DE2811576C2 - Übertragungsanordnung mit Umwandlung diskreter Signale in ein diskretes Einseitenband-Frequenzmultiplexsignal und umgekehrt - Google Patents

Description

A. Gebiet der Erfindung

Die Erfindung betrifft eine Übertragungsanordnung nach dem Oberbegriff der Ansprüche 1 und 2.

In einer Frequenzmultiplexanordnung werden mehrere, beispielsweise N, Basisbandsignale derart verarbeitet, daß sie gleichzeitig in einem gegebenen Frequenzband übertragen werden können. Dieses Fre- quenzband wird nachstehend mit FDM-Band bezeichnet. Dieses FDM-Band ist aus einer Anzahl einander nicht überlappender Teilbänder aufgebaut. Durch Modulation wird das Frequenzband eines derartigen Basisbandsignals in ein für das betreffende Basisbandsignal kennzeichnendes Teilband umgesetzt. Die in den aufeinanderfolgenden Teilbändern auftretenden Signale werden mit Kanalsignale bezeichnet. Das im FDM-Band auftretende Signal, das sich aus allen Kanalsignalen zusammensetzt, wird üblicherweise mit FDM-Signal bezeichnet.

Ein bekanntes Modulationsverfahren ist die Amplitudenmodulation. Amplitudenmodulation ist jedoch wenig zweckmäßig, denn dabei werden beide Seitenbänder übertragen. Die erforderliche Bandbreite zum Übertragen eines amplitudenmodulierten Signals ist daher zweimal so groß wie die Bandbreite, die zum Übertragen eines einzigen Seitenbandes erforderlich ist.

Mit dem Ansteigen der Kommunikationsdichte in einem Telekommunikationssystem, d. h. wenn mehr Basisbandsignale übertragen werden müssen, möchte man das verfügbare FDM-Band zweckmäßiger ausnutzen. Aus diesem Grunde wurde immer mehr eine Modulationsweise verwendet, die unter dem Namen Einseitenbandmodulation bekannt ist, wobei, wie der Name bereits angibt, nur ein Seitenband übertragen wird. Durch die Verwendung von Einseitenbandmodulation können im gegebenen FDM-Band zweimal soviel Kanalsignale übertragen werden als mit Zweiseitenband-Amplitudenmodulation. Zwar ist mit Einseitenbandmodulation eine vorteilhafte Übertragungsweise in Termen erforderlicher Bandbreite verwirklicht, aber es soll die Erzeugung des Einseitenband-FDM-Signals möglichst einfach und wirtschaftlich sein, wie es unter den gegebenen Bedingungen möglich ist. Dies gilt insbesondere, wenn viele Basisbandsignale in ein Einseitenband-FDM-Signal umgewandelt werden müssen.

Wird eine Frequenzmultiplexanordnung auf der Sendeseite eines Übertragungssystems benutzt, so muß auf einer Empfangsseite eine Anordnung zum Umwandeln des FDM-Signals in die einzelnen Kanalsignale verwendet werden und müssen diese Kanalsignale wieder in die ursprünglichen Basisbandsignale umgewandelt werden. Eine derartige Anordnung kann mit Frequenzdemultiplexanordnung bezeichnet werden. Auch für diese Anordnung gilt, daß das Umwandeln des FDM-Signals in die ursprünglichen Basisbandsignale möglichst so einfach und wirtschaftlich sein muß, wie es unter den gegebenen Bedingungen möglich ist.

B. Beschreibung des Standes der Technik

Zum Umwandeln von N analogen Basisbandsignalen x[tief]k (t) in ein analoges FDM-Signal y (t) könnte eine Frequenzmultiplexanordnung beispielsweise mit einer Anzahl von Modulationskanälen aufgebaut werden, die je mit einer Einseitenbandmodulationsschaltung versehen sind. Jedes der Basisbandsignale x[tief]k (t) gelangt dabei an einen der Modulationskanäle. Die Einseitenbandkanalsignale, die von diesen Modulationskanälen erzeugt werden, werden zusammengesetzt, wodurch das gewünschte SSB-FDM-Signal erhalten wird. Eine bekannte Einseitenbandmodulationsschaltung zum Verarbeiten analoger Signale ist beispielsweise der unter Referenz 1 (siehe Abschnitt D) beschriebene Weaver-Modulator. In dieser bekannten Einseitenbandmodulationsschaltung werden analoge Filter benutzt. Die rasche Entwicklung in der Technologie der integrierten Schaltungen und die Möglichkeit der Integration großer diskreter Schaltungen hatten zur Folge, daß die Verwendung diskreter Filter vorteilhafter ist als die Verwendung ihrer analogen Gegenstücke. Das Ersetzen analoger Filter durch diskrete Filter hat jedoch zur Folge, daß in derartigen Anordnungen eine unerwünschte Vielzahl von Verarbeitungen je Zeiteinheit durchgeführt werden muß.

Unter den Referenzen 3, 4 und 5 sind digitale Frequenzmultiplexanordnungen beschrieben. Diese Anordnungen sind zum Umwandeln von N digitaler Basisbandsignale {x[tief]k (n)} (k = 1, 2, N; n = 0, +/-1, +/-2, ), deren Komponenten x[tief]k (n) mit einer Abtastfrequenz 1/T auftreten, in ein digitales Basisband-Einseitenband-Frequenzmultiplexsignal {y (n)}, dessen Komponenten y (n) mit einer Abtastfrequenz 1/T[tief]1 auftreten, die größer als oder gleich der Frequenz N/T ist, eingerichtet. Die Signale {x[tief]k (n)} können dabei über je eine gesonderte Leitung der Anordnung zugeführt werden, aber auch in einer TDM-Anordnung (TDM = Zeitmultiplex). Nachstehend wird eine digitale Frequenzmultiplexanordnung mit TDM-FDM-Anordnung bezeichnet. Diese Anordnungen lassen sich in zwei Klassen einteilen: 1. Die erste Klasse enthält diejenigen TDM-FDM-Anordnungen, die mit einer Zahl von Modulationskanälen versehen sind, denen je ein Basisbandsignal {x[tief]k (n)} zugeführt wird. In jedem dieser Modulationskanäle wird eine Modulationsverarbeitung unter Verwendung eines Trägersignals mit einer für den betreffenden Modulationskanal kennzeichnenden Trägerfrequenz sowie eine Einseitenbandmodulationsverarbeitung durchgeführt, wodurch jeder Modulationskanal die einseitenbandmodulierte Form seines Eingangssignals {x[tief]k (n)} liefert, wobei das Frequenzspektrum dieses Einseitenbandsignals in einem für das betreffende Basisbandsignal {x[tief]k (n)} kennzeichnenden und von der erwähnten Trägerfrequenz gekennzeichneten Teilband des Basisband-FDM-Signals liegt. Bei den unter den Referenzen 3, 4 und 5 beschriebenen TDM-FDM-Anordnungen werden die Basisbandsignale {x[tief]k (n)} zunächst einer Eingangsschaltung zugeführt, die mit Mitteln zum selektiven Modulieren dieser Signale {x[tief]k (n)} zum Erzeugen diskreter, selektiv modulierter Basisbandsignale {r[tief]k (n)} versehen ist, deren Komponenten mit einer Abtastfrequenz 1/T[tief]r auftreten. Insbesondere besteht dieses selektive Modulieren darin, daß jedes reelle Basisbandsignal {x[tief]k (n)} in ein komplexes Signal {r[tief]k (n)} umgewandelt wird, wobei

r[tief]k (n) = Re [r[tief]k (n)] + j Im [r[tief]k (n)]

und wobei die Komponenten Re [r[tief]k (n)] und Im [r[tief]k (n)] mit einer Abtastperiode T/2 auftreten. Diese komplexen Signale werden anschließend, gegebenenfalls nach einer weiteren Verarbeitung, einem komplexen Trägersignal mit der für den betreffenden Modulationskanal kennzeichnenden Trägerfrequenz aufmoduliert. Zum Durchführen der erwähnten selektiven Modulation und zum Durchführen der erwähnten Modulation auf das komplexe Trägersignal ist jeder Modulationskanal als digitaler Weaver-Modulator ausgeführt, wobei Digitalmodulatoren sowie Digitalfilter benutzt werden.

Es sei noch bemerkt, daß statt einer Anzahl räumlich voneinander getrennter Modulationskanäle wie in der Referenz 5 eine diesen einzelnen Modulationskanälen gleichwertige Konfiguration benutzt wird, die aus einem einzigen Modulationskanal besteht, der für die verschiedenen Signale {x[tief]k (n)} im Zeitmultiplex betrie- ben wird. Diese Gleichwertigkeit gilt auch für die nachstehende Beschreibung.

2. Die zweite Klasse enthält diejenigen TDM-FDM-Anordnungen, in denen keine Modulationsverarbeitung unter Verwendung eines Trägersignals mit einer für das betreffende Signal {x[tief]k (n)} kennzeichnenden Trägerfrequenz benutzt wird. In den zu dieser Klasse gehörenden TDM-FDM-Anordnungen werden die Eigenschaften eines diskreten Signals ausgenutzt, insbesondere die Eigenschaft, daß ein diskretes Signal ein periodisches Frequenzspektrum aufweist, wobei jede Periode gleich dem Wert der Abtastfrequenz 1/T des Basisbandsignals ist. Eine dieser zweiten Klasse zugehörende Anordnung ist auch bereits unter der Referenz 4 beschrieben. Sie enthält N Signalkanäle, wobei N gleich der Anzahl von Basisbandsignalen ist. Jedem dieser Signalkanäle wird eines der Basisbandsignale zugeführt. Jeder Signalkanal enthält Mittel zum Erhöhen der Abtastfrequenz des Basisbandsignals um den Faktor N auf einen Wert N/T. Durch dieses Erhöhen der Abtastfrequenz wird ein diskretes Signal {t[tief]k (n)} erhalten, dessen Frequenzspektrum 1/T periodisch ist, aber dessen fundamentales Intervall gleich N/T ist (siehe Abschnitt E (1.2)). Jedes Intervall mit der Länge N/T des Frequenzspektrums besteht somit aus 2 N Teilbändern, die je eine Breite von 1/(2 T) aufweisen. Jeder Signalkanal enthält weiterhin ein diskretes Banddurchlaßfilter mit der Bandbreite 1/(2 T). Die Durchlaßbänder der in die aufeinanderfolgenden Signalkanäle aufgenommenen Banddurchlaßfilter fallen mit den aufeinanderfolgenden Teilbändern der ersten N Teilbänder der des Frequenzspektrums des diskreten Signals {t[tief]k (n)} zusammen. Die Ausgangssignale {u[tief]k (n)} der aufeinanderfolgenden Banddurchlaßfilter stellen also die gewünschten Kanalsignale des Basisband-FDM-Signals dar.

Auch im Eingangskreis dieser bekannten Anordnung wird eine selektive Modulation der Signale {x[tief]k (n)} durchgeführt, die darauf hinausläuft, daß entweder die Komponenten der Signale {x[tief]k (n)} mit geradzahliger Rangnummer k oder die Komponenten mit ungeradzahliger Rangnummer k mit dem Faktor (-1)[hoch]n multipliziert werden. Das Ergebnis dieser Multiplikation ist im Abschnitt E (1.3) beschrieben.

C. Beschreibung der Erfindung

Die Erfindung betrifft eine der Klasse 2 angehörende TDM-FDM-Anordnung zum Umwandeln von N diskreter Basisbandsignale {x[tief]k (n)} (k = 1, 2, 3, N; n = 0, +/-1, +/-2, ), deren Komponenten x[tief]k (n) mit einer Abtastfrequenz 1/T auftreten, die je ein Frequenzspektrum x[tief]k (kleines Omega) aufweisen, in ein diskretes Basisband-Einseitenband-Frequenzmultiplexsignal {y (n)}, dessen Komponenten y (n) mit einer Abtastfrequenz 1/T[tief]y auftreten, die mindestens gleich N/T ist, und das ein Frequenzspektrum Y (kleines Omega) aufweist, wobei

Y [kleines Omega[tief]1 + kleines Omega[tief]0 + (k - 1) kleines Pi/T] = X[tief]k (kleines Omega[tief]0) x großes Psi[tief]k (kleines Omega[tief]0).

Aufgabe der Erfindung ist es, der vorstehend beschriebenen Klasse 2 zugehörende Anordnungen der eingangs genannten Art anzugeben, die einfacher aufgebaut und leicht verschiedenen Anforderungen anpaßbar sind.

Diese Aufgabe wird durch die im kennzeichnenden Teil des Patentanspruchs 1 oder des Patentanspruchs 2 angegebenen Merkmale gelöst, wobei beiden Lösungen das gleiche Prinzip zugrunde liegt, insbesondere eine Transformationsmatrix mit speziellen Eigenschaften zu verwenden.

Zum Erhalten einer TDM-FDM-Anordnung hoher Güte, bei der hier insbesondere das Maß der Unterdrückung des Übersprechens verstanden sei, müssen beim beschriebenen Stand der Technik besonders komplizierte diskrete Filter benutzt werden.

Mit Hilfe beispielsweise der durch die im Patentanspruch 1 unter I.A.ii. angegebene Gleichung gegebenen Vorschrift und durch die Verwendung der übrigen erfindungsgemäßen Maßnahmen ist es möglich, für jede Art von Basisbandsignal, beispielsweise für ein Sprechsignal oder ein Signalisierungssignal, eine optimale Komplexitätsverteilung über die Transformationsanordnung und die diskreten Filtermittel zu verwirklichen. Insbesondere kann für bestimmte Anwendungen, wie beispielsweise zum Umwandeln von N Signalisierungssignalen in ein FDM-Format sogar eine besonders einfache Formationsanordnung und einfache diskrete Filtermittel verwirklicht werden. Ist a[tief]mk = kleines Alpha[tief]mk + j kleines Beta[tief]mk, so können die Werte der Konstanten kleines Alpha[tief]mk und kleines Beta[tief]mk beispielsweise durch die Zahlenmenge (0, +1, -1) gegeben werden.

Es sei bemerkt, daß in den Referenzen 6 bis 10 TDM-FDM-Anordnungen sowie FDM-TDM-Anordnungen beschrieben worden sind, die als Sonderausführungsformen der erfindungsgemäßen allgemeinen Anordnung betrachtet werden müssen. In diesen speziellen Ausführungsformen wird eine Transformationsanordnung in Form eines DFT (Discrete Fourier Transformer = diskreter Fourier-Transformator) benutzt, wodurch die Matrixelemente a[tief]mk gleich

exp [-2 kleines Pi j (m - 1) (k - 1)/N]

sind, worin N wiederum die Anzahl von Basisbandsignalen {x[tief]k (n)} darstellt. Die zum Beispiel im Patentanspruch 1 unter I.A.ii. definierte Vorschrift ist in diesen Literaturstellen nicht erwähnt und läßt sich daraus auch nicht ableiten. Auch ist an diesen Literaturstellen nicht angegeben, daß auch andere Werte der Matrixelemente benutzt werden können, und es wird auch nicht dazu angeregt. Die in nachstehenden Abschnitten zu beschreibenden Vereinfachungen der TDM-FDM-Anordnung sowie die erfindungsgemäße FDM-TDM-Anordnung sind in diesen Literaturstellen nicht erwähnt.

Mit der erfindungsgemäßen TDM-FDM-Anordnung haben die unter den Referenzen 6 bis 10 beschriebenen TDM-FDM-Anordnungen gemeinsam, daß die Basisbandsignale {x[tief]k (n)} nicht einzeln verarbeitet werden, wie in der der Klasse 2 zugehörenden und unter der Referenz 4 beschriebenen TDM-FDM-Anordnung, sondern daß sie in einer Transformationsanordnung gegenseitig gemischt werden.

Es sei noch bemerkt, daß unter einem diskreten Signal ein Signal verstanden sei, das ausschließlich zu diskreten Zeitpunkten (siehe Referenz 2) definiert ist. Diese Signale lassen sich in zwei Gruppen einteilen:

1. Digitale Signale. Diese Signale sind amplitudendiskret. Derartige Signale stehen in Form einer Zahlenreihe zur Verfügung, wobei diese Zahlen je mit einer gegebenen Anzahl von Bits dargestellt werden.

2. "Sampled data"-Signale. Diese Signale sind nicht amplitudendiskret. Zum Speichern derartiger Signale werden beispielsweise "charge coupled devices" (CCD) benutzt.

Anordnungen, die sich zum Verarbeiten digitaler Signale eignen, werden Digitalanordnungen genannt, während Anordnungen, die sich zum Verarbeiten von "sampled data"-Signalen eignen, auf entsprechende Weise mit "sampled data"-Anordnungen bezeichnet werden.

Nachstehende Beschreibung bezieht sich sowohl auf eine digitale als auch auf eine "sampled data"-Anordnung, und die Erfindung wird nachstehend an Hand einer digitalen TDM-FDM-Anordnung und einer digitalen FDM-TDM-Anordnung beschrieben.

D. Referenzen

1. A third method of generation an detection of single-sideband signals; D. K. Weaver; Proceedings of the IRE, Dezember 1956, S. 1703 1705.

2. Terminology in digital signal processings; L. R. Rabiner c. s.; IEEE transactions on audio an electroacoustics, Vol. AU-20, Nr. 5, Dezember 1972, S. 322 337.

3. On digital single-sideband modulators; S. Darlington; IEEE transactions on circuit theory; Vol. CT-17, Nr. 3, August 1970, S. 409 414.

4. Design of digital filters for an all digital frequency-division multiplex time-division multiplex translator; S. L. Freeny c. s.; IEEE transactions on circuit theory, Vol. CT-18, Nr. 6, November 1971, S. 702 710.

5. SBB/FDM utilizing TDM digital filters; C. F. Kurth; IEEE transactions on communication technology, Vol. COM-19, Nr. 1, Februar 1971, S. 63 71.

6. TDM-FDM transmultiplexer; digital polyphase and FFT; M. G. Bellanger, J. L. Daguet; IEEE transactions on communications, Vol. Com-22, Nr. 9, September 1974, S. 1199 1205.

7. Einseitenbandsystem für die digitale Verarbeitung einer gegebenen Anzahl von Kanalsignalen; DE-OS 23 29 337.

8. Système pour la conversion numérique de signaux de canaux en un signal multiplex à répartition en fréquence et inversement; französische Patentanmeldung 73 42 527.

9. A digital block-processor for SSB-FDM modulation and demodulation; P. M. Terrell, P. J. W. Rayner; IEEE transactions on communications, Vol. COM-23, Nr. 2, Februar 1975, S. 282 286.

