｙ，ｚ）＝Ａ２／{１＋（ｘ−ｘ２）^２＋（ｙ−ｙ２）^２＋（ｚ
−ｚ２）^２} これらのサブ関数の各々を用いて、それぞれ座標（ｘ１，ｙ１，ｚ１）および座
標（ｘ２，ｙ２，ｚ２）を中心位置とするＦ１（ｘ，ｙ，ｚ）＝ＣおよびＦ２（
ｘ，ｙ，ｚ）＝Ｃで表される球のそれぞれの表面を記述することができる。この
組み合わせられた関数は、これらの表面のスムーズな組み合わせを記述する。

【００２３】この例では、球を使用するが、陰関数表現（implicit definition）は、その
他のいかなる種類のサーフェイスももちろん記述することができる。非常に簡単
な２次関数を用いて、面、円筒、三角錐等を記述したり、またこれらの組み合わ
せを記述することもできる。

【００２４】アニメーション処理のとき、時間に伴い変化する形状を持つサーフェイスを、
簡単に作ることができる。例えば、２つの球の２つのサーフェイスを組み合わせ
ることによって作られた１つのサーフェイスは、構成するサブ関数のパラメータ
Ａ１、（ｘ１，ｙ１，ｚ１）とＡ２、（ｘ２，ｙ２，ｚ２）を時間で変化させる
ことによって変形させることができる（パラメータ（ｘ１，ｙ１，ｚ１）と（ｘ
２，ｙ２，ｚ２）は関数Ｆの制御点（control point）とも呼ばれる）。

【００２５】図１は、制御点１２，１４（例えば、それぞれ座標ｘ１，ｙ１，ｚ１とｘ２、
ｙ２、ｚ２）をそれぞれ持つ２つのサブ関数を用いて規定される陰関数で記述さ
れたサーフェイスを通る断面１０の例を示すものである、また、図１は、時間が
経過してこの中心点の１つである点１４が点１６へ移動したときの表面を通る断
面１８（破線）を示すものである。

【００２６】このタイプの陰関数表現は、サーフェイスをモデリング（modeling）するため
の強力なツールではあるが、これらのサーフェイスを効率的に直接的にレンダリ
ング、即ち、これらのサーフェイスを含む１つのイメージにおける複数のピクセ
ル（pixel）の値を計算するのには適しない。即ち、陰関数表現の直接レンダリ
ングでは、式Ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）の解を多くの時間をかけて求める必要がある。

【００２７】このことは、特に、インタラクティブな装置等のリアルタイムの制約の下で処
理しなければならないコンピュータグラフィックス装置、例えばコンピュータゲ
ームでは問題を生じさせるであろう。この問題を解決するために、初めに、サー
フェイスの陰関数表現が、レンダリングをする前に中間表現に変換される間接レ
ンダリング方法が提案されている。

【００２８】図２は、陰関数で記述されたサーフェイスをレンダリングするコンピュータグ
ラフィックス装置を示すものである。この装置は、陰関数サーフェイスモデルを
生成する第１モジュール２０を含むものである。この第１モジュール２０は、陰
関数サーフェイス表現をベツィエ３角形で記述したサーフェイスへ変換する第１
変換ユニット２１に接続される。この第１変換ユニット２１の出力部は、ベツィ
エ３角形で記述された表現を平坦な３角形で記述された表現へ変換する第２変換
ユニット２２の入力部に接続される。第２変換ユニット２２は１つの出力部を有
し、この出力部は、平坦な３角形で記述された表現をサーフェイスのイメージへ
変換する平坦な３角形レンダリングユニット２４の入力部に接続される。この平
坦な３角形レンダリングユニット２４の出力部は、デイスプレイ装置２５に接続
される。更新時間通報ユニット２８は、第１モジュール２０及び第１変換ユニッ
ト２１に接続される。

