DE69430413T2

DE69430413T2 - Verfahren und Vorrichtung zur Lösung von Termen einer numerischen Folge

Info

Publication number: DE69430413T2
Application number: DE69430413T
Authority: DE
Inventors: Olivier L. Frank; Ann E. Phipps
Original assignee: Texas Instruments Inc
Current assignee: Texas Instruments Inc
Priority date: 1993-01-26
Filing date: 1994-01-26
Publication date: 2002-11-21
Anticipated expiration: 2014-01-27
Also published as: JPH076158A; US5377130A; EP0651338B1; EP0651338A1; DE69430413D1

Description

TECHNISCHES GEBIET DER ERFINDUNG

Diese Erfindung bezieht sich im allgemeinen auf das Gebiet der digitalen Computer und insbesondere auf ein Verfahren und eine Vorrichtung zum Auflösen nach den Termen von numerischen Folgen.

HINTERGRUND DER ERFINDUNG

In der heutigen technologischen Gesellschaft wird die höhere Mathematik den Studenten in einem früheren Alter als jemals zuvor gelehrt. Ein derartiges Konzept auf hohem Niveau ist das der numerischen Folgen. Eine numerische Folge ist eine Folge von numerischen Entitäten, die gemäß den natürlich geordneten ganzen Zahlen angeordnet ist, d. h. 1, 2, 3, .... Die numerischen Entitäten werden als "Terme" bezeichnet. Jeder Term wird im allgemeinen durch einen Termidentifizierer, wie z. B. "n", identifiziert. Der Termidentifizierer ist eine Variable, der eine natürliche Zahl zugeordnet sein kann, um einen speziellen Term zu identifizieren. Die Terme einer speziellen numerischen Folge werden z. B. durch "Un" dargestellt, wobei n der Termidentifizierer ist.
Wenn n = 3 gilt, stellt Ug den dritten Term der numerischen Folge Un dar. Wenn n nur einer endlichen Anzahl von Werten gleichen kann, ist die numerische Folge endlich. Wenn n einer unendlichen Anzahl von Werten gleichen kann, ist die numerische Folge unendlich.
Es ist eine typische Aufgabe, eine Lösung für einen speziellen Term einer numerischen Folge zu erzeugen. Die Terme einer numerischen Folge werden traditionell unter Verwendung einer vom Anwender programmierten Vorrichtung gelöst, wie z. B. einem Computer oder Rechner.
EP-A-0 444 847 offenbart ein Verfahren zum Betreiben eines Datenverarbeitungssystems, um die Werte von Rekursionsvariable in einer Menge von Gleichungen zu bestimmen, die eine lineare Rekursion irgendeiner Ordnung definieren. Bei diesem Verfahren wird Rechenzeit gespart, indem die Menge der Gleichungen in Gruppen aufeinanderfolgender Gleichungen unterteilt wird und für jede Gruppe temporäre oder parallele Werte der Rekursionsvariable mit denjenigen Rekursionsvariable bestimmt werden, die aus den Gleichungen in der nächsten vorangegangenen Gruppe abgeleitet werden, die null gesetzt sind.
Ein Problem ist, daß diese Vorrichtungen relativ teuer sind. Eine Folge dieser Kosten ist, daß wenige High-School-Studenten Zugang zu diesen Vorrichtungen besitzen.
Ein zweites Problem bei diesen vom Anwender programmierten Vorrichtungen ist, daß ein Programm geschrieben werden muß, um nach den Termen der numerischen Folge aufzulösen. Leider fehlt es vielen Studenten an den notwendigen Programmierkenntnissen, um ein derartiges Programm zu schreiben. Das meiste der Anfangszeit und der Anstrengungen eines Studenten wird deshalb verbraucht, um zu lernen, wie der Rechner zu programmieren ist. Dieser Zeitaufwand und die Anstrengungen ist dem Lernen des Studenten über das Konzept der numerischen Folgen abträglich.
Ein drittes Problem bei vielen vom Anwender programmierten Vorrichtungen ist, daß sie keine angemessene visuelle Anzeige bereitstellen. Ein Term oder eine Gruppe von Termen kann in einer Vielzahl von Formen dargestellt werden. Von diesen Formen enthalten die für die Lehre nützlichsten die mathematische Schreibweise und eine graphische Darstellung. Die vorhandenen programmierbaren Rechner setzen den Programmcode, der die Terme beschreibt, weder in eine mathematische Schreibweise noch in eine Form der graphischen Darstellung um.
Deshalb ist es eine Aufgabe der vorliegenden Erfindung, einen verbesserten Rechner zu schaffen, der einer Vielzahl von Studenten zugänglich ist, um Lösungen für die Terme einer numerischen Folge zu erzeugen. Diese Aufgabe wird durch das System des beigefügten unabhängigen Anspruchs 1 und das Verfahren des beigefügten unabhängigen Anspruchs 4 gelöst.

