DE19614223C1

DE19614223C1 - Bildrekonstruktionsverfahren für Mehrzeilendetektor-Computertomographen im Spiralbetrieb

Info

Publication number: DE19614223C1
Application number: DE19614223A
Authority: DE
Inventors: Thomas Dr Flohr; Heinrich Dr Wallschlaeger; Stefan Dipl Ing Schaller
Original assignee: Siemens AG
Current assignee: Siemens AG
Priority date: 1996-04-10
Filing date: 1996-04-10
Publication date: 1997-12-04
Anticipated expiration: 2016-04-11
Also published as: CN1172999A; CN1107289C; US5987157A; JP3887448B2; JPH1028684A

Description

Für die Bildrekonstruktion aus Daten eines einfachen kreisför migen Vollumlaufs eines Mehrzeilendetektor (MZD)-CT Scanners eignet sich der bekannte Feldkamp-Algorithmus (siehe: L. A. Feldkamp, L. C. Davis, J. W. Kress, "Practical cone-beam algo rithm," J. Opt. Soc. Am. A/ Vol. 1 No. 6/ June 1984). Eine sowohl von Wang et al. als auch von Kudo et al. vorgenommene Verall gemeinerung (siehe: G. Wang, T. H. Lin, P. c. Cheng, D. M. Shinozaki, "A General Cone-Beam Reconstruction Algorithm," IEEE Transactions on Medical Imaging, Vol. 12, No. 3, September 1993 bzw. H. Kudo T. Saito, "Helical Scan Computed Tomography using cone beam projections" IEEE Nuclear Science Symposium and Medical Imaging Conf. 1991, Vol. 3, S. 1958-1962) dieses Al gorithmus ist in der Lage, aus Spiralscans Bilder zu rekonstru ieren. Dieser Algorithmus hat aber einige gravierende Einschränkungen.

Der von Wang et al. für einen planaren Detektor beschriebene Rekonstruktionsalgorithmus soll hier für den Fall eines zylin drischen Detektors nochmals formuliert werden. Fig. 1 veran schaulicht den Aufbau des MZD-CT Scanners. Der Mehrzeilen detektor 1 ist als Zylinderoberfläche ausgebildet. Er besteht aus mehreren parallelen Detektorzeilen, von denen jede von ei ner Reihe von Detektorelementen gebildet ist. Der Radius dieses Zylinders ist R_f+R_d, d. h. der Fokus 2 befindet sich auf der Zylinderachse. Der Fokus 2 beschreibt eine Spiralbahn mit dem Fokusbahnradius R_f. R_d ist der Abstand des Detektors 1 zur Drehachse z. Der Projektionswinkel (Drehwinkel der Gantry mit dem Röntgenstrahler und dem Detektor) wird mit α bezeichnet. β_m und ζ_Det,q kennzeichnen ein bestimmtes Detektorelement und damit einen bestimmten Strahl aus dem Strahlenkegel. Dabei ist β_m der Fächerwinkel des Strahls und q der Index der betreffen den Detektorzeile. Die z-Koordinate des Fokus werde mit z_F be zeichnet, wobei die Spirale die Spiralsteigung slope habe und beschrieben sei durch

z_F = z_F,0 + nΔα · slope. (1)

Δα ist das Projektionswinkelinkrement zwischen aufeinander folgenden Projektionen. n ist die Nummer der betrachteten Pro jektion. z_F,0 ist die z-Startposition der Spirale.

