DE19917434C1

DE19917434C1 - Vorrichtung zur Signalberechnung und -erzeugung, insbesondere zur digitalen Klangsynthese

Info

Publication number: DE19917434C1
Application number: DE19917434A
Authority: DE
Inventors: Rudolf Rabenstein; Lutz Trautmann
Original assignee: Rudolf Rabenstein; Lutz Trautmann
Current assignee: FTMUSICS GMBH, 91056 ERLANGEN, DE
Priority date: 1999-04-19
Filing date: 1999-04-19
Publication date: 2000-09-28
Anticipated expiration: 2019-04-20
Also published as: EP1175668A1; DE50001178D1; WO2000063877A1; EP1175668B1; ATE232007T1

Abstract

Das beschriebene System zur Signalberechnung und -erzeugung dient insbesondere zur digitalen Klangsynthese und umfaßt ein Rechenwerk (35) zur Berechnung von Koeffizienten in Abhängigkeit von dem zu erzeugenden Signal, einen Koeffizientenspeicher (36) zur Speicherung der errechneten Koeffizienten, eine mit dem Koeffizientenspeicher (36) verbundene Anordnung (38) mehrerer digitaler Einrichtungen (5 bis 7), an deren Ausgang (40) das zu erzeugende Signal abgegeben wird, eine mit der Anordnung (38) verbundene Anregungseinrichtung (37), die Erregungssignale an die Anordnung (38) anlegt, und eine Steuereinrichtung (39) zur Steuerung des Koeffizientenspeichers (36), der Anregungseinrichtung (37) und der Anordnung (38), derart, daß die Anordnung (38) mit den berechneten und gespeicherten Koeffizienten und den Erregungssignalen betrieben wird.

Description

Die Erfindung betrifft eine Vorrichtung zur Signalberechnung und -erzeugung, ins besondere zur digitalen Klangsynthese, durch rechnergestützte Nachbildung von Schwingungsvorgängen bei akustischen Musikinstrumenten oder anderen schwingenden Gebilden. Eine solche Nachbildung wird als physikalische Modellie rung bzw. als virtuelle Akustik bezeichnet.

Zur Einordnung der physikalischen Modellierung in die digitale Klangsynthese werden zunächst allgemein verwendete Verfahren, insbesondere klassische direk te Syntheseverfahren, erörtert.

Eines der ersten weit verbreiteten Verfahren zur digitalen Klangsynthese arbeitet mit Frequenzmodulation (FM-Synthese) und wurde 1973 von Chowning entwic kelt. Bei der FM-Synthese werden mindestens zwei Oszillatoren eingesetzt, wobei der eine (Modulator) den anderen (Träger) steuert. Mit diesem Algorithmus kön nen komplexe Spektren erzeugt werden, die auch Nichtlinearitäten im Zeitbereich aufweisen können. Mit mehreren parallel geschalteten Systemen dieser Art kön nen zwar recht komplexe Klänge erzeugt werden, jedoch ist die authentische Nachbildung von akustischen Musikinstrumenten damit nicht möglich.

Beim Sampling werden die Schwingungen von real gespielten Musikinstrumenten als Folgen von Abtastwerten gespeichert und auf Abruf abgespielt. Um Speicher platz zu sparen, werden drei verschiedene Methoden angewendet. Zum einen wird davon ausgegangen, daß sich nach dem Einschwingvorgang an der Schwin gungsform nur wenig ändert. Dadurch können wenige Abtastwerte in einer Schleife ausgelesen werden. Die geringfügigen Veränderungen werden in an schließenden Filtern realisiert. Die zweite Methode besteht in der Tonhöhenver schiebung (Transponierung). Um nicht alle Tonhöhen des realen Musikinstrumen tes aufnehmen und abspeichern zu müssen, kann der aufgenommene Ton trans poniert werden. Zur effizienten Speicherausnutzung kann als dritte Methode die Datenreduktion (Verluste bei der Klangqualität) und die Datenkompression (keine Verluste bei der Klangqualität) herangezogen werden. Der Vorteil beim Sampling liegt in der exakten Nachbildung eines gespielten Klanges. Dadurch kann aber die Variabilität eines echten Instrumentes nicht realisiert werden.

Bei der Klangsynthese mit Wavetables werden kurze Samples von Musikinstru menten ineinander übergeblendet, wodurch komplexere und variablere Klänge als beim einfachen Sampling erreicht werden können.

Ein Klangsyntheseverfahren im Frequenzbereich stellt eine additive Synthese dar, bei der Sinusschwingungen verschiedener Frequenz und Amplitude in variablen gegenseitigen Phasenlagen aufaddiert werden. Die Schwierigkeit bei dieser Klangsynthese besteht in der Bestimmung der o. g. Parameter. Diese können nur näherungsweise durch geeignete Analyse (Kurzzeit-Fourier-Transformation) des realen Instrumententons erhalten werden. Rauschartige Klänge können bei die sem Verfahren nur mit erheblichem Aufwand erzeugt werden.

Im Gegensatz zur additiven Synthese werden bei der subtraktiven Synthese Fre quenzen einer rauschartigen Quelle durch anschließende Filterung unterdrückt. Dies hat den Vorteil, daß rauschartige Klänge leicht generiert werden können. Monofrequente Töne können aber nur mit hohem Filteraufwand erreicht werden.

Die Formant-Synthese geht davon aus, daß der Klang eines akustischen Musik instruments bestimmte Frequenzbereiche besitzt, die unabhängig von der gerade gespielten Tonhöhe betont werden. Bei den hierauf basierenden Verfahren wer den kurze Wellenformen verwendet, die additiv überlagert und ineinander über geblendet werden. Alle diese kurzen Wellenformen betonen dabei die Formant frequenzen.

