DE69903573T2

DE69903573T2 - Gerät und Verfahren zur genauen Messung von Impedanzen

Info

Publication number: DE69903573T2
Application number: DE1999603573
Authority: DE
Inventors: Akira Yukawa
Original assignee: NEC Corp
Current assignee: NEC Electronics Corp
Priority date: 1999-12-10
Filing date: 1999-12-10
Publication date: 2003-08-14
Anticipated expiration: 2019-12-11
Also published as: DE69903573D1; EP1115002A1; EP1115002B1

Description

Erfindungsgebiet

Die vorliegende Erfindung betrifft eine Messung von Impedanz und insbesondere eine Vorrichtung zum Messen von Impedanz und ein dabei verwendetes Verfahren.

Beschreibung des Standes der Technik

In der folgenden Beschreibung bedeutet der Begriff "Impedanz" den Absolutwert der Impedanz einer elektrischen Schaltung, einen Wert des realen Teils, einen Wert des imaginären Teils und das Verhältnis zwischen beiden. Ein typisches Beispiel ist in der veröffentlichten, ungepr ften japanischen Patentanmeldung Nr. 61-266965 offenbart.
Fig. 1 zeigt die Vorrichtung gemäß dem Stand der Technik zum Messen der Impedanz. Obwohl sich die Bezugsziffern unterscheiden, entspricht die Fig. 1 der Fig. 1, die in der japanischen Patentveröffentlichung der ungeprüften Anmeldung offenbart ist.
Die Vorrichtung gemäß dem Stand der Technik misst die Impedanz einer Zielschaltung 100. Von der Zielschaltung 100 wird angenommen, dass sie ein kapazitives Element ist und eine Admittanz Y hat, die ausgedrückt ist als Y = G +jB, wobei G eine Konduktanz und B eine Suszeptanz ist. Die Vorrichtung gemäß dem Stand der Technik hat eine Wechselstromquelle 102, einen Strom-Spannungs-Wandler 103, einen Phasendiskriminator 104, einen Phasenschieber 105, einen Phasendiskriminator 106, einen Komparator 107, eine Schalteinheit 108 und einen Analog-Digital-Wandler 110. Die Wechselstromquelle 102 legt an die Zielschaltung eine Spannung e an und aus der Zielschaltung 100 fliesst ein Strom ig in den Strom-Spannungs-Wandler 103. Die fliesst ein Strom ig in den Strom-Spannungs-Wandler 103. Die Strommenge wird durch e(G + jB) ausgedrückt. Der Strom-Spannungs-Wandler 103 wandelt den Strom ig in eine Ausgangsspannung ey um und die Ausgangsspannung ey ist gleich R · ig. Die Ausgangsspannung ey wird an die Phasendiskriminatoren 104 und 106 angelegt.
Der Phasendiskriminator 104 multipliziert die Spannung ey mit der Ausgangsspannung e der Wechselstromquelle 102 und extrahiert die Gleichstromkomponente. Der Phasendiskriminator 104 gibt proportional zur Konduktanz G eine Gleichspannung ea aus. Andererseits multipliziert der andere Phasendiskriminator 106 die Spannung ey mit der Ausgangsspannung des Phasenschiebers 105. Der Phasenschieber 105 wird mit der Spannung e der Wechselstromquelle 102 gespeist und führt zwischen der Spannung e und der Ausgangsspannung einen Phasennachlauf von 90º ein. Aus diesem Grund gibt der Phasendiskriminator 106 eine Gleichspannung eb aus, die proportional zur Suszeptanz B ist.
Die Schalteinheit 108 hat zwei Eingangsknoten 109a und 109b. Die Gleichspannung ea wird an den Eingangsanschluss 109a angelegt und die andere Gleichspannung eb wird an den anderen Eingangsanschluss 109b angelegt. Die Schalteinheit 108 leitet die Gleichspannungen ea und eb selektiv zu dem Analog-Digital-Wandler 110 und der Analog- Digital-Wandler 110 wandelt die Gleichspannungen ea/eb in ein digitales Signal um.
Die Messvorrichtung gemäß dem Stand der Technik hat ferner einen Mikrocomputer 111, einen Wechselspannungs-Gleichspannungs-Wandler 112, einen Analog-/Digital- Wandler 113 und Anzeigeeinheiten 114a/114b. Die Ausgangsspannung ey wird dem Wechselspannungs-/Gleichspannungs-Wandler 112 zugeführt und der Wechselspannungs-Gleichspannungs-Wandler 112 erzeugt aus der Ausgangsspannung ey eine Gleichspannung. Die Gleichspannung ist proportional zum Absolutwert der Admittanz Y. Die Gleichspannung wird dem Analog/Digital-Wandler 113 zugeführt und in ein digitales Signal umgewandelt.
Die Analog/Digital-Wandler 110 und 113 sind an den Mikrocomputer 111 angeschlossen. Der Mikrocomputer 111 berechnet die Konduktanz G und die Suszeptanz B auf der Basis des digitalen Signals, das von dem Analog/Digital-Wandler 110 zugeführt worden ist und die Vorzeigevorrichtungen 114a/114b zeigen die Konduktanz G bzw. die Suszeptanz B an. Der Mikrocomputer berechnet den Absolutwert der Admittanz auf der Basis des digitalen Signals, das von dem Analog-/Digital-Wandler 113 zugeführt worden ist.
Der Wandler 107 verhält sich wie folgt. Die Gleichspannung ea wird mit der Gleichspannung eb verglichen. Wenn die Admittanz Y sehr viel größer als die Konduktanz G ist, d. h. Y > > G, wird die Suszeptanz B wie folgt ausgedrückt:
B = Y
Aus diesem Grund ignoriert der Mikrocomputer 111 das digitale Signal, das aus der Spannung eb umgewandelt worden ist und berechnet die Suszeptanz B auf der Basis des digitalen Signals, das von dem Analog/Digital-Wandler 113 zugeführt worden ist.
Wenn andererseits die Admittanz Y sehr viel größer als die Suszpetanz B ist, d. h. Y > > B, dann wird die Konduktanz G wie folgt ausgedrückt:
G = Y
Aus diesem Grund ignoriert der Mikrocomputer 111 das digitale Signal, welches aus der Gleichspannung ea umgewandelt worden ist, und berechnet die Konduktanz G auf der Basis des digitalen Signals, das von dem Analog/Digital-Wandler 113 zugeführt worden ist. Dies ist deshalb der Fall, weil der Wechselspannungs-Gleichspannungs-Wandler 112 sehr viel genauer als die Phasendiskriminatoren 104/106 ist. In der Tat ist der Fehler, der durch die Phasendiskriminatoren 104/106 eingeführt wird, in der Größenord nung von 0,1 bis 0,2%. Andererseits ist der Fehler, der durch den Wechselspannungs- Gleichspannungs-Wandler 112 eingeführt wird in der Größenordnung von 0,01%. Somit gibt der Mikrocomputer 111 dem digitalen Signal, das von dem Wechselspannungs- Gleichspannungs-Wandler 112 über den Analog/Digital-Wandler 113 zugeführt worden ist, Priorität und erhöht die Genauigkeit.
Die ungeprüfte japanische Patentveröffentlichung offenbart weiterhin eine Vorrichtung zum Messen einer Impedanz eines induktiven Elementes. Der Widerstand R, die Reaktanz X und die Impedanz Z werden auf ähnliche Art und Weise wie vorstehend beschrieben, gemessen. Der Mikrocomputer gibt ebenfalls dem digitalen Signal, das aus der Gleichspannung, welche für die Impedanz Z repräsentativ ist, umgewandelt worden ist, die Priorität und berechnet den Widerstand R oder die Reaktanz X auf der Basis des digitalen Signals unter der Bedingung Z > > Y oder Z > > R.
Obwohl die Priorität, die dem Wechselspannungs-/Gleichspannungswandler 112 verliehen wird, die Genauigkeit der Messung ziemlich verbessert, das heisst entweder der Konduktanz oder der Suszeptanz unter den Bedingungen von Y > > G oder Y > > B, enthält die Messung immer noch die Suszeptanz oder Konduktanz, die auf der Basis des digitalen Signals, welches durch Umwandeln der Gleichspannung eb oder ea erhalten worden ist, berechnet worden ist. Wenn die Admittanz Y nicht sehr viel größer als die Konduktanz G und die Suszeptanz B ist, werden sowohl die Konduktanz G als auch die Suszeptanz B auf der Basis der digitalen Signale berechnet, die durch Umwandeln der Gleichspannungen ea und eb erhalten worden sind. Somit hat die Vorrichtung gemäß dem Stand der Technik immer noch ein Problem bei der Genauigkeit der Messung. Dies ist das erste Problem, welches der Vorrichtung gemäß dem Stand der Technik inhärent ist.
Das zweite Problem ist ein Rauschproblem infolge der Gleichstrom-Offset-Spannung in den Phasendiskriminatoren 104/106. Die Vorrichtung gemäß dem Stand der Technik ist an verschiedene Arten von elektrischen Schaltungen 105 angeschlossen und die Phasen diskriminatoren 104 und 106 erfordern für den dynamischen Bereich eine Gleichstromverstärkung. Die Gleichspannungen ea und eb enthalten die Gleichstrom-Offset-Spannung und die Gleichstrom-Offset-Spannung wird über die Analog-/Digital-Wandlung auf das digitale Signal übertragen. Somit enthält das digitale Signal die Rauschkomponente und die Rauschkomponente verschlechtert die Messung. Dies ist das zweite Problem, das der Vorrichtung gemäß dem Stand der Technik inhärent ist.
Das dritte Problem ist der Phasenschieber 105. Obwohl der Phasenschieber 105 einen Phasennachlauf von 90º als Ziel hat, kann der Phasenschieber die Ausgangsspannung e nicht immer um 90º verschieben. Das heißt, dass die analoge Multiplikation nicht exakt ist.
Dieselben Probleme treten in der Vorrichtung gemäß dem Stand der Technik auf, die für ein induktives Element verwendet wird.
Die EP-A-0271849 zeigt eine Vorrichtung zum Messen einer Impedanz eines Gegenstandes gemäß dem Oberbegriff des Patentanspruches 1 und 15.
Die EP-A-0417708 zeigt eine Vorrichtung zum Messen einer Impedanz- und Übertragungscharakteristik, die Sinus- und Kosinusdaten unter Verwendung von Daten, die durch Akkumulieren eines konstanten Phasenwertes synchron mit einem Taktsignal erhalten worden sind, erzeugt.

