DE60030498T2 - Effizientes Kegelstrahl-Rekonstruktionssystem mittels Daten von kreis- und linienförmigen Quellentrajektorien. - Google Patents

Effizientes Kegelstrahl-Rekonstruktionssystem mittels Daten von kreis- und linienförmigen Quellentrajektorien. Download PDF

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    • Y10S378/901—Computer tomography program or processor

Description

  • Das Gebiet der Erfindung betrifft Computertomographie und insbesondere medizinische Röntgencomputertomographie.
  • Computertomographie (CT), die eine Konusstrahlbündelprojektionstechnologie nutzt, verwendet typischerweise eine Röntgenquelle, um einen Kegel in der Form eines Konus auszubilden. Eine Scanbahn der Röntgenquelle ist eine Kurve, entlang welcher sich der Scheitelpunkt des Konusstrahlbündels während eines Scans bewegt. Ein Satz von Detektoren ist in einem festen Abstand von der Konusstrahlbündelquelle angeordnet. Es gibt derzeit Verfahren, welche eine Beziehung zwischen Konusstrahlbündelprojektionen und einer ersten Ableitung der dreidimensionalen (3D) Radon-Transformierten derartiger Projektionen erstellt haben. Theoretisch kann jede Quellenposition "S" Radon-Daten liefern, die auf einer Kugel, der Radon-Schale von "S", positioniert sind. Die entsprechenden Kugeln auf einer Kreisbahn überstreichen den Radon-Raum des Objektes, der als ein Torus bezeichnet wird. Regionen innerhalb der das Objekt enthaltenden kleinsten Kugel, aber außerhalb des Torus werden als die Schattenzone bezeichnet. Die Schattenzone kennzeichnet den Bereich, in welchem Radon-Daten aus der Kreisbahn fehlen.
  • US 5 444 792 beschreibt ein Verfahren, in welchem eine bidirektionale Anordnung von Sensoren in wenigstens zwei Kreispfaden verschoben ist.
  • Wenn eine Kreis-und-Linienbahn verwendet werden, werden die Linienbahn-Daten typischerweise zum Füllen in der Schattenzone verwendet. Obwohl die Schattenzone sehr klein im Vergleich zu dem Volumen der durch die Kreisbahn gelie ferten gesamten gültigen Radon-Daten ist, sind derzeitige Konusstrahlbündel-Projektionstechniken rechnerisch aufwändig. Demzufolge besteht ein Bedarf für die Vereinfachung der Bildrekonstruktion auf der Basis der Kreis-und-Linienbahn.
  • Gemäß der vorliegenden Erfindung wird ein System für die Rekonstruktion von röntgentomographischen Bildern auf der Basis der Kreis-und-Linienbahn geschaffen. Das System enthält die Schritte der Kombination von Bildern im Frequenzbereich, die getrennt aus den Daten der Kreisbahn und geradlinigen Bahn rekonstruiert wurden. Insbesondere beinhaltet das Verfahren die Schritte von: (1) Umwandeln der Schattenzone in einen Schattenkonus in dem Frequenzbereich, (2) Zuordnen des Schattenkonus im 3D-Fourier-Raum auf einem Satz von 2D-Fourier-Ebenen, (3) Entfernen von Daten, die in der Region liegen, die als die Projektion des Schattenkonus aus der Fourier-Transformierten der Kreisbahndaten markiert ist, und Ersetzen derselben aus der Fourier-Transformierten der Daten der geradlinigen Bahn, (4) Transformieren jeder 2D-Fourier-Ebene in eine entsprechende 2D-Bildebene und (5) Rückwandeln des Horn-förmigen Volumens zurück auf ein Gittervolumen. Eine Interpolationstechnik wird ebenfalls für die Rekonstruktion der Daten der geradlinigen Bahn unter Verwendung eines Direkt-Fourier-Verfahrens (DFM) bereitgestellt.
  • Eine Ausführungsform der Erfindung wird nun im Rahmen eines Beispiels unter Bezugnahme auf die beigefügten Zeichnungen beschrieben, in welchen:
  • 1 ein Röntgentomographie-Bildgebungssystem der vorliegenden Erfindung darstellt;
  • 2 einen Querschnitt der durch das System von 1 gebildeten Kreisbahn darstellt;
  • 3 eine Schattenzone von 2 und einen entsprechenden Schattenkonus darstellt;
  • 4A und 4B einen Querschnitt des Schattenkonus von 2 projiziert auf eine Ebene darstellt;
  • 5 inkrementelle Verarbeitungsschritte darstellt, die in der z-Richtung durch das System von 1 ausgeführt werden;
  • 6 einen Satz paralleler Projektionsdaten bei dem θmax-Winkel (erhalten aus der M-ten Zeile der Detektoranordnung gemäß Darstellung in 5) darstellt;
  • 7 einen Satz paralleler Projektionsdaten bei dem θmin-Winkel (erhalten aus der ersten Zeile der Detektoranordnung gemäß Darstellung in 5) darstellt; und
  • 8 eine inverse bilineare Interpolation des Systems von 1 darstellt.
  • 1 stellt ein CT-Bildgebungssystem 10 im Wesentlichen gemäß einer Beispielsausführungsform der Erfindung dar. In dem System 10 sind eine zentrale Verarbeitungseinheit (CPU) 16, eine Abtastvorrichtung 12 und weitere Bildunterstützungs- und Verarbeitungsteilsysteme 14, 18, 20, 22 enthalten. Die Abtastvorrichtung 12 enthält eine Röntgenquelle 34 und eine Bilddetektionsanordnung 32 zusammen mit den Betätigungsvorrichtungen. Die Bildunterstützungs vorrichtungen 14, 18, 22 enthalten einen Fast-Fourier-Prozessor 14, einen Interpolator 18, einen Speicher 20 und eine Anzeigeeinrichtung 22.
  • In einer zweidimensionalen (2D) tomographischen Rekonstruktion ist eine Alternative zu gefilterter Rückprojektion (FBP – Filtered Back Projektion)) die Rückprojektion nach dem Direkt-Fourier-Verfahren-(DFM-Direct Fourier Method). Die Rückprojektion nach dem Direkt-Fourier-Verfahren basiert auf dem Projektionsscheiben-Theorem, welches postuliert, das eine eindimensionale (1D)-Fourier-Transformierte-(FT) einer Projektion bei einem spezifischen Winkel dem Querschnitt der 2D-FT des Objektes bei demselben Winkel entspricht. Das DFM sollte als eine Alternative für die herkömmliche die geradlinige Bahn beinhaltende Rückprojektionsrekonstruktion verwendet werden.
  • In einem CT-System 10 (1) kann unter Verwendung von Kreisbahndaten und alternativ der Kreisbahn- und Linienbahndaten, welche zu rekonstruieren sind, dargestellt in der durch f(r →) definierten Funktion, diese durch die nachstehende Gleichung ausgedrückt werden: f(r →) = fc0(r →) + fc1(r →) + f1(r →).