10. Anordnung zum Verarbeiten von Hilfssignalen in einem Frequenzmultiplexübertragungssystem; DE-OS 26 26 122.

11. Digital Signal Processing; A. V. Oppenheim, R. W. Schafer; Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, New Jersey 1975.

12. A digital signal processing approach to interpolation; R. W. Schafer, L. R. Rabiner; Proceedings of the IEEE, Vol. 61, Nr. 6, Juni 1973, S. 692 702.

13. Digital Signal Processing; B. Gold, C. M. Rader; McGraw Hill Book Company, 1969.

14. Theory and Application of Digital Signal Processing; L. R. Rabiner, B. Gold; Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, New Jersey 1975.

15. Digitales Filter; DE-OS 24 03 233.

16. Interpolierendes Digitalfilter; DE-OS 25 40 176.

17. Interpolierendes nicht rekursives Digitalfilter; DE-OS 26 22 561.

18. System zur Übertragung analoger Signale mit Hilfe von Impulskodemodulation; DE-OS 20 38 348.

E. Beschreibung der Ausführungsbeispiele

Es zeigt

Fig. 1 die Veranschaulichung eines digitalen Signals;

Fig. 2 symbolisch das Frequenzspektrum eines digitalen Signals;

Fig. 3 das Symbol für eine Anordnung zur Erhöhung der Abtastfrequenz (SRI-Element);

Fig. 4 und 5 Diagramme zur Erläuterung der Wirkungsweise des SRI-Elements;

Fig. 6 das Symbol einer Anordnung zum Herabsetzen der Abtastfrequenz (SRR-Element) und die Fig. 7, 8, 9 und 10 einige Diagramme zur Erläuterung der Wirkung des SRR-Elements;

Fig. 11 das Symbol eines Austauschmodulators;

Fig. 11a ein Ausführungsbeispiel eines Austauschmodulators;

Fig. 12, 13, 14 und 15 einige Diagramme zur Erläuterung der Wirkungsweise des Austauschmodulators;

Fig. 16 das Symbol für einen komplexen Modulator und

Fig. 17 ein Ausführungsbeispiel eines derartigen Modulators;

Fig. 18a, 18b und 18c einige Frequenzspektren der vom komplexen Modulator gelieferten Signale;

Fig. 19 das Frequenzspektrum eines reellen Eingangssignals der TDM-FDM-Anordnung;

Fig. 20a und 20b zwei mögliche Frequenzspektren des reellen SSB-FDM-Signals;

Fig. 21 das Basisschema der erfindungsgemäßen TDM-FDM-Anordnung;

Fig. 22 die Frequenzspektren einiger Eingangssignale der Transformationsanordnung in der erfindungsgemäßen TDM-FDM-Anordnung;

Fig. 23 ein Ausführungsbeispiel eines Zweipunkttransformators für reelle Eingangssignale und komplexe Multiplikationsfaktoren und

Fig. 25 das Symbol eines derartigen Transformators;

Fig. 24 ein Ausführungsbeispiel eines Zweipunkttransformators für komplexe Eingangssignale und komplexe Multiplikationsfaktoren, und

Fig. 26 das Symbol eines derartigen Transformators;

Fig. 27 eine schnelle Achtpunkttransformationsanordnung für die Verwendung in der in Fig. 21 dargestellten TDM-FDM-Anordnung;

Fig. 28 den allgemeinen Aufbau eines Signalkanals der Anordnung nach Fig. 21 und

Fig. 28a, 28b und 28c vereinfachte Ausführungsformen des Signalkanals nach Fig. 28;

Fig. 29 und 30 vereinfachte Ausführungsformen der in Fig. 21 dargestellten TDM-FDM-Anordnung;

Fig. 31 eine einzige Schaltungskonfiguration, die für den Aufbau der Signalkanäle in der Anordnung nach Fig. 30 benutzt wird;

Fig. 32, 33, 35 und 38 und 40 einige Vereinfachungen der in Fig. 31 dargestellten Schaltungskonfiguration bei der gegebenen Transformationsmatrix;

Fig. 34, 36, 37, 41, 42 und 43 einige Übertragungsfunktionen von Filtermitteln, die in den Schaltungskonfigurationen der Fig. 32, 33, 35, 38 und 40 benutzt werden;

Fig. 39 ein detailliertes Ausführungsbeispiel einer TDM-FDM-Anordnung, wobei der Transformationsanordnung eine HADAMARD-Matrix zugrunde liegt und wobei der Transformationsanordnung reelle Signale zugeführt werden;

Fig. 44 ein Ausführungsbeispiel einer TDM-FDM-Anordnung, bei der der Transformationsanordnung eine komplexe Matrix zugrunde liegt und komplexe Signale zugeführt werden;

Fig. 45 und 46 einige Übertragungsfunktionen in der Anordnung nach Fig. 44 benutzter digitaler Filter;

Fig. 47 ein Ausführungsbeispiel einer FDM-TDM-Anordnung.

E (1) Einleitung

E (1.1) Digitale Signale und ihre Spektren

Wie bereits bemerkt wurde, ist ein digitales Signal ein Signal, das sowohl zeitdiskret als auch amplitudendiskret ist. Ein derartiges Signal entsteht beispielsweise durch Abtasten eines analogen Signals b (t) zu Zeitpunkten n x T[tief]b, wobei n = 0, +/-1, +/-2, , und wobei T[tief]b die Abtastperiode darstellt. Die auf diese Weise erhaltenen Werte des Signals b (t) werden quantisiert und gegebenenfalls in eine Mehrbitdigitalzahl umgewandelt. Der n. Wert des analogen Signals b (t) kann mit b (n) dargestellt werden und wird nachstehend Komponente genannt. Das digitale Signal kann jetzt formal durch die Reihe {b (n)} dargestellt werden.

Digitale Signale und im allgemeinen diskrete Signale werden gewöhnlich auf die in Fig. 1 dargestellte Weise graphisch dargestellt (siehe auch Referenz 11). Obgleich die Abszisse als eine durchgehende Linie dargestellt ist, sei bemerkt, daß b (n) ausschließlich für ganzzahlige Werte von n definiert ist. Es ist nicht so, daß b (n) gleich Null ist für alle Werte von n, die nicht ganzzahlig sind, sondern b (n) ist für nicht ganzzahlige Werte von n gar nicht definiert.

Das Frequenzspektrum dieses diskreten Signals b (n) wird durch folgende Beziehung gegeben

(4)

Nach (4) ist das Frequenzspektrum B (kleines Omega) periodisch und seine Periode gleich 2 kleines Pi/T[tief]b, so daß also:

= B (kleines Omega) mit kleines Alpha ganzzahlig. (5)

Wenn b (n) ein reelles Signal darstellt, folgt aus (4) weiterhin, daß:

B* (kleines Omega) = B (2 kleines Pi/T[tief]b - kleines Omega). (6)

In (6) stellt B* (kleines Omega) den konjugiert komplexen Wert von B (kleines Omega) dar.

Mit Hilfe der inversen Transformation kann das digitale Signal {b (n)} aus seinem Frequenzspektrum B (kleines Omega) erhalten werden. Diese inverse Transformation wird mathematisch durch folgende Beziehung gegeben:

(7)

Da B (kleines Omega) eine periodische Funktion in kleines Omega (siehe (5)) ist, darf als Integrationsintervall jedes beliebige Intervall mit der Länge 2 kleines Pi/T[tief]b genommen werden. Auf dieser Basis kann für die Beschreibung des Frequenzspektrums eines digitalen Signals die Beschreibung eines Intervalls dieses Frequenzspektrums mit der Länge 2 kleines Pi/T[tief]b genügen. Dieses Intervall wird mit großes Omega[tief]B bezeichnet und das fundamentale Intervall genannt. Nachstehend wird das Frequenzspektrum eines digitalen Signals im fundamentalen Intervall 0 </= kleines Omega < großes Omega[tief]B beschrieben. In Fig. 2 ist schematisch das Frequenzspektrum des in Fig. 1 dargestellten digitalen Signals {b (n)} angegeben.

E (1.2) Änderung der Abtastfrequenz

In den zu beschreibenden Anordnungen werden Elemente benutzt, die dazu dienen, die Abtastfrequenz, die dem diesem Element zugeführten digitalen Signal zugeordnet ist, zu erhöhen oder herabzusetzen. Ein Element, das zum Erhöhen der Abtastfrequenz benutzt wird, wird mit dem in Fig. 3 dargestellten Symbol angegeben und mit SRI-Element bezeichnet (SRI = Sample Rate Increase = Abtastfrequenzerhöhung). Im Symbol nach Fig. 3 ist q der Erhöhungsfaktor und eine ganze Zahl. Ist insbesondere die Abtastfrequenz, die dem digitalen Eingangssignal dieses SRI-Elements zugeordnet ist, gleich 1/T, so ist die Abtastfrequenz, die seinem digitalen Ausgangssignal zugeordnet ist, gleich q/T. Die Wirkung eines derartigen SRI-Elements ist wie folgt: Zwischen jeweils zwei aufeinanderfolgenden Komponenten des digitalen Eingangssignals werden q - 1 Komponenten mit dem Amplitudenwert gleich Null eingefügt. Wird insbesondere dem SRI-Element nach Fig. 3 das in Fig. 1 dargestellte digitale Signal {b (n)} zugeführt, so bekommt man ein digitales Ausgangssignal {d (n)}, das im Fall q = 3 die Form nach Fig. 4 hat. Die Wirkung dieses SRI-Elements kann mit Hilfe nachstehender Ausdrücke mathematisch beschrieben werden:

d (n) = b (n/q) für n = 0, +/-q, +/-2q, (8)

= 0 für alle anderen Werte von n.

Weil die Abtastfrequenz, mit der die Komponenten d (n) auftreten, gleich q/T[tief]b ist, ist das fundamentale Intervall des Frequenzspektrums D (kleines Omega) des Signals {d (n)} gleich:

großes Omega[tief]D = 2 kleines Pi q/T[tief]b = q x großes Omega[tief]B. (9)

Durch Substitution des Ausdrucks (8) in (4) folgt:

D (kleines Omega) = B (kleines Omega). (10)

Da großes Omega[tief]D = q großes Omega[tief]B, umfaßt also das fundamentale Intervall des Frequenzspektrums D (kleines Omega), q fundamentale Intervalle des Frequenzspektrums B (kleines Omega). In Fig. 5 ist dies schematisch für q = 3 dargestellt.

Ein Element, das zum Herabsetzen der Abtastfrequenz benutzt wird, wird mit dem in Fig. 6 dargestellten Symbol angegeben und mit SRR-Element bezeichnet (SRR = Sample Rate Reduction = Abtastfrequenzherabsetzung). Im Symbol der Fig. 6 stellt q den Herabsetzungsfaktor dar und ist eine ganze Zahl. Ist insbeson- dere die Abtastfrequenz, die dem digitalen Eingangssignal dieses SRR-Elements zugeordnet ist, gleich 1/T, so ist die Abtastfrequenz, die seinem digitalen Ausgangssignal zugeordnet ist, gleich 1/qT. Die Wirkung eines derartigen SRR-Elements ist wie folgt: Aus der Reihe von Abtastwerten des digitalen Eingangssignals des SRR-Elements wird jeweils eines von je q Abtastwerte dem Ausgang zugeführt. Wird das digitale Eingangssignal des SRR-Elements durch das in Fig. 7 dargestellte Signal {c (n)} gebildet, so erhält man an seinem Ausgang ein digitales Signal {e (n)}, das im Fall q = 3 die Form nach Fig. 8 hat. Die Wirkung dieses SRR-Elements kann mathematisch mit Hilfe folgenden Ausdrucks beschrieben werden:

e (n) = c (nq). (11)

Ist nunmehr die Reihe {c (n)} eine Abtastfrequenz 1/T[tief]c und der Reihe {e (n)} eine Abtastfrequenz 1/T[tief]e zugeordnet, so gilt T[tief]e = q T[tief]c. Das fundamentale Intervall des Frequenzspektrums C (kleines Omega) von {c (n)} ist jetzt gleich

großes Omega[tief]C = 2 kleines Pi/T[tief]c,

und das fundamentale Intervall des Frequenzspektrums E (kleines Omega) von {e (n)} ist gleich

großes Omega[tief]E = 2 kleines Pi/T[tief]e = 2 kleines Pi/q T[tief]c,

so daß

großes Omega[tief]E = 1/q großes Omega[tief]C.

Durch die Substitution des Ausdrucks (11) in den Ausdruck (4) kann nachgewiesen werden, daß sich der Zusammenhang zwischen E (kleines Omega) und C (kleines Omega) mathematisch mit Hilfe folgenden Ausdrucks beschreiben läßt:

(12)

Obiges ist in den Fig. 9 und 10 schematisch dargestellt.

Das in Fig. 3 symbolisch dargestellte SRI-Element und das in Fig. 6 symbolisch dargestellte SRR-Element treten in den praktischen Ausführungsformen der zu beschreibenden Anordnungen nicht als konkrete Schaltungen auf, sondern sind dabei kombiniert mit anderen Elementen. Diese SRI- und SRR-Elemente sind als Rechenelemente zu betrachten, die ausschließlich zur Vereinfachung der Beschreibung der Wirkungsweise der verschiedenen Ausführungsformen und für ein besseres Verständnis davon verwendet werden. Aus diesen Gründen wird daher keine praktische Schaltung dieser Elemente angegeben.

E (1.3) Änderung der Lage der Frequenzbänder

In den zu beschreibenden Anordnungen wird auch ein Element benutzt, das dazu dient, im Frequenzspektrum des diesem Element zugeführten digitalen Signals das obere und untere Seitenband bezüglich der Lage zueinander zu vertauschen. Dieses Element wird mit dem in Fig. 11 angegebenen Symbol dargestellt und mit Austauschmodulator bezeichnet. Die Wirkung dieses Austauschmodulators ist wie folgt: Von den Komponenten f (n) des digitalen Eingangssignals des Modulators wird jeweils eine von zwei Komponenten mit dem Faktor -1 multipliziert. Werden insbesondere die in Fig. 12 dargestellten Komponenten f (n) diesem Modulator zugeführt, so werden die in Fig. 13 dargestellten Ausgangskomponenten g (n) erhalten. Die Wirkungsweise dieses Austauschmodulators läßt sich mit Hilfe nachstehenden Ausdrucks mathematisch beschreiben:

g (n) = (-1)[hoch]n f (n). (13)

Durch die Substitution des Ausdrucks (13) in (4) kann nachgewiesen werden, daß der Zusammenhang zwischen dem Frequenzspektrum F (kleines Omega) von {f (n)} und dem Frequenzspektrum G (kleines Omega) von {g (n)} mit Hilfe nachstehenden Ausdrucks mathematisch beschrieben werden kann:

G (kleines Omega) = F [kleines Omega - (2i - 1) kleines Pi/T[tief]f], (14)

worin 1/T[tief]f die Abtastfrequenz darstellt, die sowohl der Reihe {f (n)} als auch der Reihe {g (n)} zugeordnet ist. Dies ist in den Fig. 14 und 15 schematisch dargestellt.

Eine mögliche Ausführungsform eines derartigen Austauschmodulators ist in Fig. 11a dargestellt. Sie enthält zwei UND-Gatter 11(1) und 11(2), ein ODER-Gatter 11(3), eine Multiplizieranordnung 11(4) und einen Modulo-2-Zähler 11(5), dem Taktimpulse zugeführt werden, die aus einem Taktimpulsgenerator 11(6) herrühren. Diese Elemente sind auf die in der Figur angegebene Weise miteinander verbunden. Insbesondere werden die mit einem Zwischenraum T[tief]f nacheinander auftretenden Komponenten f (n) beiden UND-Gattern zugeführt, ist weiterhin die Taktimpulsdauer der erwähnten Taktimpulse ebenfalls gleich T[tief]f und ist an den Modulo-2-Zähler 11(5) ein Dekodierungsnetzwerk 11(7) mit zwei Ausgängen angeschlossen. Jeweils beim ersten zweier aufeinanderfolgender Taktimpulse wird das UND-Gatter 11(1) freigegeben und das UND-Gatter 11(2) gesperrt, und beim Auftreten des zweiten Taktimpulses wird das UND-Gatter 11(1) gesperrt und das UND-Gatter 11(2) freigegeben. Die vom UND-Gatter 11(2) gelieferten Ausgangskomponenten f (n) werden in der Multiplizieranordnung 11(4) mit dem Faktor -1 multipliziert.

E (1.4) Der komplexe Modulator

Außer dem erwähnten Austauschmodulator kann in den zu beschreibenden Anordnungen auch ein Element benutzt werden, das dazu dient, ein reelles digitales Signal in ein komplexes digitales Signal umzuwandeln. Dieses Element kann mit dem in Fig. 16 angegebenen Symbol dargestellt werden und wird komplexer Modulator genannt. Die Wirkung dieses komplexen Modulators ist wie folgt. Die mit einer Impulsdauer T[tief]f auftretenden Komponenten f (n) des digitalen Eingangssignals dieses Modulators werden mit dem Faktor e[hoch]j kleines Omega[tief]1 nT[tief]f multipliziert, wodurch das komplexe digitale Ausgangssignal

p (n) = f (n) cos (kleines Omega[tief]1 nT[tief]f) + j f (n) sin (kleines Omega[tief]1 nT[tief]f) entsteht. Dieses komplexe Signal enthält einen reellen Teil Re [p (n)] und einen imaginären Teil Im [p (n)] wobei:

Re [p (n)] = f (n) cos (kleines Omega[tief]1 nT[tief]f),

Im [p (n)] = f (n) sin (kleines Omega[tief]1 nT[tief]f).

In einer praktischen Ausführungsform eines derartigen Modulators treten die Komponenten Re [p (n)] und Im [p (n)] an getrennten Ausgängen des Modulators auf. Eine praktische Ausführungsform eines derartigen Modulators wird beispielsweise durch den in Fig. 17 dargestellten Teil eines digitalen Weaver-Modulators gebildet (siehe Referenzen 3, 4 und 5), der keiner weiteren Erörterung bedarf. In Fig. 18a sind der Vollständigkeit halber symbolisch einige Perioden des Frequenzspektrums P (kleines Omega) des komplexen digitalen Signals {p (n)} dargestellt, wenn diesem komplexen Modulator das digitale Signal {f (n)} mit dem in Fig. 14 dargestellten Frequenzspektrum zugeführt wird. Dieses Frequenzspektrum wird durch nachstehenden Ausdruck mathematisch wiedergegeben:

P (kleines Omega) = F (kleines Omega - kleines Omega[tief]1). (15)

Von den in der Anordnung nach Fig. 17 auftretenden Signalen Re [p (n)] und Im [p (n)] sind die zugeordneten Frequenzspektren P[hoch](1) (kleines Omega) und P[hoch](2) (kleines Omega) in den Fig. 18b bzw. 18c dargestellt. Diese Frequenzspektren können mathematisch wie folgt dargestellt werden:

P[hoch](1) (kleines Omega) = 1/2 F (kleines Omega - kleines Omega[tief]1) + 1/2 F (kleines Omega + kleines Omega[tief]1),

(16)

P[hoch](2) (kleines Omega) = 1/2j F (kleines Omega - kleines Omega[tief]1) - 1/2j F (kleines Omega + kleines Omega[tief]1).

