DE4413689C1

DE4413689C1 - Röntgencomputertomograph

Info

Publication number: DE4413689C1
Application number: DE4413689A
Authority: DE
Inventors: Thomas Dr Rer Nat Flohr
Original assignee: Siemens AG
Current assignee: Siemens AG
Priority date: 1994-04-20
Filing date: 1994-04-20
Publication date: 1995-06-08
Anticipated expiration: 2014-04-21
Also published as: JPH07294456A; US5654995A

Description

Die Erfindung bezieht sich auf einen Röntgencomputertomogra phen mit einer ein Meßfeld umgebenden, ringförmigen Röntgen strahlenquelle, in der eine Ringanode angeordnet ist, die zur Erzeugung eines sich drehenden Röntgenstrahlenbündels von ei nem Elektronenstrahl abgetastet wird. Die Geometrie eines solchen Röntgencomputertomographen wird nachfolgend mit EBT- Geometrie (Electron Beam Tomography) bezeichnet.

Mit einem Röntgencomputertomographen dieser Art ist eine be sonders schnelle Abtastung eines Untersuchungsobjektes mög lich, so daß Bewegungsunschärfen weitgehend ausgeschaltet sind. Damit das Röntgensrahlenbündel ungehindert in das Meß feld, in dem das Untersuchungsobjekt liegt, eintreten kann, ist der ebenfalls ringförmig augebildete, aus einer Reihe von Detektorelementen bestehende Strahlendetektor seitlich neben dem Austrittsfenster des Röntgenstrahlenbündels ange ordnet, so daß das Röntgenstrahlenbündel ungehindert aus die sem Fenster austreten kann und nach dem Austritt aus dem Meß feld auf dem Röntgenstrahlendetektor auftriff. Hierzu ist das Röntgenstrahlenbündel unter einem von 90° gering abwei chenden Winkel gegenüber seiner Drehachse geneigt.

Der Erfindung liegt die Aufgabe zugrunde, bei einem Röntgen computertomographen der eingangs genannten Art zu erreichen, daß eine schnelle, artefaktfreie Bildrekonstruktion erfolgt.

Diese Aufgabe ist erfindungsgemäß gelöst durch die Merkmale des Patentanspruches 1.

Eine Weiterbildung der Erfindung ergibt sich aus dem Patent anspruch 2.

Die Erfindung ist nachfolgend anhand der Zeichnung näher er läutert. Es zeigen:

Fig. 1 einen Röntgencomputertomographen mit EBT-Geometrie zur Erläuterung des Erfindungsgedankens, und

Fig. 2 bis 5 geometrische Darstellungen zur Erläuterung der Bildrekonstruktion bei dem Röntgencomputertomo graphen gemäß Fig. 1.

In Fig. 1 ist ein Röntgencomputertomograph mit einer ein Meß feld 1 umgebenden, ringförmigen Röntgenstrahlenquelle 2 dar gestellt, in der eine Ringanode 3 angeordnet ist. Die Ring anode 3 wird zur Erzeugung eines sich drehenden, fächerförmi gen Röntgenstrahlenbündels 4 von einem Elektronenstrahl 5 ab getastet, der von einer Elektronenkanone 6 erzeugt wird. Der Elektronenkanone 6 sind Fokussierungsspulen 7 nachgeschaltet. Das Vakuum in der Röntgenstrahlenquelle 2 wird durch Vakuum pumpen 8 aufrecht erhalten. Der Elektronenstrahl 5 wird zur Erzeugung des Röntgenstrahlenbündels 4 mit Hilfe einer magne tischen Ablenkspule 9 auf die Ringanode 3 abgelenkt. Die aus dem Untersuchungsobjekt im Meßfeld 1 austretende Röntgen strahlung wird von einem ringförmigen Strahlendetektor 10, der aus einer Reihe von Detektorelementen besteht, erfaßt. Die Ausgangssignale der Detektorelemente 10a usw. werden ei nem Rechner 11 zugeführt, der daraus ein Bild der untersuch ten Schicht des Untersuchungsobjektes berechnet und auf einem Monitor 12 wiedergibt. Das Meßfeld 1 ist ein Feld in einer Öffnung 13, in die das Untersuchungsobjekt eingeschoben wird. Das Röntgenstrahlenbündel 4 rotiert durch Ablenkung des Elek tronenstrahls 5 auf die Ringanode 3 zur Durchstrahlung des Untersuchungsobjektes unter verschiedenen Richtungen um die Achse 4a.

