DE60017891T2

DE60017891T2 - Verfahren und vorrichtung zum erzeugen von mustern

Info

Publication number: DE60017891T2
Application number: DE60017891T
Authority: DE
Inventors: Johan Gielis
Original assignee: Individual
Current assignee: Individual
Priority date: 1999-05-10
Filing date: 2000-05-10
Publication date: 2005-12-29
Anticipated expiration: 2020-05-11
Also published as: DE60017891D1; US8775134B2; WO2000068888A9; US20170018101A1; EP1177529B1; EP1177529A1; US20100292968A1; ATE288604T1; AU4773200A; US9317627B2; JP2002544603A; WO2000068888A1; US7620527B1; JP4753474B2; US20150106069A1; EP1531427A1

Description

HINTERGRUND DER ERFINDUNG
1. Bereich der Erfindung:
Die Erfindung betrifft die Synthese von Mustern (wie beispielsweise Bilder und Wellenformen, wie beispielsweise Geräusche, elektromagnetische Wellenformen etc.) und die Analyse von existierenden Mustern.
Die Erfindung bezieht die Synthese und Analyse solcher Muster unter Verwendung eines neuen geometrischen Konzepts mit ein, das von dem Erfinder entwickelt wurde und viele geometrische Formen und Gestaltungen mittels einer einzigen mathematischen Formel, die hierin als "Super-Formel" bezeichnet wird, beschreibt. Die verschiedenen geometrischen Formen und Gestaltungen, die durch diese Formel beschrieben werden können, werden im Folgenden als "Super-Formen" oder "Super-Spiralen" bezeichnet.
2. Hintergrund der Erfindung
Mit der Einführung von Computer-Technologie wurden verschiedene Methoden zum Synthetisieren und Analysieren von Mustern (beispielsweise Bilder- und Wellenformen, wie beispielsweise Geräusche und verschiedene elektromagnetische Wellenformen inklusive Licht, Elektrizität etc.) entwickelt. Verschiedene Techniken zum Synthetisieren von Bildern werden verwendet, zum Beispiel in verschiedenen Computer-Graphik-Programmen und bei verschiedenen anderen Applikationen – wie beispielsweise Computer-Bildschirmschoner-Programme und viele andere Applikationen. Zusätzlich wurden verschiedene Techniken zum Analysieren existierender Bilder auch im Stand der Technik entwickelt.
Beispielsweise behandelt der Artikel "Spiral-Super-Quadric Generatrix and Bodies of Two Generatrices in Automate Parametrization of 3-D Geometries" von B.M. Kolundzija et al., IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques, vo. 45, No. 6, June 1997, IEEE Press, diese Probleme.
Während verschiedene Techniken bekannt sind, besteht immer noch ein großer Bedarf für Verbesserungen bei der Muster-Synthese und bei der Muster-Analyse. Obwohl Computer vielseitiger und intelligenter werden, bleibt ein großer Bedarf danach, Funktionen und Operationen innerhalb von Computern zu vereinfachen, um wertvollen Speicherplatz einzusparen und schnelle und genaue Bestimmungen zu ermöglichen, die von Computern ausgeführt werden. In der Kunst der Muster-Synthese und Muster-Analyse wurden verschiedene mathematische Konzepte vorgebracht in einem Versuch Muster-Synthese und Muster-Analyse zu vereinfachen. Obwohl es Verbesserungen der herkömmlichen Methoden gab, bleibt jedoch weiterhin ein Bedarf für fundamentale Verbesserungen bei solchen Verfahren.
Während die Veränderung von Gestaltungen und Formen Studenten der Natur (wie beispielsweise Biologen und Mathematiker) stets interessiert hat, hat sich gezeigt, dass das Erzeugen von genauen und einfachen Charakterisierungen von Formen und Gestaltungen eine konzeptionell beschwerliche Aufgabe ist. Es besteht weiterhin der Bedarf nach einfachen mathematischen und bio-physikalischen Regeln, die allgemein Formen und Morphologie und Morphogenese zugrunde liegen.
Die alten Griechen haben einige grundlegende geometrische Prinzipien entwickelt, um natürliche Gestaltungen zu erklären. Sowohl in alten als auch modernen Konzepten herrscht der Kreis als ideales Objekt vor. Üblicherweise können auch kreisförmige und zylindrische Formen und Gestaltungen in Pflanzen und Organismen beobachtet werden. Ein großer Teil der existierenden Geometrie basiert auf dem Kreis, unter anderem die gesamte Trigonometrie und die gesamte Technologie, die auf trigonometrischen Funktionen basiert. Komplexe Gestaltungen können auch im Sinne von Kreisen und Schwingungen analysiert werden. Vor kurzem haben andere Forschungsergebnisse zum Beschreiben natürlicher Gestaltungen Fraktale und Algorithmen einbezogen, die zum Beispiel einige Typen virtueller Pflanzen erzeugen können.
Mit dem Fortschritt der Computer-Technologie wurden Modelle sehr kompliziert. In solchen Modellen wurde die Mathematik als Werkzeug verwendet. Aber diese Werkzeuge allein haben nicht die Prinzipen, die den Formen zugrunde liegen, enträtselt. Weiterhin folgen natürliche Gestaltungen im Allgemeinen nicht den exakten mathematischen Regeln: Beispielsweise werden perfekte Kreise nie in der Natur beobachtet und keine zwei Blätter sind exakt gleich. Mit existierenden Algorithmen bleibt es unmöglich, Gestaltungen, wie sie in der Natur existieren zu beschreiben, und es bleibt unmöglich, die wahren Beziehungen zwischen verschiedenen Formen und Gestaltungen zu erfassen.
Für jene in den Bereichen der angewandten Mathematik und Biologie besteht weiterhin der Bedarf, verschiedene Formen und Gestaltungen unter Verwendung noch einfacherer geometrischer Regeln zu charakterisieren. Ebenso besteht der Bedarf in der Kunst der Muster-Synthese und Muster-Analyse nach verbesserten Verfahren, bei denen eine große Vielfalt von Mustern (beispielsweise geometrische Formen, Wellenformen, etc.) einfach und genau synthetisiert und/oder analysiert werden mit einer optimalen Verwendung von Computer-Speicher und Computer-Ressourcen.
ZUSAMMENFASSUNG DER ERFINDUNG
Die Erfindung, wie sie in den angehängten Ansprüchen 1, 2, 27 und 28 beschrieben ist, löst das obige Problem und andere Probleme, die die Personen, die in den oben beschriebenen Bereichen arbeiten, erfahren haben. Der Erfinder hat 1) ein neues geometrisches Konzept entwickelt, das verwendet werden kann, viele natürliche und abstrakte geometrische Formen und Gestaltungen mit einer einzigen mathematische Formel zu beschreiben und 2) dieses neue geometrische Konzept in vorteilhafter Weise bei einzigartigen Computer-Applikationen anzuwenden, beispielsweise für die Synthese und Analyse von Mustern.
Dieses geometrische Konzept ermöglicht es, viele natürliche und abstrakte Formen auf einfache und direkte Weise zu beschreiben. Das geometrische Konzept der Erfindung ist auch zum Modellieren nützlich und zum Erklären, warum gewisse natürliche Formen und Gestaltungen wachsen, wie sie es tun, nützlich. Wie unten erläutert, hat der Erfinder herausgefunden, dass die meisten der herkömmlichen geometrischen Gestaltungen und regelmäßigen Formen, inklusive Kreise und Polygone, als spezielle Ausführungen der folgenden Formel beschrieben werden können:
(für a, b, n_i und m_i ∊ R⁺ wobei a und b nicht gleich Null sind)
Diese Formel und Darstellungen von ihr können beispielsweise sowohl für die "Synthese" als auch die "Analyse" von Mustern (d.h. inklusive beispielsweise Bildmuster und Wellenformen wie beispielsweise elektromagnetische Wellenformen (beispielsweise Elektrizität, Licht, etc.), Geräusch-Wellenformen und andere Wellenformen oder Signalmustern) und ähnliches verwendet werden.
Um verschiedene Muster zu synthetisieren, können die Parameter in dieser Gleichung verändert werden, sodass verschiedene Muster synthetisiert werden können. Namentlich können die Parameter m₁, m₂, n₁, n₂, n₃, a und/oder b verändert werden. Durch Moderieren oder Modulieren der Anzahl der Rotations-Symmetrien (m₁), Exponenten (n_i) und/oder kurze und lange Achsen (a und b) können viele natürliche, von Menschen gemachte und abstrakte Formen erzeugt werden. Die Veränderung dieser Parameter kann auch auf wohl-definierte und logische Art geschehen. Die Formel kann verwendet werden, eine große Klasse von Super-Formen und Sub-Formen zu erzeugen. In Hinblick auf den Fortschritt der obigen Formel über existierende Super-Kreise und Sub-Kreise (Lamé-Ovale) hinweg, wird diese neue Formel in diesem Dokument als "Super-Formel" geprägt.
Während die Gleichung verschiedene Formen definieren kann, kann jeder Punkt innerhalb der Kontur der Form ebenfalls definiert werden, für 0 < R < R_max falls a = b, für 0 < a,b < a_max und b_max.
Diese neue Super-Formel kann in vorteilhafter Weise als ein neuer linearer Operator verwendet werden. Wenn sie mit anderen Funktionen kombiniert wird, kann die Formel auch solche Funktionen transformieren oder verändern. Im Falle der Funktion f(Φ) = konstant ist die Formel wie die oben gezeigte. In Kombination mit anderen Funktionen verändert sie beispielsweise den Graph dieser Funktionen – beispielsweise sodass er flacher wird, spitzer wird oder eine unterschiedliche Anzahl von Rotations-Symmetrien aufweist, etc. Um die Bezugsnahme zu erleichtern, wird der neue lineare Operator (d.h. die Super-Formel) mit ihren einzigartigen Veränderungs-Fähigkeiten in diesem Dokument mit dem folgenden neuen Symbol identifiziert.
wobei
Zusätzlich zu dem Vorhergehenden kann die Super-Formel, wie unten im Detail diskutiert, ebenso in drei oder mehr Dimensionen und verschiedenen Darstellungen und Anwendungen angewendet werden.
Die obigen und andere Merkmale und Vorteile der Erfindung werden besser verstanden werden basierend auf der folgenden Beschreibung der bevorzugten Ausführungsformen von ihr in Verbindung mit den beiliegenden Figuren.
Kurzbeschreibung der Figuren
Die beiliegenden Figuren, die als Beispiele zur Illustration und nicht zur Beschränkung beigefügt wurden, werden unten kurz beschrieben wie folgt.
1(A)–1(T) zeigen zweidimensionale Bilder, dargestellt in Polarkoordinaten, welche Bilder durch den Super-Formel-Linear-Operator erzeugt wurden, der die Parameter enthält, wie sie neben dem jeweiligen Bild gezeigt sind. In diesen Figuren sind die Werte von m₁ und m₂= 4, die werte von n₁ = n₂ = n₃ = die Werte, wie sie rechts und in den jeweiligen benachbarten Formeln gezeigt sind. Diese Figuren illustrieren beispielsweise das schrittweise Aufblähen mit einer Inkrementierung der Werte der n_i.
2(A)–2(I) zeigen zweidimensionale Bilder, dargestellt in Polarkoordinaten, die durch den Super-Formel-Linear-Operator erzeugt wurden mit den Parametern, wie sie neben dem jeweiligen Bild gezeigt sind. In diesen Figuren sind die Werte von n₁ = n₂ = n₃ = 1 und die Werte m₁ = m₂ = die Werte, wie sie rechts und in den jeweiligen Formeln neben den Figuren gezeigt sind. Diese Figuren illustrieren beispielsweise die Einführung von Rotations-Symmetrien, um polygonale Formen zu erzeugen.
3(A)–3(F) zeigen zweidimensionale Bilder, dargestellt in Polarkoordinaten, die die Erzeugung von Polygonen mit geraden Kanten mit der Super-Formel zeigen durch geeignete Veränderung der Parameter wie jeweils neben den Zeichnungen gezeigt.
4(A)–4(L) zeigen zweidimensionale Bilder, dargestellt in Polarkoordinaten, die die Erzeugung von spitzen Polygonen mit der Super-Formel durch geeignete Variation der Parameter zeigen, wie jeweils neben den Figuren gezeigt – beispielsweise mit den Werten n₁ = n₂ = n₃ < 2.
5(A)–5(I) zeigen zweidimensionale Bilder, dargestellt in Polarkoordinaten, die die Erzeugung von Null-Gonen, Mono-Gonen, Dia-Gonen und Polygonen mit gekrümmten Seiten mit der Super-Formel zeigen durch geeignete Variationen der Parameter zeigen, wie jeweils neben den Zeichnungen gezeigt – beispielsweise mit den Werten n₁ = n₂ = 15; n₃ = 30 und m wächst inkrementell erhöht von Figur zu Figur.
6(A)–6(I) zeigen zweidimensionale Bilder, dargestellt in Polarkoordinaten, die die Erzeugung von Bildern mit Parametern zeigen, sodass n₁ ≠ n₂ ≠ n₃ und m inkrementell Figur zu Figur wächst.
7(A)–7(G) zeigen zweidimensionale Bilder, dargestellt in Polarkoordinaten, die die Erzeugung von Bildern mit Parametern, sodass a ≠ b und m von Figur zu Figur wächst, zeigt.
8(A)–8(F) zeigen zweidimensionale Bilder, dargestellt in Polarkoordinaten, die die inkrementelle Veränderung bei erzeugten Bildern zeigen, wenn die Rotations-Symmetrie-Werte sich zwischen m = 4 und m = 5 verändern, wobei n₁ = n₂ = n₃ = 100.
9(A)–9(G) zeigen zweidimensionale Bilder, dargestellt in Polarkoordinaten, die die inkrementelle Veränderung von erzeugten Bildern zeigen, wenn die Rotations-Symmetrie-Werte sich zwischen m = 4 und m = 3 verändern werden, wobei n₁ = n₂ = n₃ = 100.
10(A)–10(F) zeigen zweidimensionale Bilder, dargestellt in Polarkoordinaten, die verschiedene natürliche Formen zeigen, die durch das Einsetzen von Parametern gemäß der jeweiligen, gezeigten Super-Formel erzeugt wurden.
11(A)–11(I) zeigen zweidimensionale (blumenartige) Bilder, dargestellt in Polarkoordinaten, die durch das Einsetzen von Parametern gemäß der jeweiligen, gezeigten Super-Formel erzeugt wurden.
12(A)–12(B) zeigen zweidimensionale (polygonale) Bilder, dargestellt in Polarkoordinaten, die durch das Einsetzen von Parametern gemäß der jeweils gezeigten Super-Formel erzeugt wurden. Die in den 12(A)–12(E) gezeigten Polygone sind, in der entsprechenden Reihenfolge, die Polygone, in welche die blumenartigen Bilder eingeschrieben sind, die in den 11(A)–11(E) eingeschrieben sind.
13(A) zeigt die Integration eines linearen Operators mit den gezeigten Parametern zum Zwecke der Illustration wie Formen damit erzeugt werden können und 13(B) zeigt eine Beispiels-Form, wie sie mit dem linearen Operator erzeugt wurde, wie er neben der Beispiels-Form angegeben ist.
14(A) zeigt eine Kosinusfunktion in XY-Koordinaten und 14(B)–14(C) zeigen Beispiele der Veränderung der Kosinusfunktion mit Parametern gemäß der jeweils gezeigten Gleichungen.
15(A)–15(C) zeigen zweidimensionale (spiralförmige) Bilder, dargestellt in Polarkoordinaten, die durch das Einsetzen von Parametern gemäß der jeweils gezeigten Super- Formel erzeugt wurden – wobei der Super-Formel-Operator auf der logarithmischen Spirale (r = e^aθ) angewendet operiert.
15(D)–15(F) zeigen zweidimensionale (spiralförmige) Bilder, dargestellt in Polarkoordinaten, die durch Einsetzen von Parametern gemäß der jeweils gezeigten Super-Formel erzeugt wurden – wobei der Super-Formel-Operator auf der Spirale des Archimedes (r = aφ) operiert.
16 ist ein schematisches Diagramm, das verschiedene Komponenten zeigt, die gemäß verschiedenen Ausführungsformen für die Synthese von Mustern und/oder für die Analyse von Mustern mit dem Super-Formel-Operator verwendet werden.
17 ist ein schematisches Diagramm, das die Schritte oder Phasen illustriert, die in exmplarischen Ausführungsformen durchgeführt werden können, die die Synthese von Mustern mit der Super-Formel betreffen.
18(A)–18(B) illustrieren schematisch eine Fourier-Analyse einer trapezoiden Welle beziehungsweise eine "modifizierte" Super-Formel-Analyse derselben Welle.
19(A) illustriert schematisch die Analyse von grundlegenden natürlichen Mustern unter Verwendung einer modifizierten Fourier-Analyse mit dem Super-Formel-Operator und 19(B) zeigt eine Formel, die verwendet werden kann, um das grundlegende natürliche Muster in diesem illustrativen Beispielfall zu rekonstruieren oder zu analysieren.
20(A)–20(E), 21(A)–21(E) und 22(A)–22(E) illustrieren schematisch jeweils fünf unterschiedliche mögliche Darstellungsarten von Super-Formen, die durch spezielle Super-Formel-Gleichungen erzeugt wurden.
23(A) ist ein schematisches Diagramm, das die Kombination von mehr als einer individuellen Super-Form illustriert mittels des Prozesses der Super-Position und 23(G) ist ein schematisches Diagramm, das die Kombination von mehr als einer individuellen Super-Form illustriert mittels des Prozesses der Reiteration illustriert.
24 illustriert Berechnungen gemäß einer exemplarischen Ausführungsform, bei der bevorzugte Werte von n für eine optimale Form eines Joghurt-Behälters oder ähnlichem geliefert werden.
25 illustriert Berechnungen gemäß einer weiteren exemplarischen Ausführungsform bei der bevorzugte Werte für n für eine optimale Form eines Maschinenblocks oder ähnlichem geliefert werden.
26 illustriert schematisch wie ein Kreis und ein Quadrat und auch eine Sphäre und ein Würfel unter Verwendung der Super-Formel dargestellt werden können, so dass sie äquivalent sind.
27 zeigt ein tatsächliches Computer-Programm, das zur Erzeugung von 3D-Super-Formen verwendet werden kann.
28 zeigt eine Gleichung, die die Berechnung eines Umfangs eines Schnittbereiches r(n) zeigt.
29(A)–29(D) illustrieren Super-Form-Variationen, die mit verschiedenen Blättern einer Sagittaria-Pflanze vergleichbar sind.
30 ist ein schematisches Diagramm, das eine exemplarische Darstellung der Super-Formel in einem Modus zeigt, bei der der Ursprung von dem Zentrum des Koordinatensystems wegbewegt ist.
31 ist ein schematisches Diagramm, das eine exemplarische Darstellung der Super-Formel in einem Modus zeigt, bei dem ein nicht-orthogonales Gitter verwendet wird.
32(A)–32(E) und 33(A)–33(E) illustrieren fünf exemplarische Darstellungsarten von Super-Formen unter Verwendung von Darstellungen der Super-Formel basierend auf Hyperbeln.
DETAILLIERTE BESCHREIBUNG VON BEVORZUGTEN AUSFÜHRUNGSFORMEN
Wie oben diskutiert, bezieht die Erfindung Verfahren und Vorrichtungen für die "Synthese" und/oder "Analyse" von Mustern (zum Beispiel Bilder, Wellenformen, wie beispielsweise Geräusche oder andere Signale etc.) mit ein durch die Verwendung einer neuen mathematischen Formel – die hierin als "Super-Formel" bezeichnet wird.
A. Die Ableitung der Super-Formel
In einem Anfangsschritt, wird die Gleichung für einen Kreis in kartesischen Koordinaten gebildet. (1) x2 + y2 = R2
Als zweites wird die Gleichung wie folgt verallgemeinert. (2) |xn| + |yn| = Rn
Als drittes wird die Gleichung in Polarkoordinaten transformiert (mit x = r cos ϕ; und y = r sin ϕ) wie folgt. |rn cosn · ϕ| + |rn sinn · ϕ| = Rn
Als viertes wird die Gleichung wie folgt modifiziert.
Als fünftes wird die Gleichung modifiziert, um Rotations-Symmetrien einzuführen: Eingeführt wird mϕ.
Als sechstes wird die Gleichung modifiziert, um Differenzierung in dem Exponenten n einzuführen: Es werden n₁, n₂ und n₃ eingeführt.
Als siebtes wird die Gleichung modifiziert, um Unterschiede in den Achsenlängen einzuführen: Es werden A und B eingeführt.
Die "Super-Formel" kann dann zunächst wie folgt beschrieben werden:
Vorzugsweise startet die Super-Formel von der Gleichung einer Ellipse, sodass die Formel 1/a und 1/b aufweist, anstatt von A und B und sodass der Zähler 1 wird.
Diese Art die Super-Formel darzustellen ist bevorzugt, da die Super-Formel vorzugsweise als linearer Operator verwendbar sein soll, wie hierin beschrieben. Somit wird die Super-Formel vorzugsweise wie folgt dargestellt:
Ebenso kann eine andere Darstellung der Super-Formel abgeleitet werden ausgehend von der Formel einer Hyperbel |x|ⁿ – |y|ⁿ, sodass in dem Nenner der Super-Formel-Gleichung ein Minusuzeichen zwischen den Kosinustermen und Sinustermen auftaucht. Zusätzlich kann eine ähnliche Gleichung erhalten werden, wenn die Ableitung ausgehend von dem Modulus einer komplexen Zahl z = cos x + i sin x durchgeführt wird. In beiden Fällen wird der Absolutbetrag auf die gesamte Summe aufgewendet. Hier, zum Beispiel, können zunächst die folgenden Gleichungen gebildet werden: a) Berechnen der Abstände mit komplexen Zahlen: x + iy : → x² – y² = 1 und b) basierend auf der Hyperbel: x² – y² = 1.
Zum Beispiel können wir dies wie folgt darstellen oder verallgemeinern:
(Namentlich: i = die Quadratwurzel von –1 und somit bestimmt der Wert von n₃, ob dies positiv oder negativ sein wird).
Dementsprechend kann die allgemeine Gleichung vorzugsweise wie folgt dargestellt werden:
Die "Super-Formel" kann mathematisch gemäß verschiedener von Darstellungsarten gebildet werden. Wie unten diskutiert, kann der Darstellungsart gemäß der speziellen vorliegenden Anwendung ausgewählt werden. Exemplarische Modi sind die folgenden:

(a) Die Super-Formel wie oben gezeigt (dargestellt durch das Operator-Symbol, das oben in Kurzform notiert ist). Siehe, für einige Beispiele, 20(A) , 21(A) , 22(A) und 32(A) (Bemerkung: in den Beispielen der 32(A)–32(E) kann die Super-Formel von zum Beispiel einer Hyperbel abgeleitet werden).
(b) Der Graph der Super-Formel in Polarkoordinaten. Siehe beispielsweise 20(B), 21(B), 22(B) und 32(B).
(c) Der Graph der Super-Formel in XY-Koordinaten (beispielsweise mit γ-Werten entsprechend den Radiuswerten r an einem bestimmten Winkel ϕ mit x-Werten entsprechend den Werten des Winkels ϕ). Siehe zum Beispiel 20(C), 21(C), 22(C) und 32(C).
(d) Die XY-Darstellung der Projektion des durch die Super-Formel erzeugten Polygons auf ein gewisses Achsensystem (beispielsweise
in das orthogonale System). Siehe beispielsweise die groben Illustrationen in 20(D), 21(D), 22(D) und 32(D).
(e) Die polare Darstellung dessen in (d) oben. Siehe beispielsweise 20(E), 21(E), 22(E) und 32(E). Zusätzlich kann die Super-Formel auch in einer unterschiedlichen Anzahl von Dimensionen dargestellt werden, wie beispielsweise in drei oder mehr Dimensionen. Die grundlegende Gleichung in drei Dimensionen kann zum Beispiel wie folgt geschrieben werden unter Verwendung sphärischer Koordinaten mit r = f(ϕ, θ)
wobei