E (2) Die TDM-FDM-Anordnung

E (2.1) Einleitung

Es ist die Aufgabe der digitalen TDM-FDM-Anordnung N reelle Basisbandsignale {x[tief]k (n)} mit k = 1, 2, 3, N in ein reelles digitales Basisband-Einseitenband-Frequenzmultiplexsignal {y (n)} umzusetzen. Dabei wird die mit jedem der N Signale {x[tief]k (n)} verknüpfte Abtastperiode gleich T angenommen. Das Frequenzspektrum X[tief]k (kleines Omega) von {x[tief]k (n)} ist in Fig. 19 schematisch dargestellt und hat ein fundamentales Intervall

großes Omega[tief]x = 2 kleines Pi/T. Weil {x[tief]k (n)} ein reelles Signal ist, entspricht X[tief]k (kleines Omega) der Beziehung:

X[tief]k (2 kleines Pi/T - kleines Omega[tief]0) = X*[tief]k (kleines Omega[tief]0) für 0 </= kleines Omega[tief]0 < kleines Pi/T.

(17)

Es wird beim gewünschten reellen Signal {y (n)} angenommen, daß die Komponenten y (n) mit einer Abtastfrequenz 1/T[tief]y auftreten, die ein ganzzahliges Vielfaches von 1/T ist. Angenommen sei also T[tief]y = T/M, worin M >/= N und M eine ganze Zahl ist. Das fundamentale Intervall großes Omega[tief]y des Frequenzspektrums dieses FDM-Signals ist also gleich

großes Omega[tief]y = 2 kleines Pi M/T = M großes Omega[tief]x.

Weil {y (n)} ein reelles Signal sein soll, muß das Frequenzspektrum Y (kleines Omega) dieses FDM-Signals der Beziehung

Y (kleines Omega) = Y* (2 kleines Pi M/T - kleines Omega)

entsprechen. Dieses Frequenzspektrum muß daher in der Allgemeinheit diejenige Form haben, die für N = 4 und M = 5 schematisch in Fig. 20a dargestellt ist. Dabei liegt jedes der Kanalsignale in einem Teilband F[tief]k mit der Länge kleines Pi/T, wobei k = 1, 2, 3, N und wofür gilt, daß

kleines Omega[tief]1 + (k - 1) x kleines Pi/T </= kleines Omega < kleines Omega[tief]1 + k x kleines Pi/T.

Nachstehend sei angenommen, daß

0 </= kleines Omega[tief]1 < kleines Pi/T.

Weil Y (kleines Omega) das Frequenzspektrum eines FDM-Signals darstellen muß, das aus N Basisbandsignalen {x (n)} aufgebaut ist, muß folgendes gelten:

Y [kleines Omega[tief]1 + kleines Omega[tief]0 + (k - 1) kleines Pi/T] = X[tief]k (kleines Omega[tief]0) (18a)

und daß

Y [2 kleines Pi/T[tief]y - {kleines Omega[tief]1 + kleines Omega[tief]0 + (k - 1) kleines Pi/T}]

= Y* [kleines Omega[tief]1 + kleines Omega[tief]0 + (k - 1) kleines Pi/T] (18b)

= X*[tief]k (kleines Omega[tief]0) = X[tief]k (2 kleines Pi/T - kleines Omega[tief]0).

Es sei bemerkt, daß für kleines Omega[tief]1 = 0 der Wert von M gleich N genommen werden kann, also M = N, so daß das Frequenzspektrum Y (kleines Omega) die Form annimmt, die in Fig. 20b dargestellt ist.

E (2.2) Allgemeiner Aufbau der TDM-FDM-Anordnung

In Fig. 21 ist der schematische Aufbau einer digitalen TDM-FDM-Anordnung zum Umwandeln von N reellen digitalen Basisbandsignalen {x[tief]k (n)}, (k = 1, 2, 3, N; n = 0, +/-1, +/-2, +/-3, ) angegeben, deren Komponenten x[tief]k (n) mit einer Periode T in einem reellen digitalen Basisband-Einseitenband-Frequenzmultiplexsignal {y (n)} auftreten, dessen Komponente y (n) mit einer Periode T[tief]y = T/M auftreten. Diese Anordnung enthält eine Eingangsschaltung in Form von N Eingangskanälen 1(1), 1(2), 1(3), 1(N). Jedem dieser Eingangskanäle wird ein digitales Basisbandsignal {x[tief]k (n)} zugeführt. Die Frequenzspektren dieser Signale folgen aus (4), und diese Spektren sind in Fig. 19 dargestellt. Zur Verwirklichung des in Fig. 20a für N = 4 dargestellten Frequenzspektrums des FDM-Signals ist in jeden der Eingangskanäle ein komplexer Modulator 1(1,1), 1(1,2), 1(1,N) aufgenommen und enthalten die Eingangskanäle mit geradzahliger Rangnummer einen Austauschmodulator 2(1); 2(2); 2(3); 2(N/2). Diese Ein- gangskanäle sind weiterhin an Eingänge einer Transformationsanordnung 3 angeschlossen. Die über die Eingangskanäle dieser Transformationsanordnung 3 zugeführten digitalen Signale werden mit {r[tief]k (n)} bezeichnet. Der Zusammenhang zwischen den Komponenten r[tief]k (n) und x[tief]k (n) kann mit Hilfe nachstehender Ausdrücke mathematisch beschrieben werden:

r[tief]k (n) = x[tief]k (n) e[hoch]j kleines Omega[tief]1 nT für k ungeradzahlig,

r[tief]k (n) = (-1)[hoch]n x[tief]k (n) e[hoch]j kleines Omega[tief]1 nT für k geradzahlig.

Das Frequenzspektrum R[tief]k (kleines Omega) des digitalen Signals {r[tief]k (n)} kann aus (14) und (15) sowie aus den Fig. 14, 15 und 18a hergeleitet werden und wird durch folgende Formel wiedergegeben:

R[tief]k (kleines Omega) = X[tief]k [kleines Omega - kleines Omega[tief]1 - (k - 1) x kleines Pi/T]. (20)

Für k ungeradzahlig, d.h. für die Eingangssignale mit ungeradzahliger Rangnummer gilt, daß k - 1 eine gerade Zahl ist, so daß

R[tief]k (kleines Omega) = X[tief]k (kleines Omega - kleines Omega[tief]1) für k = ungeradzahlig.

Wenn k geradzahlig ist, d.h. für die Eingangssignale mit geradzahliger Rangnummer gilt, daß k - 1 eine ungerade Zahl ist, so daß

R[tief]k (kleines Omega) = X[tief]k [kleines Omega - kleines Omega[tief]1 - (k - 1) x kleines Pi/T] für k geradzahlig

= X[tief]k [kleines Omega - kleines Omega[tief]1 - kleines Pi/T].

Das von (20) definierte Spektrum ist in Fig. 22 dargestellt.

Die Transformationsanordnung 3 liefert N digitale Signale {s[tief]m (n)} mit m = 1, 2, 3, N, deren Komponenten s[tief]m (n) mit einer Periode T auftreten. Diese digitalen Signale {s[tief]m (n)} werden je einem Signalkanal 4(1), 4(2), 4(N) zugeführt. Die Verarbeitung, die von der Transformationsanordnung 3 an den Komponenten r[tief]k (n) durchgeführt wird, kann mit Hilfe nachstehenden Ausdrucks mathematisch beschrieben werden:

(21)

m = 1, 2, 3, N.

In diesem Ausdruck stellt a[tief]mk einen Multiplikationsfaktor mit konstantem Wert dar. Dieser Multiplikationsfaktor kann eine reelle, aber auch eine komplexe Zahl sein. Wird allgemein angenommen, daß a[tief]mk eine komplexe Zahl ist und daher durch folgendes wiedergegeben wird:

a[tief]mk = kleines Alpha[tief]mk + j kleines Beta[tief]mk, (22)

so stellt s[tief]m (n) ebenfalls eine komplexe Zahl dar.

Der allgemeine Aufbau der Transformationsanordnung 3 sowie der Signalkanäle 4 (m) ist in den Abschnitten E (2.4) und E (2.5) näher beschrieben. Für den Augenblick sei angenommen, daß die komplexen Signale {s[tief]m (n)} in einer für weitere Verarbeitung geeigneten Form zur Verfügung stehen.

Aus (21) geht hervor, daß jede Komponente s[tief]m (n) durch eine lineare Kombination von Komponenten r[tief]k (n) gebildet wird. Infolge des linearen Charakters von (21) gilt, daß das Frequenzspektrum S[tief]m (kleines Omega) von {s[tief]m (n)} durch nachstehende Formel wiedergegeben wird:

(23)

Die Signalkanäle 4(1), 4(2), 4(N) sind mit je einer Reihenschaltung eines SRI-Elements 5(1), 5(2), 5(N) und eines Digitalfilters 6(1), 6(2), 6(N) versehen und an Eingänge einer Addieranordnung 7 angeschlossen. In Fig. 21 sind die Komponenten des Ausgangssignals des SRI-Elements 5 (m) mit t[tief]m (n), die des Ausgangssignals des Digitalfilters 6 (m) mit u[tief]m (n) und die des Ausgangssignals der Addieranordnung 7 mit v (n) bezeichnet. Da {v (n)} im allgemeinen ein komplexes digitales Signal darstellt und ausschließlich ein reelles digitales Ausgangssignal y (n) interessiert, das das in Fig. 20a für N = 4 angegebene Frequenzspektrum Y (kleines Omega) besitzt, werden die Komponenten v (n) einer Auswahlanordnung 8 zugeführt, die ausschließlich den reellen Teil der komplexen Komponente v (n) ihrem Ausgang zuführt.

Um einen mathematischen Ausdruck für das Ausgangssignal {y (n)} zu finden, sei bemerkt, daß der Zusammenhang zwischen t[tief]m (n) und s[tief]m (n) durch den Ausdruck (8) angegeben wird. Das Frequenzspektrum T[tief]m (kleines Omega) von {t[tief]m (n)} folgt aus (10) und wird durch folgende Formel wiedergegeben:

T[tief]m (kleines Omega) = S[tief]m (kleines Omega),

großes Omega[tief]T = M großes Omega[tief]s = 2 kleines Pi M/T, (24)

M ganzzahlig und M >/= N.

Das digitale Signal {t[tief]m (n)} wird im Filter 6 (m) gefiltert. Wird nunmehr die Übertragsfunktion des Filters 6 (m) durch H[tief]m (kleines Omega) und das Frequenzspektrum des Signals {u[tief]m (n)} durch U[tief]m (kleines Omega) dargestellt, so gilt:

U[tief]m (kleines Omega) = H[tief]m (kleines Omega) x T[tief]m (kleines Omega), (25)

m = 1, 2, 3, N.

Das komplexe Ausgangssignal {v (n)} dieser TDM-FDM-Anordnung wird jetzt durch Addition der Signale {u[tief]m (n)} erhalten, so daß:

(26)

und somit

(27)

Für das Frequenzspektrum V (kleines Omega) von {v (n)} gilt:

(28)

Weil für (27) geschrieben werden kann:

y (n) = Re [v (n)] = 1/2 [v (n) + v* (n)], (29) worin v* (n) der konjugiert komplexe Wert von v (n) darstellt, und da das Frequenzspektrum von {v (n)} gleich V (kleines Omega) und somit das Frequenzspektrum von v* (n) gleich

V* (2 kleines Pi/T[tief]y - kleines Omega)

ist, gilt:

Y (kleines Omega) = 1/2 [V (kleines Omega) + V* (2 kleines Pi/T[tief]y - kleines Omega)]. (30)

E (2.3) Die FDM-Bedingungen

Um das in Fig. 20a für N = 4 dargestellte Frequenzspektrum Y (kleines Omega) des SSB-FDM-Signals zu erhalten, muß die Übertragungsfunktion H[tief]m (kleines Omega) des Filters 6 (m) einer sehr speziellen Bedingung entsprechen. Diese Bedingung wird "FDM-Bedingung" genannt werden und jetzt näher erläutert.

Aus (25) und (28) folgt:

(31)

Aus (31) und (24) folgt:

(32)

Aus (32) und (23) folgt:

(33)

Aus (33) und (20) folgt:

(34)

oder

(35)

so daß:

(36)

Da großes Omega[tief]y = M großes Omega[tief]x = M 2 kleines Pi/T kann ausgehend von (35) und (36) der Ausdruck (30) in folgender Form geschrieben werden:

(37)

Wie sich leicht feststellen läßt, entspricht Y (kleines Omega), wie es in (37) definiert ist, tatsächlich der Bedingung (6) für ein reelles Ausgangssignal {y (n)}, es folgt nämlich aus (37), daß:

Y (großes Omega[tief]y - kleines Omega) = Y* (kleines Omega).

Es reicht daher aus, festzustellen, welcher Bedingung die Übertragungsfunktion H[tief]m (kleines Omega) in den verschiedenen Teilbändern F[tief]i mit i = 1, 2, 3, N und mit der Bandbreite kleines Pi/T entsprechen muß, um das gewünschte Frequenzspektrum zu erhalten. Es sie dazu angenommen,

kleines Omega = kleines Omega[tief]0 + kleines Omega[tief]1 + (i - 1) kleines Pi/T,

mit

0 </= kleines Omega[tief]0 < kleines Pi/T

und i = 1, 2, 3, N.

Dabei geht (37) in folgende Formel über:

(38)

Entsprechend (18a) muß nachstehendem Ausdruck entsprochen werden:

Y [kleines Omega[tief]0 + kleines Omega[tief]1 + (i - 1) kleines Pi/T] = X[tief]i (kleines Omega[tief]0). (39)

Für die Ausdrücke (38) und (39) lassen sich jetzt zwei Situationen unterscheiden, und zwar:

1. kleines Omega[tief]1 = 0,

2. kleines Omega[tief]1 ungleich 0.

1. Die Situation kleines Omega[tief]1 = 0 bedeutet, daß die in Fig. 21 dargestellte TDM-FDM-Anordnung zum Erzeugen des in Fig. 20b dargestellten SSB-FDM-Signals eingerichtet ist. Wie im Abschnitt E (2.1) bereits bemerkt wurde, kann der Erhöhungsfaktor M der SRI-Elemente jetzt gleich N gewählt werden, also M = N. Mit diesen Daten geht (38) in folgenden Ausdruck über:

(40)

Da nunmehr gelten muß, daß: (siehe (39))

Y [kleines Omega[tief]0 + (i - 1) kleines Pi/T] = X[tief]i (kleines Omega[tief]0),

folgt aus (40) die FDM-Bedingung für kleines Omega[tief]0 = 0, die wie folgt lautet:

(41)

2. Die Situation kleines Omega[tief]1 ungleich 0 bedeutet, daß die in Fig. 21 dargestellte TDM-FDM-Anordnung zum Erzeugen des in Fig. 20a dargestellten SSB-FDM-Signals eingerichtet ist. In diesem Falle kann (38) nur dann (39) entsprechen, wenn der FDM-Bedingung für kleines Omega[tief]1 ungleich 0 entsprochen wird, die wie folgt lautet:

H*[tief]m [M x 2 kleines Pi/T - {kleines Omega[tief]0 + kleines Omega[tief]1 + (i - 1) kleines Pi/T}] = 0, (42)

In (41) und (42) stellt kleines Delta[tief]ki das Kronecker-Symbol dar mit:

kleines Delta[tief]ki = 0 für k ungleich i,

(43)

kleines Delta[tief]ki = 1 für k = i.

Obgleich (41) und (42) aus dem Aufbau des Frequenzspektrums des FDM-Signals im Intervall

0 </= kleines Omega < M 2 kleines Pi/T

abgeleitet sind, sind (41) und (42) für jedes beliebige Frequenzintervall

kleines Alpha x M x 2 kleines Pi/T </= kleines Omega < (kleines Alpha + 1) M x 2 kleines Pi/T

gültig. Dies folgt daraus, daß sowohl Y (kleines Omega) als auch H[tief]m (kleines Omega) periodisch mit der Periode M x 2 kleines Pi/T ist, so daß der Ausdruck (5) gilt. Die FDM-Bedingung (41) könnte daher beispielsweise auch in äquivalenter Form geschrieben werden:

(44)

worin kleines Alpha eine ganze Zahl darstellt.

Die Multiplikationsfaktoren a[tief]mk können weiterhin als die Elemente einer N x N-Matrix A[hoch](N) betrachtet werden. Dabei gibt N die Ordnung der Matrix an. Diese Matrix hat dabei die Form:

(45)

und wird Transformationsmatrix genannt.

Weil 0 </= kleines Omega[tief]0 < kleines Pi/T, beschreibt die im Ausdruck (38) auftretende Funktion

H[tief]m [kleines Omega[tief]0 + kleines Omega[tief]1 + (i - 1) kleines Pi/T]

den Verlauf der Übertragungsfunktion H[tief]m (kleines Omega) im Intervall

kleines Omega[tief]1 + (i - 1) x kleines Pi/T </= kleines Omega < kleines Omega[tief]1 + i x kleines Pi/T.

Diese Funktionen können jetzt als Elemente einer N x N-Matrix H[mit Unterstrich] (kleines Omega[tief]0) betrachtet werden. Diese Matrix hat die folgende Form:

(46)

und wird mit Übertragungsmatrix bezeichnet.

Auf entsprechende Weise beschreibt

H[tief]m [M x 2 kleines Pi/T - {kleines Omega[tief]0 + kleines Omega[tief]1 + (i - 1) kleines Pi/T}]

mit i = 1, 2, 3, N den Verlauf der Übertragungsfunktion H[tief]m (kleines Omega) im Intervall

(2 M - i) kleines Pi/T - kleines Omega[tief]1 </= kleines Omega < (2 M - i + 1) kleines Pi/T - kleines Omega[tief]1.