Eine Steuervorrichtung 14 steuert die Ablenkspule 9 in der Weise, daß der Elektronenstrahl 5 vor Beginn eines Abtastvor ganges die Röntgenstrahlenquelle 2 konzentrisch zur Ringanode 3 durchsetzt, bis er am geschlossenen Ende auf einem Strah lenfänger 15, z. B. aus Blei, auftrifft. Vorher wird er durch eine Defokussiereinrichtung 16 defokussiert. Anschließend wird er durch die Ablenkspule 9 auf die Ringanode 3 abgelenkt und tastet diese von ihrem Ende 17 zu ihrem Ende 18 ab. Fünf Fokuspositionen sind in der Zeichnung dargestellt. Tatsäch lich sind es wesentlich mehr diskrete Fokuspositionen, z. B. 1000. Vorzugsweise soll der Fokus aber durch ein Wanderfeld kontinuierlich verschoben werden, so daß die Abtastung über die Detektorabfrage festgelegt wird. Das Röntgenstrahlenbün del 4 dreht sich also entgegen der Richtung des Elektronen strahles 5 und befindet sich in der Zeichnung in seiner End stellung. Hier ist ein Abtastvorgang beendet.

Danach erfolgt ein erneuter Aufbau des ringförmig geführten Elektronenstrahles 5. Mit dessen Ablenkung auf das Ende 17 der Ringanode 3 beginnt ein neuer Abtastvorgang.

Es ist auch möglich, die Ringanode 3 durch den Elektronen strahl 5 im Uhrzeigersinn, also von ihrem Ende 18 zu ihrem Ende 17, abzutasten.

Der Strahlendetektor 10 ist hinsichtlich der Ringanode 3 so angeordnet, daß das Röntgenstrahlenbündel an ihm vorbei pas sieren kann, bevor es in das Meßfeld 1 eintritt und erst nach seinem Austritt aus dem Meßfeld 1 auf dem Strahlendetektor 10 auftrifft.

Die Ringanode 3 ist bei dem Ausführungsbeispiel als Teilring ausgebildet. Sie kann jedoch auch als Vollring ausgebildet sein.
Geometrie:

Bei der EBT-Geometrie entstehen zu diskreten Projektionswinkeln ϑ_l Fächerpro jektionen, die um den Winkel ϕ gegen die x-y-Ebene geneigt sind (ϕ ist der sog. "Taumelwinkel"). Die Ebene, in der der beim Winkel ϑ_l aufgenommene Fächer liegt, habe vom Koordinatenursprung den senkrechten Abstand u_l, d. h. der Schnittpunkt dieser Ebene mit der z-Achse ist z_i=u_i/cos ϕ.

Zu jeder solchen Fächerprojektion sei durch Uminterpolation eine Parallelprojektion in der gleichen Ebene entstanden, also auch gekennzeichnet durch ϑ_l, ϕ und u_i. Diese Uminterpolation läßt sich vermutlich wesentlich einfacher durchführen als die zunächst wünschenswert erscheinende Interpolation von Paralleldaten zu ϕ=0.

Fig. 2 und Fig. 3 verdeutlichen die Geometrie, wobei Fig. 3 einen Blick auf die y-z-Ebene zeigt.

Die Gerade g (in ₁-Richtung) steht senkrecht auf der z-Achse. Sie geht durch den Punkt (0, 0, z_i) und bildet mit der x-z-Ebene den Winkel ϑ_l

Durch g wird die zum Winkel ϑ_l gehörende Projektionsebene gelegt, die gegen die x-y-Ebene um den Winkel ϕ geneigt ist. Die Projektionsebene enthält die auf g senkrecht stehende Gerade g_⟂

Auf der Projektionsebene senkrecht steht der Vektor :

Die Vektoren ₁, ₂ und definieren ein orthogonales Koordinatensystem.

Es ist zweckmäßig, eine in der durch ϑ_l und u_i gegebenen Projektionsebene liegen den Schwächungswert folgendermaßen zu kennzeichnen:

1.) Durch den Abstand u_i der Projektionsebene vom Koordinatenursprung:

2.) Durch den "Projektionswinkel" ϑ_l
3.) Durch den Abstand p_k des Meßwertes in ₁-Richtung von der z-Achse.

Man hat also einen diskreten Satz von Meßwerten f(u₁, p_k, ϑ_l).

Das Abtastraster in ₁-Richtung ist a, das Abtastraster in -Richtung ist a_⟂, pro "Umlauf" werden N_p Projektionen aufgenommen:

a_m ist das Alignment.
du(ϑ_l) berücksichtigt, daß die Daten als "Spiraldaten" gewonnen werden: Das Meßob jekt bewegt sich bei der Aufnahme mit konstanter Vorschubgeschwindigkeit in z-Rich tung, so daß sich nach einem Umlauf (N_p Projektionen) die Position in -Richtung gerade um a_⟂ geändert hat (in z-Richtung um a_⟂/cos ϕ).