【００２９】図３は、この装置の処理を表わすフローチャートを示すものである。このフロ
ーチャートには、第１のステップであるステップ３０が含まれるが、このステッ
プでは、前述した関数の中から多くの適切な関数やパラメータ（Ａ１，ｘ１，ｙ
１，ｚ１等）を選ぶことによって図１のサーフェイス１０のような陰関数サーフ
ェイスモデルが生成される。第２のステップ３２では、これらの関数の表現を用
いて、多くの制御点１００ａ〜１００ｈの複数の座標を計算する。また、この制
御点は、例えば２次のベツィエ３角形を表わすサーフェイスの近似を記述するも
のである。

【００３０】ベツィエ３角形では、表面パッチ（surface patch）は、３次元の座標（Ｘ，
Ｙ，Ｚ）をサーフェイス座標の組（ｕ，ｖ）に割り当てる座標値関数Ｇ（ｕ，ｖ）＝（Ｘ（ｕ，ｖ），Ｙ（ｕ，ｖ），Ｚ（ｕ，ｖ））により記述される。関数Ｇの領域内のいかなるサーフェイス座標の組（ｕ，ｖ）
に対しても、ＧはＸ，Ｙ，Ｚの計算結果を記述するものである。例えばＧが次の
ベツィエ関数である場合、Ｇ（ｕ，ｖ）＝Ｓｕｍ_ｋｌｍＲ_ｋｌｍｕ^ｋｖ^ｌ（１−ｕ−ｖ）^ｍとなる。ここに、Ｒ_ｋｌｍは種々のインデックスｋｌｍに対して、多くの制御点
の座標ベクトルを表すものである。

【００３１】このサーフェイス上の点の座標は、陰関数表現を用いるより、座標値関数を使
用することで、より高速に計算することができる。特に、低次の関数（例えば２
次）によって記述される多項式の座標が使用される場合は、例えばｕｖ空間上で
均等に離れて配置された各点に割り当てられたＸＹＺ座標を計算するために前進
差分法（forward difference method）を用いると、非常に高速で計算すること
ができる。

【００３２】ベツィエ関数を使用する場合には、２番目のステップ３２が、陰関数表現から
どれくらいの数の表面パッチが陰関数で記述されたサーフェイスを近似するため
に使用されるべきかを判断し、この２番目のステップがこれらの各パッチに対す
る多数の制御点Ｒの座標を計算する。

【００３３】フローチャートの３番目のステップ３４では、座標値関数を用いて平坦な３角
形からなるメッシュにおける頂点の座標を計算することにより、座標値関数によ
り規定される表面パッチを近似することができる。

【００３４】図４は、１組の２次元の頂点を図示するものである。このサーフェイス１０は
、制御点１００ａ〜１００ｈを含むものであって、この２次元の例では、曲面パ
ッチ（curved surface patch）を表す曲線パッチ(curved line patch)を記述す
るものである。この制御点１００ａ〜１００ｈから、頂点１０２ａ〜１０２ｒが
計算され、隣接する頂点１０２ａ〜１０２ｒを接続する線分を表わす。即ち、こ
れらの線分が平坦な３角形を表わすものである。

【００３５】フローチャートの４番目のステップ３５では、平坦な３角形からなるメッシュ
における頂点の座標を用いて、サーフェイスのイメージにおけるピクセルの内容
物を計算する。フローチャートの５番目のステップ３６では、このイメージが表
示される。

【００３６】４番目のステップ３５のためには、サーフェイスにビューイング変換（viewin
g transformation）を適用する必要があるであろう。ビューイング変換は、視点
に関連する座標系においてサーフェイスを表現するための変換を含むものである
。このようなビューイング変換は、（選ばれた視点の位置を表わすために）移動
ベクトルをサーフェイスの点の座標へ加算すること、（ビューイングすべき仮想
カメラの方向を表わすために）これらの座標に回転行列を乗算することを含むこ
ともできる。

