KR100657775B1 - 컴퓨터 그래픽 애니메이션 방법 및 장치 - Google Patents

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Abstract

음함수 표면은 시간 종속 음함수 표면 모델로 정의된다. 상기 암시적 모델로부터 2 차 베지어 함수와 같은 제 1 및 제 2 비선형 좌표값 함수의 제어 점의 제 1 및 제 2 메쉬가 각각 계산된다. 상기 제 1 및 제 2 비선형 좌표값 함수는 각각의 시간내에 제 1 및 제 2 점에서 음함수 표면을 근사화하여 표현한다. 상기 제 1 메쉬의 점은 제 2 메쉬의 점을 계산하는데 출발점으로서 사용된다. 예를 들어, 각각의 플랫 트라이앵글로 근사화하여 제 1 및 제 2 비선형 좌표값 함수에 의해 표면을 정의하여 표현한다.
음함수 표면, 베지어, 그래픽

Description

컴퓨터 그래픽 애니메이션 방법 및 장치{Computer graphics animation method and device}
본 발명은 청구항 1의 전체부에 기재된 바와 같은 컴퓨터 그래픽 애니메이션 방법에 관한 것이다.
상기 방법은 1997년 아인드호벤의 공업 대학의 디. 데커(D. Dekkers)의 석사 학위 논문에 이미 알려져 있다.
음함수 표면 정의(Implicit surface definitions)는 컴퓨터 그래픽에 사용되는 다양한 형태의 표면을 정의하는 강력한 툴이다. 상기 음함수 표면은 표면이 존재하는 공간 상의 좌표인 인수들의 함수에 의해 정의된다. 음함수 표면 상의 점은 상기 함수를 포함한 방정식을 만족시키는 해이다. 예들 들어, 구의 표면은 좌표 제곱의 합의 함수로서 정의하며, 상기 함수는 표면 상의 점에 대해 소정의 양(positive)의 값을 가져야 한다. 또한 보다 복잡한 표면은 방정식에서 함수를 결합(예를 들면, 가산)하여 정의할 수 있다.
음함수 표면 정의는 표면을 정의하는 강력한 툴이지만, 이런 정의가 표면을 나타낼 때, 즉 표면을 포함한 장면의 이미지를 실제로 렌더링할 때 다소 불편할 수 있다.
데커는 음함수 표면 정의로부터 플랫 트라이앵글의 메쉬를 계산하고, 플랫 트라이앵글을 사용하여 상기 메쉬를 렌더링할 것을 제안했다.
표면을 렌더링하기 위한 가용 하드웨어는 플랫 트라이앵글의 메쉬로 구성된 표면에 대해 최적화되므로 이 방법은 매우 효과적이다. 상기 트라이앵글을 렌더링하는 방정식의 선형적 특성때문에, 고효율로 상기 트라이앵글을 빠른 속도로 렌더링하는 것이 가능하다.
플랫 트라이앵글을 사용하지 않는 하드웨어는 관심사가 아니다. 이는 표면 상의 점을 찾기 위해 비선형 방정식의 해를 요구하는 비선형 표면 정의는 빠른 속도로 나타낼 수 없기 때문이다. 더구나, 대부분의 그래픽 작업은 주로 또는 단지 플랫 트라이앵글을 사용하므로 음함수 표면을 렌더링하는 하드웨어는 플랫 트라이앵글을 렌더링하기 위해 최적화되는 가용 하드웨어에 부가로 제공되어야 한다.
음함수 표면 정의는, 예를 들어, 두 개의 부함수(sub-function)의 합으로 나타낸 함수를 이용하여 하나의 부함수를 다른 하나에 대해 시간의 함수로서 해석하거나 회전할 수 있으므로, 시변화 형태를 가진 애니메이션의 표면을 정의하는데 매우 적합하다.
바람직하게, 시변화 형태를 가진 애니메이션의 표면에 나타난 이미지는 실시간으로 계산되어야 하고, 즉 표시 장치에서 이미지를 다른 이미지로 가능한 빨리 대체한다. 이것은, 예를 들어, 게임자에 의해 대화식으로 형태가 제어되는 컴퓨터 게임 애플리케이션에 적합하다.