  • Die ersten zwei Elemente fc0(r →) und fc1(r →) werden unter Verwendung kreisförmig gescannter Daten und Techniken (wie sie beispielsweise durch Feldkamp et al. und Hu angegeben werden) ermittelt. Beispielsweise haben Feldkamp et al. Konusstrahlbündel-Algorithmen in einem Artikel mit dem Titel PRACTICAL CONE-BEAM-ALGORITHM, veröffentlicht im Journal of Optical Society of America, Vol. 1, No. 6, June 1984, pages 612–619 veröffentlicht. Das zweite Element wird nur benötigt, wenn der dritte Term in dem Radon-Raum ausgewertet wird. Da wir den dritten Term in dem Fourier-Raum auswerten wollen, wird somit der zweite Term ignoriert.
  • Das dritte Element fl(r →) wird aus den Daten der geradlinigen Bahn ermittelt. Es wird typischerweise zum Auffüllen einer Schattenzone 28 verwendet, die durch einen Torus 24 definiert ist, welcher durch die Kreisbahn um die Rotationsachse und die kleinste das Objekt 40 (2) enthaltende Kugel überstrichen wird. Obwohl diese Schattenzone 28, welche im Radon-Raum definiert ist, im Vergleich zu dem Torus 24 klein ist, ist der derzeitige Rückprojektionsprozess rechnerisch aufwändig, wie es aus der Komplexität von fl(r →) gemäß Definition beispielsweise in einem Papier von Hui Hu mit dem Titel "CONE BEAM RECONSTRUCTION ALGORITHM FOR THE CIRCULAR ORBIT AND A CIRCLE-AND-LINS-ORBIT, veröffentlicht von Applied Science Laboratory, GE Medical Systems, 1/31/97, in der nachstehenden Gleichung 1 ersichtlich ist.
    Figure 00050001
    wobei
    Figure 00050002
    Figure 00060001
    und wobei H(z0, Θ, l) die gewichtete zweite Ableitung von Radon-Daten ist, die aus einem bei z = z0 eingeführten Schnappschuss berechnet sind. Für jeden Punkt in dem Objektraum, r →, ist der Punkt einem Punkt (Y0, Z0) auf der Detektorebene zugeordnet. Wenn ein Kreis auf der Detektorebene unter Verwendung des Ursprungs (0, 0) und (Y0, Z0) als zwei Enden eines Durchmessers gezogen wird, erfüllen dann alle gültigen Radon-Daten H(z0, Θ, l) die durch den Kreis abgedeckt sind, die Einschränkung: l = Y0sinΘ + Z0cosθ. Für jeden Punkt (Y0, Z0), gibt es einen entsprechenden Satz von Radon-Daten (H(z0, Θ, l) zur Summierung und anschließenden Rückprojektion auf den Objektraum. Die rechnerische Komplexität dieses Prozesses liegt nahe an dem O(N5).
  • Die vorliegende Erfindung beschreibt ein Verfahren zum Ermitteln einer rechnerisch effizienten CT-Rekonstruktion unter Verwendung von Daten, die aus Linienbahnscans des Objektes 40 (dargestellt in 2) erhalten wurden. Zuerst wird die Schattenzone 24 im Radon-Raum aufgefüllt und in einen Schattenkonus 30 im Frequenzraum (3) umgewandelt. Zweitens wird der durch die CPU 14 durchgeführte Ersetzungsprozess aus dem ursprünglichen dreidimensionalen Frequenzraum in mehrere 2D-Frequenzscheiben vereinfacht.
  • Der erste Schritt basiert auf der Tatsache, dass die Fourier-Transformierte einer radialen Linie im 3D-Radon-Raum zu derselben radialen Linie im 3D-Fourier-Raum äquivalent ist. Wenn eine radiale Linie in 3D-Radon-Raum die Schattenzone 28 schneidet, wird deren Gegenstück in dem 3D-Fourier-Raum "kontaminiert", da einige Radon-Daten in der radialen Radonlinie fehlen. Da alle die Schattenzone 28 schneidenden radialen Linien einen Schattenkonus 30 bilden, bildet die Sammlung von deren Gegenstücken in den 3D-Fourier-Raum ebenfalls einen Frequenz-unzureichenden Konus. Der Frequenz-unzureichende Konus (oder der kontaminierte Konus) des ersten Terms der Gleichung (1), welcher im Fourier-Raum definiert ist, wird durch den des dritten Terms der Gleichung (1) ersetzt.
  • Der zweite Schritt dient dazu, zu zeigen, dass die geradlinige Bahn ausreichend Frequenzdaten unterstützt, um den kontaminierten Konus (welcher aufgrund der Kreisbahn vorliegt) gefolgt von einer Prozedur für die Ersetzung des kontaminierten Konus in 2D-Fourier-Raum zu ersetzen.
  • 5 stellt dar, dass die geradlinige Scanbahn implementiert werden kann, indem man einen Röntgenquelle 34 und eine Detektortafel 32 festhält, während das Objekt 40 entlang der z-Achse 36 (welche auch die Rotationsachse der Kreisbahn ist) bewegt wird. Die Bewegung des Objektes 40 in der "z-Richtung" erfolgt in diskreten Inkrementen, die als "z-Schritt" 36 Inkremente angezeigt sind. Jede vertikale Spalte der Detektoren 32 definiert zusammen mit der Quelle 34 eine Ebene durch das Objekt 40. In jeder vertikalen Ebene definiert jede Detektorposition einen spezifischen Winkel, und die durch diesen Detektor gesammelten Daten entsprechen einer Parallelprojektion des in Intervallen des z-Schrittes 36 abgetasteten Objektes. 6 stellt eine Anzahl von parallelen Projektionen des Objektes 40 bei dem Winkel θm = θmin dar. Diese parallelen Projektionen werden dazu genutzt, um das entsprechende fehlende Winkelsegment in der 2D-FT-Ebene aufzufüllen. θmax und θmin sind Winkel, die so gewählt sind, dass das Datenvolumen für die Schattenzone 30 (3) das zum Ersetzen des Datenvolumens der Schattenzone 28 verwendet wird, das Datenvolumen der Schattenzone umgibt. Diese Bedingung ist erfüllt, wenn θ0 = θn gemäß Darstellung in 2 ist, wo q0 = sin–1(R/d) ist, wobei θ0 = sin–1(Rd ),wobei "R" der Radius der kleinsten das Objekt 40 enthaltenden Kugel ist und "d" der Radius der Kreisbahn ist.
  • Der Schattenkonus 30 (3) im 3D-Fourier-Raum kann als ein 2D-Schattenkonus auf einen Satz von 2D-Fourier-Ebenen projiziert werden. Die inverse Transformierte von jeder dieser 2D-Fourier-Ebenen entspricht einer Bildebene, welche durch die Röntgenquelle und eine Spalte "N" der Detektoren 32 (5) definiert ist.
