JP2000339294A - 構造物の振動モード計算方法、構造物の振動周波数計算方法、および記録媒体 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】 【課題】 部分構造合成法を用いて構造物の振動を解析
する際に、従来よりもコンピュータの計算量およびメモ
リの使用量が少なくかつ得られる解の精度も従来よりも
良い計算方法を提供する。 【解決手段】 構造物１の振動解析を部分構造合成法を
用いて計算する際に、各部分構造Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄの境界
部Ａ-Ｂ、Ｂ-Ｃ、Ｃ-Ｄに対応させて隣接する２つの部
分構造Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄを接続した部分構造接続モデル：
ＡＢモデル、ＢＣモデル、ＣＤモデルを設定し、その各
部分構造接続モデル：ＡＢモデル、ＢＣモデル、ＣＤモ
デルを用いて前記各境界部Ａ-Ｂ、Ｂ-Ｃ、Ｃ-Ｄにおけ
る振動モードあるいは振動周波数を所定の固有値問題を
解くことにより計算する。

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】

【発明の属する技術分野】本発明は、解析対象領域をい
くつかの部分構造に分割し、各部分構造に有限要素法を
適用して解析を行い、各部分構造間の連結部での条件を
適切に処理することによって、全体構造すなわち解析領
域内での解を求める技術に属し、特に、構造物の振動モ
ードあるいは振動周波数を部分構造合成法を用いて計算
する際のコンピュータの計算量および使用メモリ量を減
らすべく改良した部分構造合成法を用いた計算方法に関
する。

【０００２】

【従来の技術】構造物の振動モードあるいは振動周波数
を求める方法の一つとして有限要素法が知られている。
有限要素法により構造物の振動モードを求める（振動解
析する）手順は、概ね以下のステップａ１〜ａ４で示さ
れる。 ａ１： 図８に示すように構造物をメッシュ分割し、有
限要素ｅ１〜ｅｎ（ｎは構造物１のメッシュ分割した
数）からなる解析モデル１とする。 ａ２： 有限要素法の定式化によりシステム行列（剛性
行列：Ｋおよび質量行列：Ｍ）を生成する。 ａ３： システム行列のＫおよびＭを用いて構成された
次の式（１）の固有値問題を数学的に解く。

【数１】 …（１） なお、式（１）において、ｘは振動モードを表す変数
（ベクトル値）であり、λは周波数のパラメータを表す
変数であり、λ＝ω²、ω＝２πｆ（ωは角周波数、π
は円周率、ｆは周波数）である。ＫおよびＭは、上記し
たようにそれぞれ剛性行列（システム行列）、質量行列
（システム行列）であることを表す。 ａ４： 上記式（１）の固有値問題の解から、構造物の
振動モードと振動周波数とを得る。ところで、有限要素
法を用いて構造物の振動モードを得る際に、高い精度の
解を求める場合あるいは構造物の解析モデルの形状が複
雑である場合には、上記ステップａ１で行ったメッシュ
分割を細かく行い、各有限要素の大きさをより小さくす
ることが必要になる。ところが、各有限要素の大きさを
小さくすると、メッシュ分割された有限要素の個数が増
加（ｅ１〜ｅｎのｎが増大した数値となる）する。する
と、上記ステップａ２で生成したシステム行列の規模が
大きくなる。その結果、上記ステップａ３にて行う固有
値問題を数学的に解く際の、コンピュータにて行われる
計算量およびコンピュータにて使用されるメモリの使用
量が膨大なものになってしまうという問題がある。そこ
で、上記のように有限要素法を用いて構造物の振動解析
をする際に、コンピュータにおける計算量およびメモリ
の使用量を減少させる手段として、部分構造合成法が知
られている。

【０００３】部分構造合成法により構造物の振動解析を
行う手順は、概ね以下のステップｂ１〜ｂ１０に従って
行われる。 ｂ１： 図８に示すように構造物をメッシュ分割し、有
限要素ｅ１〜ｅｎ（ｎは構造物１のメッシュ分割した
数）からなる解析モデル１とする。 ｂ２： 図９に示すようにステップｂ１にてメッシュ分
割した解析モデル１を部分構造Ａ〜Ｄに分割する。図９
（ａ）は部分構造Ａ〜Ｄに分割しているがまだ解析モデ
ル１の形態で一体化している状態の全体構造を示す図で
あり、図９（ｂ）は部分構造Ａ〜Ｄに分割した場合の各
部分構造が個別に分かれた状態を示す図である。また、
図９中にＡ−Ｂで示した部分は、部分構造Ａと部分構造
Ｂとの境界部であり、Ｂ−Ｃで示した部分は、部分構造
Ｂと部分構造Ｃとの境界部であり、Ｃ−Ｄで示した部分
は、部分構造Ｃと部分構造Ｄとの境界部である。 ｂ３： 各部分構造Ａ〜Ｄについてシステム行列（剛性
行列：Ｋおよび質量行列：Ｍ）を生成する。なお、以下
に記載する説明や数式等の中では、部分構造Ａ中の非境
界部の自由度に関しては「１」を用いて表し、符号には
下付の添え字「１」を付与して表す。部分構造Ｂ中の非
境界部の自由度に関しては「３」を用いて表し、符号に
は下付の添え字「３」を付与して表す。部分構造Ｃ中の
非境界部の自由度に関しては「５」を用いて表し、符号
には下付の添え字「５」を付与して表す。部分構造Ｄ中
の非境界部の自由度に関しては「７」を用いて表し、符
号には下付の添え字「７」を付与して示す。また、部分
構造Ａと部分構造Ｂとの境界部Ａ−Ｂの自由度に関して
は「２」を用いて表し、符号には下付の添え字「２」を
付与して表す。部分構造Ｂと部分構造Ｃとの境界部Ｂ−
Ｃの自由度に関しては「４」を用いて表し、符号には下
付の添え字「４」を付与して表す。部分構造Ｃと部分構
造Ｄとの境界部Ｃ−Ｄの自由度に関しては「６」を用い
て表し、符号には下付の添え字「６」を付与して表す。 ｂ４： 各部分構造Ａ〜Ｄのシステム行列を用いて構成
された次の式（２）の固有値問題を数学的に解く。

