DE2548567A1

DE2548567A1 - Verfahren zur digitalen regelung mit hilfe eines beobachterverfahrens

Info

Publication number: DE2548567A1
Application number: DE19752548567
Authority: DE
Inventors: Reinhold Dipl Ing Meisinger
Original assignee: Messerschmitt Bolkow Blohm AG
Current assignee: Airbus Defence and Space GmbH
Priority date: 1975-10-30
Filing date: 1975-10-30
Publication date: 1977-05-05
Also published as: DE2548567B2; FR2330058B1; FR2330058A1; GB1566437A; JPS5254879A

Description

Verfahren zur digitalen Regelung mit Hilfe eines Beobachterverfahrens .

Die Erfindung bezieht sich auf ein Verfahren zur digitalen Regelung eines Systems, bei dem anhand von in gleichbleibenden Zeitabständen gewonnenen Meßwerten Zustandsvariable des Systems mittels eines Rechners (Beobachter) bestimmt und nach einem vorgegebenen Regelkonzept zu einem oder mehreren Eingangssignalen umgeformt werden, die danach dem System zur Rückführung auf den Sollwert aufgeschaltet werden.

Derartige Regelverfahren, sogenannte zeitdiskrete Regelungsund Beobachtungssyßteme finden überall dort Verwendung, wo

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komplizierte Regelsysteme unter dem Einfluß von zu berücksichtigenden stochastischen und deterministischen Störsignalen stehen. Die dann anzuwendende moderne Regeltheorie, insbesondere die Kalman-Bucy-Filtertheorie, erzwingt für den Optimali— tätsfall derart komplizierte, jedoch mit moderner Schaltungstechnik zu realisierende Schaltungsaufbauten für den Rechner, der im allgemeinen als Regelungs- und Beobachtungssystem "observer-controller" bezeichnet wird, daß der Einsatz von Digitalrechnern praktisch unumgänglich wird.

Als Beobachter werden in derartigen Regelsystemen Optimal-Filter eingesetzt, die gemäß der komplexen Regeltheorie als Matrixschaltungen aufgebaut sind. Insbesondere dort, wo die für die Regelgesetze des zu regelnden Systems erforderlichen Zustandsvariablen nicht alle oder nicht direkt meßbar sind und somit Regler mit Ausgangssignalrückkopplung nicht eingesetzt werden können, ist das sogenannte Kalman-Bucy-Filter sehr gut verwendbar. Zum Stande der Technik vgl. Schwarz Mehrfachregelungen: Grundlagen einer Systemtheorie, Bl.2, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1971, S.428-448.

Die angegebenen Regelverfahren bewähren sich überall dort, wo die Abtastperiode bei der Messung der Zustandsvariablen bzw. der der Schätzung der Zustandsvariablen zugrundeliegenden Meßgröße oder Meßgrößen sehr klein im Verhältnis zur Rechenzeit des Rechners und Beobachters ist und diese wiederum sehr klein ist im Verhältnis zur dominierenden Zeitkonstanten des ungeregelten Systems. In anderen Fällen sind diese Verfahren nicht anwendbar, da die Stabilität des Regelsystems durch den Einfluß der Totzeit nicht mehr gewährleistet ist. Dies ist einleuchtend, da Regler und Beobachter in das zu regelnde System zu einem Zeitpunkt eingreifen, in dem das System unter Umständen, etwa weil zwischen Messung und Eingriff eine kleine Störung aufge-

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treten ist, nicht mehr in gleichem Zustand wie zur Meßzeit ist. Wenn außerdem das zu regelnde System sehr komplex ist haben die Totzeiten oft die Größenordnung der Abtastperiode, so daß bei Anwendung eines bekannten Syntheseverfahrens das gesamte System instabil wird.

So ist es etwa unmöglich, mit herkömmlichen diskreten Syntheseverfahren schnell fahrende Magnetschwebebahnen digital zu regeln: Der einzuhaltende Abstand zwischen Magneten und Schienen bei elektromagnetisch geführten Bahnen beträgt etwa einen Zentimeter, so daß schon bei verhältnismäßig schwachen Seitenwindböen das Fahrzeug die Schienen berühren kann, wenn derartige, teilweise sehr plötzlich und kurzfristig auftretende Störkräfte nicht durch den Regler schnell ausgeglichen werden. Aus diesem Grund muß die Abtastperiode sehr kurz sein - sie wird bei einigen Millisekunden liegen. Da der Meßwert für die Regelung noch im Regler umgewandelt, im zitierten Fall etwa die zur Berechnung des Eingangssignals notwendigen Zustandsgrößen (Regelgrößen) geschätzt werden müssen, beträgt die Rechen- bzw. Totzeit ebenfalls eine oder mehrere Millisekunden. In dieser Zeit kann das System bereits gestört worden sein, so daß unter Umständen beim Eingriff des Reglers diese Störung durch das Eingangssignal u (Stellgröße) noch verstärkt wird.

