JP2000227904A - 計算装置、及び記憶媒体 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】 【課題】 本発明の課題は数学的帰納法に基いて等式又
は不等式を証明する、数学的帰納法の学習に好適な計算
装置、及び記憶媒体を提供することである。 【解決手段】 ＣＰＵ２は、数学的帰納法の各段階にお
ける等式又は不等式（ｎ＝１、ｎ＝ｋ、ｎ＝ｋ＋１の各
場合の式）を生成し、左辺及び右辺についてのグラフを
同一座標系内に描画し、また、前記各式が成り立つか否
かを判断することにより数学的帰納法に基く証明を行
う。更に、変数に代入する自然数毎に、成り立つか否か
を判断して、その判断結果をまとめたテーブルを作成し
て表示部に表示する。

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】

【発明の属する技術分野】本発明は、数式の演算を行う
計算装置、及び記憶媒体に係り、詳細には、等式又は不
等式を数学的帰納法に基いて証明する際の解法を表示す
る計算装置、及び記憶媒体に関する。

【０００２】

【従来の技術】従来、例えば、学習の分野で使用される
関数電卓等の計算装置としては、通常の四則演算機能の
他に、関数計算や統計計算機能、プログラミングによる
計算機能、そして計算式や計算結果データに応じたグラ
フを描画表示するグラフ表示機能等を備えたものが実用
されている。即ち、上述の関数電卓等の計算装置は、一
つの又は複数の演算式の入力に対して、普遍的な一つ又
は複数の値を求めて表示するというものである。

【０００３】

【発明が解決しようとする課題】しかしながら、証明問
題のように解を数値表示するような性質でない数学の問
題は計算機で解く手段はなく、証明問題を学習する者が
問題を解く際にこれらの計算装置を用いて、解法を正し
く導くことが出来ない。

【０００４】本発明の課題は、上述のような問題に鑑
み、数学的帰納法の学習に好適な計算装置、及び記憶媒
体を提供することである。

【０００５】

【課題を解決するための手段】本発明は、上述のような
課題に鑑み、数学的帰納法に基いて等式又は不等式を証
明する過程を式又はグラフで表示して、等式又は不等式
が成り立つか否かを判断し、その結果を表示させる、ま
たは等式又は不等式に含まれる変数に任意の自然数を代
入した際に等式や不等式の大小関係が成り立つか否かを
判断して、その結果を表示させるようにしていることを
特徴としている。すなわち、請求項１記載の発明は、数
学的帰納法に基いて等式又は不等式が成立することを証
明する証明手段（図１の２；図３のＳ１１４〜Ｓ１１
７，図４のＳ１２２，Ｓ１２８，Ｓ１３２，Ｓ１３３）
と、この証明手段による証明結果を表示させる表示制御
手段（図１の２；図４のＳ１３４，Ｓ１３５；図９のＭ
６，図１１のＭ９）と、を備えたことを特徴としてい
る。

【０００６】この請求項１記載の発明の計算装置によれ
ば、数学的帰納法に基いて等式又は不等式が成立するこ
とを証明し、この証明結果を表示させる。

【０００７】したがって、数学的帰納法に基いて等式又
は不等式を証明し、その証明結果を表示させることが出
来るので、実験等の結果により得た等式又は不等式や、
数学の数列の学習等において自己の想定した等式又は不
等式が数学的帰納法に基いて成り立つか否かを計算装置
を利用して容易に確かめることが出来る。

【０００８】また、請求項２記載の発明のように、請求
項１記載の発明において、等式又は不等式を入力する入
力手段（図１の３；図３の１０３）と、この入力手段に
より入力された等式又は不等式が数学的帰納法に基いて
証明可能であるか否かを判断する証明可能性判断手段
（図１の２；図３のＳ１０６，Ｓ１０７）と、この証明
可能性判断手段の判断結果を表示させる証明可能性表示
制御手段（図１の２；図３のＳ１０８，Ｓ１０９；図６
（ｂ）のＭ１）と、を更に備え、前記証明手段は、前記
証明可能性判断手段により前記入力手段により入力され
た等式又は不等式は数学的帰納法に基く証明が可能であ
ると判断された場合に、該等式又は不等式が成立するこ
とを数学的帰納法に基いて証明することが有効である。

【０００９】この請求項２記載の発明の計算装置によれ
ば、請求項１記載の発明の効果に加えて、どのような式
に数学的帰納法を適用して証明することが出来るのかと
いった感覚を効率よく学習することが可能となり、数学
の学習において種々の証明問題を解く場合にも、与えら
れた等式又は不等式の態様に応じて数学的帰納法に基く
証明が最適な方法であるのか、または他の方法で証明す
るべきかといった判断力を養うことが出来る。

【００１０】更に、請求項３記載の発明のように、請求
項１又は２に記載の発明において、前記証明手段は、数
学的帰納法の各段階における等式又は不等式を生成する
（図３のＳ１１４，Ｓ１１５，図４のＳ１２２，Ｓ１２
８）とともに、この生成された各段階における等式又は
不等式が成立するか否かを判断し（図３のＳ１１７，図
４のＳ１３３）、前記表示制御手段は、前記各段階にお
ける等式又は不等式、及び前記証明手段による証明結果
を各段階毎に表示させる（図３のＳ１１８，図４のＳ１
２４，図４のＳ１３０；図７（ｂ）のＭ３，図８（ａ）
のｅ３，図９（ａ）のｅ４，図９（ｂ）のｅ４〜ｅ６，
Ｍ６）ことが有効である。

【００１１】この請求項３記載の発明の計算装置によれ
ば、請求項１又は２に記載の発明の効果に加えて、数学
的帰納法における各段階において生成される式をそれぞ
れ表示すると共に、生成される式が成立するか否かを判
断して、その判断結果を段階毎に表示することが可能で
あるので、数学的帰納法における（１）ｎ＝１のときに
式が成り立つことを証明する段階、（２ａ）ｎ＝ｋのと
きに数式が成り立つと仮定する段階、（２ｂ）ｎ＝ｋ＋
１のときに式が成り立つことを証明する段階というよう
な数学的帰納法の段階的な解法を確認しながら、或いは
ユーザー自身が問題を解きながら効率よく学ぶことがで
きる。

【００１２】また、請求項４記載の発明のように、請求
項３記載の発明において、前記表示制御手段は、後の段
階における等式又は不等式の一部に、前の段階における
等式又は不等式の一部又は全部を含む場合は、後の段階
における等式又は不等式を表示する際に、後の段階にお
ける等式又は不等式中に含まれる前の段階における等式
又は不等式で表される部分を特徴的に表示させる（図４
のＳ１３１；図９（ｂ））ことが有効である。

【００１３】この請求項４記載の発明の計算装置によれ
ば、請求項３記載の発明の効果に加えて、ｎ＝ｋで成り
立つことを仮定する段階を表示した後、ｎ＝ｋ＋１のと
きに等式又は不等式が成り立つことを証明する段階にお
いて、ｎ＝ｋ＋１のときに生成される等式又は不等式の
一部に、ｎ＝ｋのときに成り立つと仮定された等式の一
部又は全部が含まれる場合は、ｎ＝ｋ＋１のときに生成
される等式又は不等式のうち、ｎ＝ｋのときに成り立つ
と仮定された等式又は不等式の部分をアンダーラインを
引くなど、特徴的に表示することが出来るので、ｎ＝ｋ
＋１のときの等式又は不等式を変形する際に、ｎ＝ｋの
ときの等式又は不等式を利用して式を変形していくとい
う手法を、視覚的に明確に理解することが出来る。

【００１４】請求項５記載の発明は、等式又は不等式の
左辺及び右辺についての各グラフを、同一座標系内にそ
れぞれ描画するグラフ描画手段（図１の２；図５のＳ２
０３〜Ｓ２０８，Ｓ２１２〜Ｓ２１７；図８（ｂ），
（ｃ），図９（ｃ），図１０（ｃ），図１１（ｃ））を
備えたことを特徴としている。

【００１５】この請求項５記載の発明の計算装置によれ
ば、等式又は不等式の左辺及び右辺についての各グラフ
を、同一座標系内にそれぞれ描画する。

【００１６】したがって、等式又は不等式の左辺及び右
辺についての各グラフを同一座標系内に描画するので、
描画されたグラフの位置関係を見ることにより、視覚的
に左辺と右辺の大小関係を判断することが出来、等式又
は不等式が成り立つことをグラフ上で視覚的に確認させ
ることが可能となる。

【００１７】また、請求項６記載の発明のように、請求
項５記載の発明において、数学的帰納法の各段階におけ
る等式又は不等式を生成する式生成手段（図１の２；図
３のＳ１１４，Ｓ１１５，図４のＳ１２２，Ｓ１２８）
を更に備え、前記グラフ描画手段は、この式生成手段に
より生成された各段階における等式又は不等式の左辺及
び右辺についての各グラフを段階毎に描画する（図３の
Ｓ２００；図８（ｂ），（ｃ），図９（ｃ））ことが有
効である。

【００１８】この請求項６記載の発明の計算装置によれ
ば、請求項５記載の発明の効果に加えて、数学的帰納法
の各段階において、グラフ描画することにより、ｎ＝ｋ
のときの式の左辺及び右辺についての各グラフを同一画
面内に描画し、その後にｎ＝ｋ＋１のときの式の左辺及
び右辺についての各グラフを描画するというように、段
階的なグラフ描画を可能とするため、数学的帰納法の学
習において、適宜グラフを参照しながら、学習を進める
ことが可能となる。

【００１９】更に、請求項７記載の発明のように、請求
項５又は６に記載の発明において、前記グラフ描画手段
は、前記等式又は不等式の左辺及び右辺についての各グ
ラフを描画する際に、自然数の範囲内で該等式又は不等
式が成立するか否かを視覚的に判断可能に表示させる
（図５のＳ２１０；図１０（ｃ），図１１（ｃ））こと
が有効である。

【００２０】この請求項７記載の発明の計算装置によれ
ば、請求項５又は６に記載の発明の効果に加えて、自然
数の範囲において、等式又は不等式が成り立つことを容
易に判断できるように、自然数でない範囲や等式又は不
等式が成り立たない範囲の表示パターンを変えるなど判
断しやすいように表示し、また左辺及び右辺についての
各グラフを同一の座標系に描画させることが出来るの
で、数学的帰納法の各段階において、式の大小関係が成
り立つことをグラフの位置関係から容易に確認すること
が出来る。

【００２１】請求項８記載の発明は、任意の自然数を入
力する入力手段（図１の３；図１３のＳ３０７，図１６
のＳ４０４，Ｓ４１４；図１４（ｂ））と、この入力手
段により入力された自然数を、等式又は不等式に対して
代入した際に該等式又は不等式が成立することを証明す
る証明手段（図１の２；図１３のＳ３０９〜Ｓ３１３，
図１６のＳ４０７〜Ｓ４０９）と、この証明手段による
証明結果を表示させる表示制御手段（図１の２；図１３
のＳ３１６，Ｓ３１４，図１６のＳ４１３；図１４
（ｃ）のＭ１１，図１７（ｂ）のＭ１２）と、を備えた
ことを特徴としている。

【００２２】この請求項８記載の発明の計算装置によれ
ば、入力された任意の自然数を、等式又は不等式に対し
て代入した際に該等式又は不等式が成立することを証明
し、この証明結果を表示させる。

【００２３】したがって、等式又は不等式に任意の自然
数を代入した際の等式又は不等式の成立を証明すること
が可能となるので、数学的帰納法に基く証明を行う準備
段階として等式又は不等式についての解析を行う場合
や、これから数学的帰納法を学習する者が等式又は不等
式についての自然数毎の解析をする場合などの初期の段
階の学習が、自主的な学習においても可能となる。

【００２４】また、請求項９記載の発明のように、請求
項８記載の発明において、前記証明手段による証明結果
を前記等式又は不等式に対して代入した自然数毎にまと
めた表を作成する作表手段（図１の２；図１６のＳ４１
２）を更に備え、前記表示制御手段は、この作表手段に
より作成された表を表示させる（図１６のＳ４１３；図
１７（ｂ）の４０）ことが有効である。

【００２５】この請求項９記載の発明の計算装置によれ
ば、請求項８記載の発明の効果に加えて、自然数毎に等
式が成り立つか否かを表としてまとめることが出来るの
で、自然数毎に証明結果等をまとめた式を表示すること
で、証明結果の編集などの必要なく、瞬時に自然数毎の
等式又は不等式の証明の結果を知ることが出来るので、
学習の効率をより向上させることが出来る。

【００２６】

【発明の実施の形態】以下、図１〜図１７を参照して本
発明に係る計算装置１の第１〜第３の実施の形態を詳細
に説明する。

【００２７】まず第１から第３の実施の形態の計算装置
１において共通の構成を図１を参照して説明する。図１
は、第１から第３の実施の形態における計算装置１の構
成を示すブロック図である。

【００２８】この図１において、計算装置１は、ＣＰＵ
（Central Processing Unit）２、入力部３、タブレ
ット４、位置検出回路５、表示部６、表示駆動回路７、
ＲＡＭ（Random Access Memory）８、ＲＯＭ（Read
Only Memory）９、記憶装置１０及び記憶媒体１１によ
って構成されている。