【数２】 …（２） なお、式（１）において、ｘは振動モードを表す変数
（ベクトル値）であり、λは周波数パラメータを表す変
数である。ＫおよびＭは、上記したようにそれぞれ剛性
行列（システム行列）、質量行列（システム行列）であ
ることを表す。また、ＫおよびＭに付与される下付添え
字はステップｂ３にて説明したように各部分構造Ａ〜Ｄ
に関する符号であることを表す。

【０００４】ｂ５： 上記式（２）の固有値問題の解か
ら、各部分構造Ａ〜Ｄ中の非境界部の振動モードを得
る。得られた各部分構造Ａ〜Ｄ中の非境界部の各振動モ
ードをφ_i（ｉ＝１、３、５、７）と表す。すなわち、
部分構造Ａ中の非境界部の振動モードをφ₁と表し、部
分構造Ｂ中の非境界部の振動モードをφ₃と表し、部分
構造Ｃ中の非境界部の振動モードをφ₅と表し、部分構
造Ｄ中の非境界部の振動モードをφ₇と表す。 ｂ６： 境界部の振動モードを次の手順により計算す
る。 ｂ６-１： 各部分構造Ａ〜Ｄについて、非境界部の自
由度を静的縮小により消去する。まず、部分構造Ａにお
ける非境界部の自由度（自由度１）を次の式（３）によ
り消去する。

【数３】 …（３） なお、式（３）において、ＫおよびＭは、上記したよう
にそれぞれ剛性行列（システム行列）、質量行列（シス
テム行列）であることを表し、Ｉは、部分構造Ａの単位
行列である。各符号に付与された下付添え字は、関係す
る部分構造の自由度あるいは境界部の自由度を表す。各
符号に括弧付きにて付与された上付添え字Ａ〜Ｄは、関
係する部分構造を表す。各符号に付与された上付添え字
Ｔは、転置行列であることを表す。各符号の上部に付与
されたバーは、バーの付与されていない符号が変換され
た新たな符号であることを示す。また、Ｔは、次の式
（４）のように定義されて変換に用いられる行列であ
る。

【数４】 …（４） なお、式（４）において、Ｋは、上記したように剛性行
列（システム行列）であることを表す。各符号に付与さ
れた下付添え字は、関係する部分構造の自由度あるいは
境界部の自由度を表す。各符号に付与された上付添え字
「−１」は、行列がインバースしていることを表す。

【０００５】ｂ６-２： ステップｂ６-１と同様にし
て、部分構造Ｂについて、非境界部の自由度（自由度
３）を次の式（５）および式（６）を用いて静的縮小に
より消去する。

【数５】 …（５）

【数６】 …（６） なお、式（５）および式（６）において用いられた符号
は、上記式（３）および式（４）にてすでに説明したも
のと同一であるため説明を省略する。ｂ６-３： ステ
ップｂ６-１あるいはｂ６-２と同様にして、部分構造Ｃ
について、非境界部の自由度（自由度５）を次の式
（７）および式（８）を用いて静的縮小により消去す
る。

【数７】 …（７）

【数８】 …（８） なお、式（７）および式（８）において用いられた符号
は、上記式（３）および式（４）にてすでに説明したも
のと同一であるため説明を省略する。

【０００６】ｂ６-４： ステップｂ６-１、ｂ６-２あ
るいはｂ６-３と同様にして、部分構造Ｄについて、非
境界部の自由度（自由度７）を次の式（９）および上記
した式（８）を用いて静的縮小により消去する。

【数９】 …（９） なお、式（９）において用いられた符号は、上記式
（３）および式（４）にてすでに説明したものと同一で
あるため説明を省略する。 ｂ６-５： 上記のようにして、式（３）〜式（９）を
用いて、各部分構造Ａ〜Ｄのシステム行列から各々にお
ける非境界部の自由度１、３、５、７を消去し、各部分
構造Ａ〜Ｄの境界自由度のみにより構成されるシステム
行列を得たら、そのシステム行列により構成される次の
式（１０）の固有値問題を解く。