ZUSAMMENFASSUNG DER ERFINDUNG

Gemäß der vorliegenden Erfindung wird ein digitaler Computer zum Erzeugen einer Lösung geschaffen, die nach einem unbekannten Term eines mathematischen Ausdrucks einer numerischen Folge auflöst, die aus mehreren Termen gebildet ist. Der digitale Computer umfaßt eine Tastatur mit mehreren wahlweise betätigbaren Eingabetasten, die eine Eingabe aufnehmen, wobei die mehreren Eingabetasten wenigstens eine spezielle Eingabetaste enthalten, um numerische Folgendaten einzugeben; Speichermittel, die einen Nur-Lese-Speicher enthalten, der ein Programm zum Auflösen einer numerischen Folge mit mehreren Erkennungsschritten zum Erkennen eines Typs der numerischen Folge aus mehreren möglichen Typen der numerischen Folgen als Antwort auf die eingegebenen Folgendaten von den betätigten Eingabetasten der Tastatur und mehrere Lösungsbefehle zum Auflösen nach dem unbekannten Term besitzt; einen Prozessor, der mit der Tastatur und den Speichermitteln funktional verbunden ist, um die Daten von den Eingabetasten zu den Speichermitteln zu übertragen und um auf die Daten aus den Speichermitteln zuzugreifen, um die Erkennungsbefehle und die Lösungsbefehle auszuführen, die durch den Nur-Lese-Speicher der Speichermittel bereitgestellt werden, um eine Lösung zu erzeugen, die nach dem unbekannten Term auflöst; eine Anzeige, die mit dem Prozessor funktional verbunden ist, um die Lösung nach dem unbekannten Term anzuzeigen; und Eingabeaufforderungsmittel, die einen Anwender auffordern, die numerische Folge und Daten, die für die Erzeugung der Lösung erforderlich sind, einzugeben, wobei die Eingabeaufforderungsmittel Mittel zum Verändern des Typs der Eingabeaufforderung für den Anwender entsprechend dem Typ der numerischen Folge umfassen.
Es wird ferner ein computerbasiertes Verfahren zum Erzeugen einer Lösung geschaffen, die eine aus mehreren Termen gebildete numerische Folge nach einem unbekannten Term auflöst. Das Verfahren umfaßt die folgenden Schritte: Erfassen der Eingabe der Folgendaten, die einen mathematischen Ausdruck einer numerischen Folge darstellen, die aus mehreren Termen gebildet ist, in den Computer als Antwort auf einen Folgenaktivierungsschlüssel; Prüfen der erfaßten eingegebenen Folgendaten und Erkennen eines Typs einer numerischen Folge aus mehreren möglichen Typen numerischer Folgen auf der Grundlage der eingegebenen Folgendaten; Auffordern des Anwenders zum Eingeben von Termeingabedaten in Abhängigkeit davon, welcher Typ einer numerischen Folge erkannt worden ist, um einen unbekannten Term der numerischen Folge zu identifizieren, für die eine sie nach dem unbekannten Term auflösende Lösung geschaffen werden soll; und Erzeugen der Lösung, die nach dem unbekannten Term auflöst.
Er besitzt ein eingebautes Programm für das Auflösen numerischer Folgen und Mittel zum Empfangen der Eingangsdaten vom Anwender. Die gelösten Terme einer numerischen Folge können in mathematischer Schreibweise oder in der Form einer graphischen Darstellung angezeigt werden.

KURZBESCHREIBUNG DER ZEICHNUNG

Für ein vollständigeres Verständnis der vorliegenden Erfindung und ihrer Vorteile wird nun auf die folgende Beschreibung Bezug genommen, die im Zusammenhang mit der beigefügten Zeichnung gegeben wird, worin:
- Fig. 1 eine Vorderansicht eines Rechners ist, der ein spezielles Programm für das Erzeugen von Lösungen für die Terme einer numerischen Folge besitzt;
- Fig. 2 ein Ablaufplan ist, der den Prozeß des Eingebens der Terme einer numerischen Beispielfolge in der Form der mathematischen Schreibweise in den Speicher des Rechners nach Fig. 1 und des Anweisens des speziellen Programms, Lösungen für die Terme zu erzeugen, veranschaulicht;
- Fig. 3 eine alternative Ausführungsform des Rechners nach Fig. 1 zeigt;
- Fig. 4 die Prozedur für das Eingeben der Terme der numerischen Beispielfolge in der Form der mathematische Schreibweise in den Speicher des Rechners nach Fig. 3 veranschaulicht;
- Fig. 5 eine alternative Prozedur für das Eingeben der Terme der numerischen Beispielfolge in der Form der mathematischen Schreibweise in den Speicher des Rechners nach Fig. 3 veranschaulicht;
- Fig. 6 eine Prozedur für das Erzeugen einer Lösung eines gewünschten Terms der numerischen Beispielfolge unter Verwendung des Rechners nach Fig. 3 veranschaulicht;
- Fig. 7 eine alternative Prozedur für das Erzeugen einer Lösung eines gewünschten Terms der numerischen Beispielfolge unter Verwendung des Rechners nach Fig. 3 veranschaulicht;
- Fig. 8 eine Prozedur für das Erzeugen von Lösungen von einer Anzahl aufeinanderfolgender Terme der numerischen Beispielfolge unter Verwendung des Rechners nach Fig. 3 veranschaulicht;
- Fig. 9 eine Prozedur für das Prüfen der Konvergenz der Terme der numerischen Beispielfolge unter Verwendung des Rechners nach Fig. 3 veranschaulicht;
- Fig. 10 eine Prozedur für das Erzeugen der Terme der numerischen Beispielfolge in Form der graphischen Darstellung in zeitlicher Folge (n über Un) unter Verwendung des Rechners nach Fig. 3 veranschaulicht; und
- Fig. 11 eine Prozedur für das Erzeugen der Terme der numerischen Beispielfolge in Form der graphischen Darstellung als Netzdarstellung unter Verwendung des Rechners nach Fig. 3 veranschaulicht.