그러나, 음함수 표면 정의로부터 플랫 트라이앵글의 메쉬를 계산하는 것은 시간이 많이 걸리는 작업이다. 일반적으로, 함수를 포함한 방정식을 반복적으로 푸는 것이 필요하다. 또한, 메쉬 상의 코너 점은 플랫 트라이앵글에 의해 표면을 근사화함으로써 야기되는 근사화 에러를 줄이고 렌더링되어야 할 플랫 트라이앵글이 너무 많아지지 않도록 표면에 걸쳐서 분배되어야 한다.
데커는 제 1 시점에서 이미지에 대해 계산된 메쉬의 코너 점을 제 2 시점에서 이미지에 대해 대응하는 메쉬의 코너 점을 계산하는데 출발점으로 사용하여, 애니메이션 동안에 플랫 트라이앵글의 메쉬를 계산하는데 필요한 시간을 줄일 것을 제안했다. 따라서, 표면의 충분한 근사화를 제공하는 업데이트된 코너 점을 단지 몇번의 반복으로 얻을 수 있다. 코너 점의 분배는 또한 제 1 시점으로부터 알아낼 수 있다. 데커는 최적화된 분배를 유지하기 위해서 표면에 평행하게 코너 점을 반복적으로 쉬프트하여 통합할 것을 제안했다.
그러나, 데커의 방법은 매우 시간 소모적이며, 컴퓨터 그래픽에서 음함수 표면 정의를 사용하는 애니메이션을 실행하는데 고가의 비용이 들게 하였다.
본 발명의 목적은 음함수 표면 모델을 사용하는 컴퓨터 애니메이션의 처리 속도를 증가시키는 것이다.
본 발명에 따른 방법은 청구항 1의 특징부에 잘 나타나 있다.
본 발명에 따라서, 음함수 표면 정의는 음함수 표면을 근사화하는 비선형 좌표값 함수의 제어 점을 계산하는데 사용된다. 좌표값 함수는 표면상의 위치를 매개 변수로 나타낸 인수에 표면의 좌표를 할당한다. 좌표값 함수의 한 예로서, 베지어(Bezier) 형태를 정의하는데 사용된 번스타인(Bernstein) 다항식의 가중합이 있다.
비선형 좌표값 함수는 플랫 트라이앵글보다 곡선 형태를 묘사하는데 더욱 적합하기 때문에, 일정한 정확도를 유지하면서 점을 근사화할 때, 음함수로 정의된 표면은 플랫 트라이앵글에 의해 근사화되는 경우보다 제어 점이 적게 계산된다.
연속적으로, 상기 좌표값 함수는 플랫 다각형의 메쉬 상의 코너 점을 계산하는데 사용된다. 이런 계산은 코너 점이 음함수 표면 정의로부터 바로 계산될 때보다 더욱 빠르게 실행된다. 좌표값 함수로부터의 코너 점 계산은 또한 다른 문제를 야기하기 때문에, 이런 계산을 위한 전용 하드웨어를 제고하여 상기 방법을 보다 빠르게 실행하는 것이 경제적이다.
애니메이션 동안에, 제 1 시점에서 좌표값 함수의 제어 점은 제 2 시점에서의 좌표값 함수의 제어 점을 계산하는데 출발점으로서 사용된다. 그러므로, 시간 소모적인 반복은 상기 제어 점에 대해서만 실행되고, 플랫 다각형의 메쉬의 모든 코너 점에 대해서는 실행되지 않는다. 결과적으로, 반복에 필요한 계산 시간이 줄어들게 된다.
본 발명에 따른 일실시예에서, 비선형 좌표값 함수는 인접한 2차 트라이앵글의 메쉬에 해당한다. 이것은 플랫 트라이앵글로의 변환에 특히 적합한 표면 표현방법이다.
본 발명의 이런 양상 또는 다른 양상을 도면을 참조로 상세히 설명하겠다.
도 1은 시간 종속 표면의 예를 도시한 도면.
도 2는 음함수로 정의된 표면을 렌더링하는 장치를 도시한 도면.