ζ_Det = z-z_F beschreibt die auf den Fokus bezogene axiale Posi tion eines Punktes auf dem Strahl, dessen in die x-y-Ebene pro jizierter Abstand vom Fokus gerade R_f+R_d ist. Das ist gleich zeitig die z-Position des betreffenden Detektorelements rela tiv zur z-Position des Fokus. Die ζ_Det-Position der Detektor zeile mit Index q sei gegeben durch

Δζ_Det ist der Abstand zweier Detektorzeilen in z-Richtung,
N_rows die Zahl der Detektorzeilen, und AQ das sogenannte Ali gnment in ζ-Richtung. Häufig gebrauchen wir auch den in das Drehzentrum projizierten Abstand zweier Detektorzeilen in z- Richtung

bzw. die dorthin projizierte ζ-Koor dinate

Die logarithmierten Schwächungswerte, d. h. die von den Detektoren gemessenen Linienintegrale über den Schwächungskoeffizienten des Objekts, werden mit p(α_n, β_m, ζ_Det,q) oder abgekürzt mit p(n,m,q) bezeichnet. Dabei ist

sowie

N_p,2 _π ist die Zahl der Projektionen pro 2π-Umlauf, N_p die Ge samtzahl der vorliegenden Projektionen. N ist die Zahl der Ka näle in einer Zeile des Detektors. Wir nehmen hier der Einfach heit halber an, daß N gerade ist. AM ist das Alignment im Fächerwinkel.

Das Rekonstruktionsverfahren nach Wang et al. in der Formulie rung für zylindrische Detektoren beinhaltet folgende Schritte:

1. Gewichtung und Faltung der Projektionen

cosβ_m′ ist die bei der Fächerrekonstruktion benötigte cos-Ge wichtung der Daten in Zeilenrichtung. Die Faltung findet nur längs der Zeilen der Projektion statt, d. h. die Operation wird für alle q unabhängig durchgeführt. Der Faltungskern g_m ist dabei z. B. der bekannte Cotangens-Kern

wobei die Distribution g(β) definiert ist durch

2. Gewichtete Rückprojektion der gefalteten Projektionen

Die sich der Faltung anschließende Rückprojektion ist be schrieben durch

n₀ ist ein Summationsindex, der die Summation über alle Pro jektionswinkel eines Vollumlaufs vollzieht. Im einem Spiralda tensatz liegen in der Regel mehrere verschiedene Projektionen zum gleichen Projektionswinkel α_n₀ vor, und zwar in jeder "Win dung" der Spirale eine. Dadurch ist zur eindeutigen Kennzeich nung einer Projektion neben dem durch n₀ festgelegten Projektionswinkel auch noch die Nummer λ der sie enthaltenden "Windung" anzugeben. Im allgemeinen liegt ein Voxel des Rekon struktionsvolumens bei der Rückprojektion in mehreren Projek tionen mit gleichem n₀ (also gleichem Projektionswinkel) aber verschiedenen λ. Deshalb muß ein Index λ ausgewählt werden, welcher die für die Rückprojektion dieses Voxels zu verwendende Projektion festlegt. Dieses λ wird beim Wang-Algorithmus so gewählt, daß die Fokusposition der verwendeten Projektion in axialer Richtung kleinstmöglichen Abstand vom betrachteten Vo xel hat.

ist die bei der Fächerre konstruktion notwendige sogenannte 1/r²-Gewichtung bei der Rückprojektion der gefalteten Meßwerte.

Die Indizes und ergeben sich aus der Projektion eines zu rekonstruierenden Voxels V (x, y, z) des Rekonstruktionsvolumens vom Fokus aus auf den Detektor. Das auf den Detektor projizier te Voxel habe die Koordinaten und _Det. Dann erhält man für die Indizes und :

ist dabei unabhängig von z. Da die Projektion eines Voxels vom Fokus aus in den Detektor im allgemeinen nicht exakt auf ein Detektorelement trifft, entstehen bei der Auswertung der Gleichungen (9) und (10) i.a. auch nicht-ganzzahlige Indizes. Deshalb wird bei der Rückprojektion zwischen den i.a. vier be nachbarten Elementen der gefalteten Projektion interpoliert (z. B.: bilineare Interpolation).

