EP1175668A1 - Vorrichtung zur signalberechnung und -erzeugung, insbesondere zur digitalen klangsynthese - Google Patents

Vorrichtung zur signalberechnung und -erzeugung, insbesondere zur digitalen klangsynthese

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EP1175668A1
EP1175668A1 EP00925212A EP00925212A EP1175668A1 EP 1175668 A1 EP1175668 A1 EP 1175668A1 EP 00925212 A EP00925212 A EP 00925212A EP 00925212 A EP00925212 A EP 00925212A EP 1175668 A1 EP1175668 A1 EP 1175668A1
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EP
European Patent Office
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arrangement
digital
coefficients
excitation
coefficient memory
Prior art date
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EP00925212A
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Rudolf Rabenstein
Lutz Trautmann
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FTMusicS GmbH
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Individual
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    • G10H—ELECTROPHONIC MUSICAL INSTRUMENTS; INSTRUMENTS IN WHICH THE TONES ARE GENERATED BY ELECTROMECHANICAL MEANS OR ELECTRONIC GENERATORS, OR IN WHICH THE TONES ARE SYNTHESISED FROM A DATA STORE
    • G10H5/00—Instruments in which the tones are generated by means of electronic generators
    • G10H5/007—Real-time simulation of G10B, G10C, G10D-type instruments using recursive or non-linear techniques, e.g. waveguide networks, recursive algorithms
    • G—PHYSICS
    • G10—MUSICAL INSTRUMENTS; ACOUSTICS
    • G10H—ELECTROPHONIC MUSICAL INSTRUMENTS; INSTRUMENTS IN WHICH THE TONES ARE GENERATED BY ELECTROMECHANICAL MEANS OR ELECTRONIC GENERATORS, OR IN WHICH THE TONES ARE SYNTHESISED FROM A DATA STORE
    • G10H2250/00—Aspects of algorithms or signal processing methods without intrinsic musical character, yet specifically adapted for or used in electrophonic musical processing
    • G10H2250/055—Filters for musical processing or musical effects; Filter responses, filter architecture, filter coefficients or control parameters therefor
    • G10H2250/061—Allpass filters
    • G10H2250/065—Lattice filter, Zobel network, constant resistance filter or X-section filter, i.e. balanced symmetric all-pass bridge network filter exhibiting constant impedance over frequency
    • G—PHYSICS
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    • G10H2250/00—Aspects of algorithms or signal processing methods without intrinsic musical character, yet specifically adapted for or used in electrophonic musical processing
    • G10H2250/471—General musical sound synthesis principles, i.e. sound category-independent synthesis methods
    • G10H2250/511—Physical modelling or real-time simulation of the acoustomechanical behaviour of acoustic musical instruments using, e.g. waveguides or looped delay lines
    • G10H2250/535—Waveguide or transmission line-based models

Definitions

  • the invention relates to a device and a method for signal calculation and generation, in particular for digital sound synthesis, by computer-aided simulation of oscillation processes in acoustic musical instruments or other vibrating structures. Such a simulation is called physical modeling or virtual acoustics.
  • FM synthesis frequency modulation
  • modulator controlling the other (carrier).
  • complex spectra can be generated, which can also have nonlinearities in the time domain. Quite complex sounds can be produced with several systems of this type connected in parallel, but the authentic replication of acoustic musical instruments is not possible.
  • the vibrations of real musical instruments are saved as sequences of samples and played back on demand.
  • Three different methods are used to save storage space. On the one hand, it is assumed that the oscillation shape changes only slightly after the transient process. As a result, a few samples can be read out in a loop. The minor changes are realized in subsequent filters.
  • the second method is to shift the pitch (transpose). In order not to have to record and save all pitches of the real musical instrument, the recorded tone can be transposed.
  • the third method for efficient memory utilization is data reduction (loss in sound quality) and data compression (no loss in sound quality). The advantage of sampling lies in the exact replica of a played sound. This means that the variability of a real instrument cannot be realized.
  • a sound synthesis method in the frequency domain is an additive synthesis in which sine waves of different frequencies and amplitudes are added in variable mutual phase positions.
  • the difficulty with this sound synthesis lies in the determination of the above. Parameter. These can only be obtained approximately by suitable analysis (short-term Fourier transformation) of the real instrument sound. Noise-like sounds can only be generated with considerable effort with this method.