Zusammenfassung der Erfindung

Es ist daher eine wichtige Aufgabe der vorliegenden Erfindung, eine Vorrichtung zum genauen Messen einer Impedanz zu schaffen.
Es ist ebenfalls eine wichtige Aufgabe der vorliegenden Erfindung, ein Verfahren zum genauen Messen einer Impedanz zu schaffen.
Diese Aufgaben werden durch die Merkmale der Patentansprüche 1 und 15 gelöst.
Vorteilhafte Ausführungsformen sind in den Unteransprüchen gezeigt.

Kurze Beschreibung der Figuren

Die Merkmale und Vorteile der Messvorrichtung und des Verfahrens werden durch die folgende Beschreibung anhand der begleitenden Figuren klarer verständlich, in welchen zeigt:
Fig. 1 ein Blockschaltbild der Schaltungskonfiguration der Messvorrichtung gemäß dem Stand der Technik, wie sie in der ungeprüften veröffentlichten japanischen Patentanmeldung Nr. 61-266965 offenbart ist;
Fig. 2 ein Blockschaltbild der Schaltungskonfiguration einer Messvorrichtung gemäß der vorliegenden Erfindung;
Fig. 3 eine graphische Darstellung der Beziehung zwischen einer normalisierten Winkelfrequenz und einem Verstärkungsfaktor;
Fig. 4 ein Blockschaltbild der Schaltungskonfiguration einer weiteren Messvorrichtung gemäß der vorliegenden Erfindung;
Fig. 5 ein Blockschaltbild der Schaltungskonfiguration einer weiteren Messvorrichtung gemäß der vorliegenden Erfindung; und
Fig. 6 ein Blockschaltbild der Schaltungskonfiguration einer weiteren Messvorrichtung gemäß der vorliegenden Erfindung.
Beschreibung der bevorzugten Ausführungsformen.