Diese letztgenannten Funktionen können jetzt als Elemente einer N x N-Matrix

H[mit Unterstrich] (M x 2 kleines Pi/T - kleines Omega[tief]0)

betrachtet werden. Diese Matrix hat folgende Form:

(47)

Wird nunmehr in den Ausdrücken (46) und (47) davon ausgegangen, daß kleines Omega[tief]1 = 0, so kann die FDM-Bedingung (41) für kleines Omega[tief]1 = 0 in folgender Form geschrieben werden:

A[hoch](N)T x H[mit Unterstrich] (kleines Omega[tief]0) + (A[hoch](N)*)[hoch]T x H[mit Unterstrich]* (2 M kleines Pi/T - kleines Omega[tief]0) = 2 I[tief]N.

(48)

Mit (46) und (47) kann die FDM-Bedingung (42) für kleines Omega[tief]1 ungleich 0 in folgender Form geschrieben werden:

H[mit Unterstrich] (2 M kleines Pi/T - kleines Omega[tief]0) = 0,

(49)

A[hoch](N)T x H[mit Unterstrich] (kleines Omega[tief]0) = 2 I[tief]N.

In den Ausdrücken (48) und (49) stellt:

A[hoch](N)T die transponierte Matrix von A[hoch](N),

A[hoch](N)* die konjugiert komplexe Matrix von A[hoch](N) und

I[tief]n die N x N-Einheitsmatrix dar.

Bei der Ableitung der beiden FDM-Bedingungen (41) und (42) ist davon ausgegangen, daß das FDM-Signal (39) entspricht. Wird jedoch eine bestimmte Amplituden- und Phasenverzerrung des Kanalsignals im SSB-FDM-Signal in bezug auf das ursprüngliche Basisbandsignal zugelassen, so kann dies durch das Schreiben von (39) in folgender Form zum Ausdruck gebracht werden:

Y [kleines Omega[tief]0 + kleines Omega[tief]1 + (i - 1) kleines Pi/T] = X[tief]i (kleines Omega[tief]0) x großes Psi (kleines Omega[tief]0).

(50)

Darin stellt großes Psi[tief]i (kleines Omega[tief]0) eine von der Anwendung abhängige Funktion von kleines Omega[tief]0 dar. Diese Amplituden- und Phasenverzerrung kann jetzt auch in den FDM-Bedingungen zum Ausdruck gebracht werden, insbesondere dadurch, daß in den Ausdrücken (41) und (42) kleines Delta[tief]ki durch kleines Delta[tief]ki x großes Psi[tief]i (kleines Omega[tief]0) ersetzt wird, oder durch Ersetzen von I[tief]N in den Ausdrücken (48) und (49) durch diag [großes Psi[tief]i (kleines Omega[tief]0)]. Dabei wird diag [großes Psi[tief]i (kleines Omega[tief]0)] wie folgt definiert:

(51)

Bei der Ableitung der Ausdrücke (41) und (42) ist davon ausgegangen, daß das Ausgangssignal y (n) der TDM-FDM-Anordnung durch das Signal Re [v (n)] gebildet wird. Es wird klar sein, daß als Ausgangssignal dieser TDM-FDM-Anordnung auch das Signal Im [v (n)] genommen werden kann. Auch bei dieser Wahl des Ausgangssignals sind die beiden FDM-Bedingungen (48) und (49) gültig.

E (2.4) Die Transformationsanordnung

Die Transformationsanordnung 3 nach Fig. 21 ist zum Durchführen der Verarbeitungen eingerichtet, die in (21) definiert sind. Dieser Transformationsanordnung liegt die Matrix A[hoch](N) zugrunde, die in (45) angegeben ist. Da die Matrix A[hoch](N) von der N-Ordnung ist, wird die Transformationsanordnung mit N-Punkttransformator bezeichnet. In Übereinstimmung damit wird die TDM-FDM-Anordnung, die mit einem N-Punkttransformator versehen ist, mit N-Punkt-TDM-FDM-Anordnung bezeichnet.

Werden jetzt insbesondere die Multiplikationsfaktoren a[tief]mk, die in (21) auftreten, durch (22) angegeben, so kann für (21) geschrieben werden:

(52)

m = 1, 2, 3, N.

Die Komponente s[tief]m (n) besteht also aus einem reellen und einem imaginären Teil. Wird der reelle Teil von s[tief]m (n) durch Re [s[tief]m (n)] und der imaginäre Teil durch Im [s[tief]m (n)] dargestellt, so gilt:

s[tief]m (n) = Re [s[tief]m (n)] + j Im [s[tief]m (n)],

worin:

(53)

Um ein komplexes Signal verarbeiten zu können, müssen der reelle Teil und der imaginäre Teil dieses Signals gesondert zur Verfügung stehen. In Fig. 23 ist nunmehr eine Transformationsanordnung angegeben, die zum Erzeugen der in (53) definierten Komponenten Re [s[tief]m (n)] und Im [s[tief]m (n)] wenn N = 2 und ihre Eingangssignale reell sind, eingerichtet ist. Dieser Zweipunkttransformator enthält zwei Eingänge 1(1) und 1(2). An jeden dieser Eingänge sind vier Multiplizierer 9(kleines Gamma), 10(kleines Gamma) (kleines Gamma = 1, 2, 3, 4) angeschlossen, die die zugeführten Eingangskomponenten r[tief]1 (n) und r[tief]2 (n) mit den in der Figur angegebenen Multiplikationsfaktoren kleines Alpha[tief]mk und kleines Beta[tief]mk multiplizieren.

Die Ausgänge der Multiplizierer sind auf die in der Figur angegebene Weise an Eingänge von Addierern 11(kleines Gamma) mit kleines Gamma = 1, 2, 3, 4 angeschlossen, deren Ausgänge die Ausgänge der Transformationsanordnung bilden. Insbesondere liefert der Addierer 11(1), wie in der Figur angegeben, den reellen Teil Re [s[tief]1 (n)] von s[tief]1 (n) und der Addierer 11(2) den imaginären Teil Im [s[tief]1 (n)] von s[tief]1 (n).

Mit obiger Beschreibung läßt sich auf einfache Weise die Implementierung der Transformationsanordnung für den Fall N > 2 angeben. Der auf diese Weise erhaltene Aufbau wird normalerweise die "direkte Implementierung" (des Ausdrucks (52)) genannt.

Die Transformationsanordnung nach Fig. 23 ist faktisch eine Sonderausführungsform einer allgemeinen Transformationsanordnung zum Umwandeln komplexer Eingangskomponenten in komplexe Ausgangskomponenten, der eine Transformationsmatrix zugrunde liegt, deren Elemente komplexe Zahlen sind. Angenommen sei, daß die Eingangskomponenten r[tief]k (n) durch folgende Formel angegeben werden:

r[tief]k (n) = Re [r[tief]k (n)] + j Im [r[tief]k (n)]

und daß die Multiplikationsfaktoren a[tief]mk wiederum durch (22) angegeben werden, so kann für (21) geschrieben werden:

(54)

In Fig. 24 ist diese allgemeine Transformationsanordnung für den Fall N = 2 angegeben. Dieser allgemeine Zweipunkttransformator ist mit vier Eingängen 1(1,1), 1(1,2), 1(2,1) und 1(2,2) versehen, die je an Eingänge von vier Multiplizierern 12(kleines Gamma), 13(kleines Gamma), 14(kleines Gamma) und 15(kleines Gamma) mit kleines Gamma = 1, 2, 3, 4 angeschlossen sind, die die zugeführten Ein- gangskomponenten mit den in der Figur angegebenen Multiplizierfaktoren kleines Alpha[tief]mk, kleines Beta[tief]mk, -kleines Beta[tief]mk multiplizieren. Die Ausgänge dieser Multiplizierer sind wiederum auf die in der Figur angegebene Weise an Eingänge von Addierern 16(kleines Gamma) mit kleines Gamma = 1, 2, 3, 4 angeschlossen, deren Ausgänge wiederum die Ausgänge der Transformationsanordnung bilden.

Mit Hilfe obiger Beschreibung läßt sich wiederum auf einfache Weise die Implementierung der allgemeinen Transformationsanordnung für den Fall N > 2 angeben.

Aus obigem erfolgt, daß die Anzahl der komplexen Multiplikationen, die in der Transformationsanordnung für jede Ausgangskomponente y (n) der TDM-FDM-Anordnung durchgeführt werden muß, gleich N[hoch]2 ist. Bei der Auswertung des Ausdrucks (52) ergibt dies 2 N[hoch]2 reelle Multiplikationen und bei der Auswertung des Ausdrucks (54) 4 N[hoch]2 reelle Multiplikationen. Die Komplexität der TDM-FDM-Anordnung wird jetzt u. a. durch den Wert von N bestimmt.

Auf diese Weise, die große Ähnlichkeit mit der üblichen diskreten Fourier-Transformation (DFT) (siehe Referenz 13) hat, kann eine Transformationsanordnung, deren Wirkungsweise vollständig durch eine Matrix beschrieben wird, unter bestimmten Umständen derart implementiert werden, daß die Anzahl durchzuführender Multiplikationen stark absinkt. Eine auf eine derartige Weise implementierte Transformationsanordnung wird mit "schnelle Transformationsanordnung" bezeichnet. Die schnelle Transformationsanordnung zum Errechnen der diskreten Fourier-Transformation ist beispielsweise als "Fast Fourier Transformer" (FFT) bekannt.

Eine derartige schnelle Transformationsanordnung kann beispielsweise mit Hilfe von Zweipunkttransformatoren aufgebaut werden, denen eine Matrix A[hoch](2)[tief]iz zugrunde liegt und die je auf die Art aufgebaut sind, wie sie beispielsweise in Fig. 23 oder 24 dargestellt ist. Der Zweipunkttransformator nach Fig. 23 bzw. 24 wird nachstehend mit dem in Fig. 25 bzw. Fig. 26 angegebenen Symbol dargestellt. In diesen Symbolen sind die zugeordneten Transformationsmatrizen mit A[hoch](2)[tief]iz bezeichnet und diese Matrix wird durch folgende Formel angegeben:

(55)

In Fig. 27 ist der Vollständigkeit halber eine schnelle Achtpunkttransformationsanordnung dargestellt, die sich für die Anwendung in der Anordnung nach Fig. 21 eignet. Diese Transformationsanordnung ist aus Zweipunkttransformatoren vom Typ aufgebaut, der in Fig. 24 bzw. Fig. 26 dargestellt ist. Diese Transformatoren sind auf die in der Figur angegebene Weise miteinander verbunden. Den Transformatoren 3(1), 3(2), 3(3) und 3(4) liegen die entsprechenden Matrizen A[hoch](2)[tief]11, A[hoch](2)[tief]21, A[hoch](2)[tief]31 und A[hoch](2)[tief]41 zugrunde. Jedem der Transformatoren 3(5,1) und 3(5,2) liegt die Matrix A[hoch](2)[tief]52 zugrunde. Diese letztgenannten Transformatoren können als ein Transformator 3(5) betrachtet werden, dem eine Matrix zugrunde liegt, die symbolisch mit 2 x A[hoch](2)[tief]52 bezeichnet wird. Jedem der Transformatoren 3(6,1) und 3(6,2) liegt die Matrix A[hoch](2)[tief]62 zugrunde, so daß auch diese Transformatoren als ein Transformator 3(6) betrachtet werden können, dem eine Matrix zugrunde liegt, die wiederum symbolisch mit 2 x 2[hoch](2)[tief]62 bezeichnet wird. Jedem der Transformatoren 3(7,1), 3(7,2), 3(7,3) und 3(7,4) liegt die Matrix A[hoch](2)[tief]73 zugrunde, so daß diese Transformatoren zusammen als ein Transformator 3(7) betrachtet werden können, dem eine Matrix zugrunde liegt, die symbolisch mit 4 x A[hoch](2)[tief]73 bezeichnet wird. Es sei bemerkt, daß im Symbol A[hoch](2)[tief]iz der Index z die Spalte angibt, in der der betreffende Transformator gefunden werden kann (siehe Fig. 27).

Es sei weiterhin bemerkt, daß eine schnelle Transformationsanordnung beispielsweise auch mit Hilfe von Vierpunkttransformatoren aufgebaut werden kann, denen also eine Matrix A[hoch](4)[tief]iz zugrunde liegt. Für ihr Äquivalent bei der DFT sei wiederum auf die Referenz 13 verwiesen.

E (2.5) Der Signalkanal

E (2.5.1) Allgemeiner Aufbau

Im Abschnitt E (2.3) ist davon ausgegangen, daß durch die Transformationsanordnung 3 komplexe Signalkomponenten s[tief]m (n) geliefert werden, die einen reellen Teil Re [s[tief]m (n)] und einen imaginären Teil Im [s[tief]m (n)] enthalten, so daß:

s[tief]m (n) = Re [s[tief]m (n)] + j Im [s[tief]m (n)].

Diese Signalkomponenten gelangen zu den SRI-Elementen, deren komplexe Ausgangssignalkomponenten t[tief]m (n) durch folgende Formel dargestellt werden können:

t[tief]m (n) = Re [t[tief]m (n)] + j Im [t[tief]m (n)].

Im digitalen Filter 6 (m) werden diese Komponenten t[tief]m (n) mit der Stoßantwort h[tief]m (n) gefaltet, so daß:

u[tief]m (n) = t[tief]m (n)* h[tief]m (n), (56)

worin

u[tief]m (n) = Re [u[tief]m (n)] + j Im [u[tief]m (n)]. (57)

Im allgemeinen wird für H[tief]m (kleines Omega) gelten, daß H[tief]m (kleines Omega) ungleich

H*[tief]m (M x 2 kleines Pi/T - kleines Omega).

D. h. die Stoßantwort h[tief]m (n) ist eine komplexe Größe, die wie folgt dargestellt wird:

h[tief]m (n) = h[tief]mp (n) + j h[tief]mq (n). (58)

Hierin stellen h[tief]mp (n) und h[tief]mq (n) reelle Stoßantworten dar.

Für die weitere Analyse der Übertragungsfunktion H[tief]m (kleines Omega) werden Übertragungsfunktionen H[tief]mp (kleines Omega) und H[tief]mq (kleines Omega) eingeführt. Dabei wird angenommen, daß h[tief]mp (n) die Stoßantwort eines Digitalfilters mit der Übertragungsfunktion H[tief]mp (kleines Omega) und daß h[tief]mq (n) die Stoßantwort eines Digitalfilters mit der Übertragungsfunktion H[tief]mq (kleines Omega) darstellt, so daß:

H[tief]m (kleines Omega) = H[tief]mp (kleines Omega) + j H[tief]mq (kleines Omega) (59) und

H[tief]mp (kleines Omega) = 1/2 [H[tief]m (kleines Omega) + H*[tief]m (2 M kleines Pi/T - kleines Omega)],

(60)

H[tief]mq (kleines Omega) = 1/2j [H[tief]m (kleines Omega) - H*[tief]m (2 M kleines Pi/T - kleines Omega)].

Für die Übertragungsmatrizen (46) und (47) kann jetzt geschrieben werden:

H[mit Unterstrich] (kleines Omega[tief]0) = H[mit Unterstrich][tief]p (kleines Omega[tief]0) + j H[mit Unterstrich][tief]q (kleines Omega[tief]0),

(61)

H[mit Unterstrich] (2 M kleines Pi/T - keines Omega[tief]0) = H[mit Unterstrich]*[tief]p (kleines Omega[tief]0) + j H[mit Unterstrich]*[tief]q (kleines Omega[tief]0),

worin auf entsprechende Weise wie in (46):

(62)

(63)

Die Übertragungsmatrizen

H[mit Unterstrich][tief]p (2 M kleines Pi/T - kleines Omega[tief]0) und H[mit Unterstrich][tief]q (2 M kleines Pi/T - kleines Omega[tief]0)

können entsprechend (47) definiert werden.

Die Implementierung eines Digitalfilters mit komplexer Stoßantwort folgt jetzt direkt aus (56), (57) und (58). Es kann nämlich daraus abgeleitet werden, daß:

Re [u[tief]m (n)] = Re [t[tief]m (n)] * h[tief]mp (n) - Im [t[tief]m (n)] * h[tief]mq (n),

(64)

Im [u[tief]m (n)] = Re [t[tief]m (n)] * h[tief]mq (n) - Im [t[tief]m (n)] * h[tief]mp (n).

Der vollständige Aufbau des Signalkanals 4 (m) ist in Fig. 28 dargestellt.

Im Abschnitt E (2.4) ist angegeben, daß die Transformationsanordnung 3 den reellen Teil Re [s[tief]m (n)] und den imaginären Teil Im [s[tief]m (n)] von s[tief]m (n) getrennt liefert. Zum Verarbeiten dieses komplexen Signals {s[tief]m (n)} im Signalkanal 4 (m) ist, wie in Fig. 28 wiedergegeben, dieser Signalkanal 4 (m) aus zwei Hilfskanälen 4 (m,1) und 4 (m,2) aufgebaut, denen die entsprechenden reellen Signale Re [s[tief]m (n)] und Im [s[tief]m (n)] zugeführt werden. Jeder dieser Hilfskanäle ist mit einem SRI-Element 5 (m,1) bzw. 5 (m,2) versehen, an deren Ausgang der reelle Teil Re [t[tief]m (n)] bzw. der imaginäre Teil Im [t[tief]m (n)] des komplexen Signals {t[tief]m (n)} auftritt. Die letztgenannten Ausgänge sind weiterhin an Eingänge des Digitalfilters 6 (m) angeschlossen. Dieses Filter enthält im allgemeinen vier einzelne Digitalfilter 6 (m,1), 6 (m,2), 6 (m,3) und 6 (m,4), die die entsprechenden Übertragungsfunktionen H[tief]mp (kleines Omega), H[tief]mq (kleines Omega), -H[tief]mq (kleines Omega) und H[tief]mp (kleines Omega) besitzen. Die Eingänge dieser Filter sind, wie in der Figur angegeben, an die Ausgänge der SRI-Elemente 5 (m,1) und 5 (m,2) angeschlossen. Die Ausgänge der Filter 6 (m,.) sind an Eingänge zweier Addierer 6 (m,5) und 6 (m,6) angeschlossen, deren Ausgänge 6 (m,7) und 6 (m,8) die Ausgänge des Digitalfilters 6 (m) bilden. Am Ausgang 6 (m,7) tritt jetzt das reelle Signal Re [u[tief]m (n)] und am Ausgang 6 (m,8) tritt das imaginäre Signal Im [u[tief]m (n)] auf, welche Signale den reellen und den imaginären Teil des Signals {u[tief]m (n)} darstellen.