  • the formant synthesis assumes that the sound of an acoustic musical instrument has certain frequency ranges, which are emphasized regardless of the pitch currently being played.
  • short waveforms are used, which are additively superimposed and faded into one another. All of these short waveforms emphasize the formant frequencies.
  • the partial differential equation is converted into a difference equation with a fixed location and time step size.
  • This can be solved in the computer.
  • the disadvantage of this method is the high numerical effort with a sufficiently small local step size.
  • This method can also be used to solve multi-dimensional model equations, but the numerical effort increases enormously.
  • Modal synthesis assumes that any complex vibrating structure can be broken down into substructures that can be characterized by their modes (natural vibrations) and damping constants.
  • a coupling also non-linear
  • the modes can only be determined experimentally.
  • Waveguides are the most widely used method for the physical modeling of musical instruments. This is due to the simple implementation and the low computing power required.
  • the waveguide method is based on forward and returning waves on an oscillatory structure, which can be represented by delay lines. The losses and dispersion during the vibration are concentrated in transfer functions. With this method, vibrations of multidimensional structures can also be realized, but this requires a network of delay lines that communicate with each other by means of multidimensional connections (scattering junctions).
  • the disadvantages of this synthesis method are the complex filter implementation, especially with small pitch changes, since the delay line can only be changed by whole numerical values. The continuous pitch changes must be implemented in the transfer functions in the feedback branch. As a result, the transfer functions used are no longer physically motivated, but usually have to be determined experimentally.
  • the invention has for its object to provide a signal generating device which allows a relatively simple means to simulate or simulate the oscillations of a vibrating structure.
  • the invention provides a method according to claim 17.
  • the signal generation device and the signal generation method according to the invention allow, among other things, digital sound synthesis and are based on an exact model of the physical vibration generation, in particular sound generation.
  • the structure of a system that can be implemented with digital components is then derived from this.
  • the resulting parallel arrangement of digital recursive systems is more than an interconnection of digital oscillators.
  • the digital recursive systems have degrees 1, 2 or multiples thereof.
  • Each individual digital recursive system therefore not only forms the frequency, but also the course of the time envelope of a natural vibration of a fictitious or real sound body in accordance with the underlying physical see model exactly.
  • the output signal of the parallel arrangement thus corresponds to the overtone spectrum of the physical model in the entire listening area.
  • the finite difference method discretizes a partial differential equation of the model and then solves it. This has the disadvantage that the discretization can result in instabilities which are not present in a continuous model and thus in the method presented here. Furthermore, with the finite difference method, all deflections of the location points within the scanning grid must be calculated at all times. This requires a very high computing power, even with simple structures. With the method presented here, however, individual and arbitrary location points can be picked out and their movement simulated. This severely limits the computing power required.
  • the overall vibration of a system can be synthesized from its partial vibrations.
  • the vibrational forms of very complex models can also be solved directly without having to resort to an experimental analysis. In principle, this makes any shapes and boundary conditions of the vibrating structures possible.
  • the functional transformation method presented here also allows physically exact and separate treatment of excitations, initial conditions and boundary conditions. This is of great importance for understanding the synthetic process and thus for the user. It is also advantageous that digital structures are specified to generate the vibrations.
  • the method presented here has the advantage that the vibration (e.g. of a string) is e.g. is calculated exactly using the Sturm-Liouville transformation (depending on the exactness of the vibration differential equation). With the waveguide method, however, the vibration can only be calculated approximately. In addition, in the method presented here, the listening position or the pitch as well as any other physical constant of the musical instrument can be changed. With the waveguide method, however, the transfer functions have to be recalculated.
  • the use of the discrete recursive system to calculate the vibration ensures real-time capability.
  • the method and the device are also characterized by high speed.
  • acoustic musical instruments can be reproduced much more nuanced and true to the original than with other forms of synthesis such as sampling.
  • the invention can thus be used advantageously, for example, in electronic musical instruments such as keyboards, synthesizers, expanders and computer sound cards with algorithms for physical modeling.
  • electronic musical instruments such as keyboards, synthesizers, expanders and computer sound cards with algorithms for physical modeling.
  • software synthesizers the algorithms that perform the sound calculation directly on the CPU can also be designed according to the invention a PC or on special sound cards with digital signal processors (DSPs).