  • Zuerst sei F(u, v) die Fourier-Transformierte einer 2D-Funktion f(x, y). Die 1D-Fourier-Daten bei x = x0 werden wie folgt abgeleitet:
    Figure 00080001
  • Ebenso wird für die Fourier-Transformierte einer 3D-Funktion f(x, y, z) die 2D-Fourier-Transformierte der Objektscheibe bei x = x0 identifiziert wie folgt:
    Figure 00090001
  • Für den Fall, dass der gewünschte "n"-dimensionale Fourier-Raum nicht orthogonal zu der (n+1)-ten Dimension des erweiterten (n+1)-ten dimensionalen Fourier-Raums ist, beispielsweise, wenn die gewünschte 1D-Fourier-Transformierte auf einer Linie liegt, die durch die Gleichung xcosθ + ysinθ – p = 0 ist, dreht man geeignet die ursprünglichen 2D-Koordinaten (x, y) um einen Winkel θ in neue Koordinaten (x', y'). Es sei F(u', v') die Fourier-Transformierte von f(x', y'). Dann wird F(u', v') auch durch Rotation von F(u, v) um den Winkel θ erhalten. Die Fourier-Transformierte entlang der Linie xcosθ + ysinθ – p = 0 ist wie folgt identifiziert:
    Figure 00090002
  • In ähnlicher Weise ist die 2D-Fourier-Transformierte entlang der durch xcosφ + ysinφ – ρ = 0 definierten Ebene gegeben durch
    Figure 00090003
  • Wieder wird F(u', v', w) durch Rotation der (u, v)-Koordinaten um einen Winkel φ gemäß Darstellung in 4A erhalten, während die w-Koordinate unverändert bleibt. Das gedrehte Koordinatensystem ist graphisch in den 4A und 4B dargestellt, in welchen die neuen Koordinaten (u', v', w) so gewählt ist, dass u' parallel zu der Senkrechten der interessierenden Ebene (dargestellt als die SO'-Linie) ist. Somit wird die Schattenscheibe 26 (welche ein Querschnitt des Schattenkonus 30 (4A) ist, die die horizontale Ebene 27 (4B) schneidet, auf SO' als ein Liniensegment projiziert, das bei "O'" zentriert ist und Endpunkte "f" und "e" besitzt. Die Länge des Liniensegmentes
    Figure 00100001
    ist gleich dem Durchmesser des bei "O" zentrierten Schattenkonus 30.
  • Zusammengefasst wird der Schattenkonus 30 (4A), der die Fläche im Radon-Raum in 3D-Fourier-Raum definiert, auf den 2D-Fourier-Unterraum durch Anwenden einer 1D-Invers-Fourier-Transformation projiziert. Mit anderen Worten, statt dem Schattenkonus im 3D-Fourier-Raum zu ersetzen, wird das gescannte Objekt 40 in einer Reihe von 2D-Fourier-Ebenen dargestellt und ersetzt die projizierte 2D-Schattenscheibe 26 in allen einzelnen Ebenen.
  • Bei der Anwendung des vorstehend beschriebenen Prinzips werden die nachstehenden Anordnungs- und Scan-Parameter angenommen. Die Detektoranordnung 32 (5) wird durch den Ausdruck D(M × N) bezeichnet, wobei die Detektoranordnung 32 "M" Zeilen und "N" Spalten hat. Die Projekti onsdaten der Kreisbahn werden durch den Ausdruck PC(M × N × Vc) bezeichnet, wobei Vc die Gesamtanzahl von Ansichten ist. Projektionsdaten der Linienbahn werden durch den Ausdruck Pl(M × N × Vl) bezeichnet, wobei Vl ebenfalls die Gesamtanzahl der Ansichten ist. Ein aus Kreisbahndaten rekonstruiertes Bild hat die Form IC(K × K × K) oder ICS(K × N × K); das erstere ist ein kubisches Volumen, während das letztere ein "Horn-förmiges" Volumen ist, das durch die Röntgenquelle und die Detektortafel definiert wird. Ein aus Linienbahndaten rekonstruiertes Bild hat die Form "Il(K × K × K) oder Ils(K × N × K); ebenso ist das erstere ein kubisches Volumen und das letztere ein "Horn-förmiges" Volumen.
  • Das Bild wird aus den Linienbahndaten rekonstruiert. Als ein erster Schritt werden die Linienbahn-Projektionsdaten modifiziert, um den Effekt der Divergenz, wenn mehrere Strahlen von der Quelle 34 zu der Detektoranordnung 32 verlaufen, wie es graphisch in den 5, 6 und 7 dargestellt ist, anzupassen. Der auf der Detektortafel detektierte divergente Strahl wird modifiziert, indem die Detektorwerte mit einer Gewichtungsfunktion wie folgt multipliziert werden:
    Figure 00110001
    wobei "D" in diesem Falle der Quellen/Detektor-Abstand (5) ist, und wobei ISO auf (n0, l0) der Detektortafel 32 projiziert wird. Die Werte "a" und "b" sind die Detektorraster in den Zeilen bzw. Spaltendimensionen. Detektor raster sind Standarddefinitionen, die den Abstand zwischen den Mittelpunkten von zwei Detektoren definieren.
  • Die Vertikalebene des n-ten Winkels wird anschließend rekonstruiert. Um die Vertikalebene des n-ten Winkels zu rekonstruieren, werden die Projektionsdaten Pln(M × Vl) aus der n-ten Spalte der Pl-Anordnung entzogen, wobei die m-te Zeile einen festen Strahlwinkel von θm entspricht.
  • Die Zeilenelemente Pm werden so verschoben, dass der Objektmittelpunkt dieser vertikalen Scheibe bei v = vl/2 neu ausgerichtet ist. Es sei P'ln die neu ausgerichtete Projektionsanordnung.
  • Um wieder zu dem Objektraum zurückzukehren, kann jedes von den zwei Verfahren genommen werden. Als eine erste Option werde eine 1D-FFT auf jede Reihe von P'ln angewendet. Jeder Satz der FFT-Daten wird auf einer radialen Linie in einem Winkel θm für m = l... M platziert. Eine inverse FFT wird angewendet, um den Fourier-Datensatz in den Objektraum umzuwandeln.
  • Als eine zweite Option werden die gefilterten P'ln für alle "N" Spalten rückprojiziert, um ein Horn-förmiges Volumen zu erhalten, das "N" Vertikalebenen enthält, die durch die Röntgenquelle 34 und "N" Detektorspalten "N" definiert sind. Es sei fn(x, y) das rekonstruierte Bild auf der Basis der n-ten Spalte und Qm die gefilterte Projektionsanordnung, wobei dann ist
    Figure 00120001
  • Die Ergebnisse der Anwendung der vorstehenden Gleichung auf die verschobenen Zeilenelemente sind als eine volumetrische Anordnung I1S, mit einer Hornform angezeigt. Das Endbild kann mittels eines von zwei möglichen Verfahren rekonstruiert werden. Zuerst kann der Schattenkonus 30 im 3D-Fourier-Raum ersetzt werden. Alternativ kann der Schattenkonus 30 in 2D-Fourier-Räumen ersetzt werden und dann aus dem Hornformvolumen zu einem kubischen Volumen rückinterpoliert werden.