AUSFÜHRLICHE BESCHREIBUNG DER ERFINDUNG

Die bevorzugte Ausführungsform der vorliegenden Erfindung und ihre Vorteile werden am besten durch Bezugnahme auf die Fig. 1 bis 11 der Zeichnung verstanden, wobei gleiche Bezugszeichen für gleiche und entsprechende Teile der verschiedenen Zeichnungen verwendet werden.
Fig. 1 ist ein programmierbarer Rechner, der im allgemeinen mit 20 bezeichnet wird. Obwohl der Rechner 20 hierin als eine herkömmliche Rechenvorrichtung mit Festwertspeicher und speziellen Tasten beschrieben ist, könnte die hierin beschriebene Erfindung mit irgendeiner digitalen Rechnervorrichtung implementiert sein, die diese Merkmale besitzt. Der Rechner 20 besitzt einen Speicher 22 für das Speichern der Daten und für das Speichern der Programme, d. h. der Mengen der Prozessorbefehle, für das Manipulieren der Daten, das Ausführen der mathematischen Funktionen und das Erzeugen der Lösungen für die mathematischen Ausdrücke. Der Speicher 22 enthält einen Nur-Lese-Speicher (ROM) für das permanente Speichern dieser Programme.
Der Rechner 20 besitzt außerdem einen Prozessor 24 für das Ausführen der obenerwähnten Programme. Der Prozessor 24 enthält Mittel zum Empfangen der Eingabe und zum Erzeugen der Ausgabe, wie z. B. einen Decodierer bzw. einen Anzeigegenerator.
Der Rechner 20 enthält ferner eine Eingabevorrichtung 26 für das Eingeben der Daten in den Speicher 22 und für das Aktivieren der Programme. In dieser Ausführungsform liegt die Schnittstelle 26 in der Form einer Tastatur vor. Die Tasten werden gedrückt, um die mathematischen Ausdrücke einzugeben, die Programme zu aktivieren und um die Informationen einzugeben, die benötigt werden, um Lösungen für die mathematischen Ausdrücke zu erzeugen. Die Schnittstelle 26 stellt eine spezielle Auswahltaste bereit, die als "SEQU/EXIT" bezeichnet ist, um ein Programm zum Auflösen numerischer Folgen zu aktivieren. Sobald das Programm aktiviert ist, werden die Terme einer numerischen Folge in der Form der mathematischen Schreibweise unter Verwendung der Schnittstelle 26 eingegeben. Die in der Form der mathematischen Schreibweise eingegebenen Terme werden hierin als der "mathematische Ausdruck" der numerischen Folge bezeichnet. Sobald der mathematische Ausdruck eingegeben ist, wird die Schnittstelle 26 verwendet, um das Programm anzuweisen, die Lösungen für die Terme der numerischen Folge zu erzeugen. Die Anwenderschnittstelle 26 enthält außerdem andere Tasten, deren Funktionen im folgenden im Zusammenhang mit Fig. 2 erklärt werden.
Der Rechner 20 enthält ferner eine Anzeige 28 zum Anzeigen des mathematischen Ausdrucks der eingegebenen numerischen Folge und anderer Eingabedaten und außerdem programmerzeugter Eingabeaufforderungen und Lösungen der Terme der numerischen Folge. In dieser Ausführungsform ist die Anzeige 28 eine Flüssigkristallanzeige (LCD). Die Anzeige 28 zeigt außerdem die Lösungen der Terme der numerischen Folge an.

DIE NUMERISCHE FOLGE

Obwohl es verschiedene Typen numerischer Folgen gibt, werden der Einfachheit halber hier lediglich drei Typen erörtert. Ein Typ wird in der Form der mathematischen Schreibweise als Un = f(n) ausgedrückt, wobei die Lösung für den n-ten Term, Un, lediglich vom Wert des Termidentifizierers n abhängt. Ein zweiter Typ der numerischen Folge wird in der Form der mathematischen Schreibweise als Un = f(Un-1) ausgedrückt, wobei die Lösung für Un lediglich vom Wert des vorausgehenden Terms Un-1 abhängt. Der dritte Typ wird in der Form der mathematischen Schreibweise als Un = f(Un-1, n) ausgedrückt, wobei die Lösung für Un sowohl vom Wert von n als auch vom Wert von Un-1 abhängt.
Für den zweiten und dritten Typ der numerischen Folge, die gewöhnlich als "rekursive Folgen" bekannt sind, ist der Wert von U&sub0; als eine Anfangsbedingung gegeben, wobei die Lösung für U&sub1; aus U&sub0; erzeugt wird. Gleichermaßen wird die Lösung für jeden nachfolgenden Term der Folge aus dem Term erzeugt, der ihm vorangeht. Das heißt, die Lösung für Un-1 wird vor der Lösung von Un erzeugt. Falls z. B. die Lösung für den Term U&sub7; (den siebenten Term der Folge, d. h. n = 7) gewünscht wird, werden die Lösungen für die vorausgehenden sechs Terme (U&sub1;-U&sub6;) erzeugt, bevor U&sub7; gelöst wird. (Es wird daran erinnert, daß die Lösung für U&sub0; als Anfangsbedingung gegeben wurde.) Wie oben erörtert ist, erzeugt der Rechner 20 die Lösungen für diese vorausgehenden Terme, bevor er eine Lösung für den gewünschten Term erzeugt.