Die Gemeinsamkeit aller dieser Syntheseverfahren besteht darin, daß sie vom Klang eines simulierten Instrumentes ausgehen. Bei der physikalischen Modellie rung wird demgegenüber nicht mehr vom Klang eines Musikinstrumentes ausge gangen, sondern von dessen konstruktivem Aufbau und von den daraus resultie renden Eigenschaften. Ausgangspunkt sind dabei partielle Differentialgleichun gen, deren Lösung die Wellenform und damit den Klang des Instrumentes be stimmt. Der Vorteil der physikalischen Modellierung liegt in der musikalischen Ausdruckskraft, die mit diesem Ansatz erreicht werden kann. Dies kann mit den folgenden Verfahren realisiert werden.

Bei der numerischen Lösung wird die partielle Differentialgleichung in eine Diffe renzengleichung mit fester Orts- und Zeitschrittweite umgewandelt. Diese kann im Rechner gelöst werden. Der Nachteil dieser Methode besteht in dem hohen nu merischen Aufwand bei ausreichend kleiner Ortsschrittweite. Mit dieser Methode können auch mehrdimensionale Modellgleichungen gelöst werden, wobei der nu merische Aufwand aber enorm ansteigt.

Die Modale Synthese geht davon aus, daß jede komplexe vibrierende Struktur in Unterstrukturen zerlegt werden kann, die durch ihre Moden (Eigenschwingungen) und Dämpfungskonstanten charakterisiert werden können. Eine Kopplung (auch nichtlinear) besteht dabei nur zwischen gleichen Moden, ein Energieaustausch zwischen verschiedenen Moden ist nicht möglich. Bei komplexen Strukturen ist eine Bestimmung der Moden nur experimentell möglich.

Beim Masse-Feder-Modell von Cadoz u. a. (1983) wird das zu untersuchende schwingende Objekt in einzelne Massepunkte zerlegt, die mit idealen Federn und Dämpfern miteinander verbunden sind. Durch Disketisierung der physikalisch be gründeten Differentialgleichungen erhält man Differenzengleichungen, die im Rechner implementiert werden können. Der Nachteil dieser Methode liegt in der enormen Rechenkapazität auch schon bei einfachen Strukturen.

Wellenleiter stellen die am weitesten verbreitete Methode zur physikalischen Mo dellierung von Musikinstrumenten dar (siehe z. B. die US 5 286 916). Dies liegt zum einen an der einfachen Realisierung und zum anderen an der geringen be nötigten Rechenleistung. Die Wellenleiter-Methode geht von vor- und rücklaufen den Wellen auf einem schwingungsfähigen Gebilde aus, die durch Verzögerungs leitungen dargestellt werden können. Die Verluste sowie Dispersion während der Schwingung werden konzentriert in Übertragungsfunktionen realisiert. Mit dieser Methode können auch Schwingungen mehrdimensionaler Strukturen realisiert werden, dies erfordert aber ein Netz aus Verzögerungsleitungen, die mittels mehrdimensionaler Verbindungen (Scattering Junctions) miteinander kommunizie ren.

Die Nachteile dieser Synthesemethode bestehen in der aufwendigen Filterrealisie rung, insbesondere bei geringen Tonhöhenveränderungen, da die Verzögerungs leitung nur um ganze Zahlenwerte verändert werden kann. Die kontinuierlichen Tonhöhenveränderungen müssen in den Übertragungsfunktionen im Rückkopp lungszweig realisiert werden. Dadurch sind die verwendeten Übertragungsfunktio nen nicht mehr allein physikalisch motiviert, sondern müssen meist experimentell bestimmt werden.

Der Erfindung liegt die Aufgabe zugrunde, eine Signalerzeugungsvorrichtung zu schaffen, die eine die Schwingungen eines schwingungsfähigen Gebildes nach bildende oder simulierende Signalgenerierung mit verhältnismäßig einfachen Mit teln erlaubt.

Diese Aufgabe wird mit den im Patentanspruch 1 genannten Merkmalen gelöst.

Vorteilhafte Ausgestaltungen der Erfindung sind in den Unteransprüchen angege ben.

Die erfindungsgemäße Signalerzeugungsvorrichtung erlaubt u. a. eine digitale Klangsynthese und beruht auf einem exakten Modell der physikalischen Schwin gungserzeugung, insbesondere Klangerzeugung. Hieraus wird dann die Struktur eines Systems abgeleitet, das mit digitalen Bauelementen realisiert werden kann. Die entstehende Parallelanordnung digitaler rekursiver Systeme ist mehr als eine Zusammenschaltung digitaler Oszillatoren. Je nach der beschreibenden partiellen Differentialgleichung haben die digitalen rekursiven Systeme den Grad 1, 2 oder Vielfache davon. Jedes einzelne digitale rekursive System bildet damit nicht nur die Frequenz, sondern auch den Verlauf der zeitlichen Einhüllenden jeweils einer Eigenschwingung eines fiktiven oder realen Klangkörpers gemäß dem zugrunde liegenden physikalischen Modell exakt nach. Das Ausgangssignal der Paralle lanordnung entspricht damit im gesamten Hörbereich dem Obertonspektrum des physikalischen Modells.

Vorteilhaft ist auch die Modellierung und digitale Realisierung der Anregung aus den Anfangs- und Randwerten, sowie der Erregungsfunktion der partiellen Diffe rentialgleichung eines schwingungsfähigen Systems.

Wie bereits vorstehend erwähnt, unterscheiden sich die Verfahren mit physikali scher Modellierung von den übrigen Verfahren durch eine mögliche nuancierte Spielweise der simulierten Instrumente. Diese musikalische Phrasierbarkeit und die einfache Variabilität des Instrumentes und der daraus folgende Klang ist ein großer Vorteil der physikalischen Modellierung. Nachfolgend wird die erfindungs gemäße Vorrichtung mit einigen anderen Methoden zur Verdeutlichung der erfin dungsgemäß erzielbaren Vorteile verglichen.

