DE2558716C3 - Musikinstrumente in fester, optimierter ungleichschwebender Stimmung für alle 24 Tonarten - Google Patents

Musikinstrumente in fester, optimierter ungleichschwebender Stimmung für alle 24 Tonarten

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DE2558716C3 DE19752558716 DE2558716A DE2558716C3 DE 2558716 C3 DE2558716 C3 DE 2558716C3 DE 19752558716 DE19752558716 DE 19752558716 DE 2558716 A DE2558716 A DE 2558716A DE 2558716 C3 DE2558716 C3 DE 2558716C3
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Description

Die Erfindung betrifft Musikinstrumente mit einem Satz (oder mehreren Sätzen) von festen Stimmungen, bei denen auf der tonalen Grundterz eine reine Quint aufgebaut ist, vom tonalen Zentrum sechs reine Quinten im Zirkel absteigen und die weiteren fünf Quinten des Zirkels temperiert sind. Derartige ungleichstufige Systeme mit reinen und unterschwebenden Quinten sind »wohltemperiert« im barocken Sinne. Die zu lösende Aufgabe besteht darin, bei der Vielfalt solcher musikalischer Temperaturen eine absolute Optimierung zu finden. Die erfindungsgemäße Stimmung ist dadurch gekennzeichnet, daß im tonalen Grunddreiklang die temperierte Quint ebenso schnell unterschwebt, wie die temperierte Terz überschwebt, welche von vier derartig temperierten Quinten ausgefüllt wird. Auch die fünfte temperierte Quint hat praktisch die gleiche Intervallgröße.
Die gesuchte optimierte musikalische Temperatur für alle 24 Tonarten wird also aus einem einzigen »wohltemperierten« Dreiklang hergeleitet. Dieser Dreiklang liegt auf C-Dur, dem Zentrum der Tonalität; dessen Quint c —g und Terz c —e sind auf neuartige Weise, eindeutig, physikalisch und musikalisch optimal, aneinander angepaßt, d. h. temperiert.
Weiterbildungen der Erfindung sind in den Unteransprüchen gekennzeichnet.
Die Musikinstrumente mit festen Stimmungen, welche hier in Betracht kommen, sind zum Beispiel Tasteninstrumente, Orgeln, insbesondere auch elektronische Kirchenorgeln, Akkordeons, aber auch Mundharmonikas und andere Blasinstrumente. Bei derartigen Instrumenten ist es einerseits für die Klangschönheit wünschenswert, daß die tonikalen Terzen der häufigsten Tonarten — im Quintenzirkel nahe um C-Dur — möglichst rein klingen, andererseits müssen aber dennoch auch die entferntesten Dur- und Molltonarten in deren Terzen möglichst gut verwendbar bleiben, so daß in allen 24 Tonarten musiziert werden kann.
Es ist bekannt, daß in der gleichschwebenden Temperatur alle vierundzwanzig Tonarten zulässig sind, wobei sämtliche Großterzen gleich gut klingen, oder vielmehr gleich schlecht, im Hinblick auf deren Abweichung von nicht weniger als 14 cent gegenüber dem Reinintervall. Weniger bekannt ist, daß auch
verschiedene ungleichschwebende Temperaturen ebenfalls den Gebrauch aller Tonarten gestatten. In seinem Buch »Die Lehre von den Tonbeziehungen«, Bonn 1975, schreibt dazu Martin Vogel auf p. 239:
»Zur gleichstufigen Temperierung sind folgende Meinungen im Umlauf:
— daß sie die beste aller 12-Ton-Temperierungen ist;
—daß sie erstmals ein Modulieren in alle Tonarten erlaubte;
Alle diese Meinungen sind falsch.«
Es sei auch noch aus »Musik und Zahl«, Herausgeber Günter Schnitzler, Bonn 1976, Martin Vogels Aufsatz »Reine Stimmung und Temperierung« zitiert, p. 284:
»Es stimmt also nicht, daß erst die gleichstufige Temperierung ein unbeschränktes Modulieren ermöglichte. Schon das )Erlanger Monochord^ gestattete ein Spiel in allen Tonarten, die allerdings in ihrem )Charakter( verschieden waren: die einen waren mehr )pythagreisch(, die anderen mehr )rein{, mehr oder weniger belastet mit unreinen Quinten.«
Die. mangelhafte Klangqualität der gleichstufigen Temperierung auf Orgeln beurteilt Martin Vogel in »Tonbeziehungen«, p. 249, wie folgt:
»An elektronischen Orgeln läßt sich die Gleichstufigkeit leicht verwirklichen. Sie klingen aber auch danach. Es ist kein Zufall, daß die elektronischen Orgeln meist mit Vibrato gespielt werden. Das Vibrato überdeckt die Stimmungsmängel.«
Zum Problem der musikalischen Temperaturen gibt es eine umfangreiche Literatur, von welcher die drei J3 folgenden Standardwerke erwähnt seien:
— Kelletat, Herbert: Zur musikalischen Temperatur, insbesondere bei Johann Sebastian Bach, Oncken, Kassel 1960;
Lloyd, Ll. S. and Hugh Boyle: Intervals, Scales and Temperaments, Macdonald London, 1963;
— Murray Barbour, J.: Tuning and Temperament, East Lansing, Michigan State College Press 1953.