  • DSPs digital signal processors
  • the method presented here thus simulates vibration processes with the aid of a representation using multidimensional models, recursive systems being used for the implementation. It differs from the algorithms already implemented in electronic or digital musical instruments, among others. in the accuracy of the result and in the direct input of various vibration excitations. While the z.Z. The usual algorithms for physical modeling, because of their internal structures, the audible vibrations of strings or air columns can only be approximated, the method presented here can reproduce these vibrations exactly. Despite this accuracy, the real-time capability of the method presented is given.
  • FIG. 3 shows a digital system for emulating the system according to FIG. 2,
  • FIG. 4 shows the structure of one of the digital systems according to FIG. 3 provided for excitation, initial or boundary values,
  • Fig. 5 shows the structure of a digital system shown in Fig. 4,
  • FIG. 6 shows the basic structure of the overall system of an exemplary embodiment for digital sound synthesis.
  • the starting point for the following explanation is a physical model in the form of a partial differential equation. It arises from the description of the behavior of strings, air columns or other vibratory structures through the basic equations of acoustics or the elasticity theory. Depending on the level of detail of these physical models, different partial differential equations are obtained, for example for air vibrations; Longitudinal waves of a string; or transverse waves of a string with or without consideration of rotation and shear.
  • Fig. 1 shows a simplified model of a vibrating string. Possible simplifications are e.g. neglecting the thickness versus the length of the string, assuming a completely rigid rest at the ends, neglecting rotation and shear, etc. Under these conditions, transverse vibrations of this string are described by the following differential equations:
  • the coefficient c contains physical parameters of the string material.
  • the type of assumptions made determines the number and order of the partial derivatives and the coefficients of the differential equation.
  • An excitation term not specified here describes the excitation of the vibration, e.g. through a painted bow.
  • the initial conditions describe the condition of the string at the start of the vibration, e.g. by striking or plucking the string.
  • the boundary conditions indicate how the string attachment influences its vibration behavior.
  • Another equivalent model in the form of a multidimensional transfer function is obtained from the description of vibrations by partial differential equations.
  • the mathematical tool for this are suitable functional transformations for the time and location coordinates. They not only convert the partial differential equation into an algebraic equation, but also allow an exact consideration of the initial and boundary conditions. This process is called the functional transformation method. The handling of this mathematical method is outlined in the next section.
  • the second derivative of y (x, t) in (1) becomes a multiplication with the second power of the complex frequency variable s.
  • the initial conditions from (1) appear as an additive term in (3), which contains the given initial values.
  • the local frequency variable ß ⁇ takes discrete values and corresponds to the natural frequencies of the system.
  • the exact definition of the local transformation T depends on the form of the partial differential equation. In the simple case of (1) it is
  • xo and xi are the coordinates of the start and end point of the string.
  • the transformation core K (ß u , x) also depends on the partial differential equation (1) and describes the shape of the natural vibrations. In the present case they are sinusoidal, in the case of more complex vibration problems they can take other forms.
  • the natural frequencies only take discrete values; in the simplest case, they are multiples of the basic vibration.
  • the inverse transformation therefore consists of a sum over the occurring natural vibrations:
  • N ⁇ is a standardization factor. If the transformation core K (ß ⁇ , x) is a sin- or is a cos function, the back transformation T 1 corresponds to a development of Y (x, s) into a Fourier series with the coefficients Y ( ⁇ ⁇ , s). The forward transformation T then corresponds to the formula for calculating the Fourier coefficients.
  • equation (1) To obtain it, an input-output description of equation (1) is required, which is discussed below.
  • the counter can also be a polynomial in s and ß ⁇ .
  • the conversion of the mathematical model according to FIG. 2 into a digital system is described below.
  • the purpose of this digital system is to generate sounds based on a physical model.
  • the time course of the vibration amplitude (deflection, sound pressure) should be reproduced at one or more desired location points.
  • the discrete points in time are integer multiples of the sampling interval 7 " , which is to be selected in accordance with the sampling theorem.
  • the discrete location points can be chosen arbitrarily according to number and position.
  • the starting point for the construction of the digital system is the representation by transfer functions according to FIG. 2.
  • Each transfer function according to (10) can be used for a fixed value of ⁇ as a description of a location-independent continuous system of second order.
