DE60103773T2

DE60103773T2 - Verfahren zur linearen transformationsausführung

Info

Publication number: DE60103773T2
Application number: DE60103773T
Authority: DE
Inventors: John A. Scholz
Original assignee: Individual
Current assignee: Individual
Priority date: 2000-10-27
Filing date: 2001-07-02
Publication date: 2005-06-23
Anticipated expiration: 2021-07-03
Also published as: AU2001271131A1; WO2002035379A1; AU2001217387A1; DE60103773D1; EP1330734B1; WO2002035378A1; EP1330734A1; ATE268920T1

Description

Die Erfindung bezieht sich auf ein Verfahren zur Ausführung einer linearen N-Punkt-Transformation, mit N = 2, 3, ..., auf einer Reihe von Zahlen X₁, ..,X_N, welche N-Punkt-Transformation ausgeführt wird, indem man die Zahlenreihe mit einer Matrix multipliziert, welche Matrix die Charakteristik aufweist, dass sich die (i-1)-te Spalte aus der i-ten Spalten derselben Matrix ergibt, indem man die i-te Spalte mit einem festen Korrekturvektor multipliziert. Bekannt ist, dass unter anderem die diskrete Fourier-Transformation (DFT) dieses Charakteristikum besitzt.
Große Transformationen dieser Art, und im Besonderen Fourier-Transformationen, gelangen häufig auf jedem Gebiet in der Technik zum Einsatz, zum Beispiel in der medizinischen Wissenschaft, in der Telekommunikation und in der Radartechnik. Das am meisten angewendete Arbeitsverfahren für die Realisierung dieser Transformation ist der Fast-Fourier-Transformations-Algorithmus, siehe Springer T.: Sliding FFT computes frequency spectra in real time", EDN-Electrical Design News, Newton, MA, USA, vol. 33,no. 20, 29.9.1988, Seiten 161–170. Innerhalb der durch die Computer-Hardware und die verfügbare Zeit auferlegten Beschränkungen bildet die schnelle Fourier-Transformation ein effizientes mathematisches Verfahren für die Berechnung einer Fourier-Transformation jeder gewünschten Länge. In der Praxix heißt das, dass die durch die Hardware und die verfügbare Zeit auferlegten Beschränkungen in einer schrittweise Anwendung des Algorithmus resultieren, wobei die zeitlich sich nur teilweise überlappenden Datenblöcke von dem Algorithmus bearbeitet werden. Diese praktische Vorgehensweise kann die Endergebnisse nachteilig beeinflussen. Ein Radarecho oder ein Sonarecho kann beispielsweise über zwei benachbarte Datenblöcke verteilt werden, wodurch in den Ergebnissen der schnellen Fourier-Transformation Übergangseffekte enthalten sind, welche sich auf eine Detektion störend auswirken können.
Für Transformationen mit der speziellen Eigenschaft, dass sich die (i-1)-te Spalte aus der i-ten Spalte derselben Matrix ermitteln lässt, indem man die i-te Spalte mit einem festen Korrekturvektor multipliziert, ist es nicht notwendig, eine völlig neue Berechnung auszuführen, wenn ein neuer Messwert eingegeben und der älteste Messwert gelöscht wird. Anstelle davon ist es möglich, eine Transformation einer Reihe von Zahlen X_i–1,..,X_i+N aus einer vorangehend berechneten Transformation einer Reihe von Zahlen X_i,.., X_i+N–1 zu ermitteln, indem man die vorangehend berechnete Transformation korrigiert. Dieses bekannte Korrekturverfahren umfasst die Subtraktion des Produkts von X_i und der ersten Spalte der Matrix der vorangehend berechneten Transformation, die Multiplikation des Ergebnisses mit dem Korrekturvektor und die Addierung des Produkts von X_i+N und der letzten Spalte der Matrix. Auf diese Weise erhält man eine neue Matrix mit nur 3×N parallelen Gruppen von Multiplikationen. Bei der Anwendung einer diskreten Fourier-Transformation, wobei die erste Spalte in der Transformationsmatrix immer eine Spalte von Einsen ist, werden nur 2×N parallele Gruppen von Multiplikationen benötigt. Die Elemente des Korrekturvektors sind auf einfache Weise zu ermitteln, indem man die Elemente der ersten Spalte der Transformationsmatrix durch die übereinstimmenden Elemente der zweiten Spalte der Transformationsmatrix teilt.