Erste Ausführungsform

Bezugnehmend auf die Fig. 2 der Zeichnungen hat eine Messvorrichtung, die die vorliegende Erfindung verkörpert, einen Festspeicher 1, einen Digita-/Analog-Wandler 2, einen Spannungs-/Strom-Wandler 3, einen Analog-/Digital-Wandler 4, einen Multiplizierer 5, einen Akkumulator 6, Register 7 und 8, einen Mikrocomputer 9 und eine Steuerung 10. Zwischen die Messvorrichtung und Masse ist ein Gegenstand 11 geschaltet und es soll die Impedanz des Gegenstandes 11 gemessen werden.
Der Festspeicher 1 speichert Einzelwerte, die ein Viertel einer Sinuswelle repräsentieren, und die einzelnen Werte sind in Zeittermen gespeichert. Die Sinuswelle hat eine Winkelfrequenz ω0. Die Einzelwerte werden wiederholt aus dem Festspeicher 1 gelesen und über den Digital-/Analog-Wandler 2 dem Spannungs-/Strom-Wandler 3 zugeführt. Aus den Einzelwerten wird ein Wechselstrom erzeugt und der Wechselstrom fliesst in den Gegenstand 11. Der Wechselstrom wird in eine Wechselspannung umgewandelt und der Analog-/Digitalwandler 4 digitalisiert die Wechselspannung. Der Mikrocomputer 9 berechnet die Impedanz des Gegenstandes 11 bei der Winkelfrequenz ω0 auf der Basis des digitalen Datensignals, welches die Wechselspannung repräsentiert, und der Einzelwerte.
Die Steuerung 10 überwacht den Festspeicher 1, den Multiplizierer 5 und den Akkumulator 6. Im Einzelnen liest die Steuerung 10 die Einzelwerte aus dem Festspeicher 1 aus. Wie vorstehend beschrieben repräsentieren die Einzelwerte das Viertel der Sinuswelle und die Steuerung 10 adressiert sequentiell die Speicherorte wie folgt. Als erstes liest die Steuerung 10 sequentiell die Einzelwerte in regulärer Reihenfolge aus und danach liest sie sie umgekehrt aus. Darauffolgend instruiert die Steuerung 10 den Festspeicher 1, um die Polarität der Einzelwerte zu invertieren und liest die Einzelwerte in regulärer Reihenfolge aus. Zum Schluss liest die Steuerung 10 die in ihrer Polarität invertierten Einzelwerte umgekehrt aus. Dann wird aus den Einzelwerten die Sinuswelle erzeugt.
Ferner wird aus den Einzelwerten eine Kosinuswelle erzeugt. Die Steuerung 10 wiederholt das Erzeugen der Sinuswelle und das Erzeugen der Kosinuswelle nach Art einer Zeitverschachtelung. Als erstes liest die Steuerung 10 die Einzelwerte umgekehrt aus. Die Steuerung 10 instruiert den Festspeicher 10, die Polarität der Einzelwerte zu invertieren und liest die Einzelwerte mit invertierter Polarität in der regulären Reihenfolge. Darauffolgend liest die Steuerung 10 die Einzelwerte mit invertierter Polariät umgekehrt aus. Zum Schluss liest die Steuerung 10 die Einzelwerte in der regulären Reihenfolge ohne Polaritätsinversion aus. Die Kosinuswelle unterscheidet sich von der Sinuswelle bezüglich ihrer Phase um 90º.
Der Digital-/Analog-Wandler 2 wandelt die Reihe der Einzelwerte, welche für die Sinuswelle oder Kosinuswelle repräsentativ sind, in ein analoges Signal um. Das analoge Signal variiert den Spannungspegel und wird dem Spannungs-/Strom-Wandler 3 zugeführt. Der Spannungs-/Strom-Wandler 3 erzeugt aus dem analogen Spannungssignal den Wechselstrom und leitet diesen zum Gegenstand 11. Der Spannungs-/Strom-Wandler 3 kann durch einen Operationsverstärker wie in der Fig. 1 gezeigt, implementiert sein.
Wenn der Wechselstrom in den Gegenstand 11 fliesst, wird die Größe des Wechselstroms mit der Impedanz des Gegenstandes 11 multipliziert. Das Produkt wird durch eine Wechselspannung repräsentiert. Die Wechselspannung ist für die Sinus welle und die Kosinuswelle nach Art einer Zeitverschachtelung repräsentativ. Die Wechselspannung wird dem Analog-/Digital-Wandler 4 zugeführt und in das digitale Signal umgewandelt. Das digitale Signal wird dem Multiplizierer 5 zugeführt.
Der Multiplizierer 5 multipliziert das digitale Signal mit dem Einzelwert, der für einen Teil der Sinuswelle repräsentativ ist. Der Multiplizierer 5 multipliziert ferner das digitale Signal mit dem Einzelwert, der einen Teil der Kosinuswelle repräsentiert. Die in dem Festspeicher 1 gespeicherten Einzelwerte repräsentieren auch das Viertel der Sinuswelle mit einer Winkelfrequenz von nur ω0. Die Signalverarbeitung von der Digital-/Analog- Wandlung bis zu der Analog-/Digital-Wandlung führt jedoch das Quantisierungsrauschen und externes Rauschen in das digitale Signal ein. Aus diesem Grund repräsentiert das digitale Signal eine Sinuswelle einer Kosinuswelle, die beide verschiedene Winkel frequenzen ω zusammen mit der Winkelfrequenz ω0 haben. Als erstes wird jedoch das Prinzip der Messung gemäß der vorliegenden Erfindung unter der Annahme beschrieben, dass das digitale Signal die Sinuswelle und die Kosinuswelle bei einer Winkelfrequenz ω0 repräsentiert, ohne dass die Differenzen zwischen Gleichstrom und Wechselstrom berücksichtigt werden.
Es wird nun davon ausgegangen, dass die Sinuswelle sinω0 t den Wechselstrom repräsentiert, die Impedanz des Gegenstandes 11 den Wechselstrom beeinflusst und die Antwortfunktionen die Sinuswelle sinω0 t infolge des realen Teils der Impedanz und die Kosinuswelle cosω0 t infolge des imaginären Teils der Impedanz sind. Wie vorstehend beschrieben multipliziert der Multiplizierer 5 das digitale Signal mit den Einzelwerten, welche die Sinuswelle sinω0 t und die Kosinuswelle cosω0 t zu unterschiedlichen Zeitpunkten repräsentieren. Wenn der Multiplizierer 5 die Werte der Sinuswelle sinω0 und die Werte der Kosinuswelle cosω0 mit den Einzelwerten, welche die Sinuswelle sinω0 t repräsentieren, multipliziert, bewirkt der reale Teil der Impedanz, dass das Produkt sin²ω0t = 1/2 (1 - cos2ω0 t) enthält, und der imaginäre Teil der Impedanz bewirkt, dass das Produkt sinω0 t · cosω0 t = 1/2 sin2ω0 t enthält. Die Wechselstromkomponenten cos2ω0 und sin2ω0 t werden von dem Produkt subtrahiert, ein digitales Signal, welches die Differenz repräsentiert, hat einen Wert proportional zu dem realen Teil.
Wenn andererseits der Multiplizierer 5 die Werte auf der Sinuswelle sinω0 und die Werte auf der Kosinuswelle cosω0 mit den einzelnen Werten, welche die Kosinuswelle cosω0 t repräsentieren, multipliziert, bewirkt der reale Teil der Impedanz, dass das Produkt cosω0 t · sinω0 t = 1/2 sin2ω0 t enthält, und der imaginäre Teil der Impedanz bewirkt, dass das Produkt cosω0 t · cosω0 t = 1/2 (1 + cos2ω0 t) enthält. Nach der Eliminierung der Wechselstromkomponente ist das digitale Signal proportional zum imaginären Teil der Impedanz.