도 3은 음함수로 정의된 표면을 렌더링하는 흐름도.
도 4는 시점에서 표면의 분할을 도시한 도면.
음함수 표면 정의는 컴퓨터 그래픽에서 사용되는 형태 표면을 정의하는 강력한 툴이다. 표면을 음함수로 정의하면 일반적으로 다음의 방정식 형태로 표현된다.
Figure 112000003789382-pct00001
상기 방정식은 상기 방정식을 만족시키는 좌표값(x,y,z)을 갖는 점의 집합을 정의한다. 예로서, 구의 표면을 형성하는 점의 세트를 정의할 수 있다. 이런 경우, 다음의 함수를 사용할 수 있다.
Figure 112000003789382-pct00002
C>0일때, 상기 방정식 F(x,y,z)=C 를 만족시키는 좌표값을 갖는 점의 집합은 구의 표면을 이룬다.
음함수 표면 정의는 표면을 정의하는 강력한 방법이기 때문에 컴퓨터 그래픽에 적용하면 유리하다. 예들 들어, 함수 F(x,y,z)를 몇몇의 부함수로 합성할 수 있다. 이런 합성은 형태간의 부드러운 변화(smooth transition)를 가진 기본 형태의 결합을 나타낸다. 예를 들어, 두 개의 함수를 사용하여 두 개의 구의 표면을 결합하여 구성된 표면을 정의한다.
Figure 112000003789382-pct00003
상기 함수 F(x,y,z)는 두 개의 부함수를 포함한다.
Figure 112004026130606-pct00014
Figure 112000003789382-pct00005
부함수 각각은 좌표값 (x1,y1,z1)과 (x2,y2,z2)를 중점으로, F1(x,y,z) = C 및 F2(x,y,z) = C에 따라 구의 표면을 정의하는데 사용된다. 결합된 함수는 이런 표면의 부드러운 결합을 정의한다.
상기 예는 구를 사용하였지만, 음함수 정의를 다른 종류의 표면을 정의하는데도 사용할 수 있다. 단지 간단한 2차 함수를 사용하면, 평면, 원통, 원뿔이나 이들을 결합한 형태 등을 정의할 수 있다.
애니메이션 동안에, 시변화 형태를 가진 표면을 시변화 파라메터를 가진 함수를 사용하여 간단히 생성할 수 있다. 예를 들어, 두 개의 구의 표면을 결합하여 생성한 표면은 시간의 요소 함수의 다양한 파라메터 A1,(x1,y1,z1) 및 A2,(x2,y2,z2)에 의해 변형된다.(파라메터 (x1,y1,z1)과 (x2,y2,z2)는 또한 함수 F의 제어 점이라고도 한다)
도 1은 각각의 중점(12, 14)(예들 들어, 좌표값 (x1,y1,z1)과 (x2,y2,z2))을 갖는 두 개의 성분 함수를 사용하여 정의된 음함수로 정의된 표면을 통한 단면(10)의 예를 도시한다. 또한, 도 1은 시간에 따라 중점(14)이 중점(16)으로 이동함에 따라 변화된 표면을 통한 단면(18)을 점선으로 도시한다.
이런 형태의 음함수 정의는 표면을 모델링하는 강력한 툴이지만, 이런 표면을 효과적으로 직접 렌더링하는데, 즉 이런 표면을 내포한 이미지의 픽셀값을 계산하는데에는 덜 적합하다. 왜냐 하면, 음함수 정의를 직접 렌더링하기 위해 많은 회수에 걸쳐 방정식 F(x,y,z)을 풀어야 하기 때문이다.
예들 들어, 이것은 컴퓨터 게임같이 표면 형태가 사용자의 응답에 따라 나타나는 대화형 장치처럼 실시간 제약을 받으며 동작하는 컴퓨터 그래픽 장치에서 특히 문제가 된다. 이런 문제를 해결하기 위해서, 표면의 음함수 정의가 나타나기 이전에 1차적으로 중간 단계의 정의로 변환되는 간접적인 방법이 제안되었다.