Es ist ebenfalls möglich, kontinuierlich neue Transformationen zu produzieren, und zwar für alle neuen Messwerte für k, wobei k = 1, 2,.., indem man die vorangehende Transformation auf eine analoge Weise ändert. Es ist dann möglich eine Transformation einer Reihe von Zahlen X_i+k,..,X_i+N–1+k aus einer vorangehend berechneten Transformation einer Reihe von Zahlen X_i,.., X_i+N–1 zu erhalten, indem man die vorangehend berechneten Transformation korrigiert. Das Korrekturverfahren umfasst die Subtraktion des Produkts von X_i und deren ersten Spalte,.., bis zum Produkt von X_i+k–1 und der k-ten Spalte der Matrix von der vorangehend berechneten Transformation, dann die Multiplikation des Ergebnisses mit einem k-Korrekturvektor und danach die Summierung des Produkts von X_i+N und der (N–k+1)-ten Spalte,.., bis zum Produkt von X_i+N–1+k und der letzten Spalte der Matrix. Die Elemente des k-Korrekturvektors werden ermittelt, indem man die Elemente der ersten Spalte der Transformationsmatrix durch die korrespondierenden Elemente der (k+1)-te Spalte der Transformationsmatrix dividiert.
Die meisten Transformationen, und im Besonderen die Fourier-Transformation, werden praktisch ausschließlich in Kombination mit einer Gewichtungsfunktion angewendet, und mehr im Besonderen mit einer symmetrischen Gewichtungsfunktion, mit dem Zweck, Nebenzipfel in den Ergebnissen der Transformation zu unterdrücken. Es ist leicht zu begreifen, dass Transformationen mit symmetrischen Gewichtungsfunktionen nicht die Eigenschaft haben, dass die (i-1)-te Spalte aus der i-ten Spalte derselben Matrix zu ermitteln ist, indem die i-te Spalte mit einem festen Korrekturvektor multipliziert wird. Aus diesem Grund wurde dem bekannten Korrekturverfahren nie viel Aufmerksamkeit geschenkt.
Die vorliegende Erfindung bezieht sich auf ein Verfahren zur Ausführung einer linearen, gewichteten N-Punkt-Transformation, mit N=2,3,..., auf einer Reihe von Zahlen X₁,..,X_N, welche N-Punkt-Transformation ausgeführt wird, indem man die Zahlenreihe mit einer gewichteten Matrix, multipliziert, wobei die nicht gewichteten Matrix die Charakteristik aufweist, dass sich die (i-1)-te Spalte aus der i-ten Spalte derselben Matrix ergibt, indem man die i-te Spalte mit einem festen Korrekturvektor multipliziert. Das Verfahren gemäß der Erfindung ist dadurch gekennzeichnet, dass die gewichtete Transformation mittels einer Summierung von zumindest einer partiellen Transformation U', einer partiellen Transformation U" und einer partiellen Transformation kU so realisiert oder approximativ realisiert wird, dass jede partielle Transformation die Charakteristik aufweist, dass sich eine (i-1)-te Spalte von einer die partielle Transformation darstellenden Matrix aus der i-ten Spalte derselben Matrix ergibt, indem man die i-te Spalte mit einem festen Korrekturvektor multipliziert. Die Elemente des Korrekturvektors werden berechnet, indem man die Elemente der ersten Spalte der partiellen Transformationsmatrix durch die korrespondierenden Elemente der zweiten Spalte der partiellen Transformationsmatrix dividiert.
Eine erste günstige Ausführungsform des Verfahrens gemäß der Erfindung ist dadurch gekennzeichnet, dass die Matrix der partiellen Transformation U' ermittelt wird, indem man die aufeinander folgenden Spalten mit Potenzen einer reellen Konstante C multipliziert, wobei C<1, und dass die Matrix der partiellen Transformation U" ermittelt wird, indem man die aufeinander folgenden Spalten mit Potenzen einer reellen Konstante C^–1 multipliziert. Dies resultiert in zwei asymmetrisch gewichteten Matrices, von denen die Summe symmetrisch ist. Die Matrix KU kann zum Normalisieren des Ergebnisses benutzt werden.