Die Betriebsart, bei der das Meßobjekt während des Umlaufs feststeht und nach jedem Umlauf um a_⟂/cos ϕ in z-Richtung verschoben wird, ist als Sonderfall für du(ϑ_l)=0 enthalten.

Mögliche Definition eines dreidimensionalen Referenzbildes für die Fourierrekon struktion

Soll aus den Linienintegralen f(u_i, p_k, ϑ_l) ein dreidimensionales Bild B₀() aufgebaut werden, das die Objektschwächungswerte µ() quantitativ richtig wiedergibt, müssen die f(u_i, p_k, ϑ_l) linear zu B₀() beitragen:

G_lik() muß für alle auf Geraden parallel zur Projektionslinie (u_i, p_K, ϑ_l), also in ₂ -Richtung, gleich sein kann und deshalb nur vom Abstand des Punktes von der Projektionslinie (u_i, p_k, ϑ_l) abhängen. Dieser Abstand wiederum läßt sich aufteilen in den Abstand in -Richtung d_⟂= · -u_i des Punktes von der durch u_i und ϑ_l gekennzeichneten Projetionsebene und in die Entfernung d= · ₁-p_k zwischen der Projektion des Punktes in die Projektionsebene und der Projektionslinie.

Weil der Neigungswinkel ϕ bei der EBT-Geometrie klein ist und weil der konven tionelle Spiralscan als Sonderfall für ϕ=0 in der Beschreibung enthalten sein muß, wird die Abstandsabhängigkeit durch das Produkt zweier Funktionen beschrieben, die jeweils von einer der beiden Abstandskomponenten abhängen:

Behandelt man alle Projektionswerte f(u_i, p_k, ϑ_l) gleich, ergibt sich nach einer gebräuchlichen Skalierung:

Dieses Bild wird als "Referenzbild" für die Fourierrekonstruktion betrachtet. Ziel einer Fourierrekonstruktionsmethode muß es sein, B₀() im betrachteten Bildgebiet wiederzugeben.

Beim konventionellen Spiralscan (ϕ=0) ist h(u) die Interpolationsfunktion in z- Richtung. L₀(p) ist der normale Faltungskern, dessen Fourieretransformierte (L₀(ρ) mit der Modulationsübertragungsfunktion M_A(ρ) der Rekonstruktion wie folgt zusam menhängt:

Im allgemeinen Fall (ϕ ≠ 0) gilt für L₀(ρ), wie im Anhang 1.) gezeigt wird:

Herleitung einer dreidimensionalen Fourierrekonstruktionsmethode: Rekonstruk tion des gesamten Meßvolumens.

Theoretische Beschreibung

Der Meßfelddurchmesser in x- und y-Richtung sei D_M. In z-Richtung sei die Ausdehnung des Meßfeldes D_Z.

Setzt man (genauso wie im zweidimensionalen Fall)

L(p) = L₀(p) für |p| D_M
L(p) = 0 für |p| < D_M (10)

so können die mit L(p) gefalteten Projektionen in ₁-Richtung ohne Schaden für das Bild im Meßfeldbereich periodisch fortgesetzt werden, wenn für die Periodenlänge w gilt:

w 2D_M

Die Funktion h(u) wird im Ortsraum ohnehin nur wenig ausgedehnt sein (Ausdehnung in der Größenordnung einer Schichtbreite b, im Fall des Spiralclans ist h(u) z. B. die lineare Interpolation zwischen benachbarten Schichten).

Dann können auch die mit h(u) gefalteten Projektionen in -Richtung periodisch wiederholt werden, wenn man für die Periodenlänge v ansetzt:

v D_z + b

Das folgendermaßen definierte Bild B₁() ist mit B₀() im Meßfeldbereich identisch:

Die dreidimensionale Fouriertransformierte

dieses Bildes lautet:

Das Integral über ( · ₂) ist eine δ-Funktion und ergibt sich zu:

Weiterhin gilt:

Setzt man ρ= · ₁, so kann man wegen

schreiben:

Auf die gleiche Weise erhält man:

mit Δρ_⟂= · und Δρ_⟂=1/v. (13), (16) und (17) in (12) eingesetzt führt zum Ergebnis:

(nΔρ_⟂, mΔρ, ϑ_l) ist die zweidimensionale diskrete Fouriertransformierte von f(u_i, p_k, ϑ_l) bezüglich u_i und p_k:

wobei (4) verwendet wurde.

Gleichung (18) bedeutet:
Man hat ein im Ortsraum kontinuierliches dreidimensionales Bild B₁ () definiert, dessen dreidimensionale Fouriertransformierte

im Frequenzraum nur an diskreten Punk ten existiert. Dazwischen hat

keine Werte.