Aus der Literatur geht hervor, daß insbesondere unter den Temperaturen für alle 24 Tonarten die beiden folgenden Barockstimmungen die besten sind:
Werckmeister III von 1691
Kelletat p. 13, 29; dort als Temperatur II bezeichnet, bei Murray Barbour in Kapitel VII, p. 161, sowie Tabelle 140 auf p. 162.
Kirnberger III von 1779
Kelletat p. 47, sowie auch Helmut K. H. lange, »Ein Beitrag zur musikalischen Temperatur der Musikinstrumente vom Mittelalter bis zur Gegenwart«, Rezension, in »Die Musikforschung« 21, Heft 4, 1968, p. 482. Dort insbesondere p.486 ff.
In diesen beiden besten historischen Temperaturen fco Werckmeister III und Kirnberger III nimmt die Qualität der tonikalen Terzen von C-Dur nach den entfernteren Tonarten des Quintenzirkels hin ab, bis zur pythagoreischen Schärfe, doch können sie beide für alle 24 Tonarten verwendet werden. Allerdings ist Werckmeitir> ster HI mit vier Quinten zu 696 cent belastet, welche noch stärker unterschweben, als jene der Mitteltönigkeit mit 696.6 rent. Weiter haben zwei Tonarten, F- und C-Dur, die beste Großterz, obwohl es besser ist, wenn
diese bloß in einer einzigen Tonart auftritt, da andernfalls die entfernteren Tonarten unnötig belastet werden, d. h. der Ausgleich für alle 24 Tonarten würde darunter leiden. Dagegen weist zwar Kirnberger III eine einzige Großterz auf, welche rein ist, nämlich c-e, wodurch aber die weiteren Terzen in der Oktave c—e—gis-c mehr als nötig verstimmt werdea Zudem hat Kirnberger nicht weniger als insgesamt fünf pythagoreische (408 cent) und quasi-pythagoreische (406 cent) Großterzen: rein pythagoreisch ist As, Cis, quasi-pythagoreisch E, H und Fis-Dur. Siehe A b b. 1 für Werckmeister IH und Kirnberger III.
Demgegenüber soll mit der Erfindung die Vielzahl der mit Zufälligkeiten. Willkür und Unvollkommenheiten behafteten Stimmungen für alle vierundzwanzig Tonarten durch eine einzige, physikalisch und musikalisch absolut optimierte 12-Ton-Temperierung ersetzt werdea Insbesondere kann der Erfolg des erfindungsgemäßen Vorgehens an den Vorzügen des F"gebnisses im Vergleich gegenüber Werckmeister III und Kirnberger III klar beurteilt werden.
