DE2548567B2

DE2548567B2 - Verfahren zur digitalen regelung eines systems mit einem zeitdiskreten beobachterverfahren

Info

Publication number: DE2548567B2
Application number: DE19752548567
Authority: DE
Inventors: Reinhold Dipl.-Ing 8012 Ottobrunn Meisinger
Original assignee: Messerschmitt Bolkow Blohm AG
Current assignee: Airbus Defence and Space GmbH
Priority date: 1975-10-30
Filing date: 1975-10-30
Publication date: 1977-11-10
Also published as: GB1566437A; JPS5254879A; FR2330058A1; FR2330058B1; DE2548567A1

Description

Die Erfindung bezieht sich auf ein Verfahren zur digitalen Regelung eines Systems mit einem zeitdiskreten Beobachterverfahren, bei dem anhand von in gleichbleibenden Zeitabständen abgetasteten Meßwerten Zustandsvariable des Systems mittels eines Rechners (Beobachter) bestimmt und aus diesem Schätzwerte für den Erwartungswert der Zustandsvariablen zu einem späteren Zeitpunkt berechnet werden, die zu einem oder mehreren Eingangssignalen (Stellgrößen) in einem Regler umgeformt werden und danach dem System zur Rückführung auf den Sollwert aufgeschaltet werden.

Derartige Regelverfahren, sogenannte zeitdiskrete Regelungs- und Beobachti'ngssysteme finden überall dort Verwendung, wo komplizierte Regelsysteme unter dem Einfluß von zu berücksichtigenden stochastischen und deterministischen Störsignalen stehen. Die dann anzuwendende moderne Regeltheorie, insbesondere die Kalman-Bucy-Filtertheorie, erzwingt für den Optimalitätsfall derart komplizierte, jedoch mit moderner Schaltungstechnik zu realisierende Schaltungsaufbauten für den Rechner, der im allgemeinen als Regelungs- und Beobachtungssystem »observer-controller« bezeichnet wird, daß der Einsatz von Digitalrechnern praktisch unumgänglich wird.

Als Beobachter werden in derartigen Regelsystemen Optimal-Filter eingesetzt, die gemäß der komplexen

Regeltheorie als Matrixschaltungen aufgebaut sind Insbesondere dort, wo die für die Regelgesetze des zi regelnden Systems erforderlichen Zustandsvariabler nicht alle oder nicht direkt meßbar sind und somi Regler mit Ausgangssignalrückkopplung nicht eingesetzt werden können, ist das sogenannte Kalman-Bucy Filter sehr gut verwendbar. Zum Stande der Technik vgl. Schwarz Mehrfachregelungen: Grundlager einer Systemtheorie, Bl. 2, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, New York, 1971, S. 428-448.

Die angegebenen Regelverfahren bewähren sich überall dort, wo die Abtastperiode bei der Messung der Zustandsvariablen bzw. der der Schätzung der Zustandsvariablen zugrunde liegenden Meßgröße oder Meßgrößen sehr klein im Verhältnis zur Rechenzeit des Rechners und Beobachters ist und diese wiederum sehr klein ist im Verhältnis zur dominierenden Zeitkonstanten des ungeregelten Systems. In anderen Fällen sind diese Verfahren nicht anwendbar, da die Stabilität des Regelsystems durch den Einfluß der Totzeit nicht mehr gewährleistet ist. Dies ist einleuchtend, da Regler und Beobachter in das zu regelnde System zu einem Zeitpunkt eingreifen, in dem das System unter Umständen, etwa weil zwischen Messung und Eingriff eine kleine Störung aufgetreten ist, nicht mehr in gleichem Zustand wie zur Meßzeit ist. Wenn außerdem das zu regelnde System sehr komplex ist haben die Totzeiten oft die Größenordnung der Abtastperiode, so daß bei Anwendung eines bekannten Syntheseverfahrens das gesamte System instabil wird.

