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Die
vorliegende Erfindung bezieht sich auf ein Rechnergraphiken-Animationserfahren
wie in dem Oberbegriff des Anspruchs 1 beschrieben.
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Ein
derartiges Verfahren ist aus einer Magisterarbeit von D. Dekkers,
veröffentlicht
an der Technischen Universität
in Eindhoven, Niederlanden, im Februar 1977, bekannt.
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Implizierte
Oberflächendefinitionen
bilden ein starkes Werkzeug zum definieren einer Oberfläche mit
einer variablen Form zur Verwendung in Rechnergraphiken. Die implizierte
Oberfläche
wird mit Hilfe einer Funktion definiert, deren Argumente Koordinaten
in dem Raum sind, in dem die Oberfläche liegt. Die Punkte auf der
implizierten Oberfläche sind
Punkte, deren Koordinaten eine Gleichung erfüllen, die diese Funktion mit
sich bringt. So kann beispielsweise eine sphärische Oberfläche mit
Hilfe einer Funktion definiert werden, welche die Summe der Quadrate
der Koordinaten ist, indem verlangt wird, dass für Punkte auf der Oberfläche die
Funktion einen vorbestimmten positiven Wert haben soll. Andere mehr
komplizierte Oberflächen
können
dadurch definiert werden, dass Funktionen in der Gleichung kombiniert
werden (beispielsweise addiert werden).
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Obschon
eine implizierte Oberflächendefinition
ein starkes Werkzeug zum Definieren einer Oberfläche ist, ist eine derartige
Definition weniger bequem zur aktuellen Aufbereitung der Oberfläche, d.h.
zur Berechnung eines Bildes einer Szene, in der sich die Oberfläche befindet.
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Dekkers
schlägt
vor, von der implizierten Oberflächendefinition
aus ein Netz flacher Dreiecke zu berechnen und dieses Netz unter
Verwendung flacher Dreiecke aufzubereiten.
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Dies
ist interessant, weil verfügbare
Hardware zum Aufbereiten von Oberflächen für Oberflächen optimiert ist, die aus
einem Netz flacher Dreiecke aufgebaut sind. Die linearen Eigenschaften
der Gleichungen, die derartige Dreiecke beschreiben, ermöglichen
es, dass derartige Dreiecke mit großer Geschwindigkeit und mit
hoher Effizienz aufbereitet werden können.
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Hardware,
die keine flache Dreiecke benutzt, ist eine nicht interessante Alternative:
nicht-lineare Oberflächendefinitionen,
welche die Lösung
nicht-linearer Gleichungen erfordern um Punkte auf der Oberfläche zu finden,
können
nicht mit einer derart hohen Geschwindigkeit aufbereitet werden.
Weiterhin erfordern die meisten Graphikaufgaben meistens oder nur
flache Dreiecke, so dass Hardware zum Aufbereiten implizierter Oberflächen nebst
verfügbarer Hardware
geschaffen werden muss, die zum Aufbereiten flacher Dreiecke optimiert
wird.
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Implizierte
Oberflächendefinitionen
sind sehr geeignet zum Definieren einer animierten Oberfläche mit
einer zeitvariablen Form, beispielsweise durch Verwendung einer
Funktion, welche die Summe zweier Subfunktionen ist, und durch Translation
oder Rotation der Subfunktion gegenüber der anderen als eine Funktion
der Zeit.
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Vorzugsweise
sollen Bilder derartiger animierter Oberflächen mit zeitvariabler Form
in Echtzeit berechnet werden, d.h. so schnell wie diese Bilder einander
an einer Wiedergabeanordnung ersetzen. Dies ist bequem, beispielsweise
für Computerspielapplikationen,
bei denen die Form interaktiv durch den Spieler gesteuert wird.
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Aber
das Berechnen eines Netzes flacher Dreiecke aus einer implizierten
Oberflächendefinition ist
sehr zeitaufwendig. Im Allgemeinen ist es erforderlich, die Gleichung
mit der Funktion wiederholt zu lösen,
weil die Funktion nicht linear ist. Außerdem sollen Eckpunkte in
dem Netz über
die Oberfläche verteilt
werden, damit die Annäherungsfehler,
die durch Annäherung
der Oberfläche
durch flache Dreiecke eingeführt
werden, begrenzt werden und damit vermieden wird, dass zu viele
flache Dreiecke aufbereitet werden müssen.