Eine zweite günstige Ausführungsform des Verfahrens gemäß der Erfindung ist dadurch gekennzeichnet, dass die Matrix der partiellen Transformation U' ermittelt wird, indem man die aufeinander folgenden Spalten mit Potenzen einer komplexen Zahl D multipliziert, wobei D=e^jx, und dass die Matrix der partiellen Transformation U " ermittelt wird, indem man die aufeinander folgenden Spalten mit Potenzen von D^–1 multipliziert. Es ist eindeutig, dass jede der beiden Matrices die gewünschte Charakteristik besitzt, und dass die Summe dieser zwei Matrices mit komplex konjugierten Bewertungen in einer reellen Bewertung mit einer trigoniometrischen Funktion resultiert. Die Matrix KU kann zum Normalisieren des Ergebnisses benutzt werden.
Eine günstige Ausführungsform dieses Verfahrens gemäß der Erfindung ist dadurch gekennzeichnet, dass D= e^j2π/(N+1), zum Erhalt der bekannten Hanning-Gewichtung.
Eine günstige Ausführungsform ist gemäß einem weiteren Aspekt der Erfindung dadurch gekennzeichnet, dass die Berechnung einer partiellen Transformation die Schritte von Subtraktion von dem Produkt von X_iund der ersten Spalte der Matrix von der vorher berechneten Transformation sowie der Summierung von dem Produkt von X_i+N und der nächsten Spalte einer erweiterten Matrix umfasst, welche hinzugefügten Spalten die Charakteristik haben, dass sich die (i+1)-te Spalte aus der i-ten Spalte derselben Matrix ergibt, indem man die i-te Spalte mit einem Vektor multipliziert, welcher Vektor der reziproke Wert des festen Korrekturvektors ist. Dieses Verfahren kann vorteilhaft angewendet werden, wenn die Phase des Transformationsergebnisses unwichtig ist, was für die meisten Anwendungen zutrifft, wodurch eine Menge von Multiplikationen eingespart werden kann.
Eine weitere sehr günstige Ausführungsform der Erfindung, mit der sich für manche Anwendungen die Menge von Berechnungen noch weiter reduzieren lässt, ist dadurch gekennzeichnet, dass eine Reihe von M-bit- Binärzahlen X₁,..,X_N,... in M Reihen von Einbit-Binärzahlen aufgeteilt wird, und dass eine Transformation separat auf jeder der M Reihen ausgeführt wird, und dass die Ergebnisse in einer gewichteten Addition kombiniert werden. Der Vorteil ist, dass die drei Mengen von Multiplikationen und die drei Mengen von Summierungen, notwendig für die Korrektur des vorangehenden Ergebnisses, zu einer Multiplikation und zwei konditionellen Summierungen reduziert wird. Wenn die Phase des Ergebnisses der Transformation nicht von Bedeutung ist, kann die Korrektur weggelassen werden, wodurch sich eine konditionelle Addierung erübrigt.
Die Erfindung bezieht sich ebenfalls auf einen linearen Transformator, eingerichtet für die Ausführung eines Verfahren wie oben stehend beschrieben, und mehr im Besonderen für die Ausführung einer Fourier-Transformation.
Die Erfindung wird nun nachstehend anhand der beigefügten Figuren näher erläutert, von denen:
1 einen linearen Transformator nach dem Stand der Technik darstellt;
2 die Gewichtung der Matrices U', U", und U''' mit einer Gewichtung mit reellen Werten darstellt;
3A einen gewichteten Transformator mit einer Gewichtung mit reellen Werten darstellt;
3B einen gewichteten Transformator mit einer Gewichtung mit komplexen Werten darstellt;
4 eine lineare, in M partiellen Transformationen aufgeteilte Transformation darstellt.