  • Die Ersetzung des Schattenkonus 30 in 3D-Raum wird zuerst dargestellt. Als ein erster Schritt wird der Feldkamp-Algorithmus verwendet, um das Bild, IC, in Verbindung mit dem Torus 24 aus den Kreisbahndaten zu rekonstruieren. Anschließend wird eine 3D-Fourier-Transformierte, F(IC) aus IC erhalten.
  • Das Horn-förmige Volumen IIS wird interpoliert, um ein entsprechendes kubisches Volumen II zu erhalten. Eine 3D-Fourier-Transformierte, F(II) wird aus II erhalten.
  • Der Schattenkonusabschnitt von F(IC) wird durch sein Gegenstück aus F(II) ersetzt, um eine reparierte Fourier-Datenanordnung zu erzeugen. Eine inverse Fourier-Transformation wird dann auf die reparierte Fourier-Datenanordnung angewendet, um zu einem kubischen Raum zurückzukehren.
  • Die Ersetzung des Schattenkonus in 2D-Fourier-Räumen wird anschließend dargestellt. Als ein erster Schritt wird wieder der Feldkamp-Algorithmus verwendet, um ein Bild IC aus den Kreisbahndaten zu rekonstruieren. Anschließend wird IC zu ICS interpoliert, in welchem IS mehrere Vertikalebenen des Winkels definiert. IIs wird aus den Linienbahndaten wie vorstehend beschrieben erhalten.
  • Die Fourier-Transformierte F(ICS) und F(IIS) wird aus ICS und aus IIS erhalten. Der Schattenkonus wird in jeder 2D-Ebene von F(ICS) durch dessen in F(IIS) definiertes Gegenstück ersetzt. Eine inverse Fourier-Transformation wird auf jeden der reparierten 2D-Sätze von Fourier-Daten angewendet. Schließlich wird das Horn-förmige Volumen zu einem kubischen Volumen rückinterpoliert.
  • Das vorstehend beschriebene DFM-Verfahren erfordert eine Interpolation aus Polarkoordinaten zu rechtwinkligen Koordinaten.
  • Die vorstehend beschriebene Konus strahlbündelrekonstruktion basiert auf Kreis- und Linienbahnen, was es erfordert, dass die fehlende Schattenzone 28 der Kreisbahndaten in dem Fourier-Bereich durch die Linienbahndaten ersetzt wird. Für die in 5 dargestellte Linienbahnausrichtung ist eine Bewegung des Objektes 14 in der "z-Richtung" in als "z-Schritt" 36 Inkrementen definierten diskreten Inkrementen dargestellt. Jede vertikale Spalte der Detektoren 32 definiert zusammen mit der Quelle 34 eine Ebene durch das Objekt 40. Innerhalb jeder vertikalen Ebene definiert jede Detektorposition einen spezifischen Winkel und die durch diesen Detektor gesammelten Daten entsprechen einer Parallelprojektion des in Intervallen des z-Schrittes (5, 6 und 7) abgetasteten Objektes. 6 stellt eine Anzahl paralleler Projektionen des Objektes 40 bei dem Winkel θm = θmax dar und 7 stellt Parallelprojektionen des Objektes 40 bei dem Winkel θm = θmin dar. Diese Parallelprojektionen werden dazu verwendet, um das entsprechende feh lende Winkelsegment in der 2D-FT-Ebene aufzufüllen. θmax und θmin sind Winkel, die so gewählt sind, dass das Datenvolumen für den Schattenkonus 30 (3), das zum Ersetzen des Datenvolumens der Schattenzone 28 dient, das Schattenzonendatenvolumen umfasst. Diese Bedingung ist erfüllt, wenn θ0 = θm gemäß Darstellung in 2 ist.
  • Ein Ansatz besteht in der Rekonstruktion der gefilterten Rückprojektions-(FBP)-Bildes für jede Winkelebene unter Verwendung der Parallelprojektionen aus dem Satz beschränkter Winkelansichten und dann in der Berechnung der 2D-FT und in der Verwendung dieser zum Ersetzen des fehlenden Winkelsegmentes.
  • Eine weitere Alternative besteht in der Umwandlung der Polargitterdaten aus der 1D FT der Parallelprojektionen in ein rechteckiges Gitter direkt in 2D-FT-Bereich. Dieses Verfahren ist ähnlich der Interpolation, die in der Ruckprojektion mit dem Direkt-Fourier-Verfahren erforderlich ist.
  • In der Linienbahn sind für jede Ebene eine Anzahl von Projektionen (gleich den "M" Detektoren in jeder vertikalen Spalte) für einen Winkelbereich von θmin bis θmax erforderlich. Interpolationstechniken für die Liniendaten stellen die Vorgehensweise für die Entwicklung der nachstehend beschriebenen Interpolationstechniken bereit, welche für die Berechnung der Konusstrahlbündel-Rekonstruktionsverfahren nützlich sind.
  • Zuerst sei μϕ(x, y) das Bild in einem festen Koordinatensystem x–y und μf(x ^, y ^) möge das Objekt in einem Koor dinatensystem x ^–y ^ darstellen, das gegenüber x–y um einen Winkel ϕ gedreht ist. Die Projektion des Objektes bei einem Blickwinkel ϕ ist
    Figure 00160001
  • Die 1D FT von pϕ(x ^) ist gegeben als
    Figure 00160002
  • Wenn Mϕ(p, ϕ) die 2D-FT von μϕ(x, y) in Polarkoordinaten bezeichnet, ist dann auf der Basis des Projektionsscheibentheorems
    M(ρ, ϕ) = Pϕ(ρ), wobei
    Figure 00160003
  • Unter der Annahme, dass M(ρ, ϕ) bekannt ist, können diese FT Daten in Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten durch den Ausdruck M(ρcosϕ, ρsinϕ) = M(ρ, ϕ) umgewandelt werden. Das Objekt wird durch eine inverse 2D-FT unter Verwendung des Ausdruck der Formel (10) rekonstruiert.
  • Figure 00160004
  • M(ρ, ϕ) ist jedoch nicht an allen Positionen bekannt, sondern nur bei dem begrenzten Satz diskreter Punkte (ρj, ϕk) Das Problem wird dann zu einer Interpolation von den bekannten Werten von Polarpunkten auf die Werte, die über einem rechteckigen kartesischen Gitter benötigt werden.