【数１０】 …（１０） なお、式（１０）において用いられた符号は、式（１）
〜式（４）にてすでに説明したものと同一であるため説
明を省略する。

【０００７】ｂ７： 式（１０）の固有値問題の解か
ら、各部分構造Ａ〜Ｄ間の境界部Ａ-Ｂ、Ｂ-Ｃ、Ｃ-Ｄ
の振動モードを得る。得られた各部分構造Ａ〜Ｄの境界
部Ａ-Ｂ、Ｂ-Ｃ、Ｃ-Ｄの各振動変位をφ_i（ｉ＝２、
４、６）と表す。すなわち、部分構造Ａと部分構造Ｂと
の境界部Ａ-Ｂの振動モードをφ₂と表し、部分構造Ｂと
部分構造Ｃとの境界部Ｂ-Ｃの振動モードをφ₄と表し、
部分構造Ｃと部分構造Ｄとの境界部Ｃ-Ｄの振動モード
をφ₆と表す。 ｂ８： ステップｂ５にて得られた各部分構造Ａ〜Ｄの
非境界部における各振動モードφ₁、φ₃、φ₅、φ₇、
と、ステップｂ７にて得られた各部分構造Ａ〜Ｄの境界
部Ａ-Ｂ、Ｂ-Ｃ、Ｃ-Ｄにおける各振動モードφ₂、
φ₄、φ₆、とを用いて、元の全体構造のシステム行列を
座標変換した新たな全体構造のシステム行列を次の式
（１１）により生成する。

【数１１】 …（１１） 式（１１）において、Ｓ_Cは、次の式（１２）のように
定義されて変換に用いられる行列である。その他の式
（１１）において用いられた符号は、上記式（１）〜式
（４）にてすでに説明したものと同一であるため説明を
省略する。

【数１２】 …（１２） なお、式（１２）において用いられた符号は、上記式
（１）〜式（４）および式（１１）にてすでに説明した
ものと同一であるため説明を省略する。

【０００８】ｂ９： ステップｂ８にて得られた新たな
全体構造のシステム行列を用いて構成された次の式（１
３）の固有値問題を数学的に解く。

【数１３】 …（１３） なお、式（１３）において、ξは振動モードを表す変数
（ベクトル値）である。その他の式（１３）において用
いられた符号は、上記式（１）〜式（４）にてすでに説
明したものと同一であるため説明を省略する。ｂ１０：
上記式（１３）の固有値問題の解から、全体構造（＝
構造物の解析モデル１）の振動モードを得る。

【０００９】図１０は、従来の部分構造合成法を用いて
構造物の振動モードを計算する方法における概略の処理
を概念的に示した図である。図１０（ａ）は、ステップ
ｂ５にて説明したように、固有値問題の解から各部分構
造Ａ〜Ｄの非境界部における個別の各振動モードφ₁、
φ₃、φ₅、φ₇を得た様子を示している。図１０（ｂ）
は、ステップ（ｂ７）にて説明したように、固有値問題
の解から各部分構造Ａ〜Ｄ間の境界部Ａ-Ｂ、Ｂ-Ｃ、Ｃ
-Ｄにおける個別の各振動モードφ₂、φ₄、φ₆を得た様
子を示している。図１０（ｃ）は、ステップｂ８にて説
明したように、ステップｂ-５にて得られた各部分構造
Ａ〜Ｄの非境界部における各振動モードφ₁、φ₃、
φ₅、φ₇、と、ステップｂ７にて得られた各部分構造Ａ
〜Ｄの境界部Ａ-Ｂ、Ｂ-Ｃ、Ｃ-Ｄにおける各振動モー
ドφ₂、φ₄、φ₆、とを新たな全体構造のシステム行列
を生成するために用いていることを示している。図１０
（ｄ）は、ステップｂ８〜ｂ１０にて説明したように、
上記各振動モードを用いて元の全体構造のシステム行列
を座標変換した新たな全体構造のシステム行列を生成
し、その新たな全体構造のシステム行列を用いて固有値
問題を解き、その解から全体構造の振動モードを得る様
子を示している。このようにして、有限要素法を用いて
構造物の振動解析をする際に、さらに高い精度の解を求
める場合、あるいは、構造物の解析モデルの形状が複雑
である場合に、上記した部分構造合成法を用いることに
より、コンピュータにおける計算量およびメモリの使用
量の増加を緩和することができる。

【００１０】

【発明が解決しようとする課題】しかしながら、有限要
素法を用いて構造物の振動解析をさらに高精度におこな
おうとする場合、あるいは構造物の解析モデルの形状が
複雑である場合には、例え上記のように部分構造合成法
を用いたとしても、やはり上記ステップ（ｂ-１）で行
ったメッシュ分割を細かく行い、各有限要素の大きさを
より小さくすることが必要になる。したがって、部分構
造合成法によりコンピュータにおける計算量およびメモ
リの使用量の増加が若干緩和されても、全体としてのコ
ンピュータにおける計算量およびメモリの使用量は大き
いままである。さらに、部分構造合成法では近似するこ
とにより解を求めて全体構造の振動モードを得ている
が、従来の部分構造合成法では近似による精度が悪く、
従って、解の精度も悪くなり、得られる振動モードの解
析結果も低精度であった。本発明は、上述した如き従来
の問題を解決するためになされたものであって、部分構
造合成法を用いて構造物の振動を解析する際に、コンピ
ュータの計算量およびメモリの使用量を従来よりも少な
くでき、かつ得られる解の精度についても従来よりも高
めることができる計算方法を提供することを目的とす
る。