B. Erzeugen und Modifizieren von Formen und Gestaltungen mit der Super-Formel
1. Einführung von Rotations-Symmetrien, Aufblähen von Formen etc. – Anwendung der Super-Formel auf Null-Gone, Mono-Gone, Dia-Gone und Polygone
Als erstes können durch Variation der Argumente m₁ und m₂ des Winkels als ganze Zahlen in der "Super-Formel" spezifische Rotations-Symmetrien eingeführt werden. Diese Rotations-Symmetrien sind gleich m_1,2. Das heißt, dass Polygone erzeugt werden die m_i Winkel und Seiten aufweisen. 2(A)–2(I) zeigen Formen, die durch Verändern der Werte von ml und m₂ erzeugt werden (wobei m₁ und m₂ gleich sind) (und mit n₁ = n₂ = n₃ = 1). In 2(A) m_1,2 = 0, während in 2(B) m_1,2 = 1 während in 2(C) m_1,2 = 2 etc. Wie in 2(A)-2(E) gezeigt, werden für Werte von m < 4 Formen mit nach außen ausgebauchten Formen produziert. Und, wie in 2(F)–2(I) gezeigt, werden Formen mit nach innen gekrümmten Seiten produziert für m > 4. Bei jeder der in 2(A)-2(I) gezeigten Formen bleibt die Form exakt gleich, wenn sie um einen Winkel von 2n/m rotiert wird. Wenn diese Rotation mmal wiederholt wird, kehrt die Form in die ursprüngliche Orientierung zurück.
Wie in 2(A) gezeigt, ist es möglich, 0-Winkel-Formen (beispielsweise Kreise) zu definieren. Wie in 2(B) gezeigt, ist es auch möglich, 1-Winkel-Formen zu definieren. Wie in 2(C) gezeigt, ist es auch möglich, 2-Winkel-Formen zu definieren. Und es ist ebenso möglich, Formen mit zusätzlichen Ecken zu definieren, so wie die üblicheren Dreiecke, Quadrate und andere Polygonen mit höheren Rotations-Symmetrien. Ein Kreis wird entweder als 0-Winkel für einen beliebigen Wert von n_i definiert oder für eine beliebige Anzahl von Rotations-Symmetrien m_i (vorausgesetzt, dass n_2,3 = 2).
Zusätzlich kann eine weitere Formen-Veränderung erreicht werden durch Variieren der Werte der Exponenten n₁, n₂ und n₃.
Wie in 1(A)–(J) gezeigt, werden für Werte von n_i < 2 die erzeugten Formen in den in 1(K) gezeigten Kreis eingeschrieben. Wenn sich die Werte von n_i von 0 bis 1 erhöhen, wird die Form "aufgebläht", sozusagen von einem Kreuz zu einem Quadrat, wobei nach innen gekrümmte Seiten sich zwischen den äußeren Spitzen erstrecken, wobei der Grad der Krümmung abnimmt, wenn der Wert von m sich 1 nähert. Dann, zwischen 1 und 2, sind die Seiten nach außen gekrümmte Seiten bis der exakte Kreis erhalten wird wie in 1(K) gezeigt. Da die Formen in 1(A)–(J) alle in den exakten Kreis, der in 1(K) gezeigt ist, eingeschrieben sind, werden diese Formen als Sub-Kreise bezeichnet.
Wie in 1(L)–1(T) gezeigt beginnen, wenn der Wert von n sich über 2 erhöht, die Formen sich "aufzublähen" über den exakten Kreis hinaus, sodass sie den exakten Kreis umschreiben. In dieser Hinsicht werden die in den 1(L)–1(T) gezeigten Formen als Super-Kreise bezeichnet. Die Form der Super-Kreise nähert sich einem Quadrat, wenn der Wert von n groß wird (beispielsweise gegen unendlich) wobei die Ecken langsam spitzer werden, wenn der Wert größer wird (siehe beispielsweise das nahezu ideale Quadrat in 1(P) mit dem Wert n = 50). Wie gezeigt, werden die Sub-Kreise im Wesentlichen um n/2 (beispielsweise 90 Grad) relativ zu den Super-Kreisen rotiert. Wie in 1(A)–1(T) gezeigt, werden die "Seiten" der Sub-Kreise tatsächlich die "Ecken" der Super-Kreise, wenn die Form über den idealen Kreis hinaus "aufgebläht" wird.
Ebenso werden bei Polygonen, wenn die Exponenten n_i kleiner als 2 sind, die Polygonen in den Kreis eingeschrieben und um n/m rotiert relativ zu der Orientierung des umschriebenen Polygons, sodass die Winkel des Ersteren das Letztere (für n_i > 2) in der Mitte ihrer Seiten treffen.
Wie vorher abhängig davon, ob sie in den Kreis einbeschrieben sind oder um den Kreis umschrieben sind, werden sie hierin als Sub-Polygone bzw. Super-Polygone bezeichnet. Wieder werden die Ecken in Seiten transformiert und die Seiten werden in Ecken transformiert, wenn die Sub-Polygone in Super-Polygone (und umgekehrt) transformiert werden. Dementsprechend ist der Begriff Rotations-Symmetrie nützlicher als Winkel oder Seiten.
Wie oben beschrieben und in 1(A)–1(T) gezeigt erhält man für Super-Kreise mit n₁ = n₂ = n₃ wenn n = 4 gerade Seiten wenn n gegen unendlich geht. Jedoch resultieren für Polygone mit m > 4 nach innen gebogene Seiten, wenn n gegen unendlich geht. Andererseits biegen sich die Seiten nach innen für m < 4, wenn n gegen unendlich geht.
Weiterhin ermöglicht das Variieren des Verhältnisses von n₁ zu n₂ = n₃ die Erzeugung von Pentagonen, Hexagonen, Heptagonen, Oktagonen, Nonagonen, Dekagonen usw., wie in 3(A)–3(F) gezeigt. Während Polygone üblicherweise basierend auf Koordinaten beschrieben werden, ermöglicht die "Super-Formel" die Erzeugung von Polygonen durch eine einzige Gleichung.
Eine Art, auf die das Verhältnis von n₁ zu n₂ = n₃ definiert werden kann, um ein reguläres Polygon zu liefern für eine gegebene Rotations-Symmetrie, ist durch Berechnen der Fläche des erzeugten Polygons, welche gleich R²m tg(180°/m) ist, der allgemeinen Formel für die Fläche von regulären m-Gonen, wobei R der Radius des einbeschriebenen Kreises ist. Dieses Vorgehen ermöglicht es, das Verhältnis mit ausreichender Genauigkeit für jegliche Anwendung zu bestimmen. Sind die Verhältnisse einmal festgelegt, bleiben sie für höhere Werte von n_i fest.
Hier gibt es eine inhärente Robustheit: Zum Beispiel, wenn n₁ = 100, um visuell gerade Linien zu erhalten, kann der Wert von n_2,3 für Quadrate zwischen 98 und 102 liegen, zwischen 58 und 62 für Pentagone liegen und zwischen ungefähr 38 und 42 für Hexagone liegen. Dieses Verhältnis bleibt fest für höhere Werte von n_i. Je höher die Anzahl der Rotations-Symmetrien, desto kleiner ist dieser Bereich.
Zusätzlich ist es mit der Formel R²m tg (180°/m) unmöglich, Flächen oder Umfänge von Null-Gonen, Mono-Gonen oder Dia-Gonen zu berechnen, aber es ist möglich diese Flächen unter Verwendung der "Super-Formel" zu berechnen.
Zusätzlich zu den vorangehenden möglichen Veränderungen, kann die Super-Formel auch verändert werden, indem der Absolutbetrag des Exponenten verändert wird. Wie beispielsweise in den 1(L) bis 1(O) gezeigt, ist es möglich, mehr oder weniger gerade Seiten mit abgerundeten Winkeln zu erzeugen (mit n₂ und n₃ zwischen, z.B. 2 und 10). Wie beispielsweise in den 3(A) bis 3(F) gezeigt, ist es auch möglich, Polygone mit geraden Seiten und mehr oder weniger spitzen Winkeln zu erhalten (zum Beispiel mit n_2,3 > 10). Wie in 5(A) bis 5(I) gezeigt, ist es auch möglich, Polygone mit entweder nach innen oder nach außen gekrümmten Seiten zu erhalten (zum Beispiel mit n_1,2 = 15 (d.h. > 2) und n₃ = 30 (d.h. > 2)).
Im Gegensatz zu den in den 2(A)–2(H) gezeigten Formeln ist es, wie in den 4(A)–4(I) gezeigt, auch möglich, Polygone mit stärker nach innen gekrümmten Seiten und spitzeren Winkeln zu erhalten indem Werte von n₁, n₂ und n₃ < 2 bereitgestellt werden.
Während die eingeführten Rotations-Symmetrien invariant unter Veränderungen der Exponenten und Argumenten wie oben beschrieben bleibt, ist dies nicht länger der Fall, wenn weitere Veränderungen der Super-Formel angewendet werden, wie beispielsweise Verändern des Verhältnisses n₂/n₃ (siehe 6(A) bis 6(I) oder variieren des Verhältnisses von a/b (siehe 7(A) bis 7(G). Wenn die Längen der Achsen a und b sich beispielsweise unterscheiden, wird ein Kreis eine Ellipse und ein Quadrat ein Rechteck. Diese Veränderung ist jedoch beschränkt: für eine gerade Anzahl von Rotations-Symmetrien halbiert das Verändern der Länge von a und b die Anzahl der Symmetrien. Andererseits schließt sich die Form nach einer Umdrehung (0 bis 2n) nicht, wenn die Anzahl der Rotations-Symmetrien ungerade ist und a und b unterschiedlich sind (siehe zum Beispiel 7(B), 7(D) und 7(F)).
2. Einführen von gebrochenen Symmetrien
Für a = b werden durch Auswählen einer positiven ganzen Zahl oder null für n_i Formen erzeugt, die sich nach einer vollen Rotation (d.h. zwischen 0 und 2n) schließen. Darauf folgende Rotationen um 2n (2n bis 4n, 4n bis 6n etc.) erzeugen exakt dieselbe Form. Die erzeugte Form schließt sich jedoch nicht nach einer Rotation wenn m positiv ist aber keine ganze Zahl ist. Stattdessen schließen sich die Formen nie bei weiteren Rotationen, wenn irrationale Zahlen verwendet werden, aber werden größer oder kleiner, abhängig von den gewählten Werten.
Auf diese Art liefert das Verwenden von natürlichen Zahlen (einschließlich null) geschlossene Formen, während das Verwenden von rationalen Zahlen und irrationalen Zahlen in einer Rotation offene Formen liefert. Rationale Zahlen verursachen eine Wiederholung eines Musters (zum Beispiel ähnlich wie fünf Blätter in zwei Rotationen bei der Pflanze Phyllotaxis) während es kein Muster gibt, wenn irrationale Zahlen verwendet werden. Als solches tauchen reelle Zahlen vom Wert null oder positiven Werten auf natürliche Weise in oder ausgehend von dieser Formel auf.
Die Rotations-Symmetrien, die in solchen offenen Formen beobachtet werden, sind tatsächlich "scheinbare" Rotations-Symmetrien. Die wahre Anzahl von Rotations-Symmetrien in diesen Formen einer gebrochenen Symmetrie ist nur eins aufgrund der definierten Position des Ursprungs und sie sind in einer endlichen offenen Form wegen der Position des Endpunkts.
Die 8(A) bis 8(F) und 9(A) bis 9(G) zeigen, wie Formen zwischen den ganzen Zahlen-Symmetrien "wachsen" können. Die 9(A) bis 9(F) zeigen eine inkrementelle Abnahme der Symmetrie-Werte von m von 4 bis 3 und 8(A) bis 8(F) zeigen eine inkrementelle Erhöhung der Werte von m von 4 bis 5. Dies zeigt auch, wie die Seiten sich bei Dreiecken (und bei null-Ecken, 1-Ecken und 2-Ecken) nach außen biegen und wie sich Seiten nach innen biegen für Polygone mit m > 4.
Mit der Super-Formel weisen die Formen eine perfekte mathematische Symmetrie (beispielsweise Rotations-Symmetrie, Spiegel-Symmetrie und Verschiebungs-Symmetrie), definiert durch m, auf. Im Unterschied zu früheren Gedanken über Symmetriegruppen mit ganzen Zahlen, ermöglicht die Erfindung es, dass nicht-ganzzahlige Symmetrien in die Geometrie eingeführt werden. Unter anderem kann die Super-Formel verwendet werden, um gewisse existierende nicht-ganzzahlige Symmetrien, wie sie beispielweise bei der Pflanze Phyllotaxis (beispielsweise Fibonacci-Zahlen) und bei Spin-Quantenzahlen von Fermionen (beispielsweise verglichen mit ganzzahligen Spin-Quantenzahlen 0, 1, 2 von Bosonen, entsprechend zu Null-Gonen, Monogonen bzw. Diagonen) beobachtet werden, beispielsweise zu beschreiben, synthetisieren und/oder analysieren.
Dementsprechend kann die Super-Formel auch verwendet werden, um Formen zu beschreiben, kategorisieren, synthetisieren und/oder analysieren, wie in diesem Abschnitt dargelegt.
3. Erzeugen von Bildmustern ähnlich zu verschiedenen Pflanzen und anderen Formen mit der Super-Formel – vierkantiger Bambus, Seesterne, Schachtelhalme und andere Formen
Super-kreisförmige Stängel (oft als tetragonal, quadratisch oder viereckig bezeichnet) treten bei vielen Pflanzen auf: in Lamiaceae, in Tibouchina (Melastomataceae) und in Epilobium tetragonum. Bei Halmen des vierkantigen Bambus Chimonobambusa quadrangularis sowie bei den Halmen der meisten anderen Spezies in der Gattung, ist der untere Teil im Querschnitt super-kreisförmig. Solche super-kreisförmigen (oder superelliptischen) Formen werden auch sehr oft auf anatomischer Ebene beobachtet. Bei Längsschnitten von Bambus-Halmen ähneln Parenchyl-Zellen (lang und kurz) Bündeln von Bausteinen, die aufeinander geschichtet sind. Bei Querschnitten von Wurzeln von Sagittaria und Zea Mays versuchen Zellen den verfügbaren Raum zu maximieren (zugleich den zwischenzellulären Raum zu minimieren), indem Super-Kreise geformt werden. Fast quadratische oder rechteckige Zellen können beobachtet werden bei Algen und bei Tracheiden in Kieferholz.
Die "Super-Formel" kann verwendet werden, um diese verschiedenen super-kreisförmigen Formen, die in der Natur beobachtet werden, sowie viele andere natürliche Formen mit höheren Rotations-Symmetrien zu beschreiben, synthetisieren und/oder zu analysieren. Die Argumente bestimmen die Anzahl von "Ecken" (und somit Rotations-Symmetrien), die Absolutbeträge von n_1,2,3 sowie deren Verhältnisse ermöglichen es, Ecken zu spitzen oder abzustumpfen/abzuflachen und Linien, die die Ecken verbinden (entweder nach innen oder nach außen gebogen) zu begradigen oder zu biegen. 10(A) bis 10(F) zeigen eine Anzahl von Beispielen einiger natürlich vorkommender Formen (d.h. natürlich vorkommender "Super-Formen") die beschrieben, synthetisiert und/oder analysiert werden können unter Verwendung der "Super-Formel" inklusive Querschnitte von Seesternen (10(A) bis 10(B)), Himbeeren (beispielsweise Rubus Sulcatus und Rubus Phyllostachys) mit pentagonaler Symmetrie (10(C), Querschnitte von Schachtelhalmen (10(D)) Stängel von Scrophularia nodosa mit tetragonaler Symmetrie (10(E)), den Querschnitt eines Blattstiels von Nuphar luteum (europäische gelbe Teichlilie) (10(F)). Andere Formen können auch beschrieben, synthetisiert oder analysiert werden mit der Super-Formel, wie beispielsweise die der Alge Triceraterium favus (mit "dreieckiger Symmetrie"), Pediastrum boryanum, mit 20 "Winkeln" und Asterionella. Spezies von Cyperaceae (Zyperngräsern) können im Querschnitt dreieckige, Superkreisförmige oder pentagulare Stängel haben.
Die Anzahl von Rotations-Symmetrien bei zum Beispiel Schachtelhalmen hängt von dem Durchmesser des Stängels ab und da fruchtbare Stängel dicker sind als vegetative Stängel kann man beispielsweise oktagonale Symmetrie bei vegetativen Stängeln von Eqisetum arvense und 14-gonale Symmetrie bei fruchtbaren finden.
Früchte von vielen höheren Pflanzen haben ähnliche Super-Formen im Querschnitt: Im Querschnitt können Bananen quadragonale Symmetrie haben und Früchte von gewissen Arten von Okra (Abelmoschus esculentus Moench) sind fast perfekte Pentagone mit nach innen gebogenen Seiten (siehe zum Beispiel 2(F) und 5(G)).
Zusätzlich zu dem Vorangegangenen wird bemerkt, dass Ecken auch als Suspensions-Punkte betrachtet werden können. Eine exemplarische Ein-Winkel-Super-Form ist beispielsweise eine Träne (siehe zum Beispiel 2(B) und 4(D)).
Exemplarische Zwei-Winkel-Super-Formen sind die Formen von menschlichen Augen oder von Knorren in Bäumen auf (siehe zum Beispiel 2(C) und 4(C)). Kreise, als Null-Winkel weisen keine Suspensions-Punkte auf und somit keine Diskontinuitäten und weisen eine konstante Krümmung auf (siehe zum Beispiel 2(A) und 4(A)).
Wenn das Biegen nach Innen der Seiten stärker betont wird, können Formen von Seesternen erhalten werden (siehe zum Beispiel 10(A) und 10(B)). Nach dem anfänglichen Larvenstadium mit zweiseitiger und Links/Rechts-Symmetrie entwickeln Seesterne (Asteroidea) und andere Spezies von Echinodermata sich im Erwachsenenstadium mit Radialsymmetrie.
Die meisten Beispiele werden hierin von lebenden Organismen gewählt, aber Beispiele kann man durchweg in der natürlichen Welt finden, wie, als eines von vielen Beispielen, in der Kristallographie.
Viele der "abstrakten" Formen, die durch die Super-Formel erzeugt werden und in den beiliegenden Figuren gezeigt sind, werden überall in der Natur gefunden. Beispielsweise sind Hexagone in der Natur allgegenwärtig, meistens in Verbindung mit effizienter Verwendung von Raum: bei Honigwaben, bei Insektenaugen, bei Spezies der Algengattung Hydrodygtion, bei der Wasserlinse Wolfiella floridana (Lemnaceae) und bei Sporangien der Equisetum Spezies. Während ein perfektes Umschriebenes Quadrat mit flachen Seiten als Grenzform erhalten werden kann, wenn der Exponent n sich unendlich nähert, werden Quadrate, die nahezu visuell perfekt sind, schon bei Exponenten erhalten, die über 10 sind (siehe zum Beispiel 1(P)). Ebenso können, in Hinblick auf m-gone, nahezu perfekte m-gone erhalten werden für Exponenten n₁ = 100 (für ein gegebenes Verhältnis n₁/n₂=3).
Namentlich tendieren die Ecken bei lebenden Organismen immer dazu, abgerundet zu sein. Die in der Natur beobachteten Polygone sind typischerweise nur Approximationen und nicht "perfekte" Polygone.
Zusätzlich kann die Super-Formel dazu verwendet werden, Formen zu erzeugen, die einige Seiten aufweisen, die gerade (oder gekrümmt) in eine Richtung sind, während andere Seiten in eine andere Richtung gebogen sind durch verändern der Werte von n₁ und n₂ und n₃ (siehe zum Beispiel die in 6 gezeigten Illustrationen). In der Natur können solche Formen bei epidermalen Zellen in Blättern von Pflanzen, in Algen (zum Beispiel Oscillatoria spp.) und bei Hyphae von Pilzen (6(E)) beobachtet werden.
Dementsprechend hat die Super-Formel besondere Vorteile bei Anwendungen zum Beschreiben, Kategorisieren, Synthetisieren und/oder Analysieren verschiedener Formen und namentlich verschiedener Formen, wie sie in der Natur gefunden werden.
4. Anwenden der Super-Formel auf Schalen, Spinnen und fast alles andere
Das Verhältnis der logarithmischen Spirale (r = e^aθ) zum goldenen Schnitt ist gut dokumentiert worden. Die logarithmische Spirale ist in ein goldenes Rechteck "eingeschrieben" und eine scheinbare Rotationssymmetrie von vier (Spiralsymmetrie) wird beobachtet. Die Verwendung der "Super-Formel" als Operator auf der ursprünglichen Formel ermöglicht es, ein ähnliches Verhältnis direkt zu visualisieren, da für große Werte von n die Super-Log-Spirale das goldene Rechteck approximiert (siehe 15(B)).
Die logarithmische Spirale, ursprünglich von Decartes beschrieben, wird als eine der perfektesten mathematischen geometrischen Objekte betrachtet, da sie es Objekten ermöglicht zu wachsen, ohne die Gesamtform zu verändern. Dies hat dabei geholfen, spiralförmige Gestaltungen in der Natur zu beschreiben, wie beispielsweise bei der Phyllotaxis von Pflanzen und bei Schalen von Molusken, wobei Nautilus das klassische Beispiel ist. Jedoch haben viele Schalen mit einem sogenannten Logarithmische-Spirale-Design scheinbare Rotations-Symmetrien. Die Aderungen und Maserungen bei vielen Spezies im Zusammenhang mit dem unstetigen Wachstum der Schalen sind Demonstrationen für dies (siehe 15(C)) und diese scheinbaren Rotations-Symmetrien können eine unstetige Entwicklung wiederspiegeln.
Ferner erhält man eine wahre logarithmische Spirale nur für n=2. Jedoch sollten, damit diese Symmetrien auftreten, die Werte von n₂=3 von zwei unterschiedlich sein. Klarerweise zeigen viele Schalen mit periodischem Wachstum nicht perfekte logarithmische Spiralen. Stattdessen sind sie natürliche Objekte mit definierten Symmetrien (und undefinierten Werten von n_i). Im Gegensatz dazu zeigen Schalen, die stetig wachsen (beispielsweise Schnecken) keine solchen scheinbaren Rotations-Symmetrien. Ähnliche scheinbare Rotations-Symmetrien treten während der Entwicklung von Blättern oder Pflanzenorganen von apikalen Meristemen in Pflanzen auf. Zu diesem Prozess gehört der wohl-definierte periodische Auswuchs von lateralen Organen durch physische und physiologische Transduktionsmechanismen.
Die Kombination der Super-Formel mit der Spirale des Archimedes (r = aρ) bewirkt auch, dass die Spirale in Richtung ihres umschriebenen "offenen Rechteck-Rahmens" (vier scheinbare Rotations-Symmetrien) für n » 2 wächst (siehe 15(D)). Namentlich wächst ein einziger Parafin-Kristall um eine Schrauben-Dislokation exakt in solch einer Quadrat-Spirale.
Durch Erhöhen der Anzahl von scheinbaren Rotationssymmetrien kann sowohl die Einfachheit als auch die Schönheit von ebenen Spinnennetzen visualisiert und anerkannt werden. Wie durch die Super-Formel illustriert, sind viele Spinnennetze, wie Blumen, mathematisch einfach. 15(E) zeigt spinnennetzartige Super-Formen; Spinnen weben ihre Netze in spiralartiger Weise, wobei sie sich entweder graduell nach Innen oder graduell nach Außen entfalten. Die Anzahl der (scheinbaren) Rotations-Symmetrien wird definiert durch die Befestigungspunkte an den Haupt-"Drähten". Bei Spinnen ist dies auch speziesabhängig.
In der Geometrie ist eine allgemeine Definition einer Spirale eine beliebige geometrische Form definiert durch r = f(ρ). Dies bezieht somit alle Formen, die in diesem Artikel soweit beschrieben wurden, mit ein sowie alle anderen 2-D-Formen, die durch r = f(ρ) definiert sind. Dementsprechend führt sowohl die "Super-Formel" als auch ihre Verwendung mit anderen "Spiralen" auf sehr natürliche Weise (da ihr Ursprung bei natürlichen Objekten gefunden wird) zu einer Verallgemeinerung der Geometrie aller bekannten "Spiralen" – wobei Kreise und Ellipsen nur sehr spezielle Fälle sind (für n_2,3 = 2). Eine unendliche Zahl von "Super-Spiralen" wird somit definiert und die "Super-Formel" wird zu einer Super-Spiral-Formel wie folgt.
Dementsprechend hat die Super-Formel besondere Vorteile bei Anwendungen (wie unten diskutiert) zum Beschreiben, Kategorisieren, Synthetisieren und/oder Analysieren verschiedener Spiral-Formen inklusive solcher, wie sie in der Natur gefunden werden, wie oben diskutiert.
5. Verändern von Exponenten innerhalb eines Bereichs, ohne die Gesamt-Form der Super-Formen stark zu verändern.
Ein beträchtlicher Aspekt der Super-Formel im Gegensatz zu herkömmlichen geometrischen Konzepten (d.h. mit perfekten Kreisen und Quadraten) ist, das es möglich ist, die Exponenten der Super-Formel zu verändern. Diese Veränderung kann dazu verwendet werden, zum Beispiel das Wachstum in der Natur zu demonstrieren, wie beispielsweise Pflanzenwachstum etc. Weil Organe von Pflanzen individuell Wachsen mittels Meristemen, wird das ursprüngliche Entwicklungs-Programm auf verschiedene Arten verändert, wie beispielsweise durch Umweltbedingungen oder internen Beschränkungen. Insofern erlaubt die Geometrie, die von der "Super-Formel" geliefert wird, schon an sich kleine Veränderungen der Formel. Beispielsweise ist es verhältnismäßig unwichtig, ob der Exponent n_i 2 ist oder zum Beispiel 1,99688 oder 2,000548.
Diese kleinen Unterschiede wären nicht visuell beobachtbar. Jedoch können kleine scheinbar nicht bemerkbare Unterschiede günstige Gelegenheiten für Pflanzenwachstum usw. erzeugen. Beispielsweise kann ein Unterschied in 0,1% bei der Fläche bei den Absolutwerten sehr wichtig sein.
Dieses Prinzip kann zum Beispiel durch Bezug auf 11(A)–11(E) gesehen werden, die Illustrieren, wie die Veränderung einer Kosinusfunktion Unterschiede bei der Form erzeugen kann. Durch leichte Veränderung des Exponenten n_i im Nenner der Super-Formel kann eine Variation der blattartigen Form visualisiert werden. Es zeigt sich, dass die dreieckigen Blätter der Sagittaria bemerkenswert einfach sind und diese verschiedenen Formen (gezeigt beispielsweise in 29(A) bis 29(D)), entweder runder oder spitzer, sogar nur in einer Pflanze gefunden werden können. Somit, während die grundlegende Form im Erbmaterial festgeschrieben ist, können individuelle Blätter sich doch von anderen Blättern der Pflanze unterscheiden. Neben Blättern können andere Organe von Pflanzen oder anderen Organismen auf ähnliche Weise in unterschiedlichen Formen auftreten. Und der Bereich der potentiellen Variation (d.h. des Bereichs der potentiellen Exponentenwerte) kann unterschiedliche sein, beispielsweise größer oder kleiner sein, abhängig von den speziellen Organen/Organismen.
Während diese Exponentveränderung adaptives Wachstum ermöglicht, ist es auch sehr wichtig aus konzeptioneller Perspektive, da in der Realität exakte Exponenten und exakte Modelle nicht wirklich existieren. Beispielsweise werden abstrakte Objekte, wie beispielsweise Kreise, nicht in der realen Welt gefunden, da die Bedingung n_2,3 = 2 nie exakt eingehalten wird. Im Gegensatz dazu können kreisförmige Objekte in der Natur einfach einen Wert von n_2,3 innerhalb eines ausreichend kleinen Bereichs annehmen, wie beispielsweise von 2,0015 bis 1,9982, ohne visuell von der Kreisform abzuweichen. Genauso erreichen Pflanzen mit quadratischen Stängel nicht Winkel von exakt 90°. Werte von n=50 oder sogar weniger in der Super-Formel approximieren das reale "quadratisch-sein" genauer bei solchen tatsächlichen Stängeln. Die meisten Organismen bevorzugen leicht abgerundete Ecken, wie Triceratium favus oder der vierkantige Bambus (siehe beispielsweise 10(C) bis 10(F)). Tatsächlich wäre es so gut wie unmöglich, mit unendlicher Präzision den Wert von n_i zu bestimmen.
Zusammen mit einiger Freiheit, die Exponenten adaptiv zu verändern, gibt es eine inhärente Robustheit. Bei einem Hexagon beispielsweise werden visuell gerade Linien für Werte von n_i erreicht, die zwischen ungefähr 38 bis 42 liegen, für n₁=100. Je größer die Anzahl von Rotations-Symmetrien, desto kleiner der Bereich. Diese Robustheit ist wichtig in der Natur, weil sie es Objekten erlaubt, zu wachsen, ohne ihre Form zu verändern. Zum Beispiel ist, während ein Kreis streng definiert ist durch n_i=2, in der Natur wie illustriert durch die Super-Formel die Form noch kreisförmig für Werte von zum Beispiel n_i=2,075 oder n_i=1,9875.
Dementsprechend, auch aus diesen Gründen, hat die Super-Formel spezielle Vorteile bei Anwendungen zum Beschreiben, Kategorisieren, Synthetisieren und/oder Analysieren solcher natürlicher Formen und deren Veränderungen (beispielsweise Wachstum individueller Organe, Formunterschiede zwischen ähnlichen Organen etc).
6. Andere Anwendungen der Super-Formel: Verwenden der Super-Formel zum Illustrieren, Synthetisieren und/oder Analysieren bevorzugter Formen für gewisse Anwendungen
In gewissen Situationen werden ideale Objekte bevorzugt. Beispielsweise bei Isolation (zum Beispiel wie sie bei Seifenblasen, die frei in der Luft schweben oder bei Quecksilber-Tropfen beobachtet wird) werden der Kreis und die Sphäre als ideale Objekte betrachtet, die bevorzugte mathematische Eigenschaften haben, wie beispielsweise die geringste Oberfläche für ein gegebenes Volumen.
Bei vielen anderen natürlichen Bedingungen werden andere Formen, wie beispielsweise Super-Kreise, bevorzugt. Einige Beispiele sind oben dargestellt. Diese Formen, wenigstens die symmetrischen definiert durch die Super-Spiral-Formel, sind nicht weniger mathematisch perfekt als ein Kreis oder eine Ellipse. Nur haben sie jede ihre eigene Menge von Eigenschaften.
Die "Super-Formel" kann verwendet werden zum Illustrieren, Beschreiben, Synthetisieren und/oder Analysieren von idealen Bedingungen, wie beispielsweise jene, die in Pflanzen und anderen Organismen erreicht werden. Einige unkomplizierte Beispiele werden nun beschrieben.
(i) Packen von Kreisen und Sphären
Kreise und Sphäre können effizienter auf zwei bemerkenswerte Arten gepackt werden. Insbesondere kann der verfügbare Raum maximiert werden (d.h. Minimieren des Bereichs zwischen den Kreisen oder Sphären) indem dafür gesorgt wird, dass die Kreise oder Sphären entweder 1) Quadrate oder 2) Hexagone approximieren (d.h. leichtes Modifizieren der Formen der Kreise oder Sphären).
In der Natur zeigen sich Beispiele für das "Superkreisförmige" Packen bei den Zellen von Pflanzenwurzeln und Pflanzenstängeln und bei einigen Viren, wie beispielsweise Bromoviren. Zusätzlich beobachtet man natürliche Beispiele für hexagonales Packen bei Honigwaben und Insektenaugen. Bei diesen natürlichen Systemen ist es klar, dass diese Strategie die Optimierung des verfügbaren Raums ermöglicht (so wie bei Pflanzenzellen) oder die Maximierung von leerem Raum (wie bei Honigwaben). In beiden Fällen wird die Kontaktfläche auch vergrößert (Flachpunkt) wodurch effektiv vermieden wird, dass die Super-Kreise relativ zueinander rotieren oder gleiten. Dieser Effekt kann auch eine Rolle gespielt haben bei der evolutionären Transition von unizellularen zu multizellularen Organismen.
Alternativ kann die gleiche Fläche, die in einem exakten Kreis eingeschlossen ist, in einem Super-Kreis eingeschlossen werden, der einen kleineren Radius aufweist, als der des Kreises. Eine moderate Erhöhung der Exponenten n_i in der Super-Formel kann ein effizienteres Packen von Fläche bei kleineren Super-Kreisen gewährleisten. In besonderem Maße ist dieser Effekt in drei Dimensionen ausgeprägt. In dieser Hinsicht ermöglicht eine Verringerung des Radius um 5%, wenn Super-Sphären erzeugt werden, die dasselbe Volumen wie die ursprünglichen Sphären einschließen, die Unterbringung von zum Beispiel 9261 (21*21*21) Super-Sphären anstatt von 8000(20*20*20) Sphären in demselben Volumen.
In dieser Hinsicht kann eine gute Gleichung zum Berechnen der Fläche von Super-Kreisen und Sub-Kreisen zum Beispiel sein:
Zusätzlich ist eine allgemeinere Formel, die verwendet werden kann hinsichtlich allen zwei-D-Super-Formen zum Beispiel:
(ii) Verbessern mechanischer Widerstandsfähigkeit und Super-Form-Packen
Gewisse Formen, die durch die Super-Form-Formel beschrieben, synthetisiert und/oder analysiert werden können, können verbesserte mechanische und andere Eigenschaften aufweisen. Zum Beispiel kann die Ausbildung von Stängeln, die Supergeformte Querschnitte aufweisen, wie beispielsweise bei vierkantigem Bambus, die Beständigkeit gegen mechanische Beanspruchung stark verbessern. Bei Chimonobambusa quadrangularis, dem vierkantigen Bambus und bei den meisten anderen Spezies dieser Gattung tendiert der Querschnitt des Halms dazu, mehr oder weniger quadratisch im unteren Drittel des Halmes zu sein, wo die meisten mechanischen Kräfte einwirken. Durch Erhöhen der Exponenten in der Super-Formel wird mehr Fläche für einen gegebenen Radius R erzeugt. Investieren in dieser Fläche liefert eine hohe Ausbeute hinsichtlich erhöhter Widerstandsfähigkeit gegen Biegen, wie es durch das Moment der Trägheit I bestimmt werden kann.
Erhöhen des Exponenten n um 5 erhöht zum Beispiel die Fläche für einen gegebenen Radius um 21%, aber die Widerstandsfähigkeit gegen Biegen ist um 51% erhöht. Man beachte, dass diese Berechnung nur für isotrope Materialien zutrifft, aber dieser Effekt ist tatsächlich noch ausgeprägter bei vielen lebenden Materialen, da die stärksten Teile der Halme und Stängel typischerweise an den äußeren Seiten sind – wie beispielsweise der erhöhte Anteil von Fasern in Bambus oder das zusätzliche Collenchyl in Rippen von Stängeln von Lamiaceae. Da Blätter und sicherlich Kronenblätter und Kelchblätter eben sind, ist es ebenfalls wichtig zu bemerken, dass aufgrund der effizienten Raumausfüllung der Impuls, der von den Flügeln auf den Punkt der Befestigung mit dem Stängel ausgeübt wird, viel geringer ist, als wenn die gleiche Fläche von Flügeln beschrieben werden würde, die in einen Kreis einbeschrieben sind (n=2).
In dieser Hinsicht kann eine gute Gleichung zum Berechnen des Trägheitsmoments für Super-Kreise und Sub-Kreise zum Beispiel sein:
C. Bevorzugte Anwendungen der Super-Formel
Die Super-Formel kann bei verschiedenen Anwendungen verwendet werden, inklusive bei jenen, bei denen Muster synthetisiert oder analysiert werden. Wie erwähnt, kann die Formel bei der Synthese und/oder Analyse von Objektformen oder von Wellen (zum Beispiel Schallwellen oder elektromagnetische Wellen) verwendet werden und sie kann in verschiedenen Koordinatensystemen (ob in Polarkoordinaten, in sphärischen Koordinaten, in parametrischen Koordinaten, etc.) und in verschiedenen Dimensionen (beispielsweise 1-D, 2-D, 3-D etc.) verwendet werden. Zum Beispiel kann die Super-Formel verwendet werden, um verschiedene natürliche Muster und/oder menschengemachte Muster zu reproduzieren und/oder zu analysieren, zu beschreiben oder zu erklären. Wie erwähnt kann sie auch dazu verwendet werden, Optimierungen und ähnliches zu berechnen.
Die Super-Formel ist besonders nützlich für Computer-Applikationen (d.h. bei Applikationen, bei denen eine Art von Steuereinheit verwendet wird). Die Terminologie Computer oder Steuereinheit wird hierin verwendet, um jegliches Gerät zu benennen, das rechnen kann – insbesondere eine elektronische Maschine, die mathematische oder logische Berechnungen mit Hochgeschwindigkeit durchführt oder aus Daten abgeleitete Information zusammenfügt, speichert, korrelliert oder auf andere Art verarbeitet. Einige exemplarische Computer sind: Personal-Computer, Mainframe-Computer, Host-Computer etc. Zusätzlich umfasst die Terminologie Computer, wie sie hier verwendet wird, einzelne Computer oder mehrere Computer, wenn beispielsweise mehrere Computer die erforderlichen Aufgaben zusammen durchführen. Die Terminologie Computer umfasst somit auch Computer, auf die mittels des Internet oder mittels verschiedener Online-Systemen oder Kommunikationssysteme zugegriffen wird. Die Erfindung hat klarerweise erheblichen Nutzen in diesem Umfeld bei Anwendungen, die von der Erzeugung von Firmen-Logos und verschiedenen Bildern für Internet-Web-Sites bis zu entfernten Anwendungen verschiedener hier beschriebener Ausführungsformen reichen, etc.
Für Fachmänner in dem Bereich, der auf dieser Anwendung basiert, ist es ersichtlich, dass die Super-Formel mit existierender Software und/oder Technologie in verschiedenen Umfeldern angewendet werden kann. Es ist auch vorgesehen, wie man aus dieser Offenbarung ersehen sollte, dass die Super-Formel auf verschiedene Wege bei Computer-Applikationen angewendet, zum Beispiel programmiert, werden kann – als einige Beispiele kann das Programmieren auf jeden bekannten computerlesbaren Medium enthalten sein, wie beispielsweise einer Festplatte, einer CD-Rom, einer Diskette etc., es kann online heruntergeladen werden, wie beispielsweise über das Internet, über ein Intranet oder ähnliches etc. Die Super-Formel kann beispielsweise von Fachmännern für jegliche geeignete Anwendung der Muster-Synthese und/oder Muster-Analyse verwendet werden, die bekannt ist.
Die Super-Formel kann als neuer "Operator" verwendet werden der verschiedene Bilder und Muster erzeugen kann und der verwendet werden kann, um verschiedene Funktionen auf einzigartige Weise zu modifizieren. Für gewisse Werte der Parameter der Formel können unbekannte Formen erzeugt werden, beispielsweise Kreise, Ellipsen und verschiedene Polygone etc.
Wenn er auf unterschiedlichen Funktionen operiert, können solche Funktionen nicht moduliert werden, wenn der Wert des Operators eins ist. Dementsprechend bleiben wohlbekannte Funktionen wie beispielsweise Kreise, Kosinus-Funktionen und Sinus-Funktionen und Spiralen unverändert. Tatsächlich beläuft sich die Operation des Operators für einen Wert 1 auf die Operation des Eins-Elements, genauer auf das Multiplizieren der Funktion mit 1. Oben wurde der lineare Operator (d.h. die Super-Formel oder der Super-Operator) in 2-D definiert und es wurde ihm das Symbol gegeben:
In 2-d ermöglicht es der Operator jegliche gegebene Funktion zu verändern – wie beispielsweise konstante Funktionen, trigonometrische Funktionen, Spiral-Funktionen etc. Einige Beispiele dafür sind in den 11(A)–11(E), 13(A)–13(B), 14(A)–14(C), 15(A)–15(F) etc. gezeigt.
Der Operator ermöglicht es, eine große Auswahl von Objekten, die in der Natur und der Mathematik beobachtet werden, zu klassifizieren – mit einer einzigen Formel.
Wenn der Operator auf konstanten Funktionen operiert, können Kreise und Polygone mit geraden oder gebogenen Seiten und/oder spitzen und abgerundeten Ecken alle durch die Operation des Operators auf solchen konstanten Funktionen erzeugt werden.
Wenn der Operator auf trigonometrischen Funktionen operiert, können verschiedene andere Formen erzeugt werden. Als einige Beispiele zeigen 11(A)–11(E) verschiedene blumenartige Formen mit im Wesentlichen derselben fünffachen Rotations-Symmetrie, die erzeugt werden kann, wobei der einzige richtige Unterschied der Wert des Operators ist. Geometrisch können die in den 11(A)–11(E) gezeigten Operationen als trigonometrische Funktionen verstanden werden, die in ein Pentagon eingeschrieben sind, welches durch den Operator definiert ist (siehe entsprechend 12(A)–12(E).
Wenn er in XY-Koordinaten ausgedrückt wird, sieht man leicht wie der Operator auch dazu verwendet werden kann, wellenartige Funktionen zu verändern, siehe beispielsweise 14(A)–14(C).
Gegeben dass alle diese Formen beschrieben werden können als das Produkt der Funktion mit dem Operator, ist es auch möglich, gewisse Parameter durch den Integrationsprozess zu quantifizieren, wie beispielsweise Umfang, Oberfläche, Trägheitsmoment usw. Diese Art von Quantifizierung erlaubt es auch, quantitativ "Effizienz" zu schätzen, wie beispielsweise die Effizienz eines mit Blumen gefüllten Raums in den umschriebenen Polygon (siehe 11–12) verglichen mit dem Ausfüllen von Raum in z.B. einem Kreis, wo diese Effizienz sehr gering wäre. Dies ermöglicht auch das Schätzen von Raumnutzungseffizienz bei größeren Anordnungen von Objekten, wie beispielsweise bei einer Anordnung von Super-Kreisen.
Die Erfindung weist besondere Anwendbarkeit mit einem Computer bei zwei allgemeinen Prozessen auf – (1) die "Synthese" von Mustern (z.B. Bildformen oder Wellen) in einem Computer unter Verwendung von Parametern als Eingabe und (2) die "Analyse" solcher Muster mit der Bestimmung solcher Parameter.
2. Synthese
Gemäß dem ersten Aspekt, für illustrative Zwecke wird auf 16 Bezug genommen, können Formen oder Wellen "synthetisiert" werden durch die Anwendung der folgenden exemplarischen grundlegenden Schritte:
In einem ersten Schritt wird eine Auswahl von Parametern getroffen (beispielsweise durch Eingeben von Werten in den Computer 10, d.h. mittels einer Tastatur 20, einem Touch-Screen, einem Mauszeiger, einer Spracherkennungsvorrichtung oder einer anderen Eingabevorrichtung oder ähnlichem oder indem der Computer 10 instruiert wird, Werte zu bestimmen) und der Computer 10 wird verwendet, eine ausgewählte Super-Form basierend auf der Auswahl der Parameter zu synthetisieren.
In einem optionalen zweiten Schritt kann die Super-Formel verwendet werden, um die ausgewählten Formen anzupassen, eine Optimierung zu berechnen etc. Dieser Schritt kann die Verwendung aufweisen von: Grafik-Programmen (z.B. 2D, 3D etc.); CAD-Software; Finite-Elemente-Analyse-Programme; Wellen-Erzeugungs-Programme oder andere Software.
In einem dritten Schritt wird das Ergebnis des ersten oder des zweiten Schritts verwendet, um die computerbasierten Super-Formen in eine physikalische Form zu transformieren wie beispielsweise durch: (a) Anzeigen der Super-Formen 31 auf einem Monitor 30, Drucken der Super-Formen 51 auf Rohmaterial 52 wie beispielsweise Papier durch einen Drucker 50 (2-D oder 3-D); (b) Durchführen von computergestützter Herstellung (beispielsweise durch Steuern eines externen Geräts 60, wie beispielsweise Maschinen, Roboter, etc., basierend auf dem Ergebnis von Schritt drei); (c) Geräusch-Erzeugen 71 mittels eines Lautsprechersystems 70 oder ähnlichem; (d) Durchführen von Stereolithographie; (e) Durchführen eines schnellen Prototyping; und/oder (f) Verwenden des Ergebnisses auf andere bekannte Art, um solche Formen zu transformieren.
Verschiedene computergestützte Herstellungs-Techniken (computer aided manufacturing, "CAM") und dabei hergestellte Produkte sind bekannt und jegliche geeignete CAM-Technik(en) und jegliches) hergestellte CAM-Produkt(e) können ausgewählt werden. Als nur einige Beispiele von CAM-Techniken und dabei hergestellten Produkte, siehe die folgenden US-Patente (Titel in Klammern): 5,796,986 (Method and Apparatus for linking computer aided design databases with numerical control machine database); 4,864,520 (Shape generating/creating system for computer aided design, computer aided manufacturing, computer aided engineering and computer applied technology); 5,587,912 (Computer aided processing of three dimensional objects and apparatus therefore); 5,880,962 (Computer aided processing of 3-D objects and apparatus thereof); 5,159,512 (Construction of Minkowski sums and derivatives morphological combinations of arbitrary polyhedra in CAD/CAM systems).
Verschiedene Stereolithographie-Techniken und dabei hergestellte Produkte sind bekannt und jegliche geeignete Stereolithographie-Technik(e) und jegliche(s) geeignete Stereolithographie-Produkt(e) können ausgewählt werden. Als nur einige Beispiele für Stereolithographie-Techniken und dabei hergestellte Produkte, siehe die folgenden US-Patente (Titel in Klammern): 5,728,345 (Method for making an electrode for electrial discharge machining by use of a stereolithography model); 5,711,911 (Method of and apparatus for making a three-dimensional object by stereolithography); 5,639,413 (Methods and compositions related to stereolithography); 5,616,293 (Rapid making of a prototype part or mold using stereolithograpy model); 5,609,813 (Method of making a three-dimensional object by stereolithography); 5,609,182 (Method of making a three-dimensional object by stereolithograpy); 5,296,335 (Method for manufacturing fiberreinforced parts utilizing stereolithograpy tooling); 5,256,340 (Method of making a three-dimensional object by stereolithograpy); 5,247,180 (Stereolithograpic apparatus and method of use); 5,236,637 (Method of and apparatus for production of three dimensional objects by stereolithograpy); 5,217,653 (Method and apparatus for producing a stepless 3-dimensional object by stereolithograpy); 5,184,307 (Method and apparatus for production of high resolution threedimensional objects by stereolithograpy); 5,182,715 (Rapid and accurate production of stereolithograpic parts); 5,182,056 (Stereolithograpy method and apparatus employing various penetration depths); 5,182,055 (method of making a 3-dimensional object by stereolithograpy); 5,167,882 (Stereolithograpy method); 5,143,663 (Stereolithograpy method and apparatus); 5,130,064 (Method of making a three dimensional object by stereolithograpy); 5,059,021 (Apparatus and method for correcting for drift in production of objects by stereolithograpy); 4,942,001 (Method of forming a threedimensional object by stereolithograpy and composition therefore); 4,844,144 (Investment utilizing patterns produced by stereolithograpy).
Weiterhin kann die Erfindung bei bekannten mikrostereolithographischen Prozeduren verwendet werden. Beispielsweise kann die Erfindung somit bei der Herstellung von Computer-Chips und anderen Gegenständen verwendet werden. Einige illustrative Artikel sind wie folgt: A. Bertsch, H. Lorenz, P. Renaud "3D microfabrication by combining microstereolithograpy and thick resist UV lithograpy" Sensors and Actuators: A, 73, pp. 14–23, (1999). L. Beluze, A. Bertsch, P. Renauld "Microstereolithograpy: a new process to build complex 3D objects," Symposium on Design, Test and microfabrication of MEMs/MOEMs, Proceedings of SPIE, 3680(2), pp. 808–817, (1999). A. Bertsch, H. Lorenz, P. Renaud "Combining Microstereolithograpy and thick resist UV lithograpy for 3D microfabrication", Proceedings of the IEEE MEMS 98 Workshop, Heidelberg, Germany, pp. 18–23, (1998). A. Bertsch, J.Y. Jézéquel, J.C. André "Study of the spatial resolution of a new 3D microfabrication process: the microstereophotolithography using a dynamic mask-generator technique," Journal of Phatocam. and Photobiol. A: Chemistry, 107, pp. 275–281, (1991), A.Bertsch, S. Zissi, J.Y. Jezequel, S. Corbel, J.C. Andre "Microstereolithograpy using a liquid crystal display as dynamic mask-generator" Micro. Tech., 3(2), pp. 42–47, (1997). A.Bertsch, S. Zissi, M. Calin, S. Ballandras, A. Bourjault, D. Hauden, J.C. Andre "Coneption and realization of miniaturized actuators fabricated by Microstereolithograpy and actuated by Shape Memory Alloys" Proceedings of the 3rd France-Japan Congress and 1st Europe-Asia Congress on Mechatronics, Besancon, 2, pp. 631–634, (1996).
Ebenso sind verschiedene Techniken zum schnellen Prototyping und dabei hergestellte Produkte bekannt (zum Bespiel Formen etc.) und jegliche geeignete Technik(en) und jegliche(s) geeignete(s) Produkt(e) können ausgewählt werden. Zum Beispiel sind drei exemplarische Momentan verfügbare 3-dimensionales-Modell-Verfahren für schnelle Prototyping, wie in US Patent Nr. 5,578,227 beschrieben: a) Lichtaushärtende Flüssig-Verfestigung oder Stereolithographie (z.B. siehe oben); b) selektives Laser-Sintern (SLS) oder Pulverschicht-Sintern; c) Draht-Abscheidungs-Modellieren (Fused Depositon Modeling, FDM) oder Ausgequetschtes-Geschmolzenes-Plastik-Anlagerungs-Verfahren. Als nur einige Beispiele von Techniken für schnelles Prototyping und dabei hergestellte Produkte, siehe die folgenden US-Patente (Titel in Klammern): 5,846,370 (Rapid prototyping process and apparatus therefor); 5,818,718 (Higher order construction algorithm method for rapid prototyping); 5,796,620 (Computerized system for lost foam casting process using rapid tooling set-up); 5,663,883 (Rapid prototyping method); 5,622,577 (Rapid prototyping process and cooling chamber therefor); 5,587,913 (Method employing sequential two-dimensional geometry for producing shells for fabrication by a rapid prototyping system); 5,578,227 (Rapid prototyping system); 5,547,305 (Rapid, tool-less adjusting system for hotstick tooling); 5,491,643 (Method for optimizing parameters characteristic of an object developed in a rapid prototyping system); 5,458,825 (Utilization of blow molding tooling manufactured by stereolithography for rapid container prototyping); 5,398,193 (Method of threedimensional rapid prototyping through controlled layerwise deposition/extraction and apparatus therefor).
Die oben erwähnten drei Schritte oder Phasen sind auch schematisch in dem schematischen Diagramm, das in 17 gezeigt ist, illustriert (die Schritte 1 und 2 können wie gezeigt in dem Computer selbst ausgeführt werden).
In den folgenden Abschnitten werden eine Anzahl von exemplarischen Ausführungsformen der Muster-"Synthese" mit der Super-Formel detaillierter beschrieben.
A. 2-D-Graphik-Software
Die Erfindung weist eine großartige Anwendbarkeit bei 2-D-Graphik-Software-Anwendungen auf.
Die Erfindung kann z.B. in üblichen kommerziellen Programmen wie beispielsweise Corel-Draw^TM und Corel-Paint^TM, Adobe Photoshop^TM, in verschiedenen Zeichenprogrammen in Visual Basic^TM oder Windows^TM oder in anderen Umgebungen wie z.B. Lotus WordPro^TM und Lotus Freelance Graphics^TM, Visual C^TM, Visual C++^TM und allen anderen C-Umgebungen verwendet werden. Die Erfindung hat erhebliche Vorteile bei der Bild-Synthese, da unter anderem die Vorgehensweise erhebliche Einsparungen von Computer-Speicher ermöglicht, da nur die Super-Formel mit klassischen Funktionen (wie beispielsweise Potenzen, trigonometrischen Funktionen etc.) verwendet werden muss. Zusätzlich ist die Anzahl der verfügbaren Bild-Formen mit der Super-Formel erheblich erhöht gegenüber dem zuvor verfügbaren.
Graphik-Programme (wie beispielsweise Paint bei Windows^TM, Zeichen-Werkzeuge in Microsoft Word^TM, Corel Draw^TM, CAD, jene die für Architektur-Design verwendet werden etc.) verwenden "Primitive", welche Formen sind, die in den Computer programmiert sind. Diese sind sehr restriktiv, beispielsweise oft beschränkt auf hauptsächlich Kreise, Ellipsen, Quadrate und Rechtecke (in 3-D sind volumetrische Primitive auch sehr beschränkt).
Die Einführung der Super-Formel vergrößert das Ausmaß der gesamten Möglichkeiten bei 2-D-Graphiken (und auch bei 3-D Graphiken wie unten diskutiert) stark um einige Größenordnungen. Als lineare Operator verwendet kann sie auf viele unterschiedliche Weisen und in vielen Formulierungen operieren, sei es in Polarkoordinaten etc. und auch in 3-D unter Verwendung sphärischer Koordinaten, zylindrischer Koordinaten, parametrischer Formulierungen von homogenisierten Zylindern etc.
Einige exemplarische Ausführungsformen bei 2-D-Graphik-Software-Anwendungen sind wie folgt.