Zu jedem "Projektionswinkel" ϑ_l gehören im Frequenzraum Werte auf einer Ebene · ₂=0. Diese Ebene ist gegen die ρ_x-ρz-Ebene um den "Projektionswinkel" ϑ_l und den "Taumelwinkel" ϕ geneigt.

Das ist eine Verallgemeinerung des sog. "Central-Slice-Theorem" im Zweidi mensionalen. Es lautet hier:

Die dreidimensionale Fouriertransformierte

des Bildes B₁() auf einer Ebene im Frequenzraum, die durch den Ursprung geht und gegen die ρ_x-ρ_z-Ebene um den "Projektionswinkel" ϑ_l und den "Taumelwinkel" ϕ geneigt ist, ist gleich der zweidi mensionalen Fouriertransformierten der unter dem Winkel ϑ_l aufgenommenen gefal teten Projektionen

Auf der zum "Projektionswinkel" ϑ_l gehörenden Ebene liegen die Werte in einem karte sischen diskreten Raster vor, mit Rastermaß Δρ in ₁-Richtung und Δρ_⟂ in -Rich tung.

Um die Grundlage für eine dreidimensionale Forierrücktransformation des Spek trums in den Ortsraum mit FFT-Algorithmen zu schaffen, wird ein neues Bild B₂() definiert, das aus B₁() durch Multiplikation mit der Topffunktion T() entsteht:

D_B · D_B ist der interessierende zentrische Bildausschnitt in der x-y-Ebene, D_Z ist die Länge des Meßfeldes in z-Richtung. Das Bild B₂() stimmt mit B₁() im Volumen D_B · D_B · D_Z überein, außerhalb dieses Volumens ist es 0. Die durch die Spektrumsabtastung in kartesischen Koordinaten bei der dreidimensionalen FFT auftretende periodische Wiederholung des Bildes im Ortsraum führt deshalb nicht zu Überlappungsfehlern.

Man setzt

Dann gilt:

Es ist:

Also läßt sich mit ρ= · ₁ schreiben:

Dabei wurde

benutzt (siehe auch (15)).

Ebenso erhält man mit ρ_⟂= · :

(25) und (27) in (22) eingesetzt liefert als Ergebnis:

die dreidimensionale Fouriertransformierte des im Ortsraum unbegrenzten Bildes B₁(), ist im Frequenzraum nur an diskreten Punkten definiert (siehe Gleichung (18)).

dagegen, die dreidimensionale Fouriertransformierte des mit der Topffunktion T₁(x)T₁(y)T₂(z) multiplizierten Bandes B₁(r), hat kontinierliche Werte im Frequenz raum.

entsteht durch Faltung des diskreten

mit den eindimensionalen Fouriertransformierten T₁(ρ_x)T₁(ρ_y)T₂(ρ_z) von T₁(x)T₁(y)T₂(z).

Man erhält

an der Stelle (ρ_x, ρ_y, ρ_z), indem man den Abstand des Punktes (ρ_x, ρ_y, ρ_z) zu jedem Punkt (nΔρ_⟂, mΔρ, ϑ_l) von

in ρ_x-Richtung (das ist ρ₁=ρ_x-mΔρ cos ϑ_l-nΔρ_⟂ sind ϑ_l sin ϕ), in ρ_y-Richtung (das ist ρ₂=ρ_y-mΔρ sin ϑ_l+ nΔρ_⟂ sin ϕ) und in ρ_z-Richtung (das ist ρ₃=ρ₂-nΔρ_⟂ cos ϕ) ausrechnet, den Wert des des Punktes (nΔρ_⟂, mΔρ, ϑ_l) mit ₁(ρ₁)₁(ρ₂)₂(ρ₃) gewichtet und alle solchen Beiträge aufaddiert.

Das kontinuierliche Spektrum

kann nun in den Rasterpunkten αΔρ_x, βΔρ_y, γΔρ_z mit

Δρ_x 1/D_B
Δρ_y 1/D_B

Δρ_z 1/D_Z

abgetastet und mit einer dreidimensionalen FFT in den Ortsraum transformiert wer den, ohne daß bei der daraus folgenden periodischen Wiederholung des Bildes B₂() Aliasingfehler auftreten.

Wie im zweidimensionalen Fall läßt sich das Verfahren einfach auf beliebige nichtzentrische Bildausschnitte D_B · D_B in der x-y-Ebene erweitern:
Das gewünschte Rekonstruktionszentrum liege an der Stelle

Eine Verschiebung des Rekonstruktionszentrums in z-Richtung ist möglich, aber eigentlich nicht sinnvoll, weil man dann gleich den Patienten anders positionieren bzw. die Länge des Scanbereichs verkürzen könnte, um die Strahlenbelastung möglichst ge ring zu halten.