【００１１】

【課題を解決するための手段】上述の目的を達成するた
め、請求項１に記載された本発明の構造物の振動モード
計算方法は、多数の有限要素にメッシュ分割した構造物
の解析モデルを任意個数の有限要素からなる部分構造に
分割し、有限要素法において用いられる定式化により解
析モデルの全体構造および各部分構造のシステム行列を
生成し、隣接し合う部分構造間の境界部の振動モードお
よび非境界部の振動モードを所定の固有値問題を解くこ
とにより計算し、前記全体構造のシステム行列を前記各
境界部の振動モードおよび非境界部の振動モードを用い
て座標変換することにより新たな全体構造のシステム行
列を生成し、前記新たな全体構造のシステム行列を用い
て前記所定の固有値問題を解くことにより前記構造物の
振動モードを計算する構造物の振動モード計算方法であ
って、前記各境界部に対応させて隣接する２つの部分構
造を接続した部分構造接続モデルを設定し、該部分構造
接続モデルを用いて前記各境界部における振動モードを
所定の固有値問題を解くことにより計算することを特徴
とする。請求項２の本発明は、請求項１に記載された構
造物の振動モード計算方法において、前記新たな全体構
造のシステム行列を生成するための座標変換に用いられ
る各境界部における振動モードは、前記部分構造接続モ
デルにより得られた各境界部における振動モードである
ことを特徴とする。

【００１２】請求項３の本発明は、請求項２に記載され
た構造物の振動モード計算方法において、前記新たな全
体構造のシステム行列を生成するための座標変換には、
前記部分構造の振動モードと前記部分構造接続モデルに
より得られた各境界部における振動モードとからなる行
列を用いて座標変換することを特徴とする。請求項４に
記載された構造物の振動モード計算方法では、多数の有
限要素にメッシュ分割した構造物の解析モデルを任意個
数の前記有限要素からなる部分構造に分割し、有限要素
法において用いられる定式化により前記解析モデルの全
体構造および各部分構造のシステム行列を生成し、隣接
し合う部分構造間の境界部の振動周波数および非境界部
の振動周波数とを所定の固有値問題を解くことにより計
算し、前記全体構造のシステム行列を前記各境界部の振
動周波数および非境界部の振動周波数を用いて座標変換
することにより新たな全体構造のシステム行列を生成
し、前記新たな全体構造のシステム行列を用いて前記所
定の固有値問題を解くことにより前記構造物の振動周波
数を計算する構造物の振動周波数計算方法であって、前
記各境界部に対応させて隣接する２つの部分構造を接続
した部分構造接続モデルを設定し、該部分構造接続モデ
ルを用いて前記各境界部における振動周波数を所定の固
有値問題を解くことにより計算することを特徴とする。
請求項５に記載された機械読み取り可能な記録媒体は、
請求項１〜請求項４のいずれかに記載の計算方法を実施
するためのプログラムを記録したものであることを特徴
とする。

【００１３】

【発明の実施の形態】以下、本発明を図示した実施形態
に基づいて説明する。 ［第１の実施の形態］本発明の第１の実施の形態につい
て説明する。図１は、本発明の第１の実施の形態を示す
部分構造接続モデルの説明図である。図１（ａ）は構造
物を部分構造Ａ〜Ｄに分割しているがまだ解析モデル１
の形態で一体化している状態の全体構造を示す図であ
り、図１（ｂ）は部分構造Ａ〜Ｄに分割した場合の各部
分構造が個別に分かれた状態を示す図であり、図１
（ｃ）は部分構造接続モデル（ＡＢモデル、ＢＣモデ
ル、ＣＤモデル）を示す図である。また、図１中にＡ−
Ｂで示した部分は、部分構造Ａと部分構造Ｂとの境界部
であり、Ｂ−Ｃで示した部分は、部分構造Ｂと部分構造
Ｃとの境界部であり、Ｃ−Ｄで示した部分は、部分構造
Ｃと部分構造Ｄとの境界部である。本実施の形態の部分
構造合成法により構造物の振動解析を行う手順は、概ね
以下のステップｃ１〜ｃ１０に従って行われる。 ｃ１： 図８に示すように構造物をメッシュ分割し、有
限要素ｅ１〜ｅｎ（ｎは構造物１のメッシュ分割した
数）からなる解析モデル１とする。 ｃ２： 図１に示すように、ステップｃ１にてメッシュ
分割した解析モデル１を部分構造Ａ〜Ｄに分割し、さら
に、隣り合う部分構造どうしにより部分構造接続モデル
（ＡＢモデル、ＢＣモデル、ＣＤモデル）を設定する。 ｃ３： 各部分構造Ａ〜Ｄについてシステム行列（剛性
行列：Ｋおよび質量行列：Ｍ）を生成する。なお、以下
に記載する説明や数式等の中では、部分構造Ａ、Ｂ、
Ｃ、Ｄ中の非境界部の自由度に関しては、各々「１」、
「３」、「５」、「７」を用いて表し、符号についても
下付の添え字「１」、「３」、「５」、「７」を付与し
て表す。また、部分構造接続モデルのうち、ＡＢモデル
の自由度に関しては「１」、「２」、「３」を用いて表
し、符号についても下付の添え字「１」、「２」、
「３」を付与して表す。ＢＣモデルの自由度に関して
は、「３」、「４」、「５」を用いて表し、符号につい
ても下付の添え字「３」、「４」、「５」を付与して表
す。ＣＤモデルの自由度に関しては、「５」、「６」、
「７」を用いて表し、符号についても下付の添え字
「５」、「６」、「７」を付与して表す。