So ist es etwa unmöglich, mit herkömmlichen diskreten Syntheseverfahren schnell fahrende Magnetschwebebahnen digital zu regeln: Der einzuhaltende Abstand zwischen Magneten und Schienen bei elektromagnetisch geführten Bahnen beträgt etwa einen Zentimeter, so daß schon bei verhältnismäßig schwachen Seitenwindböen das Fahrzeug die Schienen berühren kann, wenn derartige, teilweise sehr plötzlich und kurzfristig auftretende Störkräfte nicht durch den Regler schnell ausgeglichen werden. Aus diesem Grund muß die Abtastperiode sehr kurz sein — sie wird bei einigen Millisekunden liegen. Da der Meßwert für die Regelung noch im Regler umgewandelt, im zitierten Fall etwa die zur Berechnung des Eingangssignals nowendigen Zustandsgrößen (Regelgrößen) geschätzt werden müssen, beträgt die Rechen- bzw. Totzeit ebenfalls eine oder mehrere Millisekunden. In dieser Zeit kann das System bereits gestört worden sein, so daß unter Umständen beim Eingriff des Reglers diese Störung durch das Eingangssignal u (Stellgröße) noch verstärkt wird.

Derartige Regelsysteme, bei denen die Abtastperiode und die Totzeit in gleicher, nicht zu vernachlässigender Größenordnung liegen, sollen in folgendem als »schnelle« Regelsysteme bezeichnet werden.

Aufgabe der Erfindung ist es, für derartige »schnelle« Regelsysteme, und zwar bei kontinuierlichen Systemen mit getastetem Eingangssignal sowie bei instabilen diskreten Regelsystemen auch höherer Ordnung, die bekannten Syntheseverfahiren derart zu erweitern, daß die Stabilität des Systems erhalten und zur Berechnung des Aufbaus des Beobachters im wesentlichen der gleiche Algorithmus und damit auch der gleiche technische Aufbau verwendet werdein kann,

Diese Aufgabe ist gemäß der Erfindung dadurch gelöst, daß aus den Meßwerten zu einem Abtastzeitpunkt in dem Rechner die Zustandsvariablen des Systems für einen um die Rechenzeit (Totzeit) pro

ι hritt späteren Zeitpunkt berechnet werden und ^Rr·" rtiesern die Eingangssignale abgeleitet und dem daß aus ^clc _derT! besagten späteren Zeitpunkt zugeführt ^¹" ^Z-ndem allgemein für ein System /i-ter Ordnung *^erdenL r aus der Gesamtheit der im Zeitpunkt kT '"" nen Meßwerte und dem aus der Messung zum gewonnene _geschätzten Zustandsvektor x_k/k.. ι im

2eitpunltt fä — _o'_hne Berücksichtigung der Totzeit der

^ZeilpUn/_UPktor -λ für den Zeitpunkt fcTbestimmt wird ZustanasvcN ^_{aß danach aus dem s0} errechneten m

(^GlelÄtorund den in der Abtastung im Zeitpunkt ^ZUSt hergehenden, die Totzeit berücksichtigenden *^{Γ VOr}s gnal ".-,— der die Regelgröße enthal-Standsvektor X_{4 +r}/t zu den d.skreten Ze.ten r «schätzt wird (Gleichung 2.2), und daß in einem ι, "schritt aus diesem Vektor der das geschätzte I enthaltende Zustandsvektor χ*_+1Λ für den /*+ OTbestimmt wird (Gleichung 2.3); dabei _c von »1« beginnend ganzzahlig, mit Γ ist die hJoeriode sowie mit TWTdieTotze.t bezeichnet. * ie Sdung macht sich also die Erkenntnis zunutze, , S Sie Eigenwerte des zu regelnden Systems und des u ^unabhängig von der Totzeit sind und beide Beobachters unabnan^g - sich in der charakteristi-

"_h ^W1Gle chung für das Gesamtsystem nicht beeinflus- : ^SCn rS und Beobachter können daher mathema-Sh getrennt voneinander berechnet und somit auch

h Kannten Syntheseverfahren optimal ausgelegt ^na η η Inibesondere bleibt die Ordnung des Beobach-Ä ϊ η so 1:_ß zur Berücksichtigung der Totzeit ι deren Kompensation im Regelprozeß keine !«atzlichen Rechenzeiten erforderlich sind.