【００３７】このビューイング変換は、制御点１００ａ〜１００ｈの座標に適用し、変換さ
れた制御点１００ａ〜１００ｈから複数の頂点の座標を計算するのが好適である
。したがって、頂点の座標にビューイング変換を適用する必要は全くなく、これ
は図３のフローチャートのステップを実行するためにかかる計算量を減少させる
。

【００３８】フローチャートの６番目のステップ３８では、陰関数サーフェイス・モデルが
更新されるが、これは前のステップでイメージをレンダリングした第１時点に続
く第２時点に対応する。

【００３９】図１に戻るが、図１は、第２時点で得られるモデルの断面を示すものである。
例として、複数の球のうち１つの球の中心点１２が、新しい点１６へ移動したこ
とを示す。この場合には、第２時点の新しいサーフェイス１８を陰関数で記述で
きるように関数Ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）を変更する。

【００４０】フローチャートの７番目のステップ３９は、６番目のステップの次に実行され
る。７番目のステップ３９では、制御点１００ａ〜１００ｈ（座標値関数により
記述されるサーフェイスを近似するために使用される）の座標Ｒは、第２の時点
におけるサーフェイスを近似するために用いられる新しい制御点１６０ａ〜１６
０ｈの座標R'の初期値として使用される。これらの初期値Ｒから、例えば次の帰
納式によって新しい値R'が計算される。Ｒ^{（ｎ＋１）}＝Ｒ^（ｎ）−Ｓ_ｎＳ_ｎ＝ａ^＊gradＦ（Ｒ^（ｎ））このとき、ｎ（例えばｎ＝１）に対してＲ^（０）＝Ｒ、R'＝Ｒ^（ｎ）となる。こ
のようにして、点Ｒは、傾きの方向へ、例えば、（Ｆ（Ｒ^（ｎ））−Ｃ）／（grad（Ｆ（Ｒ^（ｎ））^２に比例するａを以てＳ_ｎだけ移動する。更に、サーフェイスにとって制御点１６０ａ〜１６０ｈが適
切に分配して（サーフェイス上の比較的平らなエリアには点を少なく、大きくカ
ーブしているエリアには点を多くなるようにして）点１００ａ〜１００ｈが移動
するように、幾つかの条件をＳｎに加えることもできる。デッカースによる修士
論文では、平坦な３角形の頂点に対してこれをどのように行うことができるか、
が述べられている。例えば、制御点が互いに反発するように、Ｓ_ｎにサーフェイ
スに対する接線ベクトル（grad（Ｆ（Ｒ））には垂直）を加算することによって
、及び／または、座標値関数の制御点１００ａ〜１００ｈによって陰関数Ｆの制
御点１２、１４の動きを追跡するように、陰関数Ｆの制御点１２，１４の変化の
方向のベクトルをＳｎに加算すること等である。同様の方法は、本発明の座標値
関数の制御点１６０ａ〜１６０ｈにも適用することができる。

【００４１】図１では、初期の制御点１００ａ〜１００ｈから新しい制御点１６０ａ〜１６
０ｈへの動きを矢印によって示している。

【００４２】７番目のステップ３９の後、制御点１６０ａ〜１６０ｈの１組の新しい（近似
の）座標が得られる。また、第２時点におけるこの１組に対しては、フローチャ
ートの３番目のステップ３４から繰り返される。即ち、２番目のステップ３２で
は、初めに制御点１００ａ〜１００ｈの座標を計算したが、第２の時点の制御点
１６０ａ〜１６０ｈに対しては繰り返さない。しかし、平坦な３角形からなるメ
ッシュの頂点１０２ａ〜１０２ｒの座標を計算するこのステップは、第２時点に
対しても繰り返される。そして、平坦な３角形からなるメッシュの頂点１０２ａ
〜１０２ｒの座標は、第２時点に対して新たに計算され、第１時点に対して以前
に計算された頂点を初期値として用いずに得られる訳ではない。