Der Akkumulator 6 eliminiert die Wechselstromkomponenten aus dem digitalen Signal, das für die Produkte repräsentativ ist. Der Akkumulator 6 addiert sukzessive die Produkte über mehrere Perioden. Wenn das digitale Signal, das von dem Analog-/Digital-Wandler 4 zugeführt wird, nicht das Quantisierungsrauschen und externes Rauschen enhält, sind die Wechselstromkomponenten nur sin2ω0 t und cos2ω0 t und die Wechselstromkomponenten sind aus dem digitalen Signal durch die Akkumulation über eine Periode eliminiert. Das digitale Signal, welches dem Multiplizierer 5 zugeführt wird, enthält jedoch unvermeidbar das Quantisierungsrauschen und das externe Rauschen. Um diese Rauschkomponenten und die Wechselstromkomponenten aus den Produkten zu eliminieren, akkumuliert der Akkumulator 6 die Produkte über 100 Perioden oder darüber. Die Ergebnisse der Akkumulation, eine Summe der Produkte und eine weitere Summe der Produkte werden separat den Registern 7 und 8 zugeführt und in diesen gespeichert. Register 7 und 8 sind einem Sinus-Term bzw. einem Kosinus-Term zugewiesen, wie dies später beschrieben wird.
Bei Beendigung der Akkumulation holt der Mikrocomputer 9 die digitalen Werte, die für die Summen der Produkte repräsentativ sind, aus den Registern 7 und 8. Der Mikrocomputer 9 bildet jeweils die Quadrate der Summen der Produkte und addiert die Quadrate einander. Der Mikrocomputer 9 bildet die Quadratwurzel aus der Summe. Die Quadratwurzel ist proportional zu dem Absolutwert der Impedanz. Der Mikrocomputer 9 bestimmt das Verhältnis der Summe, welches gleich dem Verhältnis von realem Teil zu imaginärem Teil ist, d. h. den Phasenwinkel tanθ.
Es wird angenommen, dass das digitale Signal vi, das dem Multiplizierer 5 zugeführt wird, durch Asin(ωt + φ) ausgedrückt ist. Wenn der Multiplizierer 5 die Multiplikation der digitalen Werte, welche für die Teile der Sinuswelle repräsentativ sind, mit den digitalen Werten, die für die Teile der Kosinuswelle repräsentativ sind, über n Perioden durchführt, speichert der Akkumulator 6 einen Sinus-Term Hs(ω) und einen Kosinus- Term Hc(ω) in den Registern 7 bzw. 8. Der Sinus-Term Hs(ω) und der Kosinus-Term Hc(ω), sind wie folgt ausgedrückt:
Hs(ω) = &sub0;2nπ/ω0vi sin(ω0t)dt
Hc(ω) = &sub0;2nπ/ω0vi cos(ω0t)dt]
Da der Term Hs(ω) erstens wie folgt berechnet ist:
Hs(ω) = &sub0;2nπ/ω0Aisin(ωt + ψ) sin(ω0t)dt = (Ai/2) &sub0;2nπ/ω0[cos{(ω - ω0)t + ψ} - cos{((ω - ω0)t + ψ}]dt
Wenn ω = ω0, dann ist der Sinus-Term Hs(ω) gegeben durch:
Hs(ω) = (Ai/2) &sub0;2nπ/ω0{cos(ψ) - cos(2ω0t + ψ)}dt = nπAi · cos(ψ)/ω0
Wenn andererseits ω ≠ ω0 ist, dann ist der Sinus-Term Hs(ω) gegeben durch:
Hs(ω) = (Ai/2)[[sin{(ω - ω0)t + ψ}/(ω - ω0)] - [sin{(ω + ω0)t + ψ}/(ω + ω0)]]&sub0;2nπ/ω0 = (Ai/2)[[sin{2nπ((ω/ω0) - 1) + ψ} - sin(ψ)]/(ω - ω0) - [sin{2nπ((ω/ω0) + 1) + ψ} - sin(ψ)]/(ω + ω0)]] = (Ai/2){sin{2n(ω/ω0)π + ψ} - sin(ψ)}{2ω0/(ω² - ω0²)] = 2Aicos{n(ω/ω0)π + ψ} sin{n(ω/ω0)π}{ω0/(ω² - ω0²)}
Der Kosinus-Term Hc(ω) ist wie folgt ausgedrückt:
HS(ω) = &sub0;2nπ/ω0Aisin(ωt + ψ)cos(ω0t)dt = (Ai/2) &sub0;2nπ/ω0[sin{(ω + ω0)t + ψ} + sin{((ω - ω0)t + ψ]dt
Wenn ω = ω0, dann ist der Sinus-Term Hc(ω) gegeben als:
Hc(ω) = (Ai/2) &sub0;2nπ/ω0{sin(2ω0t + ψ) + sin(ψ)}dt = nπAi · sin(ψ)/ω0
Wenn andererseits ω ≠ ω0 ist, ist der Kosinus-Term Hc(ω) gegeben als:
Hc(ω) = -(Ai/2)[[cos{((ω + ω0)t + ψ}/(ω + ω0)] + [cos{(ω - ω0)t + ψ}/(ω - ω0)]]&sub0;2nπ/ω0 = -(Ai/2)[[cos{2nπ((ω/ω0) + 1) + ψ} - cos(ψ)]/(ω + ω0) + [cos{2nπ((ω/ω0) - 1) + ψ} - cos(ψ)]/(ω - ω0)]] = -(Ai/2){cos{2n(ω/ω0)π + ψ} - cos(ψ)}[{1/(ω + ω0)] + {1/(ω-ω0)}] = 2 Aisin{n(ω/ω0)π + ψ} sin{n(ω/ω0)π}{ω0/(ω² - ω0²)}
Wenn ω = ω0, ist die Summe H(ω)² der Quadrate gegeben durch:
H(ω)² = (n²π²Ai²)/ω0² Gleichung 1
Wenn andererseits ω ≠ ω0, ist die Summ H(ω)² der Quadrate gegeben durch:
H(ω)² = 4Ai²sin²{n(ω/ω0)π}[{ω0²/(ω² - ω0²)²}cos²{n(ω/ω0)π + ψ} + {ω²/(ω² - ω0²)²}sin²{n(ω/ω0)π + ψ}] = 4Ai²sin²{n(ω/ω0)π}[{ω0²/(ω²- ω0²)²} + {1/(ω² - ω0²)} sin²{n(ω/ω0)π + ψ}] Gleichung 2
Der Erfinder der vorliegenden Erfindung hat die Summe H(ω)² m der Fig. 3 unter der Annahme aufgetragen, dass n = 32. Wenn die Winkelfrequenz ω zur Winkelfrequenz ω0 beabstandet ist, wird der Verstärkungsfaktor erhöht.
In der ersten Ausführungsform bilden der Festspeicher 1, die Steuerung 10, der Digital- /Analog-Wandler 2 und der Spannungs-/Strom-Wandler 3 als Ganzes einen periodischen Signalgenerator und der Analog-/Digital-Wandler 4 dient als ein digitaler Signalgenerator. Der Multiplizierer 5, die Steuerung 10, der Akkumulator 6, die Register 7 und 8 und der Mikrocomputer 9 bilden zusammen einen Datenprozessor.
Wie aus der vorstehenden Beschreibung zu ersehen ist, speichert die Messvorrichtung gemäß der vorliegenden Erfindung die Stücke der Dateninformation, welche für die Sinuswelle repräsentativ sind, in Form von digitalen Codes und wandelt die Wechselspannung in das digitale Signal um. Das heißt, dass die Impedanz durch die digitale Signalverarbeitung bestimmt wird. In das digitale Signal, das von dem Analog-/Digital- Wandler 4 zum Multiplizierer 5 geleitet wird, wird nur das Quantisierungsrauschen eingeleitet. Die einzelnen Werte werden in Form eines Digitalcodes gespeichert und werden direkt dem Multiplizierer 5 zugeführt. Das heißt, dass das digitale Signal infolge der Gleichstrom-Versatzspannung frei von einer Rauschkomponente ist. Wenn der Akkumulator 5 die Produkte für N Perioden der Sinuswelle akkumuliert, ist die Verbesserung der Auflösung mit 1/2 log&sub2; N gegeben. Wenn N 256 ist, ist die Auflösung um vier Bits verbessert. Somit ist die digitale Signalverarbeitung genauer als die analoge Signalverarbeitung und die Messvorrichtung erzielt eine höhere Auflösung als beim Stand der Technik.
Darüberhinaus extrahiert der Akkumulator 6 die Gleichstromkomponenten wie ein digitales Filter nach der Multiplikation. Das heisst, dass für das Eliminieren der Wechselstromkomponenten irgendein Tiefpassfilter erforderlich ist. In das Tiefpassfilter ist ein Kondensor eingebaut und das Tiefpassfilter ist für eine integrierte Schaltung unerwünscht. In den Akkumulator 6 ist kein Kondensor eingebaut und der Hersteller kann einfach die Komponenten 1 bis 10 auf einem Halbleiterchip integrieren.