Die Erfindung ist anhand der Figuren am Beispiel des _mSematischen Modells für eine Magnetschwebebahn ^mathem elektromagnetischen Prinzip, und zwar einer >n Bahn auf starrem Fahrweg dargestellt.

entsprechende Schaltgruppensymbole in der F ig.^ angedeutet. Dem System wird durch ein Halteglied O nullter Ordnung ein um die Rechner- bzw. Totzeit Γ« verzögertem Eingangssignal u_k,_Tu zugeführt. Die Totzeit Τ« ist mit der Abtastzeit Tnormiert durch

ü <

Das Symbol u_kiTk bezeichnet den Wert des Eingangssignals uzum Zeitpunkt (kT+ T«)bzw. (k + v)T — mit k ganzzahlig von »1« beginnend —, der aus den Meßwerten y_k bis zum Zeitpunkt itTberechnet worden ist. Hiermit läßt sich ein Gleichungspaar aufstellen, mit dem für den diskreten Fall die in Vektorschreibweise angegebene Variable x_{t + r} zum Zeitpunkt (k + r)T, d.h. um die Totzeit gegenüber der Meßzeit verschoben, berechnet werden kann aus:

v\T₂ ein Blockschaltbild eines kontinuierlichen Reg !systems mit getastetem Eingangss.gnal u unter

Jig.4 dn StockschElbild eines Beobachters fur em

^"dÄchwingverhalten eines Regelsystems bei sprungförmiger Störkraft und der Totzeit 71,-0. Fig.6 das gleiche System wie in Fig.5 mit der

^S^EiiBchwingsverhalten eines Regelsystems gemäß der Erfindung ebenfalls bei sprungform.ger

Regelsystems gemäß

ⁱF^gig.8b die entsprechenden Eigenwerte für das ^eSrf überraschende Ergebnis soll

^Fig

SoÜÜT und dem Eingangssignal u Zustandsgleichungssystem

(1.1) = Ax_k+X + ßu_{l + t;k}

= HzI_1-1X_{1 + 1} + H

+ (HW₁., + S)

(1.2)

Die Matrizen in (1.2) werden durch exakte Lösung; dej Vektordifferentialgleichung (1.1) für das Intervall Tbzw. (\-τ)Τ berechnet und lauten:

A - pFll-'Π· (1.3)

A =

= e

Da das Eingangssignal wegen der Digitalisierung jeweils über ein Intervall konstant ist, wird

B,__t =y A{t)Dat

und

τ B = B₁ =/ AU)DdI

(1.4)

Unter der Annahme, daß auch die deterministische Störung b über ein Intervall konstant ist, d. h. zwei unterschiedliche Störungen während einer Abtastperiode nicht auftreten, was wegen der Kürze der Abtastperiode realistisch ist, wird die Eingangsmatrix für die Störkraft b

(1-0 T

mit

(1.5)

W =

A(t)Vdt.

das

x= Fx + Du + Vb , y = Hx + Sb hpsrhrieben. Die Matrizen F, D, V, Hund Ssind durch >" Ändert sich die Totzeit τΤ, so erhält man entsprechend andere diskrete Systeme.

Mit dieser Schreibweise hat das zum kontinuierlichen zeitinvarianten System mit getastetem und um τ ■ T verzögerten Eingangssignal äquivalente diskrete Syh"> stern eine übersichtliche Form erhalten.die als Blockschaltbild in F i g. 3 dargestellt ist.

Die Matrix H ist durch Gleichung (1.1) definiert. Im allgemeinen sind hier für die Regelstrecke nicht alle π

Zustandsvariablen als Meßgrößen verfügbar, sie sind also zu schätzen.

Der Schaltungsaufbau des Beobachters, der die Antwort des zu regelnden Systems möglichst exakt wiedergeben soll, um so die Differenz zwischen 1st- und Sollwert möglichst klein zu halten, kann in 2 Schritten gelöst werden. Zunächst wird in herkömmlicher Weise die Filtergleichung für den Beobachter aufgestellte eine optimale Filterung der η Zustandsgrößen χ t/k zu den diskreten Zeiten U liefert, ausgehend vom Meßsignal yt und dem geschätzten Zustandsvektor

x_k/k = x_klk _, + L(y_k - Hx_m-i). (2.1)

Danach wird in Extrapolationsgleichungen zunächst eine Vorhersage der η Zustandsgrößen χα+γ/α zu den diskreten Zeiten kT+τΤ getroffen, ausgehend vom Zustandsvektor xt/k und dem Eingangssignal Uk-\ +r/A-1:

Xu + xjk — A_xx_kfk + ß_rUn__1+t/;._, . (2.2)