Die vorgeschlagene musikalische Temperatur für alle 24 Tonarten wird aus einem einzigen »wohltemperierten Dreiklang« hergeleitet Dieser Dreiklang liegt auf C-Dur, dem Zentrum der Tonalität; dessen Quint c —g und Terz c-e sind auf eindeutige -ind optimale Weise aneinander angepaßt, d.h. temperiert Einige Vorbemerkungen zum Problem der Inkommensurabilität der wesentlichen musikalischen Reinintervalle müssen vorausgeschickt werden:
Das pythagoreische Komma P
Zwölf reine Quinten 3/2 überschießen die siebente Oktave 27Um/*
(3/2)'* > 128
Das syntonische Komma 5
Vier aufeinanderfolgende reine Quinten übertreffen die zweite Oktave 22 der reinen Großterz 5/4 um 5:
(3/2)« > 4(5/4)
Die kleine Diesis δ
Drei Großterzen 5/4 erreichen nicht die Oktave, sondern sind um <5 tiefer:
(5/4)3 < 2
Die große Diesis Δ
Vier reine Kleinterzen 6/5 überschießen die Oktave um Δ:
(6/5)« > 2
Aus diesen Vorbemerkungen folgt unmittelbar, daß in einer ausgeglichenen Temperatur für alle 24 Tonarten, wegen der großen und kleinen Diesis, keine reine Großterz, und erst recht keine reine Kleinterz vorkommen darf. Vielmehr müssen alle Großterzer. gegenüber dem Reinintervall überschweben, und alle Kleinterzen unterschwebin. Wegen des pythagoreischen Kommas P darf keine Quint vergrößert werden, da die Quint gegenüber der Oktave zu groß ist; wohl dürfen aber Quinten in einer Temperatur für alle Tonarten unterschweben. Auch gegenüber der Terz ist die Quint wegen des syutonischen Kommas zu groß. Umgekehrt ist daher die Terz gegenüber der Quint zu klein, aber zugleich ist die Großterz wegen der kleinen
Diesis δ bezüglich der Oktave zu klein.
Daher muß beim Temperieren, um eine Anpassung zu erreichen, im allgemeinen die Großterz vergrößert werden, und die Quint verkleinert Diese beiden Tendenzen sind miteinander verträglich. Dieses Temperierungsprinzip kann insbesondere auf den tonalen Grunddreiklang von C-Dur, dem Zentrum der Tonalität angewandt werden. Die physikalisch, ebenso wie musikalisch relevanten
ίο Observablen temperierter Intervalle sind die Schwebungen, welche sich zwischen höheren Teiltönen ausbilden. Die Schwebungen einer Quint Q treten zwischen dem zweiten und dritten Teilton auf; diese Schwebungsfrequenz ist proportional zu 2Q—3. Die Schwebungen einer Großterz T.entstehen zwischen dem vierten und fiuiften Teilton und sind proportional 4 T- 5.
Die erfindungsgemäße Temperierung des C-Dur Dreiklanges 1, Tw, Qw ist dadurch definiert — gemäß dem allgemeinen Prinzip und über die relevanten Schwebungsobservablen — daß dessen Terz Tw ebenso schnell überschwebt, wie dessen Quint Qw unterschwebt:
2Qw-3= ~{4Tw-5),
und daß zwei Oktaven unter vier derart temperierten Quinten Qm der Reihe c—g—d —a —e, die temperierte Terz Tw dieses Dreiklanges liegt:
Wird hier Tw eliminiert, folgt eine Gleichung vierten Grades für Qv.
Sie hat die Lösung Q11, = 1.495953506, entsprechend 697.28 cent Dieser Wert ist um 0.7 cent besser, als die Quint der Mitteltönigkeit Bei deren Intervallgröße nimmt ihre Erträglichkeit schnell ab, so daß dieser Unterschied wesentlich ist Verglichen mit der temperierten Quint von Werckmeister III, ist Qw sogar um 1.2 cent besser.
Die zugehörige Terz Tw in dem C-Dur Dreiklang ergibt sich als QwVA und hat den Wert Tw= 1.252023247, entsprechend 389.1 cent Sie ist nur um 2.8 cent größer als das Reinintervall und kann praktisch noch als reine Terz zurechtgehört werden, wegen der Toleranz dieses Intervalls beim Temperieren. Diese Terz ist um 1.1 cent besser, als c — e in dem System Werckmeister III.