Beim Wang-Algorithmus muß gewährleistet sein, daß jedes Voxel des Rekonstruktionsvolumens einen Rückprojektionsbeitrag aus allen Richtungen α = 0 . . . 2π eines Vollumlaufs erhält. Für jeden Index n₀ wird, wie bereits oben erwähnt, für jedes Voxel indi viduell ein Umlauf der Spirale ausgewählt, aus dem dann die Projektion mit dem entsprechenden Projektionswinkel α_n₀ heran gezogen wird. Die λ (x, y, z, n₀) werden so gewählt, daß die ausge wählte Projektion immer die dem betrachteten Voxel in z-Rich tung nächstliegende ist. Die Situation ist in Abb. 2 ver anschaulicht. Bei der Rückprojektion unter dem Projektionswin kel α_n₀ = 0 wird für das Voxel V₁ λ = 0, dagegen für das Voxel V₂ λ = 1 gewählt. Es wird also für die Rückprojektion ins Voxel V₁ die links dargestellte Projektion und für die Rückprojek tion ins Voxel V₂ die rechts dargestellte Projektion verwen det, obwohl für beide Voxel beide Projektionen möglich wären.

In der Forderung, jedes Voxel müsse Rückprojektionsbeiträge von allen Projektionswinkeln bekommen, liegt der Hauptnachteil des Wang-Algorithmus. Diese Forderung begrenzt den Pitch der Spirale, definiert als z-Vorschub Δz₂_π der Spirale pro 2π-Voll umlauf der Gantry normiert auf den in das Drehzentrum proji zierten Zeilenabstand der Detektorzeilen Δζ.

Fig. 2 veranschaulicht diese Pitch-Begrenzung. Ein Voxel V am Rand des Bildfeldes mit Durchmesser D_B muß Beiträge aus allen Richtungen α = 0 . . . 2π erhalten. Dazu kann der Pitch nicht größer werden als in Fig. 2 dargestellt. Der Pitch ist also dann ma ximal, wenn sich die Strahlen (1) und (2) gerade am Bildfeld rand schneiden. Damit ergibt sich der maximale Pitch zu

Für eine bestimmte Gantry-Geometrie ergibt sich beispielsweise (R_f = 570 mm, R_d = 435 mm, D_B = 500 mm):

Wird der Pitch der Spirale über diesen kritischen Wert erhöht, so entstehen im Abtastmuster Lücken (siehe Fig. 3 schraffiert).

Für diese schraffierten Lücken liegen unter bestimmten Projek tionswinkeln α keine Projektionen vor, die bei der Rückprojek tion einen Beitrag in diese Gebiete liefern könnten. Der originale Wang-Algorithmus ist deshalb für die Rekonstruktion von Spiralen mit solchen großen Pitch-Werten nicht anwendbar. Ein Pitch von 2.25 für einen 5 Zeilen-Detektor ist aber für eine praktisch sinnvolle Anwendung zu klein.

Ein zweiter Nachteil ist, daß bei der Rückprojektion projekti onsweise vorgegangen wird. Für jeden Projektionswinkel wird der Zuschlag einer unter diesem Projektionswinkel aufgenomme nen Projektion zu einem Voxel ermittelt durch Interpolation zwischen den Elementen der gefalteten Projektion, die der Pro jektion des betrachteten Voxels vom Fokus aus in den Detektor benachbart sind. Demzufolge ist die Reichweite der Interpola tion in z-Richtung im Drehzentrum etwa

Der Erfindung liegt die Aufgabe zugrunde, ein Verfahren der eingangs genannten Art so auszubilden, daß einerseits die Pitch-Begrenzung des Wang-Algorithmus überwunden wird, ohne auf eine mit anderen Nachteilen behaftete Teilumlaufrekon struktion auszuweichen, und andererseits eine Interpolation in z-Richtung mit geringerer Reichweite zur Erhöhung der z-Auflö sung ermöglicht ist.

Diese Aufgabe ist erfindungsgemäß gelöst durch das neue Bild rekonstruktionsverfahren mit komplementärer Interpolation ge mäß dem Patentanspruch.