  • FIG. 3 shows a digital system for emulating the system from FIG. 2, digital subsystems DE, DA, D R (systems 5 to 7) now being provided instead of the continuous systems 1 to 3 with the transfer functions SE, SA, S R .
  • the output signals of the systems 5 to 7 are combined here as in FIG. 2 via an adder 8 to form an output signal y (x n , kT).
  • the structure of the individual subsystems 5 to 7 shown in FIG. 3 (DE, D A , D R ) is in each case the same and is shown in FIG. 4 for one of the subsystems.
  • the components of excitation, initial values and boundary values for the natural frequencies ⁇ are present at the inputs 1 to 1. Couplings between the individual recursive systems 9, 11 and 12 also occur in non-linear models.
  • FIG. 4 shows the structure of one of the digital systems D E , D A , D R (one of the systems 5 to 7) from FIG. 3 for excitation, initial or boundary values.
  • the structure is basically the same for all systems 5 to 7.
  • the output signals of the multipliers 10, 12, 14 ... are added via an adder 15, which generates the output signal y ⁇ (x n , kT).
  • the systems R 1 to R m arise from the transfer functions (10) by means of the transformations mentioned (pulse, step invariant, bilinear). They are described by difference equations that have the same order as that Have transfer function (10) in the temporal frequency range or a multiple thereof.
  • An advantageous implementation of these systems 10, 12 and 14 is shown in FIG. 5, which illustrates the structure of one of these digital systems. All systems are preferably constructed identically as shown in FIG. 5.
  • Each system is designed as a recursive digital filter (IIR filter with an infinite impulse response), the input signal of which is present at input 20, evaluated via several, here three branches 21, 22 and 23 with different weighting factors b 0 , bi, b 2 and sent to adder 24, 27, 30 is created.
  • the output signal y ⁇ (k) output by the adder 30 forms the output signal of the entire system 9, 11 or 13 and is fed back via branches 25, 28 to the adders 24 and 27 under evaluation with weakening weighting factors -c 0 , -Ci.
  • the output signal of the adder 24 is applied via a time delay element 26 to a third input of the adder 27, the output signal of which in turn is fed via a time delay element 29 to a second input of the output adder 30.
  • the weighting factors b 0 , bi, b 2 are calculated from the physical quantities of the vibration model. The same applies to the weighting factors -c 0 and -ci.
  • the time constants T of the time delay elements 26 and 29 are determined from the sampling frequency.
  • These signals describe the time profiles of the individual natural vibrations. This results from the inverse transformation T 1 according to equation (7), the time profile of the entire output signal.
  • the summation point 15 in FIG. 4 corresponds to the sum in (7).
  • the basic structure of the overall system for digital sound synthesis is shown in FIG. 6.
  • the physical model 33 and its parameters 34 are taken from an acoustic model and only serve to define the design parameters of the overall system, but as such do not constitute part of the overall system. It does not matter whether this acoustic model can be realized with technical means and reasonable effort or not. It is only important that it represents an oscillatory system that is described by known physical laws.
  • the mathematical description of the acoustic model is available as a physical model with its parameters for sound synthesis.
  • the system shown in Fig. 6 below the dashed dividing line consists of the components: a parallel arrangement 38 of digital recursive systems; an arithmetic unit 35; a coefficient memory 36; an excitation device 37; and a control unit (control device) 39.
  • the parallel arrangement 38 of digital recursive systems consists of the digital systems 5, 6, 7 (systems D E , D A , D R ) from FIG. 3 with the structure shown in FIGS. 4 and 5.
  • the individual recursive systems consist of adders, multipliers and Storage elements (time delay elements), as shown in FIG. 5 using an example.
  • the number of storage elements is equal to the number of time derivatives in the underlying partial differential equation or a multiple thereof.
  • Every natural vibration (harmonic) of the physical system is realized by a digital recursive system. Their parallel arrangement then reproduces the overtone spectrum. Couplings of these parallel systems occur in non-linear models.
  • the number of recursive systems connected in parallel can preferably be limited to the number of overtones within the listening area without impairing the auditory impression.
  • the coupled parallel arrangement 38 of digital recursive systems is basically suitable for emulating all oscillation processes, which are described by the corresponding partial differential equation (also non-linear).
  • the synthesis of a certain sound requires the determination of the coefficients of the individual digital systems. They are calculated in the arithmetic unit 35 from the parameters of the physical model. These parameters are the physical constants that characterize the oscillation process.