Diese Aufstellung des temperierten C-Dur Dreiklanges mit optimal angepaßter Terz und Quint löst jedoch noch nicht das Problem, eine musikalische Temperatur
so für alle 24 Tonarten zu finden. Zwar erfolgte diese Anpassung physikalisch eindeutig, so daß dieser Dreiklang der beste ist, welcher in einer ausgeglichenen Temperatur für alle Tonarten auftreten kann, doch muß für die vollständige Lösung der Aufgabe die Struktur des gesamten Quintenzirkels festgelegt werden. Für die Schließung des Quintenzirkels findet man zunächst, daß fünf temperierte Quinten Qw und sieben reine Quinten 3/2, praktisch exakt sieben Oktaven, 128, ausfüllen:
QwK3/2Y = 128.0057
Die Abweichung von nur 0.08 cent kann völlig vernachlässigt werden, so daß der Quintenzirkel der erfindungsgemäß optimierten Stimmung für alle 24 Tonarten sieben reine und fünf unterschwebend b5 temperierte Quinten enthalten muß. Vier davon, Qm liegen bereits fest, und bauen die beste Terz innerhalb dieser Temperatur auf; c-e in dem C-Dur Dreiklang. Da nur eine einzige solche beste Terz vorkommen darf,
läßt es sich nur vermeiden, daß bereits E-Dur und H-Dur pythagoreisch wird, wenn die fünfte temperierte Quint zwischen die Töne h und fis gelegt wird. Dies legt die gesuchte optimierte Stimmung für alle 24 Tonarten in ihrer Gesamtheit fest; die gerundeten Centwerte dieser ungleichschwebenden zwölfstufigen Temperatur lauten:
C Cis D Es E F Fis G As A B H C 0 90.2 194.6 294 389 498 588 697 792 892 996 1091 1200
Das vollständige Intervallgewebe aus diesen Werten zeigt Tabelle 1.
Die Struktur dieser Stimmung kann auch dadurch beschrieben werden, daß von deren sieben reinen Quinten sechs im Zirkel von c absteigen, und die siebente auf e - h Hegt; diese ist isoliert. Von den fünf unterschwebend temperierten Quinten erfüllen vier Q„ die schwach überschwebende Terz Tw zwischen c —e, also c-g-d-a-e. Die fünfte temperierte Quint liegt ebenfalls isoliert, auf h —fis und ergibt sich in ihrem Intervallwert bei der Schließung des Quintenzirkels von selbst. Deren Größe kann für alle praktischen Zwecke als identisch mit Qw angenommen werden. Die Abbildung 1 zeigt die gefundene optimierte Stimmung in ihrem Großterzen-Kleinterzen- und Ouintenaufbau zum Vergleich zwischen den Temperaturen Werckmeister III und Kirnberger III.
Das hier aufgestellte Tonsystem stellt die mathematisch-physikalische Lösung des Problems einer optimierten musikalischen Temperatur für alle vierundzwanzig Tonarten dar. So kann es nicht überraschen, daß das Resultat insbesondere die Vorzüge von Werckmeister III und Kirnberger III zusammenfaßt, während es zugleich deren spezifische Schwächen und Mangel vermeidet, wie auch aus Abb. 1 hervorgeht. Hier besteht, ebenso wie bei Kirnberger III, aber im Gegensatz zu Werckmeister Hl, nur eine einzige beste Großterz, was dem Ausgleich und der feinen und regelmäßigen Abstufung der Terzen innerhalb der 24 Tonarten zugute kommt. Dabei ist die erfindungsgemäße Quint Qu weniger belastet, als die mitteltönige Quint von Kirnberger III, und somit erst recht besser, als die temperierte Werckmeisterquint. Wie Werckmeister III, hat das neue Tonsystem drei pythagoreische Tonarten. Cis. Fis und As, doch sind die Terzen aller weiteren Tonarten um mindestens 5 cent dagegen abgesetzt, und dadurch merklich besser. Dagegen hat Kirnberger III zwei rein-pythagoreische Terzen auf As. Cis (408 cent) und weitere drei quasipythagoreische Terzen (406 cent) auf E, H und Fis, insgesamt also fünf härter klingende Großterzen — mehr als unvermeidbar. Als Extremum in der Tonartencharakteristik gegenüber dem tonalen Zentrum C. ist die Kadenz I, IV, V, I von Cis-Dur. rein pythagoreisch, also für die entfernteste Tonart. Deren ausgeprägter Cwäfäkici inn genauso bei Werckmeister III auf und dies läßt sich nicht umgehen.