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Dekkers
hat vorgeschlagen, die Zeit, erforderlich zum Berechnen des Netzes
flacher Dreiecke während
der Animation, durch Verwendung der Eckpunkte des Netzes, die für ein Bild
an dem ersten Zeitpunkt als Startpunkt zum Berechnen entsprechender
Eckpunkte des Netzes berechnet worden sind, für ein Bild zum zweiten Zeitpunkt,
der nahe bei dem ersten Zeitpunkt liegt, zu reduzieren. Auf diese Art
und Weise sind nur einige Wiederholungen erforderlich um aktualisierte
Eckpunkte zu erhalten, die eine ausreichende Annäherung der Oberfläche schaffen.
Die Verteilung der Eckpunkte 4 kann auch weitgehend von der ersten
Zeitpunkt übernommen werden.
Dekkers schlägt
vor, in den Wiederholungen eine Verschiebung der Eckpunkte, parallel
zu der Oberfläche
einzuverleiben, damit eine optimale Verteilung erhalten wird.
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Aber
das Verfahren von Dekkers ist dennoch sehr zeitaufwendig und lässt Animation
unter Verwendung implizierter Oberflächendefinitionen eine teure
Option für
Computergraphik.
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Es
ist daher u. a. eine Aufgabe der vorliegenden Erfindung, eine Möglichkeit
zu schaffen, Computeranimierung unter Verwendung implizierter Oberflächenmodelle
zu beschleunigen.
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Das
Verfahren nach der vorliegenden Erfindung weist dazu das Kennzeichen
auf, wie in dem kennzeichnen Teil des Anspruchs 1 beschrieben.
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Nach
der vorliegenden Erfindung wird die implizierte Oberflächendefinition
benutzt zum Berechnen von Steuerpunkten einer nicht linearen koordinatenbewerteten
Funktion, welche die implizierte Funktion annähert. Eine koordinatenbewertete
Funktion ist eine Funktion, die Koordinaten auf einer Oberfläche Argumenten
zuordnet, die eine Position auf einer Oberfläche parametrieren. Ein Beispiel
einer koordinatenbewerteten Funktion ist eine gewichtete Summe von
Bernstein-Polynomen, wie diese benutzt werden zum Definieren einer
Bezier-Form.
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Weil
eine nicht lineare koordinatenbewertete Funktion stärker ist
zum Beschreiben gekrümmter Formen
als eines flachen Dreiecks, brauchen für eine Annäherung mit einer bestimmten
Genauigkeit viel weniger Steuerpunkte berechnet zu werden als in dem
Fall, dass die impliziert definierte Oberfläche durch ein Netz flacher
Dreiecke angenähert
wird.
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Weiterhin
wird die koordinatenbewertete Funktion benutzt zum Berechnen der
Eckpunkte in einem Netz flacher Polygone. Diese Berechnung kann
viel schneller durchgeführt
werden als wenn die Eckpunkte unmittelbar aus der implizierten Oberflächendefinition
berechnet werden. Weil die Berechnung von Eckpunkten von einer koordinatenbewerteten
Funktion auch auf andere Aufbereitungsprobleme angewandt werden
kann, ist es wirtschaftlich interessanter spezielle Hardware für diese
Berechnung vorzusehen, wodurch das Verfahren noch schneller gemacht
wird.
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Während der
Animation werden die Steuerpunkte der koordinatenbewerteten Funktion
zu einem ersten Zeitpunkt als Startpunkt zum berechnen der Steuerpunkte
der koordinatenbewerteten Funktion zu einem zweiten Zeitpunkt benutzt.
Auf diese Weise werden die zeitschluckenden Wiederholungen nur für die Steuerpunkte
durchgeführt
und nicht für alle
Eckpunkte des Netzes flacher Polygone. Dadurch wird die Rechenzeit,
erforderlich für
Wiederholungen, reduziert.
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In
einer Ausführungsform
des Verfahrens nach der vorliegenden Erfindung entspricht die nicht lineare
Koordinatenfunktion einem Netz angrenzender Dreiecke zwei ten Grades.
Dies ist eine Oberflächenpräsentation,
die insbesondere für
die Umwandlung zu flachen Dreiecken geeignet ist.
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Ausführungsbeispiele
der Erfindung sind in der Zeichnung dargestellt und werden im Folgenden näher beschrieben.
Es zeigen:
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1 ein
Beispiel einer zeitabhängigen Oberfläche,
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2 eine
Anordnung zum Aufbereiten eines impliziert definierten Oberfläche,
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3 ein
Flussdiagramm zum Aufbereiten eines impliziert definierten Oberfläche,
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4 eine
Aufspaltung einer Oberfläche
zu einem Zeitpunkt.