Die Finite-Differenzen-Methode diskretisiert eine partielle Differentialgleichung des Modells und löst sie dann. Dies hat den Nachteil, daß durch die Diskretisierung Instabilitäten entstehen können, die bei einem kontinuierlichen Modell und damit bei der bei der hier vorgestellten Methode nicht vorhanden sind. Desweiteren müssen bei der Finiten-Differenzen-Methode alle Auslenkungen der Ortspunkte innerhalb des Abtastrasters zu jedem Zeitpunkt berechnet werden. Dies erfordert eine sehr hohe Rechenleistung, auch schon bei einfachen Strukturen. Bei der hier vorgestellten Methode können dagegen einzelne und beliebige Ortspunkte her ausgegriffen und deren Bewegung simuliert werden. Dadurch wird die benötigte Rechenleistung stark begrenzt.

Bei der erfindungsgemäßen Technik kann die Gesamtschwingung eines Systems aus dessen Teilschwingungen synthetisiert werden. Im Gegensatz zur Modalen Synthese lassen sich hierbei aber auch die Schwingungsformen sehr komplexer Modelle direkt lösen, ohne daß auf eine experimentelle Analyse zurückgegriffen werden müßte. Dadurch sind im Prinzip beliebige Formen und Randbedingungen der schwingungsfähigen Gebilde möglich.

Die hier vorgestellte Funktionaltransformation erlaubt außerdem eine physikalisch exakte und voneinander getrennte Behandlung von Erregungen, Anfangsbedin gungen und Randbedingungen. Dies ist für das Verständnis des Synthesevor gangs und damit für den Anwender von großer Bedeutung. Vorteilhaft ist dabei ferner, daß zur Erzeugung der Schwingungen digitale Strukturen angegeben wer den.

Gegenüber der Wellenleiter-Methode hat die hier vorgestellte Technik den Vorteil, daß die Schwingung (z. B. einer Saite) zu jedem Zeitpunkt z. B. durch Verwendung der Sturm-Liouville-Transformation exakt (abhängig von der Exaktheit der Schwingungsdifferentialgleichung) berechnet wird. Mit der Wellenleiter-Methode kann dagegen die Schwingung nur näherungsweise berechnet werden. Zusätzlich kann bei der hier vorgestellten Technik in einfacher Weise die Abhörposition oder auch die Tonhöhe sowie jede andere physikalische Konstante des Musikinstru mentes geändert werden. Bei der Wellenleiter-Methode müssen dagegen die Übertragungsfunktionen neu berechnet werden.

Außerdem müssen bei der hier vorgestellten Technik lediglich die physikalischen Eigenschaften (Elastizitätsmodul, Maße, Dichte usw.) z. B. der Saite und deren Randbedingungen (Befestigungsarten an beiden Enden) angegeben werden. Dies verspricht eine direkte und leicht verständliche Klangbeeinflussung im Gegensatz zum Stand der Technik.

Durch den Einsatz des diskreten rekursiven Systems zur Berechnung der Schwin gung ist Echtzeitfähigkeit gegeben. Die Vorrichtung zeichnet sich hierbei auch durch hohe Geschwindigkeit aus.

Mit der physikalischen Modellierung lassen sich akustische Musikinstrumente we sentlich nuancierter und originalgetreuer nachbilden als durch andere Synthese formen wie z. B. durch Sampling. Die Erfindung ist damit z. B. bei elektronischen Musikinstrumenten wie Keyboards, Synthesizern, Expandern und Computer- Soundkarten mit Algorithmen zur physikalischen Modellierung vorteilhaft einsetz bar. Auch können in sogenannten Software-Synthesizern die Algorithmen erfin dungsgemäß ausgelegt werden, welche die Klangberechnung direkt auf der CPU eines PCs bzw. auf speziellen Soundkarten mit Digitalen Signalprozessoren (DSPs) durchführen.

Die hier vorgestellte Technik simuliert somit Schwingungsvorgänge mit Hilfe einer Darstellung durch mehrdimensionale Modelle, wobei zur Realisierung rekursive Systeme eingesetzt werden. Sie unterscheidet sich von den in elektronischen bzw. digitalen Musikinstrumenten bereits implementierten Algorithmen u. a. in der Exaktheit des Ergebnisses und in der direkten Eingabe von verschiedenartigen Schwingungsanregungen. Während bei den z. Z. üblichen Algorithmen zur physi kalischen Modellierung aufgrund deren inneren Strukturen die hörbaren Schwin gungen von Saiten oder Luftsäulen nur angenähert werden können, vermag die hier vorgestellte Vorrichtung diese Schwingungen exakt zu reproduzieren. Trotz dieser Exaktheit ist Echtzeitfähigkeit gegeben.

Die Erfindung wird nachstehend anhand von Ausführungsbeispielen unter Bezug nahme auf die Zeichnungen näher beschrieben.

Fig. 1 zeigt ein schematisches, vereinfachtes Modell einer schwingenden Saite,

Fig. 2 zeigt eine Ein-Ausgangs-Beschreibung durch Übertragungsfunktio nen,

Fig. 3 zeigt digitales System zur Nachbildung des Systems gemäß Fig. 2,

Fig. 4 zeigt die Struktur eines der für Erregung, Anfangs- oder Randwerte vorgesehenen digitalen Systeme gemäß Fig. 3,

Fig. 5 zeigt die Struktur eines in Fig. 4 gezeigten digitalen Systems, und

Fig. 6 zeigt den prinzipiellen Aufbau des Gesamtsystems eines Ausfüh rungsbeispiels zur digitalen Klangsynthese.