도 2는 음함수로 정의된 표면을 렌더링하는 그래픽 장치를 도시한다. 이런 장치는 음함수 표면 모델을 발생하는 제 1 모듈(20)을 포함한다. 상기 제 1 모듈(20)은 음함수 표면 정의를 베지어 트라이앵글 항으로 표면 정의를 변환하는 제 1 변환 유닛(21)에 결합된다. 제 1 변환 유닛(21)의 출력은 베지어 트라이앵글 항의 정의를 플랫 트라이앵글 항으로 변환하는 제 2 변환 유닛(22)의 입력에 결합된다. 제 2 변환 유닛의 출력은 플랫 트라이앵글 항의 정의를 표면의 이미지로 변환하는 플랫 트라이앵글 렌더링 장치(24)의 입력에 결합된다. 플랫 트라이앵글 렌더링 장치(24)는 표시 장치(25)에 결합된다. 시간 업데이트 신호 유닛(28)은 제 1 모듈(20)과 제 1 변환 유닛(21)에 결합된다.
도 3은 상기 장치의 동작을 설명하는 흐름도이다. 상기 흐름도는 다수의 적절한 함수와 그들의 파라메터(A1,x1,y1,z1 등)를 선택함으로써 도 1의 표면(10)과 같은 표면의 음함수 모델을 발생하는 제 1 단계(30)를 포함한다. 상기 흐름도의 제 2 단계(32)에서, 이런 함수들의 정의는 예를 들어, 2차 베지어 트라이앵글 식으로 표면을 근사화하여 정의한 다수의 제어 점(100a 내지 100h)의 좌표를 계산하는데 사용된다.
베지어 트라이앵글에서, 표면 패치는 3차원 좌표(X,Y,Z)를 표면 좌표쌍(u,v)에 할당하는 좌표값 함수 G(u,v)=(X(u,v),Y(u,v),Z(u,v))에 의해 정의된다. 함수 G의 영역내의 표면 좌표쌍(u,v)에 대해, 함수 G는 X,Y,Z의 계산값을 정의한다. 함수 G가 다음과 같은 베지어 함수이면,
Figure 112000003789382-pct00006
여기서 다른 인덱스 k,l,m 에 대한 Rklm 은 다수의 제어 점의 좌표 벡터이다.
좌표값 함수를 사용하면 음함수 표면 정의를 사용할 때보다 더욱 빠르게 표면상의 점의 좌표값을 계산할 수 있다. 특히, 낮은 차수(예를 들어, 2차)의 다항식 좌표값 함수를 사용하면, 상기 계산은 예들 들어, uv 공간에 균등히 이산된 점들에 할당한 XYZ 좌표를 계산하는 전진 차분 방법(forward difference method)을 사용하여 더욱 빠르게 실행될 수 있다.
베지어 함수를 사용하는 경우, 제 2 단계(32)는 음함수 정의로부터 음함수로 정의된 표면을 근사화하는데 얼마나 많은 표면 패치를 사용할지를 결정하고, 그러한 각각의 패치에 대해 다수의 제어 점(R)의 좌표를 계산한다.
흐름도의 제 3 단계(34)에서, 상기 좌표값 함수는 좌표값 함수에 의해 정의된 표면 패치들을 교대로 근사화하는 플랫 트라이앵글의 메쉬의 코너 점들의 좌표들을 계산하는데 사용된다.
도 4는 이런 2차원의 코너 점의 세트를 기호로 표시한다. 상기 표면(10)은 제어 점(100a 내지 100h)을 포함하고, 이런 2차원의 예에서 상기 제어 점은 곡면 패치를 렌더링하는 곡선 패치를 정의한다. 상기 제어 점(100a 내지 100h)으로부터, 코너 점(102a 내지 102r)이 계산되어, 연속되는 코너 점(102a 내지 102r)의 쌍을 연결하는 선분을 정의하며, 상기 선분은 플랫 트라이앵글을 기호로 나타낸다.
흐름도의 제 4 단계(35)에서, 플랫 트라이앵글의 메쉬의 코너 점의 좌표는 표면의 이미지에 있는 픽셀의 내용을 계산하는데 사용된다. 흐름도의 제 5 단계(36)에서 이미지가 표시된다.