a.1. Der Computer kann eingerichtet sein, den Operator auf einfache Weise zu verwenden, in beispielsweise Polarkoordinaten oder in XY-Koordinaten. In diesem Sinn können die Parameter gewählt werden (beispielsweise durch Benutzereingabe oder durch den Computer selbst) und als Eingabe der Super-Formel (beispielsweise durch Programmierung) verwendet werden. Die individuellen Formen oder Objekte können auf jegliche Art verwendet werden, wie beispielweise zum Ausdrucken oder Anzeigen eines Objekts usw.
a.2. Der Computer kann auch eingerichtet sein, Operationen wie beispielsweise Integration zum Berechnen einer Fläche, eines Umfangs, eines Trägheitsmoments etc. durchzuführen. In dieser Hinsicht kann der Computer eingerichtet sein, solch eine Operation entweder durch a) Auswählen einer solchen Operation mittels einer Benutzereingabe (beispielsweise mittels der Tastatur 20) oder b) Einrichten des Computers (beispielsweise mittels Vorprogrammierung) zum Durchführen solcher Operationen durchzuführen.
a.3. Der Computer kann eingerichtet sein (beispielsweise durch Software) zum: a) Anzeigen oder auf andere Art präsentieren von Formen; b) es einem Benutzer zu ermöglichen, solche Formen nach deren Anzeige zu modifizieren; und c) die Form, wie sie von dem Benutzer modifiziert wurde, anzuzeigen. In dieser Hinsicht kann der Benutzer die Form z.B. durch Verändern von Parametern modifizieren. In einer exemplarischen Ausführungsform kann der Computer eingerichtet sein, Formen zu ermöglichen, die angezeigt oder auf andere Art präsentiert werden (d.h. in dem oben erwähnten Schritt 3 präsentiert werden) durch physikalisches Operieren auf der physikalischen Repräsentation, die in Schritt 3 erzeugt wurde. In einer bevorzugten Ausführungsform kann der Computer eingerichtet sein, es zu ermöglichen, dass Formen, die auf einem Monitor angezeigt werden, durch Herausziehen von Seiten und/oder Ecken aus dem Muster, beispielsweise Bild, verändert werden. In dieser Hinsicht wird vorzugsweise ein Bild 31 auf dem Computerbildschirm oder Monitor 30 dargestellt und ein Benutzer kann seine per Hand betätigte "Maus" (oder eine andere Benutzer-betätigte Bildschirm-Zeigevorrichtung oder Anzeige-Zeigevorrichtung) verwenden, um einen angezeigten Zeiger 32 auf der Form zu platzieren, um diese "Anzuklicken" und zu einer neuen Position 33 zu "ziehen"- wobei die Super-Form verändert wird, so dass eine neue "Super-Form"-Konfiguration 34 angenommen wird. Dies beinhaltet auch eine Wiederberechnung der Formel und Parameter.
a.4. Der Computer kann auch eingerichtet sein, Operationen durchzuführen, wobei mehr als eine der individuellen Formen, die in a1 oder a3 erzeugt wurden, zusammen genommen werden, entweder durch den Prozess der Super-Position (algebraische Addition, schematisch gezeigt in 23(A)) oder durch den Prozess der Reiteration (schematisch gezeigt in 23(B)). In einigen Fällen können individuelle Super-Formen, die durch beispielsweise Super-Position und/oder Reiteration kombiniert sind, beispielsweise Sektoren oder Abschnitte sein, die kombinierbar sind, um Formen mit unterschiedlichen Abschnitten oder Regionen zu erzeugen (als nur ein illustratives Beispiel kann ein Sektor eines Kreises zwischen beispielsweise 0 und n/2 mit einem Sektor eines Quadrats zwischen beispielsweise n/2 und n kombiniert werden, um eine Multi-Komponenten-Form zu Erzeugen). Der Computer kann auch eingerichtet sein, zusätzliche Operationen auf den erzeugten Super-Formen durchzuführen – z.B. zum Abflachen, verdrehen, verlängern, vergrößern, rotieren, bewegen oder verschieben oder auf andere Art solche Formen zu verändern.