Neben diesen bestehenden mathematisch-theoretischen Vorzügen, die sich zwangsläufig nach der physikalisch-akustischen Optimierung eingestellt haben, wird als wesentlichstes Kriterium der Klangeindruck beim Musizieren in einem derartig optimierten Tonsystem entscheiden müssen.
Hier ist bekannt, daß selbst ohne die absolute Optimierung, bereits ähnliche Stimmungen auf Orgeln wesentlich besser und überzeugender klingen, als die gleichstufige Temperatur, siehe Herbert Kelletat, »ein Beitrag zur Orgelbewegung, Vom Klangerlebnis in nichtgleichschwebenden Temperaturen«. Instrumentenbau-Zeitschrift 11, 1957. p. 173. sowie in »Das Musikinstrument« 8, 1959, p. 361. Lipp & Sohn zum Thema Bachstimmung. Allerdings unterscheidet sich das dortige System von dem hier aufgestellten durch dessen zwei reine Großterzen c —e und g —h. Diese beiden
to Reinintervalle stören empfindlich den Ausgleich für alle 24 Tonarten; deren Spezifikation siehe »Ein Beitrag zur musikalischen Temperatur der Musikinstrumente vom Mittelalter bis zur Gegenwart« von Herbert Kelletat, 1966, herausgegeben von Wandel u. Goltermann KG.
is Reutlingen. Die Einführung barocker Temperierungen statt der gleichstufigen Stimmung verändert das gesamte Klangbild der Orgel. Akkorde mit Registermischungen der Grundstimmungen klingen transparenter. als wenn die Unreinheit gleichförmig verteilt wäre.
Diese besteht vor allem in den störend rollenden Terzschwebungen der Dreiklänge aller Tonarten, zwischen dem reinen fünften Teilton und der zweiten Oktave der temperierten Terz. Dagegen sind die Großterzen barocker Systeme nahezu rein bis fast 1OlHg rein, in den vorkommenden Tonarten , und untereinander feinst abgestuft. Insgesamt erstrecken sich die Terzen von der praktisch reinen harmonischen Klangterz c —e bis zu den pythagoreischen Spannungsterzen der entferntesten Tonarten, so daß deren gesamter
i» musikalischer Verwendungsbereich ausgeschöpft erscheint.
Die Aliquotstimmen und Mixturen, welche immer rein gestimmt sind, klingen in dieser ungleichstufigen Temperatur für alle vierundzwanzig Tonarten charakte-
Γ) ristischer und gewinnen an Glanz, da sie in den Akkorden mit den Harmonischen der Akkordtöne weit enger zusammenfallen, wodurch auch störende Differenztöne stark unterdrückt werden.
Was die Kirnberger-Stimmung betrifft, und damit die Möglichkeiten selbst dieser suboptimalen Temperatur, schreibt Martin Vogel in seinem Buch »Die Zukunft der Musik«, Band 8, Orpheus-Schriftenreihe, Düsseldorf 1968, auf p. 63: »Neuerdings sind auch Bestrebungen im Gange, die Kirnberger-Stimmung auf der Orgel wieder
■η einzuführen. Die 26stimmige Orgel von Wiehl (Regierungsbezirk Köln) und die lOstimmige Orgel von Reinbek (bei Hamburg) stehen in Kirnberger-Stimmung.«
Als Klangdokument einer ungleichstufig gestimmten
ι» Orgel muß »Musik an der Praetorius-Orgel der Universität Freiburg im Breisgau« erwähnt werden; Schaiipiattenreihe der Waii."ker-Stifung für öfgciwisscnschaftliche Forschung, WST 1, 679 005. Diese Orgel ist zwar im Gegensatz zu dem erfindungsgemäßen
v, Tonsystem mitteltönig gestimmt und kann daher nicht für alle Tonarten gebraucht werden, gibt aber dennoch ein musikalisch ungemein überzeugendes Bild der Klangmöglichkeiten der Ungleichstufigkeit Das Wesentliche derartiger Klänge, insbesondere in den damals
t>o gebräuchlichen Tonarten, wird durch die erfindungsgemäß optimierte Temperatur auf Grund deren Tonartencharakteristik wiedergegeben. Darüber hinaus, kann sie zudem für alle 24 Tonarten uneingeschränkt eingesetzt werden.