  • Ein existierendes Theorem wird zur Lösung dieses Problems verwendet. Zuerst sei x(t) eine periodische Funktion im Zeitraum "t" mit der Periode "T". Wenn x(t) im Winkel auf einen Wert (c 1 / T) bandbegrenzt ist, wobei "c" eine Konstante ist und "K" ein ganzzahliger Wert bezüglich der Anzahl der Abtastwerte von x(t) ist, kann dann x(t) geschrieben werden als:
    Figure 00170001
  • Der Beweis ergibt sich aus dem Abtasttheorem von Shannon wie folgt:
    Figure 00170002
    wobei die Anzahl der Datenanordnungsspalten N = 2K + 1 ist. Eine Winkelinterpolation verwendet die Funktion M(ρ, ϕ), wobei die Variable f eine Periode von 2π hat. Da M(ρ, ϕ) im Winkle auf "K" bandbegrenzt ist (d.h., die Koeffizienten der Fourier-Reihe genügen cn = 0 für |n| > K), ist dann
    Figure 00180001
  • Eine Radialinterpolation wird nachstehend beschrieben. Wenn das Objekt auf den Durchmesser 2A raumbegrenzt ist, wobei "A" ein Äquivalent zu dem Radius "R" ist, welcher vorstehend als der Radius der kleinsten Kugel angegeben wurde, die das Objekt 14 enthält, sind dessen Projektionen ebenfalls auf den Durchmesser 2A begrenzt, und daher kann die FT der Projektion Pϕ(u) unter Anwendung des Abtasttheorems von Shannon rekonstruiert werden als:
    Figure 00180002
  • Eine Kombination von Winkel- und Radialinterpolation ergibt:
    Figure 00180003
    MC(uj, vm) wird über den kartesischen Raum berechnet als:
    Figure 00190001
  • Um den Interpolationsfehler zu reduzieren, kann eine Anzahl von Schritten wie nachstehend beschrieben unternommen werden. Ein Fehler aus einer unzureichenden Abtastung im Raum wird zuerst betrachtet.
  • Während der Linienbahn werden die Parallelprojektionsdaten in Intervallen eines vorbestimmten z-Schrittes 36 abgetastet. Da die Projektionen raumbegrenzt sind, sind sie nicht bandbegrenzt. Eine Abtastung der Projektionen über einem vorbestimmten z-Schritt-Fenster (z.B. 2A) reduziert effektiv die Bandbreite und führt Verzerrungsartefakte in den 2D-FT-Bereich ein. Demzufolge wird der "z-Schritt" 36 klein genug gewählt, sodass die effektive Bandbreite B = 1 / 2·z-Schritt [Punkte/Zyklus] im Wesentlichen den Frequenzgehalt der Projektionen enthält.
  • Eine weitere Fehlerquelle ist eine unzureichende Abtastung in einer radialen Frequenz. Wenn das Objekt im Durchmesser auf 1 / 2·A raumbegrenzt ist, sind dessen Projektionen ebenfalls auf 2A raumbegrenzt, womit die FT gleichmäßig in Intervallen von mindestens 1 / 2A [Punkten pro Zyklus] abgetastet, um Verzerrungen zu vermeiden.
  • Für die Liniendaten ist die effektive Bandbreite als "B" definiert. Die Anzahl radialer Abtastungen "N" wird so gewählt, dass 2·B / N = 1 / N·z-Schritt ≤ 1 / 2·A ist. Ferner ist der Gitterabstand in dem 2D-FT-Bereich nahezu 1 / 2A [Punkten pro Zyklus].
  • Eine weitere Fehlerquelle ist eine unzureichende Anzahl von Ansichten. Nicht-isotropische und mittelpunktsverschobene Objekte sind nicht regelmäßig bandbegrenzt. Somit kann die Anzahl von Projektionen sehr groß sein. In der Praxis wird jedoch die Anzahl von Projektionen so gewählt, dass in dem 2D-FT-Bereich die Abtastung zwischen zwei benachbarten radialen Linien angenähert gleich dem maximalen Gitterabstand von 1 / 2A [Punkten pro Zyklus] ist.
  • Die Interpolation in dem 2D-FT-Bereich wird anschließend beschrieben. Für die Linienbahndaten wird ein regelmäßiger Gitterabstand von 1 / 2A [Punkten pro Zyklus] in dem 2D-FT-Bereich verwendet. In einer Computerimplementation wird typischerweise die Fast Fourier-Transformation (FFT) für die Berechnung der 1D-FT jeder Projektion angewendet. Um die radiale Abtastung zu verbessern, wird eine Nullenauffüllung der Projektionsdaten vor der Anwendung der FFT durchgeführt. In dieser Beschreibung beinhaltet die Nullenauffüllung die Schritte der Hinzufügung von Nullen zu dem Datensatz, um Artefakte nach der Durchführung einer FFT zu minimieren. Sobald eine radiale Abtastung erzielt wurde, wird eine Nächste-Nachbarn-Interpolation oder eine Linear interpolation verwendet, um die Werte zwischen den neuen Abtastpunkten zu berechnen.
  • Wie vorstehend erwähnt, werden für die Linienbahn mehrere Projektionen für ein kleines Winkelsegment benötigt (d.h., die Winkelrichtung wird im Vergleich zur radialen Abtastung überabgetastet). Ein Problem besteht darin, wie diese Daten effizient zu nutzen sind. Ein einfaches Interpolationsschema wie z.B. die Nächste-Nachbarn-Interpolation verwendet nicht alle verfügbaren Daten. Ein alternativer Ansatz ist die Dezimierung der Anzahl der Ansichten durch Gruppieren der Zeilen und dann durch Summieren der Zeilen aus jeder Gruppe, um so das Signal/Rausch-Verhältnis (SNR) unter Verwendung einer inversen bilinearen Interpolationstechnik zu verbessern, wie sie nachstehend ausführlicher beschrieben wird. In der vorliegenden Erfindung wird eine inverse bilineare Interpolationstechnik bei Daten in dem Polargitterformat angewendet. Für eine Interpolation in der Azimutrichtung, σ(ϕ), kann die in der Gleichung (13) definierte Funktion verwendet werden. Diese Funktion ist jedoch rechnerisch unpraktisch. Für eine Computerimplementation müssen die Werte in der Interpolationsfunktion beschränkt werden, was Artefakte verursacht.
  • Von einem Berechnungsstandpunkt aus ist der am einfachsten zu implementierende Interpolationsalgorithmus der Nächste-Nachbarn-(NN)-Algorithmus, wobei jedem Pixel der Wert der Abtastung gegeben wird, welche dem Pixel am nächsten liegt. NN entspricht einer Faltung der abgetasteten Daten mit einer Rechteckfunktion. Eine Faltung mit einer Rechteckfunktion in dem Raumbereich ist äquivalent zu einer Multiplikation des Signals im Frequenzbereich mit einer sinc(.)-Funktion, welche ein schlechtes Tiefpassfilter ist, da es auffallende Seitenkeulen aufweist.
  • Eine Linearinterpolation entspricht einer Faltung der abgetasteten Daten mit einem Dreiecksfenster. Diese Funktion entspricht dem Frequenzbereich einer sinc2(.)-Funktion, welche eine bessere Tiefpassfilterungseigenschaft als NN hat.