B. 3-D-Graphik-Software
Wie bei 2-D Anwendungen weist die Erfindung eine große Anwendbarkeit bei 3-D-Graphik-Software-Anwendungen (sowie bei den Darstellungen in verschiedenen anderen Dimensionen) auf.
Die Erfindung kann beispielsweise bei Computer-gestütztem-Design(Computer Aided Design, "CAD")-Software verwendet werden, Software für Finite-Elemente-Analyse ("FEM"), Architektur-Design-Software etc. Die Erfindung ermöglicht es z.B., einzelne stetige Funktionen anstatt Spline-Funktionen für verschiedene Anwendungen zu Verwenden. Industrielle Anwendungen von CAD sind beispielsweise die Verwendung bei schnellem Prototyping oder bei Computer gestützter Herstellung (Computer Aided Manufacturing, "CAM"). Die Erfindung ermöglicht unter anderem erhebliche Einsparungen bei Speicherplatz und Rechenleistung.
Zuvor lieferte die Einführung von "Superquadriken" (inklusive Super-Ellipsoiden etc.) einige verbesserte Möglichkeiten für Graphik-Programme. Aber wie unten dargestellt bietet die Super-Formel große neue Möglichkeiten über das, was mit Super-Quadriken verfügbar ist.
Die explizite Formel, die den Vektor x für einen Super-Ellipsoid z.B. definiert ist wie folgt:
mit – π/2 < ω < π/2 – π ≤ ω < π
Aber hier ist die Anzahl der möglichen Rotations-Symmetrien wieder auf vier in den orthogonalen Richtungen beschränkt.
Demgegenüber arbeitet die Super-Formel auf eine andere Art. Sie operiert auf jeder individuellen trigonometrischen Funktion in der expliziten Funktion auf dieselbe oder unterschiedliche Art und erlaubt so die Einführung einer beliebigen Rotationssymmetrie und erhält gleichzeitig den Radius.
Die Einführung der Super-Formel vergrößert das Ausmaß der gesamten Möglichkeiten in der 3-D-Graphik (und auch bei 2-D-Graphik wie oben diskutiert) erheblich um einige Größenordnungen. Wie erwähnt kann sie, wenn sie als Operator verwendet wird, auf viele unterschiedliche Arten und in vielen unterschiedlichen Formulierungen operieren, sei es in Polarkoordinaten, sphärischen Koordinaten, zylindrischen Koordinaten, parametrischen Formulierungen von homogenisierten Zylindern etc.
Mit der Super-Formal kann eine neue Notation für den Super-Ellipsoid wie folgt geschrieben werden:
Indizes J₁ bis J₄
So, anstatt auf Super-Quadriken beschränkt zu sein, kann eine beliebige Form als Primitiv in Graphik-Programmen oder CAD- Programmen usw. programmiert werden. Während das vorangegangene Beispiel Matrizen behandelt, sollte erkannt werden, dass es in jeglicher Notation gemacht werden kann, sei sie sphärisch, zylindrisch, parametrisch etc.
Während die Super-Formel verwendet werden kann, 3-D-Super-Formen, die durch die 3-D-Super-Formel definiert sind, zu erzeugen, ist es auch vorgesehen, dass andere 3-D-"Super-Formen" jegliche Form aufweisen können, in der mindestens ein 2-D-Abschnitt gemäß der 2-D-Super-Formel super-geformt ist. In dieser Hinsicht können 3-D-"Super-Formen" auch z.B. sein: a) ein Rotationskörper einer 2-D-Super-Form um Symmetriepunkte innerhalb der 2-D-Super-Form; b) ein Rotationskörper um jeglichen Punkt – beispielsweise um Punkte außerhalb der 2-D-Super-Form etc.; c) homogenisierte Zylinder (beispielsweise verallgemeinerte Zylinder und Konen) – beispielsweise kann eine 2-D-Super-Form in 3-D entlang einer beliebigen Linie erweitert werden; d) nicht-homogenisierte Zylinder – beispielsweise kann 2-D-Super-Form in 3-D entlang einer beliebigen Linie erweitert werden, während gleichzeitig die 2-D-Form verändert wird, beispielsweise ihre Größe und/oder Form) um einen Zylinder zu Erzeugen, der eine variierte Form aufweist (dies kann z.B. sehr nützlich für die Herstellung von Blumenvasen, schmückenden Säulen und vielen mehr sein – in diesen Fällen wird in einigen bevorzugten Beispielen die 2-D-Super-Form vorzugsweise stetig variiert, um eine sich glatt verändernde Außenfläche zu Erzeugen); d) Kombinationen des Vorhergehenden; und/oder e) jegliches geeignete bekannte Mittel zum Erzeugen von 3-D-Formen aus 2-D-Formen. Es sollte erkannt werden, dass die Super-Formel auch auf andere Dimensionen verallgemeinert werden kann und ebenso verwendet werden kann zum Erzeugen verschiedener Super-Formen mit anderen Dimensionen (beispielsweise 4-D oder mehr).
Einige exemplarische Ausführungsformen bei 3-D Graphik-Software-Anwendungen sind wie folgt.

b.1. Der Computer kann eingerichtet sein, den Operator einfach in der selben Art wie oben unter a.1 beschrieben zu verwenden. Um den Operator bei 3-D-Graphik zu verwenden, wird der Operator entweder in sphärischen Koordinaten oder in parametrischen Koordinaten entwickelt. Ansonsten ist die Operation ähnlich der bezüglich zwei Dimensionen. In sphärischen Koordinaten kann der lineare Operator in drei Dimensionen erweitert werden mit r = f(ϕ, θ)
wobei
und mit c als einem dritten Form-Parameter.
In parametrischen Koordinaten kann die Verwendung von trigonometrischen Funktionen erweitert werden unter Verwendung modifizierter trigonometrischer Funktionen – d.h. durch eine einfache Operation des Operators auf den trigonometrischen Funktionen.
b.2. Der Computer kann auch eingerichtet sein, den Prozess wie in a.2. dargelegt durchzuführen, indem dieser auf 3-D erweitert wird (oder sogar auf zusätzliche Dimensionen).
b.3. Der Computer kann auch eingerichtet sein, den in a.3. oben dargelegten Prozess durchzuführen, indem dieser auf 3-D erweitert wird (oder sogar auf zusätzliche Dimensionen).
b.4. Der Computer kann auch eingerichtet sein, den in a.4. dargelegten Prozess durchzuführen, indem dieser auf 3-D erweitert wird (oder sogar auf zusätzliche Dimensionen).

Eine exemplarische Ausführungsform eines Computerprogramms zum Erzeugen von 3-D-Super-Formen ist in 27 gezeigt. Das in 27 gezeigte Programm ist ein einfaches Programm in der Programmiersprache BASIC^TM welches fähig ist, 3-D-Darstellungen von Super-Formeln-Formen zu Erzeugen. Es sollte erkannt werden, dass die Formel einfach in jeder verfügbaren mathematischen Software programmiert werden kann – wie beispielsweise Mathlab^TM, Mathematica^TM oder MathCAD^TM. Zusätzlich können in Umgebungen wie beispielsweise Mathlab^TM, Mathematica^TM, MathCAD^TM, Graphing Calculator von Pacific Tech^TM sowie in verschiedenen anderen Programmen Echtzeitansichten von sich verändernden Parametern durchgeführt werden. Dies kann auch in einer beliebigen geeigneten Computersprache programmiert werden. (Als Zusatzbemerkung: die verschiedenen 2-D-Illustrationen, die in den 1–15 gezeigt sind, wurden unter Verwendung von MathCAD 7.0^TM von MathSoft International^TM erzeugt.) Formeln zum Berechnen von Umfang, Fläche, Trägheitsmoment etc. können einfach in diese Software eingefügt werden (oder in jegliche andere geeignete Software, wie man basierend auf dieser Offenbarung erkennt).
C. Wellenform-Erzeugung und Wellenform-Modulation
Die Erfindung weist auch einen erheblichen Nutzen bei der Erzeugung und Modulation von Wellenformen auf – wie beispielsweise Schallwellenformen, elektromagnetischen Wellenformen inklusive als einige Beispiele Licht, Elektrizität etc. und alle anderen Wellenformen. Ein paar exemplarische Anwendungen sind die Verwendung von Lautsprechersystemen 70, Synthesizern oder anderen Vorrichtungen, die verwendet werden können, um Geräusche (Sounds) etc. zu Erzeugen, wenn sie mit einem Computer gekoppelt werden, der ein Wellen-Erzeugungsprogramm aufweist, bei welchem die mathematische Form einer Welle als Eingabe verwendet werden kann.
Einige exemplarische Ausführungsformen für die Erzeugung von Geräuschen (oder anderen Wellenformen) sind wie folgt.

c.1. Der Computer kann eingerichtet sein, den linearen Operator so zu formulieren, dass er auf trigonometrischen Funktionen in XY-Koordinaten-Modus operiert. Dies kann verwendet werden, um dabei ein Signal zu Erzeugen, das auf bekannte Weise verwendet werden kann, um ein Geräusch oder eine andere Ausgabe zu erzeugen. Beispielsweise könnte die Wellenform dazu verwendet werden, Lautsprecher 70 zu betreiben etc.
c.2. Der Computer kann auch eingerichtet sein, verschiedene Wellen zu überlagern, wie beispielsweise Wellen, die gemäß c.1 oben erzeugt wurden und eine Ausgabe zu erzeugen, die der Überlagerung solcher unterschiedlichen Wellen entspricht.
c.3. Der Computer kann auch eingerichtet sein, Computererzeugte Wellenformen aus c.1. oder c.2. innerhalb verschiedener bekannter Sound-Erzeugungs-Programme zu Verwenden.

D. Optimierungen und andere Anwendungen
Zusätzlich zu den vorhergehenden Anwendungen der Super-Formel für die Synthese von Bildern, Geräuschen etc., kann die Super-Formel auch verwendet werden, um speziell Ergebnisse zu Erzeugen und solche Ergebnisse anzuzeigen oder für verschiedene Anwendungen zu Verwenden.
Als erstes Beispiel kann die Super-Formel bei verschiedenen Optimierungs-Bestimmungen verwendet werden. In dieser Hinsicht kann die Super-Formel zum Berechnen und Optimieren von Formeln, Flächen, Größen etc. von verschiedenen Strukturen verwendet werden. Beispielsweise könnte die Super-Formel verwendet werden, um die Konfigurationen von Produkten, wie beispielsweise von Plastikgefäßen zum Verpacken von Nahrungsmittelprodukten etc. zu berechnen und optimieren. In dieser Hinsicht könnte der Computer eingerichtet sein, eine Anzeige, einen Ausdruck usw. zu Erzeugen, um die Ergebnisse einer solchen Optimierung zu anzugeben – wie beispielsweise angeben von Akzeptanz-Bestimmungen, %-Optimierung, potenzielle Formen, potenzielle Parameter etc. Zusätzlich könnte die Super-Formel direkt beim Herstellungsprozess solcher optimierten Produkte angewendet werden.
Bei anderen Beispielen könnte der Computer eingerichtet sein, verschiedene andere werte oder Charakteristika basierend auf der Super-Formel zu berechnen. Und der Computer könnte eingerichtet sein zum Anzeigen, Drucken etc. von Ergebnissen solcher anderen Werte oder Charakteristika oder zum Steuern einer anderen Vorrichtung oder eines anderen Mechanismus 60 etc. basierend auf solchen Ergebnissen oder Charakteristika.
(i) Beispiele aus der Industrie
Die folgenden Beispiele demonstrieren die Verwendung der Super-Formel zu Berechnung von Kompaktheit, beispielsweise das Verhältnis von Fläche/Umfang bei der Konstruktion von exemplarischen industriellen Produkten. Auf diese Weise kann die Optimierung von Materialien bei der Entwicklung von Produkten, wie beispielsweise Behältern etc. wie beispielsweise Verpackungen für Essen oder andere Inhalte (beispielsweise Plastikbehälter, Metalldosen etc.), andere Produkte mit inneren Hohlräumen etc., durchgeführt werden. Zwei nicht-beschränkende Beispiele, die hier beschrieben werden, sind:

(a). Joghurt (und ähnliche) Verpackungen: Joghurt z.B. wird üblicherweise in Behältern verkauft, die aus Plastikbechern und einem entfernbaren Deckel gemacht sind. Die Behälter werden oft in Mehrstückpackungen mit mehreren Behältern verkauft – beispielsweise üblicherweise in Sechserpacks. Die Erfindung kann verwendet werden, um die billigste Form (hinsichtlich minimaler Materialverwendung und minimaler Fläche und somit minimalem Volumen des eigentlichen Containers) zu erzeugen.
(b). Herstellung von Maschinen (und ähnlichem): z.B. bei Maschinen kann die Super-Formel verwendet werden, um das Volumen und das Gewicht (beispielsweise eines Maschinenblocks) für einen konstanten Zylinderinhalt und konstante Maschinen-Steifigkeit zu verringern.

In der Geometrie wurde der Kreis als die einfachste und perfekteste Form betrachtet. Ein allgemein bekanntes Prinzip wird isoperimetrische Eigenschaft genannt, das besagt, dass von allen ebenen Formen mit einem gegebenen Umfang der Kreis die größte Fläche aufweist. Bei technischen Anwendungen ist die Frage jedoch ein bisschen anders. Ingenieure versuchen, eine gewisse Menge oder ein gewisses Volumen einer Substanz in einen Behälter zu tun, wobei der Behälter selbst (beispielsweise sein Oberflächenmaterial) so gering wie möglich gehalten wird. Die Frage kann wie folgt umformuliert werden: "Welche Form hat die größte Kompaktheit, welche sich als Quotient des inneren Volumens durch das gesamte äußere Oberflächenmaterial berechnet?"
Das Oberflächenmaterial ist nicht nur die Oberfläche, die in Kontakt mit der eingeschlossenen Substanz ist, sondern beispielsweise Mehrfachstückpackungen-Joghurt-Behälter weisen mehrere Becher oder Hohlräume auf, die Seite an Seite miteinander verbunden sind. Diese Verbindungen bringen auch erforderliche Materialen mit sich und resultieren auch in zusätzlichen Kosten. Die Erfindung verwendet die Super-Formel um neue, optimierte Formen für solche Becher oder Behälter oder ähnliches zu entwerfen.
(a) Das Optimieren von Packungsmaterialien (beispielsweise Joghurt-Packungen etc.)
Für das folgende Beispiel nehmen wir an, dass die Becher beispielsweise durch Plastik an der Oberseite der Becher zusammengeklebt sind (beispielsweise wie es typischerweise mit üblichen Mehrfachstückverpackungen-Joghurt-Behältern wie oben beschrieben gemacht wird). Die folgende Rechnung bestimmt, welche grundlegende Super-Form (hier z.B, nur mit Variablen a = b = Grundradius R und Exponent n) am billigsten ist für eine vorgegebene Querschnittsfläche. Diese Fläche bestimmt den Grundradius (= Radius bei einem Winkel = 0°) der Super-Form und auch das Volumen des Bechers. Wenn ein Becher z.B. eine Querschnittsfläche von ungefähr 2250 mm² aufweist (dies ist ein tatsächliches Beispiel), ist der Exponent der Super-Form eine Variable, die wir versuchen zu bestimmen, somit wissen wir unseren Grundradius noch nicht. Für Bereiche von Exponenten berechnen wir die Flächenkonstante (welche durch den Exponenten der Super-Form bestimmt wird):
Für jeden Exponenten können wir nun den Grundradius rg(n) bestimmen. Zunächst wird diese Fläche berechnet durch:
Da die Form-Parameter a und b gleich sind, sind sie beide gleich rg(n). a(n) := rg(n) b(n) := rg(n)
Nun kann der Umfang der Querschnittsfläche r(n) berechnet werden durch Verwendung der Gleichung wie in 28 dargelegt. In diesen Beispielen sind m₁ und m₂ (d.h. die Rotations-Symmetrie) gleich 4. Es sollte erkannt werden, dass dies auch für andere Rotations-Symmetrien verallgemeinert werden kann. Auch wurden die Absolutwerte entfernt, da die Integration in dem ersten Quadranten von 0 bis n/2 stattfindet. Wenn wir z.B. annehmen, dass die Becher 16 mm voneinander entfernt sind, muss dieser Raum durch die Plastik-Verbindungsplatte ausgefüllt werden. Somit wird die Gesamtoberfläche berechnet als: ozijde(n) := r(n) · 60 otot(n) := ozijde(n) + (2 · (rg(n) + rand))
Wobei ozijde(n) = Fläche des Bechers (= Umfang des Querschnitts multipliziert mit einer Höhe von z.B. 60 mm); otot(n) = Gesamtfläche des für die Herstellung der Becher erforderlichen Plastiks. 24 zeigt Berechnungen, die auf den vorhergehenden basieren. Nach Durchführen von nur zwei Iterationen (Wählen einiger diskreter Bereiche von Exponenten und jeden mit höherer Genauigkeit) wurde so auf einfache Weise herausgefunden, dass ein Exponent von ca. n = 3,4 (und genauer bei ungefähr n = 3,427) eine optimale Form für diese Joghurtbecher liefert.
(b) Die Optimierung von Maschinen:
Eine andere sehr bemerkenswerte industrielle Anwendung der Verwendung von Super-Formen ist die Konstruktion von Maschinenblöcken. Aufgrund der Super-Formel können Kolben verpackt werden wobei dieselbe Distanz von Seite zu Seite eingehalten wird, während die Distanz von Mittelpunkt zu Mittelpunkt verringert wird. Als Ergebnis kann eine Maschine viel kompakter gemacht werden und ihr Gewicht kann drastisch reduziert werden.
In einem illustrativen, nicht beschränkenden Beispiel beginnen wir mit einer einfachen Maschine, die mit einem rechteckigen Block gemacht wird, aus dem ein Maschinenzylinder herausgeschnitten werden soll. Durch Verwenden eines Zylinders mit einer Super-Form (oder einem Super-Zylinder) kann die Größe des Rechtecks (d.h. des Maschinenblocks) reduziert werden, ohne ihre mechanische Steifigkeit an den schwächsten Stellen zu verlieren. Dementsprechend kann eine erhebliche Menge von Überflussmaterial und nutzlosem Material, beispielsweise Metall, entfernt werden, wodurch Maschinen effizienter gemacht werden. Wenn man das Volumen des Maschinenblocks (= Rechteck – Zylinder) mit der Super-Formel berechnet wird, können signifikante Ergebnisse gefunden werden. Beispielsweise ist es möglich, wie in 25 gezeigt, mit einer Ein-Zylindermaschine in einem rechteckigen Block mit einem quadratischen Querschnitt, der einen Grundradius hat, der 2 mm breiter ist als der Grundradius der Super-Form durch Verwenden von Super-Zylindern mit n = 2,5 anstatt von 2 bis zu 24% Gewicht einzusparen. Dementsprechend ermöglicht die Super-Formel die Verwendung von Verfahren, um detaillierte Parameter in Berechnungen einzubeziehen, um optimierte Formen usw. zu erzeugen (namentlich: eine Super-Form mit dem höchsten Flächen/Umfang-Verhältnis hat einen Exponenten von ungefähr n = 4,393549, was durch die Berechnungen wie oben gezeigt bewiesen werden kann.)
E. Verschiede Fabrikationsartikel
Wie oben angedeutet kann gemäß einem Aspekt der Erfindung die Super-Formel verwendet werden, um eine Ausgabe zu liefern, die zur Steuerung einer externen Vorrichtung wie beispielsweise einer Vorrichtung, die bei der Fabrikation von Produkten verwendet wird, verwendet wird.

(a) bei einer exemplarischen Ausführungsform kann die Erfindung verwendet werden, um Spielzeuge ähnlich einer "russischen Puppe" zu erzeugen. Beispielsweise kann ein Würfel bereitgestellt werden, der geöffnet werden kann (beispielsweise aus zwei Halbschalen gemacht) und darin ausgebildete kleinere Super-Sphären und/oder Sub-Sphären mit stetig abnehmender Größe aufweist (beispielsweise jede ebenfalls aus zwei Halbschalen gemacht, die getrennt werden können, um andere Super-Formen darin zu enthüllen). In der gleichen Art kann ein mathematisches Werkzeug hergestellt werden, das eine Mehrzahl von Formen aufweist (entweder in zwei oder drei Dimensionen) und das verwendet werden kann, Schülern die Prinzipien der Super-Formel zu lehren. Beispielsweise könnten diese Formen eine Mehrzahl von Formen sein, beispielsweise ähnlich den Formen, die z.B. in 1(C)–1(N) gezeigt sind etc. Die Formen könnten auch Teile dieser Super-Formen sein, wie beispielsweise eine bogenartige Form, die wie eine Hälfte der Super-Form gemacht ist.
(b) In einer anderen Ausführungsform kann ein Lehrmittel und/oder ein Unterhaltungsgerät bereitgestellt werden mit einer Mehrzahl von Super-Formen, die zusammen abgebildet oder angezeigt werden, entweder: a) zeitweise (beispielsweise auf einer Filmleinwand, einem Computermonitor, einem Videomonitor oder einem Fernsehmonitor etc., wobei unterschiedliche Super-Formen sequenziell angezeigt werden)(dies könnte langsam gemacht werden, um es Zuschauern zu ermöglichen, jede Form in einer Reihe zu sehen und zu verstehen oder schnell, um filmartige Sequenzen zu erzeugen oder Fluss zwischen allgemein sofort angezeigten Formen); oder b) positionsweise (beispielsweise auf einer oder mehreren Seiten eines Buchs oder auf einer oder mehreren Fotografien oder auf einem Folienstreifen oder Seite an Seite angezeigt auf einer Filmleinwand, einem Monitor, einer Fernsehanzeige, einer Videoanzeige oder ähnlichem). Bei diese Strukturen können die Super-Formen beispielsweise angeordnet werden, so dass: a) die angezeigten Super-Formen sich in einer Art unterscheiden, um schrittweise Variationen von Parametern und somit bei durch die Super-Formel erzeugten Formen zu demonstrieren, wie beispielsweise gezeigt in einer beliebigen der 1(A)–1(T) oder 2(A)–2(I) oder 3(A)–3(F) oder 4(A)–4(I) oder 5(A)–5(I) oder 6(A)–6(I) oder 7(A)–(G) oder 8(A)–8(F) oder 9(A)–9(G) etc.; oder b) können zusammen angezeigt oder abgebildet werden, um Variationen zu demonstrieren, die aufgrund anderer Variationen der Parameter der Super-Formel auftreten (wie gezeigt in 11(A)–11(E) etc.); oder c) können zusammen angezeigt oder abgebildet werden, um Beziehungen zwischen Super-Formen zu demonstrieren (wie die Beziehung zwischen denen, die gezeigt in 11(a)-11(E) und in 12(A)bis 12(E) gezeigt sind, etc.) Ebenso kann ein Fabrikationsartikel gemacht werden, der Variationen der Super-Formel in anderen Koordinatensystemen anzeigt und ähnliches. Ebenso kann ein Fabrikationsartikel gemacht werden, der unterschiedliche Wellenformen (beispielsweise Geräusche) anzeigt oder zeigt, die durch ähnliche Variationen der Super-Formel-Parameter erzeugt wurden. Während diese verschiedenen Fabrikationsartikel inklusive Spielzeuge, Büchern, Filme etc. vorzugsweise mit der Hilfe von Computern formuliert werden, ist dies nicht notwendigerweise erforderlich.
(c) In einer anderen Ausführungsform können Fabrikationsartikel erzeugt werden, bei denen eine oder mehrere Super-Formen auf oder in ein Stück Rohmaterial gedrückt, genäht, geätzt, gefräst, gemalt oder anders ausgeformt sind. Beispielsweise können Gewebematerialien oder andere Textilien gemacht werden, so dass Super-Formen darauf gedruckt, genäht etc. sind (wie, als einige Beispiele, auf Kleidung (beispielsweise T-Shirts, Sweat-Shirts etc.), Laken, Decken, Vorhänge etc.). Z.B. können eine Mehrzahl von blumenartigen Super-Formen darauf gemacht werden. Als weiteres Beispiel kann ein Bild durch einen computergestützten Prozess auf eine Leinwand gemacht werden, wobei eine oder mehrere Super-Formen darauf abgebildet werden – wobei der Prozess vorzugsweise durch einen Computer geführt wird, der Arbeitsablauf des Prozesses zum Darstellen solcher Formen steuert. Als weiteres Beispiels kann ein Materialstück wie Holz, Plastik, Metall, Keramik etc. gefräst etc. werden, so dass ein oder mehrere Super-Formen darauf dargestellt sind – wobei der Prozess vorzugsweise von einem Computer geführt wird, der den Arbeitsablauf des Prozesses zum Ausbilden solcher Formen in dem Materialstück steuert.
(d) Bei einer anderen Anwendung kann die Erfindung verwendet werden bei der Herstellung von verschiedenen Globen, Karten usw. In dieser Hinsicht wird eine Erklärung in Hinblick auf die Terminologie "metrisch" gegeben. Üblicherweise sind Leute daran gewöhnt, in wohl-definierten Maßen zu denken, wie beispielsweise 1 m und sein millionster Teil, 1 μm. Doch dies ist nicht die einzige Art, Entfernungen zu betrachten.