Ausgangspunkt der nachfolgenden Erläuterung ist ein physikalisches Mo dell in Gestalt einer partiellen Differentialgleichung. Es entsteht aus der Beschrei bung des Verhaltens von Saiten, Luftsäulen oder anderen schwingungsfähigen Gebilden durch die Grundgleichungen der Akustik oder der Elastizitätstheorie. Je nach dem Detaillierungsgrad dieser physikalischen Modelle erhält man unter schiedliche partielle Differentialgleichungen, z. B. für Luftschwingungen; Longitudi nalwellen einer Saite; oder Transversalwellen einer Saite mit oder ohne Berück sichtigung von Rotation und Scherung.

Fig. 1 zeigt ein vereinfachtes Modell einer schwingenden Saite. Mögliche Verein fachungen sind z. B. die Vernachlässigung der Dicke gegenüber der Länge der Saite, die Annahme einer vollkommen starren Auflage an den Enden, die Ver nachlässigung von Rotation und Scherung, etc. Unter diesen Bedingungen wer den Transversalschwingungen dieser Saite durch folgende Differentialgleichungen beschrieben:

Der Koeffizient c enthält physikalische Kenngrößen des Saitenmaterials. Die Art der gemachten Annahmen bestimmt Anzahl und Ordnung der partiellen Ableitun gen und die Koeffizienten der Differentialgleichung. Ein hier nicht näher angege bener Erregungsterm beschreibt die Anregung der Schwingung, z. B. durch einen gestrichenen Bogen. Die Anfangsbedingungen beschreiben den Zustand der Saite bei Beginn der Schwingung, z. B. durch Anschlagen oder Zupfen der Saite. Die Randbedingungen geben an, wie die Befestigung der Saite am Rand ihr Schwingungsverhalten beeinflusst.

Für die Umsetzung von partiellen Differentialgleichungen in zeit- und ortsdiskrete Simulationsmodelle, die mit einem Digitalrechner oder mit Bauelementen der Digi taltechnik realisiert werden können, gibt es verschiedene Verfahren. Dazu zählen Finite-Differenzen- und Finite-Elemente-Methoden der numerischen Mathematik, die jedoch die numerische Lösung großer Gleichungssysteme erfordern und da her keine einfache technische Realisierung zulassen.

Bei einer bevorzugten Methode wird aus der Beschreibung von Schwingungen durch partielle Differentialgleichungen ein anderes gleichwertiges Modell in Ge stalt einer mehrdimensionalen Übertragungsfunktion gewonnen. Das mathemati sche Werkzeug dazu sind geeignete Funktionaltransformationen für die Zeit- und die Ortskoordinate. Sie wandeln nicht nur die partielle Differentialgleichung in eine algebraische Gleichung um, sondern erlauben auch eine exakte Berücksichtigung der Anfangs- und Randbedingungen. Dieses Verfahren wird Funktionaltransfor mationsmethode genannt. Die Handhabung dieser mathematischen Methode wird im nächsten Abschnitt skizziert.

Die Darstellung des Verhaltens von elektronischen Netzwerken - beschrieben durch gewöhnliche Differentialgleichungen - durch Übertragungsfunktionen ist seit langem Stand der Technik. Durch Anwendung der Laplace-Transformation auf eine gewöhnliche Differentialgleichung und die zugehörigen Anfangsbedingungen entsteht eine algebraische Gleichung, die die Anfangswerte als additive Terme enthält. Durch Auflösen der algebraischen Gleichung nach der Laplace- Transformierten des Ausgangssignals entsteht ein Ein-Ausgangsmodell in Gestalt einer Übertragungsfunktion. Dieses Vorgehen wird hier auf die vorliegende partiel le Differentialgleichung übertragen. Zunächst wird auf die Transformation für die Zeitvariable eingegangen.

Durch die Anwendung der Laplace-Transformation:

y(x, t) → L{y(x, t)} = Y(x, s) (2)

auf das Anfangs-Randwertproblem (1) entsteht zunächst eine Randwertaufgabe für die Laplace-Transformierte Y(x, s) der gesuchten Lösung y(x, t).

Aus der zweiten Ableitung von y(x, t) in (1) wird hier eine Multiplikation mit der zweiten Potenz der komplexen Frequenzvariable s. Außerdem treten die An fangsbedingungen aus (1) als additiver Term in (3) auf, der die gegebenen An fangswerte enthält.

Es wird nun eine geeignete Transformation für die Ortsvariable durchgeführt, die die Randbedingungen in der gleichen Weise in einen additiven Term umwandelt, wie die Laplace-Transformation dies mit den Anfangsbedingungen getan hat. Eine solche Transformation ist die Sturm-Liouville-Transformation:

Y(x, s) → T{Y(x, s)} = Y(β_µ, s) (4)

Die örtliche Frequenzvariable β_µ nimmt diskrete Werte an und entspricht den Ei genfrequenzen des Systems. Die genaue Definition der örtlichen Transformation T hängt von der Form der partiellen Differentialgleichung ab. In dem einfachen Fall von (1) lautet sie

Hier sind x₀ und x₁ die Koordinaten von Anfangs- und Endpunkt der Saite. Der Transformationskern K(β_µ, x) hängt ebenfalls von der partiellen Differentialglei chung (1) ab und beschreibt die Form der Eigenschwingungen. Im hier vorliegen den Fall sind sie sinusförmig, bei komplizierteren Schwingungsproblemen können sie andere Formen annehmen.