b5 Auch für andere Musikinstrumente mit fester Stimmung, die einzeln oder in Ensembles Akkorde spielen, ist das neue Tonsystem von vornherein günstig. da es die ästhetische Wirkung besserer, d.h. reinerer
Dreiklänge bietet Es steht fest, daß die tonal gebundene Musikliteratur Stücke in einfachen Tonarten mit wenigen Vorzeichnungen bevorzugt, indem diese relativ häufiger vorkommen, während dagegen z. B. Cis-Dur oder gis-moll praktisch nicht benützt wird. Die übliche gleichstufige Temperatur läßt jedoch diese Tatsache unberücksichtigt; sie hat in den einfachsten und häufigsten Tonarten Terzen, welche mehr als unvermeidbar verstimmt sind. Dagegen stellt die erfindungs-
gemaß optimierte musikalische Temperatur bessere Klänge für die in der Praxis gebrauchten Tonarten sicher. Besonders bei Akkordeons, Blasinstrumenten mit Klaviaturen, sowie bei diatonischen und chromatischen Mundharmonikas kann sich dies auswirken, und zwar bei Musikaufführungen, und vor allem auch in der Gehörsbildung und Musikerziehung mit derartig gestimmten Instrumenten.
Tabelle 1
Optimierte ungleichschwebende Stimmung für alle 24 Tonarten Intervallgewebe (in cent)
C CIS D ES E F 1 IS G (MS Λ B Il C
0 90 195 294 389 498 588 697 792 892 996 1091 1200
CIS D ES E I FIS (j GIS A B Il C CIS
0 105 204 299 408 498 607 702 802 906 K)Oi 1110 1200
D ES E F FIS G CMS A ti Il C CIS I)
(I 99 194 303 393 502 597 697 801 896 1005 1095 1200
ES E F FIS G GIS A B Il C CIS I) ES
0 95 204 294 403 498 598 702 797 906 996 UOl 1200
E F FlS G GIS A B H C CIS I) ES E
0 109 199 308 403 503 607 702 811 901 1006 1105 1200
F FIS G GIS A B Il C CIS D ES Ε I-
(I 90 199 294 394 498 593 702 792 897 996 Ι 091 1200
FlS G GIS A B H C CIS D ES E F I IS
0 109 204 304 408 503 612 702 807 906 1001 1110 1200
G GIS A B II C CIS D ES F F ns (■
0 95 195 299 394 503 593 698 797 892 1001 1091 12(K)
GIS A B M C CIS D ES E F FIS Ci GIS
0 100 204 299 408 498 603 702 797 906 996 1105 1200
A B H C CIS D ES E F FIS G GIS Λ
0 104 199 308 398 503 602 697 806 896 1005 1100 1200
B M C CIS D ES E I FiS G GIS A B
0 95 204 294 399 498 593 702 792 901 996 1096 1200
H C CIS D ES E F FIS Ci GIS Λ B H
0 109 199 304 403 498 607 697 806 901 1001 1105 1200
Hierzu 1 Blatt Zeichnungen

Claims (5)

Patentansprüche:
1. Musikinstrumente mit einem Satz (oder mehreren Sätzen) von festen Stimmungen, bei denen auf der tonalen Grundterz eine reine Quint aufgebaut ist, vom tonalen Zentrum sechs reine Quinten im Zirkel absteigen und die weiteren fünf Quinten des Zirkels temperiert sind, dadurch gekennzeichnet, daß im tonalen Grunddreiklang die temperierte Quint ebenso schnell unterschwebt wie die temperierte Terz überschwebt, welche von vier derartig temperierten Quinten ausgefüllt wird.
2. Elektronische Musikinstrumente nach Anspruch 1.
3. Mechanische Musikinstrumente nach Anspruch
1.
4. Tasteninstrumente nach Anspruch 1.
5. Blasinstrumente nach Anspruch 1.
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