IM BETRIEB

In Fig. 1 besitzt in dieser Ausführungsform die Mehrzahl der Tasten der Schnittstelle 26 drei Ebenen, wobei jede Ebenen einer verschiedenen Funktion, die aufgerufen werden kann, oder einem Datenelement, das eingegeben werden kann, entspricht. Die "SEQU/EXIT"-Taste besitzt z. B. drei Ebenen, "EXIT", "SEQU" und "Un-i". Die erste Ebene ist im unteren Abschnitt der Taste, die zweite Ebene im oberen Abschnitt und die dritte Ebene über dem oberen Teil der Taste gedruckt. Folglich ist für die "SEQU/EXIT"-Taste "EXIT" die erste Ebene, "SEQU" ist die zweite Ebene, während "Un-1" die dritte Ebene ist.
Um die erste Ebene einer bestimmten Taste aufzurufen, wird die Taste allein gedrückt. Um z. B. die "EXIT"-Funktion aufzurufen, wird die "SEQU/EXIT"- Taste gedrückt. Um die zweite Ebene einer bestimmten Taste aufzurufen, wird zuerst die "2nd"-Taste gedrückt, wobei dann die bestimmte Taste gedrückt wird. Um z. B. die "SEQU"-Funktion aufzurufen, die das bestimmte Programm aktiviert, wird zuerst die "2nd"-Taste gedrückt, wobei dann die "SEQU/EXIT"-Taste gedrückt wird. Das Aufrufen der dritten Ebene einer bestimmten Taste erfordert, daß zuerst die "ALPHA"-Taste gedrückt wird, wobei dann die bestimmte Taste gedrückt wird. Um folglich die Variable "Un-1" in das bestimmte Programm einzugeben, wird zuerst die "ALPHA"-Taste und dann die "SEQU/EXIT"-Taste gedrückt.
Fig. 2 ist ein Ablaufplan, die die Schritte zum Erzeugen der Lösungen für die Terme einer bestimmten numerischen Folge veranschaulicht. Das Innere der Rechtecke und Rhomben zeigt, was bei irgendeinem gegebenen Schritt auf der Anzeige 28 angezeigt wird. Die eckigen Klammern stellen die Tasten dar, die gedrückt worden sind, um von einer Anzeige zur anderen zu gehen. Für die Klarheit ist lediglich diejenige Ebene der Taste, die aufgerufen wird, in den eckigen Tasten enthalten, wobei dann nur diese Ebene in der folgenden Erörterung erwähnt wird.
Die in Fig. 2 veranschaulichte spezielle Folge ist UQ = 0,5·(U-1 + 2/Un-1). Diese Folge ist vom zweiten Typ, wie oben erörtert ist, wobei sie für Beispielzwecke verwendet wird. Es ist selbstverständlich, daß die Terme der anderen Typen der Folgen gelöst werden, indem im allgemeinen den gleichen Schritten gefolgt wird. Der Rechner 20 analysiert den für die Folge eingegebenen mathematischen Ausdruck, um zu bestimmen, welche Typen von Termen in dem Ausdruck enthalten sind. Durch das Identifizieren der Typen der Terme im Ausdruck bestimmt der Rechner 20, welcher Typ der numerischen Folge eingegebenen ist, damit er den Anwender für die Eingabe zusätzlicher Daten richtig auffordern und die Folge lösen kann. Für den obigen Beispielausdruck würde der Rechner 20 den Ausdruck "Un-1" erkennen und bestimmen, daß der Ausdruck vom zweiten Typ ist, und geeignete Eingabeaufforderungen erzeugen, wie z. B. "U&sub0; = ?". In dieser Ausführungsform kann der Rechner 20 Lösungen für die Terme von irgendeinem der drei oben erörterten Typen von Folgen erzeugen. Andere Ausführungsformen des Rechners 20 können in der Lage sein, andere Typen der numerischen Folgen zu erkennen und Lösungen für ihre Terme zu erzeugen.
Um das spezielle Programm für die numerischen Folgen zu aktivieren, werden die "2nd"-Taste und dann die "SEQU"-Taste gedrückt. Dies erzeugt die im Block 30 nach Fig. 2 gezeigte Anzeige. Als nächstes wird der mathematische Ausdruck unter Verwendung der Folgeneingabetaste "Un-1" eingegeben, um Uni einzugeben, wie zwischen den Blöcken 30 und 31 gezeigt ist. Wenn der Ausdruck vollständig eingegeben ist, zeigt die Anzeige 28 den vollständigen mathematischen Ausdruck für die Folge an, wie im Block 31 gezeigt ist.
Als nächstes wird die "ENTER"-Taste gedrückt, um die numerische Folge in den Speicher 22 einzugeben, wobei auf diese Weise das Programm den Prozessor 24 anweisen kann, um die Eingabe einer voreingestellten Entscheidung über den Term von den Anwender anzufordern und zu empfangen. Für diese Entscheidung weist das Programm den Prozessor 24 an, die Eingabeaufforderung "AUTO YN?" anzuzeigen, wie im Block 32 gezeigt ist. Der Anwender wählt dann aus, ob der Rechner 20 automatisch eine Lösung für einen voreingestellten Term (n = 1) erzeugen soll oder ob der Rechner 20 eine Lösung für einen vom Anwender ausgewählten Term erzeugen soll. Das erstere wird durch das Drücken der "YES"-Taste gewählt, die unten rechts an der Schnittstelle 26 gezeigt ist. Wenn "YES" gewählt ist, wird das Programm automatisch nach U&sub1; auflösen. Das letztere wird durch das Drücken der "NO"-Taste gewählt. Falls "NO" gewählt wird, muß dann, wie im folgenden erörtert ist, ein Wert für n eingegeben werden. Die Programmierung des Speichers 22 bewirkt, daß der Prozessor 24 die Eingabe von den "YES"- und "NO"-Ebenen für ihre entsprechenden Tasten erkennt. Der "NO"- Pfad nach Fig. 2 ist im folgenden beschrieben. Ein Hauptunterschied zwischen dem "YES"- und "NO"-Pfaden besteht darin, daß der "YES"-Pfad nicht erfordert, daß ein Wert für n eingegeben wird, weil das Programm einen voreingestellten Wert von "1" dem Termidentifizierer n zuweist. Jedesmal, wenn eine Inkrementtaste gedrückt wird, wird n um eins inkrementiert. In dieser Ausführungsform ist die "ENTER"-Taste die Inkrementtaste.
Nachdem die "NO"-Taste gedrückt wurde, fordert das Programm den Anwender auf, die Daten der Anfangsbedingung einzugeben, falls die Folge von einem Typ ist, der derartige Daten für die Lösung erfordert. Demzufolge fordert das Programm den Anwender auf, den Wert von U&sub0; (die Anfangsbedingung der Folge, wenn n = 0 gilt) einzugeben, wie im Block 33 gezeigt ist. In diesem Beispiel wird "1" eingegeben, wobei die Wahl durch die Anzeige 28 widergespiegelt wird, wie im Block 34 gezeigt ist. (Falls die Folge vom ersten Typ wäre, würde es keine Eingabeaufforderung für U&sub0; geben, weil eine Folge des Typs 1 keine Anfangsbedingung benötigt.)