Derartige Regelsysteme, bei denen die Abtastperiode und die Totzeit in gleicher, nicht zu vernachlässigender Größenordnung liegen, sollen in folgendem als "schnelle" Regelsysteme bezeichnet werden.

Aufgabe der Erfindung ist es, für derartige "schnelle" Regelsysteme und zwar bei kontinuierlichen Systemen mit getastetem Eingangssignal sowie bei instabilen diskreten Regelsystemen auch höherer Ordnung, die bekannten Syntheseverfahren derart zu erweitern, daß die Stabilität des Systems erhalten und zur

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Berechnung des Aufbaus des Beobachters im wesentlichen der gleiche Algorithmus und damit auch der gleiche technische Aufbau verwendet werden kann.

Diese Aufgabe ist gemäß der Erfindung dadurch gelöst, daß allgemein für ein System n-ter Ordnung im Rechner aus der Gesamtheit der im Zeitpunkt kT gewonnenen Meßwerte und dem aus der Messung zum Zeitpunkt (k-l)T geschätzten Zustandsvektor (x^/y_A ) im Zeitpunkt kT ohne Berücksichtigung der Totzeit der Zustandsvektor x, ,, für den Zeitpunkt kT bestimmt wird nach der Gleichung

- ^Xk/k-l +L-(Y₁C-H x_k/]c, ) 2.1

daß danach aus dem so errechneten Zustandsvektor und den der Abtastung im Zeitpunkt kT vorhergehenden, die Totzeit berücksichti genden Eingangssignal der die Regelgröße enthaltende Zustandsvektor zu den diskreten Zeiten kT+T geschätzt wird gemäß der

Γν

Gleichung

^xk+-*/k ⁼ Vk/k ^{+ B}r^uk-l+r/k-l ²*²

und daß in einem letzten Schritt aus diesem Vektor der das geschätzte Meßsignal enthaltende Zustandsvektor für den Zeitpunkt (k+l)T bestimmt wird nach der Gleichung

^xk+l/k ⁼ ^Al-Z ^xk+r/k ⁺ ^Bl-Z ^uk+2T/k ²*³

dabei läuft k von "1" beginnend ganzzahlig und ist mit T die Abtastperiode sowie mit T_n =2rT die Totzeit bezeichnet.

Die Erfindung macht sich also die Erkenntnis zunutze, daß die Eigenwerte des zu regelnden Systems und des Beobachters unabhängig von der Totzeit sind und beide - wie noch gezeigt wird sich in der charakteristischen Gleichung für das Gesamtsystem nicht beeinflussen. Regler und Beobachter können daher mathematisch getrennt voneinander berechnet und somit auch nach be-

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β -

kannten Syntheseverfahren optimal ausgelegt werden. Insbesondere bleibt die Ordnung des Beobachters erhalten, so daß zur
Berücksichtigung der Totzeit und deren Kompensation im Regelprozeß keine zusätzlichen Rechenzeiten erforderlich sind.

Die Erfindung ist anhand der Figuren am Beispiel des mathematischen Modells für eine Magnetschwebebahn nach dem elektromagnetischen Prinzip, und zwar einer punktförmigen Bahn auf starrem Fahrweg dargestellt. Die zugehörigen Figuren zeigen:

Figur 1 ein Diagramm zur Darstellung des Regelalgorithmus;

Figur 2 ein Blockschaltbild eines kontinuierlichen Regelsystems mit getastetem Eingangssignal u unter Berücksichtigung der Totzeit T_R;

Figur 3 das entsprechende diskrete System;

Figur 4 ein Blockschaltbild eines Beobachters für ein diskretes System;

Figur 5 das Einschwingverhalten des Regelsystems bei sprungförmiger Störkraft und der Totzeit T_R = o;

Figur 6 das gleiche System wie in Fig. 4 mit der Totzeit
T_R - T;

Figur 7 das Einschwingverhalten eines Regelsystems gemäß der Erfindung ebenfalls bei sprungförmiger Störkraft und der Totzeit T_R = T;

Figur 8 die Eigenwerte ζ des Regelsystems gemäß Fig. 5;

Figur 8a die entsprechenden Eigenwerte für das System gemäß
•Fig. 7.