제 4 단계(35)를 위하여, 표면에 뷰잉 변환(veiwing transformation)을 적용할 필요가 있다. 뷰잉 변환은 좌표 시스템에서 표면을 시점에 관해 변환시키는 단계를 포함한다. 이런 뷰잉 변환은 (선택된 시점의 위치를 설명하기 위해) 이동 벡터를 표면의 점의 좌표값에 가산하는 단계와, (보아야 할 가상의 카메라의 방향을 설명하기 위해) 이런 좌표를 회전 매트릭스와 승산하는 단계를 포함한다.
바람직하게, 상기 뷰잉 변환은 제어 점(100a 내지 100h)의 좌표에 적용되고, 코너 점의 좌표는 상기 변환된 제어 점(100a 내지 100h)으로부터 계산된다. 그러므로, 뷰잉 변환을 코너 점의 좌표에 적용할 필요가 없으므로, 도 3의 흐름도를 실행하는데 필요한 계산량이 줄어든다.
흐름도의 제 6 단계(38)에서, 음함수 표면 모델은 업데이트되어서, 이미지가 나타났던 전단계의 제 1 점에 이어 제 2 점에 대응한다.
도 1을 다시 참조하면, 도 1은 제 2 점에 알맞는 음함수 표면 모델의 단면을 도시한다. 예를 보면, 구들 중 하나의 중점(12)은 새로운 중점(16)으로 이동하므로, 함수 F(x,y,z)를 변경하고 제 2 시점에 대해 새로운 표면(18)을 음함수로 정의한다.
흐름도의 제 7 단계(39)는 제 6 단계에 이어서 실행된다. 제 7 단계(39)에서, 제어 점들(100a 내지 100h)의 좌표들(R)(좌표값 함수에 의해 표면을 근사화하는데 사용됨)은 제 2 시점에서 표면을 근사화하는데 사용되는 새로운 제어 점들(160a 내지 160h)의 좌표들(R`)을 위한 초기값들로 사용된다. 예를 들어, 귀납적 관계에 의해, 이런 초기값들(R)로부터 새로운 값들(R`)이 계산된다.
Figure 112000003789382-pct00007
Figure 112000003789382-pct00008
어떤 n(예들 들어, n=1)에 대해, R(0)=R 이고 R`=R(n)이다. 그러므로, 점(R)은 예를 들어, "a"에 비례한 그래디언트 방향으로 단계 Sn만큼 이동한다.
Figure 112000003789382-pct00009
부가적으로, 상기 점(100a 내지 100h)이 표면에 대해 적절히 제어 점(160a 내지 160h)의 분포를 유지하면서(상대적으로 편평한 지역보다 강하게 굴곡진 지역에 제어 점이 많이 분포함) 이동하도록, 점 항이 Sn에 가산될 수 있다. 데커의 석사 논문 이론은 제어 점이 서로 멀어지도록 표면에 대한 접선 벡터(grad(F(R))에 대해 수직)를 Sn에 가산하거나, 좌표값 함수의 제어 점(100a 내지 100h)이 음함수 함수(F)의 하나 이상의 제어 점(12, 14)의 이동을 따라가도록 음함수 함수(F)의 제어 점의 변화 방향으로의 방향 벡터를 Sn에 가산함으로써, 이런 동작을 트라이앵글의 코너 점에 대해 실행하는 것을 설명한다. 유사한 방법을 본 발명의 좌표값 함수의 제어 점(160a 내지 160h)에 적용할 수 있다.
도 1은 초기 제어 점(100a 내지 100h)에서 새로운 제어 점(160a 내지 160h)으로의 이동을 화살표로 도시한다.
제 7 단계(39) 이후에, 새로운(근사화된) 제어 점(160a 내지 160h)의 좌표값 세트가 현재 세트와 함께 사용가능하며, 흐름도는 제 2 시점에서 제 3 단계(34)부터 반복된다. 즉, 제어 점(100a 내지 100h)의 좌표가 초기화되는 제 2 단계(32)가 제 2 시점에서 제어 점(160a 내지 160h)에 대해 반복되지 않으나, 플랫 트라이앵글의 메쉬의 코너 점(102a 내지 102h)의 좌표는 제 2 시점에서 대해 반복되고, 플랫 트라이앵글의 메쉬의 코너 점(102a 내지 102h)은 초기의 근사화에서처럼 제 1 시점에서 이미 계산된 코너 점을 사용하여 얻어지지 않고 제 2 시점에서 새롭게 계산된다.