Nach dem Drücken der "ENTER"-Taste fordert das Programm den Anwender auf, einen Wert von n einzugeben, der den Term der Folge identifiziert, nach dem aufzulösen ist. Fig. 2 zeigt die Schritte für das Eingeben einer "2" für den Wert von n, wie durch die Anzeige 28 in den Blöcken 35 und 36 widergespiegelt wird.
In Fig. 2 wird, nachdem der Wert von n in den Speicher 22 durch das Drücken der "ENTER"-Taste eingegeben worden ist, abermals die Eingabeaufforderung "REVIEW YN?" angezeigt, wie im Rhombus 37 gezeigt ist. Es muß eine Auswahl getroffen werden, ob die Werte von U&sub0; und n geprüft werden sollen oder ob mit dem Erzeugen der Lösungen für die Terme der Folge begonnen werden soll. Wenn das erstere gewünscht wird, wird die "YES"-Taste gedrückt, um die Werte von U0 und n anzuzeigen, wie in den Blöcken 38 und 39 gezeigt ist. Die vorausgehend für Uo und n eingegebenen Werte können zu diesem Zeitpunkt geändert werden. Die "REVIEW YN?"-Eingabeaufforderung des Rhombus 37 wird abermals angezeigt, wobei, wie oben definiert ist, die gleiche Wahl vorzunehmen ist.
Um eine Lösung für den n-ten Term (hier den zweiten Term, weil n = 2 gilt) zu erzeugen, wird als Antwort auf die "REVIEW YN?"-Eingabeaufforderung die "NO"-Taste gedrückt. Die Lösung für den n-ten Term, hier den zweiten Term, wird nun angezeigt, wie im Block 40 gezeigt ist. Die Lösung und der Wert von n können abwechselnd angezeigt werden, indem die richtige Schreibmarken- oder Pfeiltaste, "nach unten" oder "nach oben" gedrückt wird, wie in der Anzeige 28 gezeigt ist. Wie im Block 40 gezeigt ist, wird z. B. die Pfeiltaste "nach unten" angezeigt. Diese Anzeige zeigt an, daß das Drücken der Schreibmarkentaste "nach unten" den Wert von n anzeigen wird, wie im Block 41 gezeigt ist. In ähnlicher Weise zeigt die Anzeige des Blocks 41 an, daß das Drücken der Schreibmarkentaste "nach oben" die Anzeige zurück zur Lösung umschalten wird, wie im Block 40 gezeigt ist. Fig. 3 zeigt eine alternative Ausführungsform des Rechners 20. In dieser alternativen Ausführungsform besitzt der Rechner 20 eine Text- und Graphikanzeige 44 für das Anzeigen von mathematischen und graphischen Darstellungen einer numerischen Folge. Der Rechner 20 besitzt außerdem eine Schnittstelle in der Form einer Tastatur, die im allgemeinen mit 46 gezeigt ist, um die Terme einer numerischen Folge einzugeben und die Funktionen des Rechners 20 zu steuern. Die Schnittstelle 46 verwendet die "2nd"- Taste, um die Funktionen aufzurufen, die oberhalb und links von einer Taste angezeigt sind, während sie die "ALPHA"-Taste verwendet, um die Funktionen aufzurufen, die oberhalb und rechts einer Taste angezeigt sind.
Im Betrieb arbeitet die alternative Ausführungsform des Rechners 20 in einer ähnlichen Weise wie die der obenbeschriebenen Ausführungsform nach Fig. 1. Ein signifikanter Unterschied besteht darin, daß der Rechner 20 der alternativen Ausführungsform die numerische Folge in graphischer Form anzeigen kann. Dies ist so, weil die Anzeige 44 eine Anzeige des Rastertyps ist, bei der jeder einzelne Bildpunkt einzelnen "ein"- oder "aus"-geschaltet werden kann.
Ein weiterer signifikanter Unterschied ist, daß die alternative Ausführungsform nach den Termen von zwei Folgen gleichzeitig auflösen kann, im Gegensatz zur ersten Ausführungsform, die lediglich nach den Termen von einer Folge zu einem Zeitpunkt auflösen kann.
In Fig. 4 wird die Form der mathematischen Schreibweise der numerischen Folge, nach deren Termen aufzulösen ist, über die Schnittstelle 46 und den Prozessor 24 in den Speicher 22 eingegeben. Zuerst wird die "MODE"-Taste gedrückt, die den Rechner 20 veranlaßt, ein Menü 48 anzuzeigen. Dann wird die Schreibmarkentaste "nach unten" dreimal aufeinanderfolgend gedrückt, bis die dritte Zeile des Menüs 48 (die mit dem Wort "Fung" beginnt) erreicht ist. Die Schreibmarkentaste "nach rechts" wird dann dreimal aufeinanderfolgend gedrückt, bis die Schreibmarke das Wort "Seq" hervorhebt. Dann wird die "ENTER"-Taste gedrückt, wobei danach das Menü 48 wie gezeigt hervorgehoben ist. Das Drücken von "ENTER" weist den Rechner 20 an, in die Folgenbetriebsart einzutreten und den Empfang des mathematischen Ausdrucks der numerischen Folge vorzubereiten.
Der nächste Schritt besteht darin, die numerische Folge in den Speicher 22 einzugeben. Um eine numerische Folge einzugeben, wird eine Menüvariablentaste, die in der Ausführungsform nach Fig. 3 die "Y ="-Taste ist, gedrückt. Dies führt zu der Anzeige, wie sie im Block 50 gezeigt ist. Durch das Drücken der Folge der Tasten, die zwischen den Blöcken 50 und 52 gezeigt ist, wird der gleiche numerische Ausdruck wie oben, Un = 0,5·(Un-1 + 2/Un-1), eingegeben. Um den gleichen oder einen anderen Ausdruck für Vn einzugeben, würde die Schreibmarkentaste "nach unten" gedrückt, um Vn hervorzuheben, wobei die geeigneten Tasten gedrückt würden, um die Folge einzugeben.