Zweite Ausführungsform

Fig. 4 zeigt eine weitere Vorrichtung, welche die vorliegende Erfindung verkörpert. Der Messvorrichtung, welche die erste Ausführungsform implementiert, sind eine Mischvorrichtung 12, eine Rauschquelle 13 und Register 14 und 15 hinzugefügt und die übrigen Komponenten sind entsprechend den Komponenten der ersten Ausführungsform. Aus diesem Grund sind die anderen Komponenten mit Bezugsziffern bezeichnet, welche die entsprechenden Komponenten bezeichnen, ohne daß sie detailliert beschrieben werden. Das Register 14 ist den Einzelwerten, die für die Sinuswelle repräsentativ sind, zugeordnet und das andere Register 15 ist den Einzelwerten, welche für die Kosinuswelle repräsentativ sind, zugeordnet.
Wie vorstehend beschrieben, sind die Rauschkomponenten, die zwischen der Digital- /Analog-Wandlung bis zur Analog-Digital-Wandlung eingeleitet worden sind, aus dem Sinus-Term Hs(ω) und dem Kosinus-Term H(ω) durch Akkumulation der Produkte eliminiert worden. So lange jedoch die Steuerung 10 regelmäßig die Einzelwerte aus dem Festspeicher 1 herausliest, wird auch das Quantisierungsrauschen regelmäßig in das digitale Signal eingemischt, das dem Multiplizierer 5 zugeführt wird und wird durch die Akkumulation der Produkte kaum aus dem Sinus-Term Hs(ω) und dem Kosinus-Term H(ω) eliminiert. Die Rauschquelle 13 erzeugt irreguläre Rauschkomponenten und die Mischvorrichtung 12 leitet die irregulären Rauschkomponenten in das digitale Signal. Die irreguläre Rauschkomponente bricht die Regelmäßigkeit der Quantisierungs- Rauschkomponente und der Quantisierungsrauschkomponente und ermöglicht, dass der Akkumulator 6 die Rauschkomponenten aus dem Sinus-Term Hs(ω) und dem Kosinus- Term H(ω) eliminiert.
Die Register 14 und 15 speichern den Einzelwert, der für einen Teil der Sinuswelle repräsentativ ist und den Einzelwert, der für einen Teil der Kosinus-Welle repräsentativ ist, und leiten diese zum Multiplizierer 5. Die Register 14 und 15 vereinfachen die Steuerung für die Multiplikation. Selbstverständlich erzielt die Messvorrichtung, welche die zweite Ausführungsform implementiert, ebenfalls die Vorteile, die in Verbindung mit der ersten Ausführungsform beschrieben worden sind.
In der zweiten Ausführungsform bilden die Steuerung 10, der Digital-/Analog-Wandler 2 und der Spannungs-/Strom-Wandler 3 zusammen einen periodischen Signalgenerator, und der Analog-Digital-Wandler 4, die Rauschquelle 13 und die Mischvorrichtung 12 bilden in Kombination einen digitalen Signalgenerator. Der Multiplizierer 5, die Steuerung 10, der Akkumulator 6, die Register 7, 8, 14 und 15 und der Mikrocomputer 9 bilden zusammen einen Datenprozessor.