E (2.5.2) Die Übertragungsmatrizen H[mit Unterstrich][tief]p (kleines Omega[tief]0) und H[mit Unterstrich][tief]q (kleines Omega[tief]0)

Zur Bestimmung der Übertragungsfunktionen H[tief]mp (kleines Omega) und H[tief]mq (kleines Omega) wird der Einfachheit halber von den Ausdrücken (48) und (49) ausgegangen, in denen der Amplituden- und Phasenverzerrungsfaktor großes Psi[tief]i (kleines Omega[tief]0) gleich eins angenommen wird. Ebenfalls wird davon ausgegangen, daß das FDM-Signal durch das Signal Re [v (n)] gebildet wird. Für die hier nicht herangezogenen Fälle, die im Abschnitt E (2.3) angegeben sind, verläuft nachstehendes auf analoge Weise.

Zunächst werden die Übertragungsmatrizen H[mit Unterstrich][tief]p (kleines Omega[tief]0) und H[mit Unterstrich][tief]q (kleines Omega[tief]0) für die TDM-FDM-Anordnung mit kleines Omega[tief]1 ungleich 0 bestimmt werden, für die die FDM-Bedingung (49) gilt. Aus (61) und (49) folgt:

H[mit Unterstrich][tief]q (kleines Omega[tief]0) = 1/j H[mit Unterstrich][tief]p (kleines Omega[tief]0),

so daß:

H[mit Unterstrich][tief]p (kleines Omega[tief]0) = 1/2 (A[hoch](N)T)[hoch]-1,

H[mit Unterstrich][tief]p (2 M kleines Pi/T - kleines Omega[tief]0) = H[mit Unterstrich]*[tief]p (kleines Omega[tief]0) = 1/2 (A[hoch](N)T*)[hoch]-1,

(65)

H[mit Unterstrich][tief]q (kleines Omega[tief]0) = 1/2j (A[hoch](N)T)[hoch]-1,

H[mit Unterstrich][tief]q (2 M kleines Pi/T - kleines Omega[tief]0) = -1/2j (A[hoch](N)T*)[hoch]-1.

Aus (65) folgt, daß die Übertragungsfunktion H[tief]mq (kleines Omega) mit 0 </= kleines Omega < 2 M kleines Pi/T die Hilbert-Transformierte von H[tief]mp (kleines Omega) darstellt. Der daraus erfolgende Aufbau des Signalkanals ist in Fig. 28a dargestellt. Es sei noch bemerkt, daß in (65) die Transformationsmatrix A im allgemeinen als komplex angenommen wird. Ist jedoch diese Matrix reell, so bleibt der Aufbau des Signalkanals jedoch gleich dem nach Fig. 28a. Weiter sei noch bemerkt, daß die Matrix A[hoch](N)T nicht singulär angenommen wird.

An zweiter Stelle werden die Übertragungsmatrizen H[mit Unterstrich][tief]p (kleines Omega[tief]0) und H[mit Unterstrich][tief]q (kleines Omega[tief]0) für die FDM-Anordnung mit kleines Omega[tief]1 = 0 bestimmt, für die die FDM-Bedingung (48) gilt. Diese FDM-Bedingung (48) stellt einen Vergleich dar, der bei der gegebenen Transformationsmatrix A[hoch](N) zwei unbekannte Übertragungsmatrizen enthält. Um diese Übertragungsmatrizen auf eindeutige Weise zu bestimmen, können geeignet gewählte zusätzliche Bedingungen entweder in die Übertragungsmatrizen oder an die Transformationsmatrix gestellt werden.

Nachstehend werden drei mögliche zusätzliche Bedingungen beispielsweise angegeben.

1. Eine erste zusätzliche Bedingung ist beispielsweise

H[mit Unterstrich] (kleines Omega[tief]0) = H[mit Unterstrich]* (2 M kleines Pi/T - kleines Omega[tief]0). (66)

Aus (60) erfolgt:

H[mit Unterstrich][tief]q (kleines Omega[tief]0) = 0.

Mit (66) geht die FDM-Bedingung (48) über in:

(A[hoch](N)T + A[hoch](N)*T) x H[mit Unterstrich][tief]p (kleines Omega[tief]0) = 2 I[tief]N.

Wird nun weiterhin die Transformationsmatrix durch folgende Formel angegeben:

A[hoch](N) = Re [A[hoch](N)] + j Im [A[hoch](N)],

dann gilt, daß:

H[mit Unterstrich][tief]p (kleines Omega[tief]0) = (Re [A[hoch](N)T])[hoch]-1

und daß:

H[mit Unterstrich][tief]p (2 M kleines Pi/T - kleines Omega[tief]0) = {(Re [A[hoch](N)T])[hoch]-1}* (67)

Dabei ist angenommen, daß die Matrix

Re [A[hoch](N)T]

nicht singulär ist. Der aus dieser zusätzlichen Bedingung entstehende Aufbau des Signalkanals folgt aus Fig. 28 und ist in Fig. 28b dargestellt.

2. Als zusätzliche Bedingung könnte auch gestellt werden, daß die Transformationsmatrix ausschließlich reelle Elemente enthält. Dies bedeutet:

Im [A[hoch](N)] = 0, (68)

A[hoch](N)* = A[hoch](N),

so daß:

Im [s[tief]m (n)] = 0,

kleines Beta[tief]mk = 0.

Die FDM-Bedingung (48) geht jetzt in folgende Formel über:

A[hoch](N)T x [H[mit Unterstrich] (kleines Omega[tief]0) + H[mit Unterstrich]* (2 M kleines Pi/T - kleines Omega[tief]0)] = 2 I[tief]N.

Mit (60) folgt daraus:

H[mit Unterstrich][tief]p (kleines Omega[tief]0) = [A[hoch](N)T][hoch]-1,

H[mit Unterstrich][tief]p (2 M kleines Pi/T - kleines Omega[tief]0) = {[A[hoch](N)T][hoch]-1}*, (69)

H[mit Unterstrich][tief]q (kleines Omega[tief]0) = H[mit Unterstrich]*[tief]q (2 M kleines Pi/T - kleines Omega[tief]0) = beliebig.

Wird diese zweite zusätzliche Bedingung mit der Bedingung unter 1. kombiniert, d.h. H[mit Unterstrich][tief]q (kleines Omega[tief]0) = 0, so geht der in Fig. 28 dargestellte Signalkanal in den Signalkanal über, der in Fig. 28c angegeben ist.

3. Eine andere zusätzliche Bedingung ist beispielsweise

H[mit Unterstrich]* (2 M kleines Pi/T - kleines Omega[tief]0) = 0. (70)

Damit und mit (65) geht die FDM-Bedingung für kleines Omega[tief]1 = 0 in folgende Formel über:

A[hoch](N)T x H[mit Unterstrich] (kleines Omega[tief]0) = 2 I[tief]N. (71)

Das System der Gleichungen (70) und (71) ist dem in (49) definierten System von Gleichungen eng verwandt, so daß für diese dritte zusätzliche Bedingung ein der Gleichung (6) verwandtes System von Ausdrücken verwendbar ist. Der Signalkanal wird auch jetzt auf die in Fig. 28a dargestellte Weise aufgebaut.

Aus obigem geht hervor, daß die FDM-Bedingung (49) für kleines Omega[tief]1 ungleich 0 als ein Sonderfall der FDM-Bedingung (48) für kleines Omega[tief]1 = 0 betrachtet werden kann. Dies läßt sich auch wie folgt deuten: Wird die Übertragungsfunktion H[tief]m (kleines Omega) des digitalen Filters 6 (m) mit m = 1, 2, 3, N derart gewählt, daß der Modulus von H[tief]m (kleines Omega) gleich Null ist, d.h. |H[tief]m (kleines Omega)| = 0 im Intervall

M kleines Pi/T </= kleines Omega < 2 M kleines Pi/T,

so kann weiterhin eine Frequenzverschiebung kleines Omega[tief]1 des FDM-Signals innerhalb seiner fundamentalen Periode zugelassen werden, wenn nur dabei M größer als N angenommen wird (siehe die Fig. 20b und 20a).

Es sei bemerkt, daß mit Hilfe der allgemeinen

Theorie, die dazu zur Verfügung steht (siehe beispielsweise Referenz 14) bei der gegebenen Übertragungsfunktion das zugeordnete digitale Filter implementiert werden kann. Nachstehend wird daher nicht weiter auf die spezifische Implementierung eines digitalen Filters mit gegebener Übertragungsfunktion eingegangen werden.

E (2.6) Vereinfachung der TDM-FDM-Anordnung

In der Transformationsanordnung 3 der in Fig. 21 dargestellten TDM-FDM-Anordnung werden N[hoch]2 Multiplikationsfaktoren a[tief]mk verwendet. Wie bereits bemerkt wurde, wird die Komplexität der TDM-FDM-Anordnung u. a. durch den Wert für N bestimmt. Auch wird diese Komplexität durch den Wert der Abtastfrequenz M/T bestimmt, mit der digitale Signalkomponenten t[tief]m (n) dem Digitalfilter 6 (m) zugeführt werden. Insbesondere bestimmt diese Abtastfrequenz die Komplexität dieses Digitalfilters. Aus diesem Grund wird, wenn kleines Omega[tief]1 = 0 ist, der Erhöhungsfaktor M gleich N genommen.

Wenn N geradzahlig ist, kann noch eine bedeutende Vereinfachung der TDM-FDM-Anordnung erreicht werden, und zwar durch den Aufbau auf die Weise, die in Fig. 29 symbolisch dargestellt ist. Diese TDM-FDM-Anordnung enthält drei TDM-FDM-Unteranordnungen 17, 18 und 19. Eine jede dieser TDM-FDM-Unteranordnungen ist auf diese Weise aufgebaut, die der in Fig. 21 dargestellten TDM-FDM-Anordnung identisch ist. Die Unteranordnungen 17 und 18 sind jedoch N/2-Punkt-TDM-FDM-Anordnungen, und die Unteranordnung 19 ist eine Zweipunkt-TDM-FDM-Anordnung. Wie in Fig. 29 angegeben, werden der Unteranordnung 17 die Komponenten der Eingangssignale {x[tief]k (n)} mit k = 1, 2, 3, N/2 und der Unteranordnung 19 die der Eingangssignale {x[tief]k (n)} mit k = N/2 + 1, N/2 + 2, , N zugeführt. Diese Unteranordnungen 17 und 18 liefern die digitalen FDM-Signale {y[tief]1 (n)} bzw. {y[tief]2 (n)}, deren Komponenten bei M = N mit einer Abtastfrequenz N/2 T auftreten. Die digitalen Signale {y[tief]1 (n)} und {y[tief]2 (n)} werden anschließend der Unteranordnung 19 zugeführt, die das gewünschte digitale FDM-Signal der N Eingangssignale {x[tief]k (n)} liefert (k = 1, 2, N). Die Gesamtzahl in den drei Transformationsanordnungen durchzuführender Vervielfachungen in einer Periode T beträgt jetzt nur noch

2 x (N/2)[hoch]2 + N/2, 2[hoch]2 = N[hoch]2/2 + N.

Außerdem ist die Abtastfrequenz der digitalen Signale, die den Digitalfiltern in den Unteranordnungen 8 und 9 zugeführt werden, jetzt nur noch gleich N/2 T, wodurch in diesen Digitalfiltern bedeutend weniger Berechnungen je Zeiteinheit ausgeführt zu werden brauchen als in den Digitalfiltern, die in der TDM-FDM-Anordnung nach Fig. 18 für den Fall M = N und kleines Omega[tief]1 = 0 durchgeführt werden müssen.

Wenn N = 2[hoch]kleines Gamma ist, worin kleines Gamma eine ganze Zahl darstellt, kann eine jede der TDM-FDM-Anordnungen 17 und 18 an sich auf die Weise aufgebaut werden, wie sie in Fig. 29 angegeben ist.

Es sei noch bemerkt, daß der in Fig. 29 dargestellte Aufbau der TDM-FDM-Anordnung auch dazu benutzt werden kann, komplexe Signale in eine FDM-Ausführungsform zu bringen. Wie bereits im Abschnitt E (1.4) angegeben wurde, kann ein reelles Signal {x[tief]k (n)} mit Hilfe des in Fig. 17 dargestellten komplexen Modulators in ein komplexes Signal umgesetzt werden, das aus zwei reellen Signalen Re [P[tief]k (n)] und Im [P[tief]k (n)] beispielsweise mit dem in Fig. 18b bzw. 18c dargestellten Frequenzspektrum aufgebaut ist. Um jetzt diese komplexen Signale beispielsweise in das in Fig. 20a dargestellte SSB-FDM-Signal umzusetzen, werden die Signale Re [P[tief]k (n)] der in Fig. 29 dargestellten Unteranordnung 17 und die Signale Im [P[tief]k (n)] der Unteranordnung 18 zugeführt. Die auf diese Weise erhaltenen FDM-Signale y[tief]1 (n) und y[tief]2 (n) werden jetzt nicht der Zweipunkt-TDM-FDM-Anordnung 19 zugeführt, sondern zueinander addiert.

E (2.7) Die TDM-FDM-Anordnung mit schneller Transformationsanordnung

Wie aus dem Abschnitt E (2.5.2) ersichtlich ist, muß die FDM-Bedingung für kleines Omega[tief]1 ungleich 0 als ein Sonderfall der FDM-Bedingung für kleines Omega[tief]1 = 0 betrachtet werden. Weil außerdem bei kleines Omega[tief]1 ungleich 0 der Erhöhungsfaktor M der SRI-Elemente größer als N ist, wird nachstehend davon ausgegangen, daß kleines Omega[tief]1 = 0 und M = N.

Ist in der TDM-FDM-Anordnung nach Fig. 21 die Anzahl der Eingangskanäle N gleich 2[hoch]kleines Gamma, wobei kleines Gamma eine ganze Zahl darstellt, und ist die Matrix A derart gewählt, daß sie eine schnelle Implementierung veranlaßt, so wird in dieser TDM-FDM-Anordnung nicht nur die Anzahl der Multiplikationen, die in der Transformationsanordnung durchgeführt werden müssen, drastisch herabgesetzt, sondern können auch die Digitalfilter 6 (m), m = 1, 2, N, beträchtlich vereinfacht werden.

In Fig. 30 ist eine TDM-FDM-Anordnung für N = 8 angegeben, wobei der Matrix A[hoch](8), die der Transformationsanordnung 3 zugrunde liegt, der erwähnten Eigenschaft entspricht und daher beispielsweise die in Fig. 27 dargestellte schnelle Implementierung mit Zweipunkttransformatoren ermöglicht. In dieser Fig. 30 sind der Fig. 21 und der Fig. 27 entsprechende Elemente mit entsprechenden Bezugsziffern bezeichnet. Diese TDM-FDM-Anordnung ist mit acht Eingangskanälen 1 (k) mit k = 1, 2, 3, N (= 8) versehen. Diesen Eingangskanälen werden in einer anscheinend beliebigen Reihenfolge die Eingangssignale {x[tief]q (n)} mit q = 1, 2, N (= 8) zugeführt. Die Reihenfolge dieser Eingangssignale ist dabei auf die in Fig. 30 angegebene Weise derart gewählt, daß ein FDM-Signal erhalten wird, das auf genau die gleiche Weise aufgebaut ist wie das FDM-Signal, das die Anordnung nach Fig. 21 liefert (siehe Fig. 20b). Wie auch in Fig. 21 sind diese Eingangskanäle, denen die Eingangssignale mit gerader Rangnummer (q = geradzahlig) zugeführt werden, mit einem Austauschmodulator 2 (p) mit p = 1, 2, 3, 4 versehen. Diese Eingangskanäle sind an die Eingänge einer schnellen Transformationsanordnung 3 angeschlossen, die auf die in Fig. 27 angegebene Weise aufgebaut ist und die komplexen Ausgangssignale {s[tief]m (n)} mit m = 1, 2, N (= 8) liefert. Diese Ausgangssignale gelangen an N Signalkanäle. Diese Signalkanäle sind mit Mitteln zum Erhöhen der Abtastfrequenz um einen gewünschten Faktor versehen. Im Gegensatz zu den Signalkanälen nach Fig. 21 werden die Signalkanäle nach Fig. 30 teilweise gemeinsam benutzt, wodurch jeder Signalkanal betrachtet werden kann, als wäre er aus einer Anzahl von Unterkanälen aufgebaut.

In der Figur sind die ersten Unterkanäle mit 21(.) bezeichnet, die zweiten Unterkanäle mit 22(.) und die dritten Unterkanäle mit 23(.). Der Signalkanal, der in Fig. 21 mit 4(1) bezeichnet ist, wird jetzt in der Anordnung nach Fig. 30 durch die in seriegeschalteten Unterkanäle 21(1), 22(1) und 23(1) gebildet. Ebenso wird beispielsweise der Signalkanal, der in Fig. 21 mit 4(2) bezeichnet ist, jetzt durch die in Serie geschalteten Unterkanäle 21(2), 22(1) und 23(1) gebildet.

Die Unterkanäle 21(.) nach Fig. 30 enthalten je eine Serienschaltung aus einem SRI-Element 24(.) und einem Digitalfilter 25(.). Die Unterkanäle 22(.) enthalten je eine Serienschaltung aus einer Addieranordnung 26(.), einem SRI-Element 27(.) und einem Digitalfilter 28(.). Die Unterkanäle 23(.) enthalten je eine Serienschaltung aus einer Addieranordnung 29(.), einem SRI-Element 30(.) und einem Digitalfilter 31(.). Die Unterkanäle 23(.) sind weiterhin an Eingänge einer Addieranordnung 32 angeschlossen, die das gewünschte digitale FDM-Signal {y (n)} liefert. Da die Transformationsanordnung aus Zweipunkttransformatoren aufgebaut ist, ist der Erhöhungsfaktor aller SRI-Elemente gleich 2.

In Fig. 30 sind die Übertragungsfunktionen der verschiedenen Digitalfilter mit H[hoch](1)[tief]11 (kleines Omega), H[hoch](2)[tief]11 (kleines Omega), H[hoch](1)[tief]21 (kleines Omega), H[hoch](2)[tief]21 (kleines Omega) usw. bezeichnet. Im allgemeinen wird nachstehend eine derartige Übertragungsfunktion mit H[hoch](j)[tief]iz (kleines Omega) bezeichnet, worin i = 1, 2, 3, 7; j = 1, 2; und z die Rangnummer des Unterkanals z = 1, 2, 3 darstellt.

Da die digitalen Signale, die wenigstens den Digitalfiltern 25(.) und 28(.) zugeführt werden, mit bedeutend niedrigerer Abtastfrequenz auftreten als die digitalen Signale, die den Digitalfiltern 6(.) der Anordnung nach Fig. 21 zugeführt werden, können die Übertragungsfunktionen der zuerst genannten Filter der Anordnung nach Fig. 30 auf bedeutend einfachere Weise verwirklicht werden.