709818/051.4

Das eingangs erläuterte überraschende Ergebnis soll anhand der Figuren 1 bis 4 hergeleitet werden, zeitinvariantes lineares System wird bei einer Zustandsvarxablen χ, der über eine Abtastperiode konstanten Störung b und dem Eingangssignal u durch das Zustandsgleichungssystem

x = Fx + Du+Vb (1.1)

y = H χ + S b

beschrieben. Die Matrizen F, D, V, H und S sind durch entsprechende Schaltgruppensymbole in der Figur 1 angedeutet. Dem System wird durch ein Halteglied G nullter Ordnung ein um die Rechner- bzw. Totzeit T_a verzögertes Eingangssignal u, ^_n

K JC + O /K

zugeführt. Die Totzeit T_R ist mit der Abtastzeit T normiert durch

T= T_D/T mit 0 - Ί? ^ 1
κ

Das Symbol u, γ ,, bezeichnet den Wert des Eingangssignals u zum Zeitpunkt (kT+T ) bzw. (k+T)T - mit k ganzzahlig von "1" beginnend - , der aus den Meßwerten y. bis zum Zeitpunkt kT berechnet worden ist. Hiermit läßt sich ein Gleichungspaar aufstellen, mit dem für den diskreten Fall die in Vektorsehreib-

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weise angegebene Variable x, ^- sum Zeitpunkt (k+ίθτ, d.h. um die Totzeit gegenüber der Meßzeit verschoben, berechnet v/erden kann aus:

^s)

Die Matrizen in (1.2) v/erden durch exakte Lösung der Vektordifferentialgleichung (1.1) für das Intervall T bzw. (1-6)T berechnet und lauten:

J.— 6

FT
A = A₁ = e

Da das Eingangssignal v/egen der Digitalisierung jeweils über ein Intervall konstant ist, wird
(l-T)T

B. „= / A (t) D dt und

^1-ώ ° (1.4)

B = B^ = / A (t) D dt

Unter der Annahme, daß auch die deterministische Störung b über ein Intervall konstant ist, d.h. zwei unterschiedliche Störungen während einer Abtastperiode nicht auftreten, was wegen der Kürze der Abtastperiode realistisch ist, wird die Eingangsmatrix für die Störkraft b

A (t) V dt mit

W = W₁ = / A(UV dt

Ändert sd-ch die Totzeit 2"T so erhält man entsprechend andere diskrete Systeme.

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Mit dieser Schreibweise hat das zum kontinuierlichen zeitinvarianten System mit getastetem und um?»T verzögerten Eingangssignal äquivalente diskrete System eine übersichtliche Form erhalten, die als Blockschaltbild in Figur 2 dargestellt ist.

Die Matrix H ist durch Gleichung (1.1) definiert. Im allgemeinen sind hier für die Regelstrecke nicht alle η Zustandsvariablen als Meßgrößen verfügbar, sie sind also zu schätzen.

Der Schaltungsaufbau des Beobachters, der die Antwort des zu regelnden Systems möglichst exakt wiedergeben soll, um so die Differenz zwischen Ist- und Sollwert möglichst klein zu halten, kann in 2 Schritten gelöst werden. Zunächst wird in herkömmlicher Weise die Filtergleichung für den Beobachter aufgestellt, die eine optimale Filterung der η Zustandsgrößen x^./-^. zu den diskreten Zeiten t, liefert ausgehend vom Meßsignal y^ und dem geschätzten Zustandsvektor ^c. ,^__Λ '·

\ *i ^{+ L (Y}k - ^{H } (21}}

Danach wird in Extrapolationsgleichungen zunächst eine Vorher sage der η Zustandsgrößen χ, „., zu den diskreten Zeiten kT +YT getroffen ausgehend vom Zustandsvektor xL/v und dem Eingangssignal u_]c

^B Z "Jc-l+r/k-l ⁽²*²⁾

In einem weiteren Schritt werden die η Zustandsgrößen χ, . ,, zu den diskreten Zeiten (k+l)T ausgehend vom Zustandsvektor