Die Erfindung ist nachfolgend anhand der Fig. 4 bis 7 näher erläutert. Es zeigen:

Fig. 4 eine Darstellung für eine Spiralabtastung bei einem Mehrzeilen-Computertomographen nach der Erfindung mit großem Pitch,

Fig. 5 die Gewinnung eines Rückprojektionszuschlags durch In terpolation zwischen den dem betrachteten Voxel be nachbarten Strahlen der jeweiligen Projektion bei einem Computertomographen nach der Erfindung,

Fig. 6 einen Ausschnitt nach Fig. 5 und die Interpolation beim Wang-Algorithmus, und

Fig. 7 einen Ausschnitt aus Fig. 5 und die Interpolation beim erfindungsgemäßen Algorithmus.

Dem Verfahren liegt die Idee zugrunde, daß die Lücke in Fig. 3 gefüllt werden kann durch Strahlen, die von gegenüberliegenden Fokuspositionen (z. B. F^k in Fig. 4) aus gemessen wurden. Diese, von gegenüberliegenden Fokuspositionen ausgehenden Strahlen werden als komplementäre Strahlen bezeichnet. Die von dem beim momentanen Projektionswinkel α_n₀ positionierten Fokus ausge henden Strahlen dagegen werden als direkte Strahlen bezeich net.

Falls in einem bestimmten Bereich des Rekonstruktionsvolumens (Lücke in Fig. 4) unter dem Projektionswinkel α keine direkt gemessene Projektion für die Rückprojektion zur Verfügung steht, so werden statt der Strahlen p(α, β, ζ_Det,q) die komple mentären Strahlen p^k(α, β, ζ_Det,q)= p(, , ζ_Det,) herangezogen, die den Bedingungen

genügen. Außerdem setzt man

= q. (15)

Die "∼" Parameter bezeichnen dabei im folgenden allgemein die Parameter eines gemessenen direkten Strahles, der verwendet wird, um einen zugehörigen komplementären Strahl zu bestimmen.

Durch Gruppierung aller zu festem α, aber verschiedenen β ge hörenden komplementären Strahlen erzeugt man sog. komplementä re Fächer p^k(α_n, β_m, ζ_Det,q). Während alle Strahlen eines direkten Fächers in einem Punkt, dem physikalischen Fokuspunkt zusam menlaufen, gehen die Strahlen eines komplementären Fächers von virtuellen Fokuspunkten aus, die auf einer durch

beschriebenen z-parallelen Linie liegen. ist dabei die z- Koordinate des jeweiligen virtuellen Fokus. Bemerkenswert ist die Tatsache, daß im allgemeinen jeder Strahl einer solchen Projektion einen anderen auf dieser Linie liegenden virtuellen Fokus hat. Durch die oben beschriebene Umgruppierung vertau schen sich die Rollen von Fokus und Detektor. Deshalb muß sich in Gl. (2) für komplementäre Projektionen das Vorzeichen än dern. Eine für beide Sorten von Projektionen gültige Gleichung stellt Gl. (17) dar.

Durch diese Gruppierung der komplementären Strahlen entsteht zusätzlich zur direkt gemessenen Spirale des Mehrzeilendetek tors eine zweite Spirale aus komplementären Projektionsfä chern. Diese komplementären Fächer werden dann für die Rekonstruktion ebenso behandelt wie die direkten Fächer p(α_n, β_m, ζ_Det,q), insbesondere wird auch der Rekonstruktions schritt (5) auf diese komplementären Fächer angewandt.

Um die Notation zu vereinfachen bezeichnen wir fortan sowohl direkte als auch komplementäre Fächer mit p(n, m, q, c), wobei es sich für c = 1 um direkte, für c = -1 um komplementäre Fächer handelt.

In dieser Formulierung wird Gl. (2) zu

Da in der Praxis diskrete Projektionen vorliegen, ergeben sich bei der Auswertung von Gl. (13) und (14) in der Regel für α und keine tatsächlich vorliegenden Winkelpositionen. Deshalb müssen die komplementären Fächer durch Interpolation gewonnen werden. Dazu geht man wie folgt vor:
Seien

die Kenngrößen eines zu berechnenden (Index t: target) komple mentären Strahls p(n_t, m_t, q_t, c = -1) und

die Kenngrößen eines direkten Strahls p(ñ, , , c = 1), aus dem der komplementäre Strahl p(n_t, m_t, q_t, c = -1) berechnet werden soll.