도 3의 흐름도의 대부분의 단계를 단일 범용 컴퓨터가 연속적으로 실행할 수 있을지라도, 다른 장치가 파이프라인 방식으로 최소한 몇 단계를 실행할 수 있어서, 예를 들어, 플랫 트라이앵글 렌더링 장치(24)가 이전의 제어 점(100a 내지 100h)에 대해 플랫 트라이앵글을 프로세싱하는 동안에도 제 1 변환 유닛(21)은 새로운 제어 점(160a 내지 160h)에 대한 계산을 실행할 수 있다.
제 7 단계(39)에서 제어 점의 새로운 좌표를 계산하는데 요구되는 계산량은 음함수로 정의된 표면에서의 변화량에 다양하게 의존한다. 어떤 경우에, 플랫 트라이앵글의 코너 점의 좌표는 실시간 제약을 충족시킬 정도로 빠르게 계산되지 못할 수 있다. 이 경우, 모든 코너 점을 새롭게 계산하는 대신에 제 3 단계(34)에 있는 이전에 계산된 코너 점 일부분을 사용하는 것이 편리하다. 그러므로, 실시간 제약을 극복할 수 있다. 만일 코너 점이 매시간 새롭게 계산될 수 있다면, 에러가 누적되는 것을 방지할 수 있다. 제 7 단계(39) 및 제 3 단계(34)에 필요한 계산량이 실시간 계산을 허용하는 최대값을 초과하지 않도록 다수의 코너 점을 새롭게 계산한다.

Claims (12)

  1. 시간 종속 음함수 표면 모델을 제공하는 단계와,
    제 1 시점에서 상기 음함수 표면의 근사를 표현하는 점들의 제 1 메쉬를 계산하는 단계와,
    제 2 시점에서 상기 음함수 표면의 근사를 표현하는 점들의 제 2 메쉬를 계산하기 위한 출발점으로서 상기 제 1 메쉬의 점들을 사용하는 단계를 포함하는, 컴퓨터 그래픽 애니메이션 방법에 있어서,
    제 1 및 제 2 비선형 좌표값 함수의 제어 점들로서 상기 점들의 제 1 및 제 2 메쉬를 사용하는 단계와,
    상기 제 1 및 제 2 비선형 좌표값 함수에 의해 각각 규정된 표면들을 렌더링하는 단계를 포함하는 것을 특징으로 하는, 컴퓨터 그래픽 애니메이션 방법.
  2. 제 1 항에 있어서,
    상기 렌더링하는 단계는 상기 제어 점들의 제 1 및 제 2 메쉬로부터 각각 플랫 트라이앵글들의 제 1 및 제 2 메쉬의 코너 점들을 계산하는 단계를 포함하고, 상기 플랫 트라이앵글들의 제 1 및 제 2 메쉬는 상기 제 1 및 제 2 좌표값 함수에 의해 각각 규정된 표면들을 근사화하고, 상기 플랫 트라이앵글들의 메쉬에 의해 규정된 표면들이 렌더링되는, 컴퓨터 그래픽 애니메이션 방법.
  3. 제 2 항에 있어서,
    뷰잉 변환들(veiwing transformations)이 상기 제어 점들의 제 1 및 제 2 메쉬에 적용되고, 상기 코너 점들이 변환된 제어 점들로부터 계산되는, 컴퓨터 그래픽 애니메이션 방법.
  4. 제 1 항에 있어서,
    상기 좌표값 함수들은 베지어 트라이앵글들(Bezier triangles)에 걸쳐 규정된 2차 베지어 함수들인, 컴퓨터 그래픽 애니메이션 방법.