Dritte Ausführungsform

Fig. 5 zeigt eine weitere Messvorrichtung, welche die vorliegende Erfindung verkörpert. Die Register 7, 8, 14 und 15 sind durch Mehrfachregister 16/18, Mehrfachregister 17/19, Mehrfachregister 20/22 bzw. Mehrfachregister 21/23 ersetzt worden. Die anderen Komponenten entsprechen den anderen Komponenten der zweiten Ausführungsform und sind mit den gleichen Bezugsziffern ohne detaillierte Beschreibung bezeichnet.
Der Festspeicher 1 speichert mehrere Sätze von Einzelwerten, die für die verschiedenen Sinuswellen repräsentativ sind. Die Mehrfachregister 20 und 22 speichern Einzelwerte, die für eine Sinuswelle repräsentativ sind bei einer Winkelfrequenz f1 und Einzelwerte, die für eine andere Sinuswelle repräsentativ sind, bei einer Winkelfrequenz f2. Ähnlich speichern die Mehrfachregister 21 und 23 Einzelwerte, die für eine Kosinuswelle repräsentativ sind bei einer Winkelfrequenz f1 und Einzelwerte, die für eine andere Kosinuswelle repräsentativ sind, bei einer Winkelfrequenz f2. Andererseits speichern die Mehrfachregister 16 und 18 den Sinus-Term Hs(ω) bei einer Winkelfrequenz f1 und den Sinus-Term Hs(ω) bei einer Winkelfrequenz f2 und die Mehrfachregister 17 und 19 speichern den Kosinus-Term Hc(ω) bei der Winkelfrequenz f1 und den Kosinus-Term Hc(ω) bei der Winkelfrequenz f2. Somit mißt die Vorrichtung, welche die dritte Ausführungsform implementiert, die Impedanz bei unterschiedlichen Frequenzen f1 und f2. Dieses Merkmal ist wünschenswert, weil die Impedanz in Abhängigkeit von der Winkelfrequenz unterschiedliche Werte einnimmt. Durch die Verwendung der Messvorrichtung, welche die dritte Ausführungsform implementiert, misst der Benutzer die Impedanz bei unterschiedlichen Winkelfrequenzen f1 und f2. Die Messvorrichtung, welche die dritte Ausführungsform implementiert, erzielt alle Vorteile, die in Verbindung mit der ersten Ausführungsform beschrieben worden sind.

Vierte Ausführungsform

Fig. 6 illustriert eine weitere Messvorrichtung, welche die vorliegende Erfindung verkörpert. Der Spannungs-/Strom-Wandler 3 ist durch einen Spannungsfolger 24 ersetzt worden. Ein Widerstand 25 und ein Wechselstromverstärker 26 sind der Schaltungskonfiguration hinzugefügt. Der Widerstand 25 hat einen Widerstand, der sehr viel kleiner als der Absolutwert der Impedanz des Gegenstandes 11 ist. Der Widerstand 25 ist zwischen den Gegenstand 11 und Masse geschaltet und die zwei Eingangsknoten des Wechselstromverstärkers 26 sind jeweils an die beiden Enden des Widerstandes 25 angeschlossen. In den ersten, zweiten und dritten Ausführungsformen wird von dem Spannungs-/Strom-Wandler 3 dem Gegenstand 11 Wechselstrom zugeführt und in die Wechselspannung umgewandelt. Die vorliegende Erfindung ist jedoch niemals auf den Wechselstrom begrenzt. Bei der vierten Ausführungsform legt der Spannungsfolger 24 eine Wechselspannung an den Gegenstand 11 an. Der Widerstand 25 erzeugt einen extrem kleinen Spannungsabfall und der extrem kleine Spannungsabfall wird durch den Wech selstromverstärker 26 verstärkt. Die anderen Merkmale sind ähnlich wie bei der ersten Ausführungsform und es folgt im folgenden keine weitere Beschreibung. Die Messvorrichtung, welche die vierte Ausführungsform implementiert, erzielt alle Vorteile, die in Verbindung mit der ersten Ausführungsform beschrieben worden sind.
In der vierten Ausführungsform bilden der Festspeicher 1, die Steuerung 10, der Digital- /Analog-Wandler 2 und der Spannungsfolger 24 zusammen einen periodischen Signalgenerator. Der Widerstand 25, der Gleichstromverstärker 26 und der Analog-Digital- Wandler 4 bilden in Kombination einen Digitalsignalgenerator. Der Multiplizierer 5, die Steuerung 10, der Akkumulator 6, die Register 7 und 8 und der Mikrocomputer 9 bilden als Ganzes einen Datenprozessor.