【００２９】ＣＰＵ２は、入力部３から入力される入力
データやタブレット４から位置検出回路５を介して入力
される入力ペンＰによるタッチ位置データに応じて、Ｒ
ＯＭ９または記憶装置１０から所定のプログラムを読み
出してＲＡＭ８に一時格納し、当該プログラムに基づく
各種処理を実行して計算装置１の各部を集中制御する。
すなわち、ＣＰＵ２は、前記読み出した所定プログラム
に基づいて各種処理を実行し、その処理結果をＲＡＭ８
内に格納するともに、表示駆動回路７を介して表示部６
に表示させる。また、入力部３又はタブレット４を介し
て入力される指示に基づいて、前記処理結果を記憶装置
１０を介して記憶媒体１１に保存させる。

【００３０】また、ＣＰＵ２は、ＲＯＭ９に格納された
初期画面表示プログラムに基づいて図示しないモード選
択画面を表示させ、このモード選択画面において、入力
部３又はタブレット４から証明モードが選択設定される
と、ＲＯＭ９に記憶されている帰納法証明処理プログラ
ムにしたがって後述する帰納法証明処理（第１の実施の
形態：図３，図４参照）を実行する。

【００３１】また、ＣＰＵ２は、後述する帰納法証明処
理において、グラフを描画するためのグラフ描画モード
が選択された場合は更にＲＯＭ９に格納されているグラ
フ描画処理プログラムにしたがってグラフ描画処理（第
１の実施の形態：図５参照）を実行する。また、証明モ
ードの設定後、さらに式解析モードが選択された場合は
ＲＯＭ９に格納されている式解析処理プログラムにした
がって式解析処理（第２の実施の形態：図１３参照）を
実行する。証明モードの設定後、式解析の結果について
のテーブルを作成するためのテーブル作成モードが選択
された場合はＲＯＭ９に格納されているテーブル作成処
理プログラムにしたがってテーブル作成処理（第３の実
施の形態：図１６参照）を実行する。

【００３２】入力部３には、テンキー、アルファベット
キー、演算子キー、等号キー、不等号キー等の文字・記
号キー群からなるデータ入力キー３ａが備えられるとと
もに、帰納法証明処理、グラフ描画処理、式解析処理、
テーブル作成処理を行うための各種動作モードを選択設
定する際に操作されるモードキー３ｂ、選択されたデー
タの確定や機能の実行を指示する際に操作される実行キ
ー３ｃ、各種動作モードを解除する際に操作されるＥＸ
ＩＴキー３ｄ、表示されたデータの選択、送り操作、カ
ーソルＫの移動操作を行う際に操作される上下左右のカ
ーソルキー３ｅ、帰納法証明処理において式或いはグラ
フを切り替えて表示させる際に操作されるグラフ−式切
替キー３ｆ等が備えられ、押下されたキーの押下信号を
ＣＰＵ２に出力する。

【００３３】タブレット４は、入力ペンＰなどの座標を
指示する装置と指示した座標を感知する板状の装置を組
み合わせた入力機器であり、位置検出回路５によって、
電磁誘導方式、磁気歪式、感圧式等の座標読み取り原理
で入力ペンＰによって指示された位置座標が検出され
る。このタブレット４は、後述する表示部６と一体とな
っており、表示部６に表示されるアイコン等を入力ペン
Ｐによって直接指示して入力操作を行うことができる。

【００３４】表示部６は、ＬＣＤ（Liquid Crystal D
isplay）等により構成され、表示駆動回路７から入力さ
れる駆動信号に基づく各種表示を行う。表示駆動回路７
は、ＣＰＵ２から入力される表示データに基づく駆動信
号を生成して、表示部６の表示制御を行う。

【００３５】ＲＡＭ８は、各種動作モードにおける処理
の処理結果等を一時確保するメモリ領域として、表示デ
ータメモリ８ａ、モードデータメモリ８ｂ、証明処理フ
ラグ８ｃ、入力式データメモリ８ｄ、条件データメモリ
８ｅ、ワークメモリ８ｗ等を有する（図２，図１３，図
１６参照）。

【００３６】表示データメモリ８ａには、表示部６に表
示すべきデータが記憶される。

【００３７】モードデータメモリ８ｂには、設定された
動作モードを示すモード設定データが記憶される。ここ
では、帰納法証明モード、グラフ描画モード、式解析モ
ード、テーブル作成モード等のモードの設定に関する情
報が記憶される。

【００３８】証明処理フラグ８ｃは、証明モードにおい
て、帰納法証明モードが設定された際に“１”、グラフ
描画モードが設定された際に“２”、式解析モードが設
定された際に“３”、テーブル作成モードが設定された
際に“４”としてセットされる。

【００３９】入力式データメモリ８ｄは、入力部３から
入力される等式又は不等式が記憶される。

【００４０】条件データメモリ８ｅは、入力部３から入
力される等式又は不等式に関する条件が記憶される。

【００４１】ワークメモリ８ｗは、指定されたプログラ
ム、入力指示、入力データ、各種処理における処理結果
等を格納する。

【００４２】なお、ＲＡＭ８のメモリ構成としては上述
のメモリ領域の他、後述の各種動作モードに特有のメモ
リ領域を有するが、それらのメモリ領域については各実
施の形態において説明する。

【００４３】ＲＯＭ９は、計算装置１に対応する基本プ
ログラムを格納する。すなわち、計算装置１に対応する
基本プログラムとしては、計算装置１の電源がＯＮ状態
にされた際に実行する初期画面表示プログラム、後述す
る帰納法証明処理プログラム、後述するグラフ描画処理
プログラム、後述する式解析処理プログラム等、後述す
るテーブル作成処理プログラム等の書き換え不要な基本
プログラムを格納している。

【００４４】記憶装置１０は、プログラムやデータ等を
記憶する記憶媒体１１を有しており、この記憶媒体１１
は磁気的、光学的記憶媒体、若しくは半導体メモリで構
成されている。この記憶媒体１１は記憶装置１０に固定
的に設けたもの、若しくは着脱自在に装着するものであ
り、この記憶媒体１１には当該計算装置１に対応する各
種処理プログラム及び各処理プログラムで処理されたデ
ータ等を記憶する。

【００４５】また、この記憶媒体１１に記憶するプログ
ラム、データ等は、通信回線等を介して接続された他の
機器から受信して記憶する構成にしてもよく、更に、通
信回線等を介して接続された他の機器側に前記記憶媒体
１１を備えた記憶装置を設け、この記憶媒体１１に記憶
されているプログラム、データ等を通信回線を介して使
用する構成にしてもよい。

【００４６】［第１の実施の形態］以下、図１〜図１１
を参照して本発明に係る計算装置１の第１の実施の形態
を詳細に説明する。第１の実施の形態における計算装置
１の構成は図１の構成であり、その詳細は、上述の説明
と同様である。

【００４７】第１の実施の形態において、ＣＰＵ２は、
数学的帰納法に基いて、等式又は不等式が成立すること
を証明するための後述する帰納法証明処理（図３，４参
照）、及び、帰納法証明処理において求められる等式又
は不等式について、グラフを描画するための後述するグ
ラフ描画処理（図５参照）を実行する。

【００４８】後述する帰納法証明処理において、ＣＰＵ
２は、入力部３のデータ入力キー３ａの操作により等式
又は不等式が入力され、この入力された等式又は不等式
（以下、入力式という）に関する条件が入力されると、
この入力式は数学的帰納法に基いて証明可能であるか否
かを判断して、その判断結果を表示部６に表示する。

【００４９】また、ＣＰＵ２は、入力式の左辺につい
て、自然数を示す変数に対して“１”を代入して左辺値
（“変数”＝１）を求め、同様に入力式の右辺につい
て、自然数を示す変数に対して“１”を代入して右辺値
（“変数”＝１）を求め、求められた左辺値（“変数”
＝１）と右辺値（“変数”＝１）とを比較して、左辺と
右辺の大小関係を判断するとともに、大小関係が入力式
の左辺と右辺との大小関係と一致するか否かを判断し、
数学的帰納法の初期段階である「自然数を示す変数が１
のときに、入力式が成り立つ」か否かを判断して表示部
６に表示する。

【００５０】さらに、ＣＰＵ２は、入力式の自然数を示
す変数に“ｋ”を代入した式（“変数”＝ｋ）を求め、
ＲＡＭ８の式（“変数”＝ｋ）データメモリ８ｈに格納
するとともに、表示部６に表示し、続いて入力式の自然
数を示す変数に“ｋ＋１”を代入した式（“変数”＝ｋ
＋１）を求め、ＲＡＭ８の式（“変数”＝ｋ＋１）デー
タメモリ８ｉに格納するとともに表示部６に表示し、式
（“変数”＝ｋ）に基いて、式（“変数”＝ｋ＋１）を
数式処理により式変形の過程を演算して表示する。数式
処理による式変形が終了すると、式変形後の式（“変
数”＝ｋ＋１）の左辺と右辺の大小関係を比較して、入
力式の左辺と右辺の大小関係と一致するか否かを判断
し、判断結果に応じて、「成り立つ」、「成り立たな
い」といったメッセージを表示部６に表示させる。

【００５１】また、後述するグラフ描画処理において、
ＣＰＵ２は、数学的帰納法の各段階において求められる
式、即ち、式（“変数”＝ｋ）や式（“変数”＝ｋ＋
１）の左辺、右辺について、それぞれグラフを描画す
る。このグラフ描画は、入力部３のグラフ−式切替キー
３ｆの操作により、数学的帰納法の各段階の式について
求められている式についてのグラフを描画する。さらに
ＣＰＵ２は、自然数の範囲内で入力式が成立するか否か
を視覚的に判断しやすいように、自然数以外の範囲や、
入力式が成り立たない範囲等の表示パターンを変更して
表示するなど、グラフの位置関係の判断を行う範囲を視
覚的に確認しやすいように表示する。

【００５２】図２は、第１の実施の形態におけるＲＡＭ
８のメモリ構成を示す図である。この図２に示すよう
に、第１の実施の形態において、ＲＡＭ８に設定される
メモリ領域として、上述の表示データメモリ８ａ、モー
ドデータメモリ８ｂ、証明処理フラグ８ｃ、入力式デー
タメモリ８ｄ、条件データメモリ８ｅの他、左辺値
（“変数”＝１）データメモリ８ｆ、右辺値（“変数”
＝１）データメモリ８ｇ、式（“変数”＝ｋ）データメ
モリ８ｈ、式（“変数”＝ｋ＋１）データメモリ８ｉ、
グラフ（左辺）描画データメモリ８ｊ、グラフ（右辺）
描画データメモリ８ｋ、証明可能フラグ８ｌ、ワークメ
モリ８ｗ等を有する。

【００５３】表示データメモリ８ａ、モードデータメモ
リ８ｂ、証明処理フラグ８ｃ、入力式データメモリ８
ｄ、条件データメモリ８ｅ、ワークメモリ８ｗについて
は上述の説明と同様である。

【００５４】左辺値（“変数”＝１）データメモリ８ｆ
には、入力式の左辺の自然数を示す変数に対して、
“１”を代入して求められた数値や式が記憶される。

【００５５】右辺値（“変数”＝１）データメモリ８ｇ
には、入力式の右辺の自然数を示す変数に対して、
“１”を代入して求められた数値や式が格納される。

【００５６】式（“変数”＝ｋ）データメモリ８ｈに
は、入力式の自然数を示す変数に対して、“ｋ”を代入
して求められた式が格納される。

【００５７】式（“変数”＝ｋ＋１）データメモリ８ｉ
には、入力式の自然数を示す変数に対して、“ｋ＋１”
を代入して求められた式が格納される。

【００５８】グラフ（左辺）描画データメモリ８ｊに
は、式（“変数”＝ｋ）、又は式（“変数”＝ｋ＋１）
の左辺について、それぞれ関数「ｙ＝式左辺（“変数”
＝ｋ）」、又は関数「ｙ＝式左辺（“変数”＝ｋ＋
１）」の示すグラフの描画データが格納される。

【００５９】グラフ（右辺）描画データメモリ８ｋに
は、式（“変数”＝ｋ）、又は式（“変数”＝ｋ＋１）
の右辺について、それぞれ関数「ｙ＝式右辺（“変数”
＝ｋ）」、又は関数「ｙ＝式右辺（“変数”＝ｋ＋
１）」の示すグラフの描画データが格納される。

【００６０】証明可能フラグ８ｌは、入力式が数学的帰
納法に基いて証明が可能であるための条件を満たしてい
ると判断される場合にＯＮにセットされるフラグであ
る。

【００６１】次に動作を説明する。図３、図４は、計算
装置１の帰納法証明処理の流れを示すフローチャートで
ある。この帰納法証明処理において、グラフ描画モード
が選択されると（ステップＳ１２５、ステップＳ１３
６）、図５に示すグラフ描画処理を実行する。

【００６２】まず、ユーザーにより計算装置１の電源が
ＯＮにされると、ＣＰＵ２はＲＯＭ９に格納された初期
画面表示処理プログラムにしたがって、初期画面表示処
理を行い、計算装置１の図示しないモード選択を行うた
めのモード選択画面を表示する。このモード選択画面に
おいて、証明モードが選択されると、ＣＰＵ２は更に証
明モードの各種動作メニューを選択するための図示しな
いメニュー選択画面を表示する。メニュー選択画面にお
いて、帰納法証明モードが選択されると、ＣＰＵ２はＲ
ＡＭ８の証明処理フラグ８ｃにおいて、帰納法証明モー
ドが設定されたことを示す“１”に設定し（ステップＳ
１０１）、ＲＯＭに格納された基本プログラムのうち帰
納法証明処理プログラムを読み出して、ＲＡＭ８のワー
クメモリ８ｗに確保し、帰納法証明処理を実行する。