Die Eigenfrequenzen nehmen nur diskrete Werte an; im einfachsten Fall sind sie Vielfache der Grundschwingung. Die Rücktransformation besteht daher aus einer Summe über die vorkommenden Eigenschwingungen:

N_µ ist ein Normierungsfaktor. Wenn der Transformationskern K(β_µ, x) eine sin- oder cos-Funktion ist, entspricht die Rücktransformation T^-1 einer Entwicklung von Y(x, s) in eine Fourier-Reihe mit den Koeffizienten Y(β_µ, s). Die Hintransformation T entspricht dann der Formel zur Berechnung der Fourier-Koeffizienten.

Durch inverse Laplace-Transformation erhält man aus (6) die Lösung der Glei chung (1):

mit

Diese Form der Lösung ist aber für die praktische Berechnung noch nicht optimal, da die Zeitverläufe der spektralen Komponenten y(β_µ, t) bekannt sein müssen. Um sie zu erhalten, ist eine Ein-Ausgangs-Beschreibung der Gleichung (1) erfor derlich, was im folgenden diskutiert wird.

Bei richtiger Wahl der Eigenfrequenzen β_µ, und der Eigenfunktionen K(β_µ, x) führt die Anwendung der Transformation T auf das Randwertproblem (3) zu einer alge braischen Gleichung:

c²s²Y(β_µ, s) + β_µ ⁴Y(β_µ, s) = Erregung + Anfangswerte + Randwerte (9)

Sie kann nach der Transformierten Y(β_µ, s) der gesuchten Lösung y(x, t) aufge löst werden. Dadurch entsteht eine Ein-Ausgangs-Beschreibung mit der Erre gungsfunktion, den Anfangswerten und den Randwerten als Eingängen und der gesuchten Lösung als Ausgang. Die Beziehungen zwischen den Eingängen und dem Ausgang werden durch Übertragungsfunktionen beschrieben, die die Kon stante c aus (1), die komplexe Frequenzvariable s bezüglich der Zeit t und die dis krete Frequenzvariable β_µ bezüglich des Ortes x enthalten. Im einfachsten Fall lautet eine solche Übertragungsfunktion:

Abhängig von der Art der Erregung, den Anfangs- oder Randbedingungen kann auch der Zähler ein Polynom in s und β_µ sein.

Fig. 2 zeigt diese Ein-Ausgangs-Beschreibung in Form eines Blockdiagramms. Die Systeme 1 bis 3 (System 1 (S_E) für die Erregung, System 2 (S_A) für die An fangswerte, und System 3 (S_R) für die Randwerte) werden jeweils durch Übertra gungsfunktionen nach (10) beschrieben. Ihre Ausgangssignale werden über einen Addierer 4 zur Bildung des Ausgangssignals y(x, t) zusammengefaßt.

Die hier dargestellte mathematische Beschreibung eines schwingungsfähigen Systems durch Eigenfrequenzen und Eigenschwingungen (bzw. Eigenwerte und Eigenfunktionen) ist die Grundlage für die Konstruktion eines hier offenbarten digi talen Systems zur Schwingungssynthese, insbesondere Klangsynthese. Die Kon struktionsprinzipien werden im nächsten Abschnitt erläutert.

Nachstehend wird die Überführung des mathematischen Modells gemäß Fig. 2 in ein digitales System beschrieben. Der Zweck dieses digitalen Systems ist die Ge nerierung von Klängen nach einem physikalischen Vorbild. Dabei sollen die Zeit verläufe der Schwingungsamplitude (Auslenkung, Schalldruck) an einem oder mehreren gewünschten Ortspunkten reproduziert werden. Das bedeutet, daß das Ausgangssignal des digitalen Systems der Ausgangsgröße y(x, t) aus Fig. 2 an den diskreten Zeitpunkten t = kT und den diskreten Ortspunkten x = x_n möglichst ex akt entspricht. Die diskreten Zeitpunkte sind ganzzahlige Vielfache des Abtastin tervalls T, das entsprechend dem Abtasttheorem zu wählen ist. Die diskreten Ortspunkte können nach Zahl und Lage beliebig gewählt werden.

Ausgangspunkt für die Konstruktion des digitalen Systems ist die Darstellung durch Übertragungsfunktionen nach Fig. 2. Jede Übertragungsfunktion nach (10) läßt sich für einen festen Wert von µ als Beschreibung eines ortsunabhängigen kontinuierlichen Systems zweiter Ordnung auffassen. Für die Überführung konti nuierlicher Systeme in diskrete Systeme existieren bekannte Transformationen, wie die impuls- oder sprunginvariante Transformation oder die bilineare Transfor mation. Wenn solche Transformationen auf jede der Übertragungsfunktionen nach (10) und für jeden Wert von µ angewandt werden, entsteht aus dem Zeit- und ortskontinuierlichen System nach Fig. 2 ein zeitdiskretes System, dessen Re aktion den Ausgang von Fig. 2 für die Zeitpunkte t = kT nachbildet. Wird zusätzlich die Rücktransformation nach (6) an diskreten Ortspunkten x = x_n ausgewertet, so entsteht ein Zeit- und ortsdiskretes System nach Fig. 3 mit dem gleichen prinzipiel len Aufbau wie in Fig. 2.

Fig. 3 zeigt ein digitales System zur Nachbildung des Systems aus Fig. 2, wobei nun digitale Teilsysteme D_E, D_A, D_R (Systeme 5 bis 7) anstelle der kontinuierlichen Systeme 1 bis 3 mit den Übertragungsfunktionen S_E, S_A, S_R vorgesehen sind. Die Ausgangssignale der Systeme 5 bis 7 werden auch hier wie bei Fig. 2 über einen Addierer 8 zu einem Ausgangssignal y(x_n, kT) zusammengefaßt. Die Struktur der in Fig. 3 gezeigten einzelnen Teilsysteme 5 bis 7 (D_E, D_A, D_R) ist jeweils gleich und in Fig. 4 für eines der Teilsysteme dargestellt. An den Eingängen Eingang 1 bis Eingang m liegen jeweils die Komponenten von Erregung, Anfangswerten bzw. Randwerten für die Eigenfrequenzen µ an. Bei nichtlinearen Modellen treten au ßerdem Kopplungen zwischen den einzelnen rekursiven Systemen 9, 11 und 12 auf.