Verfahren

Die Meßvorrichtung misst die Impedanz durch das folgende Verfahren. Das Verfahren wird unter Bezugnahme auf die Fig. 2 beschrieben. Der Festspeicher 1 speichert die Einzelwerte, welche ein Viertel der Sinuswelle repräsentieren. Die Einzelwerte werden in Form eines Digitalcodes gespeichert und werden auf dem Viertel der Sinuswelle in vorbestimmten Zeitintervallen aufgezeichnet. Die Steuerung 10 speichert ein Stück der Steuerungsdaten, das für die vorbestimmten Zeitintervalle repräsentativ ist und ein anderes Stück der Steuerungsdaten, das vorbestimmte Perioden repräseniert, für die Akkumulation.
Der Gegenstand 11 wird zwischen die Anschlüsse T1 und T2 der Messvorrichtung geschaltet. Die Messvorrichtung wird elektrisch gespeist. Dann liest die Steuerung 10 die Einzelwerte in vorbestimmten Zeitintervallen aus und die Einzelwerte werden vom Festspeicher 1 zum Digital-Analog-Wandler 2 geleitet. Der Digital-Analog-Wandler 2 leitet das analoge Signal zum Spannungs-/Stromwandler 3 und der Spannungs-Strom- Wandler 3 leitet Wechselstrom zum Gegenstand 11. Als ein Ergebnis erscheint am Anschluß T1 die Wechselspannung und wird dem Analog-/Digital-Wandler 4 zugeführt.
Der Analog-Digital-Wandler 4 leitet das digitale Signal zum Multiplizierer 5. Die digitalen Signale werden mit den einzelnen Werten, die für Teile der Sinuswelle repräsentativ sind, multipliziert und aufeinanderfolgend über vorbestimmte Zeitperioden durch den Akkumulator 6 addiert. Die Summe repräsentiert den Sinus-Term Hs(ω) und wird im Register 7 gespeichert. Darüberhinaus werden die digitalen Signale mit den Einzelwerten, die Teile der Kosinuswelle repräsentieren, multipliziert und werden sukzessive über die vorbestimmten Zeitperioden durch den Akkumulator 6 addiert. Die Summe repräsentiert den Kosinus-Term Hc(ω) und wird im Register 8 gespeichert.
Zum Schluß führt der Mikrocomputer 9 die Berechnungen an dem Sinus-Term Hs(ω) und dem Kosinus-Term Hc(ω) durch und bestimmt den Absolutwert der Impedanz, den Wert des realen Teils, den Wert des imaginären Teils und das Verhältnis zwischen realem Teil und imaginärem Teil.
Wie aus der vorstehenden Beschreibung zu entnehmen ist, führt die Messvorrichtung die digitale Datenverarbeitung durch, um die Werte der Impedanz zu bestimmen und verbessert die Auflösung der Messung und Genauigkeit der Werte.
Obwohl besondere Ausführungsformen der vorliegenden Erfindung gezeigt und beschrieben worden sind, ist für den Fachmann klar zu ersehen, dass verschiedene Änderungen und Modifikationen durchgeführt werden können, ohne daß vom Sinn und Umfang der vorliegenden Erfindung abgewichen wird.
Beispielsweise kann der Festspeicher Einzelwerte speichern, die einen Teil der Kosinuswelle repräsentieren. Bei diesem Beispiel erzeugt die Steuerung 10 eine Sinuswelle zusammen mit der Kosinuswelle.
An den Mikrocomputer 9 kann eine Anzeigevorrichtung oder ein Indikator angeschlossen sein, um die Impedanz zu zeigen.

Claims

1. Vorrichtung zum Messen der Impedanz eines Gegenstandes (11), mit:

einem Port, der mit dem Gegenstand (11) verbunden ist;

einem periodischen Signalgenerator (1/2/3/10; 1/2/3/10; 1/2/10/24), der mit dem Port verbunden ist, und der dem Gegenstand (11) durch den Port ein erstes Analogsignal, das periodisch variiert, zuführt, um ein zweites Analogsignal, welches infolge der Impedanz variiert, zu erzeugen,

einem digitalen Signalgenerator (4; 4/12/13; 4/25/26), der aus dem zweiten Analogsignal ein zweites Digitalsignal erzeugt, und

einem Datenprozessor (5/6/7/8/9; 6/7/8/9/14/15; 5/6/9/16/17/18/19/20/21/22/23), der mit dem periodischen Signalgenerator und dem Digitalsignalgenerator verbunden ist, und mit dem ersten Digitalsignal und dem zweiten Digitalsignal gespeist wird, um die Impedanz zu bestimmen,

dadurch gekennzeichnet, daß

das erste Digitalsignal eine Reihe von diskreten Werten einer Sinuswelle und eine weitere Reihe von diskreten Werten einer Cosinuswelle mit einem Phasenunterschied von 90º, repräsentiert, und daß

das zweite Digitalsignal eine erste Reihe von binären Werten bezogen auf einen realen Teil der Impedanz und eine zweite Reihe von binären Werten bezogen auf einen imaginären Teil der Impedanz repräsentiert.

2. Vorrichtung nach Anspruch 1,

wobei der periodische Signalgenerator aufweist:

einen Speicher (1) zum Speichern von Digitalcodes, die für einen Teil der Reihe von diskreten Werten repräsentativ sind,

eine Steuerung (10), die mit dem Speicher verbunden ist und wiederholt den Teil der Reihe von diskreten Werten in unterschiedlichen Reihenfolgen nach Art eines Zeitmultiplex-Betriebes ausliest, um das erste Digitalsignal zu erzeugen, und

einen Digital-/Analog-Wandler (2), der zwischen den Speicher und den Port geschaltet ist, um einen Wechselstrom zu erzeugen, der als das erste Analogsignal dient.

3. Vorrichtung nach Anspruch 2, wobei der Teil der Reihe von diskreten Werten ein Viertel der ersten periodischen Welle ist, und die Steuerung (10) den Teil der Reihe der diskreten Werte von einem Ende zu dem anderen Ende von dem anderen Ende zu dem einen Ende, von dem einen Ende zu dem anderen Ende nach einer Inversion der Polarität der diskreten Werte und von dem anderen Ende zu dem einen Ende unter der Inversion der Polarität herausliest.

4. Vorrichtung nach Anspruch 1,

wobei der periodische Signalgenerator aufweist:

einen Speicher (1) zum Speichern digitaler Codes, die für einen Teil der Reihe von diskreten Werten repräsentativ sind,

eine Steuerung (10), die mit dem Speicher verbunden ist und wiederholt den Teil der Reihe diskreter Werte in unterschiedlicher Reihenfolge nach Art eines Zeitmultiplex- Betriebes herausliest, um das erste Digitalsignal zu erzeugen,

einen Digital-/Analog-Wandler (2), der zwischen den Speicher zum Umwandeln des ersten digitalen Signals in ein Analogsignal geschaltet ist, und

einen Spannungsfolger (24), der zwischen den Digital-/Analog-Wandler und den Port geschaltet ist, um aus dem Analogsignal eine Wechselspannung zu erzeugen, die als das erste Analogsignal dient.

5. Vorrichtung nach Anspruch 4, wobei der Teil der Reihe von diskreten Werten ein Viertel der ersten periodischen Welle ist, und die Steuerung (10) den Teil der Reihe diskreter Werte von einem Ende zum anderen Ende, von dem anderen Ende zu dem einen Ende, von dem einen Ende zu dem anderen Ende nach einer Inversion der Polarität der diskreten Werte und von dem anderen Ende zu dem einen Ende unter der Inversion der Polarität liest.

6. Vorrichtung nach Anspruch 1, wobei der Digitalsignalgenerator einen Analog-/Digital-Wandler (4) aufweist, der zwischen den Port und den Datenprozessor geschaltet ist.