Wie hierin beschrieben kann die Super-Formel dazu verwendet werden, einen Kreis in verschiedene Polygone und andere Formen zu formen. Dementsprechend kann wie oben beschrieben die Super-Formel als Operator auf Funktionen verwendet werden. Doch durch Umkehren dieses Gedankengangs kann man im Wesentlichen sagen, dass alle Formen Kreise sind. In diesem Fall definiert die Super-Formel oder der Operator die "Metrik". Wenn wir z.B. einen Kreis in ein Quadrat formen, sehen wir einen Übergang von dem Kreis zu dem umschriebenen Quadrat. Bei 0° ist der Radius des Kreises exakt die Hälfte der Seite des Quadrats doch bei 45° vergrößert sich der Radius R auf Quadratwurzel aus zwei mal den Radius. Der Radius ist nach wie vor der gleiche, doch jetzt wird der Radius in anderen Einheiten gemessen, nämlich der Einheit, die durch die Formel gegeben ist. Bei dem Beispiel betrachten wir – im Wesentlichen – das Quadrat aus der Perspektive eines Kreises mit konstanten Entfernungen in festen Maßen. Doch wenn wir das Quadrat aus der Perspektive des Quadrats betrachten, ist es mit seiner eigenen Metrik nach wie vor ein Kreis.
Z.B. ist in 26 demonstriert, wie ein Kreis in 26(A) einem Quadrat in 26(B) entspricht. Wenn wir wissen, dass die Definition eines Kreises die Menge aller Punkte ist, die in einer festen Entfernung von einem Zentrum liegen, sehen wir, auf welche Weise das Quadrat ein Kreis ist. Durch Deduktion können wir uns vorstellen, dass alle Super-Formen tatsächlich Kreise sind mit einer Metrik, die durch die Super-Formel definiert ist (in der Darstellung, die in 26(A)–26(B) gezeigt ist, ist diese Metrik die Formel mit RS m = 4 und alle n-Werte = 1).
In der gleichen Art können andere "Metriken" mit der Super-Formel gesehen werden. Beispielsweise können die scheinbaren Rotations-Symmetrien, die der Operator bei einer Spirale einführt, was zu einer Quadrat-Spirale führt, auch gesehen werden als eine wahre Spirale, jedoch mit der Metrik eines Quadrats.
Wenn man das Obige nun mit einer Sphäre (z.B. insbesondere mit einem Globus etc.) und einem Würfel macht, ist der Würfel nach wie vor eine Sphäre, aber mit einer unterschiedlichen "Metrik". Somit werden, wenn wir einen Globus in einem Würfel "aufblähen", alle Länder und Kontinente etc. sich deformieren, aber da dies mit der Formel gemacht werden kann, können wir die Metrik an allen Punkten wissen.
Somit könne wir beispielsweise die Super-Formel verwenden, um den Globus in beliebige andere Super-Formel-Formen zu deformieren – wie beispielsweise Würfel, Balken, Pyramiden, Dodekaeder und verschiedene andere Polyeder etc. und mit geraden oder aufgeblähten Seiten, abgerundeten oder geraden Ecken etc.
Der Globus oder ähnliches kann z.B. sein: (1) eine zweidimensionale Darstellung der dreidimensionalen Form (beispielsweise gezeigt auf einem Computermonitor, gedruckt auf Papier (z.B. von kleinem Papier (z.B. 8"×11" etc. oder sogar viel kleiner) bis zu Postern oder ähnlichem (beispielsweise 2 Fuß × 3 Fuß etc. oder sogar viel größer)), gedruckt auf ein Textil-Material wie beispielsweise auf ein Gewebematerial (wie z.B. auf ein Kleidungsartikel wie einem T-Shirt etc.) oder anders auf einem anderen Material ausgeformt etc.), die beispielsweise mit einem Computer und Grafik-Programmierung gemacht wurde oder (2) eine dreidimensionale Konstruktion basierend auf solchen Berechnungen, die vorzugsweise mit einem Computer zum Erzeugen modifizierter Globen oder ähnlichem durchgeführt wird, die als verkäuflicher Gegenstand gefertigt werden kann.
Zusätzlich ermöglicht es die Super-Formel mit der Erfindung einfach die Globen auf flache Oberflächen abzubilden. Dies ist somit das erste Mal, dass ein Globus mit exakter Präzision beispielsweise auf Papier abgebildet werden kann. Die inhärente Krümmung eines Globus (nicht-euklidisch) kann einfach in einen euklidischen Raum transformiert werden (jetzt schließen sich euklidische Geometrie und nichteuklidische Geometrie gegenseitig aus).
Ein exemplarisches Bildungs-Hilfsmittel oder ähnliches kann wie folgt gemacht werden. In einer Ausführungsform können Sensoren in die Oberfläche (beispielsweise nicht sichtbar, sondern unter der Oberfläche) eingebaut werden, die in Beziehung zu der Metrik stehen. Wenn man eine empfindliche Sonde (beispielsweise stiftartig) über den Super-Form-Globus oder einen Würfel oder eine Pyramide zwischen zwei Orten (beispielsweise zwischen Rom und Washington, D.C.) bewegt, würde man dieselbe Entfernung auf jeder Wiedergabe des Globus messen. Natürlich wäre der Abstand zwischen den Sensoren unterschiedlich auf der Sphäre und auf dem Würfel. Dies könnte Leuten helfen, zu verstehen, wie man bezüglich Super-Formen denken muss – d.h., das Sphären und Würfel etc. dasselbe sind. Diese Formen können kategorisiert werden als verallgemeinerte Sphären.
Weiterhin zum Obigen liefert die Super-Formel einen Zusammenhang zwischen Metriken der Form und einem Maß (in dem Sinne, dass Sinus und Kosinus etc. Maße sind), was ein sehr mächtiges Werkzeug für verschiedene andere Applikationen liefert, wie man basierend auf dieser Offenbarung erkennt.
Weiterhin können in Computerumgebungen solche verallgemeinerten Globen unter Verwendung von Rotationsmatrizen um feste Achsen rotiert werden. Zusätzlich ist es mit der Super-Formel auch möglich, die Super-Formel auf trigonometrische Funktionen in der Rotationsmatrix anzuwenden, so dass beispielsweise ein Globus beispielsweise "quadratisch" rotiert werden kann.
Im Prinzip kann der Super-Formel-Operator als Metrik auf jeden geometrischen Raum verwendet werden (d.h. er induziert Metriken auf jeden geometrischen Raum) inklusive dem euklidischen Raum oder jedem anderen geometrischen Raum, wie beispielsweise auf den 4-D-Minkowski-Raum, der in der Relativitätstheorie verwendet wird.
Weiterhin wird bemerkt, dass die Fitzgerald-Lorenz-Kontraktions-Formel aus der Super-Formel erhalten werden kann, wobei der Kosinusterm eine Konstante und gleich c (d.h. der Lichtgeschwindigkeit) ist, der Sinusterm gleich v (d.h. der Geschwindigkeit des Teilchens oder Objekts) ist und die Exponenten n alle gleich 2 sind.

(e) Eine andere exemplarische Vorrichtung kann z.B. eine Neuheit oder ein pädagogisches Gerät sein mit: (1) einem Bildschirm oder Monitor; (2) Taste(n) zum Eingaben oder Verändern von Werten von einem oder mehreren der Parametern: m, 1/a, 1/b, n₁, n₂, n₃; und (3) einen Prozessor (beispielsweise Computer) zum Erzeugen eines Super-Form-Bildes (beispielsweise eines 2-dimensionalen Bildes einer 2-dimensionalen oder 3-dimensionalen Super- Form) basierend auf den Eingabewerten und zum Erzeugen eines Bildes auf dem Bildschirm oder Monitor. In einer exemplarischen Ausführungsform können die Tasten "Rauf"- und "Runter"-Pfeiltasten aufweisen zum Verändern der Werte der jeweiligen Parameter. D.h., dass durch Drücken einer Rauf-Taste, beispielsweise für einen n₂-Parameter ein Benutzer die Super-Form inkrementell ändern kann (die Inkremente können wie gewünscht ausgewählt werden um sicherzustellen, dass die Form sich sichtbar innerhalb eines gewünschten Bereichs ändert). Diese Ausführungsform kann ein Computerprogramm aufweisen, das auf einem PC-Computer (beispielsweise mittels einer CD-Rom bereitgestellt) ausgeführt wird oder kann ein tragbares Gerät aufweisen, das einen kleinen Monitor zum Betrachten, interne Elektronik und Software und erforderliche Tasten aufweist. In einer Variante kann der Computer veranlasst werden, eine Super-Form auf dem Monitor oder Bildschirm (beispielsweise in einem oberen Bereich des Bildschirms) anzuzeigen und einem Benutzer kann dann ein einfacher Kreis (beispielsweise am unteren Ende des Bildschirms) gezeigt werden, den der Benutzer in die Super-Form, die oben auf dem Bildschirm gezeigt wird, verändern soll (in anderen Varianten können die Bilder auch überlappend gezeigt werden oder das Start-Bild kann getrennt von dem Bild gezeigt werden, das von dem Benutzer verändert wird). Wenn der Benutzer die Parameterwerte so ändert, dass das erzeugte Bild ähnlich (oder z.B. innerhalb eines vorbestimmten Bereichs) dem ursprünglich gezeigten ist, kann der Computer, wenn gewünscht, auch: (a) Anzeigen, dass die Aufgabe fertiggestellt wurde (alternativ könnte der Benutzer entscheiden, ob das erzeugte Bild dem ersten Bild ähnlich ist), (b) Anzeigen einer Zeit oder Geschwindigkeit solch einer Fertigstellung, (c) eine Bewertung der Effizienz der Benutzung der Rauf- und Runter-Tasten durch den Benutzer ausgeben etc. (Bemerkung: Im Wesentlichen könnte diese Modifikation das Durchführen einer einfachen Bildanalyse des ursprünglichen Bildes durch Isolieren von Parametern des ursprünglichen Bildes durch eine Variation von Parametern durch den Benutzer (siehe den "Analyse"-Abschnitt unten) einbeziehen).
(f) Es ist vorgesehen, dass die Super-Formel zum Erzeugen verschiedener Fabrikationsartikel verwendet werden kann (z.B. entweder mit 2-D-Super-Formen darauf, die mit Querschnittsformen ausgebildet werden, die als 2-D-Super-Formen gemacht sind und/oder mit einer Struktur, die als 3-D-Super-Formen gemacht ist etc.). Zusätzlich zu den vorhergehenden Beispielen können andere Fabrikationsartikel z.B. sein: Vasen (beispielsweise für Blumen etc.), Teller, Tassen, Behälter, Türknaufe, Möbel (beispielsweise Bein-Design, Tischoberflächenformen, Verzierungen darauf etc.) und beliebige andere geeignete Fabrikationsartikel.