Aus (13) und (14) ergibt sich mit der willkürlichen Festlegung AM^k = AM:

Das liefert zunächst nicht-ganzzahlige ñ und . Der komple mentäre Strahl p(n_t, m_t, q_t, -1) ist jetzt durch Interpolation aus benachbarten (n ≈ ñ, m ≈ ) Strahlen p(n, m, q_t, 1) mit ganzzahligen n und m zu erzeugen, z. B. durch bilineare Interpolation zwi schen den vier benachbarten Strahlen.

Die z-Positionen der erzeugten komplementären Strahlen

Die z-Fokusposition eines direkten Strahls in der Spirale mit Steigung

ergibt sich zu

z_F(n) = z_F,0 + nΔα · slope. (24)

Für einen komplementären Strahl erhält man

Dabei ist τ_q der Neigungswinkel eines Strahls gegen eine zur z-Achse senkrechte Ebene (sog. Cone-Winkel). Es gilt

ñ und sind gegeben durch (23) bzw. (13).

ist die z-Position des virtuellen Fokus. kann aufgeteilt werden in konstanten, n-abhängigen und m-abhängigen Anteil. Mit (21), (22) und (23) folgt

Der m-abhängige Anteil kann im Rechner in einer Tabelle abge speichert werden.

Die Neigung der komplementären Strahlen wechselt gegenüber den entsprechenden direkten das Vorzeichen, weil sich durch die Vertauschung der Rollen von Fokus und Detektor die Orientierung ändert:

Indexbereich der erzeugbaren komplementären Strahlen

Nimmt man das Vorhandensein direkter Projektionen für die In dexbereiche

an, so ist der Indexbereich der daraus erzeugbaren komplementären Projektion bestimmt durch

Ablauf des Rekonstruktionsalgorithmus

Nach der Erzeugung der komplementären Fächer p(n, m, q, c = -1) wer den direkte und komplementäre Fächer gemäß

gewichtet und gefaltet. Die gefalteten Projektionen werden an schließend über den Projektionswinkelbereich 2π, d. h. n₀ = 0 . . . (N_p,2 _π - 1) zurückprojiziert. Dazu wird für jedes n₀ zu je dem Voxel zunächst

berechnet. Es ergibt sich ein im allgemeinen nicht ganzzahliges . Der Zuschlag zum Voxel V (x, y, z) muß durch Interpolation zwischen den benachbarten Strahlen mit den Indizes m ≈ be rechnet werden. Dabei werden jetzt, im Unterschied zum Wang- Algorithmus, für jeden Projektionswinkel sowohl die direkten als auch die komplementären Fächer berücksichtigt. Unter allen Strahlen m ≈ der direkten und der komplementären Fächer wer den für jeweils festes m diejenigen herangezogen, die dem zu rekonstruierenden Voxel in z-Richtung am nähesten kommen. Aus den entsprechenden Elementen der gefalteten Projektionen wird dann durch Interpolation der Rückprojektionszuschlag zum Voxel V (x, y, z) gewonnen. Beim Vergleich der Fig. 6 und 7 wird deut lich, daß unter Umständen bei Anwendung des Wang-Algorithmus die Reichweite der in z-Richtung auszuführenden Interpolatio nen größer ist als beim hier vorgestellten Verfahren. Das hier vorgestellte Verfahren kann bei Anwendung verschachtelter Abt astmuster (wie in Fig. 5) eine höhere Auflösung in z-Richtung erreichen. Außerdem wird beim vorgestellten Verfahren nicht die beim Wang Algorithmus geltende Forderung, daß ein Voxel des Rekonstruktionsvolumens immer in mindestens einem direkten Fä cher enthalten sein muß, gestellt. Durch Einbeziehung sowohl der direkten als auch der komplementären Fächer kann also ei nerseits der Pitch vergrößert und andererseits die z-Auflösung erhöht werden.