  • the calculation rules result from the simulation of the transfer function through a digital implementation.
  • the derivation of the coefficients of the recursive systems from a transfer function ensures that the natural frequencies and the temporal decay behavior of the physical system and the digital implementation correspond exactly.
  • the coefficient memory 36 receives one or more sets of coefficients from the arithmetic logic unit 35 and loads them into the parallel arrangement 38 of digital recursive systems upon request by the control device 39.
  • excitation by one or more input signals is required. These input signals are also simulated in accordance with the physical model and recorded in the excitation device. saves.
  • the excitation is derived from the partial differential equation of the oscillatory system and takes into account the initial values (e.g. struck or plucked string), the boundary values (e.g. rope vibrations) and the excitation function (e.g. resonances).
  • control device 39 takes over the sequence control of the arithmetic unit 35, coefficient memory 36, parallel arrangement 38 and excitation device 37.
  • the output signal output at the output 40 of the parallel arrangement 38 represents the desired signal to be generated and can be used or processed in a suitable manner.
  • a D / A converter can be connected to output 40 and its analog output signal if necessary. after amplification by an amplifier to be placed on a speaker.
  • Initial behavior e.g. Regulation normal form, control standard form, state space structure, conductor (lattice) structure, wave digital filter structure; another recursive system structure approximating the input-output behavior of the system of FIG. 5; a non-recursive system which measures the input-output behavior of the system from FIG.
  • the possibly coupled parallel arrangement of recursive systems according to FIG. 4 and FIG. 3 shows a special implementation of a system with multiple inputs and multiple outputs (MIMO - multiple input, multiple output). Instead of this parallel arrangement, it is also possible to use: another structure of a MIMO system with the same input / output behavior, another structure of a MIMO System that approximates the input-output behavior of the system from FIGS. 3 and 4.
  • a parallel or cascade arrangement of several systems according to FIG. 6 is also possible, the output signal of a system serving as an excitation for the downstream system.
  • the output signal of a system serving as an excitation for the downstream system.
  • combinations thereof are also possible.
  • these location points can also be selected such that the entire sound field emanating from the vibrating body can be approximated exactly or approximately based on the synthesis results at the points x n .
  • a corresponding differential equation for two or three location coordinates can also be used as a physical model, so that several location dimensions can be reproduced.
  • the location functions K ⁇ (x n ) in FIG. 4 are then also dependent on two or three location dimensions.
  • the arrangement described above for sound synthesis based on a physical model can also be used for the synthesis of general vibrations, i.e. serve to simulate other physical oscillation processes if they can be described by partial differential equations. It then represents a digital realization for the simulation of general vibrating bodies, fluids and energy fields.
  • the arrangement described above can also be used for the simultaneous synthesis of potential and flux size. This is not a scalar difference rential equation, but to start from a vector differential equation for potential and flux size.
  • the method presented here can be e.g. Implement in the programming language JAVA for implementation for a vibrating instrument string, which can also take into account the rotational inertia and shear of the string. This has been successfully accomplished by the inventors. In this program all physical parameters of the real string can be entered, which enables a simple simulation of their vibration behavior.
  • the non-linearities that occur when a string is excited can be taken into account and real-time capability can be achieved.

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Description

VORRICHTUNG ZUR SIGNALBERECHNUNG UND -ERZEUGUNG; INSBESONDERE ZUR DIGITALEN KLANGSYNTHESE
Die Erfindung betrifft eine Vorrichtung und ein Verfahren zur Signalberechnung und -erzeugung, insbesondere zur digitalen Klangsynthese, durch rechnergestützte Nachbildung von Schwingungsvorgängen bei akustischen Musikinstrumenten oder anderen schwingenden Gebilden. Eine solche Nachbildung wird als physikalische Modellierung bzw. als virtuelle Akustik bezeichnet.
Zur Einordnung der physikalischen Modellierung in die digitale Klangsynthese werden zunächst allgemein verwendete Verfahren, insbesondere klassische direkte Syntheseverfahren, erörtert.