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Implizierte
Oberflächendefinitionen
sind ein kräftiges
Werkzeug zum Definieren der Formoberflächen zur Verwendung in Computergraphiken.
Eine implizierte Definition einer Oberfläche kann im Allgemeinen in
Form einer Gleichung geschrieben werden: F(x,y,z)
= C
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Diese
Gleichung definiert eines Sammlung von Punkten mit Koordinaten (x,y,z),
welche diese Gleichung erfüllen.
Ein Beispiel einer derartigen Definition ist die Definition eines
Satzes von Punkten, welche die Oberfläche einer Sphäre bilden.
In diesem Fall kann man die nachfolgende Funktion verwenden: F(x,y,z) = (x–x0)2 + (y–y0)2 + (z–z0)2
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Wenn
C > 0 ist, ist die
Sammlung von Punkten mit Koordinaten (x,y,z), welche die Gleichung F(x,y,z)
= C erfüllen,
die Oberfläche
einer Sphäre.
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Implizierte
Oberflächendefinitionen
sind interessant für
Applikationen in Computergraphiken, weil sie ein starkes Verfahren
bilden zum Definieren von Oberflächen.
So kann man beispielsweise die Funktion F(x,y,z) aus mehreren Subfunktionen
zusammenstellen, die je an sich impliziert eine Basisform definieren.
Die Zusammenstellung beschreibt eine Kombination dieses Basisformen
mit geschmeidigen Übergängen zwischen
den Formen. So kann man beispielsweise eine Oberfläche definieren,
aufgebaut aus eine Kombination von Oberflächen zweier Sphären, und
zwar unter Anwendung der nachfolgenden Funktion: F(x,y,z)
= F1(x,y,z) + F2(x,y,z)diese Funktion F(x,y,z) besteht aus
zwei Subfunktionen F1(x,y,z) = A1/{1 + (x–x1)2 + (y–y1)2 + (z–z1)2} F2(x,y,z) = A2/{1
+ (x–x2)2
+ (y–y2)2
+ (z–z2)2}
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Jede
dieser Funktionen an sich könnte
verwendet werden zum Definieren der Oberfläche eines Sphäre entsprechend
F1(x,y,z) = C und F2(x,y,z) = C um Positionen mit den Koordinaten
(x1,y1,z1) bzw. (x2,y2,z2). Die kombinierte Funktion definiert eine geschmeidige
Kombination dieser Oberflächen.
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Obschon
das Beispiel Sphären
benutzt, können
implizierte Definitionen selbstverständlich angewandt werden zum
Definieren jeder beliebigen Oberfläche. Mit nur einfachen quadratischen
Funktionen kann man bereits Formen wie ebene Flächen, Zylinder, Kegel usw.
und Kombinationen derselben definieren.
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Während der
Animation können
Oberflächen mit
einer zeitvariablen Form auf einfache Art und Weise durch Verwendung
von Funktionen mit zeitvariablen Parametern geschaffen werden. So
kann beispielsweise die Oberfläche,
die durch Kombination der Oberflächen
zweier Sphären
geschaffen worden ist, dadurch verformt werden, dass die Parameter A1.(x1,y1,z1)
und A2.(x2,y2,z2) der Komponentenfunktionen in der Zeit variiert
werden (die Parameter (x1,y1,z1) und (x2,y2,z2) werden auch als
Steuerpunkte der Funktion F bezeichnet).
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1 zeigt
ein Beispiel eines Schnittes 10 durch eine impliziert definierte
Oberfläche,
definiert unter Anwendung zweier Komponentenfunktionen mit Mittelpunkten 12 bzw. 14 (beispielsweise
mit den Koordinaten x1,y1,z1 bzw. x2,y2,z2). 1 zeigt ebenfalls
einen Schnitt 18 (gestrichelte Linie) durch die Oberfläche, wenn
sie in der Zeit gefaltet worden ist, weil eine der Mittelpunkte 14 zu
einem Punkt 16 verlagert worden ist.
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Obschon
implizierte Definitionen dieses Typs ein starkes Werkzeug zum Modellieren
von Oberflächen
sind, sind sie weniger geeignet für eine effiziente direkte Aufbereitung
dieser Oberflächen,
d.h. zum Berechnen des Wertes der Pixel eines Bildes mit einer derartigen
Oberfläche.