【００４３】図３のフローチャートにおけるほとんどのステップを、１つの汎用目的のコン
ピュータにより連続的に実行することができるが、例えば、レンダリングユニッ
ト２４でまだ前の制御点１００ａ〜ｈに対して計算される平坦な３角形の処理を
している時に、同時に、新しい制御点１６０ａ〜ｈの計算を、第１変換ユニット
２１で開始することができるように、少なくとも幾つかのステップを、パイプラ
イン方式の複数のコンピュータ上で実行することが好適である。

【００４４】７番目のステップ３９で、制御点の新座標を計算するのに必要とする計算量は
、陰関数で記述されたサーフェイスの変化量に依存して変化させることもできる
。ある環境下では、これは、リアルタイムの制約を満たすために、平坦な３角形
からなるメッシュにおける頂点の座標を十分に速く計算することができないとい
う恐れを生じる場合がある。この場合、全ての頂点を新たに計算する代わりに、
３番目のステップ３４で頂点の一部分に対して以前に計算された座標を使用する
と都合が良い。このようにして、リアルタイムの制約を満足させる時間を得るこ
とができる。これらの頂点が実際に毎回新たに計算される場合は、累積誤差は生
じない。７番目のステップ３９と３番目のステップ３４とに必要な計算量の合計
が、リアルタイム計算として許される最大値を超えないように、新たに計算され
る計算量を調節することもできる。

【図面の簡単な説明】

【図１】時間に依存するサーフェイスの例を示すものである。

【図２】陰関数で記述されたサーフェイスをレンダリングする装置を示すもの
である。

【図３】陰関数で記述されたサーフェイスをレンダリングするステップのフロ
ーチャートを示すものである。

【図４】ある時点のサーフェイスを分割したものを示すものである。

───────────────────────────────────────────────────── フロントページの続き (71)出願人Ｇｒｏｅｎｅｗｏｕｄｓｅｗｅｇ１， 5621 ＢＡＥｉｎｄｈｏｖｅｎ，ＴｈｅＮｅｔｈｅｒｌａｎｄｓ (72)発明者コルネリスウェーアーエムファンオフェルフェルトオランダ国 5656 アーアーアインドーフェンプロフホルストラーン６Ｆターム(参考） 5B050 BA07 BA08 BA09 EA24 EA28 5B080 AA11 AA14 AA19 GA26