【００１４】ｃ４： 各部分構造Ａ〜Ｄのシステム行列
を用いて構成された次の式（１４）の固有値問題を数学
的に解く。

【数１４】 …（１４） なお、式（１４）において用いられた符号は、上記式
（１）〜式（２）にてすでに説明したものと同一である
ため説明を省略する。 ｃ５： 式（１４）の固有値問題の解から、各部分構造
Ａ〜Ｄ中の非境界部の振動モードを得る。得られた各部
分構造Ａ〜Ｄ中の非境界部の各振動モードをφ _i（ｉ＝
１、３、５、７）と表す。すなわち、部分構造Ａ中の非
境界部の振動モードをφ^(A) ₁と表し、部分構造Ｂ中の非
境界部の振動モードをφ^(B) ₃と表し、部分構造Ｃ中の非
境界部の振動モードをφ^(C) ₅と表し、部分構造Ｄ中の非
境界部の振動モードをφ^(D) ₇と表す。 ｃ６： 境界部の振動モードを次の手順により計算す
る。 ｃ６-１： 部分構造接続モデルであるＡＢモデルにつ
いて、次の式（１５）の固有値問題を数学的に解く。

【数１５】 …（１５） なお、式（１５）において用いられた符号は、式（１）
〜式（３）にてすでに説明したものと同一であるため説
明を省略する。

【００１５】ｃ６-２： ステップｃ６-１と同様にし
て、部分構造接続モデルであるＢＣモデルについて、次
の式（１６）の固有値問題を数学的に解く。

【数１６】 …（１６） なお、式（１６）において用いられた符号は、上記式
（１）〜式（３）にてすでに説明したものと同一である
ため説明を省略する。

【００１６】ｃ６-３： ステップｃ６-１あるいはｃ６
-２と同様にして、部分構造接続モデルであるＣＤモデ
ルについて、次の式（１７）の固有値問題を数学的に解
く。

【数１７】 …（１７） なお、式（１７）において用いられた符号は、上記式
（１）〜式（３）にてすでに説明したものと同一である
ため説明を省略する。 ｃ７： 式（１５）〜式（１７）の固有値問題の解か
ら、各部分構造接続モデル（ＡＢモデル、ＢＣモデル、
ＣＤモデル）の振動モードを得る。得られた各部分構造
接続モデル（ＡＢモデル、ＢＣモデル、ＣＤモデル）の
各振動モードをφ ^(AB) _i（ｉ＝１、２、３）、φ
^(BC) _i（ｉ＝３、４、５）、φ^(CD) _i（ｉ＝５、６、７）
と表す。

【００１７】ｃ８： ステップｃ５にて得られた各部分
構造Ａ〜Ｄの非境界部における各振動モードφ^(A) ₁、φ
^(B) ₃、φ^(C) ₅、φ^(D) ₇と、ステップｃ７にて得られた各
部分構造接続モデル（ＡＢモデル、ＢＣモデル、ＣＤモ
デル）における各振動モードφ^(AB) _i（ｉ＝１、２、
３）、φ^(BC) _i（ｉ＝３、４、５）、φ^(CD) _i（ｉ＝５、
６、７）とを用いて、元の全体構造のシステム行列を座
標変換した新たな全体構造のシステム行列を次の式（１
８）により生成する。

【数１８】 …（１８） なお、式（１８）において、Ｓ_pは、次の式（１９）の
ように定義されて変換に用いられる行列である。その他
の式（１８）において用いられた符号は、上記式（１）
〜式（４）にてすでに説明したものと同一であるため説
明を省略する。

【数１９】 …（１９） なお、式（１９）において用いられた符号は、上記式
（１）〜式（４）および式（１８）にてすでに説明した
ものと同一であるため説明を省略する。

【００１８】ｃ９： ステップｃ８にて得られた新たな
全体構造のシステム行列を用いて構成された次の式（２
０）の固有値問題を数学的に解く。

【数２０】 …（２０） なお、式（２０）において用いられた符号は、式（１
３）にてすでに説明したものと同一であるため説明を省
略する。 ｃ１０： 式（２０）の固有値問題の解から、全体構造
（＝構造物の解析モデル１）の振動モードを得る。

【００１９】図２は、第１の実施の形態の部分構造合成
法による構造物の振動モード計算方法における処理の流
れを概念的に示した図である。図２（ａ）は、上記ステ
ップｃ５において、固有値問題の解から各部分構造Ａ〜
Ｄの非境界部における個別の各振動モードφ^(A) ₁、φ
^(B) ₃、φ^(C) ₅、φ^(D) ₇を得た様子を示している。図２
（ｂ）は、上記ステップｃ７において、固有値問題の解
から各部分構造接続モデル（ＡＢモデル、ＢＣモデル、
ＣＤモデル）における個別の各振動モードφ^(AB) _i（ｉ
＝１、２、３）、φ^(BC) _i（ｉ＝３、４、５）、φ^(CD) _i
（ｉ＝５、６、７）を得た様子を示している。図２
（ｃ）は、上記ステップｃ８において、上記ステップｃ
５にて得られた各部分構造Ａ〜Ｄの非境界部における各
振動モードφ^(A) ₁、φ^(B) ₃、φ^(C) ₅、φ^{(D )} ₇と、上記ス
テップｃ７にて得られた各部分構造接続モデル（ＡＢモ
デル、ＢＣモデル、ＣＤモデル）における各振動モード
φ^(AB) _i（ｉ＝１、２、３）、φ^{(BC )} _i（ｉ＝３、４、
５）、φ^(CD) _i（ｉ＝５、６、７）、とを新たな全体構
造のシステム行列を生成するために用いていることを示
している。図２（ｄ）は、上記ステップｃ８〜ｃ１０に
て説明したように、上記各振動モードを用いて元の全体
構造のシステム行列を座標変換した新たな全体構造のシ
ステム行列を生成し、その新たな全体構造のシステム行
列を用いて固有値問題を解き、その解から全体構造の振
動モードを得る様子を示している。