Um am Ausgang der Addieranordnung 32 das gewünschte FDM-Signal zu erhalten, müssen die Übertragungsfunktionen der Signalkanäle und der Matrix A[hoch](8), deren schnelle Implementierung in Fig. 30 dargestellt ist, der FDM-Bedingung (41) entsprechen.

Die Übertragungsfunktion eines Signalkanals wird jetzt durch das Produkt der Übertragungsfunktionen der verschiedenen Digitalfilter dargestellt, die in den aufeinanderfolgenden Unterkanälen, die zusammen den betreffenden Signalkanal bilden, aufgenommen sind. So ist beispielsweise die Übertragungsfunktion des ersten Signalkanals gleich:

H[tief]1 (kleines Omega) = H[hoch](1)[tief]11 (kleines Omega) x H[hoch](1)[tief]52 (kleines Omega) x H[hoch](1)[tief]73 (kleines Omega),

die des zweiten Signalkanals:

H[tief]2 (kleines Omega) = H[hoch](2)[tief]11 (kleines Omega) x H[hoch](1)[tief]52 (kleines Omega) x H[hoch](1)[tief]73 (kleines Omega),

die des dritten Signalkanals:

H[tief]3 (kleines Omega) = H[hoch](1)[tief]21 (kleines Omega) x H[hoch](2)[tief]52 (kleines Omega) x H[hoch](1)[tief]73 (kleines Omega).

Das fundamentale Intervall dieser Übertragungsfunktionen H[tief]1 (kleines Omega), H[tief]2 (kleines Omega), H[tief]3 (kleines Omega) H[tief]8 (kleines Omega) ist gleich 8 x 2 kleines Pi/T. Wird mit Hilfe dieser Übertragungsfunktionen wiederum entsprechend dem Ausdruck (46) die Matrix H[mit Unterstrich] (kleines Omega[tief]0) definiert, so muß wiederum der FDM-Bedingung (48) entsprochen werden (M = 8).

In dem in Fig. 30 dargestellten Ausführungsbeispiel wird diese FDM-Bedingung dadurch erfüllt, daß die Übertragungsfunktionen H[hoch](1)[tief]iz (kleines Omega) und H[hoch](2)[tief]iz (kleines Omega) sowie die Matrix A[hoch](2)[tief]iz die FDM-Bedingung erfüllen müssen. Um dies konkreter angeben zu können, werden die Filter-Teilmatrizen definiert:

(72)

(73)

worin i = 1, 2, 3 7; z = 1, 2, 3,

0 </= kleines Omega[tief]z < 2[hoch]z-1 x kleines Pi/T,

2[hoch]z/T = f[tief]sz.

Dabei stellt f[tief]sz die Abtastfrequenz dar, die dem Eingangssignal des Digitalfilters im z. Unterkanal zugeordnet ist, das die Übertragungsfunktion H[hoch](j)[tief]iz (kleines Omega) hat. Wie in obiger Beschreibung stellt 1/T die Abtastfrequenz dar, die den Signalen {s[tief]m (n)} zugeordnet ist. So gilt für die Filter 25(.), daß z = 1 und somit, daß f[tief]sz = f[tief]s1 = 2/T ist. Ebenso gilt für die Filter 28(.), daß z = 2 und für die Filter 31(.), daß z = 3 ist.

Mit Hilfe der Filter-Teilmatrizen (72) und (73) geht die FDM-Bedingung (48) jetzt in folgende Formel über:

A[hoch](2)T[tief]iz x H[mit Unterstrich][tief]iz (kleines Omega[tief]z) + (A[hoch](2)*[tief]iz)[hoch]T x H[mit Unterstrich]*[tief]iz (2[hoch]z+1 x kleines Pi/T - kleines Omega[tief]z) = 2 I[tief]2.

(74)

Die Unterkanäle 21(.), 22(.) und 23(.) werden jetzt alle auf die Weise aufgebaut, die in Fig. 28 dargestellt ist. Der Index m, der in Fig. 28 für die Benennung der Übertragungsfunktionen benutzt wird, muß jetzt durch eine Kombination von Indizes i, z und j ersetzt werden. Das bedeutet, daß das Digitalfilter H[hoch](j)[tief]iz (kleines Omega) jetzt mit Hilfe der Digitalfilter H[hoch](j)[tief]izp und H[hoch](j)[tief]izq (kleines Omega) aufgebaut wird, die durch (60) angegeben werden. Für die im Abschnitt E (2.5.2) angegebenen zusätzlichen Bedingungen geht der in Fig. 28 angegebene allgemeine Aufbau des Unterkanals in den nach Fig. 28a oder 28b oder 28c über.

Es sei bemerkt, daß bei der Implementierung der Transformationsanordnung in dem in Fig. 30 dargestellten Ausführungsbeispiel von Zweipunkttransformatoren ausgegangen ist, denen somit eine 2 x 2-Matrix A[hoch](2)[tief]iz zugrunde liegt. Würde jedoch von einem Vierpunkttransformator ausgegangen werden, dem eine 4 x 4-Matrix A[hoch](4)[tief]iz zugrunde liegt, so verläuft obige Betrachtung völlig analog.

E (2.8) Transformationsmatrizen und Übertragungsfunktionen

Aus obiger Beschreibung ist ersichtlich, daß eine Vielzahl von Transformationsmatrizen im Grunde genommen dazu geeignet sind, als Basis für die Transformationsanordnung zu dienen. Nicht alle Transformationsmatrizen, die im Grunde genommen dazu geeignet sind, führen jedoch zu einer verwirklichbaren TDM-FDM-Anordnung, weil sie entweder eine zu große Anzahl von Multiplikationen in der Transformationsanordnung oder besonders komplizierte Digitalfilter erfordern.

In diesem Abschnitt werden als Beispiel eine Anzahl von Matrizen angegeben, die sowohl zu einfachen Digitalfiltern als auch zu einer einfachen Transformationsanordnung führen und dabei eine schnelle Implementierung der Transformationsanordnung zulassen.

Eine Klasse von Matrizen, die obigen Bedingungen entspricht, wird durch die Hadamard-Matrizen großes Phi[tief]kleines Gamma gebildet mit großes Phi[tief]kleines Gamma = 1, 2, 3, , die wie folgt definiert werden.

(75)

worin kleines Gamma = 2, 3, und wobei:

(76)

Eine Hadamard-Matrix ist somit eine reelle Matrix, die (68) entspricht.

Weil eine Hadamard-Matrix eine schnelle Implementierung zuläßt, wird hier nur angegeben, welche Vereinfachungen in der in Fig. 30 dargestellten TDM-FDM-Anordnung möglich sind.

In der Anordnung nach Fig. 30 ist die Anzahl der Eingangssignale M gleich 8 = 2[hoch]3. Dies bedeutet, daß der Transformationsanordnung 3 die 8 x 8 Hadamard-Matrix großes Phi[tief]3 zugrunde gelegt werden muß. Die Folge davon ist, daß:

A[hoch](2)[tief]iz = großes Phi[tief]1 für alle i und alle z. (77)

Als zusätzliche Bedingung kann jetzt gewählt werden:

H[mit Unterstrich][tief]iz (kleines Omega[tief]z) = H[mit Unterstrich]*[tief]iz (2[hoch]z+1 x kleines Pi/T - kleines Omega[tief]z),

so daß

H[mit Unterstrich][tief]izq (kleines Omega[tief]z) = 0.

Aus (67) folgt nun, daß: für alle i und alle z, (78) für alle i und alle z. (78)

Aus (76) und aus Fig. 23 folgt jetzt, daß sich die Zweipunkttransformatoren, die zusammen die Transformationsanordnung nach Fig. 30 bilden, stark vereinfachen. Weil die in Fig. 23 angegebenen Multiplikationsfaktoren jetzt durch folgende Formel gegeben werden:

kleines Alpha[tief]11 = kleines Alpha[tief]12 = kleines Alpha[tief]21 = 1,

kleines Alpha[tief]22 = -1,

kleines Beta[tief]11 = kleines Beta[tief]12 = kleines Beta[tief]21 = kleines Beta[tief]22 = 0

können die Multiplizierer 9(1), 10(1) und 9(3) nach Fig. 23 durch direkte Verbindungen ersetzt werden.

Bevor der Einfluß der Hadamard-Matrix auf die Übertragungsfunktionen der Digitalfilter beschrieben wird, sei bemerkt, daß die TDM-FDM-Anordnung, die in Fig. 30 dargestellt ist, sieben Schaltungskonfigurationen enthält, die je auf die Art aufgebaut sind, die in Fig. 31 dargestellt ist. Diese Schaltungskonfiguration enthält zwei Kanäle I und II. Jedem dieser Kanäle wird ein digitales Signal zugeführt, dem eine Abtastperiode T/2[hoch]z-1 zugeordnet ist, und diese Konfiguration liefert ein digitales Ausgangssignal, dem eine Abtastperiode T/2[hoch]z zugeordnet ist. Für die Unterkanäle 21(.) in Fig. 30 ist z = 1, für die Unterkanäle 22(.) ist z = 2 und für die Unterkanäle 23(.) ist z = 3.

Durch die Wahl der Hadamard-Matrix als Transformationsmatrix wird:

H[mit Unterstrich][tief]iz (kleines Omega[tief]z) = H[mit Unterstrich][tief]izp (kleines Omega[tief]z),

so daß die in Fig. 31 dargestellte Schaltungskonfiguration in die Schaltungskonfiguration übergeht, die in Fig. 32 dargestellt ist (siehe weiter Fig. 28c).

Aus (78) folgt jetzt, daß:

H[hoch](1)[tief]izp (kleines Omega[tief]z) = H[hoch](1)[tief]izp (kleines Omega[tief]z + 2[hoch]z-1 x kleines Pi/T) = 1,

H[hoch](1)[tief]izp (2[hoch]z+1 x kleines Pi/T - kleines Omega[tief]z) = H[hoch](1)[tief]izp [(2[hoch]z+1 - 2[hoch]z-1) kleines Pi/T - kleines Omega[tief]z] = 1, so daß die Digitalfilter mit Übertragungsfunktionen H[hoch](1)[tief]izp (kleines Omega) je einer direkten Verbindung gleichwertig sind. Diese Situation ist der Vollständigkeit halber in Fig. 33 dargestellt. Die TDM-FDM-Anordnung enthält dadurch nur noch N-1 = 7 Digitalfilter.

Aus (78) geht weiter hervor, daß für die Digitalfilter mit Übertragungsfunktionen H[hoch](2)[tief]izp (kleines Omega) folgendes gilt:

H[hoch](1)[tief]izp (kleines Omega[tief]z) = H[hoch](2)[tief]izp (2[hoch]z+1 x kleines Pi/T - kleines Omega[tief]z) = 1,

H[hoch](2)[tief]izp (kleines Omega[tief]z + 2[hoch]z-1 x kleines Pi/T) = H[hoch](2)[tief]izp [(2[hoch]z+1 - 2[hoch]z-1) kleines Pi/T - kleines Omega[tief]z] = -1.

Das bedeutet, daß diese Digitalfilter durch "all-paß"-Filter gebildet werden, die eine Phasenverschiebung von 0, -kleines Pi oder von +kleines Pi einführen. Der Vollständigkeit halber ist in Fig. 34 das Argument von H[hoch](2)[tief]izp (kleines Omega) als Funktion von kleines Omega dargestellt.

Eine weitere Vereinfachung der Schaltungskonfiguration nach Fig. 33 ist in Fig. 35 dargestellt. Diese Konfiguration unterscheidet sich von der Konfiguration in Fig. 33 darin, daß der Kanal II jetzt durch eine Serienschaltung aus einem Digitalfilter mit Übertragungsfunktion G[tief]z, dem SRI-Element mit dem Erhöhungsfaktor 2 und einer Verzögerungsanordnung mit der Verzögerungszeit T/2[hoch]z gebildet wird. Der Amplitudenfrequenzgang sowohl des Digitalfilters als auch der Verzögerungsanordnung ist gleich eins. Vom Phasenfrequenzgang des Digitalfilters sind zwei fundamentale Intervalle in Fig. 36 dargestellt. Fig. 37 zeigt der Vollständigkeit halber den Verlauf des Phasenfrequenzganges der Verzögerungsanordnung über ein einziges fundamentales Intervall. Der in Fig. 34 dargestellte Phasenfrequenzgang wird jetzt durch Addition der in den Fig. 36 und 37 dargestellten Kennlinien erhalten.

In einer praktischen Ausführungsform kann die Schaltungskonfiguration nach Fig. 35 zu der in Fig. 38 dargestellten Konfiguration reduziert werden, die der in Fig. 35 dargestellten Konfiguration gleichwertig und ebenfalls mit zwei Kanälen I und II versehen ist, aber wobei die Funktionen der in Fig. 35 angegebenen SRI-Elemente der Verzögerungsanordnung und der Addieranordnung in einer Schaltanordnung 33 konzentriert sind. Diese Schaltungsanordnung, die in der Figur nur symbolisch angegeben ist, wird durch Schaltimpulse gesteuert, die mit einer Periode T/2[hoch]z auftreten. Beim Auftreten des ersten von zwei aufeinanderfolgenden Schaltimpulsen wird jeweils der Kanal I mit dem Ausgang 34 dieser Schaltungsanordnung und beim Auftreten des zweiten Schaltimpulses jeweils der Kanal II mit diesem Ausgang 34 verbunden. Die Folge davon ist, daß am Ausgang 34 der Schaltungskonfiguration ein digitales Signal auftritt dem eine Abtastzeit T/2[hoch]z zugeordnet ist und das durch eine Aufeinanderfolge von Signalkomponenten gebildet wird, die abwechselnd aus dem Kanal I und dem Kanal II herrühren (interleaving).

Der Vollständigkeit halber ist in Fig. 39 der vollständige Aufbau der TDM-FDM-Anordnung dargestellt, wobei die in (76) definierte Hadamard-Matrix A[hoch](2)[tief]iz = großes Phi[tief]1 jedem der Transformatoren zugrunde liegt. Diese TDM-FDM-Anordnung geht mit den vorangehenden Betrachtungen aus den Fig. 30, 23, 27 und 38 hervor, wobei die benutzten Digitalfilter mit Übertragungsfunktionen G[tief]1, G[tief]2, G[tief]3 alle "all-paß"-Filter mit den in Fig. 36 angegebenen Phasenfrequenzgängen sind.

Eine andere reelle Matrix, die sowohl zu einfachen Digitalfiltern als auch zu einer einfachen Transformationsanordnung führt und dabei eine schnelle Implementierung dieser Transformationsanordnung zuläßt, wird erhalten, wenn für alle i und alle z. (79)

Wird wiederum vorausgesetzt, daß H[mit Unterstrich][tief]izq (kleines Omega[tief]2) = 0, so folgt daraus zusammen mit (74), daß: für alle i und alle z, (80)

Auch bei dieser Wahl der Transformationsmatrix A[hoch](2)[tief]iz ist die Schaltungskonfiguration nach Fig. 33 gültig, wodurch die ganze TDM-FDM-Anordnung nach Fig. 30 mit nur N-1 Digitalfiltern verwirklicht werden kann.

Das in Fig. 33 angegebene Digitalfilter mit der Übertragungsfunktion H[hoch](2)[tief]izp (kleines Omega) kann jetzt wiederum durch eine Serienschaltung eines Digitalfilters mit der Übertragungsfunktion D[tief]z (kleines Omega) und einer Verzögerungsanordnung mit der Verzögerungszeit T/2[hoch]z (siehe Fig. 40) verwirklicht werden. Der Amplitudenfrequenzgang von D[tief]z (kleines Omega) ist in Fig. 41 und ihr Phasenfrequenzgang in Fig. 42 dargestellt.

Die Schaltungskonfiguration nach Fig. 33 kann bei der in (79) angegebenen Wahl der Transformationsmatrix und, wenn eine Phasenverzerrung zulässig ist, auch anders als auf diese Weise aufgebaut werden, die in Fig. 40 angegeben ist. Mit den Bemerkungen im Abschnitt E (2.3) kann für die FDM-Bedingung (74) unter Berücksichtigung von (79) auch geschrieben werden:

A[hoch](2)T[tief]iz H[mit Unterstrich][tief]izp (kleines Omega[tief]z) = 2 I[tief]2 diag [großes Psi[tief]iz (kleines Omega[tief]z)],

so daß

Weil H[hoch](2)[tief]izp (kleines Omega[tief]z) = 0 ist, kann H[hoch](2)[tief]izp (kleines Omega[tief]z) eine Phasenfrequenzfunktion zugedacht werden, die gleich großes Psi[tief]iz,1 (kleines Omega[tief]z) ist. Wird nun vorausgesetzt, daß:

H[hoch](2)[tief]izp (kleines Omega) = |D[tief]z (kleines Omega)| großes Psi[tief]iz,2 (kleines Omega),

wobei der Verlauf von |D[tief]z (kleines Omega)| in Fig. 41 dargestellt ist, so besteht noch die Freiheit, großes Psi[tief]iz;1 (kleines Omega[tief]z) gleich großes Psi[tief]iz;2 (kleines Omega[tief]z) zu wählen. Das bedeutet, daß in Fig. 33 in den Kanal II ein Digitalfilter mit der in Fig. 41 dargestellten Amplitudenfrequenzfunktion und mit einer Phasenfrequenzfunktion aufgenommen werden muß, die durch großes Psi[tief]iz;2 (kleines Omega) gegeben wird, und daß in den Kanal I ein digitales "all-paß"-Filter aufgenommen werden muß, das die gleiche Phasenfrequenzfunktion großes Psi[tief]iz;2 (kleines Omega) besitzt.

Im Abschnitt E (2.4) wurde bemerkt, daß eine schnelle Transformationsanordnung außer mit Hilfe von Zweipunkttransformatoren auch mit Hilfe beispielsweise von Vierpunkttransformatoren aufgebaut werden kann. Eine derartige Implementierung kann beispielsweise von Vorteil sein, wenn N = 4[hoch]kleines Gamma, worin kleines Gamma eine positive ganze Zahl darstellt. Bei einer derartigen Implementierung ist der Erhöhungsfaktor der SRI-Elemente in den unterschiedlichen Unterkanälen der Anordnung nach Fig. 30 gleich vier und wird die Übertragungsmatrix für vier Unterkanäle mit der gleichen Rangnummer definiert. Der Vollständigkeit halber wird jetzt noch eine reelle Transformationsmatrix gegeben, die als Grundlage für die Vierpunkttransformatoren dienen könnte. Als 4 x 4-Matrix könnte beispielsweise folgende reelle Matrix gewählt werden für alle i und alle z.