Dies ist weil eine direkte Aufbereitung einer implizierten Definition
eine öftere Auflösung der
Gleichung F(x,y,z) erfordern würde.
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Dies
kann zu Problemen führen,
insbesondere in Computergraphikanordnungen, die unter Echtzeitbedingungen
arbeiten müssen,
wie interaktiven Anordnungen, welche die Oberflächenform als eine Funktion
der Benutzerreaktion auf die Oberfläche anpassen. Um dieses Problem
zu überwinden wird
ein indirektes Aufbereitungsverfahren vorgeschlagen, wobei die implizierte
Definition der Oberfläche
zunächst
in eine Zwischendefinition umgewandelt wird, bevor die Aufbereitung
stattfindet.
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2 zeigt
eine Computergraphikanordnung zum Aufbereiten impliziert definierter
Oberflächen.
Diese Anordnung enthält
ein erstes Modul 20 zum Erzeugen eines impliziertes Oberflächenmodells.
Das erste Modul 20 ist mit einer ersten Umwandlungseinheit 21 gekoppelt,
und zwar zur Umwandlung einer implizierten Oberflächendefinition
in eine Definition einer Oberfläche
in Termen von Bezier-Dreiecken. Ein Ausgang der ersten Umwandlungseinheit 21 ist
mit einem Eingang einer zweiten Umwandlungseinheit 22 gekoppelt,
und zwar zur Umwandlung der Definition in Termen von Bezier-Dreiecken
in eine Definition in Termen flacher Dreiecke. Die zweite Umwandlungseinheit 22 hat
einen Ausgang, der mit einem Eingang einer Aufbereitungseinheit
für flache
Dreiecke 24 gekoppelt ist, wobei diese Einheit die Definition
in Termen flacher Dreiecke in ein Bild der Oberfläche umwandelt.
Ein Ausgang der Aufbereitungseinheit 24 für flache
Dreiecke ist mit einer Wiedergabeanordnung 25 gekoppelt. Eine
Zeitaktualisierungs-Signalisierungseinheit 28 ist mit dem
ersten Modul 20 und der ersten Umwandlungseinheit 21 gekoppelt.
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3 zeigt
ein Flussdiagramm, das die Wirkungsweise der Anordnung beschreibt.
Das Flussdiagramm umfasst einen ersten Schritt 30, in dem
ein impliziertes Modell einer Oberfläche, wie der Oberfläche 10 nach 1 dadurch
erzeugt wird, dass eine Anzahl geeigneter Funktionen und Parameter
(wie Al. x1,y1,z1 usw.) dieser Funktionen gewählt wird. In einem zweiten
Schrott 32 des Flussdiagramms wird die Definition dieser
Funktionen benutzt zum Berechnen der Koordinaten einer Anzahl Steuerpunkte 100a–h, die
eine Annäherung
der Oberfläche
definieren, beispielsweise in Termen von Bezier Dreiecken zweiter
Ordnung.
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In
einem Bezier Dreieck wird ein Oberflächenflicken durch eine koordinatenbewertete
Funktion definiert G(u,v) = (X(u,v),Y(u,v),Z(u,v)), die Oberflächenkoordinatenpaaren
(u,v) dreidimensionale Koordinaten (X, Y, Z) zuordnen: für jedes
Oberflächenkoordinatenpaar
(u,v) innerhalb der Domäne
der Funktion G, definiert G eine Berechnung von X,Y,Z. Wenn G eine
Bezier Funktion ist, beispielsweise: G(u, v)
= Sumklm Rklm ukvl(l-u-v)m wobei Rklm für verschiedene
Indizen k, l, m Koordinatenvektoren einer Anzahl Steuerpunkte sind.
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Die
Koordinaten von Punkten auf der Oberfläche können viel schneller berechnet
werden unter Anwendung koordinatenbewerteter Funktionen als unter
Anwendung einer implzierten Definition. Insbesondere wenn polynominale
koordinatenbewertete Funktionen eines tiefen Grades (beispielsweise
zweiten Grades) verwendet werden, kann die Berechnung sehr schnell
sein, beispielsweise unter Anwendung von Vorwärts-Differenzverfahren zum berechnen der
XYZ-Koordinaten, die Punkten zugeordnet worden sind, die in uv-Raum
in gleichen Abständen voneinander
liegen.
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In
dem Fall, wo Bezier Funktionen angewandt werden, entscheidet der
zweite Schritt 32 von der implizierten Definition, wie
viele verschiedene Flicken verwendet werden sollen um die impliziert
definierte Oberfläche
anzunähern
und der zweite Schritt berechnet die Koordinaten einer Anzahl dieser
Steuerpunkte R für
jeden dieser Flicken.