Fig. 4 zeigt die Struktur eines der digitalen Systeme D_E, D_A, D_R (eines der Syste me 5 bis 7) aus Fig. 3 für Erregung, Anfangs- oder Randwerte. Der Aufbau ist für alle Systeme 5 bis 7 grundsätzlich gleich. Mit jedem Eingang 1 bis m ist jeweils eine Reihenschaltung aus einem System 9, 11 bzw. 13 (System R₁, R₂, bzw. R_m) und einem Verstärker oder Multiplikator 10, 12 bzw. 14 verbunden, der das Aus gangssignal des zugehörigen Systems 9, 11 bzw. 13 mit einem Faktor K_µ(x_n) (mit µ = 1 bis m) multipliziert. Die Ausgangssignale der Multiplikatoren 10, 12, 14 . . . werden über einen Addierer 15 addiert, der das Ausgangssignal y_l(x_n, kT) erzeugt. Die Systeme R₁ bis R_m entstehen aus den Übertragungsfunktionen (10) durch die genannten Transformationen (impuls-, sprunginvariant, bilinear). Sie werden durch Differenzengleichungen beschrieben, die die gleiche Ordnung wie die Übertragungsfunktion (10) im zeitlichen Frequenzbereich oder ein Vielfaches da von besitzen. Eine vorteilhafte Realisierung dieser Systeme 10, 12 bzw. 14 ist in Fig. 5 gezeigt, die die Struktur eines dieser digitalen Systeme veranschaulicht. Alle Systeme sind vorzugsweise identisch so, wie in Fig. 5 gezeigt, aufgebaut.

Jedes System ist hierbei als rekursives Digitalfilter (IIR-Filter mit unendlicher Im pulsantwort) ausgebildet, dessen am Eingang 20 anliegendes Eingangssignal über mehrere, hier drei Zweige 21, 22 und 23 mit unterschiedlichen Gewichtungs faktoren b₀, b₁, b₂ bewertet und an Addierer 24, 27, 30 angelegt wird. Das vom Addierer 30 abgegebene Ausgangssignal y_µ(k) bildet das Ausgangssignal des ge samten Systems 9, 11 oder 13 und wird über Zweige 25, 28 auf die Addierer 24 und 27 unter Bewertung mit abschwächenden Gewichtungsfaktoren -c₀, -c₁ rück gekoppelt. Das Ausgangssignal des Addierers 24 wird über ein Zeitverzöge rungsglied 26 an einen dritten Eingang des Addierers 27 angelegt, dessen Aus gangssignal seinerseits über ein Zeitverzögerungsglied 29 zu einem zweiten Ein gang des ausgangsseitigen Addierers 30 gespeist wird. Die Gewichtungsfaktoren b₀, b₁, b₂ berechnen sich aus den physikalischen Größen des Schwingungsmo dells. Gleiches gilt auch für die Gewichtungsfaktoren -c₀ und -c₁. Die Zeitkonstan ten T der Zeitverzögerungsglieder 26 und 29 werden aus der Abtastfrequenz be stimmt.

Die Ausgangssignale y_µ(k), (mit µ = 1, . . ., m) der Addierer 30 der einzelnen Systeme 9, 11, 13 entsprechen im Rahmen der diskreten Approximation den Komponenten y(β_µ, t) aus Gleichung (8), abgetastet an den Zeitpunkten t = kT. Diese Signale be schreiben die Zeitverläufe der einzelnen Eigenschwingungen. Daraus folgt durch die Rücktransformation T^-1 nach Gleichung (7) der Zeitverlauf des gesamten Aus gangssignals.

Der Summationspunkt 15 in Fig. 4 entspricht der Summe in (7).

Die Faktoren K_µ(x_n) der Multiplizierer 10, 12, 14 (Fig. 4) sind aus den Eigenfunk tionen K(β_µ, x_n) an diskreten Ortspunkten x_n und den Normierungsfaktoren N_µ in (7) gebildet:

Da für die Klangsynthese nur das Schwingungsverhalten innerhalb des Hörbe reichs von Interesse ist, muß die Summation nur diejenigen Eigenfrequenzen er fassen, die im Hörbereich, d. h. z. B. zwischen 16 Hz und 16 kHz liegen (hier mit µ = 1, . . ., m bezeichnet). Das Ausgangssignal y_l(x_n, kT) stellt damit eine diskrete Approximation des hörbaren Schwingungsverhaltens dar. Dabei steht I = E, A, R jeweils für das Resultat aufgrund der Erregung, der Anfangs- und der Randwerte. Alle drei Systeme 5, 6, 7, die jeweils die Struktur gemäß Fig. 4 aufweisen, bilden zusammen das Ausgangssignal des digitalen Systems nach Fig. 3.

Den prinzipiellen Aufbau des Gesamtsystems zur digitalen Klangsynthese zeigt Fig. 6. Das physikalische Modell 33 und seine Parameter 34 sind einem akusti schen Vorbild entnommen und dienen lediglich dazu, die Auslegungsparameter des Gesamtsystems zu definieren, stellen als solche aber keinen Bestandteil des Gesamtsystems dar. Dabei spielt es keine Rolle, ob dieses akustische Vorbild mit technischen Mitteln und vertretbarem Aufwand realisiert werden kann oder nicht. Wichtig ist nur, daß es ein schwingungsfähiges System darstellt, das durch be kannte physikalische Gesetze beschrieben wird. Die mathematische Beschrei bung des akustischen Vorbilds steht als physikalisches Modell mit seinen Parame tern für die Klangsynthese zur Verfügung.