【００６３】次にＣＰＵ２は、数学的帰納法に基いて証
明を行う対象となる等式又は不等式を入力するための式
入力エリア２０ａ、入力された等式又は不等式（入力
式）に関する条件を入力するための条件入力エリア２０
ｂを有する入力画面２０を表示する（ステップＳ１０
２：図６参照）。ここで等式又は不等式に関する条件と
は、等式又は不等式に複数の変数がある場合に、どの変
数を自然数の変数とするかを予め設定するための条件
や、各変数の変域などのである。

【００６４】例えば、数学的帰納法による証明の例題と
して、「ａ＞ｂ＞０のとき、すべての自然数に対して、
ａｎ＞ｂｎを証明せよ。」という問題が与えられている
場合は、式入力エリア２０ａに入力すべき不等式は「ａ
ｎ＞ｂｎ」である。また、この不等式に含まれるａ，
ｂ，ｎといった変数のうち自然数を示すものは「ｎ」で
あるという条件や、他の変数ａ，ｂに関する変域は「ａ
＞ｂ＞０」であるという条件を条件入力エリア２０ｂに
入力する。

【００６５】入力画面２０が表示された状態で、式入力
エリア２０ａに対して、入力部３のデータ入力キー３ａ
の操作により処理対象となる等式又は不等式が入力され
ると（ステップＳ１０３）、ＣＰＵ２はこの入力式をＲ
ＡＭ８の入力式データメモリ８ｄに格納する。また入力
式に関する条件が条件入力エリア２０ｂに対して入力さ
れると（ステップＳ１０４）、ＣＰＵ２はこの入力され
た条件をＲＡＭ８の条件データメモリ８ｅに格納する。
このように等式又は不等式、及びその条件が入力された
状態で、入力部３の実行キー３ｃが操作されると（ステ
ップＳ１０５）、ＣＰＵ２は入力された等式又は不等式
が入力可能であるか否かを判断する処理を実行する（ス
テップＳ１０６）。

【００６６】即ち、数学的帰納法は、自然数ｎについて
成り立つ事柄を証明するときに用いる証明法であり、 （Ｉ）ｎ＝１のときその事柄が成り立つことを示す。 （II）ｎ＝ｋのときその事柄が成り立つと仮定して、ｎ
＝ｋ＋１のときその事柄が成り立つことを示す。 （Ｉ）,（II）から与えられた事柄が、すべての自然数
について成り立つ。 として等式又は不等式について成り立つことを証明する
方法であるので、数学的帰納法において証明可能である
ためには、一定条件を満たした等式又は不等式をその証
明の対象としなければならない。

【００６７】ここで証明可能であるための条件として
は、上記の内容から、「証明すべき等式又は不等式の変
数に自然数を示すものがあること」が挙げられる。つま
り、変数の中にｎ若しくはｋ、又はそれに準ずる文字、
記号といった整数若しくは自然数を示すものを含むこと
が必要である。

【００６８】ステップＳ１０６における数学的帰納法に
よる証明が可能であるか否かの判断において、ＣＰＵ２
は上述のステップＳ１０４において入力式の条件として
入力される条件により設定される自然数を示すｎ若しく
はｋ、またはそれに準ずる文字、記号を検索して、自然
数を示す変数ｎ若しくはｋ、またはそれに準ずる文字、
記号が等式又は不等式中にあれば、数学的帰納法に基く
証明が可能であるための条件を満たしていると判断す
る。

【００６９】数学的帰納法に基く証明が可能であると判
断された場合は（ステップＳ１０７；Ｙｅｓ）、ＲＡＭ
８の証明可能フラグ８ｌをＯＮにセットする（ステップ
Ｓ１０８）。数学的帰納法に基く証明が不可能であると
判断された場合は（ステップＳ１０７；Ｎｏ）、「帰納
法を用いることは出来ません」といった数学的帰納法に
基く証明が出来ない旨を示すエラーメッセージＭ１を表
示部６に表示する（ステップＳ１０９：図６（ｂ）参
照）。その後入力部３のカーソルキー３ｅの操作がさ
れ、入力画面２０の式入力エリア２０ａにカーソルＫが
移動された場合は（ステップＳ１１０）、ＣＰＵ２は式
入力エリア２０ａにカーソルＫを表示し（ステップＳ１
１１）、その後ステップＳ１０３に移行して、等式又は
不等式の再入力やその入力式の条件の再入力が行われる
と、数学的帰納法に基く証明が可能であるか否かの判断
を再度行う。カーソルキー３ｅの操作が行われないとき
は（ステップＳ１１０；Ｎｏ）、本帰納法証明処理を終
了する。

【００７０】数学的帰納法に基く証明が可能である場合
（ステップＳ１０７；Ｙｅｓ）は、次に、入力部３の実
行キー３ｃが操作されると（ステップＳ１１２）、表示
部６に「Ｉｆ “変数”＝１」というメッセージＭ２を
表示し（ステップＳ１１３：図７（ａ）参照）、変数が
１である場合に等式又は不等式が成り立つか否かの判断
に関する処理を行う。即ち、ＣＰＵ２はＲＡＭ８の入力
式データに入力された式を読み出し、左辺の式について
変数に１を代入した際に求められる式や数値を求め、求
められた式や数値をＲＡＭ８の左辺値（“変数”＝１）
データメモリ８ｆに格納する（ステップＳ１１４）。同
様に右辺の式について変数に１を代入した際に求められ
る式や数値を求め、求められた式や数値をＲＡＭ８の右
辺値（“変数”＝１）データメモリ８ｇに格納する（ス
テップＳ１１５）。

【００７１】その後ＣＰＵ２は、左辺（“変数”＝１）
データメモリに格納された式や数値と右辺（“変数”＝
１）データメモリに格納された式や数値とを比較して、
これらの式や数値の大小関係を判断する（ステップＳ１
１６。）大小関係が入力式の左辺と右辺の大小関係と同
一である場合は、変数が１である場合に等式又は不等式
が成立すると判断して（ステップＳ１１７；Ｙｅｓ）、
表示部６に「成り立つ」というメッセージＭ３を表示す
る（ステップＳ１１８；図７（ｂ）参照）。また、左辺
及び右辺の値を表示するとともに左辺と右辺の間に入力
された式と同一の等号「＝」や不等号「＜」、「＞」等
を表示させる。

【００７２】左辺値（“変数”＝１）データメモリ８ｆ
に格納された式や数値と右辺値（“変数”＝１）データ
メモリ８ｇに格納された式や数値とを比較して、これら
の式や数値の大小関係が、入力式の左辺と右辺の大小関
係と同一でない場合は、変数が１である場合に等式又は
不等式が成立しないと判断して（ステップＳ１１７；Ｎ
ｏ）、表示部６に「成り立たない」と表示し（ステップ
Ｓ１１９）、また、左辺及び右辺の値を表示する際に左
辺と右辺の間に記号「≠」、不等号「＜」、「＞」を入
力された式と逆の態様で表示させる。即ち、入力された
式が等式である場合には記号「≠」を、入力された式が
不等式である場合には、もとの式の不等号が「＜」であ
る場合には「＞」、もとの式の不等号が「＞」である場
合には「＜」を表示する。

【００７３】その後入力部３のカーソルキー３ｅの操作
がされ、入力画面２０の式入力エリア２０ａにカーソル
Ｋが移動された場合は（ステップＳ１２０；Ｙｅｓ）、
ＣＰＵ２は式入力エリア２０ａにカーソルＫを表示し
（ステップＳ１２１）、その後ステップＳ１０３に移行
して、等式又は不等式の入力等の処理が行われる。カー
ソルキー３ｅの操作が行われないときは（ステップＳ１
２０；Ｎｏ）、本帰納法証明処理を終了する。

【００７４】等式又は不等式が変数が１のときに成り立
つと証明された場合において、次にＣＰＵ２は、ＲＡＭ
８の式入力エリア２０ａに格納されている等式又は不等
式を読み出し、この等式は不等式の自然数として設定さ
れている変数にｋを代入した式を求め、式（“変数”＝
ｋ）データとして、式（“変数”＝ｋ）データメモリ８
ｈに格納する（ステップＳ１２２）。

【００７５】その後、ＣＰＵ２は表示部６に「Ｗｈｅｎ
“変数”＝ｋ」というメッセージＭ４を表示する（ス
テップＳ１２３）とともに、変数にｋを代入した式ｅ３
を表示する（ステップＳ１２４；図８（ａ）参照）

【００７６】その後、入力部３のグラフ−式切替キー３
ｆが操作されると（ステップＳ１２５；Ｙｅｓ）、ＣＰ
Ｕ２はＲＡＭ８の証明処理フラグ８ｃの設定をグラフ描
画モードを示す“２”に設定変更するとともに、変数に
ｋを代入した際に求められた式についてグラフ描画を行
う（ステップＳ２００）。

【００７７】以下グラフ描画モードにおけるグラフ描画
処理を図５を参照して説明する。図５は計算装置１がグ
ラフ描画モードに設定された場合のグラフ描画処理の流
れを示すフローチャートである。

【００７８】グラフ描画処理において、まずＣＰＵ２
は、表示画面をグラフ画面３０に切り替えて表示する
（ステップＳ２０１；図８（ｂ）参照）。ここでグラフ
画面３０とは、縦横の座標軸３１を表示した画面であ
り、この座標内にグラフが描画される。

【００７９】ＣＰＵ２はＲＡＭ８の式（“変数”＝ｋ＋
１）データメモリ８ｉに、変数にｋ＋１を代入した式が
確保されているかを判断する（ステップＳ２０２）。式
（“変数”＝ｋ＋１）データメモリ８ｉに、変数にｋ＋
１を代入した式が確保されていない場合は（ステップＳ
２０２；Ｎｏ）、ＲＡＭ８の式（“変数”＝ｋ）データ
メモリ８ｈから、変数にｋを代入した式の左辺の式を読
み出し（ステップＳ２０３）、この読み出した左辺の式
から「ｙ＝式左辺（“変数”＝ｋ）」という式を生成す
る。ここでｙは変数ｋの関数である。

【００８０】そして、ＣＰＵ２はｙを縦軸、ｋを横軸と
して「ｙ＝式左辺（“変数”＝ｋ）」のグラフ描画デー
タを生成し（ステップＳ２０４）、ＲＡＭ８のグラフ
（左辺）描画データメモリ８ｊに格納するとともに表示
部６のグラフ画面３０に当該グラフ描画データに基いて
左辺のグラフを表示する（ステップＳ２０５）。

【００８１】次にＲＡＭ８の式（“変数”＝ｋ）データ
メモリ８ｈから、変数にｋを代入した式の右辺の式を読
み出し（ステップＳ２０５）、この読み出した右辺の式
から「ｙ＝式右辺（“変数”＝ｋ）」という式を生成す
る。そして、ＣＰＵ２はｙを縦軸、ｋを横軸として「ｙ
＝式右辺（“変数”＝ｋ）」のグラフ描画データを生成
し（ステップＳ２０７）、ＲＡＭ８のグラフ（右辺）描
画データメモリ８ｋに格納するとともに表示部６のグラ
フ画面３０に表示されている左辺のグラフとともに、右
辺のグラフ描画データに基いて右辺のグラフを強制的に
描画する（ステップＳ２０８；図８（ｃ）参照）。

【００８２】さらにＣＰＵ２は、左辺のグラフと右辺の
グラフとの位置関係を解析して、その位置関係が入力式
が示す大小関係と一致する場合は（ステップＳ２０９；
Ｙｅｓ）、自然数の範囲内で一致するとユーザーが判断
しやすいように表示パターンを変更するなど、見やすく
表示する（ステップＳ２１０；図１０（ｃ），図１１
（ｃ））。

【００８３】グラフの位置関係と等式又は不等式の大小
関係とが数学的帰納法を適用する範囲（自然数の範囲）
内のいかなる範囲においても一致しない場合は（ステッ
プＳ２０９；Ｎｏ）、エラーメッセージを表示して（ス
テップＳ２１１）、処理を終了する。

【００８４】ステップＳ２０２のＲＡＭ８の式（“変
数”＝ｋ＋１）データメモリ８ｉに、変数にｋ＋１を代
入した式が確保されているか否かの判断において、式
（“変数”＝ｋ＋１）データメモリ８ｉに、変数にｋ＋
１を代入した式が確保されている場合は（ステップＳ２
０２；Ｙｅｓ）、ステップＳ２０３〜ステップＳ２０８
の処理を経ずにＲＡＭ８の式（“変数”＝ｋ＋１）デー
タメモリ８ｉから、変数にｋ＋１を代入した式の左辺の
式を読み出し（ステップＳ２１２）、この読み出した左
辺の式から「ｙ＝式左辺（“変数”＝ｋ＋１）」という
式を生成する。ここでｙは変数ｋの関数である。そし
て、ＣＰＵ２はｙを縦軸、ｋを横軸として「ｙ＝式左辺
（“変数”＝ｋ＋１）」のグラフ描画データを生成し
（ステップＳ２１３）、ＲＡＭ８のグラフ（左辺）描画
データメモリ８ｊに格納するとともに表示部６のグラフ
画面３０に当該グラフ描画データに基いて左辺のグラフ
を表示する（ステップＳ２１４）。