Nach der gedanklichen Verschiebung des Bildes B₁() um den Vektor -_z, so daß das Rekonstruktionszentrum wieder auf den Koordinatenursprung zu liegen kommt, multi pliziert man mit der Topffunktion T₁(x)T₁(y)T₂(z), um B₂() zu erhalten. Verschiebung um -_z bedeutet im Frequenzraum Multiplikation mit einem Phasenfaktor.

Mit

erhält man für die dreidimensionale Fourierrekonstruktion aus EBT-Daten:

Auch eine beliebige Drehung des dargestellten Bildvolumens um den Punkt (r_z cos ϑ_z, r_z sin ϑ_z, z_z) ist ohne großen Mehraufwand realisierbar, so daß dadurch Re formatierungen bis zu einem gewissen Grad ersetzt werden können.

Vereinfachungen für die praktische Realisierung

Wie im zweidimensionalen Fall wird man das Bild B₁() im Ortsraum natürlich nicht mit einem idealen Rechtecktopf begrenzen, denn dessen Fouriertransformierte ist

₁(ρ_x)₁(ρ_y)₂(ρ_z) = D_B/2 D_Zsinc(πρ_xD_B)sinc(πρ_yD_B)sinc(πρ_zD_Z) (34)
-

so daß jeder Punkt von

zu jedem Punkt von B₂(αΔρ_x, βΔρ_y, γΔρ_z) beiträgt. Statt dessen rekonstruiert man ein Volumen D_R · D_R · D_Z′, das größer ist als das gewünschte Bildvolumen D_B · D_B · D_Z, und wählt Topffunktionen T₁ und T₂ so, daß T₁ längs der Strecke von D_B/2 bis zu D_R-D_B/2 und T₂ längs der Strecke von D_Z/2 bis zu D_Z′-D_Z/2 hinreichend stark abfällt und danach einen kleinsten Wert ε_min nicht mehr überschreitet. Geeignete Funktionen sind wiederum z. B. das modifizierte Van der Maas-Window, das Blackman-Window oder eine Kombination aus beiden.

Im Spiralbetrieb fallen für ein EBT-Gerät die Daten in z-Richtung in dichter Folge an, d. h. das Raster a_⟂ ist sehr klein. Hat man z. B. eine 3 mm-Schicht eingstellt und realisiert man in z-Richtung einen Patientenvorschub von 3 mm pro Sekunde, so ergeben sich, daß ein Umlauf etwa 50 ms dauert, pro Sekunde 20 Umläufe und damit bei einem Taumelwinkel von 0,5 Grad:

Für D_Z=60 mm erhält man in z-Richtung etwa 400 Schichten, so daß die zweidi mensionale Fouriertransformation der f(u_i, p_k, ϑ_l) in ₁-Richtung (p_k) wie bisher je nach Zahl der Detektorelemente von der Dimension 2084 oder 4096 sein müßte, in - Richtung (u_i) aber auch von der Dimension 512!

Da die Schichtbreite b (z. B. 3 mm) jedoch wesentlich größer ist als der Abstand benach barter Schichten (a_⟂=0,15 mm), können mehrere beim gleichen Projektionswinkel ϑ_l entstandene, in -Richtung aufeinanderfolgende Projektionen (u, mit aufsteigendem Index i) zusammengefaßt werden, so daß sich ein effektives a_⟂ von etwa der halben Schichtbreite b ergibt und somit für die Fouriertransformation der f(u_i, p_k, ϑ_l) in - Richtung nur noch z. B. 64 Stützstellen.

Die bei dieser Zusammenfassung unvermeidliche Verunschärfung des Bildes in z-Rich tung kann durch einen aufsteilenden Anteil in (nΔρ_⟂) wieder aufgefangen werden.

Quasi-zweidimensionale Fourierrekonstruktion von Einzelschichten

Die dreidimensionale Fourierrekonstruktion des gesamten Meßvolumens stellt hohe Ansprüche an Speicherplatz und Rechengeschwindigkeit:
Im erwähnten Beispiel (3 mm Schicht, Länge des Meßfeldes in z-Richtung D_Z=60 mm) hat man zunächst (bei 1024 Detektorelementen) für jeden Projektionswinkel ϑ_l die f(u_i, p_k, ϑ_l) mit zweidimensionalen FFTs der Länge 2048 · 64 in den Frequenz raum zu transformieren. Entstehen pro Umlauf z. B. 1000 Projektionen, muß man 1000 diese zweidimensionalen FFTs ausführen. Danach erfolgt im Frequenzraum die Multiplikation mit (mΔρ) und (nΔρ_⟂) sowie mit dem Phasenfaktor. Damit ist

definiert. Wird ein zweidimensionales Bild mit einer 512 · 512-Matrix dargestellt, und wünscht man die Bilder etwa im Abstand der halben Schichtdicke, d. h. für D_Z=60 mm etwa 40 bis 50 Bilder, so muß - wegen der Eigenschaften der Topffunktion T₁(x)T₁(y)T₂(z) - die dreidimensionale Fourierrücktransformation in den Ortsraum von der Dimension 1024 · 1024 · 128 sein, d. h.

wird an ebensovielen Stützstellen benötigt. Wählt man T₁ und T₂ geeignet, trägt jeder Punkt von

zu etwa 4 · 4 · 4 Punkten von

bei.