7. Vorrichtung nach Anspruch 6,

wobei der Digitalsignalgenerator weiterhin aufweist:

eine Rauschquelle (13) zum Erzeugen eines Rauschsignals, das für ein unregelmäßiges Rauschen repräsentativ ist, und

eine Mischstufe (12) deren erster Eingangsknoten mit dem Port verbunden ist, deren zweiter Eingangsknoten mit der Rauschquelle verbunden ist, und deren Ausgangsknoten mit dem Analog-/Digital-Wandler verbunden ist, um das zweite Analogsignal mit dem Rauschsignal zu mischen.

8. Vorrichtung nach Anspruch 6, wobei der Port einen Ausgangsknoten hat, der an den Gegenstand angeschlossen ist, und einen Eingangsknoten hat, der an den periodischen Signalgenerator angeschlossen ist, um eine Wechselspannung, die als das erste Analogsignal dient, dem Gegenstand zuzuführen, und der Digitalsignalgenerator ferner aufweist ein Widerstandselement (25), das zwischen den Ausgangsknoten des Ports und eine Konstantspannungsquelle geschaltet ist, um ein Spannungssignal zu erzeugen, das zwischen beiden Enden derselben variiert, einen Verstärker (26) mit Eingangsknoten, die an die jeweils beiden Enden angeschlossen sind, um die Größe des Spannungssignals zu erhöhen, und einem Ausgangsknoten, der mit dem Analog-/Digital-Wandler (4) verbunden ist.

9. Vorrichtung nach Anspruch 1,

wobei der Datenprozessor aufweist:

einen Multiplizierer (5), der mit dem periodischen Signalgenerator und dem Digitalsignalgenerator verbunden ist, um die erste Reihe von Binärwerten und die zweite Reihe von Binärwerten mit der Reihe von diskreten Werten und den anderen Reihen von diskreten Werten zu multiplizieren, um erste Produkte und zweite Produkte zu erzeugen,

einen Akkumulator (6), der mit dem Multiplizierer verbunden ist, und die ersten Produkte und die zweiten Produkte akkumuliert, um eine erste Produktsumme und eine zweite Produktsumme zu erzeugen,

einen ersten Datenspeicher (7/8; 16/17/18/19) zum Speichern der ersten Produktsumme und der zweiten Produktsumme, und

einen Computer (9), der mit dem ersten Datenspeicher verbunden ist, um die Impedanz auf der Basis der ersten Produktsumme und der zweiten Produktsumme zu bestimmen.

10. Vorrichtung nach Anspruch 9, wobei der Computer (9) die erste Produktsumme und die zweite Produktsumme zu einem ersten Quadrat bzw. einem zweiten Quadrat erhebt, die Summe des ersten Quadrates und des zweiten Quadrates berechnet und eine Quadratwurzel aus der Summe zieht, um die Impedanz zu bestimmen.

11. Vorrichtung nach Anspruch 9, wobei der Datenprozessor weiterhin einen zweiten Datenspeicher (14/15) zum Speichern der Reihe von diskreten Werten und der anderen Reihe von diskreten Werten aufweist.

12. Vorrichtung nach Anspruch 9, wobei der Akkumulator (6) die Akkumulation über vorbestimmte Perioden wiederholt, um Rauschkomponenten aus der ersten Produktsumme und der zweiten Produktsumme zu eliminieren.

13. Vorrichtung nach Anspruch 9, wobei die Reihe diskreter Werte jeweils mehrere Unterreihen diskreter Werte an der ersten periodischen Welle mit unterschiedlichen Frequenzen hat, und die andere Reihe diskreter Werte mehrere Unterreihen diskreter Werte an der zweiten periodischen Welle bei unterschiedlichen Frequenzen hat.

14. Vorrichtung nach Anspruch 13, wobei der Computer mehrere Werte der Impedanz bei den unterschiedlichen Frequenzen bestimmt.

15. Verfahren zum Messen einer Impedanz eines Gegenstandes mit den Schritten:

a) Erzeugen eines ersten Analogsignals aus einem ersten Digitalsignal;

b) Zuführen des ersten Analogsignals zu dem Gegenstand (11) zum Erzeugen eines zweiten Analogsignals, welches infolge der Impedanz variiert;

c) Umwandeln des zweiten Analogsignals in ein zweites Digitalsignal; und

d) Bestimmen der Impedanz durch eine Digitalverarbeitung an dem ersten Digitalsignal und dem zweiten Digitalsignal,

dadurch gekennzeichnet, daß

das erste Digitalsignal eine Reihe von diskreten Werten einer Sinuswelle und eine weitere Reihe von diskreten Werten an einer Cosinuswelle mit einem Phasenunterschied von 90º, repräsentiert, und daß

das zweite Digitalsignal eine erste Reihe von Binärwerten bezogen auf einen realen Teil der Impedanz und eine zweite Reihe von Binärwerten bezogen auf einen imaginären Teil der Impedanz, repräsentiert.

16. Verfahren nach Anspruch 15,

wobei der Schritt

b) die Unterschritte aufweist:

b-1) Zuführen des ersten Analogsignals zu dem Gegenstand (11) zum Erzeugen eines vorläufigen Analogsignals, das infolge der Impedanz variiert, und

b-2) Mischen eines Rauschsignals, das für ein unregelmäßiges Rauschen repräsentativ ist, mit dem vorläufigen Analogsignal zum Erzeugen des zweiten Analogsignals.

17. Verfahren nach Anspruch 15,

wobei das erste Digitalsignal eine Reihe von diskreten Werten an einer ersten periodischen Welle und eine weitere Reihe von diskreten Werten an einer zweiten periodischen Welle repräsentiert, und das zweite Digitalsignal eine erste Reihe von Binärwerten bezogen auf einen realen Teil der Impedanz und eine zweite Reihe von Binärwerten bezogen auf einen imaginären Teil der Impedanz repräsentiert, und

der Schritt d) die Unterschritte aufweist:

d-1) Multiplizieren der ersten Reihe von Binärwerten und der zweiten Reihe von Binärwerten mit der Reihe diskreter Werte und der weiteren Reihe von diskreten Werten zum Erzeugen erster Produkte und zweiter Produkte;

d-2) Akkumulieren der ersten Produkte und der zweiten Produkte, um eine erste Produktsumme und eine zweite Produktsumme zu erhalten,

d-3) Erheben der ersten Produktsumme und der zweiten Produktsumme zu einem ersten Quadrat und einem zweiten Quadrat,

d-4) Berechnen der Summe aus dem ersten Quadrat und dem zweiten Quadrat, und

d-5) Bilden der Quadratwurzel aus dieser Summe als Repräsentation eines absoluten Wertes proportional zu der Impedanz.