1 zeigt einen linearen Transformator nach dem Stand der Technik, wobei ein Analog-Digital-Umsetzer 1 periodisch ein Analogsignal in ein Digitalsignal umsetzt. Die Reihe Messwerte wird in einen Speicher 2 eingegeben. Jedes Mal wenn ein neuer Messwert dem Speicher 2 zugeführt wird, transformiert ein linearer Transformator 3 die neue Reihe, der ein Messwert entnommen und der ein Messwert zugeführt wurde, in eine Reihe neuer Transformationswerte, welche neue Transformationswerte für weitere Verwendung in einen Speicher 4 eingegeben werden. Transformator 3 wurde so konzipiert, dass zum Erhalt einer Reihe neuer Transformationswerte die vorangehende Reihe Transformationswerte korrigiert wird. Diese Korrektur wird anhand einiger Beispiele näher erläutert, wobei für N=4 gewählt wurde, zwecks einer problemlosen Veranschaulichung.
Eine mögliche lineare Transformation (α_i,j), die auf eine Reihe von Zahlen I₀,I₁,.... einwirkt, wodurch sich eine Reihe von Zahlen U₀,U₁,.... ergibt, kann geschrieben werden, wie folgt:
Die Reihe I_i ist beispielsweise eine Reihe von Messungen, die von einem Analog-Digital-Umsetzer stammen, und wird als eine Sammlung von 12-bit-Binärzahlen dargestellt. Die Reihe U_i kann ein aus der Reihe I_iabgeleitetes Spektrum sein. Die Transformation wird auf bekannte Weise mit der Reihe I_i ausgeführt, indem die Reihe mit der Matrix (α_i,j) multipliziert wird. Nach dem Stand der Technik sind für diese Berechnung 16 Multiplikationen und 12 Summierungen notwendig. Sobald das Ergebnis einer Transformation bekannt ist, lässt sich das Ergebnis der nächsten Transformation mit einem Minimum von Berechnungen ermitteln, wenn die Matrix die spezielle Charakteristik besitzt, dass die (i-1)-te Spalte aus der i-ten Spalte derselben Matrix ermittelt werden kann, indem die i-te Spalte mit einem festen Korrekturvektor multipliziert wird. Im Besonderen trifft dies zu für die Fourier-Transformation, die mittels folgender Matrix dargestellt werden kann:
Die Korrekturspalte für diese Fourier-Transformation ist leicht durchschaubar, nämlich:
Das neue Ergebnis der Transformation wird mit Hilfe von drei Korrekturschritten ermittelt. Zunächst ist der Effekt von I₀ zu eliminieren. Dies geschieht, indem man den Anteil von I₀ von dem vorangehend ermittelten Ergebnis subtrahiert, das heißt I₀ mal die erste Spalte von der Transformationsmatrix. Danach ist das Ergebnis mit der Korrekturspalte zu multiplizieren, womit die i-te Spalte in der Matrix in die (i-1)-te Spalte transformiert wird, wodurch die vorangehende Summierung von Spalten in der neuen Situation weiterhin gültig ist. Schließlich muss der Effekt von I_N, in diesem Beispiel I₄, mit berücksichtigt werden. Hierzu muss das Produkt von I₄ und der letzten Spalte der Matrix zu dem Ergebnis addiert werden. Mit einer auf diese Weise ausgeführten Fourier-Transformation ist eine kontinuierliche Transformation mit einer Reihe von Messungen realisierbar, sogar wenn N groß ist.
Für manche Anwendungen der Transformation kann es vorteilhaft sein, jedes Mal, zum Beispiel nach zwei Messungen, eine Berechnung auszuführen. Für die Korrektur muss der Effekt der ersten zwei Messungen auf dieselbe Weise eliminiert werden, anschließend ist eine Multiplikation mit der zweiten Potenz der Korrekturspalte durchzuführen, und schließlich muss das Ergebnis der letzten zwei Messungen hinzugezählt werden.