  • Das NN-Verfahren interpoliert auf der Basis eines einzigen Punktes. Der Linearinterpolationsalgorithmus interpoliert auf der Basis von zwei nächsten Punkten. Die Verwendung von drei Punkten für die Interpolation würde zu zwei Punkten auf einer Seite und nur einem auf der anderen Seite führen. Das B-Spline-Verfahren ermöglicht die Interpolation über die zwei nächsten Punkte in jeder Richtung. Das kubische B-Spline-Verfahren weist vier Faltungen der Rechteckfunktion des NN-Verfahrens auf. Da kubische B-Splines symmetrisch sind, müssen sie nur in dem Intervall (0,2) definiert sein. Mathematisch können die B-Splines geschrieben werden als:
    Figure 00220001
  • Die vorstehend definierten kubischen B-Splines können dafür angepasst sein, dass sie ein glattes Polynom dritter Ordnung durch den verfügbaren Satz der Daten des Schattenkonus 30 legen.
  • Eine weitere Interpolationsfunktion beinhaltet die Begrenzung von σ(ϕ). Wie vorstehend erwähnt, ist es erwünscht, die ideale Interpolationsfunktion in der Winkelrichtung der σ(ϕ)-Funktion zu finden. Die σ(ϕ)-Funktion hat eine erhebliche Energie und somit fällt sie nicht schnell über einen längeren Abstand ab, und kann daher nicht leicht als eine Raumbereichsfaltung implementiert werden. Es ist üblich, die Funktion auf einen kleinen Abstand zu beschneiden, jedoch verwirft die Beschneidung einen Grossteil der vorgenannten Energie. Ferner erzeugt die Beschneidung in dem Raumbereich Überschwingungsartefakte, wenn das Objekt aus dem Raumbereich in den Signalbereich umgewandelt wird.
  • Bilineare Interpolation ist ein 2D-Interpolationsverfahren. In diesem Verfahren wird f(x, y) durch eine Linearkombination von f(n1, n2) an den vier nächstliegenden Punkten für n1T ≤ x ≤ (n1 + 1)T und n2T ≤ y ≤ (n2 + 1)T bewertet. Der interpolierte Wert f(x, y) in dem bilinearen Verfahren ist:
    Figure 00230001
  • Eine inverse bilineare Interpolation wandelt Polargitterdaten in Daten eines rechtwinkligen Gitters über eine inverse bilineare Gewichtung um. D.h., jedes Polar-Gitterelement wird auf seine nächsten vier rechtwinkligen Gitter unter Verwendung der vier Unterflächen als normierte Gewichte rückverteilt. Das Verfahren ist in dem Sinne robust, dass die Originaldaten nicht regelmäßig verteilt werden müssen, solange die Daten wenigstens ein Element in jedem rechtwinkligen Quadrat besitzen. Somit können unerwünschte Datenelemente, die durch Defekte oder Ränder in der Detektoranordnung 32 (5) bewirkt werden, ignoriert werden. Ein weiterer Vorteil dieses Prozesses besteht darin, dass alle guten Daten vollständig genutzt werden, was demzufolge ein besseres Signal/Rausch-Verhältnis (SNR) erzeugt.
  • Ein Linienbahn-Bezugswert "x" und zugeordnete Gitterpunkte, die in einer inversen bilinearen Interpolation verwendet werden, sind graphisch in 8 dargestellt. Der Datenwert "x" wird an seine vier nächstgelegenen Gitterpunkte wie folgt verteilt:
    Figure 00240001
  • Jeder Gitterpunkt hat einen akkumulierten Wert gij, welcher die akkumulierten gewichteten "x"-Werte aus den vier benachbarten Quadraten angibt. Um den akkumulierten Wert bei jedem Gitterpunkt zu normieren, ist es erforderlich, eine weitere Variable wij bereitzuhalten, welche die akkumulierten Gewichte (aij) zugeordnet zu der bilinearen Verteilung des Pixels (i, j) angibt. In der Tat ist dieses ein Normierungsschritt an dem Ende der Interpolationsprozedur, da jeder Gitterwert durch das akkumulierte Gewicht wij dividiert wird.
  • Sechs Simulationssätze wurden unter Verwendung der beschriebenen Interpolationsverfahren für den 2D-FT-Bereich und den Bildbereich durchgeführt. Die Simulationsergebnisse stellen die inverse bilineare Interpolation im Vergleich zu den Nächste-Nachbarn-(NN)-, Linear-, kubische B-Spline- und gefilterte Rückprojektions-(FBP)-Interpolationsverfahren dar. Ergebnisse sind in den Tabellen I–VI dargestellt. Für die ersten drei Simulationen wurde die Linearinterpolation in der radialen Richtung verwendet. Die Nächste-Nachbarn-, Linear-, und kubische B-Spline-Interpolationstechniken wurden in der Azimutrichtung verwendet. Die Rekonstruktion eines Winkelsegmentes in dem 2D-FT-Bereich wurde unter Verwendung der Linienbahndaten simuliert. Die interessierende Scheibe war die mittige Scheibe durch das Objekt von 5. Das Objekt bestand aus drei horizontalen Scheiben, so dass es scharfe Kanten in der z-(Vertikal)-Richtung hatte.
  • Das σ(ϕ)-Beschneidungsinterpolationsverfahren) wurde ebenfalls in der Azimutrichtung (einschließlich acht benachbarten Punkten) angewendet. Eine Linearinterpolation wurde in der radialen Richtung angewendet. Die Nächste-Nachbarn-Interpolation und Linearinterpolation erzeugte bessere Leistungsergebnisse als die kubische B-Spline-Interpolation. Jedoch verwendet die kubische B-Spline-Interpolation nur vier Punkte im Gegensatz zu den acht Punkten in der beschnittenen σ(ϕ)-Interpolation. Somit ist die kubische-B-Spline-Interpolation rechnerisch attraktiver als die beschnittene σ(ϕ)-Interpolation mit den acht Punkten, weshalb die beschnittene σ(ϕ)-Interpolation nicht in den Vergleich einbezogen wurde.
  • Eine auf Polarpunkten basierende bilineare Interpolation wurde ebenfalls untersucht. Die 2D-FT der interessierenden Scheibe wurde berechnet und als der Basisbezug für den Vergleich der vorstehend angegebenen Verfahren verwen det. Die 2D-FT der FBP-Rekonstruktion wurde ebenfalls in den Vergleich einbezogen. Eine FBP-Rekonstruktion erfordert die Rekonstruktion des 2D-FMP-Bildes und dann eine Berechnung der 2D-FT. Jedoch erfordert eine Polar-Bilinearinterpolation keine Rückwandlung in den Bildbereich. Dieses führt zu einem rechnerischen Vorteil gegenüber dem FBP Verfahren.