  5. 제 1 항에 있어서,
    상기 음함수 표면 모델은 좌표값들 함수에 의해 규정되고, 상기 표면 상의 모든 점들의 좌표들이 동일한 함수값이 되도록 하며, 상기 제 2 메쉬의 점들은 상기 제 1 메쉬의 점들에 상기 함수의 로컬 그래디언트(local gradient) 방향의 항을 가산함으로써 계산되는, 컴퓨터 그래픽 애니메이션 방법.
  6. 제 2 항에 있어서,
    상기 플랫 트라이앵글들의 상기 제 2 메쉬의 코너 점들의 일부분은 제어 점들의 제 2 메쉬로부터 계산되고, 상기 플랫 트라이앵글들의 제 2 메쉬의 상기 코너 점들의 나머지 부분은 상기 플랫 트라이앵글들의 제 1 메쉬의 상기 코너 점들로부터 복사되고, 상기 일부분의 크기는 상기 방법에 필요한 계산량이 실시간 제약하에서 허용가능한 최대값 이하로 유지되도록 조정되는, 컴퓨터 그래픽 애니메이션 방법.
  7. 시간 종속 음함수 표면 모델의 파라메터들을 수신하는 입력과,
    제 1 시점에서 상기 음함수 표면의 근사를 표현하는 점들의 제 1 메쉬를 계산하고, 제 2 시점에서 상기 음함수 표면의 근사를 표현하는 점들의 제 2 메쉬를 계산하기 위한 출발점으로서 상기 제 1 메쉬의 점을 사용하는 계산 유닛을 포함하는, 컴퓨터 그래픽 장치에 있어서,
    제 1 및 제 2 비선형 좌표값 함수의 제어 점들로서 상기 점들의 제 1 및 제 2 메쉬를 사용하는 변환 유닛과,
    상기 제 1 및 제 2 비선형 좌표값 함수에 의해 각각 규정된 표면들을 렌더링하는 렌더링 유닛을 포함하는 것을 특징으로 하는, 컴퓨터 그래픽 장치.
  8. 제 7 항에 있어서,
    상기 렌더링 유닛은,
    상기 제 1 및 제 2 좌표값 함수들에 의해 각각 규정된 상기 표면들을 근사화하는 플랫 트라이앵글들의 제 1 및 제 2 메쉬의 코너 점들을 각각, 제어 점들의 상기 제 1 및 제 2 메쉬로부터 계산하기 위한 다른 변환 유닛과,
    상기 플랫 트라이앵글들의 메쉬에 의해 규정된 표면들을 렌더링하는 플랫 트라이앵글 렌더링 유닛을 포함하는, 컴퓨터 그래픽 장치.
  9. 제 8 항에 있어서,
    뷰잉 변환들을 제어 점들의 상기 제 1 및 제 2 메쉬에 적용하고, 상기 코너 점들이 변환된 제어 점들로부터 계산되는, 컴퓨터 그래픽 장치.
  10. 제 7 항에 있어서,
    상기 좌표값 함수들은 베지어 트라이앵글들에 걸쳐 규정된 2차 베지어 함수들인, 컴퓨터 그래픽 장치.
  11. 제 7 항에 있어서,
    상기 음함수 표면 모델은 좌표값들 함수에 의해 규정되고, 상기 표면 상의 모든 점들의 좌표들은 동일한 함수값을 결과하며, 상기 계산 유닛은 상기 제 1 메쉬의 점들에 상기 함수의 로컬 그래디언트 방향의 항을 가산함으로써 상기 제 2 메쉬의 점들을 계산하는, 컴퓨터 그래픽 장치.
  12. 제 8 항에 있어서,
    상기 플랫 트라이앵글들의 제 2 메쉬의 코너 점들의 일부분은 제어 점들의 상기 제 2 메쉬로부터 계산되고, 상기 플랫 트라이앵글들의 제 2 메쉬의 코너 점들의 나머지 부분은 상기 플랫 트라이앵글들의 제 1 메쉬의 코너 점들로부터 복사되고, 상기 장치는 상기 일부분의 크기를 필요한 계산량이 실시간 제약하에서 허용가능한 최대값 이하로 유지되도록 조정하는, 컴퓨터 그래픽 장치.
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