Wird auch jetzt als zusätzliche Bedingung gestellt, daß:

H[mit Unterstrich][tief]izq (kleines Omega[tief]z) = 0,

so folgt aus (69), daß:

H[mit Unterstrich][tief]izp (kleines Omega[tief]z) = (A[hoch](4)T[tief]iz)[hoch]-1,

so daß:

Wie im Abschnitt E (2.7) angegeben wurde, ist es möglich, wenn die Transformationsmatrix eine schnelle Implementierung zuläßt, den in Fig. 21 dargestellten Aufbau der TDM-FDM-Anordnung mit dem in Fig. 30 dargestellten Aufbau zu modifizieren. Wenn kleines Omega[tief]1 = 0 und wenn der Transformationsanordnung eine reelle Hadamard-Matrix zugrunde liegt, läßt sich die Anordnung nach Fig. 30 weiter zur Einrichtung vereinfachen, die in Fig. 39 dargestellt ist.

Wenn kleines Omega[tief]1 ungleich 0, sind die Signale {r[tief]k (n)}, die in der Anordnung nach Fig. 30 der Transformationsanordnung zugeführt werden, komplex. Das bedeutet, daß der Erhöhungsfaktor der SRI-Elemente in den verschiedenen Unterkanälen mindestens gleich drei sein muß. Wie aus der Fig. 30 ersichtlich ist, bedeutet solches, daß, wenn mit der Anordnung nach Fig. 30 acht Signale {x[tief]k (n)}, die alle ungleich Null sind, in ein FDM-Signal umgesetzt werden müssen, dem Ausgangssignal {y (n)} eine Abtastfrequenz zugeordnet werden muß, die mindestens gleich 27/T ist. Beim Vergleich mit der Abtastfrequenz, die dem Signal {y (n)} zugeordnet ist, das von der Anordnung nach Fig. 21 geliefert wird und mindestens gleich 9/T ist, zeigt sich, daß der in Fig. 30 gegebene Aufbau nicht vorteilhaft ist, wenn kleines Omega[tief]1 ungleich 0.

Wird unter bestimmten Umständen, beispielsweise wenn die Signale {r[tief]k (n)} komplexe Signale darstellen, in der in Fig. 30 dargestellten Anordnung eine komplexe Transformationsmatrix statt einer reellen Transformationsmatrix bevorzugt, so könnte beispielsweise folgende Matrix genommen werden: für alle i und alle z.

Um den Einfluß dieser Wahl der Transformationsmatrix auf die Digitalfilter anzugeben, wird die Betrachtung wiederum auf den Fall kleines Omega[tief]1 = 0 beschränkt. Wird jetzt als zusätzliche Bedingung gewählt:

H[mit Unterstrich][tief]iz (2[hoch]z+1 x kleines Pi/T - kleines Omega[tief]z) = 0,

so müssen die Unterkanäle auf die in Fig. 28a dargestellte Weise aufgebaut werden. Aus (65) folgt jetzt, daß: für alle i und alle z;

Hinsichtlich der Transformationsanordnung bedeutet Obiges, daß:

kleines Alpha[tief]11 = 1 kleines Alpha[tief]12 = 1

kleines Beta[tief]11 = 1 kleines Beta[tief]12 = -1

kleines Alpha[tief]21 = 1 kleines Alpha[tief]22 = -1

kleines Beta[tief]21 = -1 kleines Beta[tief]22 = 1

Für die Digitalfilter H[hoch](j)[tief]izp (kleines Omega) gilt also, daß die Filter mit der Übertragungsfunktion H[hoch](1)[tief]izp (kleines Omega) als direkte Durchverbindungen ausgeführt werden können und daß das Digitalfilter mit der Übertragungsfunktion H[hoch](2)[tief]izp (kleines Omega) ein "all-paß"-Filter bildet, das eine Phasendrehung von - kleines Pi/2 im

Intervall

2[hoch]z-1 kleines Pi/T </= kleines Omega < 2[hoch]z kleines Pi/T

und eine Phasendrehung von + kleines Pi/2 im Intervall

2[hoch]z kleines Pi/T </= kleines Omega < 2[hoch]z-1 3 kleines Pi/T

einführt. Der Vollständigkeit halber ist in Fig. 42 das Argument von H[hoch](2)[tief]izp (kleines Omega) als Funktion von kleines Omega dargestellt.

Wie bereits bemerkt wurde, kann für N = 4[hoch]kleines Gamma, worin kleines Gamma eine positive ganze Zahl darstellt, die Transformationsanordnung auch mit Hilfe von Vierpunkttransformatoren aufgebaut werden.

Als 4 x 4-Matrix könnte z.B. die komplexe Matrix gewählt werden:

(81)

für alle i und alle z.

Wird jetzt als zusätzliche Bedingung wiederum gestellt, daß

H[mit Unterstrich][tief]iz (2[hoch]z+1 x kleines Pi/2 - kleines Omega[tief]z) = 0,

so folgt aus (65), daß:

(82)

für alle i und alle z.

Bei ungeänderter Fortsetzung der obigen Beschreibung folgen aus diesen Übertragungsmatrizen die Übertragungsfunktionen in den verschiedenen Intervallen.

Der Vollständigkeit halber ist in Fig. 44 ein ausgearbeitetes Ausführungsbeispiel der Anordnung nach Fig. 21 dargestellt, bei der die reellen Signale {x[tief]k (n)} in komplexe Signale mit Hilfe der komplexen Modulatoren umgesetzt werden. In der Anordnung nach Fig. 44 ist N = 4, M = 5 und liegt der Transformationsanordnung die Matrix A[hoch](4)[tief]iz von (81) zugrunde. Für die Übertragungsfunktionen der Digitalfilter wird wiederum angenommen, daß

H*[tief]m (5 x 2 kleines Pi/T - kleines Omega[tief]0) = 0,

so daß die Signalkanäle auf die Weise aufgebaut werden müssen, wie es in Fig. 28a angegeben ist. Von den in diesen Signalkanälen verwendeten Digitalfiltern werden die Übertragungsfunktionen H[tief]mp (kleines Omega) durch (82) angegeben. Die Amplitudenfrequenzfunktion ist für alle Digitalfilter H[tief]mp (kleines Omega) mit m = 1, 2, 3, 4 gleich und in Fig. 45 dargestellt. Die Phasenfrequenzfunktionen der Digitalfilter H[tief]mp (kleines Omega) sind in Fig. 46 dargestellt.

Wie unter Berücksichtigung der Ausdrücke (16) einfach festgestellt werden kann, liefert die in Fig. 44 dargestellte TDM-FDM-Anordnung das in Fig. 20 dargestellte FDM-Signal.

Es sei bemerkt, daß in der Anordnung nach Fig. 44 ausschließlich der reelle Teil des komplexen Signals {u[tief]m (n)} bestimmt wird, denn der imaginäre Teil dieses Signals liefert keinen Beitrag zum gewünschten FDM-Signal.

E (2.9) Allgemeine Bemerkung hinsichtlich der TDM-FDM-Anordnung

1. In den Fig. 21, 28, 28a, 28b, 28c, 30, 31, 32, 33, 40 und 44 kommen jeweils Serienschaltungen aus einem SRI-Element und einem Digitalfilter vor. In einer praktischen Ausführungsform einer derartigen Serienschaltung werden die Funktionen des SRI-Elements und die des Digitalfilters miteinander verknüpft, wodurch eine praktische Ausführungsform einer derartigen Serienschaltung durch ein interpolierendes Digitalfilter gebildet wird, das auch mit abtastfrequenzerhöhendem Digitalfilter bezeichnet wird. Für die Implementierung eines derartigen Digitalfilters sei beispielsweise auf die Referenzen 15, 16 und 17 verwiesen.

2. Die in den Fig. 21 und 30 auftretenden Elemente 8 sind ausschließlich für mathematische Zwecke angegeben. Wie aus den Fig. 39 und 44 ersichtlich ist, wird ein derartiges Element in einer praktischen Ausführungsform des TDM-FDM-Umsetzers nicht benutzt, weil der reelle und der imaginäre Teil eines komplexen Signals getrennt zur Verfügung stehen. Zur Bestimmung des Signals Re [v (n)] genügt es daher, nur die Signale Re [u[tief]m (n)] der Addieranordnung 7 bzw. 32 zuzuführen.

3. Die obige Beschreibung ist davon ausgegangen, daß für kleines Omega[tief]1 = 0 die Kanalsignale im Frequenzspektrum des FDM-Signals liegen, wie in Fig. 20b angegeben ist. Das bedeutet, daß für N = 4 das FDM-Signal der vier Basisbandsignale {x[tief]1 (n)}, {x[tief]2 (n)}, {x[tief]3 (n)} und {x[tief]4 (n)} im Frequenzband von

0 </= kleines Omega < 8 kleines Pi/T

liegt. Wird es jedoch unter bestimmten Umständen für nützlich gehalten, das FDM-Signal beispielsweise in das Frequenzband

kleines Pi/T </= kleines Omega < 9 kleines Pi/T

zu bringen, so kann selbstverständlich kleines Omega[tief]1 gleich kleines Pi/T genommen werden. Es ist jedoch einfacher, N gleich 5 zu wählen und ein FDM-Signal ausgehend von den fünf Basisbandsignalen {x[tief]0 (n)}, {x[tief]1 (n)}, {x[tief]2 (n)}, {x[tief]3 (n)} und {x[tief]4 (n)} aufzubauen, wobei {x[tief]0 (n)} gleich Null für alle n ist.

4. Wenn kleines Omega[tief]1 ungleich 0, beispielsweise wie in der TDM-FDM-Anordnung nach Fig. 44, müssen die Übertragungsfunktionen H[tief]m (kleines Omega) in diesen Frequenzintervallen, die nicht in der FDM-Bedingung auftreten, gleich Null sein.

F (1) Die FDM-TDM-Anordnung

Abschnitt E beschreibt ausführlich Anordnungen zum Umwandeln einer Anzahl diskreter Basisbandsignale in ein diskretes Basisband-Einseitenband-Frequenzmultiplexsignal. In diesem Abschnitt wird kurzgefaßt auf Anordnungen eingegangen, die durch die Transponierung der im Abschnitt E beschriebenen

Anordnungen erhalten werden und die also ein diskretes Basisband-Einseitenband-Frequenzmultiplexsignal in die ursprünglichen, räumlich verteilten diskreten Basisbandsignale umsetzen. Die transponierte Form einer gegebenen Anordnung entsteht dadurch, daß in dieser gegebenen Anordnung

- die Signalrichtung umgekehrt wird,

- die Addierer durch Verteilerpunkte ersetzt werden,

- die Verteilerpunkte durch Addierer ersetzt werden,

- die SRI-Elemente durch SRR-Elemente und

- die SRR-Elemente durch SRI-Elemente ersetzt werden.

Ausgehend von obiger Beschreibung geht beispielsweise die in Fig. 21 dargestellte TDM-FDM-Anordnung in die FDM-TDM-Anordnung über, die in Fig. 47 dargestellt ist. Diese FDM-TDM-Anordnung enthält eine Anzahl von N Signalkanälen 4' (m) bei m = 1, 2, 3, N. Jedem dieser Signalkanäle wird das FDM-Signal {y (n)} zugeführt, dessen Frequenzspektrum Y (kleines Omega) beispielsweise wiederum die in Fig. 20a für N = 4 angegebene Form besitzt. Jeder Signalkanal 4' (m) enthält ein Digitalfilter 6' (m) mit der Übertragungsfunktion E[tief]m (kleines Omega) und einer im allgemeinen komplexen Stoßantwort

e[tief]m (n) = Re [e[tief]m (n)] + j Im [e[tief]m (n)].

Dieses Digitalfilter 6' (m) liefert ein digitales Ausgangssignal t'[tief]m (n), das im allgemeinen komplex ist und durch folgende Formel angegeben wird:

t'[tief]m (n) = Re [t'[tief]m (n)] + j Im [t'[tief]m (n)].

Wenn {y (n)} ein reelles Signal darstellt, gilt (siehe (52))

Re [t'[tief]m (n)] = y (n) * Re [e[tief]m (n)],

Im [t'[tief]m (n)] = y (n) * Im [e[tief]m (n)].

Das Frequenzspektrum T'[tief]m (kleines Omega) von {t'[tief]m (n)} wird durch folgende Formel wiedergegeben:

T'[tief]m (kleines Omega) = Y (kleines Omega) x E[tief]m (kleines Omega).

Dieses Signal {t'[tief]m (n)} wird anschließend einem SRR-Element 5' (m) zugeführt, dessen Komponenten s'[tief]m (n) des Ausgangssignals {s'[tief]m (n)} nach (11) durch folgende Formel angegeben wird:

s'[tief]m (n) = t'[tief]m (Mn)

und dessen Frequenzspektrum S'[tief]m (kleines Omega) nach (12) mit Hilfe folgenden Ausdrucks beschrieben werden kann: worin T die Abtastperiode darstellt, die dem Signal {s'[tief]m (n)} zugeordnet ist.

Die auf diese Weise erhaltenen Signale {s'[tief]m (n)} werden anschließend der Transformationsanordnung 3' zugeführt, die mit N Ausgangskanälen 1 (k) versehen ist und deren Wirkungsweise sich wiederum vollständig mit Hilfe einer Matrix B = [b[tief]km] beschreiben läßt, die aus den Elementen b[tief]km aufgebaut ist. Diese Transformationsanordnung liefert N digitale Signale {r'[tief]k (n)}, k = 1, 2, 3, N, die durch folgende Formel dargestellt werden:

Das zugeordnete Frequenzspektrum R'[tief]k (kleines Omega) wird durch folgende Formel dargestellt:

Das komplette Signal {r'[tief]k (n)} wird darauf einem komplexen Demodulator 1' (1,k) zugeführt, der das komplexe Signal w[tief]k (n) liefert, wofür gilt, daß

w[tief]k (n) = r'[tief]k (n) e[hoch]-j kleines Omega[tief]1 nT.

Von diesem Signal wird nun von der Anordnung 8 (k) der reelle Teil seinem Ausgang zugeführt. Das Ausgangssignal v[tief]k (n) dieser Anordnung 8 (k) ist also durch folgende Formel dargestellt:

v[tief]k (n) = Re [w[tief]k (n)] = 1/2 [w[tief]k (n) + w*[tief]k (n)].

Darin stellt w*[tief]k (n) wiederum den konjugierten komplexen Wert von w[tief]k (n) dar. Für das Frequenzspektrum V[tief]k (kleines Omega) von {v[tief]k (n)} gilt wiederum (siehe (30)):

V[tief]k (kleines Omega) = 1/2 x {R'[tief]k (kleines Omega + kleines Omega[tief]1) + R'*[tief]k [2 kleines Pi/T - (kleines Omega + kleines Omega[tief]1)]}.

Für die Ausgangskanäle 1 (k) mit ungeradzahliger Rangnummer k gilt wiederum, daß x[tief]k (n) = v[tief]k (n), und in die Ausgangskanäle mit geradzahliger Rangnummer k sind wiederum die Austauschmodulatoren 2'(.) aufgenommen, deren Ausgangssignale durch die gewünschten Signale {x[tief]k (n)}, wenn k geradzahlig ist, gebildet werden.

Aus obigen Ausdrücken können mit einigen Eingriffen auf die Weise, wie im Abschnitt E (2.3) angegeben ist, die TDM-Bedingungen abgeleitet werden. Die TDM-Bedingung für kleines Omega[tief]1 = 0 lautet wie folgt:

(83)

Die TDM-Bedingung für kleines Omega[tief]1 ungleich 0 lautet wie folgt:

(84)

In (83) und (84) stellt kleines Delta[tief]ki wiederum das Kronecker-Symbol dar, das in (43) definiert ist. Weiter ist

0 </= kleines Omega[tief]0 < kleines Pi/T,

i = 1, 2, 3, N.

Wie die FDM-Bedingungen (41) und (42) können die TDM-Bedingungen (83) und (84) in Matrixform geschrieben werden, wobei die in (46) und (47) definierten Matrizen benutzt werden können, so daß (83) in folgende Formel übergeht:

B[hoch](N) E[mit Unterstrich] (kleines Omega[tief]0) + B[hoch](N)* E[mit Unterstrich]* (M x 2 kleines Pi/T - kleines Omega[tief]0) = 2 NI[tief]N x diag [großes Psi[tief]i (kleines Omega[tief]0)]

(85)

und (84) übergeht in:

E[mit Unterstrich]* (M 2 kleines Pi/T - kleines Omega[tief]0) = 0,

B[hoch](N) E[mit Unterstrich] (kleines Omega[tief]0) = 2 NI[tief]N x diag [großes Psi[tief]i (kleines Omega[tief]0)]

(86)

Fig. 47 gibt einen möglichen Aufbau einer FDM-TDM-Anordnung, bei der der Zusammenhang zwischen den Übertragungsfunktionen E[tief]m (kleines Omega) der Digitalfilter 6' (m), wobei m = 1, 2, 3, N, und der der Transformationsanordnung 3' zugrunde liegende Transformationsmatrix durch die TDM-Bedingung (84) bzw. (86) angegeben wird. Wie bei der TDM-FDM-Anordnung ist eine vollständige Freiheit in der Wahl der verschiedenen Matrizen möglich, wodurch dasjenige, was für die TDM-FDM-Anordnung beschrieben ist, voll und ganz für diese FDM-TDM-Anordnung gilt.

Ein Vergleich der TDM-Bedingungen mit den FDM-Bedingungen zeigt, daß diese Bedingungen nicht identisch sind. Wenn die FDM-TDM-Anordnung durch Transposition der TDM-FDM-Anordnung entstanden ist, ist dies jedoch nur scheinbar. Durch die Umwandlung der Digitalfilter 6 (m) nach Fig. 21 gehen diese Filter in die Digitalfilter 6' (m) nach Fig. 47 über. Zwar wird die Implementierung des Digitalfilters 6' (m) hierdurch anders als die des Filters 6 (m), aber die Übertragungsfunktion des Filters 6' (m) wird hierdurch nicht beeinflußt (siehe Referenz 2), so daß

E[tief]m (kleines Omega) = H[tief]m (kleines Omega). (87)

Es läßt sich auf einfache Weise feststellen, daß durch die Transposition der Transformationsanordnung 3, der eine Matrix A[hoch]N = [a[tief]mk] zugrunde liegt, die Transformationsanordnung 3' erhalten wird, der eine Matrix A[hoch](N)T = [a[tief]km] zugrunde liegt, so daß:

B[hoch](N) = A[hoch](N)T. (88)

Substitution von (87) und (88) in (86) liefert wiederum die FDM-Bedingung (49), und die Substitution von (87) und (88) in (85) liefert die FDM-Bedingung (48). Aus obiger Beschreibung geht hervor, daß eine FDM-TDM-Anordnung durch Transposition einer gegebenen TDM-FDM-Anordnung oder umgekehrt erhalten werden kann.