Das in Fig. 6 unterhalb der gestrichelten Trennlinie gezeigte System besteht aus den Komponenten: eine Parallelanordnung 38 digitaler rekursiver Systeme; ein Rechenwerk 35; ein Koeffizientenspeicher 36; eine Anregungseinrichtung 37; und ein Steuerwerk (Steuereinrichtung) 39.

Die Parallelanordnung 38 digitaler rekursiver Systeme besteht aus den digitalen Systemen 5, 6, 7 (Systeme D_E, D_A, D_R) aus Fig. 3 mit der in den Fig. 4 und 5 ge zeigten Struktur.

Die einzelnen rekursiven Systeme bestehen aus Addierern, Multiplizierern und Speicherelementen (Zeitverzögerungsgliedern), wie dies in Fig. 5 anhand eines Beispiels gezeigt ist. Die Anzahl der Speicherelemente ist gleich der Anzahl der zeitlichen Ableitungen in der zugrundeliegenden partiellen Differentialgleichung oder ein Vielfaches davon.

Dabei wird jede Eigenschwingung (Harmonische) des physikalischen Systems durch ein digitales rekursives System realisiert. Deren parallele Anordnung bildet dann das Obertonspektrum nach. Kopplungen dieser parallelen Systeme treten bei nichtlinearen Modellen auf. Die Anzahl der parallelgeschalteten rekursiven Systeme kann dabei vorzugsweise auf die Anzahl der Obertöne innerhalb des Hörbereichs begrenzt werden, ohne daß eine Beeinträchtigung des Höreindrucks entsteht.

Die gekoppelte Parallelanordnung 38 digitaler rekursiver Systeme ist grundsätzlich zur Nachbildung aller Schwingungsvorgänge geeignet, die durch die entsprechen de partielle Differentialgleichung (auch nichtlinear) beschrieben werden. Die Syn these eines bestimmten Klangs erfordert die Festlegung der Koeffizienten der ein zelnen digitalen Systeme. Sie werden im Rechenwerk 35 aus den Parametern des physikalischen Modells berechnet. Diese Parameter sind die physikalischen Kon stanten, die den Schwingungsvorgang charakterisieren. Die Berechnungsvor schriften ergeben sich aus der Nachbildung der Übertragungsfunktion durch eine digitale Realisierung. Die Herleitung der Koeffizienten der rekursiven Systeme aus einer Übertragungsfunktion stellt dabei sicher, daß die Eigenfrequenzen und das zeitliche Abklingverhalten des physikalischen Systems und der digitalen Realisie rung exakt übereinstimmen.

Der Koeffizientenspeicher 36 nimmt einen oder mehrere Koeffizientensätze aus dem Rechenwerk 35 entgegen und lädt sie auf Anforderung durch die Steuerein richtung 39 in die Parallelanordnung 38 digitaler rekursiver Systeme.

Um die Parallelanordnung 38 digitaler rekursiver Systeme zur Synthese eines Ausgangssignals zu veranlassen, ist die Anregung durch ein oder mehrere Ein gangssignale erforderlich. Auch diese Eingangssignale werden dem physikali schen Modell entsprechend nachgebildet und in der Anregungseinrichtung ge speichert. Die Anregung wird aus der partiellen Differentialgleichung des schwin gungsfähigen Systems abgeleitet und berücksichtigt die Anfangswerte (z. B. ange schlagene oder gezupfte Saite), die Randwerte (z. B. Seilschwingungen) und die Erregungsfunktion (z. B. Resonanzen).

Die Steuereinrichtung 39 (Steuerwerk) übernimmt die Ablaufsteuerung von Re chenwerk 35, Koeffizientenspeicher 36, Parallelanordnung 38 und Anregungsein richtung 37. Diese Möglichkeiten können nicht nur genutzt werden, um die Schwingungen realer Musikinstrumente oder anderer Klangkörper nachzubilden, sondern auch um Klänge zu synthetisieren, deren natürliche Erzeugung aus technischen Gründen nicht möglich ist.

Das am Ausgang 40 der Parallelanordnung 38 abgegebene Ausgangssignal stellt das zu erzeugende, gewünschte Signal dar und kann in geeigneter Weise weiter verwendet oder bearbeitet werden. Beispielsweise kann zur akustischen Hörbar machung von erzeugten Klangsignalen ein D/A-Wandler an den Ausgang 40 an geschlossen werden und dessen analoges Ausgangssignal ggfls. nach Verstär kung durch einen Verstärker an einen Lautsprecher angelegt werden.

Nachfolgend werden einige Erweiterungen und Variationen des vorstehend grundlegend beschriebenen digitalen Systems zur Klangsynthese sowie deren Auswirkungen erläutert.

Anstelle der in Fig. 5 gezeigten Struktur der rekursiven Systeme kann auch ver wendet werden:
eine andere Struktur eines rekursiven Systems mit gleichem Ein- Ausgangsverhalten, z. B. Regelungsnormalform, Steuerungsnormalform, Zu standsraumstruktur, Leiter (Lattice)-Struktur, Wellendigitalfilter-Struktur;
eine andere Struktur eines rekursiven Systems, die das Ein-Ausgangsverhalten des Systems aus Fig. 5 approximiert;
ein nichtrekursives System, das das Ein-Ausgangsverhalten des Systems aus Fig. 5 approximiert.

Die evtl. gekoppelte Parallelanordnung rekursiver Systeme gemäß Fig. 4 und Fig. 3 stellt eine spezielle Realisierung eines Systems mit mehreren Eingängen und mehreren Ausgängen (MIMO - multiple input, multiple output) dar. Anstelle die ser Parallelanordnung kann auch verwendet werden:
eine andere Struktur eines MIMO-Systems mit gleichem Ein-Ausgangsverhalten,
eine andere Struktur eines MIMO-Systems, die das Ein-Ausgangsverhalten des Systems aus Fig. 3 und Fig. 4 approximiert.