Weiterhin ist von Nachteil, daß mit der Rekonstruktion erst begonnen werden kann, wenn alle Daten aufgenommen sind, also nach dem gesamten Scan.

Aus diesen Gründen mag es wünschenswert sein, wie bisher aufeinanderfolgende zweidimensionale Bilder zu rekonstruieren (etwa im Abstand einer halben Schichhtdicke). Dann ist für die Rekonstruktion des ersten Bildes nur ein relativ geringer Datenvorlauf erforderlich.

Im Folgenden wird ein quasi-zweidimensionale Fourierrekonstruktionsmethode für EBT-Daten beschrieben.

Fig. 4 zeigt im Blick auf die y-z-Ebene die gewünschte Schicht bei z₀ sowie den Bereich Δu in -Richtung, aus dem Daten zum Bild bei z₀ beitragen.

Führt man ein

dann müssen u_i für

I₀ - I i I₀ + I (36)

berücksichtigt werden.

Analog zu Gleichung (11) definiert man ein - jetzt allerdings zweidimensionales - Bild B_{1, I₀} () an der Stelle =(x, y, z₀), wobei man die mit L(p) und h(u) gefalteten Projektionen f(u_i, p_k, ϑ_l) in ₁-Richtung wie in (11) mit der Periode w=2D_M wiederholt, in -Richtung aber mit der Periode v′=Δu+b (b ist die Ausdehnung von h(u)):

mit =(x, y, z₀)

Wegen

lautet die zweidimensionale Fouriertransformierte dieses Bildes:

Mit (25) und (27) ergibt sich daraus:

mit Δρ′_⟂=1/v′ und - wie bisher - Δρ=1/w.

Führt man die Substitution

j = i - I₀ (42)

durch, erhält man wegen (siehe (4))

u_i = u_j+I₀ = ja_⟂ + I₀a_⟂ = du(ϑ_l) = u_j + I₀a_⟂ (43)

mit

z₀ cos ϕ - I₀a_⟂ = dz₀ cos ϕ (44)

Dabei ist

die zweidimensionale Fouriertransformierte der f(u_j+I₀, p_k, ϑ_l):

Auch _1,I₀ (ρ_x, ρ_y, z₀) ist im zweidimensionalen ρ_x-ρ_y-Frequenzraum nur an diskreten Punkten definiert, und zwar an den Stellen δ(ρ_x-mΔρ cos ϑ_l - nΔρ′_⟂ sin ϑ_l sin ϕ) und δ(ρ_y-mΔρ sin ϑ_l+nΔρ′_⟂ cos ϑ_l sin ϕ).

Für ϕ=0 (Projektionen senkrecht auf der z-Achse) wird daraus δ(ρ_x-mΔρ cos ϑ_l)δ(ρ_y-mΔρ sin ϑ_l). Die Punkte liegen dann - wie beim konven tionellen zweidimensionalen Fall - auf einem Polargitter in der ρ_x-ρ_y-Ebene.

Um das zweidimensionale Bild B_{1, I₀} (x, y, z₀) (z₀ ist lediglich ein Parameter, keine Variable mehr) für die zweidimensionale Fourierrekonstruktion tauglich zu machen, multipliziert man es mit der Topffunktion T₁(x)T₁(y) (Definition siehe (20)) und erhält so B_{2, I₀} (x, y, z₀), das mit B_{1, I₀} (x, y, z₀) in einem zunächst zentrischen Bildaus schnitt D_B · D_B übereinstimmt:

B_{2, I₀} (x, y, z₀) = B_{1, I₀} (x, y, z₀)T₁(x)T₁(y) (47)

Die zweidimensionale Fouriertransformierte dieses Bildes berechnet sich zu:

_{2, I₀} (ρ_x, ρ_y, z₀) ist kontinuierlich und kann - wie für die zweidimensionale FFT erforder lich - in den kartesischen Rasterpunkten αΔρ_x, βΔρ_y mit

Δρ_x 1/D_B
Δρ_y 1/D_B (49)

abgetastet werden.