【００２０】図３は、構造物の振動モードを本実施形態
の部分構造合成法および従来の部分構造合成法により実
際に計算した計算結果の真解に対する誤差を示す図であ
る。図３に示した計算結果は、以下の（ａ）〜（ｃ）に
示す手順により得られた。 （ａ） ｘ、ｙ、ｚ寸法が各々４５０×４０×４０μｍ
の水晶板を４５×４×４個の立方体形状の有限要素に分
割した解析モデルとする。 （ｂ） 水晶板の解析モデルを１５０×４０×４０μｍ
の３個の部分構造に分割する。 （ｃ） 上記水晶板の解析モデルに、上記従来の部分構
造合成法および上記実施形態の部分構造合成法を適用
し、上記解析モデルの振動モードおよび振動周波数を求
める。 なお、図３における横軸は、解析モデルの振動モードの
次数であり、縦軸は、振動周波数の真値と計算結果との
誤差を示す。図３に示す計算結果から、第１の実施の形
態の部分構造合成法により得られた解（計算結果）の方
が、従来の部分構造合成法により得られた解（計算結
果）に比べて１桁から２桁分だけ精度が向上しているこ
とがわかる。また、本解析モデルの振動解析を計算する
際の演算数は、従来の部分構造合成法では１．５５×１
０⁸であったのに対して、この実施の形態の部分構造合
成法では８．４４×１０⁷であった。この演算数の差
は、高い精度の解を求める場合あるいは構造物の解析モ
デルの形状が複雑である場合等の計算規模が拡大するこ
とに応じて差も拡大する。したがって、計算規模が大き
くなるほど、コンピュータの計算量を減らす点におい
て、この実施の形態の部分構造合成法を用いることが従
来の部分構造合成法を用いることに比べて有利となる。
また、本解析モデルの振動解析を計算する際に使用され
たコンピュータのメモリの使用量としては、この実施の
形態の部分構造合成法を用いた場合、従来の部分構造合
成法を用いた場合とも、３．４６Ｍｂｙｔｅｓと等しか
った。しかし、これについては、上記演算数の差は使用
するメモリの差に関係することから、計算規模が増大す
れば、従来の部分構造合成法を用いて計算する場合に必
要となるコンピュータのメモリの使用量は、この実施の
形態の部分構造合成法を用いた場合よりも増大すること
になる。したがって、コンピュータのメモリの使用量を
減らす点においても、この実施の形態の部分構造合成法
を用いることが従来の部分構造合成法を用いることに比
べて有利となる。

【００２１】［第２の実施の形態］本発明の第２の実施
の形態について説明する。図４は本発明の第２の実施の
形態を示す説明図である。 第１の実施の形態では、図
１、図２において説明したように、各部分構造Ａ〜Ｄの
非境界部における個別の各振動モードφ^(A) ₁、φ^(B) ₃、
φ^(C) ₅、φ^(D) と、各部分構造接続モデル（ＡＢモデ
ル、ＢＣモデル、ＣＤモデル）における個別の各振動モ
ードφ^(AB) _i（ｉ＝１、２、３）、φ^(BC) _i（ｉ＝３、
４、５）、φ^(CD) _i（ｉ＝５、６、７）とを用いて新た
な全体構造のシステム行列を生成しているが、第２の実
施の形態では、これを更に簡略化し、各部分構造接続モ
デル（ＡＢモデル、ＢＣモデル、ＣＤモデル）における
個別の各振動モードφ^(AB) _i（ｉ＝１、２、３）、φ
^(BC) _i（ｉ＝３、４、５）、φ^(CD) _i（ｉ＝５、６、７）
のみを用いて新たな全体構造のシステム行列を生成す
る。すなわち、第２の実施の形態では、第１の実施の形
態と同様にステップｃ１〜ｃ７に従って各部分構造接続
モデル（ＡＢモデル、ＢＣモデル、ＣＤモデル）におけ
る個別の各振動モードφ^(AB) _i（ｉ＝１、２、３）、φ
^(BC) _i（ｉ＝３、４、５）、φ^(CD) _i（ｉ＝５、６、７）
を求めた後、これらの振動モードφ^(AB) _i（ｉ＝１、
２、３）、φ^(BC) _i（ｉ＝３、４、５）、φ^(CD) _i（ｉ＝
５、６、７）だけを用いて剛性行列（システム行列）Ｋ
及び質量行列（システム行列）Ｍを座標変換することに
より、新たな全体構造のシステム行列を式（２１）によ
り生成する（ステップｃ８）。

