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Einrichtung zum Strecken von Kreisbögen
Wenn ein Kreisbogen auf einen
anderen Kreisbogen oder eine Strecke abgewickelt werden soll, so mußte das bisher
dadurch geschehen, daß man den Kreisbogen in viele kleine Stücke zerlegte und dann
der Bögen die Sehnen mit dem Stechzirkel übertrug.
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Nur bei der Abwicklung eines vollen Kreises ließ mit genügender Genauigkeit
etwa die Näherungskonstruktion von Kohanski anwenden. Die Näherungskonstruktion
von Sipos erlaubte ferner in gewissen Grenzen die Abwicklung eines Kreisbogens.
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Aber im allgemeinen mußte man sich der oben geschilderten fehlerhaften
Methode bedienen.
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Hier schafft nun die Erfindung Abhilfe. Sie besteht aus einer Art
Kurvenlineal aus durchsichtigem Material, auf dem eine Schar von Kurven nach der
Gleichung sin # r = b # arc aufgetragen ist (Fig. I). Dabei sind r und ç die Polarkoordinaten
und b der Parameter der Schar. Die Besonderheit der Kurve, die weiterhin als Rektifikatrix
bezeichnet werden möge, liegt darin, daß alle Kreisbögen, die O S = b als gemeinsame
Tangenten in O berühren und auf derselben Rektifikatrix endigen gleiche Längen haben.
Man braucht also nur, un
einen gegebenen Kreisbogen auf einen anderen,
ihn in 0 berührenden Bogen aufzuwickeln, durch den Endpunkt des gegebenen Kreisbogens
die entsprechende Rektifikatrix zu legen. Wo diese dann den Bogen von unbestimmter
Länge schneidet, wird ein Bogen abgeschnitten, dessen Länge mit der des gegebenen
Kreisbogens mathematisch genau übereinstimmt. Das Hindurchlegen der gewünschten
Rektifikatrix besorgt das erfindungsgemäße Kurvenlineal und außerdem noch verschiedenes
andere mehr, wie weiterhin dargelegt wird.
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Es genügt auch eine einzelne feste Rektifikatrix, den Rest besorgen
Ähnlichkeitskonstruktionen, wie später erläutert wird.
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Es seien noch für die technische Herstellung der Rektifikatrix einige
geometrische Sätze angegeben (Fig. 3).
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Satz 1: »Die Tangente t in einem Punkt der Rektifikatrix bildet mit
dem vom Punkt 0 aus gezogenen Fahrstrahl r denselben Winkel #, in entgegengesetztem
Sinne gemessen wie die Verbindungslinie des Scheitels S mit dem betrachteten Kurvenpunkt
und diesem Fahrstrahl, nämlich #,« Hat man die Kurventangente t, so erhält man,
wenn man dazu die Senkrechte zeichnet, die Kurvennormale n. Diese kann man wieder
benutzen, um Näherungskreise für die Kurve zwischen zwei benachbarten Punkten zu
erhalten gemäß Satz 2: «Die Kurvennoirmalen n1 und n2 in zwei benachbarten Punken
der Rektifikatrix schneiden sich in einem Punkt M, der den Mittelpunkt des mittleren
Krümmungskreises durch diese beiden Punkte darstellt. Der Krümmungsradius in 0 ist
l/4a, der Krümmungsradius im Scheitel S ist 3/4 b. Der zugehörige Krümmungskreis
deckt sich in grpßer Näherung mit der Rektifikatrix bis # = 25°. « Damit kann die
Rektifiketrix in großem Maßstab aus vielen hinreicheend kleinen Krümmungskreisbögin
zusammengesetzt und dann mechanisch oder optisch beliebig verkleinert werden.
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Satz 3 »Der Winkel (Fig. I), den der für die Kreisquadratur gezogene
Hilfsstrahl (I R2z) mit der senkrechten Kurvenachse bildet, ist 480 Ia' 52".
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Das Kurvenlineal, wie es bisher geschildert wurde, besteht aus einer
Schar von Rektifikatrizen, deren äußerste die Randlinie bildet. Das Gerät erlaubt
Anwendungen in folgender Weise (Fig. I) : I. mit Benutzung der Randlinie als Kurvenlinie,
2, mit Benutzung der Rektifikatrizenschar zur Auf- und Abwicklung von Kreisbögen
untereinander sowie zur Streckung von Kreisbögen in eine Gerade, 3. zur Quadratur
von Kreisen, 4. zur Teilung von Strecken.
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Zu 1: Durüber bracht nochts weiter gesagt zu werden.