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In
einem dritten Schritt 34 des Flussdiagramms werden die
koordinatenbewerteten Funktionen benutzt zum berechnen von Koordinaten
von Eckpunkten eines Netzes flacher Dreiecke, das ihrerseits die
Oberflächenflicken
annähert,
die durch die koordinatenbewerteten Funktionen definiert sind.
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4 gibt
symbolisch einen derartigen Satz von Eckpunkten in zwei Dimensionen
wieder. Die Oberfläche 10 enthält Steuerpunkte 100a–h, die
in diesem zweidimensionalen Beispiel gekrümmte Linienflicken definieren,
die für
gekrümmte
Oberflächenflicken
stehen. Von den Steuerpunkten 100a–h sind Eckpunkte 102a–r berechnet
worden, die gerade Liniensegmente definieren, die Paare aufeinander
folgender Eckpunkte 102a–r verbinden; die geraden Liniensegmente
stehen symbolisch für
flache Dreiecke.
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In
dem vierten Schritt 35 des Flussdiagramms werden die Koordinaten
der Eckpunkte des Netzes flacher Dreiecke verwendet zum berechnen des
Inhaltes von Pixeln in einem Bild der Oberfläche. In einem fünften Schritt 36 des
Flussdiagramms wird dieses Bild wiedergegeben.
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Für den vierten
Schritt 35 kann es erforderlich sein, auf die Oberfläche Beobachtungstransformationen
anzuwenden. Beobachtungstransformationen umfassen Transformationen
zum Darstellen der Oberfläche
in einem Koordinatensystem gegenüber dem
Gesichtspunkt. Eine derartige Beobachtungstransformation kann das
Hinzufügen
eines Translationsvektors zu den Koordinaten von Punkten der Oberfläche umfassen
(zum Erklären
der Lage des selektierten Gesichtspunktes) und das Multiplizieren dieser
Koordinaten mit einer Rotationsmatrix (zum Erklären der Orientierung der fiktiven
Kamera, mit der das Bild genommen werden muss).
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Vorzugsweise
werden die Beobachtungstransformationen auf die Koordinaten der
Steuerpunkte 100a–h
angewandt und die Koordinaten der Eckpunkte werden aus den transformierten
Steuerpunkten 100a–h
berechnet. Auf diese Weise brauchen keine Beobachtungstransformationen
auf die Koordinaten der Eckpunkte angewandt zu werden, was den Rechenaufwand,
der zum Durchführen
des Flussdiagramms nach 3 erforderlich ist, reduziert.
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In
einem sechsten Schritt 38 des Flussdiagramms wird das implizierte
Oberflächenmodell
aktualisiert, so dass es einem zweiten Zeitpunkt entspricht, der
dem ersten Zeitpunkt folgt, für
den das Bild in den vorhergehenden Schritten aufbereitet wurde.
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In 1 wird
ein Schnitt durch das Modell dargestellt, wie dies zu dem zweiten
Zeitpunkt gehört.
Es ist beispielsweise ersichtlich, dass die Mitte 12 einer
der Sphären
sich in eine neue Lage 16 verlagert hat, wodurch auf diese
Weise die Funktion F(x,y,z) geändert
wird, so dass sie impliziert eine neue Oberfläche 18 für den zweiten
Zeitpunkt definiert.
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Ein
siebenter Schritt 39 des Flussdiagramms wird nach dem sechsten
Schritt durchgeführt.
In dem siebenten Schritt 39 werden die Koordinaten R der Steuerpunkte 100a–h (die
verwendet wurden zum Annähern
der Oberfläche
durch koordinatenbewertete Funktionen) nun als Ausgangswerte für die Koordinaten
R' neuer Steuerpunkte 160a–h verwendet,
die verwendet wurden zum Annähern
der Oberfläche
zu dem zweiten Zeitpunkt.