Erhöhung der z-Auflösung durch den vorgestellten Algorithmus

Der Wang Algorithmus arbeitet projektionsweise, d. h. es wird eine gefaltete Projektion nach der anderen in das Rekonstruk tionsvolumen rückprojiziert. Der Zuschlag zu einem Voxel wird dabei durch Interpolation zwischen verschiedenen Elementen in nerhalb einer Projektion gewonnen. Die in z-Richtung notwendi ge Interpolation hat damit in der Nähe des Drehzentrums eine Reichweite von etwa

Der Sachverhalt ist in Fig. 5 und 6 dargestellt. Beim hier vorgestellten neuen Rekonstruk tionsverfahren werden Rückprojektionsbeiträge durch projektio nenübergreifende Interpolation gewonnen. Es werden sowohl die direkten als auch die komplementären Fächer einbezogen. Da durch können, falls entlang der z-Richtung geeignet abgetastet wurde, Meßstrahlen gefunden werden, deren Entfernung vom Voxel im Mittel kleiner ist als Δζ. Wird der Rückprojektionsbeitrag durch Interpolation aus den diesen Strahlen entsprechenden Elementen der gefalteten Projektionen gewonnen, so erhöht sich die z-Auflösung gegenüber dem Wang-Algorithmus. Zur prakti schen Nutzung dieser Eigenschaft stellt man den Pitch so ein, daß sich entlang der z-Richtung ein verschachteltes Abtastmu ster (Interlaced Sampling Scheme) ergibt, bei dem die Strahlen von jeweils gegenüberliegenden Fokuspositionen in der Nähe des Drehzentrums ineinandergreifen (wie in Fig. 5).

Erhöhung des maximal möglichen Pitch-Wertes mit dem vorge stellten Algorithmus

Beim Wang-Algorithmus ist der Pitch durch die Forderung be grenzt, daß es unter allen Projektionswinkeln für jedes Voxel mindestens eine Projektion gibt, in deren Strahlenkegel sich das Voxel befindet. Bei Vergrößerung des Pitch entstehen im Re konstruktionsgebiet Lücken (in Fig. 3 schraffiert), für die diese Forderung nicht erfüllt ist. Jedoch können, wie in Fig. 4 ersichtlich, die Strahlen benutzt werden, die von der gegen überliegenden Fokusposition ausgehen. Der hier vorgestellte Algorithmus erreicht mit diesem Vorgehen eine Rekonstruktion auch für größeren Pitch. Liegt keine das betrachtete Voxel be inhaltende direkte Projektion vor, so verwendet man statt des sen die das betrachtete Voxel beinhaltende komplementäre Projektion. Der maximale Pitch bei dem patentgemäßen Verfahren ist somit

Allgemein formuliert werden immer die Strahlen entweder der di rekten oder der komplementären Projektionen verwendet, die den geringsten Abstand in z-Richtung vom betrachteten Voxel haben.

Spezialfall Bilineare Interpolation

Im weiteren behandeln wir etwas detaillierter den Spezialfall der bilinearen Interpolation.

Mit gemäß (30) gelte m_lo = floor () und m_hi = ceil (). Für die direkten und komplementären Strahlen mit den Indizes (n₀ + λN_P,2 _π, m_lo) und (n₀ + λN_P,2 _π, m_hi) werden die Abstände d_z der Strahlen m = m_lo und m = m_hi zum gerade zu bearbeitenden Voxel berechnet. Es ergibt sich:

für die direkten und

für die komplementären Strahlen. Nun werden die Indizes (λ_lo,down, q_lo,down, c_lo,down) und (λ_lo,up, q_lo,up, c_lo,up) so gewählt, daß das zugehörige d_z unter allen Möglichkeiten mit m = m_lo den größten negativen bzw. den kleinsten positiven Wert hat. Ebenso werden (λ_hi,down, q_hi,down, c_hi,down) und (λ_hi,up, q_hi,up, c_hi,up) so gewählt, daß das zugehörige d_z unter allen Möglichkeiten mit m = m_hi den größten negativen bzw. den kleinsten positiven Wert hat. Aus den vier Werten