II. Analyse
Wie oben diskutiert wird die Super-Formel gemäß dem zweiten Aspekt der Erfindung bei der Analyse von Mustern, wie beispielsweise Bildern und Wellen verwendet.
In dieser Hinsicht ist es sehr bemerkenswert, dass die Super-Formel mindestens fünf unterschiedliche mathematische Darstellungsarten aufweist, wie oben mit Bezug auf 20–22 diskutiert. Zusätzlich sind unter anderen Darstellungsarten andere Graphen in anderen Koordinatensystemen. Wenn Parameter innerhalb der Super- Formel ausgewählt werden, wird eine spezielle Gleichung entsprechend dieser ausgewählten werte erzeugt. Jedoch kann diese spezielle Gleichung in jeder dieser mathematischen Darstellungsarten dargestellt werden. In einem mathematischen Sinn gibt es einen Isomorphismus zwischen diesen unterschiedlichen Darstellungsarten – d.h. eine eins-zu-eins Beziehung.
Unter anderem erleichtert dies den Vergleich zwischen verschiedenen Formen und Dingen – sie können miteinander durch eine einzige Formel "gleichgesetzt" werden. Beispielsweise wird es typischerweise so gesehen, dass die Geometrie nichts mit elektromagnetischen Wellen zu tun hat, bei denen alles auf Sinus-Funktionen und Kosinus-Funktionen basiert. Die Super-Formel ermöglicht es jedoch, sowohl Wellen als auch geometrische Formen unter Verwendung einer einzigen Formel darzustellen – beispielsweise die Prinzipien der Teilchen-Wellen-Dualität zu erhellen. Der einzige Unterschied ist die Darstellungsart. Unter den verschiedenen Darstellungsarten gibt es in gewisser Hinsicht keine spezielle Präferenz. Jedoch können unter anderem verschiedene Arten einfach bei der Analyse von unterschiedlichen Typen von "Mustern" verwendet werden.
Beispielsweise bei der Analyse von gewissen Arten von Signalen in der Chemie, die beispielsweise als Wellen mit Spitzen etc. darstellbar sind (wie beispielsweise bei chemischen Reaktionen, die in XY-Koordinaten mit der Y-Achse als Eigenschaft oder Bedingung und der X-Achse als Zeitbereich darstellbar sind) wird die XY-Darstellung von der Art, wie sie in 20(C), 21(C) und 22(C) gezeigt ist, besonders nützlich für die Analyse. Als weiteres Beispiel wird bei der Analyse von elektromagnetischen Wellen die XY-Darstellung des Projektions-Typs, wie in den 20(D), 21(D) und 22(D) gezeigt (entweder Sub-Sinus-Funktionen oder Super-Sinus-Funktionen) besonders nützlich. Wie in den 20–22 dargestellt, können bei diesen Beispielen die XY-Graphen einfach isomorph in Polar-Koordinaten-Graphen transformiert werden.
Im Allgemeinen, aber nicht darauf beschränkt, können Formen oder Wellen "analysiert" werden durch die Anwendung der folgenden grundlegenden Schritte (diese Schritte sind ähnlich der vorangegangenen Schritte bei der Synthese in umgekehrter Form)
In einem ersten Schritt kann ein Muster gescannt werden oder in einen Computer eingegeben werden (beispielsweise in digitaler Form). Beispielsweise kann ein Bild eines Objekt gescannt werden (2-D oder 3-D), ein Mikrophon kann Schallwellen empfangen oder elektrische Signale (beispielsweise Wellen) können eingegeben werden, Daten von einem computerlesbaren Medium wie beispielsweise einer CD-ROM, einer Diskette etc. können eingegeben werden, Daten können online empfangen werden, beispielsweise mittels des Internets oder eines Intranets etc. Verschiedene andere bekannte Eingabetechniken könnten verwendet werden wie beispielsweise Verwenden von Digital-Kameras oder anderen Kameras (z.B. sowohl Einzel-Bilder oder zusammenhängende Echtzeit etc.) etc. 16 illustriert Beispiele, wobei ein Bild-Scanner 100 (beispielsweise ein Dokument-Scanner, der zum Scannen von Bildern auf einem Rohmaterial, wie beispielsweise Papier oder Fotografien, verwendet wird, oder eine andere Scanner-Vorrichtung) und/oder eine Aufnahmevorrichtung 200 (die beispielsweise Wellenformen mittels eines Mikrophons oder ähnlichem empfängt) werden in Verbindung mit einem Computer 10 verwendet.
In einem zweiten Schritt wird das Bild analysiert, um Parameterwerte etc. der Super-Formel zu bestimmen. In diesem Schritt könnten die analysierten Signale auch identifiziert, kategorisiert, verglichen etc. werden. In manchen Computer-Analyse-Fällen kann der Computer eine Bibliothek oder einen Katalog (beispielsweise gespeichert in einem Speicher) von Primitiven aufweisen (so dass beispielsweise zusammengestellte Super-Formen mittels Parameter-Werten kategorisiert sind). In einem solchen letzteren Fall kann der Computer dann verwendet werden, um die Super-Formen basierend auf der Information in der Bibliothek oder dem Katalog zu approximieren, identifizieren, klassifizieren und/oder ähnliches. Der Katalog von Primitiven könnte beispielsweise verwendet werden für die erste Approximation von Mustern oder Formen.
In einem dritten optionalen Schritt können die analysierten Signale wie gewünscht verändert werden (beispielsweise können Operationen ähnlich den oben mit Bezug auf die zweite allgemeine Phase oder Synthese-Schritt beschriebenen durchgeführt werden).
In einem vierten Schritt kann eine Ausgabe erzeugt werden. Die Ausgabe kann sein: (a) Bereitstellen einer visuellen (beispielsweise angezeigt oder ausgedruckt) oder hörbaren (beispielsweise Sound) Ausgabe; (b) Steuern des Betriebs einer speziellen Vorrichtung (beispielsweise wenn gewisse Bedingungen festgestellt werden); (c) Bereitstellen einer Angabe bezüglich dem analysierten Muster (beispielsweise Identifizieren des Musters, Klassifizieren des Musters, Identifizieren einer bevorzugten oder optimalen Konfiguration, Identifizieren eines Mangels oder einer Abnormalität etc.); (d) Erzeugen einer anderen Ausgabe-Form oder Ergebnisses, wie es Fachmännern ersichtlich ist.
Bei der Analyse macht der Computer nachdem das Muster digitalisiert ist weiter unter Verwendung eines gewissen Darstellungstyps. Wenn es ein chemisches Muster ist, sollte der XY-Graph ausgewählt werden. Wenn es eine geschlossene Form ist, sollte eine modifizierte Fourier-Analyse ausgewählt werden. Der Computer sollte (beispielsweise durch Software) eingerichtet werden, eine Schätzung der richtigen Parameter für die Gleichung zum Darstellen des digitalisierten Musters zu liefern.
Techniken der Fourier-Analyse werden als nur einige Beispiele in den folgenden US-Patentanmeldungen offenbart (Titel in Klammern) die gesamten Offenbarungen werden hier durch Bezug aufgenommen: 5,749,073 (System for automatically morphing audio information); 3,720,816 (Method for Fourier analysis of interference signals); 5,769,081 (Method for detecting cancerous tissue using optical spectroscopy and fourier analysis); 5,425,373 (Apparatus and method for analyzing and enhancing intercardiac signals); 5,109,862 (Method and apparatus for spectral analysis of electro-cardographic signals); 5,657,126 (Ellipsometer); 5,416,588 (Small modulation ellipsometry); 5,054,072 (Coding of acoustic waveform); 4,885,790 (Processing of acoustic waveforms); 4,937,868 (Speech analysis-synthesis system using sinusoidal waves).
Die "modifizierte" Fourier-Analyse, die unter Verwendung der vorliegenden Super-Formel durchgeführt werden kann, hat eine Anzahl von Vorteilen. Zunächst ist die vorliegende "modifizierte" Analyse nicht nur auf einen Kreis beschränkt, sie ist viel umfassender. Beispielsweise ist der erste Term bei einer Fourier-Analyse eine Konstante, die der Welle oder dem Objekt das grundlegende Ausmaß verleiht. Dann werden danach weitere Terme addiert, die alle auf viel kleineren Kreisen basieren.
Als Illustration wird auf die 18(A) und 18(B) Bezug genommen, die schematisch eine Fourier-Analyse einer trapezoiden Welle bzw. eine "modifizierte" Super-Formel-Analyse derselben Welle zeigen. Wie in 18(A) gezeigt liefert die Fourier-Analyse eine grobe Approximation in zwei Schritten. Mit der Erfindung kann, da jeder Term sequenziell durch den Operator verändert wird, bestimmt werden, ob die grundlegende Gestaltung (oder Muster) eine spezielle Form approximiert – beispielsweise einen Kreis, einen Super-Kreis etc. In diesem Fall kann der Operator wie folgt gefunden werden:
Somit, wie in 18(B) gezeigt, kann die Erfindung viel schneller zu dem trapezoiden Wellen-Muster konvergieren.
Wenn mehr Terme addiert werden müssen, kann es eine beste Schätzung bei allen Termen geben. Beispielsweise sollte die Veränderung, wenn drei Terme verwendet werden in Kombination auf jeden Term angewendet werden, um eine beste Schätzung zu erhalten. Dementsprechend ist die allgemeine Formel für die erweiterte (oder verallgemeinerte) Fourier-Analyse wie folgt:
Dies ist eine Versuch-und-Irrtum-Methode, für deren Durchführung der Computer einfach eingerichtet werden kann. Zusätzliche Verfahren zum Transferieren einer Fourier-Reihe in eine vereinfachte Fourier-Reihe unter Verwendung der Super-Formel können entwickelt und verwendet werden.
Namentlich können sogar "Chemie-Wellen" und "elektromagnetische Wellen" und andere "Wellenformen" unter Verwendung der erweiterten Fourier-Analyse analysiert werden und können auch in die entsprechende Super-Form konvertiert werden.
Ein paar exemplarische Ausführungsbeispiele, die die Anwendung der Super-Formel bei der Muster-Analyse demonstrieren, werden unten beschrieben.
A. Ein illustratives Beispiel der Bild-Analyse
Eine einfache Illustration der Analyse unter Verwendung der Super-Formel bezieht sich auf gewisse grundlegende Ausführungsformen der Synthese. Im Speziellen können bei der Synthese Polygone als "Primitive" verwendet werden (wie bemerkt ermöglicht die Super-Formel die Erzeugung einer unendlichen Anzahl von Primitiven und verbessert somit stark die existierenden Zeichenprogramme). Wie oben bemerkt kann in einer Ausführungsform eine Super-Form auf einem Monitor gezeigt werden und die Super-Form (beispielsweise hier ein "Primitiv") könnte mit einem Zeiger gegriffen werden beispielsweise mittels einer Maus oder ähnlichem, so dass z.B. man eine der Seiten "greifen" kann und sie nach außen ziehen oder nach innen drücken kann. Aufgrund der Super-Formel ändert sich die Form symmetrisch. Dann kann dieselbe "Zieh"-Operation mit den Ecken der angezeigten Super-Form durchgeführt werden, so dass sie spitzer oder abgerundeter wird.
Wenn der Benutzer die obige Operation ausführt, kann der Computer automatisch neue Parameter (beispielsweise neue Exponenten n_i) der neuen Form berechnen und kann sogar neue Bereiche, Umfänge etc. der neuen Form berechnen.
Für eine exemplarische "Analyse" kann eine einfache Form (wie beispielsweise eine Dreiecks-Form) oder ein einfaches Objekt wie beispielsweise ein Behälter (beispielsweise ein Joghurtbecher, der im Geschäft gekauft wurde – siehe die hier beschriebenen Ausführungsformen bezüglich dessen Optimierung) in einen Computer eingescannt werden (beispielsweise kann wenn erforderlich eine Fotografie davon gescannt werden – viele Scan-Vorrichtungen sind im Stand der Technik bekannt). Dann kann der Benutzer manuell eines der Primitive (beispielsweise Dreieck, Quadrat etc.) wählen und kann dieses Primitiv dem angezeigten Bild der eingescannten Form auf einem Computermonitor oder Computerbildschirm überlagern. Dann kann der Benutzer die oben beschriebenen "Zieh"-Operationen durchführen – namentlich die Seiten der Super-Form mit beispielsweise einer Maus oder ähnlichem über die gescannte Form ziehen bis die Seiten des Primitivs ausreichend mit denen der gescannten Form (beispielsweise dem Umriss eines Objekts etc.) übereinstimmen. Wie bemerkt kann dieselbe Operation mit den Ecken der Form durchgeführt werden, so dass eine exakte Parametermenge für die gescannte Form bestimmt werden kann.
Wie bemerkt können die Fläche, der Umfang oder eine beliebige zugehörige Eigenschaft einfach wie hierin beschrieben berechnet werden. In einer exemplarischen Ausführungsform können mehrere Dinge einer gewissen Art (beispielsweise eine spezielle Pflanze oder eine andere natürliche Formation etc.) in einen Computer eingescannt werden (beispielsweise Querschnitte einer speziellen Pflanzenart können in einen Computer eingescannt werden) und für jeden Gegenstand können die Werte der Parameter (beispielsweise n_i etc) bestimmt werden. Dann kann ein Median-Wert oder ähnliches für die Parameter dieses speziellen Gegenstands bestimmt werden (sowie ein Bereich von Werten, eine Standardabweichung solcher Werte etc.). Dementsprechend können basierend auf solchen erhaltenen Werten Klassifikationen gemacht werden, wobei gewisse Gegenstände basierend auf ihren Werten der Parameter (beispielsweise n_i etc.) klassifiziert werden. Auf diese Art können zukünftige Gegenstände basierend auf einer Bestimmung (mittels Analyse) der jeweiligen Parameter klassifiziert werden. Haben beispielsweise gewisse Pflanzen unterschiedliche Parameter basierend auf Umweltbedingungen (beispielsweise Ort des Wachstums, Ernährung etc.) oder ähnliches, kann eine Auswertung von Parametern einer ausgewählten Pflanze dabei helfen, die Umgebungsbedingungen oder ähnliches dieser Pflanze gemäß solcher Vorklassifikationen zu bestimmen.
Während bei den obigen Beispielen die Analyse eine manuelle Komponente einbezog, könnte dies beispielsweise verbessert werden durch: (a) Instruieren eines Computer, diese Analyse automatisch durchzuführen (beispielsweise kann der Computer unter anderem die Genauigkeit erhöhen); (b) für irreguläre Kurven oder Formen kann eine Super-Form-Approximation kombiniert werden mit anderen existierenden Techniken wie Bezier-Kurven, Wavelets etc., welche im Stand der Technik bekannt sind (Bemerkung: Bei der ersten Approximation sind die Super-Formen sehr effizient, wodurch Rechenleistung und Speicher eingespart wird); (c) Verwenden anderer Techniken, die im Stand der Technik bekannt sind.
B. Die Analyse von grundlegenden natürlichen Mustern: Verwenden einer veränderten Fourier-Analyse
Grundlegende Muster können unter Verwendung der folgenden exemplarischen Schritte analysiert werden.
In einem ersten Schritt kann der generelle Umriss eines Objekts gescannt und digitalisiert werden. Beispielsweise kann wie in 19(A) gezeigt der grundlegende Umriss eines Vogels gescannt werden.
In einem zweiten Schritt kann eine veränderte Fourier-Analyse durchgeführt werden. Wie schematisch in 19(A) gezeigt können erste, zweite und dritte Terme im Allgemeinen wie gezeigt erzeugt werden. Der erste Term kann dargestellt werden durch
und der zweite und dritte Term können verändert werden. Es ist vorgesehen, wie von Fachmännern basierend auf dieser Offenbarung verstanden werden sollte, dass wie bei der veränderten oder erweiterten Fourier-Analyse die Super-Formel auch als Operator zum Verändern von Wavelet-Familien, Spline-Funktionen, Bezier-Kurven etc. verwendet werden kann.
In einem dritten Schritt kann eine Ableitung einer allgemeinen Formel durchgeführt werden.
19(B) zeigt eine Formel die zum Rekonstruieren oder Analysieren des grundlegenden natürlichen Musters in diesem illustrativen Beispielfall verwendet werden kann.
C. Direkte Formenanalyse (2D oder 3D): Objekterkennung
Bei dieser Anwendung können Objekte (beispielsweise einfache Gegenstände wie beispielsweise Seesterne, Quadrate, Polygone entweder mit gebogenen oder geraden Seiten etc.) gescannt werden. Der Computer kann dann diese gescannten Formen direkt in eine Super-Formel-Gleichung digitalisieren.
Unter anderen Vorteilen ist es für eine beliebige Form nicht erforderlich, dass der Computer von den Koordinaten weiß, sondern nur von der Formel. Unter anderem kann dies erhebliche Einsparungen von Computer-Speicher ermöglichen.
Der Computer kann eingerichtet sein, die jeweiligen Super-Formel-Gleichungen (d.h. die jeweiligen Parameter) und deren Kategorisierungen als Daten in einem Speicher in dem Computer gespeichert zu haben. Dementsprechend kann ein neues Objekt basierend auf den gespeicherten Daten gescannt und analysiert werden und die Ergebnisse der Analyse können mit den gespeicherten Werten verglichen werden. Der Computer kann somit folgern, was die Kategorisierung des neuen Objekts ist. Der Computer kann diese Ergebnisse ausdrucken, Daten bezüglich solcher Resultate ansammeln, Vergleiche und andere Auswertungen durchführen, eine andere Vorrichtung basierend auf solchen Ergebnissen steuern (beispielsweise Steuern einer externen Vorrichtung 60 – wie beispielsweise Steuern eines Roboterarms zum Positionieren über bestimmten Objekten, Steuern einer Kamera zum Fotografieren polygonaler Objekte etc.) etc.
D. Direkte Formenanalyse (2D oder 3D): Umgekehrte Entwicklung (Reverse Engineering)
Bei dieser Anwendung können Teile in einen Computer eingescannt und digitalisiert werden (beispielsweise kaputte Teile etc.). Dann kann das Bild wie oben diskutiert analysiert werden. Das Ergebnis kann in einer allgemeinen Gleichung mit Parametern verallgemeinert werden. Anschließend kann das Teil basierend auf dieser Verallgemeinerung rekonstruiert werden.
E. Veränderte (oder verallgemeinerte) Fourier-Analyse von Wellen: Geräusch-Analyse
Bei dieser Anwendung kann ein Geräusch (Sound) mittels eines beliebigen bekannten Aufnahmemittels (beispielsweise einer Aufnahmevorrichtung 200) aufgenommen werden. Anstatt die Welle gemäß klassischer Fourier-Analyse zu analysieren, kann eine veränderte Fourier-Analyse gemäß der Erfindung durchgeführt werden.
In dieser Hinsicht können viele Geräusche eher wie Super-Geräusche oder Sub-Geräusche sein im Gegensatz zu Kreiswellen-Geräuschen der mathematischen Physik. Potenziell können verschiedene Geräusch-Komponenten (beispielsweise Qualität, Ton, Tonhöhe, Lautstärke etc.) einfacher unter Verwendung solcher Super-Formel-Analyse unterschieden werden.
Mit dieser veränderten Fourier-Analyse können neue Algorithmen oder schnelle Transformationen entwickelt werden. Weiterhin kann die Super-Formel z.B. auch als Operator auf Wavelet-Familien für die Wavelet-Transformation verwendet werden.
F. Verwendung bei bekannten Anwendungen zur Mustererkennung
Wie basierend auf dieser Offenbarung ersichtlich sein sollte, kann die Erfindung bei jeder bekannten Anwendung zur Mustererkennung verwendet werden.
Beispielsweise kann die Erfindung bei "sehenden Systemen" ("machine vision" systems) verwendet werden wobei z.B. ein Bild mittels einer Kamera eingefangen wird und analysiert wird um Beschreibungen von dem zu produzieren, was abgebildet ist. Eine typische Anwendung eines sehenden Systems ist in der herstellenden Industrie wie beispielsweise zur automatischen visuellen Inspektion oder zur Automatisierung bei einer Montagelinie. In einem Beispiel können bei einer Inspektion hergestellte Objekte auf einem Förderband eine Inspektions-Station mit einer Kamera passieren und die Erfindung kann dazu verwendet werden, einen Defekt oder eine andere Qualität des Objekt zu bestimmen. In diesem Fall kann die Analyse "online" durchgeführt werden und Geschwindigkeit und Genauigkeit ist wichtig. Nach solch einer Detektion kann eine Aktion ausgeführt werden, wie beispielsweise das spezielle Objekt zu identifizieren, zu markieren, zu genehmigen, abzulehnen, einzubehalten, abzusondern etc. In einer Montagelinie werden unterschiedliche Objekte lokalisiert und "erkannt" (d.h. nachdem sie a priori in eine oder eine Anzahl von Klassen klassifiziert worden sind). Dann kann ein Roboterarm die erkannten Objekte an einen korrekten Platz oder eine korrekte Position platzieren.
Als weiteres Beispiel kann die Erfindung bei Systemen zur "Schriftzeichenerkennung" verwendet werden (wie sie beispielsweise zum Identifizieren von Buchstaben, Ziffern etc. verwendet werden), wobei eine Front-End-Vorrichtung mit einer Lichtquelle, einer Scan-Linse, einer Dokument-Transportvorrichtung und einem Detektor bereitgestellt wird. Am Ausgang des licht-sensitiven Detektors können z.B. Lichtintensitätsänderungen in Daten übersetzt werden und eine Bildanordnung kann erzeugt werden. Dann wird ein Computer verwendet, um eine Reihe von Bildbearbeitungstechniken zur Zeilen-Segmentierung und Schriftzeichen-Segmentierung anzuwenden. Mustererkennungssoftware in dem Computer klassifiziert dann die Schriftzeichen. Einige exemplarische Anwendungen sind: Erkennung von Handschrift; Online-Postsortiermaschinen; maschinelles Lesen von Bank-Schecks; Stift-Eingabe-Computer (wobei die Eingabe mittels Handschrift geschieht); etc.
Eine andere exemplarische Anwendung der Erfindung ist bei Systemen zur "computergestützten Diagnose" wobei Mustererkennung verwendet wird, um Ärzten beim Fällen diagnostischer Entscheidungen zu helfen, wie beispielsweise angewendet zum Analysieren verschiedener medizinischer Daten wie beispielsweise: Röntgenbildern, berechnete Tomographie-Bilder; Ultraschalbilder, Elektrokardiogramme; Elektro-Enzephalogramme etc.
Eine andere exemplarische Anwendung der Erfindung ist bei "Sprach"-Erkennungssystemen oder anderen Geräusch-Erkennungssystemen, wobei z.B. Daten in einen Computer mittels eines Mikrophons eingegeben werden, Software gesprochenen Text erkennt und ihn in ASCII-Schriftzeichen oder ähnliches übersetzt, was auf einem Computermonitor gezeigt werden kann und was im Speicher gespeichert werden kann. Spracherkennung kann auch entfernt verwendet werden: Steuern des Computers selbst oder Fernsteuern anderer Maschinen mittels des Computers.
Die Erfindung kann auch bei verschiedenen anderen bekannten Anwendungen verwendet werden wie beispielsweise:
Fingerabdruck-Identifikation, Unterschrifts-Authentifizierung, Text-Auffindung, Gesicht-Erkennung und Gesten-Erkennung etc.
G. Daten-Übermittlung und Daten-Kompression
Wenn Daten in einen Computer eingegeben werden (beispielsweise bei der Analyse, Synthese etc.), können die Daten auf Datenspeichervorrichtungen wie beispielsweise Festplatten, CD-ROMS, DVDs, Disketten etc. gespeichert werden oder, wenn online, können die Daten beispielsweise mittels des Internets oder ähnlichem an andere Computer oder Maschinen mittels Datenübertragungsverfahren wie, als einige Beispiele, mittels Kabel, Satellit, Funk oder anderer Übertragung übermittelt werden.
Die Super-Formel kann vorteilhaft verwendet werden, um Daten effizient in einem Computer zu speichern. Wird beispielsweise die Super-Formel als ein einfaches Zeichenprogramm verwendet, kann eine nahezu unbeschränkte Anzahl von Formen erzeugt werden und von dem Benutzer angepasst werden, ohne dass erheblich zusätzlicher Speicher erforderlich wäre. Zusätzlich können beispielsweise bei CAD oder anderen vektorbasierten Graphikprogrammen viele Elemente nun mit weniger Speicher gespeichert werden.
Zusätzlich kann die Verwendung von veränderter Fourier-Analyse und Fourier-Transformation, die Verwendung von Wavelets etc. zu erheblichen Einsparungen von Speicher aufgrund der Kompression von Daten führen und demzufolge zu einer effizienteren und ökonomischeren Verwendung von Datenübertragung. Dies ist bei verschiedenen Anwendungen von Vorteil, beispielsweise bei CAD/CAM-Anwendungen, Übertragung von digitalisierten Audio-Signalen und Video-Signalen, Wellenform-Kompression und parameterischer Codierung unter Verwendung orthogonaler Transformationstechniken wie beispielsweise der Fourier-Transformation.
Es wird auch bemerkt, dass die Erfindung Kompressions-Techniken einbeziehen kann ähnlich der in dem US Patent Nummer 4,941,193 beschriebenen, deren gesamte Offenbarung hier auch durch Bezugnahme aufgenommen wird. Wie in dem '193-Patent bemerkt, gibt es beim derzeitigen Stand der Technik bei der Computer-Graphik viele Probleme beim Darstellen von Bildern aus der realen Welt in der Form von computerbasiertem Speichern, Übertragen, Kommunikation und Analyse. Effiziente Kompressionsschemata können in effektiveren Mitteln zum Speichern von Daten in dem Speicher eines Computers, zum Übermitteln von Fotografien mittels Telefonleitungen, zum Erkennen von speziellen Objekten etc. wie beispielsweise Landschaften etc. und zum Simulieren natürlicher Szenen auf einem Computer und mehr resultieren.
III. Schlussfolgerung
Wie oben beschrieben kann die neue Super-Formel, die in verschiedenen Ausführungsformen der Erfindung verwendet wird – mittels einfachen Modifikationen von Exponenten und Rotations-Symmetrien – unter anderem ein Universum von Formen und Wellenformen liefern, von denen viele in der Natur gefunden werden oder alltägliche Realisierungen sind.
Vor langer Zeit, in der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts, verallgemeinerte Gabriel Lamé die Gleichung für einen Kreis in kartesischen Koordinaten so, dass ein beliebiger reeller Wert für den Exponenten n aufgenommen wurde, womit gezeigt wurde, dass der Kreis und das Quadrat ebenso wie die Ellipse und das Rechteck durch eine einzige Formel beschrieben werden können.
Vor der Erfindung war jedoch weder die Super-Formel entdeckt noch die versteckte Welt, die durch diese Super-Formel beschrieben, synthetisiert und/oder analysiert werden kann. Ein Kreis ist nur eine einer unendlichen Anzahl von Formen, die durch die Super-Formel beschrieben werden können. Die allgemeine hierin geprägte Definition von "Super-Formen" oder "Super-Spiralen" kann Leuten helfen, die mathematische Einfachheit von vielen natürlichen, abstrakten und menschengemachten Gestaltungen und Formen zu visualisieren und zu verstehen. Dementsprechend kann die Super-Formel in einem Sinn als Werkzeug zum Beschreiben und Demonstrieren von Beziehungen zwischen verschiedenen Formen und zum Demonstrieren von Entwicklungstheorien in der Natur wie oben beschrieben verwendet werden. Die Super-Formel ermöglicht es z.B. zu beschreiben: (a) verschiedene Polygone mit abgerundeten oder spitzen Winkeln oder mit nach innen oder außen gebogenen Seiten; (b) Kreise, bei denen sich herausstellt, dass es Null-Gone sind; (c) Mono-Gone und Diagone etc.
Für alle Formen und Gestaltungen, die mit dieser Formel beschrieben werden können, können Parameter wie Oberflächeninhalt oder optimale Verwendung oder Abdeckung von Fläche sowie Trägheitsmomente einfach durch Integration der Formel berechnet werden. Weiterhin wird unter Verwendung von R im Zähler als R_max die Funktion eine charakteristische Funktion (inside-outside function) von 0 < R < R_max und nicht nur der Umfang sondern alle Punkte innerhalb der Form werden von dieser Funktion definiert.
Bei vielen in der Natur beobachteten Formen (wie beispielsweise bei niederen und höheren Pflanzen, inklusive Stängeln, Blättern und Früchten sowie Zellen und Gewebe) stellt es sich heraus, dass sie spezielle Realisierungen der Super-Formel sind, die mit der Super-Formel beschrieben, synthetisiert und/oder analysiert werden können. Die Super- Formel kann verwendet werden, um zu demonstrieren, dass viele Arten von Seesternen, Schalen und Spinnennetzen derselben mathematischen Existenz-Route folgen. Zusätzlich kann die Super-Formel verwendet werden, um zu demonstrieren, wie Paraffin-Kristalle um eine Schraubenversetzung herum in einer Quadratform einer Spirale wachsen. Zusätzlich können viele andere Realisierungsbeispiele der Super-Formel in der Kristallographie gefunden werden.
Die Super-Formel ist sehr nützlich, z.B.: (a) als ein Lehrmittel bezüglich solcher Formen; (b) als Mittel zum Synthetisieren von Bildern, Produkten, Objekten etc. aus diesen Formen; (c) als Mittel zum Analysieren oder Detektieren solcher Formen, Objekte, etc.; (d) als Mittel zum Bewerten, wie solche Formen etc. sich entwickeln, wachsen etc. und der Gründe für ihre Entwicklung; und (e) bei vielen anderen Anwendungen. Die Super-Formel kann auch vorteilhaft demonstrieren wie Symmetrie, eine der sich durchsetzenden Strategien in der Natur in einer einzigen Formel ausgedrückt werden kann.
Eine der Haupteigenschaften dieser Klasse von geometrischen Formen ist die mögliche adaptive Formveränderung während der Entwicklung, wie sie beispielsweise bei den Blättern von Sagittaria (siehe beispielsweise 29(A)–29(D), die exemplarische Beispiele zeigen, die mit der Super-Formel synthetisiert und/oder analysiert werden können) und Cercis beobachtet wird.
Die Tatsache, dass so viele unterschiedliche Formen etc. mittels der Super-Formel miteinander verbunden sind ist ein erheblicher Schritt vorwärts in der abstrakten Geometrie.
Viele menschengemachte Formen folgen auch den gleichen Regeln wie natürliche Objekte: die Super-Kreis-Form von semitischen Tontafeln, die ägyptischen Pyramiden, Quadrat-Spiralen in der Maya-Kultur, Tudor-Blumen in der viktorianischen Ära, das super-elliptische olympische Stadion von Mexico City, kreisförmige und super-kreisförmige Flaschen im täglichen Leben sind nur wenige Beispiele. Offenbar hat der Mensch die Natur in großen Teilen seiner Architektur und Design abstrahiert, möglicherweise durch eine a priori-Kenntnis der Super-Formel. Die Super-Formel kann somit helfen zu identifizieren und kann als Werkzeug verwendet werden zum Identifizieren, wie der Mensch die Welt wahrnimmt oder wahrgenommen hat und sie hilft dabei, unser Verständnis von natürlichen und kulturellen (d.h. menschengemachten) Objekten ein wenig zu erhellen.
Während die Erfindung detailliert oben beschrieben wurde, ist es nicht vorgesehen, dass die Erfindung auf die beschriebenen speziellen Ausführungsformen beschränkt ist. Fachmänner können nun zahlreiche Verwendungen, Modifikationen und Abweichungen von den speziellen, hier beschriebenen Ausführungsformen vornehmen, ohne von den erfinderischen Konzepten abzuweichen. Namentlich sollte der Fachmann erkennen, dass verschiedene Darstellungen der Super-Formel gemacht werden können, ohne vom Bereich der Erfindung abzuweichen. Beispielsweise kann, wie oben bemerkt, die Super-Formel in verschiedenen Arten und Formen dargestellt werden.
Beispielsweise haben verschiedene oben beschriebene Darstellungen der Super-Formel (wie beispielsweise gezeigt in 1–15) symmetrische Figuren einbezogen, wobei der Ursprung derselbe Punkt ist wie das Zentrum des Koordinatensystems, während erkannt werden sollte, dass der Ursprung O von dem Zentrum des Koordinatensystems wegbewegt werden kann – wie beispielsweise in einem Beispiel von r = R zu r = cosϕ, wie schematisch gezeigt in 30. Zusätzlich können diese Punkte oder Linien durch diese Punkte als Basis für eine Rotation dienen, wie beispielsweise bei 3-dimensionalen Toroiden, bei denen ein Kreis um eine Linie außerhalb des Kreises rotiert wird. Zusätzlich haben verschiedene oben beschriebene Darstellungen der Super-Formel (wie beispielsweise gezeigt in 1–15) Formen einbezogen, die in orthogonalen Gittern gemacht wurden, während es basierend auf dieser Offenbarung erkannt werden sollte, dass die Formen auch in nicht-orthogonalen Gittern gemacht werden können, wie beispielsweise durch eine einfache Gittertransformation. In dieser Hinsicht zeigt 31 schematisch eine exemplarische Transformation von einem orthogonalen Gitter auf der linken Seite zu einem nicht-orthogonalen Gitter auf der rechten Seite. Die Verwendung einer solchen Transformation zu verschiedenen nicht-orthogonalen Gittern ist beispielsweise nützlich bei Animationen (beispielsweise bei Computer-Animation) zum Modellieren von sich bewegenden Elementen – wie beispielsweise zum Modellieren von Cartoon-Charakteren durch scheinbare Bewegung. Zusätzlich kann eine Transformation zu verschiednen nicht-orthogonalen Gittern auch verwendet werden für Bildungszwecke, wie beispielsweise, um glatt in Echtzeit die Variation von verschiednen Gittern zu illustrieren (beispielsweise ähnlich dem, was für Animationszwecke gemacht werden würde) oder um diskrete Änderungen zu zeigen.
Zusätzlich können andere Darstellungen der Formel auch das Bereitstellen der Parameter 1/a und/oder 1/b in der Super-Formel-Gleichung mit separaten Exponenten aufweisen – wie beispielsweise Exponenten in n₄ bzw. n₅ wie unten gezeigt:
Zusätzlich zu dem Vorangegangen können die Darstellungen der Super-Formel auch beliebige andere Modifikationen und/oder Veränderungen der Super-Muster, die gebildet werden, aufweisen. Beispielsweise kann jede der Modifikationen, die in U.S. Patent No. 5,467,443, deren Offenbarung durch Bezugnahme hierin aufgenommen wird, beschrieben sind, auch wie gewünscht verwendet werden, zum Mischen von Formen, Farben und anderen graphischen Attributen (beispielsweise Verändern von Form, Verändern von Farbe, Verwischen von Linien, Verändern von Linien von Linienbreiten etc.). Zusätzlich können andere Verfahren zum Verändern synthetisierter Muster verwendet werden, wie beispielsweise lokale Deformation von Teilen der erzeugten Formen.
Weiterhin können Darstellungen der Super-Formel beliebige mathematische oder geometrische Formeln aufweisen, die im Wesentlichen äquivalent sind zu denen, die speziell hier beschrieben wurden.
Wie oben genauer erläutert, können bei einigen exemplarischen Ausführungsformen der Muster-Synthese Super-Formel-Muster produziert (zum Beispiel angezeigt) werden und die Super-Formel-Muster können auf solche Weise modifiziert und reproduziert werden, dass eine "Reihenfolgebildung" (Sequencing) für verschiedene Zwecke, wie oben diskutiert, bereitgestellt wird. Als ein Beispiel kann die Super-Formel als 2-D Form angezeigt werden, die so modifiziert wird, dass sie sich von einer Super-Form in eine andere (das heißt mittels Reihenfolgebildung) verändert. Beispielsweise könnte diese Transformation durchgeführt werden, indem sequentiell inkrementell eine oder mehrere Parameter erhöht werden und die neue Super-Form wieder angezeigt wird. In dieser Hinsicht ist in einigen bevorzugten Ausführungsformen die Inkrementierung der Parameter Werte vorzugsweise so, dass für einen gewöhnlichen menschlichen Beobachter es so erscheint, dass die Super-Form stetig in Echtzeit wächst oder sich verändert, statt schrittweise zu wachsen oder sich zu verändern. Natürlich können in verschiedenen Ausführungsformen schrittweise oder andere Veränderungen verwendet werden, wenn gewünscht.
Wie oben genauer beschrieben, kann die Super-Formel somit mit sehr großen Vorteilen bei der Synthese, Analyse und anderen Applikationen in zwei, drei und/oder mehreren Dimensionen und in verschiedenen Darstellungen und bei verschiedenen Applikationen verwendet werden.