In vielen Fällen ist nur die Amplitude des Ergebnisses der Transformation von Bedeutung, zum Beispiel bei der Bestimmung eines Spektrums. In diesem Fall kann der zweite Schritt, die Multiplikation mit dem Korrekturvektor, weggelassen werden. Die Multiplikation des nächsten Messwertes wird in diesem Fall mit einer immer wechselnden letzten Spalte ausgeführt, anstelle mit einer festen letzten Spalte, die zyklisch aus einer festen Sammlung von N letzten Spaltenvektoren ausgewählt wird. Dies kann ausgeführt werden, indem man den nächsten Messwert mit der (N+1)-ten, (N+2)-ten, (N+3)-ten Spalte usw. multipliziert. Zu diesem Zweck kann die Matrix auf eine naheliegende Weise erweitert werden, indem Spalten hinzugefügt werden, wobei von dem Korrekturvektor für das Generieren dieser neuen Spalten Gebrauch gemacht werden kann. Auf diese Weise kann eine Transformation mit nur 2×N parallelen Sammlungen von Multiplikationen realisiert werden, oder im Falle einer DFT, mit nur N parallele Sammlungen von Multiplikationen.
Mehr im Allgemeinen kann das anhand der Fourier-Transformation beschriebene Verfahren für alle Arten von Transformationen benutzt werden, die mittels einer Matrix dargestellt werden können, für die die (i-1)-te Spalte ermittelt wird, indem man i-te Spalte mit einer festen Korrekturspalte multipliziert. Diese Feststellung bildet die Basis für die Zufügung einer Gewichtungsfunktion zu dem beschriebenen Verfahren, mit dem das Anwendungsgebiet signifikant erweitert wird. Die Gewichtung wird in die Matrix eingeführt, indem man die Spalten mit geeigneten Gewichtungskonstanten multipliziert. Auch für eine gewichtete Matrix gilt die Forderung, dass sich die (i-1)-te Spalte mit Hilfe einer festen Korrekturspalte aus der i-ten Spalte ermitteln lässt. Es leuchtet ein, dass die Gewichtungskonstante für die (i-1)-te Spalte zu ermitteln ist, indem man die Gewichtungskonstante der i-ten Spalte mit einer Konstante C multipliziert. Für eine reelle Konstante C gibt es folgende Wahlmöglichkeiten: C<1, C=1 oder C>1. Für C=1 wird keine Gewichtung ermittelt. Für C<1 positiv werden die Amplituden der aufeinanderfolgenden Spalten der gewichteten Matrix zunehmen. Für C>1 werden die Amplituden der aufeinanderfolgenden Spalten der gewichteten Matrix abnehmen.
Wir definieren eine neue Matrix U', aus der alten N×N Matrix U hergeleitet, wie folgt: die erste Spalte wird mit C^[(1–N)/2], die zweite mit C^{[1+(1–N)/2]} die dritte mit C^{[2+(1–N)/2]} ... und die letzte Spalte mit C^{[(N–1)+(1–N)/2]} multipliziert. Des Weiteren definieren wir eine neue Matrix U", aus der alten N×N Matrix U hergeleitet, wie folgt: die erste Spalte wird C^{–[(1–N)/2]}, die zweite C^{–[1+(1–N)/2]}, die dritte mit C^{–[2+(1–N)/2]}, ... und die letzte Spalte mit C^{–[(N–1)+(1–N)/2]}, multipliziert. Wenn zum Beispiel C=0.8 ist U' eine Matrix mit einer schiefen Gewichtung, wobei die Amplitude der ersten Spalte von allen Spaltamplituden am größten ist, die Amplitude der zweiten Spalte ist kleiner und die Amplitude der letzten Spalte ist am kleinsten. Andererseits ist für U" die Amplitude der ersten Spalte klein und die Amplitude der letzten Spalte groß. Für die meisten Praxisanwendungen sind die Spaltamplituden der U' identisch mit den Spaltamplituden der Matrix U", die Spalten sind dann jedoch in umgekehrter Reihenfolge geordnet. Wir definieren nun eine gewichtete Matrix, wobei U'''= Ku – U'–U". Die entsprechenden Gewichtungsfunktionen U', U" und U''' werden in 2 dargestellt, wobei N=64, C=0.97 und k=3. Die eigentliche Gewichtungsfunktion U " ' ist symmetrisch und für diesen Wert für C an den Spitzen praktisch Null. Eine Gewichtungsfunktion auf einem Sockel ist auf einfache Weise zu ermitteln, indem man für C einen anderen Wert wählt, während der Wert in der Mitte korrigiert werden kann, indem man für k einen anderen Wert wählt. Ist N klein, dann muss für C ein kleinerer Wert bestimmt werden, zum Erhalt einer hinreichenden Gewichtung. Mit N=8 wird zum Beispiel eine gut brauchbare Gewichtung erhalten.