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Zu 2: Der abzuwickelnde Bogen von gegebener Länge und der aufzuwickelnde
Bogen von unbestimmter Länge werden mit ihrem einen Ende in 0 so aneinandergelegt,
daß sie dort eine gemeinsame senkrechte Tangente besitzen. Der abzuwickelnde Bogen
endige dann in einer Rektifikatrix. Diese Rektifikatrix schneidet auf dem aufzuwickelnden
Bogen die gesuchte Länge ab. Die gestreckte Länge ist an dem Maßstab der linken
Randleiste zu ersehen. Die Übertragung erfolgt in jedem Falle mit dem Stechzirkel.
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Ragt der abzuwickelnde Bogen über eine Rektifikatrix hinaus, so wird
das abgeschnittene Stückchen gleichfalls mit dem Stechzirkel übertragen.
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Zu 3: Liest man auf der Randleiste von 0 aus den Durchmesser 2 R
eines Kreises ab, so schneidet die durch seinen Endpunkt gehende Rektifikatrix auf
dem mittleren Strahl die Seite x = 1,'R2s eines Quadrates ab, das zu dem Kreis mit
Radius R flächengleich ist.
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Zu 4: Jeder Strahl durch 0 wird von den Rektifikatrizen in gleiche
Teile geteilt. Will man daher eine Strecke in beispielsweise sieben Teile teilen,
so lege man den Rektifikator mit dem Punkt 0 auf deren einen Endpunkt und drehe
so lange, bis durch den anderen Endpunkt gerade die siebente Rektifikatrix geht.
Dann wird die Strecke durch die dazwischenliegenden sechs Rektifikatrizen in sieben
gleiche Teile geteilt.
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Aus der (rleichung der Rektifikatrix und ihrer zeichnerischen Darstellung
folgt, wie schon erwähnt, daß alle Rektifikatrizen einander ähnlich sind. Damit
ergibt sich die Möglichkeit, mit Hilfe einer einzigen festen Rektifikatrix sämtliche
Kreisbögen aufzuwickein und zu strecken. Eine solche feste Rektifikatrix ist die
Rektifikatrix F (Fig. 2). Sie erlaubt die unmittelbare Aufwicklung und Streckung
von Kreisbögen untereinander und auf eine Gerade von b cm (in der Zeichnung 10 cm)
Länge.
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Eine einfache Ähnlichkeitskonstruktion vermittelt aus ihr die Streckung
und Aufwicklung beliebiger Bögen. Fig. 2 zeigt im linken Teil die Abwicklung eines
Kreisbogens in eine Strecke und im rechten Teil die Aufwicklung dieser Strecke auf
einen anderen Kreisbogen.
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Erklärung: Sei K1, der Kreis, der den abzuwickelnden Bogen von der
Länge b' trägt, so entspricht ihm in der im Verhältnis b/b' vergrößert zu denkenden
festen Rektifikatrix F ein Kreis K1. Die Endpunkte beider Kreisbögen liegen aus
Ähnlichkeitsgründen auf einer Geraden 0 E1'E1. Von dieser Geraden sind die Punkte
0 und E1, bekannt, damit erhält man auch E1 als Schnitt von 0 E1' mit F. Verbindet
man dann E1 mit S, so liefert die Parallele dazu durch E1,, mit 0 S geschnitten,
nach dem Vierstreckensatz den ScheitelS' und damit die Abwicklung des Kreisbogens
0 E,' in OS'.
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Bei der Aufwicklung einer Strecke b' auf einen Kreis K2, (rechter
Teil von Fig. 2) muß man zunächst den Kreis K2 konstruieren, der zu K11 im Verhältnis
bib' ähnlich vergrößert ist. Ist M2' der Mittelpunkt vonK so findet man den Mittelpunkt
M2 von K2 nach dem Vierstreckensatz, nämlich es ist S M2 parallel zu M2'.
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K2 schneidet die feste Rektifikatrix in E2. Die Verbindungslinie 0
E2 liefert in Erden Endpunkt des gesuchten Bogens 0 E2' von der Längeb'. Probe:
S'E2'#S E2.
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Die geschiderten Konstruktionen geben gleichzeitig ein Bild, wie
man einen Kreisbogen auf einen von anderem Radius aufwickelt. Sie brauchen nur nacheinander
ausgeführt zu werden. Jedoch erspart man sich das Ziehen von zwei Parallelenpaaren
E15 S 11 E1' 5,' und S M2# S' M21. Man kann statt dessen gleich E1 M2 zip F1, M2'
zeichen.