₀₀ = (n₀ + λ_lo,down N_P,2 _π, m_lo, q_lo,down, c_lo,down), (34)
₀₁ = (n₀ + λ_lo,up N_p,2 _π, m_lo, q_lo,up, c_lo,up), (35)
₁₀ = (n₀ + λ_hi,down N_P,2 _π, m_hi, q_hi,down, c_hi,down) (36)

und

₁₁ = (n₀ + λ_hi,up N_P,2 _π, m_hi, q_hi,up, c_hi,up) (37)

wird schließlich durch bilineare Interpolation der Zuschlag der Rückprojektion vom Projektionswinkel α_n₀ zum betrachteten Voxel ermittelt.

Es ergibt sich zu

Wenn die Rückprojektionsbeiträge für alle Projektionswinkel α_n₀ zu allen Voxeln zugeschlagen wurden ist die Rekonstruktion beendet.

Das beschriebene Verfahren ermöglicht zum einen Spiralrekon struktion mit erheblich größerem Pitch als bekannte Verfahren und zum anderen eine Verbesserung der z-Schärfe bei verschach telten Abtastmustern.

Claims

Verfahren für die Bildrekonstruktion für einen Mehrzeilende tektor-Computertomographen im Spiralbetrieb zur Ermöglichung eines größeren Pitch (auf die Schichtbreite bezogener z-Vor schub pro Vollumlauf) durch Erzeugung komplementärer Fächer p(n, m, q, c = -1) aus den gemessenen direkten Strahlenfächern p(n, m, q, c = 1) und anschließende gefaltete Fächer-Rückprojek tion unter Einbeziehung sowohl der direkten wie auch der kom plementären Strahlenfächer, wobei im einzelnen wie folgt vorzugehen ist:
Für jeden Projektionswinkel 0α_n₀<2π Gewinnung sämtlicher komplementären Strahlen p(n, m, q, c = -1) durch Berechnung der Indizes ñ, , der ihnen entsprechenden direkten Strahlen gemäß = -β, + = α + β + π und = q (die Indizes ñ und sind i.a. zunächst nicht-ganzzahlig) und anschließende Inter polation zwischen den benachbarten Strahlen mit jeweils ganz zahligen n und m, schließlich Umsortierung aller komplemen tären Strahlen in die sog. komplementären Fächer (Zusammen fassung der komplementären Strahlen mit gleichem α aber ver schiedenem β und q), ferner Bestimmung der z-Fokuspositionen bei den direkten und der z-Positionen des virtuellen Fokus bei den komplementären Projektionen sowie der Neigungswinkel τ der Strahlen gegen eine zur z-Achse senkrechte Ebene, sodann Gewichtung und Faltung sowohl der direkten als auch der komplementären Fächer,
weiterhin für jedes Voxel des Rekonstruktionsvolumens zunächst Bestimmung der Position im Fächer gekennzeichnet durch den Index dann Bestimmung der Abstände in z-Richtung aller benachbarten (m ≈ ) Strahlen mit ganzzahligem m vom jeweils betrachteten Voxel V(x, y, z), dabei werden die für die Ermittlung des Rück projektionsbeitrags zum betrachteten Voxel unter diesem Pro jektionswinkel verwendeten Elemente der gefalteten Projektio nen so ausgewählt, daß für jeweils festes m immer die Strah len verwendet werden, die zum betrachteten Voxel den klein sten Abstand in z-Richtung haben, wobei im Unterschied zu bekannten Algorithmen sowohl direkte als auch komplementäre Projektionen für die Rückprojektion verwendet werden; durch Interpolation zwischen den so gefundenen Elementen der gefal teten Projektionen wird schließlich der Rückprojektionsbei trag berechnet.