Fig. 5 zeigt eine alternative Art, eine Folge in den Speicher 22 einzugeben. In diesem alternativen Verfahren wird die Folge aus dem "Ausgangsbildschirm" (d. h. dem Bildschirm für die Universal-Berechnungsbetriebsart des Rechners) eingegeben. Die Folge wird durch das Drücken der Tasten eingegeben, wie im oberen Teil nach Fig. 5 gezeigt ist, was zu der Anzeige führt, die im Block 54 gezeigt ist. Nachdem die Folge (eingeschlossen in Anführungszeichen) eingegeben ist und die "STO> "-Taste gedrückt wird, wird die "Y-VARS"-Taste gedrückt, wie in Fig. 5 gezeigt ist. Dies zeigt das im Block 56 gezeigte Menü an, wobei die Schreibmarkentaste "nach unten" dreimal gedrückt werden muß, um die vierte Auswahl hervorzuheben, die "Sequence" lautet. Das Drücken der "ENTER"-Taste bewirkt, daß die Anzeige von Block 58 erscheint, wobei zu diesem Zeitpunkt die Variable (Un oder Vn) um die vorausgehend eingegebene numerische Folge zu speichern, wie im Block 54 gezeigt ist, unter Verwendung der Schreibmarkentasten gewählt wird. Wenn die gewünschte Variable hervorgehoben ist, wird die "ENTER"-Taste gedrückt. In Fig. 5 wurde die Variable "Un" gewählt und die "ENTER"-Taste gedrückt, wobei die Anzeige nach Block 60 erzeugt wird.
Fig. 6 veranschaulicht eine Art des Auflösens nach einem gewünschten Term einer wie oben beschrieben eingegebenen numerischen Folge. Zuerst wird die "WINDOW"-Taste gedrückt, um in das Fenstermenü einzutreten, wie im Block 62 gezeigt ist. Dann werden die Werte für die in diesem Menü gezeigte Variable eingegeben. Der Block 62 zeigt z. B. nach dem Drücken der "WINDOW"-Taste, der Schreibmarkentaste "nach unten" und der "1"-Taste die Anfangsbedingung U&sub0;= 1. Der voreingestellte Wert für U&sub0; ist null. Die Werte der im Fenstermenü gezeigten Variable werden abermals durch die Verwendung der Schreibmarkentasten und das Eingeben der gewünschten Werte unter Verwendung der Tastatur der Schnittstelle 46 ausgewählt.
Nach dem Einstellen der Fenstermenü-Variable wird zum "Ausgangsbildschirm" zurückgekehrt, indem die "2nd"- und "QUIT"-Tasten gedrückt werden. Die Variable "Un" wird aus dem "Y-VARS"-Menü erhalten, wie oben im Zusammenhang mit Fig. 5, Blöcke 56 und 58, erklärt ist. Dies bewirkt, daß "Un" in der Anzeige erscheint, wie im Block 64 gezeigt ist. Die Identität des Terms, nach dem aufzulösen ist, ist in runde Klammem eingeschlossen, wobei sie eingegeben wird, wie am Eingang in den Block 66 gezeigt ist. Wenn die "ENTER"-Taste gedrückt wird, wird der Wert von Ufl bei dem in runden Klammern eingeschlossenen Wert von n dann auf den Bildschirm angezeigt, wie im Block 66 gezeigt ist. Hier wurde die Lösung für U&sub1;&sub0;&sub0; erhalten, wobei diese Lösung im Block 66 angezeigt wird.
In Fig. 7 ist ein alternatives Verfahren zum Auflösen nach einem speziellen Term der numerischen Folge veranschaulicht. In das "TABLE SETUP"-Menü wird eingetreten, indem die "2nd"-Taste und dann die "Tblset"-Taste gedrückt werden. Die Schreibmarkentaste "nach unten" wird zweimal und die Pfeiltaste "nach rechts" wird einmal gedrückt, bis der Term "Ask" in der Zeile, die mit "Indpnt:" beginnt, hervorgehoben ist. Damit sich eine Anzeige, wie sie im Block 68 gezeigt ist, ergibt, wird die "ENTER"-Taste gedrückt. Durch das Drücken der "2nd"- und "TABLE"-Tasten wird die Anzeige nach Block 70 erhalten.
Nun wird der Wert für den Termidentifizierer n, der dem Term entspricht, für den eine Lösung gewünscht wird, in die mit "n" markierte Spalte eingegeben. Dann wird die "ENTER"-Taste gedrückt, wobei die Lösung erzeugt und in der US-Spalte angezeigt wird. Damit sich die Anzeige des Blocks 72 mit einer genaueren Darstellung von Un ergibt, wie am unteren Ende angezeigt ist, wird die Schreibmarkentaste "nach rechts" gedrückt.
Unter Bezug auf Fig. 8 kann es erwünscht sein, nach einer großen Anzahl aufeinanderfolgender Terme aufzulösen. Dies wird erreicht, indem in das "TABLE SETUP"-Menü eingetreten wird, wie oben im Zusammenhang mit Fig. 7 beschrieben ist, und die "Auto"-Option sowohl für die "Indpnt:"- als auch die "Depend:"-Variable in dem Menü ausgewählt wird. Die in Fig. 8 gezeigte Tabelle wird angezeigt, indem die "2nd"- und "TABLE"-Tasten gedrückt werden. Weil sich das Programm nun in der automatischen Betriebsart befindet, wird die Tabelle automatisch mit Werten von n gefüllt, die mit dem für "TblMin" des "TABLE SETUP"-Menüs nach Fig. 7 gesetzten Wert beginnen, wobei dies in durch "ΔTbl" ebenfalls nach dem "TABLE SETUP"-Menü nach Fig. 7 definierten Inkrementen fortgesetzt wird.
In Fig. 8 bewegt sich, wenn die Schreibmarkentaste "nach unten" gedrückt wird, die Schreibmarke abermals durch die Werte von n, wobei der durch die Schreibmarke hervorgehobene Wert von n im unteren Fenster oder Segment der Anzeige erscheint, wie im Block 74 gezeigt ist. Wenn die Schreibmarke über den Wert von n = 6 hinaus bewegt wird, wird der Bildschirm der Anzeige rollen und beginnen, höhere Werte von n beginnend mit n = 7 anzuzeigen. Der Prozeß kann bis zu den Rechengrenzen des Rechners entweder für n oder Un, was auch immer zuerst erreicht wird, fortgesetzt werden. Auf diese Weise können die Werte von so vielen Termen wie gewünscht betrachtet werden.
In Fig. 9 ist es oft erwünscht, die Konvergenz einer numerischen Folge zu prüfen, d. h., zu prüfen, ob die Werte der Terme der Folge eine endliche Grenze besitzen, wenn n zunimmt. Fig. 9 veranschaulicht die Tabelle der Lösungen für die oben verwendete gleiche numerische Beispielfolge Un = 0,5·(Un-1 + 2/Un-1). Die Folge wird in den Speicher 22 des Rechners in einer zu derjenigen ähnlichen Weise eingegeben, die oben im Zusammenhang mit entweder Fig. 5 oder 6 erklärt ist. Die Tabellenparameter würden gesetzt, wobei in die Tabellenanzeige eingetreten wird, wie oben im Zusammenhang mit Fig. 8 beschrieben ist. In Fig. 9 kann abermals, sobald in die Tabellenanzeige eingetreten ist, unter Verwendung der Schreibmarkentaste "nach unten" durch die Werte der Terme der numerischen Folge gerollt werden. Der Block 76 ist die Anzeige der Lösungen für die Terme n = 7 bis n = 13. Der Block 78 ist die Anzeige für die Lösungen für die Terme n = 14 bis n = 20. Durch das Betrachten der Terme der numerischen Folge in den Blöcken 76 und 78 ist ersichtlich, daß die Folge gegen einen Wert von etwa 1,4142 konvergiert. Höhere Werte von n und die entsprechenden Werte von Un könnten angezeigt werden, um einen genaueren Wert der Konvergenz zu erhalten.