【００８５】次にＲＡＭ８の式（“変数”＝ｋ＋１）デ
ータメモリ８ｉから、変数にｋ＋１を代入した式の右辺
の式を読み出し（ステップＳ２１５）、この読み出した
右辺の式から「ｙ＝式右辺（“変数”＝ｋ＋１）」とい
う式を生成する。そして、ＣＰＵ２はｙを縦軸、ｋを横
軸として「ｙ＝式右辺（“変数”＝ｋ＋１）」のグラフ
描画データを生成し（ステップＳ２１６）、ＲＡＭ８の
グラフ（右辺）描画データメモリ８ｋに格納するととも
に表示部６のグラフ画面３０に表示されている左辺のグ
ラフとともに、右辺のグラフ描画データに基いて右辺の
グラフを強制的に描画する（ステップＳ２１７）。

【００８６】さらにＣＰＵ２は、左辺のグラフと右辺の
グラフとの位置関係を解析して、その位置関係が入力式
が示す大小関係と一致する場合は（ステップＳ２０９；
Ｙｅｓ）、自然数の範囲内で一致するとユーザーが判断
しやすいように表示パターンを変更するなど、見やすく
表示する（ステップＳ２１０）。

【００８７】グラフの位置関係と入力式の大小関係とが
数学的帰納法を適用する範囲（自然数の範囲）内のいか
なる範囲においても一致しない場合は（ステップＳ２０
９；Ｎｏ）、エラーメッセージを表示して（ステップＳ
２１１）、処理を終了する。

【００８８】グラフ描画処理においてグラフ描画処理が
終了した状態、即ちグラフが描画された状態で、入力部
３のグラフ−式切替キー３ｆが操作されたことを検出す
ると（ステップＳ１２６；Ｙｅｓ）、ＣＰＵ２は、ＲＡ
Ｍ８の証明処理フラグ８ｃを帰納法証明モードを示す
“１”に切り替え、再び入力画面２０を表示する（ステ
ップＳ１２７）。ステップＳ１２６において切り替えら
れる入力画面２０には、ステップＳ１２４で表示されて
いる入力画面２０と同様に、証明する入力された等式又
は不等式、「Ｗｈｅｎ“変数”＝ｋ」のメッセージＭ
４、及び変数にｋを代入した式ｅ３が表示される（図８
（ａ）参照）。

【００８９】その後、ＣＰＵ２は、ＲＡＭ８の入力式デ
ータメモリ８ｄに格納されている入力式を読み出し、こ
の入力式の、自然数として設定されている変数にｋ＋１
を代入した式を求め、式（“変数”＝ｋ＋１）データと
して、式（“変数”＝ｋ＋１）データメモリ８ｉに格納
する（ステップＳ１２８）。

【００９０】その後、ＣＰＵ２は表示部６に「Ｉｆ“変
数”＝ｋ＋１」というメッセージＭ５を表示する（ステ
ップＳ１２９）とともに、変数にｋ＋１を代入した式ｅ
４を表示する（ステップＳ１３０；図９（ａ）参照）

【００９１】その後、ＣＰＵ２は、変数にｋ＋１を代入
した式ｅ４のうち、変数にｋを代入した式ｅ３で示され
る部分を色を変更する或いは表示パターンを変更して表
示し（ステップＳ１３１）、さらに変数にｋを代入した
式に基いて、変数にｋ＋１を代入した式ｅ４について数
式処理による式変形を行い（ステップＳ１３２）、数式
処理の各過程において求められる式ｅ５，ｅ６を順次表
示する。そしてＣＰＵ２は数式処理による式変形の結
果、変数にｋ＋１を代入した式が入力式の大小関係を満
たすものであると判断した場合は、変数がｋ＋１のと
き、入力式ｅ２が成立するものとして（ステップＳ１３
３；Ｙｅｓ）、式が成り立つ旨のメッセージＭ６を表示
部６に表示する（ステップＳ１３４；図９（ｂ）参
照）。

【００９２】また、変数にｋ＋１を代入した式ｅ４が入
力式ｅ２の大小関係を満たさないと判断した場合は、変
数がｋ＋１のとき、等式又は不等式が成立しないとして
（ステップＳ１３３；Ｎｏ）、式は成り立たない旨のメ
ッセージ（図示せず）を表示部６に表示する（ステップ
Ｓ１３５）。

【００９３】その後、入力部３のグラフ−式切替キー３
ｆが操作されると（ステップＳ１３６）、モードデータ
メモリ８ｂをグラフ描画モードに切り替え、図５に示す
グラフ描画処理へ移行する。ここで実行されるグラフ描
画処理は、ステップＳ２０２の判断において、変数にｋ
＋１を代入した式ｅ４が式（“変数”＝ｋ＋１）データ
メモリ８ｉに確保されているので（ステップＳ２０２；
Ｙｅｓ）、ステップＳ２０３〜ステップＳ２０８の処理
を経ずにステップＳ２１２〜ステップＳ２１７、ステッ
プＳ２０９〜ステップＳ２１１の処理を実行する。

【００９４】即ち、ＣＰＵ２はＲＡＭ８の式（“変数”
＝ｋ＋１）データメモリ８ｉから、変数にｋ＋１を代入
した式ｅ４の左辺の式を読み出し（ステップＳ２１
２）、この読み出した左辺の式から「ｙ＝式左辺（“変
数”＝ｋ＋１）」という式を生成し、ｙを縦軸、ｋを横
軸として「ｙ＝式左辺（“変数”＝ｋ＋１）」のグラフ
描画データを生成し（ステップＳ２１３）、ＲＡＭ８の
グラフ（左辺）描画データメモリ８ｊに格納するととも
に表示部６のグラフ画面３０に当該グラフ描画データに
基いて左辺のグラフを描画する（ステップＳ２１４）。

【００９５】次にＣＰＵ２はＲＡＭ８の式（“変数”＝
ｋ＋１）データメモリ８ｉから、変数にｋ＋１を代入し
た式ｅ４の右辺の式を読み出し（ステップＳ２１５）、
この読み出した右辺の式から「ｙ＝式右辺（“変数”＝
ｋ＋１）」という式を生成し、ｙを縦軸、ｋを横軸とし
て「ｙ＝式右辺（“変数”＝ｋ＋１）」のグラフ描画デ
ータを生成し（ステップＳ２１６）、ＲＡＭ８のグラフ
（右辺）描画データメモリ８ｋに格納するとともに表示
部６のグラフ画面３０に表示されている左辺のグラフと
ともに、右辺のグラフ描画データに基いて右辺のグラフ
を強制的に描画する（ステップＳ２１７）。さらにＣＰ
Ｕ２は、左辺のグラフと右辺のグラフとの位置関係を解
析して、その位置関係が入力式ｅ２が示す大小関係と一
致する場合は（ステップＳ２０９；Ｙｅｓ）、自然数の
範囲内で一致するとユーザーが判断しやすいように表示
パターンを変更するなど、見やすく表示する（ステップ
Ｓ２１０）。グラフの位置関係と入力式ｅ２の大小関係
とが数学的帰納法を適用する範囲（自然数の範囲）内の
いかなる範囲においても一致しない場合は（ステップＳ
２０９；Ｎｏ）、エラーメッセージを表示して（ステッ
プＳ２１１）、処理を終了する。

【００９６】グラフ描画処理においてグラフ描画処理が
終了した状態、即ちグラフが描画された状態で、入力部
３のグラフ−式切替キー３ｆが操作されたことを検出す
ると（ステップＳ１３７；Ｙｅｓ）ＣＰＵ２は、ＲＡＭ
８のモードデータメモリ８ｂを帰納法証明モードに切り
替え、再び入力画面２０を表示する（ステップＳ１３
８）。ステップＳ１３８において切り替えられる入力画
面２０には、ステップＳ１３４、１３５で表示されてい
る入力画面２０と同様に、「Ｉｆ“変数”＝ｋ」のメッ
セージＭ４、及び変数にｋ＋１を代入した式ｅ４、数式
処理により変形された式ｅ５，ｅ６、等式又は不等式が
成り立つ旨等のメッセージＭ６が表示され（図９（ｄ）
参照）、グラフ−式切替キー３ｆの操作が無い場合は
（ステップＳ１３７；Ｎｏ）、帰納法証明処理を終了す
る。

【００９７】次に図６から図１１を参照して、具体的な
帰納法証明処理の例を説明する。図６は、帰納法証明処
理において、証明可能か否かの判断を行う際に表示され
る表示画面の例を示すものであり、図６（ａ）は入力画
面２０の式入力エリア２０ａに対して等式又は不等式が
入力された際に表示される表示画面の例、図６（ｂ）は
証明可能であるか否かの判断の結果を表示した例を示す
図である。

【００９８】図６（ａ）に示すように、帰納法証明モー
ドが選択されると、表示部６には、証明しようとする等
式又は不等式を入力するための式入力エリア２０ａと、
この等式又は不等式の変数に関する条件を入力するため
の条件入力エリア２０ｂを有する入力画面２０が表示さ
れる。ここで式入力エリア２０ａに対して、「ａⁿ＞
ｂⁿ」という不等式ｅ１が入力され、この不等式ｅ１に
含まれる変数ａ，ｂ，ｎのうちどの変数を自然数とする
かといった条件が入力されない場合には、どの変数が自
然数を示すものであるか認識されないので数学的帰納法
に基く証明が可能であるための条件を満たさないと判断
され、図６（ｂ）に示すように「帰納法を用いることは
出来ません」といった数学的帰納法に基く証明が不可能
であることを示すメッセージＭ１を表示する。

【００９９】なお、帰納法証明処理において予め自然数
を示す変数をｎ又はｋ、その他の文字や記号等で表すと
いう設定がなされており、等式又は不等式が入力された
状態で自然数を示す変数が直ちに明確になる場合は、数
学的帰納法に基く証明が可能であるので、条件が入力さ
れない場合にも証明が可能であるとしても良い。

【０１００】図７は、帰納法証明処理において、自然数
を示す変数に１を代入した場合に等式又は不等式が成立
することを示す段階における表示例を示す図であり、図
７（ａ）は、証明する等式ｅ２と「Ｉｆ ｎ＝１」とい
うメッセージＭ２を表示した例を示す図であり、図７
（ｂ）は左辺及び右辺の変数に１を代入して計算し、変
数が１の場合の証明の結果を示す図である。

【０１０１】この例では、証明する式として、変数ｎを
自然数とする数１に示す等式ｅ２が入力されている。

【０１０２】

【数１】 （ｎ＝１，２，３,…）

【０１０３】そしてこの数１に示す等式が数学的帰納法
に基く証明が可能であることが判断された状態で、入力
部３の実行キー３ｃが操作されると、「Ｉｆ ｎ＝１」
というメッセージＭ２が表示され、数１に示す等式ｅ２
の左辺及び右辺にそれぞれ１を代入した値が求められて
表示される。この例の場合は、左辺及び右辺はともに１
となり、左辺と右辺の大小関係は入力式の左辺と右辺の
大小関係と同一なので、図７（ｂ）に示すように、左辺
「１」、右辺「１」、「成り立つ」というメッセージＭ
３を表示し、さらに左辺及び右辺の間に等号「＝」を表
示する。

【０１０４】図８は、帰納法証明処理において、自然数
を示す変数にｋを代入した等式又は不等式が成立すると
仮定する段階における表示例を示す図であり、図８
（ａ）は、証明する等式と「Ｗｈｅｎ ｎ＝ｋ」という
メッセージＭ４を表示した例を示す図であり、図８
（ｂ）はグラフ描画モードにおいて描画される左辺のグ
ラフｇ１、図８（ｃ）はグラフ描画モードにおいて描画
される左辺及び右辺のグラフｇ１，ｇ２を示す図であ
る。

【０１０５】変数ｎにｋ（ｋ：自然数）を代入して求め
られる式は、数２に示す等式ｅ３である。

【０１０６】

【数２】

【０１０７】図８（ａ）に示すように入力画面２０上
に、数２に示す等式ｅ３が表示された状態で、入力部３
のグラフ−式切替キー３ｆが操作されると、グラフ描画
モードに移行し、グラフ画面３０を表示する。その後、
数２に示す等式ｅ３の右辺「１＋２＋…＋ｋ」という式
について、関数「ｙ＝１＋２＋…＋ｋ」が生成され、こ
の関数について縦軸をｙ、横軸をｋとするグラフｇ１が
図８（ｂ）に示すように描画される。更に、数２に示す
等式ｅ３の左辺「ｋ（ｋ＋１）／２」という式につい
て、関数「ｙ＝ｋ（ｋ＋１）／２」が生成され、この関
数について縦軸をｙ、横軸をｋとするグラフｇ２が図８
（ｃ）に示すように、描画される。

【０１０８】左辺と右辺のグラフをともに表示する場合
に、そのグラフｇ１とｇ２の位置関係を比較して数２に
示す等式ｅ３の大小関係が満たされている場合、即ち、
この例の場合は左辺と右辺のグラフｇ１、ｇ２が重なる
と、数２の等式ｅ３の大小関係を満たしていると判断さ
れるため、図８（ｃ）に示すように一致する点の色を変
更するなど、識別可能に表示する。