χ, 2ί/ν ^un<3 dem Eingangssignal u, ,~-,, ermittelt:

A A

^xk+l/k ^Al-^ ^xk+r/k ^{+ 0}I-^ ^uk+-&7k ^ ^-3)

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Die Matrizen werden wie folgt berechnet:

(2.4) ?T

= ) A (t) D dt
ο

Zusammen mit Gleichung (1.3) und Gleichung (1.4) folgt da raus:

ώ 1—0 1

(2.5)

^AZ ^Bi_r⁺ B₂- = B₁ = B

so daß der Einfluß der Totzeit auf das Gleichungssystem und somit auf den Aufbau von Regler und Beobachter auf eine einfache Bezeichnung zurückgeführt werden kann. Für den allgemeinen Fall, daß die Rechnertotzeit kleiner als die Abtastperiode ist, kann bei einem zeitinvarianten, linearen Regelgesetz durch Zusammenfassung der Gleichung (2.1)bis Gleichung (2.3) unter Berücksichtigung von Gleichung (2.5) die allgemeine Lösung für das Beobachtungssystem n-ter Ordnung mit Berücksichtigung der Totzeit des digitalen Rechners geschrieben werden zu:

-^i,- . ^v/i, ⁼ A X₁, _Λ .-τ' /ι, λ + " ^1,- -ι . -}S /ι, -i +JJ Yn, 1^·°/ = -K X

mit A* = A - L* HA. «L* =

i— cf

B* = B - L*

vgl. Figur 1. gezeigt,

Damit kann das Beobachtungssystem, wie in Figur 3/übersichtlich dargestellt werden.

Die Regleraufschaltmatrix K und die Beobachteraufschaltmatrix L können weiter nach bekannten Syntheseverfahren berechnet werden.

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Entscheidend bei dem dargestellten Regelkonzept ist, daß für die Auslegung des Reglers und Beobachters trotz der Berücksichtigung der Totzeit bekannte Syntheseverfahren herangezogen werden können, so daß der Rechengang im wesentlichen nicht verändert und daher der Aufbau der Regelschaltung nicht komplizierter als bekannte Schaltungen wird, vielmehr derjenigen eines herkömmlichen Beobachtungssystems ähnelt, wie etwa die Abbildung IX.7.10 in der oben zitierten Literaturstelle zeigt. Trotz der Berücksichtigung der Totzeit und deren Kompensation im Regelprozeß braucht das eigentliche Regelkonzept, das eine Optimierung des Regelsystems liefert, nicht geändert zu werden.

Wenn man die angegebenen Gleichungen (1.2) (2.6) in Matrixschreibweise kombiniert, ergibt sich mit *w~ = ^χν₊2"~ ^xk+ Ύ /k folgende Zustandsgieichung für das Gesamtsystem.

^xk+l +

	-	A -	BK '	BK
/NX		O		A*
O

W-L*S*

(3.2)

Die charakteristische Gleichung des Gesamtsystems erhalten wir dann zu:

zE - A + BK

zE - A +

LHA,

(3.2)

Die durch die AufSchaltmatrizen £ und L beeinflußten Pole ζ des Reglers und Beobachters sind daher unabhängig voneinander festgelegt und beide in der charakteristischen Gleichung des Gesamtsystems vorhanden, ohne sich gegenseitig zu beeinflussen. Hierbei sind auch die Eigenwerte des Beobachters von der Totzeit unabhängig, da durch eine Ähnlichkeitstransformation

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-M-

mit der Transformationsmatrix

Τ"¹ = A^ , wobei T = A"¹ A^^ ist,

die charakteristische Gleichung übergeht in:

zE - A + LHA

= 0

Wie aus dem Vorstehenden ersichtlich, wird das dynamische Verhalten einer Magnetschwebebahn durch eine Zustandsgieichung dritter Ordnung beschrieben, wobei Regler- und Beobachteraufschaltmatrizen K bzw. L nach den bekannten Syntheseverfahren bestimmt werden.

Regelgröße ist der Luftspalt s zwischen Magnet und Schiene, dessen zeitliche Ableitung s sowie die Fahrzeugbeschleunigung ζ Meßgrößen sind die Fahrzeugbeschleunigung ζ und der Luftspalt s. Stellgröße ist das Eingangssignal u und Störgröße ist die Kraftgröße P.