Eines der ersten weit verbreiteten Verfahren zur digitalen Klangsynthese arbeitet mit Frequenzmodulation (FM-Synthese) und wurde 1973 von Chowning entwik- kelt. Bei der FM-Synthese werden mindestens zwei Oszillatoren eingesetzt, wobei der eine (Modulator) den anderen (Träger) steuert. Mit diesem Algorithmus können komplexe Spektren erzeugt werden, die auch Nichtlinearitäten im Zeitbereich aufweisen können. Mit mehreren parallel geschalteten Systemen dieser Art kön- nen zwar recht komplexe Klänge erzeugt werden, jedoch ist die authentische Nachbildung von akustischen Musikinstrumenten damit nicht möglich.
Beim Sampling werden die Schwingungen von real gespielten Musikinstrumenten als Folgen von Abtastwerten gespeichert und auf Abruf abgespielt. Um Speicher- platz zu sparen, werden drei verschiedene Methoden angewendet. Zum einen wird davon ausgegangen, daß sich nach dem Einschwingvorgang an der Schwingungsform nur wenig ändert. Dadurch können wenige Abtastwerte in einer Schleife ausgelesen werden. Die geringfügigen Veränderungen werden in anschließenden Filtern realisiert. Die zweite Methode besteht in der Tonhöhenver- Schiebung (Transponierung). Um nicht alle Tonhöhen des realen Musikinstrumentes aufnehmen und abspeichern zu müssen, kann der aufgenommene Ton transponiert werden. Zur effizienten Speicherausnutzung kann als dritte Methode die Datenreduktion (Verluste bei der Klangqualität) und die Datenkompression (keine Verluste bei der Klangqualität) herangezogen werden. Der Vorteil beim Sampling liegt in der exakten Nachbildung eines gespielten Klanges. Dadurch kann aber die Variabilität eines echten Instrumentes nicht realisiert werden.
Bei der Klangsynthese mit Wavetables werden kurze Samples von Musikinstru- menten ineinander übergeblendet, wodurch komplexere und variablere Klänge als beim einfachen Sampling erreicht werden können.
Ein Klangsyntheseverfahren im Frequenzbereich stellt eine additive Synthese dar, bei der Sinusschwingungen verschiedener Frequenz und Amplitude in variablen gegenseitigen Phasenlagen aufaddiert werden. Die Schwierigkeit bei dieser Klangsynthese besteht in der Bestimmung der o.g. Parameter. Diese können nur näherungsweise durch geeignete Analyse (Kurzzeit-Fourier-Transformation) des realen Instrumententons erhalten werden. Rauschartige Klänge können bei diesem Verfahren nur mit erheblichem Aufwand erzeugt werden.
Im Gegensatz zur additiven Synthese werden bei der subtraktiven Synthese Frequenzen einer rauschartigen Quelle durch anschließende Filterung unterdrückt. Dies hat den Vorteil, daß rauschartige Klänge leicht generiert werden können. Monofrequente Töne können aber nur mit hohem Filteraufwand erreicht werden.
Die Formant-Synthese geht davon aus, daß der Klang eines akustischen Musikinstruments bestimmte Frequenzbereiche besitzt, die unabhängig von der gerade gespielten Tonhöhe betont werden. Bei den hierauf basierenden Verfahren werden kurze Wellenformen verwendet, die additiv überlagert und ineinander über- geblendet werden. Alle diese kurzen Wellenformen betonen dabei die Formant- frequenzen.
Die Gemeinsamkeit aller dieser Syntheseverfahren besteht darin, daß sie vom Klang eines simulierten Instrumentes ausgehen. Bei der physikalischen Modellie- rung wird demgegenüber nicht mehr vom Klang eines Musikinstrumentes ausgegangen, sondern von dessen konstruktivem Aufbau und von den daraus resultierenden Eigenschaften. Ausgangspunkt sind dabei partielle Differentialgleichungen, deren Lösung die Wellenform und damit den Klang des Instrumentes bestimmt. Der Vorteil der physikalischen Modellierung liegt in der musikalischen Ausdruckskraft, die mit diesem Ansatz erreicht werden kann. Dies kann mit den folgenden Verfahren realisiert werden.
Bei der numerischen Lösung wird die partielle Differentialgleichung in eine Differenzengleichung mit fester Orts- und Zeitschrittweite umgewandelt. Diese kann im Rechner gelöst werden. Der Nachteil dieser Methode besteht in dem hohen numerischen Aufwand bei ausreichend kleiner Ortsschrittweite. Mit dieser Methode können auch mehrdimensionale Modellgleichungen gelöst werden, wobei der numerische Aufwand aber enorm ansteigt.