In einem weiteren Schritt werden die π Zustandsgrößen Xk+\ik zu den diskreten Zeiten (A:+1)7; ausgehend vom Zustandvektor xt_+T/k und dem Eingangssignal /a ermittelt:

^xk + llk ⁼ ^\-x^xk + t/A· + "l-t^uk + r/A- (2.3)

Die Matrizen werden wie folgt berechnet:
A_x = t^F'^T,

(2.4)

folgt daraus:

A_XA_X-_X ⁼ Ay = A ,

A_xB₁., + B_x = B₁ = B,

(2.5)

auf eine einfache Bezeichnung zurückgeführt werden kann. Für den allgemeinen Fall, daß die Rechnertotzeit kleiner als die Abtastperiode ist, kann bei einem zeitinvarianten, linearen Regelgesetz durch Zusammenfassung der Gleichung (2.1) bis Gleichung (2.3) unter Berücksichtigung von Gleichung (2.5) die allgemeine Lösung für das Beobachtungssystem n-ter Ordnung mit Berücksichtigung der Totzeit des digitalen Rechners geschrieben werden zu:

I)

B_x=J A(t)Dat.

ο
Zusammen mit Gleichung (1.3) und Gleichung (1.4) L*y_k,

"A-+ t/k

mit = -Kx

(2.6)

Jc+r/A

A* = A - L*Hi4,__t; L* = A_xL,
B* = B - L* HB₁^_x.

Damit kann das Beobachtungssystem, wie in F i g. 4 gezeigt, übersichtlich dargestellt werden.

Die Regleraufschaltmatrix K und die Beobachteraufschaltmatrix L* können weiter nach bekannten Syntheseverfahren berechnet werden.

Entscheidend bei dem dargestellten Regelkonzept ist, daß für die Auslegung des Reglers und Beobachters trotz der Berücksichtigung der Totzeit bekannte Syntheseverfahren herangezogen werden können, so daß der Rechengang im wesentlichen nicht verändert und daher der Aufbau der Regelschaltung nicht komplizierter als bekannte Schaltungen wird, vielmehr derjenigen eines herkömmlichen Beobachtungssystems ähnelt, wie etwa die Abbildung IX. 7.10 in der oben zitierten Literaturstelle zeigt. Trotz der Berücksichtigung der Totzeit und deren Kompensation im Regelprozeß braucht das eigentliche Regelkonzept, das eine Optimierung des Regelsystems liefert, nicht geändert zu werden.

Wenn man die angegebenen Gleichungen (1.2), (2.6) in Matrixschreibweise kombiniert, ergibt sich mit

so daß der Einfluß der Totzeit auf das Glcichungssystem

und somit auf den Aufbau von Regler und Beobachter π folgende Zustandsgieichung für das Gesamtsystem:

■ + ! + t**	-	*A - BK*	BK	*» ₊ ,	+
			. _ _ _
^xk -U + τ	0	A*	^k + t

W - L* S*

"A4 τ

(3.2)

Die charakteristische Gleichung des Gesamtsystems erhalten wir dann zu:

\zE - A + BK\ ■ |rE - A + A_x LHA_x ..J = 0 .

(3.2)

Die durch die Aufschalimatrizcn K und L beeinflußten Pole 7. des Reglers und Beobachters sind daher unabhängig voneinander festgelegt und beide in der charakteristischen Gleichung des Gesamtsystems vorhanden, ohne sich gegenseitig zu beeinflussen. Hierbei sind auch die Eißcnwertc des Beobachters von der Totzeit unabhängig, da durch eine Ähnlichkeitstransformation mit der Transformationsmatrix

wobei "' = A_x,
T= A'^x A_x.,

ist, die charakteristische Gleichung übergeht in:

Ul A\

\zE - A 4

= 0.

Wie aus dem Vorstehenden ersichtlich, wird das dynamische Verhalten einer Magnetschwebebahn durch

eine Zustandsgieichung dritter Ordnung beschrieben, wobei Regler- und Beobachteraufschaltmatrizen K bzw. L nach den bekannten Syntheseverfahren bestimmt werden.

Regelgröße ist der Luftspalt s zwischen Magnet und Schiene, dessen zeitliche Ableitung 's sowie die Fahrzeugbeschleunigung z. Meßgrößen sind die Fahrzeugbeschleunigung Z und der Luftspalt s. Stellgröße ist das Eingangssignal u, und Störgröße ist die Kraftgröße P.