  • Um die Leistungsfähigkeit jedes Verfahrens zu messen, wurden die interpolierten rechteckigen Gitterwerte unter Verwendung der vorstehenden Verfahren für unterschiedliche Anzahlen von Ansichten und radialen Abtastwerten berechnet. Der Fehler wurde mit der echten 2D-FT wie folgt berechnet:
    Norm 1 (Gesamtabsolutdifferenz, Tabelle I); Norm 2 (Quadratwurzel des gesamten quadrierten Abstandes, Tabelle II); und Norm ∞ (maximale absolute Differenz, Tabelle III). Man beachte, dass die Begriffe Norm 1, Norm 2 und Norm∞ in der statistischen Analyse verwendete Standardbegriffe sind. TABELLE I
    % NORM 1-FEHLER IM 2D-FT-BEREICH
    Anzahl Ansichten 256 256 64 16
    Anzahl radialer Abtastwerte 1280 256 256 256
    Nächster Nachbar 58.4 58.0 60.9 75.2
    Linear 49.7 49.5 51.6 67.1
    Kubischer B-Spline 45.7 45.6 47.9 64.9
    Invers Bilinear 41.2 40.7 43 3 60.9
    FBP 77.6 77.6 776 77.6
    % NORM 2-FEHLER IM 2D-FT-BEREICH
    Anzahl Ansichten 256 256 64 16
    Anzahl radialer Abtastwerte 1280 256 256 256
    Nächster Nachbar 31.6 31.6 33.0 38.9
    Linear 26.5 26.5 26.3 33.8
    Kubischer B-Spline 24.4 24.5 24.8 32.9
    Invers Bilinear 21.8 21.3 22.4 31.9
    FBP 54.5 54.5 54.5 54.5
    TABELLE III
    % NORM ∞-FEHLER IM 2D-FT-BEREICH
    Anzahl Ansichten 256 256 64 16
    Anzahl radialer Abtastwerte 1280 256 256 256
    Nächster Nachbar 8.88 8.88 8.88 8.88
    Linear 8.87 8.87 7.82 6.78
    Kubischer B-Spline 8.61 8.61 7.70 6.77
    Invers Bilinear 7.58 6.08 6.08 7.26
    FBP 80.25 80.25 80.25 80.25
  • Die entsprechenden beschränkten Bildansichten wurden ebenfalls unter Anwendung der inversen 2D-FT aus den interpolierten rechtwinkligen Gittern berechnet (Tabellen IV- VI). Die Fehler wurden in den rekonstruierten Bildern mit dem echten Bild verglichen. Das FBP-Bild ist ebenfalls in den Vergleich einbezogen. Man beachte, dass es in der realen Implementation für die Linienbahn nicht erforderlich ist, die Bilder zu rekonstruieren, bevor die 2D-Td-Daten in die Feldkamp-2D-Fd-Daten eingesetzt sind. TABELLE IV
    % NORM 1-FEHLER IM BILD-BEREICH
    Anzahl Ansichten 256 256 64 16
    Anzahl radialer Abtastwerte 1280 256 256 256
    Nächster Nachbar 24.1 24.0 24.2 27.4
    Linear 19.1 19.1 18.4 21.2
    Kubischer B-Spline 16.1 18.1 15.7 18.9
    Invers Bilinear 12.5 11.8 12.5 22.3
    FBP 38.5 38.5 38.5 38.5
    TABELLE V
    % NORM 2-FEHLER IM BILD-BEREICH
    Anzahl Ansichten 256 256 64 16
    Anzahl radialer Abtastwerte 1280 256 256 256
    Nächster Nachbar 93.3 93.1 87.5 108.4
    Linear 52.8 52.6 50.1 77.6
    Kubischer B-Spline 50.8 50.7 49.4 75.7
    Invers Bilinear 40.0 40.3 45.8 89.9
    FBP 84.5 84.5 84.5 84.5
    TABELLE VI
    % NORM ∞-FEHLER IM BILD-BEREICH
    Anzahl Ansichten 256 256 64 18
    Anzahl radialer Abtastwerte 1280 256 256 256
    Nächster Nachbar 82.0 81.7 93.8 133.5
    Linear 67.8 67.5 78.4 121.5
    Kubischer B-Spline 66.5 66.2 77.7 117.0
    Invers Bilinear 61.8 61.8 68.0 89.3
    FBP 97.8 97.8 97.8 97.8
  • Es kann beobachtet werden, dass die Erhöhung der radialen Abtastung nicht den Fehler in dem Bildbereich reduziert. Jedoch induziert eine Verringerung der radialen Abtastung Fehler, da der rechtwinklige Gitterabstand nicht mehr in derselben Größenordnung wie die radiale Abtastung ist. Der Wert des "z-Schrittes" 36 ist jedoch wegen Bandbreiteneinschränkungen festgelegt. Somit sind "N" Abtastwerte für jede Projektion verfügbar, sodass N multipliziert mir "z-Schritt" = 2A ist.
  • In jedem Falle hat die inverse bilineare Interpolation weniger Fehler sowohl in dem 2D-FT-Bereich als auch in dem Bildbereich im Vergleich zu den anderen aufgelisteten Interpolationsverfahren. Die Anzahl von Ansichten in dem 2D- FT-Bereich und in dem Bildbereich kann ebenfalls von 256 aus reduziert werden, ohne den Bildfehler deutlich zu erhöhen, wie es beispielsweise durch die Daten in der Tabelle VI beobachtet werden kann.

Claims (19)

  1. Verfahren zum Rekonstruieren röntgentomographischer Bilder, die Daten aus einer Kreisbahn und Daten aus einer geradlinigen Bahn enthalten, wobei die Kreisbahn eine Schattenzone (28) in einem 3D-Radon-Raum definiert, in welchem 3D-Radon-Daten aus der Kreisbahn fehlen, wobei ein derartiges Verfahren die Schritte aufweist: Darstellen des aus der Kreisbahn erhaltenen Bildes in einem ersten Volumen; Darstellen des aus der geradlinigen Bahn erhaltenen Bildes in einem entsprechenden zweiten Volumen; Umwandeln von 2D-Bildern in den vertikalen Ebenen (27) sowohl des ersten Volumens als auch des zweiten Volumens in mehrere 2D-Fourier-Ebenen; Entfernen von Projektionen (26) eines 3D-Schattenkonus (30) in jeder von den 2D-Fourier-Ebenen aus den Kreisbahndaten, wobei sich der Schattenkonus aus einer Zuordnung der Schattenzone (28) im 3D-Radon-Raum zu dem 3D-Fourier-Raum ergibt, und Ersetzen der Projektionen durch die aus den Daten der geradlinigen Bahn erhaltenen entsprechenden Projektionen, um so mehrere reparierte 2D-Fourier-Ebenen zu erzeugen; Durchführen einer inversen 2D-Fourier-Transformation an den mehreren reparierten 2D-Fourier-Ebenen, um entspre chende mehrere 2D-Bildebenen zu erhalten, die ein resultierendes drittes Volumen darstellen; und Zurückverwandeln des resultierenden dritten Volumens in das röntgentomographische Bild.