【数２１】 …（２１） 式（２１）において、Ｓ_pは、次の式（２２）のように
定義されて変換に用いられる行列である。

【数２２】 …（２２） 上記ステップｃ８にて得られた新たな全体構造のシステ
ム行列を用いて構成された次の式（２３）の固有値問題
を数学的に解く。

【数２３】 …（２３） その後、上記式（２３）の固有値問題の解から、全体構
造（＝構造物の解析モデル１）の振動モードを得る。

【００２２】図５は、構造物の振動モードを第２の実施
の形態に係る部分構造合成法により実際に計算した計算
結果の真解に対する誤差を示す図である。図５に示した
計算結果は、以下の（ａ）〜（ｃ）に示す手順により得
られたものである。 （ａ） ｘ、ｙ、ｚ寸法が各々１０００×１００×３０
０μｍの水晶板を１００×１０×３０個の立方体形状の
有限要素に分割した解析モデルとする。 （ｂ） 水晶板の解析モデルを２５０×１００×３００
μｍの４個の部分構造に分割する。 （ｃ） 上記水晶板の解析モデルに、この実施の形態の
部分構造合成法をそれぞれ適用し、上記解析モデルの振
動モードおよび振動周波数を求める。 図５における横軸は、解析モデルの振動モードの次数で
あり、縦軸は、振動周波数の真値と計算結果との誤差を
示す。この結果から、高次の振動モードまで１０×１０
^{− 2} 以下の良好な精度で解が得られていることがわか
る。ただし、第１の実施の形態の結果（図３）と比較し
て若干精度が低下している。これは新たな全体構造のシ
ステム行列Ｓpが、各部分構造Ａ〜Ｄの非境界部におけ
る各振動モードφ^(A) ₁、φ^(B) ₃、φ^(C) ₅、φ^(D) _７の要
素を含んでいないことによるものである。このように、
第２の実施の形態では、各部分構造接続モデル（ＡＢモ
デル、ＢＣモデル、ＣＤモデル）における個別の各振動
モードφ^(AB) _i（ｉ＝１、２、３）、φ^(BC) _i（ｉ＝３、
４、５）、φ^(CD) _i（ｉ＝５、６、７）のみを用いて新
たな全体構造のシステム行列を生成しているため、第１
の実施の形態と比べて精度の低下は否めないが、システ
ム行列Ｓpの要素が少ない分だけ計算量を減らすことが
できるため、コンピュータの計算量およびメモリの使用
量を減らす点においては有利であるといえる。

【００２３】［第３の実施の形態］図５及び図６は、本
発明の第３の実施の形態を例示する部分構造接続モデル
の説明図である。第１及び第２の実施の形態では、図１
及び図４に示したように、構造物の全体構造１をｘ方向
にのみ分割した部分構造Ａ〜Ｄに分割し、各々隣接する
部分構造接続モデル（ＡＢモデル、ＢＣモデル、ＣＤモ
デル）を作成しているが、第３の実施の形態では図５及
び図６に示すようにｘ方向、ｙ方向及びｚ方向に様々な
形態で分割する。そして、各分割方向において各々隣接
する部分構造からなる多数の部分構造接続モデルを作成
し、各部分構造の振動モードと、各部分構造接続モデル
を用いて得られる各境界部の振動モードとを計算し、こ
れらの振動モードを用いて剛性行列（システム行列）Ｋ
及び質量行列（システム行列）Ｍを座標変換することに
より、新たな全体構造のシステム行列Ｓ_pを生成する。
この新たな全体構造のシステム行列Ｓ_pを用いて構成さ
れた式（式（２０）および式（２４）に相当）の固有値
問題を数学的に解くことにより、全体構造（＝構造物の
解析モデル１）の振動モードを得る。この第３の実施の
形態によれば、第１の実施の形態と比較して計算精度が
向上する。この場合、システム行列Ｓ_pの構成が複雑で
あるため、計算量については第１の実施の形態の場合よ
りも増大することになるが、従来の計算方法と比較すれ
ば少なくできる。また、第３の実施の形態においても、
第２の実施の形態で説明したように、個々の分割構造の
振動モードを用いず、各部分構造接続モデルの振動モー
ドのみを用いて新たな全体構造のシステム行列Ｓpを生
成すれば、システム行列Ｓpの要素数を減らすことがで
きるので、コンピュータの計算量およびメモリの使用量
を減らすことができる。

【００２４】なお、以上の実施の形態は、本発明を概念
的に説明したものであり、解析対象となる構造物は、図
１、図４、図６及び図７に示したような矩形状のものに
限らない。また、第１〜第３の実施の形態は、そのうち
のどれか一つが最も優れているといえるものではなく、
解析対象となる構造物の構造に応じて使い分けたり、計
算量の削減を優先するか計算精度を優先するかに応じて
適宜使い分けたりすればよい。また、上記の実施の形態
に示した計算方法を実施するためのプログラムおよび必
要なデータをＣＤ−ＲＯＭや磁気ディスク、磁気テープ
などコンピュータが読み取り可能な記録媒体に記録して
おけば、その記録媒体に含まれるプログラムをコンピュ
ータに読み込ませることで上記の実施の形態に示した計
算方法を実施する装置を実現できる。したがって、記録
媒体によってこれをソフトウエア商品として装置と独立
して容易に配布、販売することができるようになる。

【００２５】

【発明の効果】以上説明したように、本発明は以下のよ
うな優れた効果を奏する。請求項１〜３記載の発明によ
れば、コンピュータの計算量およびメモリの使用量を従
来よりも少なくでき、かつ得られる解の精度についても
従来よりも高めることができる部分構造合成法を用いた
振動モード計算方法を実現できる。請求項４記載の発明
によれば、コンピュータの計算量およびメモリの使用量
を従来よりも少なくでき、かつ得られる解の精度につい
ても従来よりも高めることができる部分構造合成法を用
いた振動周波数計算方法を実現できる。請求項５記載の
発明によれば、記録媒体に含まれるプログラムをコンピ
ュータに読み込ませることで請求項１〜４のいずれかに
記載の計算方法を実施する装置を実現できる。