Claims

Verfahren zum Erzeugen einer physikalischen Gestaltung, welches folgendes aufweist: Programmieren eines Computers mit einer Rechner-Anwendung für Rechner-Grafiken oder rechner-gestützte Entwürfe oder für die Erzeugung von physikalischen Wellenformen mit einer Darstellung der nachfolgenden Formel:
wobei r ein Radiuswert bei einem Winkel ϕ ist; Auswählen von Werten für die Parameter a, b, n₁, n₂, n₃, m₁ und m₂, wobei zumindest ein Wert von n₁, n₂ und n₃ sowie zumindest ein Wert von m₁ und m₂ variabel sind; Erzeugen eines Musters mit Hilfe des Computers basierend auf den ausgewählten Werten, die in der Formel eingegeben sind; Transformieren des erzeugten Musters in eine physikalische Gestaltung.
Verfahren zum Erzeugen einer physikalischen Gestaltung, welches folgende verfahrensschritte aufweist: Programmieren eines Computers mit einer Darstellung der nachfolgenden Formel:
wobei r ein Radiuswert bei einem Winkel ϕ ist, Auswählen von Werten für die Parameter a, b, n₁, n₂, n₃, m₁ und m₂, wobei zumindest ein Wert von n₁, n₂ und n₃ und zumindest ein Wert von n₁, n₂ und n₃ sowie zumindest ein Wert von m₁ und m₂ variabel sind Erzeugen eines Musters mit Hilfe des Computers basierend auf den ausgewählten Werte, die in der Formel eingegeben sind; Transformieren des erzeugten Musters in eine physikalische Gestaltung, indem die Herstellung eines Produktes gesteuert wird.
Verfahren nach Anspruch 1 oder 2, in welchem der Verfahrensschritt des Transformierens folgendes aufweist: Hervorbringen eines Bildes, welches das Muster zeigt, oder Erzeugen einer Gestaltung in XY-Koordinaten, oder Erzeugen eines Sounds bzw. Klangs, oder in welchem das Transformieren auf einer geometrischen Darstellung der Gleichung basiert, wobei in bevorzugter Weise das Bild in Polarkoordinaten, sphärischen Koordinaten oder parametrischen Koordinaten vorliegt.
Verfahren nach Anspruch 1 oder 2, in welchem der Verfahrensschritt des Erzeugens eines Musters das Erzeugen einer Wellenform aufweist.
Verfahren nach Anspruch 1 oder 2, in welchem die physikalische Gestaltung eine 2- oder 3-dimensionale Darstellung einbezieht.
Verfahren nach Anspruch 5, in welchem die 2- oder 3-dimensionale Darstellung an einem Objekt gebildet oder angezeigt wird, wobei in bevorzugter Weise das Objekt ein Bogen oder ein Computer-Monitor ist, wobei in bevorzugter Weise der Bogen ein Papierbogen ist.
Verfahren nach Anspruch 6, in welchem die 2- oder 3-dimensionale Darstellung eine 2- oder 3-dimensionale Konfiguration eines Objektes einbezieht.
Verfahren nach Anspruch 1 oder 2, welches ferner den Verfahrensschritt des Programmierens des Computers aufweist, so dass die Formel ferner in drei Dimensionen dargestellt wird, wobei folgendes gilt:
und den Verfahrensschritt des Auswählens von Werten für einen oder mehrere der Parameter c, d, L₁, L₂, L₃, m₃ oder m₄ aufweist.
Verfahren nach Anspruch 2, in welchem der Verfahrensschritt des Transformierens den Verfahrensschritt des Durchführens der Stereolithographie eines Objektes oder den Verfahrensschritt des Durchführens des schnellen Prototyping bzw. Musterbaus eines Objekts aufweist.
Verfahren nach Anspruch 1 oder 2, welches ferner den Verfahrensschritt des Modifizierens des erzeugten Musters aufweist, wobei beispielsweise der Verfahrensschritt des Modifizierens den Prozess der Superposition bzw. Überlagerung von mehrfachen Super-Formgebungen, den Prozess der Re-Iteration von mehrfachen Super-Formgebungen oder den Prozess des Überhöhens des Musters aufweist.
Verfahren nach Anspruch 10, in welchem der Verfahrensschritt des Überhöhens das schrittweise Erhöhen von zumindest einem der Werte n₁, n₂ oder n₃ aufweist.
Verfahren nach Anspruch 11, in welchem der Verfahrensschritt des Überhöhens ausgeführt wird, um derart eine visuell wahrgenommene kontinuierliche Transformation des Musters zu erzeugen.
Verfahren nach Anspruch 10, in welchem der Verfahrensschritt des Modifizierens das Beibehalten der Beziehung n₂ = n₃ aufweist, während zumindest ein anderer Parameter verändert wird.
Verfahren nach Anspruch 10, welches ferner das Bereitstellen von Parameterwerten aufweist, um derart ein Polygon mit im Wesentlichen geradlinigen Seiten zu erzeugen, wobei das Verfahren ferner in bevorzugter Weise den Verfahrensschritt des Veränderns des Polygons zumindest zwischen einem Dreieck, einem Viereck und einem Penthagon durch Variieren von zumindest einigen der Parameterwerte aufweist.
Verfahren nach Anspruch 1 oder 2, in welchem die Parameter n₁, n₂, n₃, ml und m₂ variabel sind, und in welchem die Werte von a und b nicht-variable Konstanten sind, wobei in bevorzugter Weise die Werte von m₁ und m₂ die gleichen sind und zusammen ausgewählt werden, und in welchem der Verfahrensschritt des Auswählens den Verfahrensschritt des Ermittelns von Werten für zumindest einige der Parameter während des Verfahrensschritts des Programmierens aufweist.
Verfahren nach Anspruch 1 oder 2, in welchem der Verfahrensschritt des Auswählens mit Hilfe des oder durch den Computer durchgeführt wird.
Verfahren nach Anspruch 1 oder 2, welches ferner den Verfahrensschritt des Programmierens des Computers aufweist, so dass die Formel als linearer Operator dient, beispielsweise indem ferner das Verfahren den Verfahrensschritt des Anwendens des linearen Operators an einer Funktion aufweist.
Verfahren nach Anspruch 1 oder 2, welches ferner den Verfahrensschritt des Programmierens des Computers aufweist, so dass die Formel in einem geometrischen Raum eine Metrik einführt, beispielsweise indem das Verfahren ferner den Verfahrensschritt des Zuordnens von Punkten innerhalb einer ersten Formgebung zu Punkten innerhalb einer zweiten Formgebung unter Verwendung der Metrik sowie den Verfahrensschritt des Erzeugens einer physikalischen Gestaltung der Punkte innerhalb der zweiten Formgebung aufweist, wobei die physikalische Gestaltung in bevorzugter Weise eine geografische Abbildung oder ein Globus ist.
Verfahren nach Anspruch 1 oder 3, welches ferner folgende Verfahrensschritte aufweist: Bereitstellen eines Materialstücks und wobei der Verfahrensschritt des Transformierens den Verfahrensschritt des Anpassens des Materials aufweist, um eine Formgebung basierend auf einer Darstellung der Formel einzubeziehen, und zwar indem eine Super-Formgebung auf oder in eine Oberfläche des Materials gebildet wird, oder indem zumindest ein Anteil des Materials mit einer Super-Formgebung-Konfiguration gebildet wird.
Verfahren nach Anspruch 1 oder 2, welches ferner folgende Verfahrensschritte aufweist: Erzeugen, eines ersten Musters basierend auf einer Darstellung von der Formel; Erzeugen eines zweiten Musters basierend auf einer Darstellung von der Formel, wobei sich das erste und zweite Muster basierend auf einer Differenz in zumindest einem der Parameter a, b, n₁, n₂, n₃, m₁ oder m₂ unterscheiden; Darstellen einer physikalischen Gestaltung des ersten und zweiten Musters zum Betrachten.
Verfahren nach Anspruch 20, in welchem der Verfahrensschritt des Darstellens aufweist, dass das erste und zweite Muster einander benachbart visuell dargestellt werden, wobei beispielsweise die Muster auf zumindest einem Bogen angezeigt werden.
Verfahren nach Anspruch 20, in welchem das erste und zweite Muster sequentiell in der Zeit dargestellt werden.
Verfahren nach Anspruch 22, in welchem das erste und zweite Muster sequentiell in der Zeit visuell, beispielsweise über einen Monitor oder einen Projektor, dargestellt werden.
Verfahren nach Anspruch 22, in welchem eine Vielzahl von zusätzlichen Mustern, die durch schrittweises Erhöhen von zumindest einigen der Parameter erzeugt werden, sequentiell in der Zeit angezeigt werden, um eine schrittweise visuelle Transformation über die Zeit zu erzeugen.
Verfahren nach Anspruch 20, in welchem die physikalische Gestaltung des ersten und zweiten Musters Wellen aufweist, die sequentiell in der Zeit akustisch dargestellt werden, wobei beispielsweise eine Vielzahl von zusätzlichen Mustern, die durch schrittweises Erhöhen von zumindest einigen der Parameter erzeugt werden, sequentiell in der Zeit akustisch dargestellt werden, um eine schrittweise akustische Transformation über die Zeit zu erzeugen.
Verfahren nach Anspruch 1 oder 2, welches ferner den Verfahrensschritt des Speicherns der Computerwerte für einen oder mehrere der Parameter a, b, n₁, n₂, n₃, m₁ oder m₂ in einem Speicher aufweist, um eine bestimmte Gleichung basierend auf einer bestimmten Gestaltung zu erzeugen, um derart Daten zu speichern, die einer Vielzahl bestimmter Gestaltungen entsprechen.
Verfahren zum Analysieren physikalischer Muster mit einem Computer, und zwar indem: der Verfahrensschritt des Programmierens den Verfahrensschritt des Programmierens des Computers mit einer Darstellung der folgenden Formel aufweist:
wobei r ein Radiuswert bei einem Winkel ϕ ist, ein Muster in digitaler Form in den Computer eingegeben wird; das digitale Muster in dem Computer analysiert wird, um eine allgemeine Gleichung für das Muster basierend auf der Formel und auf Werte für die Parameter a, b, n₁, n₂, n₃, m₁ oder m₂ zu bestimmen; die Ausgabe basierend auf dem Verfahrensschritt des Analysierens des Musters bereitgestellt wird, wobei in bevorzugter Weise der Verfahrensschritt ferner den Verfahrensschritt des Programmierens des Computers aufweist, so dass die Formel ferner in drei Dimensionen dargestellt wird, wobei folgendes gilt:
und wobei der Verfahrensschritt des Analysierens des digitalen Musters in dem Computer, um eine allgemeine Gleichung für das Muster basierend auf der Formel zu bestimmen, den Verfahrensschritt des Ermittelns von Werten für einen oder für mehrere der Parameter c, d, L₁, L₂, L₃, m oder m₄ aufweist.
Verfahren nach Anspruch 27, in welchem das physikalische Muster ein physikalisches Objekt oder eine Welle ist.
Verfahren nach Anspruch 27, in welchem das physikalische Muster ein Bild ist.
Verfahren nach Anspruch 28, in welchem die Welle eine elektromagnetische Welle oder eine Schallwelle ist.
Computerlesbares Medium, welches folgendes aufweist: a) einen computerlesbaren Programmcode, der eine Rechneranwendung für Rechner-Grafiken oder rechnerunterstützte Entwürfe oder das Erzeugen von physikalischen Wellenformen darstellt; b) wobei der computerlesbare Programmcode eine Darstellung der nachfolgenden Formel einbezieht:
wobei r ein Radiuswert bei einem Winkel ϕ ist, wobei der computerlesbare Programmcode konfiguriert ist, um einen Computer in die Lage zu versetzen, ein Muster zu erzeugen, und zwar indem Werte für zumindest einen der Parameter n₁, n₂ und n₃ sowie für zumindest einen der Parameter m₁ und m₂ ausgewählt werden, und indem das erzeugte Muster in eine physikalische Gestaltung transformiert wird.
Computerlesbares Medium, welches folgendes aufweist: a) einen computerlesbaren Programmcode; b) wobei der computerlesbare Programmcode eine Darstellung der nachfolgenden Formel einbezieht:
wobei r ein Radiuswert bei einem Winkel ϕ ist, wobei beispielsweise der computerlesbare Programmcode konfiguriert ist, um einen Computer in die Lage zu versetzen, ein Muster zu erzeugen, und zwar indem Werte für zumindest einen der Parameter n₁, n₂ und n₃ sowie für zumindest einen der Parameter m₁ und m₂ ausgewählt werden, und indem das erzeugte Muster in eine physikalische Gestaltung durch Steuerung der Herstellung eines Produktes transformiert wird.