【０１０９】その後、グラフ−式切替キー３ｆが操作さ
れると、グラフ描画モードから帰納法証明モードに戻
り、図８（ａ）に示す画面が再度表示される。

【０１１０】図９は、帰納法証明処理において、変数に
ｋ＋１を代入した等式又は不等式が成り立つか否かを判
断する段階での表示例を示すものであり、図９（ａ）は
変数ｎにｋ＋１を代入した段階での表示例、図９（ｂ）
は、数式処理により式を変形する過程を表示した例を示
して、等式が成り立つ旨のメッセージを表示した例、図
９（ｃ）は、グラフ描画モードにおいて変数ｎにｋ＋１
を代入した式ｅ４の左辺及び右辺の式に基くグラフｇ
３、ｇ４を表示した例を示す図であり、図９（ｄ）は、
再度グラフ−式切替キー３ｆが操作された場合に表示さ
れる入力画面２０の例を示す図である。

【０１１１】等式の変数にｋを代入した数２に示す等式
が成り立つと仮定して、数２に示す等式ｅ３を表示し、
グラフｇ１、ｇ２を描画させた後、グラフ−式切替キー
３ｆが操作されると、等式の変数ｎにｋ＋１を代入した
式を求め、図９（ａ）に示すように「Ｉｆ ｎ＝ｋ＋
１」というメッセージＭ５とともに数３に示す式ｅ４を
表示する。

【０１１２】

【数３】

【０１１３】また、数３に示す式ｅ４のうち、変数ｎに
ｋを代入した式ｅ３（数２）で表される部分にアンダー
ラインを付して特徴的に表示する。具体的には数３に示
す式ｅ４の左辺「１＋２＋…＋ｋ＋ｋ＋１」のうち「１
＋２＋…＋ｋ」の部分は、数２に示す式ｅ３の左辺と同
一であるので、この「１＋２＋…＋ｋ」の部分にアンダ
ーラインを付して表示する。

【０１１４】その後、数式処理を実行して、変数ｎにｋ
を代入した式ｅ３（数２）に基いて、数３に示す式ｅ４
を変形して図９（ｂ）に示すようにその変形過程を表示
する。具体的には例えば、数４、数５に示す式が式変形
の過程として表示される。

【０１１５】

【数４】

【０１１６】

【数５】

【０１１７】そして、数式処理による式変形の結果、左
辺が右辺と等しく変形された場合は、変数ｎにｋ＋１を
代入した式ｅ４についても等式が成り立つので、表示部
６には「成り立つ」というメッセージＭ６が表示され
る。

【０１１８】その後グラフ−式切替キー３ｆが操作され
ると、グラフ描画モードに移行し、変数ｎにｋ＋１を代
入した式ｅ４（数３）の左辺、及び右辺について、それ
ぞれグラフｇ３，ｇ４を図９（ｃ）に示すように描画す
る。その後、さらにグラフ−式切替キー３ｆが操作され
ると、図９（ｄ）に示すよにグラフ描画モードに移行す
る直前の入力画面２０（図９（ｂ）参照）を表示させ
る。左辺のグラフｇ３に右辺のグラフｇ４が重なる場合
は、自然数の範囲において、等式が成り立っていること
をわかりやすく示すために、各プロットを色を変更させ
て表示させる。

【０１１９】次に、図１０及び図１１に示すように、証
明すべき式として入力される式が不等式である場合につ
いて、以下説明する。図１０は、帰納法証明処理及びグ
ラフ描画処理において表示される画面の例を示す図であ
り、図１０（ａ）は、証明する式として不等式ｅ７が入
力された際の表示例、図１０（ｂ）は入力された不等式
ｅ７の変数ｎにｋを代入した不等式ｅ８が成り立つと仮
定した段階での表示例、図１０（ｃ）は変数ｎにｋを代
入した場合の左辺及び右辺のグラフｇ５，g６を描画し
た段階の表示例を示す図である。

【０１２０】図１１は、帰納法証明処理及びグラフ描画
処理において表示される画面の例を示す図であり、図１
１（ａ）は、入力された式の変数ｎにｋ＋１を代入した
式ｅ１０の証明を行う段階の表示例、図１１（ｂ）は入
力された不等式の変数ｎにｋ＋１を代入した不等式ｅ１
０を変形した際の表示例、図１１（ｃ）は変数ｎにｋ＋
１を代入した場合の左辺及び右辺のグラフｇ７，ｇ８を
描画した段階の表示例を示す図である。図１０（ａ）に
示すように入力画面２０に対して、証明する等式として
数６に示す不等式ｅ７が入力される。

【０１２１】

【数６】

【０１２２】すると、この不等式ｅ７（数６）に対して
数学的帰納法に基く証明が可能であるか否かが判断さ
れ、証明可能であることが判断された状態で、入力部３
の実行キー３ｃが操作されると、数６に示す不等式ｅ７
の左辺及び右辺にそれぞれ１を代入した場合について、
その大小関係を比較して、変数ｎが１のときに不等式ｅ
７が成り立っていることを示す。その後、図１０（ｂ）
に示すように、変数ｎにｋ（ｋ：自然数）を代入した式
が成り立つと仮定する段階の表示を行う。ここで変数ｎ
にｋを代入した際に求められる式は、数７に示す不等式
ｅ８である。

【０１２３】

【数７】

【０１２４】図１０（ｂ）に示すように入力画面２０上
に、「Ｗｈｅｎ ｎ＝ｋ」というメッセージＭ７と、数
７に示す不等式ｅ８が表示された状態で、グラフ−式切
替キー３ｆが操作されると、グラフ描画モードに移行
し、グラフ画面３０を表示する。その後、数７に示す不
等式の左辺「ｋ²」という式について、関数「ｙ＝ｋ²」
が生成され、この関数について縦軸をｙ、横軸をｋとす
るグラフｇ５が図１０（ｃ）に示すように描画される。
更に、数７に示す不等式ｅ８の右辺「ｋ（ｋ＋１）／
２」という式について、関数「ｙ＝ｋ（ｋ＋１）／２」
が生成され、この関数についてグラフｇ６が描画され
る。

【０１２５】左辺と右辺のグラフをともに表示する場合
に、そのグラフの位置関係を比較して数７に示す不等式
ｅ８の大小関係が満たされている場合、即ち、この例の
場合は左辺を示すのグラフｇ５が右辺の式を示すグラフ
ｇ６より上に位置すると、数７の不等式ｅ８の大小関係
を満たしていると判断されるため、図１０（ｃ）に示す
ようにグラフｇ５がグラフｇ６より上に描画される範囲
を表示パターンを変えて識別可能に表示している。

【０１２６】その後、グラフ−式切替キー３ｆが操作さ
れると、グラフ描画モードから帰納法証明モードに戻
り、図１０（ｂ）に示す画面が再度表示される。

【０１２７】なお、この例においては数７に示す不等式
ｅ８を満たす変数ｋの範囲を求める演算し、その結果を
表示してもよい。

【０１２８】即ち、数７に示す不等式ｅ８を満たす変数
ｋの範囲は、 ｋ≦０，ｋ≧１ であるので、表示部６に「ｋ≦０，ｋ≧１」として範囲
を示す不等式ｅ９を表示する。この変数ｋの範囲ｅ９の
表示は、グラフ描画モードに入る前に表示してもよく、
又はグラフ描画モードにおいて左辺及び右辺のグラフｇ
５，ｇ６の位置関係を表示してユーザーに確認させた後
に、不等式ｅ８を満たす変数ｋの範囲ｅ９を表示しても
良い（図１１（ａ）参照）。その後、等式の変数ｎにｋ
＋１を代入した式ｅ１０を求め、図１１（ａ）に示すよ
うに「Ｉｆ ｎ＝ｋ＋１」というメッセージＭ８ととも
に数８に示す式ｅ１０を表示する。

【０１２９】

【数８】

【０１３０】その後、数式処理を実行して、数８に示す
式ｅ１０を変形して図１１（ａ）に示すようにその変形
過程を表示する。。具体的には例えば、数９、数１０に
示す式ｅ１１，ｅ１２が式変形の過程として表示され
る。

【０１３１】

【数９】

【０１３２】

【数１０】

【０１３３】そして、数式処理による式変形の結果、及
び変数ｎにｋを代入した式ｅ８（数７）の演算結果であ
る変数ｋの範囲ｅ９「ｋ≦０，ｋ≧１」に基いて、変数
ｎにｋ＋１を代入した不等式ｅ１０（数８）を満たす変
数ｋの範囲が、変数ｎにkを代入した不等式ｅ８（数
７）を満たすかが判断され、この例の場合は、「ｋ≧
１」において、不等式が成り立つことが分かる。変数ｋ
は自然数であることが条件であるので、ｎ＝ｋ＋１につ
いても不等式が成り立ち、表示部６には「成り立つ」と
いうメッセージＭ９が表示される。

【０１３４】そして、入力部３のグラフ−式切替キー３
ｆが操作されると、グラフ描画モードに移行し、変数ｎ
にｋ＋１を代入した式ｅ１０（数８）の左辺、及び右辺
について、それぞれ図１１（ｃ）に示すように左辺を示
すグラフｇ７、右辺を示すグラフｇ８が描画される。こ
のグラフは数学的帰納法の証明を適用する条件である
「ｋが自然数」である範囲で不等式が成立するか否かを
判断できるように、自然数以外の範囲は表示パターンを
変えて、グラフの位置関係の判断をしやすくしている。
その後、更にグラフ−式切替キー３ｆが操作されると、
図１１（ｂ）に示すようにグラフ描画モードに移行する
直前の入力画面２０が表示される。

【０１３５】以上説明したように、本発明を適用した第
１の実施の形態における計算装置１は、数学的帰納法に
基いて等式又は不等式が成り立つことを証明する際に、
ＣＰＵ２は、入力された等式又は不等式は数学的帰納法
に基いて証明可能であるか否かを判断し、判断結果を表
示部６に表示し、入力された等式又は不等式の自然数を
示す変数に対して１を代入した数値や式、ｋを代入した
式、ｋ＋１を代入した式等の数学的帰納法の各段階にお
ける等式又は不等式を求め、１を代入した際に等式又は
不等式が成立するか否かを判断するとともに、変数にｋ
を代入した際に等式又は不等式が成り立つと仮定して、
変数にｋ＋１を代入した等式又は不等式が成り立つか否
かを判断し、判断結果を各段階毎に表示する。

【０１３６】又、ＣＰＵ２は、数学的帰納法の各段階に
おいて求められる等式又は不等式（ｎ＝ｋの場合、ｎ＝
ｋ＋１の場合）の左辺及び右辺についてそれぞれ同一の
座標系内にグラフ描画して、その等式又は不等式が自然
数の範囲内で成立するか否かを判断できるように見やす
く表示する。なお、グラフの位置関係が等式又は不等式
の大小関係と一致する範囲等を更に識別可能に表示する
ようにしても良い。

【０１３７】したがって、数学的帰納法を学習する者、
数学的帰納法に基いて証明可能な式はどのようなもので
あるかを示すことにより、最適な証明方法を判別する能
力を養うことができ、さらに変数に１を代入した場合に
等式又は不等式が成り立つことを証明し、その後、変数
にｋを代入した式が成り立つことを仮定して、変数にｋ
＋１を代入した式が成り立つか否かを判別するといった
数学的帰納法の具体的な流れを明確に示すことが出来
る。さらに、各段階において、グラフ描画を行い、等式
又は不等式の大小関係を示すことができるので、位置関
係を確認することで等式又は不等式が成立するか否かを
視覚的に判断することが出来る。

【０１３８】［第２の実施の形態］以下、図１２〜図１
４を参照して本発明に係る計算装置１の第１の実施の形
態を詳細に説明する。第２の実施の形態における計算装
置１の構成は図１の構成であり、その詳細は、上述の説
明と同様である。

【０１３９】第２の実施の形態において、ＣＰＵ２は、
等式又は不等式の自然数を示す変数に対して任意の自然
数を代入した際に、当該等式又は不等式が成立するか否
かを判断して判断結果を表示する後述する式解析処理
（図１３参照）を実行する。

【０１４０】後述する式解析処理において、ＣＰＵ２
は、入力された等式又は不等式（入力式）に対して、入
力部３のデータ入力キー３ａの操作により入力される代
入値を代入することで、左辺値、及び右辺値をそれぞれ
計算し、ＲＡＭ８の左辺値データメモリ８ｎに、右辺値
データメモリ８ｏにそれぞれ格納するとともに、表示部
６に表示する。さらに、求めた左辺値、及び右辺値の大
小関係を判断して、入力式の大小関係が満たされている
か否かを判断し、満たされている場合は、「成り立つ」
旨を表示部６に表示する。

【０１４１】図１２は、第２の実施の形態におけるＲＡ
Ｍ８のメモリ構成を示す図である。この図１２に示すよ
うに、第２の実施の形態において、ＲＡＭ８に設定され
るメモリ領域として、上述の表示データメモリ８ａ、モ
ードデータメモリ８ｂ、証明処理フラグ８ｃ、入力式デ
ータメモリ８ｄ、条件データメモリ８ｅの他、代入値デ
ータメモリ８ｍ、左辺値データメモリ８ｎ、右辺値デー
タメモリ８ｏ、ワークメモリ８ｗ等を有する。

【０１４２】表示データメモリ８ａ、モードデータメモ
リ８ｂ、証明処理フラグ８ｃ、入力式データメモリ８
ｄ、条件データメモリ８ｅ、ワークメモリ８ｗについて
は上述の説明と同様である。