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Von
diesen Ausgangswerten R werden neue Werte R' berechnet, beispielsweise mit Hilfe
einer Rekursionsbeziehung: R(n+1) =
R(n) – Sn
Sn = a·grad F(R(n))wobei R(0) =
R ist und R' = R(n) ist für
ein bestimmtes n (beispielsweise n = 1). Auf diese Art und Weise
verlagert sich der Punkt R um einen Schritt Sn in
der Richtung des Gradienten, beispielsweise mit "a" proportional
zu (F(R(n))- C)/(grad(F(R(n)))2
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Außerdem können Terme
zu Sn hinzugefügt werden, so dass die Punkte 100a–h auf eine
solche Art und Weise sich verlagern, dass die Verteilung der Steuerpunkte 160a–h für die Oberfläche nach
wie vor geeignet ist (einige Punkte in relativ flachen Gebieten der
Ober fläche
und mehr Punkte in stark gekrümmten
Gebieten). Die Magisterarbeit von Dekkers beschreibt, wie dies gemacht
werden kann für
Eckpunkte flacher Dreiecke, beispielsweise durch Hinzufügung zu
Sn eines Vektors tangential zu der Oberfläche (senkrecht
zu grad(F(R))) beispielsweise so dass die Steuerpunkte sich gegenseitig
abstoßen und/oder
durch Hinzufügung
zu Sn eines Vektors in der Richtung der Änderung
der Steuerpunkte 12, 14 der implizierten Funktion, damit
die Steuerpunkte 100a–h
der koordinatenbewerteten Funktionen den Bewegungen eines oder mehrerer
Steuerpunkte 12, 14 der implizierten Funktion
F folgen. Ähnliche
Verfahren können
auf die Steuerpunkte 160a–h der koordinatenbewerteten
Funktionen der vorliegenden Erfindung angewandt werden.
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1 gibt
die Bewegung der Ausgangssteuerpunkte 100a–h zu neuen
Steuerpunkten 160a–h durch
Pfeile an.
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Nach
dein siebenten Schritt 39 ist ein neuer (Annäherungs)
Satz von Koordinaten von Steuerpunkten 160a–h verfügbar und
mit diesem Satz wird das Flussdiagramm für den zweiten Zeitpunkt wiederholt,
wie von dem dritten Schritt 34. Das heißt, der zweite Schritt 32,
wobei die Koordinaten der Steuerpunkte 100a–h zunächst berechnet
werden, wird nicht wiederholt für
die Steuerpunkte 160a–h
für den zweiten
Steuerpunkt, aber der Schritt, in dem die Koordinaten der Eckpunkte 102a–r des Netzes
flacher Dreiecke berechnet wird, wird für den zweiten Zeitpunkt wiederholt
und die Koordinaten der Eckpunkte 102a–r des Netzes flacher Dreiecke
werden für
den zweiten Zeitpunkt berechnet, und nicht durch Verwendung der
vorher berechneten Eckpunkte für
den ersten Zeitpunkt als eine Anfangsannäherung erhalten.
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Obschon
die meisten Schritte des Flussdiagramms nach 3 nacheinander
durch einen einfachen Allzweckcomputer durchgeführt werden können, wird
bevorzugt, dass wenigstens einige Schritte durch verschiedene Anordnungen
in Rohrleitungsweise durchgeführt
werden, beispielsweise so dass die Berechnung der neuen Steuerpunkte 160a–h in der
ersten Umwandlungseinheit 21 gestartet wird, und zwar zu
einem Zeitpunkt, wo die Aufbereitungseinheit 24 die flachen
Dreiecke noch verarbeitet, die für
die vorhergehenden Steuerpunkte 100a–h berechnet worden sind.
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Der
Rechenaufwand, erforderlich zum Berechnen neuer Koordinaten von
Steuerpunkten in dem siebenten Schritt 39 kann abhängig von
der Größe der Änderung
in der impliziert definierten Oberflächevariieren. Unter bestimmten
Umständen
kann dies zu der Möglichkeit
führen,
dass die Koordinaten der Eckpunkte des Netzes flacher Dreiecke nicht schnell
genug berechnet werden kann, damit Echtzeit-Beschränkungen
erfüllt
werden. In diesem Fall kann es bequem sein, vorher berechnete Koordinaten
zum Teil der Eckpunkte in dem dritten Schritt 34 statt
der Berechnung aller Eckpunkte aufs neue. Auf diese Weise wird Zeit
gespart um Echtzeit-Beschränkungen
zu erfüllen.
Da die Eckpunkte, wenn sie berechnet werden, jeweils aufs neue berechnet
werden, werden dadurch keine kumulativen Fehler eingeführt. Die
Anzahl Eckpunkte, die aufs neue berechnet werden, kann derart angepasst
werden, dass der erforderliche Rechenaufwand in dem siebenten 39 plus
dritten Schritt 34 ein Maximum nicht überschreitet, das für Echtzeit-Berechnung
erlaubt ist.