  2. Verfahren nach Anspruch 1, wobei der Schritt der Darstellung des aus der Kreisbahn erhaltenen Bildes ferner den Schritt einer Auswahl eines Schattenkonus mit einem begrenzten Winkel von 2θ0 aufweist, wobei der Winkel θ0 als der Winkel definiert ist, welcher die Grenze der Schattenzone im 3D-Radon-Raum angibt.
  3. Verfahren nach Anspruch 1, wobei der Schritt der Darstellung des aus der geradlinigen Bahn erhaltenen Bildes ferner den Schritt der Erzeugung mehrerer vertikaler Bildscheiben aus den Daten der geradlinigen Bahn aufweist, um das zweite Volumen zu erzeugen.
  4. Verfahren nach Anspruch 3, wobei der Schritt der Erzeugung mehrerer vertikaler Bildscheiben ferner den Schritt einer Rekonstruktion von mehreren parallelen Strahlen aufweist, die aus einer Projektion von Daten der geradlinigen Bahn erzeugt werden.
  5. Verfahren nach Anspruch 4, welches ferner den Schritt der Anwendung eines Verfahrens einer gefilterten Rückprojektion aufweist, um die mehreren vertikalen Bildscheiben zu rekonstruieren.
  6. Verfahren nach Anspruch 4, welches ferner den Schritt der Anwendung eines Direkt-Fourier-Verfahrens auf weist, um die mehreren vertikalen Bildscheiben zu rekonstruieren.
  7. Verfahren nach Anspruch 6, wobei der Schritt der Anwendung eines Direkt-Fourier-Verfahrens, ferner den Schritt der Anwendung einer inversen bilinearen Interpolation aufweist, um Daten aus dem polaren Raster in das rechteckige Raster umzuwandeln.
  8. Verfahren nach Anspruch 7, wobei der Schritt der Durchführung einer inversen bilinearen Interpolation ferner den Schritt der Durchführung einer inversen bilinearen Interpolation an jedem Fourier-Festpunktwert "x" der geradlinigen Bahn in Bezug auf die vier nächstgelegenen Rasterstellen gij, gi+1,j, gi,j+1 und gi+i,j+1 aufweist.
  9. Verfahren nach Anspruch 8, wobei der Schritt der Anwendung einer inversen bilinearen Interpolation an jedem Fourier-Festpunktwert "x" der geradlinigen Bahn, ferner den Schritt der Ermittlung einer normierten Unterfläche a00, a01, a10, a11 zwischen einer Stelle jedes entsprechenden Festpunktwerts "x" der geradlinigen Bahn und jeder der vier nächstgelegenen Rasterstellen gij, gi+1,j, gi,j+1, gi+1,j+i aufweist.
  10. Verfahren nach Anspruch 9, welches ferner den Schritt einer Sammlung für jeden Rasterpunkt gij angrenzend an den entsprechenden Festpunktwert "x" der geradlinigen Bahn und Zuweisung eines Gewichtes wij aufweist.
  11. Verfahren nach Anspruch 10, wobei der Schritt der Ermittlung einer normierten Unterfläche ferner den Schritt einer Aktualisierung jeder Rasterstelle gemäß den nachfolgenden Gleichheiten aufweist:
    Figure 00340001
  12. Verfahren nach Anspruch 11, welches ferner den Schritt der Normierung aller Rasterdaten gij durch Division eines entsprechenden gij durch wij aufweist.
  13. Vorrichtung (10) zum Rekonstruieren röntgentomographischer Bilder, die Daten aus einer Kreisbahn und Daten aus einer geradlinigen Bahn aufweisen, wobei die Kreisbahn eine Schattenzone (28) in einem 3D-Radon-Raum definiert, in welchem 3D-Radon-Daten aus der Kreisbahn fehlen, wobei eine derartige Vorrichtung aufweist: eine Einrichtung zum Darstellen des aus der Kreisbahn erhaltenen Bildes in einem ersten Volumen (28); eine Einrichtung zum Darstellen des aus der geradlinigen Bahn erhaltenen Bildes in einem entsprechenden zweiten Volumen; eine Einrichtung zum Umwandeln von 2D-Bildern in den vertikalen Ebenen (27) sowohl des ersten Volumens als auch des zweiten Volumens in mehrere 2D-Fourier-Ebenen; eine Einrichtung zum Entfernen von Projektionen (26) eines 3D-Schattenkonus (30) in jeder von den 2D-Fourier-Ebenen aus den Kreisbahndaten, wobei sich der Schattenkonus aus einer Zuordnung der Schattenzone (28) im 3D-Radon-Raum zu dem 3D-Fourier-Raum ergibt, und Ersetzen der Projektionen durch die aus den Daten der geradlinigen Bahn erhaltenen entsprechenden Projektionen, um so mehrere reparierte 2D-Fourier-Ebenen zu erzeugen; eine Einrichtung zum Durchführen einer inversen 2D-Fourier-Transformation an den mehreren reparierten 2D-Fourier-Ebenen, um entsprechende mehrere 2D-Bildebenen zu erhalten, die ein resultierendes drittes Volumen darstellen; und eine Einrichtung zum Zurückverwandeln des resultierenden dritten Volumens in das röntgentomographische Bild.
  14. Vorrichtung (10) nach Anspruch 13, wobei die Einrichtung zum Darstellen des aus der Kreisbahn erhaltenen Bildes ferner eine Einrichtung zum Auswählen eines Schattenkonus mit einem begrenzten Winkel von 2θ0 aufweist, wobei der Winkel θ0 als der Winkel definiert ist, welcher die Grenze der Schattenzone im 3D-Radon-Raum angibt.
  15. Vorrichtung nach Anspruch 13, wobei die Einrichtung zum Darstellen des aus der geradlinigen Bahn erhaltenen Bildes ferner eine Einrichtung zum Erzeugen mehrerer vertikaler Bildscheiben aus den Daten der geradlinigen Bahn aufweist, um das zweite Volumen zu erzeugen.
  16. Vorrichtung nach Anspruch 15, wobei die Einrichtung zum Erzeugen mehrerer vertikaler Bildscheiben ferner eine Einrichtung zum Rekonstruieren von mehreren parallelen Strahlen aufweist, die aus einer Projektion von Daten der geradlinigen Bahn erzeugt werden.
  17. Vorrichtung nach Anspruch 16, ferner mit einer Einrichtung zum Anwenden eines Verfahrens einer gefilterten Rückprojektion, um die mehreren vertikalen Bildscheiben zu rekonstruieren.
  18. Vorrichtung nach Anspruch 16, ferner mit einer Einrichtung zum Anwenden eines Direkt-Fourier-Verfahrens, um die mehreren vertikalen Bildscheiben zu rekonstruieren.
  19. Vorrichtung nach Anspruch 18, wobei die Einrichtung für das Direkt-Fourier-Verfahren ferner eine Einrichtung zum Anwenden einer inversen bilinearen Interpolation aufweist, um Daten aus dem polaren Raster in das rechteckige Raster umzuwandeln.
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