In einem Simulationsversuch auf einem Rechner ist der zeitliche Verlauf der Luftspaltabweichung As und die Abweichung Au des Eingangssignals für das Regelsystem untersucht worden. Eine sprungförmige Störkraft ist jeweils kurz vor einer Abtastung der Meßwerte s und ζ aufgeschaltet, so daß der Regler sofort eingreifen kann.

Bei einem »langsamen« Regelsystem, d. h. dort, wo die Totzeit des Beobachters gegenüber der Abtastzeit vernachlässigt werden kann, die Abtastung und Eingriff des Regelsystems zeitlich nahezu zusammenfallen, wird die Störkraft sehr schnell ausgeglichen; vgl. F i g. 5, wo die Störkraft eine Größe entsprechend des halben Gewichtes der Magnetbahn beträgt.

Wird bei dem ansonsten gleichen Regelsystem die Totzeit etwa so groß wie die Abtastperiode, so wird das System instabil; vgl. F i g. 6.

, Erst wenn gemäß der Erfindung bei dem Regelkonzept der Einfluß der Totzeit berücksichtigt wird, bleibt das Gesamtsystem bei einer Totzeit entsprechend der Abtastperiode Tstabil; vgl. F i g. 7. Die Eigenwerte zdes Systems für den Regler und Beobachter sind in der

κι Phasenebene in Fig.8 dargestellt, und zwar für den Regler und den Beobachter. Hier ist klar ersichtlich, daü die Werte alle innerhalb des Einheitskreises liegen, so daß das System stabil ist.

Wird die Totzeit nicht berücksichtigt, so liegen die

i) Eigenwerte des Systems teilweise außerhalb de: Einheitskreises, was Instabilität des Systems bedeutet vgl. F i g. 8.

Mit einem Verfahren gemäß der Erfindung ist e: möglich, digitale Regelkonzepte zu entwerfen, die di<

m Stabilität eines Regelsystems gewährleisten, auch wem die Totzeit des verwendeten Digitalrechners nicht meh vernachlässigt werden darf.

Hierzu 2 Blatt Zeichnungen

Claims

Patentanspruch:

Verfahren zur digitalen Regelung eines Systems mit einem zeitdiskreten Beobachterverfahren, bei dem anhand von in gleichbleibenden Zeil.' inden abgetasteten Meßwerten Zustandsvariabl aes Systems mittels eines Rechners (Beobachter) bestimmt und aus diesem Schätzwerte für den Erwartungswert der Zustandsvariablen zu einem späteren Zeitpunkt berechnet werden, die zu einem oder mehreren Eingangssignalen (Stellgrößen) in einem Regler umgeformt werden und danach dem System zur Rückführung auf den Sollwert aufgeschaltet werden, dadurch gekennzeichnet, daß aus den Meßwerten zu einem Abtastzeitpunkt in dem Rechner die Zustandsvariablen des Systems für einen um die Rechenzeit (Totzeit) pro Regelschritt späteren Zeitpunkt berechnet werden, und daß aus diesem die Eingangssignale abgeleitet und dem System zu dem besagten späteren Zeitpunkt zugeführt werden, indem allgemein für ein System /3-ter Ordnung im Rechner aus der Gesamtheit der im Zeitpunkt kT gewonnenen Meßwerte und dem aus der Messung zum Zeitpunkt (k- l)Tgeschätzten Zustandsvektor (xk/k-\) im Zeitpunkt kT ohne Berücksichtigung der Totzeit der Zustandsvektor Xk/k für den Zeitpunkt ATbestimmt wird (Gleichung 2.1), daß danach aus dem so errechneten Zustandsvektor und den der Abtastung im Zeitpunkt kT vorhergehenden, die Totzeit berücksichtigenden Eingangssignal (uk-\+_T/k-\) der die Regelgröße enthaltende Zustandsvektor (xk + _T/k) zu den diskreten Zeiten kT+ T_R geschätzt wird (Gleichung 2.2), und daß in einem letzten Schritt aus diesem Vektor der das geschätzte Meßsignal enthaltende Zustandsvektor (xk+\/k) für den Zeitpunkt (k+ lJTbestimmt wird (Gleichung 2.3); dabei läuft k von »1« beginnend ganzzahlig, mit T ist die Abtastperiode sowie mit TR — vTd\e Totzeit bezeichnet.