Wie im dreidimensionalen Fall ist die Erweiterung auf nichtzentrische Bildaus schnitte D_B · D_B in der x-y-Ebene einfach. Mit _z=(r_z cos ϑ_z, r_z sin ϑ_z, 0) für die Lage ds Rekonstruktionszentrums erhält man:

Interessant ist die Abschätzung des Aufwandes für die Rekonstruktion einer Einzelschicht bei z₀:

Wie bei der dreidimensionalen Rekonstruktion wird man die bei gleichem Projektions winkel ϑ_l entstandenen Projektionen für mehrere aufeinanderfolgende u_i zusammen fassen können, so daß ein effektives Raster a_⟂ von etwa einer halben Schichtdicke entsteht. Dann gilt I≈2, so daß die f(u_j+I₀, p_k, ϑ_l) (bei 1024 Detektorelementen) für einen Projektionswinkel ϑ_l mit einer zweidimensionalen FFT der Länge 2048 · 4 in den Frequenzraum zu transformieren sind. Jede dieser Stützstellen trägt nach Mul tiplikation mit (mΔρ)(nΔρ′_⟂) und dem entsprechenden Phasenfaktor zu etwa 4 · 4 Stützstellen des kartesischen Gitters für die zweidimensionale Fourierrücktransforma tion bei, die wie üblich mit 1024 · 1024 Werten erfolgt.

Im Übergang auf das kartesische Gitter liegt ein nicht unerheblicher Unterschied zur dreidimensionalen Rekonstruktion: dort trägt jeder Punkt zu 4 · 4 · 4 Stützstellen des dreidimensionalen kartesischen Gitters bei!

Der Gesamtaufwand für die Herstellung eines Einzelbildes dürfte nach diesen vorläufigen Abschätzungen etwa beim 3- bis 4fachen des Aufwandes für die Herstellung eines Einzelbildes aus konventionellen zweidimensionalen Paralleldaten liegen.

Wie bei der dreidimensionalen Rekonstruktion ist es durch eine Koordinatentransfor mation leicht möglich, die zweidimensionale Einzelschicht im Raum zu drehen.
Herleitung von ₀(ρ)
In diesem Abschnitt wird der Zusammenhang

(siehe (9)) begründet.

Das Referenzbild (7) lautet in kontinuierlicher Schreibweise:

Betrachtet man als Objekt einen in z-Richtung unendlich ausgedehnten, homogenen Kreiszylinder mit Durchmesser D und Schwächung µ, so gilt

und damit:

Die zweidimensionale Fouriertransformierte der an einer beliebigen Stelle z₀ berech neten Einzelschicht ergibt sich mit · ₁= x cos ϑ+y sin ϑ zu

Damit kann man wegen

∫ dx exp(- 2πix(ρ_x - ρ cos ϑ)) = δ(ρ_x - ρ cos ϑ) = δ(ρ_x - ρ′_x) (55)

∫ dy exp(- 2πiy(ρ_y - ρ sin ϑ)) = δ(ρ_y - ρ sin ϑ) = δ(ρ_y - ρ′_y) (56)

und

|ρ|dρdϑ = dρ′_xdρ′_y (57)

schreiben:

Gleichzeitig gilt mit M_A(ρ) als Modulationsübertragungsfunktion und

als zweidimensionaler Fouriertransformierter in die ρ_x-ρ_y-Ebene des in z-Richtung unendlich ausgedehnten Kreiszylinders:

Daraus folgt

Koordinatentransformation und Herleitung der Rekonstruktionsformel für beliebig gedrehte Einzelschichten.

Fig. 5 verdeutlicht den ersten Schritt der Koordinatentransformation:
Ausgangspunkt ist das Koordinatensystem x, y, z. Das neue Koordinatensystem x′, y′, z′ ist um (-x_z, -y_z, -z_z) verschoben und um den Winkel δ gedreht. Drehachse ist die x-Achse. Es gilt also:

x′ = x + x_z (61)

y′ - (y + y_z) cos δ + (z + z_z) sin δ (62)

z′ = (y + y_z) sin δ + (z + z_z) cos δ (63)

Das Koordinatensystem x′, y′, z′ wird anschließend um den Winkel γ gedreht. Drehachse ist die y′-Achse. Man erhält das Koordinatensystem x′′, y′′, z′′ mit

x′′ = x′ cos γ + z′ sin γ (64)

z′′ = - x′ sin γ + z′ cos γ (65)

y′′ = y′ (66)

Insgesamt ergibt sich:

x = x′′ cos γ - z′′ sin γ - x_z (67)

y = y′′ cos δ - x′′ sin γ sin δ - z′′ cos γ sin δ - y_z (68)

z = x′′ sin γ cos δ + z′′ cos γ cos δ + y′′ sin δ - z_z (69)