【０１４３】代入値データメモリ８ｍには、入力式の自
然数を示す変数に代入する自然数として、入力された代
入値が格納される。

【０１４４】左辺値データメモリ８ｎには、入力式の左
辺の自然数を示す変数に対して、代入値を代入して求め
られた数値や式が記憶される。

【０１４５】右辺値データメモリ８ｏには、入力式の右
辺の自然数を示す変数に対して、代入値を代入して求め
られた数値や式が格納される。

【０１４６】次に動作を説明する。図１３は、計算装置
１の実行する式解析処理の流れを示すフローチャートで
ある。

【０１４７】まず、ユーザーにより計算装置１の電源が
ＯＮにされると、ＣＰＵ２はＲＯＭ９に格納された初期
画面表示処理プログラムにしたがって、初期画面表示処
理を行い、計算装置１の図示しないモード選択を行うた
めのモード選択画面を表示する。このモード選択画面に
おいて、証明モードが選択される（ステップＳ３０１）
と、ＣＰＵ２は、数学的帰納法に基いて証明を行う対象
となる等式又は不等式を入力するための式入力エリア２
０ａ、等式又は不等式に関する条件を入力するための条
件入力エリア２０ｂ等を有する入力画面２０を表示する
（ステップＳ３０２）。

【０１４８】入力画面２０が表示された状態で、式入力
エリア２０ａに対して、入力部３のデータ入力キー３ａ
の操作により処理対象となる等式又は不等式ｅ１３が入
力されると（ステップＳ３０３；図１４（ａ）参照）、
ＣＰＵ２はこの入力式ｅ１３をＲＡＭ８の入力式データ
メモリ８ｄに格納する。また入力式ｅ１３に関する条件
が条件入力エリア２０ｂに対して入力されると（ステッ
プＳ３０４）、ＣＰＵ２はこの入力された条件をＲＡＭ
８の条件データメモリ８ｅに格納する。

【０１４９】このように等式又は不等式、及びその条件
が入力された状態で、入力部３のモードキー３ｂが操作
され、式解析モードが選択されると、ＣＰＵ２はＲＡＭ
８の証明処理フラグ８ｃを式解析モードが設定されたこ
とを示す“２”に設定し（ステップＳ３０５）、ＲＯＭ
に格納された基本プログラムのうち式解析処理プログラ
ムを読み出して、ＲＡＭ８のワークメモリ８ｗに確保
し、式解析処理を実行する。

【０１５０】ＣＰＵ２は入力画面２０上に、自然数を示
す変数に対して代入される任意の自然数である代入値Ｄ
を入力させるためカーソルＫを表示し（ステップＳ３０
６；図１４（ｂ）参照）、入力部３のデータ入力キー３
ａの操作により入力画面２０のカーソルＫ位置に代入値
Ｄが入力されると（ステップＳ３０７）、ＣＰＵ２は、
入力された代入値ＤをＲＡＭ８の代入値データメモリ８
ｍに格納する。その後、入力部３の実行キー３ｃが操作
されると（ステップＳ３０８）、ＣＰＵ２は、ＲＡＭ８
の入力式データメモリ８ｄから入力式ｅ１３を読み出
し、この入力式ｅ１３の自然数を示す変数に対して前記
代入値Ｄを代入する。

【０１５１】この代入値Ｄの代入において、ＣＰＵ２
は、まず入力式ｅ１３の左辺に対して代入値Ｄを代入し
た場合に得られる数値や式を演算する（ステップＳ３０
９）。さらに等式又は不等式の右辺に対して代入値を代
入した場合に得られる数値や式を演算する（ステップＳ
３１０）。

【０１５２】そして演算により求められた左辺に代入値
Ｄを代入した値を左辺値Ｌとして左辺値データメモリ８
ｎに格納し、同様に右辺に代入値Ｄを代入した値を右辺
値Ｒとして右辺値データメモリ８ｏに格納するととも
に、当該左辺値Ｌ及び右辺値Ｒを表示部６に表示する
（ステップＳ３１１、ステップＳ３１２）。

【０１５３】次にＣＰＵ２は、左辺値Ｌと右辺値Ｒとを
比較して、左辺値Ｌ及び右辺値Ｒの大小関係は、入力式
ｅ１３の左辺と右辺の大小関係と一致するか否かを判断
する（ステップＳ３１３）。即ち、等式が入力されてい
る場合は「左辺＝右辺」であるので、この大小関係と同
様に左辺値Ｌと右辺値Ｒが同一であるか（「左辺値＝右
辺値」）を判断する。また例えば、入力された不等式ｅ
１３の大小関係が「左辺＞右辺」である場合には、左辺
値Ｌと右辺値Ｒの大小関係は「左辺値＞右辺値」である
か等を解析する。

【０１５４】この大小関係の判断の結果、左辺値Ｌと右
辺値Ｒの大小関係が入力された式ｅ１３の大小関係と同
じである場合は、式の等号、不等号は成り立つとして
（ステップＳ３１３；Ｙｅｓ）、表示部６に等号、不等
号が成り立つ旨のメッセージＭ１１を表示する（ステッ
プＳ３１４；図１４（ｃ）参照）。左辺値Ｌと右辺値Ｒ
の大小関係が入力された式の大小関係と異なる場合は、
式の等号、不等号は成り立たないと判断され（ステップ
Ｓ３１３；Ｎｏ）、式の等号、不等号の表示形式を変更
する（ステップＳ３１５）。即ち、入力された式が等式
である場合は、等号「＝」を記号「≠」に変更して表示
し、また不等号「＜」を「＞」に変更する、「＞」を
「＜」に変更するなど、左辺値と右辺値の大小関係を正
しく示す記号Ｑに変更して表示する。さらに表示部６に
等号、不等号が成り立たない旨を表示する（図示せず）
（ステップＳ３１６）。

【０１５５】その後、入力部３の実行キー３ｃが再度入
力されると（ステップＳ３１７；Ｙｅｓ）、ＣＰＵ２
は、ＲＡＭ８の代入値データメモリ８ｍに記憶されてい
る代入値Ｄをクリアして、ＲＡＭ８の入力式データメモ
リ８ｄから入力式データを読み出して、表示部６に再度
表示させる（ステップＳ３１９）。

【０１５６】その後、ステップＳ３０６の処理へ戻り、
入力画面２０に対して、入力部３のデータ入力キー３ａ
の操作により任意の代入値が入力されると、この代入値
を入力式の左辺、右辺それぞれに代入して左辺値、右辺
値を求めて表示部６に表示し、左辺値及び右辺値の大小
関係を判断して、入力式ｅ１３の等号や不等号が成り立
つか否かを判断し、その判断結果に応じて等号又は不等
号の表示を変更し、「成り立つ」或いは「成り立たな
い」旨の表示を行うという処理を繰り返し実行する。

【０１５７】その後、実行キー３ｃの入力が無い場合は
（ステップＳ３１７；Ｎｏ）、処理を終了する。

【０１５８】次に、具体例を図１４を参照して説明す
る。図１４は、式解析処理において表示される各画面の
例を示す図であり、図１４（ａ）は不等式ｅ１３が入力
されたとき、図１４（ｂ）は代入値Ｄが入力されたと
き、図１４（ｃ）は判断結果等を示したときの各画面の
表示例である。

【０１５９】証明モードが設定された際に表示される入
力画面２０において、数１１に示す不等式ｅ１３

【０１６０】

【数１１】

【０１６１】がデータ入力キー３ａの操作により入力さ
れると、図１４（ａ）に示すように、表示部６に表示す
ると共に、ＣＰＵ２はこの入力された不等式ｅ１３をＲ
ＡＭ８の入力式データメモリ８ｄに格納する。また入力
された不等式ｅ１３に関する条件、例えば変数ｎを自然
数とするといった条件が条件入力エリア２０ｂに対して
入力されると、ＣＰＵ２はこの入力された条件をＲＡＭ
８の条件データメモリ８ｅに格納する。なお、変数ｎに
関する条件が予め設定されている場合は入力する必要は
ない。

【０１６２】不等式、及びその条件が入力された状態
で、入力部３のモードキー３ｂが操作され、式解析モー
ドが選択されると、ＣＰＵ２は式解析処理を実行する。
ＣＰＵ２は入力画面２０上に変数に代入する数値を入力
させるためカーソルＫを表示し、入力部３のデータ入力
キー３ａの操作により入力画面２０のカーソルＫ位置
に、変数に対して代入される任意の数値である代入値Ｄ
として「ｎ＝２」が入力され、入力部３の実行キー３ｃ
が操作されると、ＣＰＵ２は、入力された不等式ｅ１３
（数１１）の変数ｎに対して前記代入値Ｄ「２」を代入
する。

【０１６３】そして演算により求められた左辺値Ｌ
「６．２５」を左辺値データメモリ８ｎに格納し、同様
に右辺値Ｒ「９」を右辺値データメモリ８ｏに格納する
とともに、当該左辺値Ｌ「６．２５」及び右辺値Ｒ
「９」を表示部６に表示する。次にＣＰＵ２は、左辺値
Ｌ「６．２５」と右辺値Ｒ「９」とを比較して、左辺値
Ｌ及び右辺値Ｒの大小関係は、入力された不等式ｅ１３
（数１１）の左辺と右辺の大小関係「左辺≦右辺」と一
致するか否かを判断する。この例の場合は「６．２５≦
９」であるので、入力式ｅ１３の大小関係と一致するの
で、不等号Ｑは「≦」のまま表示するとともに、不等号
は成り立つとして、表示部６に「成り立つ」というメッ
セージＭ１１を表示する。

【０１６４】以上説明したように、本発明を適用した第
２の実施の形態における計算装置１は、等式又は不等式
の変数に対して任意の代入値を代入した際に、左辺値及
び右辺値の大小関係を判断して当該等式又は不等式が成
立するか否かを判断し、判断結果を表示する。

【０１６５】したがって、等式又は不等式の変数に対し
て任意の値を代入する際に、求められた左辺値と右辺値
とを比較して、その結果を示すことが出来るので、計算
装置１を用いた授業等で説明する際に、数学的帰納法の
証明の基礎となる、段階的な数式解析を行うことが出来
る。

【０１６６】［第３の実施の形態］以下、図１５〜図１
７を参照して本発明に係る計算装置１の第３の実施の形
態を詳細に説明する。第３の実施の形態における計算装
置１の構成は図１の構成であり、その詳細は、上述の説
明と同様である。

【０１６７】第３の実施の形態において、ＣＰＵ２は、
等式又は不等式の自然数を示す変数に対して任意の自然
数を代入した際に、当該等式又は不等式の左辺値及び右
辺値を求めるとともに、当該等式又は不等式が成立する
か否かを判断し、演算結果及び判断結果を示すテーブル
４０を作成して表示する後述するテーブル作成処理（図
１６参照）を実行する。

【０１６８】後述するテーブル作成処理において、ＣＰ
Ｕ２は、入力された等式又は不等式（入力式）に対し
て、入力部３のデータ入力キー３ａの操作により入力さ
れるＮ個（Ｎ＝１，…，Ｎ）の代入値を代入して、各代
入値Ｄ（１）〜（Ｎ）について左辺値Ｌ（１）〜
（Ｎ）、及び右辺値Ｒ（１）〜（Ｎ）をそれぞれ計算
し、ＲＡＭ８の左辺値データメモリ８ｎ、右辺値データ
メモリ８ｏにそれぞれ格納するとともに、求めた左辺値
Ｌ（１）〜（Ｎ）、及び右辺値Ｒ（１）〜（Ｎ）の大小
関係を代入値毎に判断して、入力式の大小関係が満たさ
れているか否かをそれぞれ判断する。

【０１６９】さらに、求められた左辺値Ｌ（１）〜
（Ｎ）、右辺値Ｒ（１）〜（Ｎ）、大小関係を示す記号
Ｑ、式が成り立つか否かの判断結果を表示するテーブル
４０を作成し（図１７（ｂ）参照）、テーブルメモリ８
ｒに格納するとともに、表示部６に表示する。

【０１７０】図１５は、第３の実施の形態におけるＲＡ
Ｍ８のメモリ構成を示す図である。この図１５に示すよ
うに、第３の実施の形態において、ＲＡＭ８に設定され
るメモリ領域として、上述の表示データメモリ８ａ、モ
ードデータメモリ８ｂ、証明処理フラグ８ｃ、入力式デ
ータメモリ８ｄ、条件データメモリ８ｅの他、代入値デ
ータメモリ８ｍ、代入値（追加）データメモリ８ｐ、左
辺値データ（１）〜（Ｎ）メモリ８ｎ、右辺値（１）〜
（Ｎ）データメモリ８ｏ、代入値カウンタ８ｑ、テーブ
ルメモリ８ｒ、ワークメモリ８ｗ等を有する。

【０１７１】表示データメモリ８ａ、モードデータメモ
リ８ｂ、証明処理フラグ８ｃ、入力式データメモリ８
ｄ、条件データメモリ８ｅ、ワークメモリ８ｗについて
は上述の説明と同様である。

【０１７２】代入値データメモリ８ｍは、入力式の自然
数を示す変数に代入する自然数として、入力された代入
値が格納される領域として、Ｎ個のメモリ領域を有す
る。

【０１７３】左辺値データメモリ８ｎは、入力式の左辺
の自然数を示す変数に対して、代入値、及び追加代入値
を代入してそれぞれ求められた数値や式が記憶される領
域としてＮ個のメモリ領域及び代入値（追加）に対する
メモリ領域を有する。