Claims

【特許請求の範囲】

【請求項１】時間に依存する陰関数サーフェイス・モデルを提供するステップ
と、第１時点における前記陰関数サーフェイスの近似を表わす複数の点からなる第
１メッシュを計算するステップと、前記第１メッシュの点を開始点として使用して、第２時点における前記陰関数
サーフェイスの近似を表わす複数の点からなる第２メッシュを計算するステップ
と、を含むコンピュータ・グラフィックス・アニメーション方法であって、前記第１及び第２メッシュの点を、第１及び第２の非線形座標関数の制御点と
して使用するステップと、これら第１及び第２非線形座標関数によってそれぞれ記述される複数のサーフ
ェイスをレンダリングするステップと、を含むことを特徴とする方法。
【請求項２】前記レンダリングするステップが、前記複数の制御点からなる第１及び第２メッシュから、前記第１および第２の
座標値関数によって記述される前記サーフェイスを近似し、レンダリングされた
サーフェイスを規定する平坦な３角形からなる第１及び第２メッシュの平坦な３
角形の頂点をそれぞれ計算するステップと、を含む、請求項１に記載するコンピュータ・グラフィックス・アニメーション方
法。
【請求項３】ビューイング変換が、前記複数の制御点からなる第１及び第２メ
ッシュに適用され、前記複数の頂点は、変換された複数の制御点から計算される、請求項２に記載するコンピュータ・グラフィックス・アニメーション方法。
【請求項４】前記座標値関数が、ベツィエ３角形上に記述される２次のベツィ
エ関数である、請求項１に記載するコンピュータ・グラフィックス・アニメーション方法。
【請求項５】前記陰関数サーフェイス・モデルが、座標値関数によって記述さ
れ、前記サーフェイス上の全ての点の座標が、同じ関数値となるような座標値を持
つ関数によって記述され、前記第２メッシュの点を計算するに当たり、前記第１メッシュの点に、前記関
数の部分的な傾きの方向に項を加える、請求項１に記載するコンピュータ・グラフィックス・アニメーション方法。
【請求項６】前記第２メッシュの平坦な３角形における前記複数の頂点の一部
分を、前記複数の制御点からなる第２メッシュから計算し、前記第２メッシュの平坦な３角形における前記複数の頂点の残りの部分を、前
記第１メッシュの平坦な３角形における前記複数の頂点から複製し、前記一部分のサイズが、前記方法に必要な前記計算量がリアルタイムの制約下
において許される最大量を超えないように調節される、請求項２に記載するコンピュータ・グラフィックス・アニメーション方法。
【請求項７】時間に依存する陰関数サーフェイス・モデルの複数のパラメータ
を受け取る入力部と、前記陰関数サーフェイスの近似を表わす複数の点からなる第１メッシュを計算
する計算ユニットと、を含み、前記計算ユニットが、前記第１メッシュの前記複数の点を開始点として使用し
て第２時点における前記陰関数サーフェイスの近似を表わす複数の点からなる第
２メッシュを計算するように設計されるコンピュータグラフィックス装置であっ
て、前記装置が、第１及び第２非線形座標値関数の制御点として、前記複数の点か
らなる第１メッシュ及び第２メッシュを使用するように設計された変換装置と、それぞれ前記第１及び第２非線形座標値関数によってサーフェイスをレンダリ
ングするレンダリングユニットと、を含むことを特徴とする装置。
【請求項８】更に、前記複数の制御点からなる第１及び第２のメッシュから、
複数の平坦な３角形からなる第１及び第２メッシュの複数の頂点をそれぞれ計算
し、前記第１及び第２の座標値関数によって記述される前記サーフェイスを近似す
る前記複数の平坦な３角形からなる第１及び第２メッシュを計算する変換ユニッ
トと、前記複数の平坦な３角形からなるメッシュによって記述される複数のサーフェ
イスをレンダリングする平坦な３角形レンダリングユニットと、を含む、請求項７に記載するコンピュータグラフィックス装置。
【請求項９】複数のビューイング変換を前記複数の点からなる第１及び第２メ
ッシュへ適用するように設計され、複数の頂点が、変換された複数の制御点から計算される、請求項８に記載するコンピュータ・グラフィックス装置。
【請求項１０】複数の前記座標値関数は、複数のベツィ３角形上に記述される
複数の２次ベツィエ関数である、請求項１０に記載するコンピュータ・グラフィックス装置。
【請求項１１】前記陰関数サーフェイス・モデルが、前記サーフェイスの全て
の点の座標が同じ関数値となるような座標値を持つ関数によって記述され、前記計算ユニットは、前記第２メッシュの点を計算するに当たり、前記第１メ
ッシュの点に、前記関数の部分的な傾きの方向に項を加える、請求項７に記載するコンピュータ・グラフィックス装置。
【請求項１２】前記計算ユニットが、前記第２メッシュの複数の制御点から計
算される前記複数の平坦な３角形からなる第２メッシュにおける前記複数の頂点
の一部分を計算し、前記第２メッシュの平坦な３角形における前記頂点の残りの部分が、前記複数
の平坦な３角形からなる第１メッシュにおける前記複数の頂点から複製され、前記方法に必要とされる前記計算量が、リアルタイムの制約下において許され
る最大量を超えないように前記一部分のサイズを調節する、請求項８に記載するコンピュータ・グラフィックス装置。