3A zeigt einen gewichteten Transformator 3 mit reellen Gewichtungskonstanten, wobei nun drei Transformationen ausgeführt werden müssen, nämlich eine Transformation für die Matrix U', eine Transformation für die Matrix kU und eine Transformation für die Matrix U", wonach das Ergebnis –U'+ kU – U" bestimmt werden kann. Für die Transformationen U' und U" sind die Korrekturspalten für die Korrektur eines früher ermittelten Wertes nun wie folgt:
Als Alternative können wir eine neue Matrix U' definieren, abgeleitet aus der alten N×N Matrix U, wie folgt: die erste Spalte wird mit e^j2π/(N+1), die zweite Spalte mit e^2j2π/(N+1) ... und die letzte Spalte mit e^Nj2π/(N+1) multipliziert. Wir definieren weiter eine neue Matrix U", abgeleitet aus der alten N×N Matrix U, wie folgt: die erste Spalte wird mit e^{–j2π/(N+1)} die zweite Spalte mit e^{–2j2π/(N+1)} ... und die letzte Spalte mit e^{–Nj2π/(N+1)} multipliziert. Wir definieren nun eine gewichtete Matrix, wobei U'''= kU – AU' – AU". Mit k=0.5, A=0.25 erhalten wir die bekannte Hanning-Gewichtung. Mit weiteren Werten lassen sich die meisten üblichen Gewichtungen realisieren, wie unter anderem eine Gewichtung auf einem Sockel.
3B zeigt einen gewichteten Transformator mit komplexen Gewichtungskonstanten, wobei nun drei Transformationen ausgeführt werden müssen, nämlich eine Transformation mit der Matrix AU', eine Transformation mit der Matrix kU und eine Transformation mit der Matrix AU", wonach das Ergebnis –AU'+ kU – AU" bestimmt werden kann. Für die Transformationen U' und U" sind die Korrekturspalten, welche für die Korrektur eines früher ermittelten Wertes benutzt werden können, nun wie folgt:
Es spricht für sich, dass es sich bei den Definitionen, wie für die Matrices U' und U" angegeben, nur um Beispiele handelt, und dass es bei diesen Beispielen eigentlich nur um Klassen von gewichteten Matrices geht.
4 zeigt ein Beispiel eines linearen Transformators nach der Erfindung, wobei ein Analog-Digital-Umsetzer 1 periodisch ein analoges Signal in ein digitales Vierbit-Signal umwandelt. In diesem Beispiel wird jede Bitposition in der Sammlung von Vierbit-Messwerten wie ein separates Einbit-Signal bearbeitet. Um dies zu ermöglichen, werden die vier Einbit-Signalen in vier Speicher 5, 6, 7, 8 eingegeben, wonach vier identische lineare Transformatoren 9, 10, 11, 12 diese Einbit-Signale in vier Reihen von Zwischenergebnissen umsetzen. Diese vier Reihen von Zwischenergebnissen werden mit den Gewichtungskonstanten 8, 4, 2, und 1 in den Multiplizierschaltungen 13, 14, 15, 16 gewichtet und in einem Addierer 17 zusammengezählt, wonach die Reihe von umgesetzten Messwerten für weitere Verwendung in den Speicher 4 eingegeben wird. Aufgrund der Tatsache, dass die Multiplizierer 13, 14, 15, 16 die Multiplikation mit den Gewichtungskonstanten 8, 4, 2, und 1 ausführen, verschieben sie die Zwischenergebnisse um 3, 2, 1, oder 0 Bits. Weiterhin ist zu beachten, dass die linearen Subtransformatoren 9, 10, 11, 12 identisch sind, wodurch es möglich ist, die vier Einbit-Signale nacheinander mit einem einzigen linearen Subtransformator zu bearbeiten. In diesem Beispiel setzt ein linearer Transformator Einbit-Signale um, was bedeutet, dass die Korrektur einer vorangehenden Transformation folgende Schritte umfasst: die konditionale Subtraktion der ersten Spalte von der Matrix, die Multiplikation des Ergebnisses mit dem Korrekturvektor sowie die konditionale Addierung der letzten Spalte der Matrix. Ist nur die Amplitude der Transformation von Bedeutung, erübrigt sich die Multiplikation mit dem Korrekturvektor, wie im Obenstehenden erläutert. In diesem Fall werden nur eine konditionale Subtraktion und eine konditionale Addierung benötigt, zum Erhalt eines neuen Transformationsergebnisses.