【０１７４】右辺値データメモリ８ｏは、入力式の右辺
の自然数を示す変数に対して、代入値、及び追加代入値
を代入してそれぞれ求められた数値や式が記憶される領
域としてＮ個のメモリ領域及び代入値（追加）に対する
メモリ領域を有する。

【０１７５】代入値カウンタ８ｑは、入力された代入値
を計数するカウンタであり、左辺値及び右辺値を演算す
る際に、順次デクリメントされる。

【０１７６】テーブルメモリ８ｒは、テーブル４０の表
示データであり、ＣＰＵ２により求められる左辺値、右
辺値、記号、成り立つか否かといったデータを代入値毎
にまとめた表データである。

【０１７７】次に動作を説明する。図１６は、計算装置
１のテーブル作成処理の流れを示すフローチャートであ
る。

【０１７８】まず、ユーザーにより計算装置１の電源が
ＯＮにされると、ＣＰＵ２はＲＯＭ９に格納された初期
画面表示処理プログラムにしたがって、初期画面表示処
理を行い、計算装置１の図示しないモード選択を行うた
めのモード選択画面を表示する。このモード選択画面に
おいて、証明モードが選択されると、ＣＰＵ２は、数学
的帰納法に基いて証明を行う対象となる等式又は不等式
を入力するための式入力エリア２０ａ、等式又は不等式
に関する条件を入力するための条件入力エリア２０ｂを
有する入力画面２０を表示する。

【０１７９】入力画面２０が表示された状態で、式入力
エリア２０ａに対して、入力部３のデータ入力キー３ａ
の操作により処理対象となる等式又は不等式ｅ１４が入
力されると（ステップＳ４０１；図１７（ａ）参照）、
ＣＰＵ２はこの入力された等式又は不等式ｅ１４をＲＡ
Ｍ８の入力式データメモリ８ｄに格納する。また入力式
ｅ１４に関する条件が条件入力エリア２０ｂに対して入
力されると、ＣＰＵ２はこの入力された条件をＲＡＭ８
の条件データメモリ８ｅに格納する。

【０１８０】このように等式又は不等式ｅ１４、及びそ
の条件が入力された状態で、入力部３のモードキー３ｂ
が操作され、テーブル作成モードが選択されると、ＣＰ
Ｕ２はＲＡＭ８のモードデータメモリ８ｂにおいて、テ
ーブル作成モードが設定されたことを示す“３”に設定
し、ＲＯＭに格納された基本プログラムのうちテーブル
作成処理プログラムを読み出して、ＲＡＭ８のワークメ
モリ８ｗに確保し、テーブル作成処理を実行する。

【０１８１】ＣＰＵ２は、まずテーブル設定範囲の入力
の有無を確認する（ステップＳ４０２）。ここでテーブ
ル設定範囲とは、作表するテーブル４０の代入値の範囲
をいい、例えば、代入値に「１，２，３，４」を設定す
る場合は、この代入値「１，２，３，４」がテーブル設
定範囲となる。計算装置１に予め設定されている場合
は、特に設定する必要が無い。テーブル設定範囲の入力
がある場合は（ステップＳ４０２；Ｙｅｓ）、ＣＰＵ２
はテーブルレンジ画面（図示せず）を表示し（ステップ
Ｓ４０３）、このテーブルレンジ画面に対して、テーブ
ル設定範囲とする代入値が入力されると（ステップＳ４
０４）、ＣＰＵ２はＲＡＭ８の代入値データメモリ８ｍ
に入力された代入値を格納する。

【０１８２】その後、入力部３の実行キー３ｃが操作さ
れると（ステップＳ４０５）、ＣＰＵ２は、テーブル設
定範囲により設定され、或いは予め設定されている作表
する代入値の個数Ｎを計数し、代入値カウンタ８ｑをＮ
にセットする（ステップＳ４０６）。その後、ＣＰＵ２
はＲＡＭ８の入力式データメモリ８ｄから入力式を読み
出し、この入力式の変数に対して前記Ｎ番目の代入値で
ある代入値Ｄ（Ｎ）を代入する。即ち、Ｎ番目の代入値
Ｄ（Ｎ）を、左辺について入力式ｅ１４の変数に代入し
て左辺値Ｌ（Ｎ）を計算し（ステップＳ４０７）、同様
に右辺について入力式ｅ１４の変数に代入して右辺値Ｒ
（Ｎ）を計算する（ステップＳ４０８）。

【０１８３】そして演算により求められた左辺値Ｌ
（Ｎ）を左辺値（Ｎ）データメモリに格納し、同様に右
辺値Ｒ（Ｎ）を右辺値（Ｎ）データメモリに格納する。
次にＣＰＵ２は、左辺値Ｌ（Ｎ）と右辺値Ｒ（Ｎ）とを
比較して、左辺値Ｌ（Ｎ）及び右辺値Ｒ（Ｎ）の大小関
係を判断し、入力式ｅ１４の左辺と右辺の大小関係と一
致するか否かを判断する（ステップＳ４０９）。

【０１８４】この大小関係の判断の結果、左辺値Ｌ
（Ｎ）と右辺値Ｒ（Ｎ）の大小関係が入力された式の大
小関係と同じである場合は、“変数”＝“代入値Ｄ
（Ｎ）”の場合に数式は成り立つとして「成り立つ」と
判断し、また左辺値Ｌ（Ｎ）と右辺値Ｒ（Ｎ）の大小関
係が入力された式ｅ１４の大小関係と異なる場合は、
“変数”＝“代入値Ｄ（Ｎ）”の場合に数式は成り立た
ないとして「成り立たない」と判断する。

【０１８５】その後、代入値カウンタ８ｑの値をデクリ
メントし（＝Ｎ−１）（ステップＳ４１０）、ＣＰＵ２
は、代入値カウンタ８ｑが０であるか判定する（ステッ
プＳ４１１）。代入値カウンタ８ｑが０でない場合（Ｎ
≠０）は（ステップＳ４１１；Ｎｏ）、ステップＳ４０
７に戻り、左辺値Ｌ（Ｎ＝Ｎ−１）、右辺値Ｒ（Ｎ＝Ｎ
−１）を計算してＲＡＭ８の該当する左辺値（Ｎ−１）
メモリ、右辺値（Ｎ−１）メモリに格納し、左辺値Ｌ
（Ｎ−１）及び右辺値Ｒ（Ｎ−１）の大小関係を判断し
て、数式ｅ１４が「成り立つ」、又は「成り立たない」
を判断する。

【０１８６】この処理を繰り返し実行し、代入値カウン
タ８ｑが“０”となる（Ｎ＝０）と（ステップＳ４１
１；Ｙｅｓ）、次にＣＰＵ２は、テーブル４０を作成す
るために演算、または判断により求められたデータであ
る、左辺値Ｌ（１）〜Ｌ（Ｎ）、右辺値Ｒ（１）〜Ｒ
（Ｎ）、大小関係を示す記号Ｑ、成り立つか否かを示す
データを各メモリ領域から読み出して、テーブル化し、
このテーブルデータをＲＡＭ８のテーブルメモリ８ｒに
格納する（ステップＳ４１２）とともに、表示部６に表
示する（ステップＳ４１３；図１７（ｂ）参照）。

【０１８７】さらにＣＰＵ２は、入力部３のデータ入力
キー３ａの操作により、テーブル４０の代入値表示欄４
１に対して追加の代入値である代入値Ｄ（追加）が入力
されるか否かを確認する（ステップＳ４１４）。代入値
Ｄ（追加）が入力がされた場合は（ステップＳ４１４；
Ｙｅｓ）、表示部６に表示されているテーブル４０の代
入値Ｄ（追加）にカーソルＫを表示し（ステップＳ４１
５）、入力部３のカーソルＫキー３ｅの移動操作により
の左辺値表示欄４２にカーソルＫが移動されると、代入
値Ｄ（追加）を入力式ｅ１４の左辺に代入した際に求め
られる左辺の数値または式である左辺値Ｌ（追加）を計
算して求め、ＲＡＭ８の左辺値Ｌ（追加）データメモリ
８ｎに格納するとともに、この左辺値Ｌ（追加）をカー
ソルＫの表示されている左辺値表示欄４２に表示し、さ
らにカーソルキー３ｅの移動操作により右辺値表示欄４
４にカーソルＫが移動されると、同様に右辺値Ｒ（追
加）を計算して求め、右辺値Ｒ（追加）データメモリ８
ｏに格納するとともに、カーソルＫの表示されている右
辺値表示欄４４に表示する（ステップＳ４１７）。

【０１８８】次にＣＰＵ２は、左辺値Ｌ（追加）と右辺
値Ｒ（追加）とを比較して大小関係を判断し、入力され
た等式又は不等式ｅ１４の左辺と右辺の大小関係と一致
するか否かを判断する。

【０１８９】この大小関係の判断の結果、左辺値Ｌ（追
加）と右辺値Ｒ（追加）の大小関係が入力された式ｅ１
４の大小関係と同じである場合は、“変数”＝“代入値
Ｄ（追加）”の場合に数式は成り立つとして、テーブル
４０の判断結果表示欄４５に「成り立つ」というメッセ
ージＭ１２表示し、左辺値Ｌ（追加）と右辺値Ｒ（追
加）の大小関係が入力された式ｅ１４の大小関係と異な
る場合は、“変数”＝“代入値Ｄ（追加）”の場合に数
式は成り立たないとして、テーブル４０の判断結果表示
欄４５に「成り立たない」（図示せず）と表示する（ス
テップＳ４１８）。

【０１９０】また、左辺値Ｌ（追加）と右辺値Ｒ（追
加）の大小関係の判断結果を表す等号又は不等号Ｑを記
号表示欄４３に表示する。その後、ＣＰＵ２は、代入値
Ｄ（追加）について、演算、または判断により求められ
たデータをＲＡＭ８のテーブルメモリ８ｒに追加記憶す
る（ステップＳ４１９）。そして、入力部３のデータ入
力キー３ａの操作により追加の代入値が入力されない場
合は（ステップＳ４１４；Ｎｏ）、本テーブル作成処理
を終了する。

【０１９１】図１７は、テーブル作成処理における表示
例を示す図であり、図１７（ａ）は、不等式が式入力エ
リア２０ａに対して入力された際、図１７（ｂ）は、表
示画面に表示されたテーブル４０を示す例である。図１
７（ａ）に示すように、数式１２に示す不等式ｅ１４

【０１９２】

【数１２】

【０１９３】が入力され、さらにテーブル設定範囲の入
力により、代入値Ｄとして「１，２」と入力されると、
入力式ｅ１４（数１２）の左辺、及び右辺に各代入値を
それぞれ代入し、左辺値Ｌ及び右辺値Ｒを計算する。例
えば、入力された代入値Ｄ「１」を左辺の式である数１
３に示す式

【０１９４】

【数１３】

【０１９５】に代入すると、左辺値として「４」を得
る。次に、入力された代入値「１」を数１４に示す右辺
の式

【０１９６】

【数１４】 に代入すると、左辺値として「４」を得る。

【０１９７】そして、左辺値「４」及び右辺値「４」の
大小を比較して、この場合は「４≦４」であるので、入
力式ｅ１４（数１２）の大小関係を満たすものと判断さ
れ、左辺値、右辺値、大小関係データ等は、ＲＡＭ８の
各メモリ領域に格納される。同様に、代入値「２」につ
いても、入力式の左辺及び右辺に対して代入値「２」を
代入して計算することにより、左辺値及び右辺値を計算
し、大小関係を判断して、左辺値、右辺値、大小関係デ
ータ等を各メモリ領域に格納する。

【０１９８】その後ＣＰＵ２はテーブル４０に表示する
データとして左辺値、右辺値、大小関係データ等をＲＡ
Ｍ８の各メモリ領域から読み出して、テーブル４０を生
成するとともに、作成されたテーブル４０をテーブルメ
モリ８ｒに格納するとともに、図１７（ｂ）に示すよう
に表示部６に表示する。

【０１９９】その後、テーブル４０が表示された状態で
代入値（追加）データとして、代入値「５」が入力部３
のデータ入力キー３ａの操作により入力され、さらにカ
ーソルキー３ｅの操作により、テーブル４０上のカーソ
ルＫを左辺値表示欄４２に移動すると、左辺値Ｌ（追
加）が計算されて表示され、さらにカーソルキー３ｅの
操作によりカーソルＫを右辺値表示欄４４に移動する
と、右辺値Ｒ（追加）が計算されて表示される。さら
に、計算により求められた左辺値Ｌ（追加）及び右辺値
Ｒ（追加）の大小関係が判断されて、記号表示欄４３に
等号又は不等号Ｑが表示され、入力式が「成り立つ」又
は「成り立たない」といったメッセージが表示される。

【０２００】以上説明したように、本発明を適用した第
３の実施の形態における計算装置１において、入力され
た等式、又は不等式の左辺及び右辺にそれぞれ任意のＮ
個の代入値Ｄ（１）〜Ｄ（Ｎ）を代入し、左辺値Ｌ
（１）〜Ｌ（Ｎ）、及び右辺値Ｒ（１）〜Ｒ（Ｎ）を求
め、この左辺値Ｌ（１）〜Ｌ（Ｎ）及び右辺値Ｒ（１）
〜Ｒ（Ｎ）の大小関係を比較して、入力式ｅ１４の左辺
と右辺の大小関係と一致するか否かを判断し、Ｎ番目の
代入値Ｄ（Ｎ）に対してそれぞれ求められた左辺値Ｌ
（Ｎ）、右辺値Ｒ（Ｎ）、及び左辺値Ｌ（Ｎ）と右辺値
Ｒ（Ｎ）との大小関係を示す記号Ｑ、入力式ｅ１４が成
り立つ否かの判断結果をまとめたテーブル４０を作成し
て、表示部６に表示する。