Man betrachtet die Einzelschicht im Koordinatensystem x′′, y′′, z′′ an der Stelle z′′ = 0 (Ansonsten hätte x_z, y_z, z_z anders gewählt werden können). Damit ist

x - x′′ cos γ x_z (70)

y = y′′ cos δ x′′ sin γ sin δ y_z (71)

z = x′′ sin γ cos δ + y′′ sin δ z (72)

Ausgangspunkt für die Bildbeschreibung ist Gleichung (37):

Daraus wird mit (10), (11), (12):

Die zweidimensionale Fouriertransformierte bezüglich x′′ und y′′ an der Stelle z′′=0 lautet

Mit der Substitution

j = i - I₀ (76)

u_i = u_j+I₀ = ja_⟂ + I₀a_⟂ + du (ϑ_l) = u_j + I₀a_⟂ (77)

- z_z cos ϕ - I₀a_⟂ = dz₀ cos ϕ (78)

wird daraus

ist die zweidimensionale Fouriertransformierte der f(u_j+I₀, p_k, ϑ_l):

Das Bild B_{1D, I₀} (x′′, y′′, 0) multipliziert man mit der Topffunktion T₁(x′′), T₁ (y′′) im neuen Koordinatensystem x′′, y′′, z′′ und erhält so das Bild B_{2D, I₀} (x′′, y′′ 0) mit der Fouriertransformierten

Der einzige Unterschied zu Gleichung (50) besteht darin, daß wegen des gedrehten Koor dinatensystems die Gewichtsfunktionen T₁(ρ_x′′)T₁(ρ_y′′) an anderen Stellen zu berechnen sind. Das ist aber nicht mit Mehraufwand verbunden, den γ und δ sind Konstanten. Der Mehraufwand entsteht dadurch, daß unter Umständen mehr Einzelscans zum Auf bau einer Schicht herangezogen werden müssen, d. h. I wird größer.
Setzt man δ=0, γ=0, erhält man Gleichung (50).

Claims

1. Röntgencomputertomograph mit einer ein Meßfeld (1) umgebenden, ringförmi gen Röntgenstrahlquelle (2), in der eine Ringanode (3) angeordnet ist, die zur Erzeu gung eines sich drehenden Röntgenstrahlbündels (4) von einem Elektronenstrahl (5) abgetastet wird, wobei die Meßdaten als Spiraldaten in Parallelstrahlgeometrie so vor liegen, daß zu jedem Projektionswinkel ϑ_l und jeder z-Position u_i die Meßwerte f(u_i, p_k, ϑ_l) jeweils in einer Ebene liegen, die gegen eine Ebene senkrecht zur z-Achse um den Winkel ϕ geneigt ist, wobei folgendes Rekonstruktionsverfahren zur Erzeugung eines Volumenbildes angewandt wird:
zweidimensionale Fouriertransformation der f(u_i, p_k, ϑ_l) bezüglich u_i und p_k, das Ergeb nis ist f(nΔρ_⟂, mΔρ, ϑ_l), Multiplikation der f(nΔρ_⟂, mΔρ, ϑ_l) mit zwei Funktio nen h(nΔρ_⟂) und (mΔρ) zur Beeinflussung der Bildschärfe, Multiplikation mit einem Phasenfaktor exp(-2πimΔρr_z cos(ϑ_l-ϑ_z))exp(-2πinΔρ_⟂ (r_z sin ϕ(ϑ_l-ϑ_z)+ z_z cos ϕ)), der die Lage des Aufpunkts (r_z cos ϑ_z, r_z sin ϑ_z, z_z) des Rekonstruktionsvol umens im Ortsraum berücksichtigt, dreidimensionaler Griddingprozeß von den durch (nΔρ_⟂, mΔρ, ϑ_l) gekennzeichneten Punkten im Frequenzraum auf die Punkte eines dreidimensionalen kartesischen Gitters mit Rastermaß Δρ_x, Δρ_y, Δρ_z bei freier Wahl von Δρ_x, Δρ_y, Δρ_z zur Erzeugung eines beliebigen Ausschnitts des Objektgebietes, an schließende dreidimensionale FFT in den Ortsraum.

2. Röntgencomputertomograph nach Anspruch 1, mit Erzeugung eines Bildes in einer beliebig im Raum orientierten Ebene x, y, 0 dadurch, daß in der entsprechenden ρ_z- Richtung kein Griddingprozeß durchgeführt wird, sondern die Fouriertransforma tion für die Position z=0 direkt ausgeführt wird, was einer Projektion der durch (nΔρ_⟂, mΔρ, ϑ_l) gekennzeichneten Frequenzpunkte in die ρ_x, ρ_y-Ebene entspricht, von dort ausgehend zweidimensionaler Griddingprozeß auf die Punkte eines zweidimensio nalen kartesischen Gitters mit frei wählbarem Rastermaß Δρ_x, Δρ_y und abschließende zweidimensionale FFT in den Ortsraum.