Fig. 10 zeigt ein zweites Verfahren, um zu bestimmen, ob eine Folge konvergiert, das darin besteht, die Werte von n gegen die Werte von Un graphisch darzustellen, was gewöhnlich als eine graphische Darstellung in zeitlicher Folge bekannt ist. Es kann z. B. die graphische Darstellung in zeitlicher Folge der numerischen Beispielfolge erzeugt werden. Zuerst werden die Dimensionen des Betrachtungsfensters durch das Einstellen der Variable im "WINDOW"-Menü eingestellt. Für die im "WINDOW"-Menü der Blöcke 80 und 82 gezeigten Variable werden geeignete Werte ausgewählt. Diese Werte werden dann eingegeben, indem die in Fig. 10 oberhalb des Blocks 80 und zwischen den Blöcken 80 und 82 gezeigte Folge der Tasten gedrückt wird.
Als nächstes muß das Format der graphischen Anzeige eingestellt werden. Die "WINDOW"-Taste wird gefolgt von der Schreibmarkentaste "nach rechts" gedrückt, um das "FORMAT"-Menü anzuzeigen, wie im Block 84 gezeigt ist. Wenn das Wort "Time" nicht bereits ausgewählt (d. h. hervorgehoben) ist, würden die entsprechenden Schreibmarkentasten gedrückt, um das Wort "Time" hervorzuheben, wobei dann die "ENTER"-Taste gedrückt wird, damit sich die im Block 84 gezeigte Anzeige ergibt. Mit den eingestellten Parametern des "FORMAT"- und "WINDOW"-Menüs wird die "GRAPH"-Taste drückt, wobei der Rechner 20 eine graphische Darstellung in zeitlicher Folge der numerischen Beispielfolge erzeugt und anzeigt, die im Block 86 gezeigt ist.
Wie im Block 86 gezeigt ist, werden die Werte von n längs der horizontalen Achse graphisch dargestellt, während die Werte von Un längs der vertikalen Achse graphisch dargestellt werden. Um den Wert von Un bei einem spezifischen Wert von n zu bestimmen, wird die "TRACE"-Taste gedrückt, damit sich eine Anzeige wie diejenige ergibt, die im Block 88 gezeigt ist. Durch das Drücken der Schreibmarkentaste "nach rechts" durchläuft der Rechner beginnend von n = 0 die graphische Darstellung, wobei für jedes Drücken der Schreibmarkentaste "nach rechts" n um eins inkrementiert wird. Die Informationen über die Folge werden in zwei Arten angezeigt. Zuerst wird eine Markierung an der graphischen Darstellung angebracht, die die Koordinaten des Schnittpunkts des Wertes von n und des Wertes von Un für diesen speziellen Term zeigt. Der untere Teil der Anzeige zeigt den Wert von n und den entsprechenden Wert von Un als Text an. Hier ist die Schreibmarkentaste "nach rechts" 7mal gedrückt worden, wodurch n ein aktueller Wert von 7 und Un ein aktueller Wert von 1,414213 gegeben wird.
Fig. 11 zeigt ein drittes Verfahren, um zu bestimmen, ob die Terme einer numerischen Folge konvergieren, das durch das Zeichnen einer Netzdarstellung erfolgt. Die Netzdarstellungen, die manchmal als Spinnweben- oder Treppenstufen- Darstellungen bezeichnet werden, sind im Stand der Technik bekannt, wobei sie hier nicht über ihre Anwendung als ein Verfahren zum Bestimmen der Konvergenz der Terme einer numerischen Folge hinaus erörtert werden. Die im Zusammenhang mit Fig. 11 verwendete numerische Beispielfolge ist abermals Un = 0,5·(Un-1 + 2/Un-1). Diese Folgendefinition in der Form der mathematischen Schreibweise wird in den Speicher 22 des Rechners 29 eingegeben, wie oben in den Fig. 5 und 6 beschrieben ist.
Um den Rechner 20 anzuweisen, eine Netzdarstellung anzuzeigen, wird durch das Drücken der "WINDOW"-Taste in das "WINDOW"-Menü eingetreten. Durch das Drücken der geeigneten Schreibmarkentasten wird das "FORMAT"-Menü angezeigt, wobei "WEB" ausgewählt wird, wie im Block 92 gezeigt ist.
Als nächstes, wie die Blöcke 94-96 veranschaulichen, werden die Schreibmarkentasten verwendet, um die Werte für die im "WINDOW"-Menü gezeigten Variable auszuwählen und zu ändern. Für dieses Beispiel sind die Werte für die Variable im "WINDOW"-Menü so, wie in den Blöcken 94-96 gezeigt ist. Es sei angemerkt, daß die Anfangsbedingung U0 für die Folge gleich "3" gesetzt ist.
In Fig. 11 wird, wenn die "GRAPH"-Taste gedrückt wird, die Basis der Netzdarstellung auf der Anzeige 44 gezeichnet, wie im Block 98 gezeigt ist. Die Basis der Darstellung ist eine graphische Darstellung der Werte Un-1 (auf der horizontalen Achse) gegen die Werte von Un (auf der vertikalen Achse) zusammen mit einer graphischen Darstellung der Linie y = x. Dann wird die "TRACE"-Taste gedrückt, um den ersten Punkt in der Netzdarstellung zu erzeugen, der n = 0 entspricht. Um die Darstellung zu konstruieren, wird die Schreibmarkentaste "nach rechts" gedrückt. Für jedes Drücken der Schreibmarkentaste "nach rechts" wird ein Segment der Netzdarstellung angezeigt, wobei die vorausgehenden Segmente auf der Anzeige 44 verbleiben. Auf diese Weise kann die Konstruktion der Netzdarstellung von n = 0 bis zu irgendeinem gewünschten Wert von n bis zu den Rechengrenzen des Rechners durchlaufen werden. Der Block 100 zeigt eine Netzdarstellung für die ursprüngliche Folge mit der Anfangsbedingung U&sub0; = 0,3. Der untere Teil der Anzeige zeigt numerisch die aktuellen Werte von x und y für den zuletzt erzeugten Term der numerischen Folge.
Obwohl die vorliegende Erfindung und ihre Vorteile ausführlich beschrieben worden sind, sollte es selbstverständlich sein, daß verschiedene Änderungen, Ersetzungen und Umgestaltungen darin vorgenommen werden können, ohne von der Erfindung abzuweichen, wie sie in den beigefügten Ansprüchen definiert ist.