【図面の簡単な説明】

【図１】（ａ）は部分構造Ａ〜Ｄに分割しているがまだ
解析モデル１の形態で一体化している状態の全体構造を
示す斜視図、（ｂ）は部分構造Ａ〜Ｄに分割した場合の
各部分構造が個別に分かれた状態を示す斜視図、（ｃ）
は部分構造接続モデル（ＡＢモデル、ＢＣモデル、ＣＤ
モデル）を示す斜視図である。

【図２】（ａ）〜（ｄ）は第１の実施の形態の部分構造
合成法による構造物の振動モード計算方法における処理
の流れを概念的に示した図である。

【図３】構造物の振動モードを第１の実施の形態の部分
構造合成法および従来の部分構造合成法により実際に計
算した計算結果の真解に対する誤差を示す図である。

【図４】（ａ）は部分構造Ａ〜Ｄに分割しているがまだ
解析モデル１の形態で一体化している状態の全体構造を
示す斜視図、（ｂ）は部分構造接続モデル（ＡＢモデ
ル、ＢＣモデル、ＣＤモデル）を示す斜視図である。

【図５】構造物の振動モードを第２の実施の形態の部分
構造合成法および従来の部分構造合成法により実際に計
算した計算結果の真解に対する誤差を示す図である。

【図６】本発明の第３の実施の形態を例示する部分構造
接続モデルの説明図（斜視図）である。

【図７】本発明の第３の実施の形態を例示する部分構造
接続モデルの説明図（平面図）である。

【図８】構造物の解析モデルをメッシュ分割して有限要
素に分けたようすを示す図である。

【図９】（ａ）は解析モデルを部分構造に分割するよう
すを示す図、（ｂ）は個別の部分構造を示した図であ
る。

【図１０】（ａ）〜（ｄ）は従来の部分構造合成法を用
いて構造物の振動モードを計算する方法における概略の
処理を概念的に示した図である。

【符号の説明】

１・・・構造体の解析モデル（全体構造）、Ａ〜Ｄ・・
・部分構造、ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ・・・部分構造接続モデ
ル、Ａ-Ｂ、Ｂ-Ｃ、Ｃ-Ｄ・・・境界部

───────────────────────────────────────────────────── フロントページの続き Ｆターム(参考） 5B046 AA03 JA08 5B056 AA01 BB02 BB95 HH00

Claims (5)

【特許請求の範囲】
1. 【請求項１】 多数の有限要素にメッシュ分割した構造
   物の解析モデルを任意個数の有限要素からなる部分構造
   に分割し、 有限要素法において用いられる定式化により解析モデル
   の全体構造および各部分構造のシステム行列を生成し、
   隣接し合う部分構造間の境界部の振動モードおよび非境
   界部の振動モードを所定の固有値問題を解くことにより
   計算し、前記全体構造のシステム行列を前記各境界部の
   振動モードおよび非境界部の振動モードを用いて座標変
   換することにより新たな全体構造のシステム行列を生成
   し、前記新たな全体構造のシステム行列を用いて前記所
   定の固有値問題を解くことにより前記構造物の振動モー
   ドを計算する構造物の振動モード計算方法であって、 前記各境界部に対応させて隣接する２つの部分構造を接
   続した部分構造接続モデルを設定し、該部分構造接続モ
   デルを用いて前記各境界部における振動モードを所定の
   固有値問題を解くことにより計算することを特徴とする
   構造物の振動モード計算方法。
2. 【請求項２】 前記新たな全体構造のシステム行列を生
   成するための座標変換に用いられる各境界部における振
   動モードは、前記部分構造接続モデルにより得られた各
   境界部における振動モードであることを特徴とする請求
   項１に記載の構造物の振動モード計算方法。
3. 【請求項３】 前記新たな全体構造のシステム行列を生
   成するための座標変換には、前記部分構造の振動モード
   と前記部分構造接続モデルにより得られた各境界部にお
   ける振動モードとからなる行列を用いて座標変換するこ
   とを特徴とする請求項２に記載の構造物の振動モード計
   算方法。
4. 【請求項４】 多数の有限要素にメッシュ分割した構造
   物の解析モデルを任意個数の前記有限要素からなる部分
   構造に分割し、有限要素法において用いられる定式化に
   より前記解析モデルの全体構造および各部分構造のシス
   テム行列を生成し、隣接し合う部分構造間の境界部の振
   動周波数および非境界部の振動周波数とを所定の固有値
   問題を解くことにより計算し、前記全体構造のシステム
   行列を前記各境界部の振動周波数および非境界部の振動
   周波数を用いて座標変換することにより新たな全体構造
   のシステム行列を生成し、前記新たな全体構造のシステ
   ム行列を用いて前記所定の固有値問題を解くことにより
   前記構造物の振動周波数を計算する構造物の振動周波数
   計算方法であって、 前記各境界部に対応させて隣接する２つの部分構造を接
   続した部分構造接続モデルを設定し、該部分構造接続モ
   デルを用いて前記各境界部における振動周波数を所定の
   固有値問題を解くことにより計算することを特徴とする
   構造物の振動周波数計算方法。
5. 【請求項５】 請求項１〜請求項４のいずれかに記載の
   計算方法を実施するためのプログラムを記録したことを
   特徴とする機械読み取り可能な記録媒体。