Es ist auch eine Parallel- oder Kaskadenanordnung mehrerer Systeme nach Fig. 6 möglich, wobei das Ausgangssignal eines Systems als Anregung für das nach geschaltete System dient. Zusätzlich zu einer Parallel- oder Kaskadenschaltung mehrerer Systeme zur digitalen Klangsynthese nach Fig. 6 sind auch Kombinatio nen davon möglich.

Das System nach Fig. 3 kann das Schwingungsverhalten an ausgewählten Ortspunkten x_n nachbilden. Diese Ortspunkte können zur Verbesserung der Schallfeldrekonstruktion auch so gewählt werden, dass das gesamte, vom schwingungsfähigen Körper ausgehende Schallfeld anhand der Syntheseergeb nisse an den Punkten x_n exakt oder näherungsweise approximiert werden kann.

Anstelle der Differentialgleichung (1) für eine Ortskoordinate (x) kann auch eine entsprechende Differentialgleichung für zwei oder drei Ortskoordinaten als physi kalisches Modell verwendet werden, so daß mehrere Ortsdimensionen nachbild bar sind. Die Ortsfunktionen K_µ(x_n) in Fig. 4 sind dann ebenfalls von zwei oder drei Ortsdimensionen abhängig.

Die vorstehend beschriebene Anordnung zur Klangsynthese anhand eines physi kalischen Modells kann auch zur Synthese allgemeiner Schwingungen, d. h. zur Nachbildung von anderen physikalischen Schwingungsvorgängen dienen, wenn diese durch partielle Differentialgleichungen beschrieben werden können. Sie stellt dann eine digitale Realisierung zur Nachbildung von allgemeinen schwin gungsfähigen Körpern, Fluiden und Energiefeldern dar.

Die vorstehend beschriebene Anordnung kann auch zur gleichzeitigen Synthese von Potential- und Flußgröße dienen. Dazu ist dann nicht von einer skalaren Diffe rentialgleichung, sondern von einer Vektordifferentialgleichung für Potential- und Flußgröße auszugehen.

Das hier vorgestellte Verfahren läßt sich z. B. in der Programmiersprache JAVA zur Implementierung für eine schwingende Instrumentensaite realisieren, die auch die Rotationsträgheit und Scherung der Saite berücksichtigen kann. Dies wurde von den Erfindern erfolgreich durchgeführt. In diesem Programm können alle physikalischen Parameter der realen Saite eingegeben werden, was eine Simula tion ihres Schwingungsverhaltens einfach ermöglicht.

Je nach Programmstruktur lassen sich auch die Nichtlinearitäten, die bei der An regung einer Saite auftreten, berücksichtigen, und Echtzeitfähigkeit erreichen.

Claims

1. Vorrichtung zur Signalberechnung und -erzeugung, insbesondere zur digitalen Klangsynthese, mit
einem Rechenwerk (35) zur Berechnung von Koeffizienten in Abhängigkeit von einem physikalischen Modell (33), dessen Struktur in Form von partiellen Dif ferentialgleichungen vorliegt, und von dessen Parametern (34),
einem Koeffizientenspeicher (36) zur Speicherung der errechneten Koeffi zienten,
einer mit dem Koeffizientenspeicher (36) verbundenen Anordnung (38) mehrerer paralleler digitaler rekursiver Systeme (9, 11, 13), deren Ausgangssigna le nach gewichteter Aufsummierung das am Ausgang (40) abgegebene, zu erzeu gende Signal bilden, wobei die rekursiven Systeme mehrere Addierer (24, 27, 30) enthalten, zwischen denen um jeweils eine aus der Abtastfrequenz bestimmte Zeitverzögerung verzögernde Zeitverzögerungsglieder (26, 29) angeordnet sind und an die Rückkopplungsschleifen (25, 28) angeschlossen sind,
einer mit der Anordnung (38) verbundenen Anregungseinrichtung (37), die Erregungssignale an die Anordnung (38) anlegt, und
einer Steuereinrichtung (39) zur Steuerung des Koeffizientenspeichers (36), der Anregungseinrichtung (37) und der Anordnung (38), derart, daß die Anord nung (38) mit den berechneten und gespeicherten Koeffizienten und den Erre gungssignalen betrieben wird.

2. Vorrichtung nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß die digitalen rekursiven Systeme miteinander gekoppelt sind.

3. Vorrichtung nach Anspruch 1 oder 2, dadurch gekennzeichnet, daß die parallelen rekursiven Systeme zur Verarbeitung von kontinuierlichen Erregungs werten, Anfangswerten und Randwerten des zugrundeliegenden Modells in Form von partiellen Differentialgleichungen ausgelegt sind.

4. Vorrichtung nach einem der vorhergehenden Ansprüche, dadurch ge kennzeichnet, daß das Rechenwerk (35) die Koeffizienten aufgrund der Übertra gungsfunktionen eines Schwingungsvorgänge ausführenden, hinsichtlich seines Schwingungsverhaltens nachgebildeten physikalischen Modells ermittelt.

5. Vorrichtung nach einem der vorhergehenden Ansprüche, dadurch ge kennzeichnet, daß im Koeffizientenspeicher (36) als Koeffizienten Multiplizierer werte für die digitalen Einrichtungen (5 bis 7) gespeichert sind.

6. Vorrichtung nach einem der vorhergehenden Ansprüche, dadurch ge kennzeichnet, daß die Anregungseinrichtung (37) mindestens eine Signalquelle zur Anregung der Anordnung (38) enthält.