【０２０１】また、代入値が追加入力された場合には、
この代入値Ｄ（追加）についても、入力部３のカーソル
キー３ｅ操作に伴って、左辺値Ｌ（追加）、及び右辺値
Ｒ（追加）を求め、各大小関係を比較して、入力式ｅ１
４が成り立つか否かを判断し、これらの左辺値Ｌ（追
加）、及び右辺値Ｒ（追加）、大小関係を示す記号Ｑ、
入力式ｅ１４が成り立つか否かの判断結果をテーブル４
０内に表示するとともに、テーブルメモリ８ｒに追加記
憶する。

【０２０２】したがって、入力される等式又は不等式に
対して、自然数を示す変数に様々な自然数を代入して式
が成り立つか否かを判断する際に、その演算結果がテー
ブル化されて表示されることにより、数学的帰納法の証
明の基礎となる各代入値についての式成立の判断結果を
テーブル４０として、見やすく整理して表示させること
ができ、さらに表示されるテーブル４０を参照すること
により、「変数＝Ｎ」の場合に式が成立するか否かの想
定を容易にするので、帰納的思考を効率よく養うことが
出来る。

【０２０３】

【発明の効果】請求項１及び１０記載の発明によれば、
数学的帰納法に基いて等式又は不等式を証明し、その証
明結果を表示させることが出来るので、実験等の結果に
より得た等式又は不等式や、数学の数列の学習において
自己の想定した等式又は不等式が数学的帰納法に基いて
成り立つか否かを容易に確かめることが出来る。

【０２０４】請求項２記載の発明によれば、どのような
式に数学的帰納法を適用して証明することが出来るのか
といった感覚を効率よく学習することが出来るので、数
学の学習において種々の証明問題を解く場合にも、与え
られた等式又は不等式の態様に応じて数学的帰納法に基
く証明が最適な方法であるのか、または他の方法で証明
するべきかといった判断力を養うことが出来る。

【０２０５】請求項３記載の発明によれば、数学的帰納
法における各段階において生成される式をそれぞれ表示
すると共に、生成される式が成立するか否かを判断し
て、その判断結果を段階的に表示することが可能である
ので、数学的帰納法における、（１）ｎ＝１のときに式
が成り立つことを証明する段階、（２ａ）ｎ＝ｋのとき
に数式が成り立つと仮定する段階、（２ｂ）ｎ＝ｋ＋１
のときに式が成り立つことを証明する段階というような
数学的帰納法の解法を効率よく学ぶことができる。

【０２０６】請求項４記載の発明によれば、ｎ＝ｋで成
り立つことを仮定する段階を表示した後、ｎ＝ｋ＋１の
ときに等式又は不等式が成り立つことを証明する段階に
おいて、ｎ＝ｋ＋１のときに生成される等式又は不等式
の一部に、ｎ＝ｋのときに成り立つと仮定された等式の
一部又は全部がある場合は、ｎ＝ｋ＋１のときに生成さ
れる等式又は不等式のうち、ｎ＝ｋのときに成り立つと
仮定された等式の部分をアンダーラインを引くなど、特
徴的に表示することが出来るので、ｎ＝ｋ＋１のときの
等式又は不等式を変形する際に、ｎ＝ｋのときの等式又
は不等式を利用して式を変形していくという手法を、視
覚的に明確に理解することが出来る。

【０２０７】請求項５及び１１記載の発明によれば、等
式又は不等式の左辺及び右辺についての各グラフを同一
座標系内に描画するので、描画されたグラフの位置関係
を見ることにより、視覚的に左辺と右辺の大小関係を判
断することが出来るので、等式又は不等式が成り立つこ
とをグラフ上で視覚的に確認させることが可能となる。

【０２０８】請求項６記載の発明によれば、数学的帰納
法の各段階において、グラフ描画することにより、ｎ＝
ｋのときの式の左辺及び右辺についての各グラフを同一
座標系内に描画し、その後にｎ＝ｋ＋１のときの式の左
辺及び右辺についての各グラフを描画するというよう
に、段階的なグラフ描画を可能とするため、数学的帰納
法の学習において、適宜グラフを参照しながら、学習を
進めることが可能となる。

【０２０９】請求項７記載の発明によれば、自然数の範
囲において、等式又は不等式が成り立つことを容易に判
断できるように左辺及び右辺についての各グラフを同一
の座標系に描画させることが出来るので、数学的帰納法
の各段階において、式の大小関係が成り立つことをグラ
フの位置関係から容易に確認することが出来る。

【０２１０】請求項８及び１２記載の発明によれば、等
式又は不等式に任意の自然数を代入した際の等式又は不
等式の成立を証明することが可能となるので、数学的帰
納法に基く証明を行う準備段階として、等式又は不等式
についての解析をする場合や、これから帰納法を学習す
る者が等式又は不等式についての自然数毎の解析をする
場合などの段階の学習が自主的な学習においても可能と
なる。

【０２１１】請求項９記載の発明によれば、自然数毎に
等式が成り立つか否かを表としてまとめることが出来る
ので、自然数毎に証明結果等をまとめた式を表示するこ
とで、証明結果の編集などの必要なく、瞬時に証明の結
果を知ることが出来るので、学習の効率をより向上させ
ることが出来る。また、変数がＮとなったときの判断結
果を想定するなど、帰納法の思考を養うことが出来る。

【図面の簡単な説明】

【図１】第１から第３の実施の形態における計算装置１
の構成を示すブロック図である。

【図２】第１の実施の形態におけるＲＡＭ８のメモリ構
成を示す図である。

【図３】計算装置１の帰納法証明処理の流れを示すフロ
ーチャートである。

【図４】計算装置１の帰納法証明処理の流れを示すフロ
ーチャートである。

【図５】計算装置１がグラフ描画モードに設定された場
合のグラフ描画処理の流れを示すフローチャートであ
る。

【図６】帰納法証明処理において、証明可能か否かの判
断を行う際に表示される表示画面の例を示す図である。

【図７】帰納法証明処理において、自然数を示す変数に
１を代入した場合に入力式が成立することを示す段階に
おける表示例を示す図である。

【図８】帰納法証明処理において、自然数を示す変数に
ｋを代入した入力式が成立すると仮定する段階における
表示例を示す図である。

【図９】帰納法証明処理において、変数にｋ＋１を代入
した入力式が成り立つか否かを判断する段階での表示例
を示す図である。

【図１０】帰納法証明処理及びグラフ描画処理におい
て、不等式が入力された場合の各段階に表示される画面
の例を示す図である。

【図１１】帰納法証明処理及びグラフ描画処理におい
て、不等式が入力された場合の各段階に表示される画面
の例を示す図である。

【図１２】第２の実施の形態におけるＲＡＭ８のメモリ
構成を示す図である。

【図１３】計算装置１の実行する式解析処理の流れを示
すフローチャートである。

【図１４】式解析処理において表示される各画面の例を
示す図である。

【図１５】第３の実施の形態におけるＲＡＭ８のメモリ
構成を示す図である。

【図１６】計算装置１のテーブル作成処理の流れを示す
フローチャートである。

【図１７】テーブル作成処理において表示される各画面
の例を示す図である。

【符号の説明】

１ 計算装置 ２ ＣＰＵ ３ 入力部 ３ａ データ入力キー ３ｂ モードキー ３ｃ 実行キー ３ｄ ＥＸＩＴキー ３ｅ カーソルキー ３ｆ グラフ−式切替キー ４ タブレット ５ 位置検出回路 ６ 表示部 ７ 表示駆動回路 ８ ＲＡＭ ８ａ 表示データメモリ ８ｂ モードデータメモリ ８ｃ 証明処理フラグ ８ｄ 入力式データメモリ ８ｅ 条件データメモリ ８ｆ 左辺値（“変数”＝１）データメモリ ８ｇ 右辺値（“変数”＝１）データメモリ ８ｈ 式（“変数”＝ｋ）データメモリ ８ｉ 式（“変数”＝ｋ＋１）データメモリ ８ｊ グラフ（左辺）描画データメモリ ８ｋ グラフ（右辺）描画データメモリ ８ｌ 証明可能フラグ ８ｍ 代入値データメモリ ８ｎ 左辺値データメモリ ８ｏ 右辺値データメモリ ８ｐ 代入値（追加）データメモリ ８ｑ 代入値カウンタ ８ｒ テーブルメモリ ８ｗ ワークメモリ ９ ＲＯＭ １０ 記憶装置 １１ 記憶媒体 ２０ 入力画面 ２０ａ 式入力エリア ２０ｂ 条件入力エリア ３０ グラフ画面 ４０ テーブル ４１ 代入値表示欄 ４２ 左辺値表示欄 ４３ 記号表示欄 ４４ 右辺値表示欄 ４５ 判断結果表示欄 ｇ１〜ｇ８ グラフ

Claims (12)

【特許請求の範囲】
1. 【請求項１】数学的帰納法に基いて等式又は不等式が成
   立することを証明する証明手段と、 この証明手段による証明結果を表示させる表示制御手段
   と、 を備えたことを特徴とする計算装置。
2. 【請求項２】等式又は不等式を入力する入力手段と、 この入力手段により入力された等式又は不等式が数学的
   帰納法に基いて証明可能であるか否かを判断する証明可
   能性判断手段と、 この証明可能性判断手段の判断結果を表示させる証明可
   能性表示制御手段と、 を更に備え、 前記証明手段は、前記証明可能性判断手段により前記入
   力手段により入力された等式又は不等式は数学的帰納法
   に基く証明が可能であると判断された場合に、該等式又
   は不等式が成立することを数学的帰納法に基いて証明す
   ることを特徴とする請求項１記載の計算装置。
3. 【請求項３】前記証明手段は、数学的帰納法の各段階に
   おける等式又は不等式を生成するとともに、この生成さ
   れた各段階における等式又は不等式が成立するか否かを
   判断し、 前記表示制御手段は、前記各段階における等式又は不等
   式、及び前記証明手段による証明結果を各段階毎に表示
   させることを特徴とする請求項１又は２に記載の計算装
   置。
4. 【請求項４】前記表示制御手段は、後の段階における等
   式又は不等式の一部に、前の段階における等式又は不等
   式の一部又は全部を含む場合は、後の段階における等式
   又は不等式を表示する際に、後の段階における等式又は
   不等式中に含まれる前の段階における等式又は不等式で
   表される部分を特徴的に表示させることを特徴とする請
   求項３記載の計算装置。
5. 【請求項５】等式又は不等式の左辺及び右辺についての
   各グラフを、同一座標系内にそれぞれ描画するグラフ描
   画手段を備えたことを特徴とする計算装置。
6. 【請求項６】数学的帰納法の各段階における等式又は不
   等式を生成する式生成手段を更に備え、 前記グラフ描画手段は、この式生成手段により生成され
   た各段階における等式又は不等式の左辺及び右辺につい
   ての各グラフを段階毎に描画することを特徴とする請求
   項５記載の計算装置。
7. 【請求項７】前記グラフ描画手段は、前記等式又は不等
   式の左辺及び右辺についての各グラフを描画する際に、
   自然数の範囲内で該等式又は不等式が成立するか否かを
   視覚的に判断可能に表示させることを特徴とする請求項
   ５又は６に記載の計算装置。
8. 【請求項８】任意の自然数を入力する入力手段と、 この入力手段により入力された自然数を、等式又は不等
   式に対して代入した際に該等式又は不等式が成立するこ
   とを証明する証明手段と、 この証明手段による証明結果を表示させる表示制御手段
   と、 を備えたことを特徴とする計算装置。
9. 【請求項９】前記証明手段による証明結果を前記等式又
   は不等式に対して代入した自然数毎にまとめた表を作成
   する作表手段を更に備え、 前記表示制御手段は、この作表手段により作成された表
   を表示させることを特徴とする請求項８記載の計算装
   置。
10. 【請求項１０】コンピュータが実行可能なプログラムを
    格納した記憶媒体であって、 数学的帰納法に基いて等式又は不等式が成立することを
    証明するためのコンピュータが実行可能なプログラムコ
    ードと、 この証明結果を表示させるためのコンピュータが実行可
    能なプログラムコードと、 を含むプログラムを格納したことを特徴とする記憶媒
    体。
11. 【請求項１１】コンピュータが実行可能なプログラムを
    格納した記憶媒体であって、 等式又は不等式の左辺及び右辺についての各グラフを、
    同一座標系内にそれぞれ描画するためのコンピュータが
    実行可能なプログラムコードを含むプログラムを格納し
    たことを特徴とする記憶媒体。
12. 【請求項１２】コンピュータが実行可能なプログラムを
    格納した記憶媒体であって、 任意の自然数を入力するためのコンピュータが実行可能
    なプログラムコードと、 この入力された自然数を、等式又は不等式に対して代入
    した際に該等式又は不等式が成立することを証明するた
    めのコンピュータが実行可能なプログラムコードと、 この証明結果を表示させるためのコンピュータが実行可
    能なプログラムコードと、 を含むプログラムを格納したことを特徴とする記憶媒
    体。