F (2) Allgemeine Bemerkungen betreffend die FDM-TDM-Anordnung

1. In Fig. 47 und in den Anordnungen, die durch Transposition der in den Fig. 30 und 39 dargestellten TDM-FDM-Anordnungen erhalten werden, treten jeweils Serienschaltungen aus einem SRR-Element und einem Digitalfilter auf. In einer praktischen Implementierung einer derartigen Serienschaltung werden die Funktionen des SSR-Elements und des Digitalfilters miteinander verknüpft. Eine derartige Serienschaltung wird also mit Hilfe eines extrapolierenden Digitalfilters implementiert, das auch abtastfrequenz-herabsetzendes Digitalfilter genannt wird. Für die Implementierung eines derartigen Digitalfilters sei auf die Referenz 15 und 18 hingewiesen.

2. Der in Fig. 47 dargestellte komplexe Demodulator kann wie die übrigen Elemente dieser Anordnung durch das Umkehren der Signalrichtung in Fig. 17 und durch das Ersetzen des Verteilpunktes durch eine Subtraktionsanordnung erhalten werden. Bei einem derartigen Aufbau des komplexen Demodulators wird sein Ausgangssignal durch Re [w[tief]k (n)] angegeben, so daß die Anordnung 8 (k) in einer praktischen Ausführungsform der FDM-TDM-Anordnung entfallen kann.

3. Die TDM-FDM-Anordnung und die FDM-TDM-Anordnung brauchen kein System zu bilden, bei dem beispielsweise die TDM-FDM-Anordnung als Sender und die FDM-TDM-Anordnung als Empfänger oder umgekehrt arbeitet. Eine jede dieser Anordnungen kann unabhängig von der Benutzung der anderen Anordnung in den bereits bestehenden PCM-Übertragungssystemen benutzt werden.

Claims (6)

1. Übertragungsanordnung mit einer sendeseitigen Anordnung zum Umwandeln von N diskreten Basisbandsignalen {x[tief]k (n)}, (k = 1, 2, 3, N) in ein diskretes Basisband-Einseitenband-Frequenzmultiplexsignal {y (n)}, (n = 0, +/-1, +/-2, ), und mit einer empfangsseitigen Anordnung zum Umwandeln eines diskreten Basisband-Einseitenband-Frequenzmultiplexsignals {y (n)} in N diskrete Basisbandsignale {x[tief]k (n)}, wobei die Komponenten x[tief]k (n) mit einer Abtastfrequenz 1/T und die Komponenten y (n) mit einer Abtastfrequenz 1/T[tief]y mindestens gleich N/T auftreten und jedes Signal {x[tief]k (n)} ein Frequenzspektrum x[tief]k (kleines Omega) und das Signal {y (n)} ein Frequenzspektrum Y (kleines Omega) hat, bei dem

Y [kleines Omega[tief]0 + (k - 1) kleines Pi/T] = X[tief]k (kleines Omega[tief]0) x großes Psi[tief]k (kleines Omega[tief]0),

ist und kleines Omega[tief]0 eine Frequenz im Intervall 0 </= kleines Omega[tief]0 < kleines Pi/T ist und großes Psi[tief]k (kleines Omega[tief]0) eine beliebige Funktion von kleines Omega[tief]0 darstellt, und in der Übertragungsanordnung

I. die sendeseitige Anordnung versehen ist mit:

Ia. Mitteln zum selektiven Modulieren der Signale {x[tief]k (n)} zum Erzeugen von Basisbandsignalen {r[tief]k (n)};

Ib. einer Transformationsanordnung, die aus den Signalen {r[tief]k (n)} mehrere Transformationssignale {s[tief]m (n)} mit m = 1, 2, N erzeugt und der eine Transformationsmatrix A mit den Matrixelementen a[tief]mk, die einen konstanten Wert haben, zugeordnet ist, wobei der Zusammenhang zwischen den Komponenten s[tief]m (n) und r[tief]k (n) beschrieben wird durch die Beziehung

Ic. mehreren Signalkanälen, denen je eines der Transformationssignale zugeführt wird und die je ein diskretes Filter und abtastfrequenzerhöhende Mittel zum Erzeugen diskreter Signale {u[tief]m (n)} enthalten, wobei die von dem diskreten Filter bestimmte Übertragungsfunktion des m-ten Signalkanals gleich H[tief]m (kleines Omega) ist;

Id. Mitteln zur Bildung eines diskreten Summensignals das mit dem Frequenzmultiplexsignal {y (n)} übereinstimmt;

II. die empfangsseitige Anordnung versehen ist mit:

IIa. mehreren Signalkanälen, denen je das diskrete Frequenzmultiplexsignal {y (n)} zugeführt wird und die je ein diskretes Filter und abtastfrequenzherabsetzende Mittel zum Erzeugen diskreter Signale {s[tief]m (n)} enthalten, wobei die von dem Filter bestimmte Übertragungsfunktion des m-ten Signalkanals gleich E[tief]m (kleines Omega) ist;

IIb. einer Transformationsanordnung, die aus den diskreten Signalen {s[tief]m (n)} mehrere diskrete Signale {r[tief]k (n)} erzeugt und der eine Transformationsmatrix B mit den Matrixelementen b[tief]km, die einen konstanten Wert haben, zugeordnet ist, wobei der Zusammenhang zwischen den Komponenten s[tief]m (n) und r[tief]k (n) beschrieben wird durch die Beziehung

IIc. einem Ausgangskreis, der aus den diskreten Signalen {r[tief]k (n)} mittels selektiver Modulatoren die diskreten Basisbandsignale {x[tief]k (n)} erzeugt;

dadurch gekennzeichnet, daß bei einer Transformationsmatrix A und einer Transformationsmatrix B, die weder der diskreten Fourier-Transformationsmatrix noch der inversen diskreten Fourier-Transformationsmatrix entsprechen,

I.A. in der sendeseitigen Anordnung

I.A.i. in jedem Signalkanal den abtastfrequenzerhöhenden Mitteln ein diskretes Filter nachgeschaltet ist;

I.A.ii. für jeden Signalkanal der Zusammenhang zwischen seiner Übertragungsfunktion H[tief]m (kleines Omega) und den Matrixelementen a[tief]mk durch folgende FDM-Bedingung gegeben wird: worin a*[tief]mk den konjugiert komplexen Wert von a[tief]mk und H*[tief]m (kleines Omega) den konjugiert komplexen Wert von H[tief]m (kleines Omega) darstellt mit

i = 1, 2, 3, N,

kleines Delta[tief]ki = 0 für k ungleich i

= 1 für k = i;

II.A. in der empfangsseitigen Anordnung

II.A.i. in jedem Signalkanal dem diskreten Filter abtastfrequenzherabsetzende Mittel nachgeschaltet sind;

II.A.ii. für jeden Signalkanal der Zusammenhang zwischen der Übertragungsfunktion E[tief]m (kleines Omega) und den Matrixelementen b[tief]km durch folgende TDM-Bedingung gegeben wird:

worin b*[tief]km den konjugiert komplexen Wert von b[tief]km und E*[tief]m (kleines Omega) den konjugiert komplexen Wert von E[tief]m (kleines Omega) darstellt.

2. Übertragungsanordnung mit einer sendeseitigen Anordnung zum Umwandeln von N diskreten Basisbandsignalen {x[tief]k (n)}, (k = 1, 2, 3, N) in ein diskretes Basisband-Einseitenband-Frequenzmultiplexsignal {y (n)}, (n = 0, +/-1, +/-2, ), und mit einer empfangsseitigen Anordnung zum Umwandeln eines diskreten Basisband-Einseitenband-Frequenzmultiplexsignals {y (n)} in N diskrete Basisbandsignale {x[tief]k (n)}, wobei die Komponenten x[tief]k (n) mit einer Abtastfrequenz 1/T und die Komponenten y (n) mit einer Abtastfrequenz 1/T mindestens gleich M/T auftreten mit M gleich einer ganzen Zahl größer als N, und wobei jedes Signal {x[tief]k (n)} ein Frequenzspektrum X[tief]k (kleines Omega) und das Signal {y (n)} ein Frequenzspektrum Y (kleines Omega) hat, bei dem

Y [kleines Omega[tief]1 + kleines Omega[tief]0 + (k - 1) kleines Pi/T] = X[tief]k (kleines Omega[tief]0) x großes Psi[tief]k (kleines Omega[tief]0)

ist und kleines Omega[tief]0 eine Frequenz im Intervall 0 </= kleines Omega[tief]0 < kleines Pi/T ist und großes Psi[tief]k (kleines Omega[tief]0) eine beliebige Funktion von kleines Omega[tief]0 darstellt, und in der Übertragungsanordnung

I. die sendeseitige Anordnung versehen ist mit

I.a. einer Reihenschaltung selektiver Modulationsmittel und komplexer Modulationsmittel zum Erzeugen komplexer Signale {r[tief]k (n)}, wobei den komplexen Modulationsmitteln ein komplexes Trägersignal mit der Frequenz kleines Omega[tief]1 zugeordnet ist, in dem

kleines Omega[tief]1 ungleich kleines Phi kleines Pi/T ist mit kleines Phi = 0, +/-1, +/-2,

I.b. einer Transformationsanordnung, die aus den komplexen Signalen {r[tief]k (n)} mehrere diskrete Transformationssignale {s[tief]m (n)}, (m = 1, 2, 3, N) erzeugt und der eine Transformationsmatrix A mit den Elementen a[tief]mk, die einen konstanten Wert haben, zugeordnet ist, wobei der Zusammenhang zwischen den Komponenten s[tief]m (n) und r[tief]k (n) beschrieben wird durch die Beziehung

I.c. mehreren Signalkanälen, denen je eines der Transformationssignale zugeführt wird und die je ein diskretes Filter und abtastfrequenzerhöhende Mittel zum Erzeugen diskreter Signale {u[tief]m (n)} enthalten, wobei die von dem diskreten Filter bestimmte Übertragungsfunktion des m-ten Signalkanals gleich H[tief]m (kleines Omega) ist;

I.d. Mitteln zur Bildung eines diskreten Summensignals das mit dem Frequenzmuliplexsignal {y (n)} übereinstimmt;

II. die empfangsseitige Anordnung versehen ist mit:

II.a. mehreren Signalkanälen, denen je das diskrete Frequenzmultiplexsignal {y (n)} zugeführt wird und die je ein diskretes Filter und abtastfrequenzherabsetzenden Mitteln zum Erzeugen diskreter Signale {s[tief]m (n)} enthalten, wobei die von dem Filter bestimmte Übertragungsfunktion des m-ten Signalkanals gleich E[tief]m (kleines Omega) ist;

II.b. einer Transformationsanordnung, die aus den diskreten Signalen {s[tief]m (n)} mehrere diskrete Signale {r[tief]k (n)} erzeugt und der eine Transformationsmatrix B mit den Matrixelementen b[tief]km, die einen konstanten Wert haben, zugeordnet ist, wobei der Zusammenhang zwischen den Komponenten s[tief]m (n) und r[tief]k (n) beschrieben wird durch die Beziehung

II.c. einem Ausgangskreis, dem die Signale {r[tief]k (n)} zugeführt werden und der mit einer Reihenschaltung aus selektiven Modulationsmitteln und komplexen Modulationsmitteln versehen ist, denen ein komplexes Trägersignal mit der Frequenz kleines Omega[tief]1/2 kleines Pi zugeordnet ist, zum Erzeugen der diskreten Basisbandsignale {x[tief]k (n)},

dadurch gekennzeichnet, daß bei einer Transformationsmatrix A und einer Transformationsmatrix B, die weder der diskreten Fourier-Transformationsmatrix noch der inversen diskreten Fourier-Transformationsmatrix entsprechen,

I.A. in der sendeseitigen Anordnung

I.A.i. in jedem Signalkanal den abtastfrequenzerhöhenden Mitteln ein diskretes Filter nachgeschaltet ist;

I.A.ii. für jeden Signalkanal der Zusammenhang zwischen seiner Übertragungsfunktion H[tief]m (kleines Omega) und den Matrixelementen a[tief]mk durch folgende FDM-Bedingung gegeben wird:

H*[tief]m [2/T[tief]y - {kleines Omega[tief]0 + kleines Omega[tief]1 + (i - 1) kleines Pi/T}] = 0, worin H*[tief]m (kleines Omega) den konjugiert komplexen Wert von H[tief]m (kleines Omega) darstellt mit

i = 1, 2, 3, N,

kleines Delta[tief]ki = 0 für k ungleich i

= 1 für k = i;

II.A. in der empfangsseitigen Anordnung

II.A.i. in jedem Signalkanal dem diskreten Filter abtastfrequenzherabsetzende Mittel nachgeschaltet sind;

II.A.ii. für jeden Signalkanal der Zusammenhang zwischen der Übertragungsfunktion E[tief]m (kleines Omega) und den Matrixelementen b[tief]km durch folgende TDM-Bedingung gegeben wird:

E*[tief]m {2/T[tief]y - [kleines Omega[tief]1 + kleines Omega[tief]0 + (i - 1) kleines Pi/T]} = 0, worin E*[tief]m (kleines Omega) den konjugiert komplexen Wert von E[tief]m (kleines Omega) darstellt.

3. Anordnung nach Anspruch 1 oder 2, dadurch gekennzeichnet, daß die Matrixelemente a[tief]mk und b[tief]km jeweils gleich kleines Alpha[tief]mk + j kleines Beta[tief]mk bzw. kleines Gamma[tief]km + j kleines Epsilon[tief]km sind, worin kleines Alpha[tief]mk, kleines Beta[tief]mk, kleines Gamma[tief]km und kleines Epsilon[tief]km Konstanten sind, die je einen Wert aus der Menge der Werte 0, +1, -1 haben.

4. Anordnung nach Anspruch 1 oder 3, dadurch gekennzeichnet, daß jeder Signalkanal durch eine Serienschaltung aus einer Anzahl von Unterkanälen gebildet wird, die je mit diskreten Filtermitteln und abtastfrequenzerhöhenden Mitteln versehen sind, wobei im z. Unterkanal den diskreten Filtermitteln ein diskretes Signal zugeführt wird, dem eine Abtastfrequenz 1/T[tief]z zugeordnet ist.

5. Anordnung nach Anspruch 1 und 4, dadurch gekennzeichnet, daß die erwähnte Transformationsanordnung durch eine schnelle Transformationsanordnung gebildet wird, die mit einer Anzahl von Transformatoren versehen ist, denen je eine p x p Teilmatrix

A[hoch](p)[tief]kleines Gamma z = [a[tief]kleines Gamma z, kleines Alpha kleines Beta]

einer Menge von p x p Matrizen zugeordnet ist (kleines Gamma = 1, 2, 3, ; z = 1, 2, 3, ; kleines Alpha, kleines Beta = 1, 2, 3, p), sowie mit einer Gruppe von p verschiedenen Signalkanälen zugeordneten z. Unterkanäle versehen ist, wobei die diskreten Filtermittel dieser z. Unterkanäle die entsprechenden Übertragungsfunktionen H[hoch](j)[tief]kleines Gamma z (kleines Omega) bei j = 1, 2, 3, p besitzen und der Zusammenhang zwischen den Elementen a[tief]kleines Gamma z, kleines Alpha kleines Beta und eine derartige Übertragungsfunktion H[hoch](j)[tief]kleines Gamma z (kleines Omega) durch folgende FDM-Bedingung gegeben wird worin

kleines Omega[tief]z eine Frequenz im Intervall 0 </= kleines Omega[tief]z < p[hoch]z-1 kleines Pi/T;

a*[tief]kleines Gamma z, kleines Alpha kleines Beta den konjugiert komplexen Wert von a[tief]kleines Gamma z, kleines Alpha kleines Beta und

H[hoch](kleines Alpha)*[tief]kleines Gamma z (kleines Omega) den konjugiert komplexen Wert von H[hoch](kleines Alpha)[tief]kleines Gamma z (kleines Omega) darstellt,

i = 1, 2, 3, p,

kleines Delta[tief]kleines Beta i = 0 für kleines Beta ungleich i

kleines Delta[tief]kleines Beta i = 0 für kleines Beta ungleich i

großes Psi[tief]kleines Gamma z; i (kleines Omega[tief]z) eine beliebige Funktion von kleines Omega[tief]z darstellt.

6. Anordnung nach Anspruch 2 und 3, dadurch gekennzeichnet, daß die erwähnte Transformationsanordnung durch eine schnelle Transformationsanordnung gebildet wird, die mit einer Anzahl von Transformatoren, denen je eine p x p-Teilmatrix

B[hoch](p)[tief]kleines Gamma z = [b[tief]kleines Gamma z, kleines Beta kleines Alpha]

einer Menge von p x p-Matrizen zugeordnet ist (kleines Gamma = 1, 2, 3, ; z = 1, 2, 3, ; kleines Alpha, kleines Beta = 1, 2, 3, p), sowie einer Gruppe von p zu verschiedenen Signalkanälen gehörenden z Unterkanäle versehen ist, wobei die diskreten Filtermittel dieser z. Unterkanäle die entsprechenden Übertragungsfunktionen E[hoch](j)[tief]kleines Gamma z (kleines Omega) bei j = 1, 2, 3, p, und der Zusammenhang zwischen den Elementen b[tief]kleines Gamma z, kleines Beta kleines Alpha und einer derartigen Übertragungsfunktion E[hoch](j)[tief]kleines Gamma z (kleines Omega) durch die erwähnte TDM-Bedingung angegeben wird worin:

kleines Omega[tief]z eine Frequenz im Intervall 0 </= kleines Omega[tief]z < kleines Pi/T x p[hoch]z-1;

b*[tief]kleines Gamma z, kleines Beta kleines Alpha den konjugiert komplexen Wert von b[tief]kleines Gamma z, kleines Beta kleines Alpha und

E[hoch](kleines Alpha)*[tief]kleines Gamma z den konjugiert komplexen Wert von E[hoch](kleines Alpha)[tief]kleines Gamma jz darstellt,

i = 1, 2, 3, p,

kleines Delta[tief]kleines Beta i = 0 für kleines Beta ungleich i

kleines Delta[tief]kleines Beta i = 1 für kleines Beta gleich i

großes Psi[tief]kleines Gamma z; i (kleines Omega[tief]z) eine beliebige Funktion von kleines Omega[tief]z darstellt.