Claims

1. Digitaler Computer zum Erzeugen einer Lösung, die einen mathematischen Ausdruck einer aus mehreren Termen gebildeten numerischen Folge nach einem unbekannten Term auflöst, wobei der digitale Computer umfaßt:

Eingabemittel (26, 46), die mehrere betätigbare Eingabeeinheiten und wenigstens ein spezielles Eingabemittel umfassen, das von den betätigbaren Eingabeeinheiten eingegebene Eingangsdaten als Folgendaten, die einen aus mehreren Termen gebildeten mathematischen Ausdruck einer numerischen Folge repräsentieren, identifiziert, wobei das spezielle Eingabemittel ferner Mittel umfaßt, die einen vorgesehenen Termidentifizierer als Repräsentanten eines unbekannten Terms der numerischen Folge, für die eine sie nach dem unbekannten Term auflösende Lösung geschaffen werden soll, identifizieren;

Speichermittel (22), die einen Nur-Lese-Speicher enthalten;

Verarbeitungsmittel (24), die mit den Eingabemitteln und mit den Speichermitteln funktional verbunden sind und umfassen:

Mittel zum Übertragen der von den Eingabemitteln eingegebenen Daten an die Speichermittel;

Mittel zum Zugreifen auf Daten von den Speichermitteln;

Mittel zum Auflösen einer numerischen Folge, die Erkennungsmittel zum Erkennen des Typs der von den betätigbaren Eingabemitteln eingegebenen numerischen Folge aus mehreren möglichen Typen numerischer Folgen sowie Lösungsmittel zum Auflösen der numerischen Folge nach dem unbekannten Term umfassen;

Anzeigemittel (28; 44), die mit den Verarbeitungsmitteln (24) funktional verbunden sind, um die Lösung nach dem unbekannten Term anzuzeigen; und

Eingabeaufforderungsmittel, die einen Anwender auffordern, die numerische Folge und Daten, die für die Erzeugung der Lösung erforderlich sind, einzugeben, wobei die Eingabeaufforderungsmittel Mittel zum Verändern des Typs der Eingabeaufforderung für den Anwender entsprechend dem Typ der numerischen Folge umfassen.

2. Digitaler Computer nach Anspruch 1, bei dem die speziellen Eingabemittel Folgenaktivierungsmittel zum Aktivieren der Mittel zum Auflösen einer numerischen Folge sowie Mittel zum Eingeben des Termidentifizierers in die Speichermittel (22) umfassen.

3. Digitaler Computer nach Anspruch 2, der ferner Inkrement-Eingabemittel umfaßt, um den Wert des Termidentifizierers zu inkrementieren.

4. Computerbasiertes Verfahren zum Erzeugen einer Lösung, die eine aus mehreren Termen gebildete numerische Folge nach einem unbekannten Term auflöst, wobei das Verfahren die folgenden Schritte umfaßt:

Eingeben von Eingangsdaten durch Eingabemittel, wobei die Eingabemittel mehrere betätigbare Eingabemittel und wenigstens ein spezielles Eingabemittel umfassen, wobei als Antwort auf eine vorausgehende Betätigung des wenigstens einen speziellen Eingabemittels die von den betätigbaren Eingabemitteln eingegebenen Eingangsdaten als eingegebene Folgendaten erfaßt werden, die einen mathematischen Ausdruck einer aus mehreren Termen gebildeten numerischen Folge repräsentieren;

Prüfen der erfaßten eingegebenen Folgendaten und Erkennen eines Typs einer numerischen Folge aus mehreren möglichen Typen numerischer Folgen auf der Grundlage der eingegebenen Folgendaten;

Auffordern des Anwenders zum Eingeben von Termeingabedaten in Abhängigkeit davon, welcher Typ einer numerischen Folge erkannt worden ist, um einen unbekannten Term der numerischen Folge zu identifizieren, für die eine sie nach dem unbekannten Term auflösende Lösung geschaffen werden soll; und

Erzeugen der Lösung, die nach dem unbekannten Term auflöst;

Anzeigen der Auflösung der numerischen Folge nach dem unbekannten Term.

5. Verfahren nach Anspruch 4, das ferner die folgenden Schritte umfaßt:

Inkrementieren des Wertes des Termidentifizierers als Antwort auf einen Inkrementschlüssel; und Erzeugen einer Lösung nach jeder Inkrementierung des Wertes des Termidentifizierers.

6. Verfahren nach Anspruch 4, bei dem der Aufforderungsschritt zu einer Eingabe einer Anfangsbedingung für einen Term der numerischen Folge auffordert.

7. Verfahren nach Anspruch 4, das ferner den Schritt des Aktivierens der Schritte zum Auflösen der numerischen Folge als Antwort auf einen Folgenaktivierungsschlüssel und danach des Prüfens der Folgeneingabedaten und des Erkennens eines Typs einer numerischen Folge umfaßt.

8. Verfahren nach Anspruch 4, das ferner die folgenden Schritte umfaßt:

Empfangen eines Ausdrucks für eine zweite Zahlenfolge, die einen zweiten Termidentifizierer besitzt und durch die Eingabemittel eingegeben wird; und

Erzeugen einer Lösung, die die zweite numerische Folge nach einem unbekannten Term auflöst und dem zweiten Wert entspricht.

9. Verfahren nach Anspruch 4, das ferner den Schritt des Erzeugens einer graphischen Darstellung der Lösung umfaßt.

10. Verfahren nach Anspruch 4, bei dem der Schritt des Aufforderns des Anwenders zur Eingabe von Termeingabedaten ferner umfaßt:

Wählen zwischen einer voreingestellten Entscheidung bezüglich des unbekannten Terms und einem vom Anwender gewählten unbekannten Term durch den Anwender;

falls die voreingestellte Term-Entscheidung gewählt wird, automatisches Erzeugen eines voreingestellten unbekannten Terms;

falls hingegen der vom Anwender gewählte unbekannte Term gewählt wird, Auffordern des Anwenders, einen Wert für den unbekannten Term einzugeben; und

danach Erzeugen der Lösung, die nach dem unbekannten Term auflöst.