Claims

Computer-implementiertes Verfahren zur Ausführung einer linearen, gewichteten N-Punkt-Transformation, mit N=2,3, ..., auf einer Reihe von Zahlen X₁,..,X_N, welche N-Punkt-Transformation ausgeführt wird, indem man die Zahlenreihe mit einer Matrix multipliziert, welche Matrix die Charakteristik aufweist, dass sich die (i+1)-te Spalte aus der i-ten Spalte derselben Matrix ergibt, indem man die i-te Spalte mit einem festen Korrektionsvektor multipliziert, dadurch gekennzeichnet, dass die gewichtete Transformation mittels einer Summierung von zumindest einer partiellen Transformation U', einer partiellen Transformation U" und einer partiellen Transformation kU so realisiert oder approximativ realisiert wird, dass jede partielle Transformation die Charakteristik aufweist, dass sich eine (i+1)-te Spalte von einer die partielle Transformation darstellenden Matrix aus der i-ten Spalte derselben Matrix ergibt, indem man die i-te Spalte mit einem festen Korrektionsvektor multipliziert.
Verfahren gemäß Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, dass die Elemente des Korrektionsvektors einer partiellen Transformation zu ermitteln sind, indem man die Elemente der zweiten Spalte der partiellen Transformationsmatrix durch die korrespondierenden Elemente der ersten Spalte der partiellen Transformationsmatrix dividiert.
Verfahren gemäß Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, dass die Matrix der partiellen Transformation U' ermittelt wird, indem man die aufeinander folgenden Spalten mit den Zahlenwerten einer reellen Konstante C^–1 multipliziert, mit C<1, und dass die Matrix der partiellen Transformation U" ermittelt wird, indem man die aufeinanderfolgenden Spalten mit den Werten einer reellen Konstante C^–1 multipliziert.
Verfahren gemäß Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, dass die Matrix der partiellen Transformation U' ermittelt wird, indem man die aufeinander folgenden Spalten mit den Werten einer komplexen Zahl D multipliziert, mit D= e^jx, und dass die Matrix der partiellen Transformation U " ermittelt wird, indem man die aufeinander folgenden Spalten mit den Zahlenwerten D^–1 multipliziert.
Verfahren gemäß Anspruch 4, dadurch gekennzeichnet, dass D= e^j2π/(N+1).
Verfahren gemäß einem der Ansprüche 1–3, dadurch gekennzeichnet, dass in der Berechnung einer partiellen Transformation die Subtraktionen der vorher berechneten Transformation, das Produkt von X_i sowie die erste Spalte der Matrix enthalten sind, indem man das Produkt von X_i+N und der nächsten Spalte einer erweiterten Matrix addiert, welche addierten Spalten die Charakteristik aufweisen, dass sich die (i+1)-te Spalte aus der i-ten Spalte derselben Matrix ergibt, indem man die i-te Spalte mit einem Vektor multipliziert, wobei es sich um den reziproken Wert des festen Korrektionsvektors handelt.
Verfahren gemäß einem der vorangehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, dass eine Reihe von M-bit-Binärzahlen X₁,..,X_N,... in M Reihen von Einbit-Binärzahlen aufgeteilt wird, und dass eine Transformation separat auf jeder der M Reihen ausgeführt wird, und dass die Ergebnisse in einer gewichteten Addition kombiniert werden.
Lineartransformator zur Ausführung eines Verfahrens gemäß einem der vorangehenden Ansprüche.