In einem Simulationsversuch auf einem Rechner ist der zeitliche Verlauf der Luftspaltabweichung £.s und die Abweichung au des Eingangssignales für das Regelsystem untersucht worden. Eine sprungförmige Störkraft ist jeweils kurz vor einer Abtastung der Meßwerte s und *z aufgeschaltet, so daß der Regler sofort eingreifen kann.

Bei einem "langsamen" Regelsystem, d.h. dort, wo die Totzeit des Beobachters gegenüber der Abtastzeit vernachlässigt werden kann, die Abtastung und Eingriff des Regelsystems zeitlich nahezu zusammenfallen, wird die Störkraft sehr schnell ausgeglichen; vgl. Figur 5, wo die Störkraft eine Größe entsprechend des halben Gewichtes der Magnetbahn beträgt.

ι «12-

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Wird bei dem ansonsten gleichen Regelsystem die Totzeit etwa so groß wie die Abtastperiode, so wird das System instabil; vgl- Figur 6.

Erst wenn gemäß der Erfindung bei dem Regelkonzept der Einfluß der Totzeit berücksichtigt wird, bleibt das Gesamtsystem bei einer Totzeit entsprechend der Abtastperiode T stabil; vgl. Figur 7. Die Eigenwerte ζ des Systems für den Regler und Beobachter sind in der Phasenebene in Figur 8 dargestellt, und zwar für den Regler und den Beobachter. Hier ist klar ersichtlich, daß die Werte alle innerhalb des Einheitskreises liegen, so daß das System stabil ist.

Wird die Totzeit nicht berücksichtigt, so liegen die Eigenwerte des Systems teilweise außerhalb des Einheitskreises, was Instabilität des Systems bedeutet; vgl. Figur 8.

Mit einem Verfahren gemäß der Erfindung ist es möglich, digitale Regelkonzepte zu entwerfen, die die Stabilität eines Regelsystems gewährleisten, auch wenn die Totzeit des verwendeten Digitalrechners nicht mehr vernachlässigt werden darf.

Patentansprüche:

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Ai

Leerseite

Claims

Patentansprüche

Verfahren zur digitalen Regelung eines Systems, bei dem anhand von in gleichbleibenden Zeitabständen gewonnenen Meßwerten Zustandsvariable des Systems mittels eines Rechners (Beobachter) bestimmt und nach einem vorgegebenen Regelkonzept zu einem oder mehreren Eingangssignalen (Stellgrößen) umgeformt werden, (Regler) die danach dem System zur Rückführung auf den Sollwert aufgeschaltet werden, dadurch gekennzeichnet , daß bei Verwendung eines Regelkonzeptes gemäß einem zeitdiskreten Beobachterverfahrens aus dem Meßwert zu einem Abtastzeitpunkt in dem Rechner die Zustandsvariablen des Systems für einen um die Rechenzeit (Totzeit) pro Regelschritt späteren Zeitpunkt berechnet werden, und daß aus diesem die Eingangssignale abgeleitet und dem System zu dem besagten späteren Zeitpunkt zugeführt werden, vgl. Fig. 1.
2. Verfahren nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet , daß allgemein für ein System n-ter Ordnung im Rechner aus der Gesamtheit der im Zeitpunkt kT gewonnenen Meßwerte und dem aus der Messung zum Zeitpunkt (k-l)T geschätzten Zustands vektor (x. /_k -j) Arn Zeitpunkt kT ohne Berücksichtigung der Totzeit der Zustandsvektor x, ,, für den Zeitpunkt kT bestimmt wird (Gleichung 2.1), daß danach aus dem so errechneten Zustandsvektor und den der Abtastung im Zeitpunkt kT vorhergehenden, die Totzeit berücksichtigenden Eingangssignal (u,. •^/k'p der die

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Regelgröße enthaltende Zustandsvektor (χ, ^ ,, ) zu den

κ+ ο /κ

diskreten Zeiten kT+T geschätzt wird (Gleichung 2.2), und daß in einem letzten Schritt aus diesem Vektor der das geschätzte Meßsignal enthaltende Zustandsvektor (χ, λ/\r) ^für den Zeitpunkt (k+l)T bestimmt wird (Gleichung 2.3), dabei läuft k von "1" beginnend ganzzahlig und ist mit T die Abtastperiode sowie mit T_n ^T die Totzeit bezeichnet.

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