Die Modale Synthese geht davon aus, daß jede komplexe vibrierende Struktur in Unterstrukturen zerlegt werden kann, die durch ihre Moden (Eigenschwingungen) und Dämpfungskonstanten charakterisiert werden können. Eine Kopplung (auch nichtlinear) besteht dabei nur zwischen gleichen Moden, ein Energieaustausch zwischen verschiedenen Moden ist nicht möglich. Bei komplexen Strukturen ist eine Bestimmung der Moden nur experimentell möglich.
Beim Masse-Feder-Modell von Cadoz u.a. (1983) wird das zu untersuchende schwingende Objekt in einzelne Massepunkte zerlegt, die mit idealen Federn und Dämpfern miteinander verbunden sind. Durch Disketisierung der physikalisch begründeten Differentialgleichungen erhält man Differenzengleichungen, die im Rechner implementiert werden können. Der Nachteil dieser Methode liegt in der enormen Rechenkapazität auch schon bei einfachen Strukturen.
Wellenleiter stellen die am weitesten verbreitete Methode zur physikalischen Modellierung von Musikinstrumenten dar. Dies liegt zum einen an der einfachen Realisierung und zum anderen an der geringen benötigten Rechenleistung. Die Wellenleiter-Methode geht von vor- und rücklaufenden Wellen auf einem schwingungsfähigen Gebilde aus, die durch Verzögerungsleitungen dargestellt werden können. Die Verluste sowie Dispersion während der Schwingung werden konzentriert in Übertragungsfunktionen realisiert. Mit dieser Methode können auch Schwingungen mehrdimensionaler Strukturen realisiert werden, dies erfordert aber ein Netz aus Verzögerungsleitungen, die mittels mehrdimensionaler Verbindungen (Scattering Junctions) miteinander kommunizieren. Die Nachteile dieser Synthesemethode bestehen in der aufwendigen Filterrealisierung, insbesondere bei geringen Tonhöhenveränderungen, da die Verzögerungsleitung nur um ganze Zahlenwerte verändert werden kann. Die kontinuierlichen Tonhöhenveränderungen müssen in den Übertragungsfunktionen im Rückkopplungszweig realisiert werden. Dadurch sind die verwendeten Übertragungsfunktionen nicht mehr allein physikalisch motiviert, sondern müssen meist experimentell bestimmt werden.
Der Erfindung liegt die Aufgabe zugrunde, eine Signalerzeugungsvorrichtung zu schaffen, die eine die Schwingungen eines schwingungsfähigen Gebildes nachbildende oder simulierende Signalgenerierung mit verhältnismäßig einfachen Mittel erlaubt.
Diese Aufgabe wird mit den im Patentanspruch 1 bzw. 11 genannten Merkmalen gelöst.
Weiterhin wird mit der Erfindung ein Verfahren gemäß dem Patentanspruch 17 geschaffen.
Vorteilhafte Ausgestaltungen der Erfindung sind in den Unteransprüchen angegeben.
Die erfindungsgemäße Signalerzeugungsvorrichtung und das erfindungsgemäße Signalerzeugungsverfahren erlauben u.a. eine digitale Klangsynthese und beruhen auf einem exakten Modell der physikalischen Schwingungserzeugung, insbesondere Klangerzeugung. Hieraus wird dann die Struktur eines Systems abgeleitet, das mit digitalen Bauelementen realisiert werden kann. Die entstehende Parallelanordnung digitaler rekursiver Systeme ist mehr als eine Zusammenschaltung digitaler Oszillatoren. Je nach der beschreibenden partiellen Differentialgleichung haben die digitalen rekursiven Systeme den Grad 1 , 2 oder Vielfache davon. Jedes einzelne digitale rekursive System bildet damit nicht nur die Frequenz, sondern auch den Verlauf der zeitlichen Einhüllenden jeweils einer Eigenschwingung eines fiktiven oder realen Klangkörpers gemäß dem zugrundeliegenden physikali- sehen Modell exakt nach. Das Ausgangssignal der Parallelanordnung entspricht damit im gesamten Hörbereich dem Obertonspektrum des physikalischen Modells.
Vorteilhaft ist auch die Modellierung und digitale Realisierung der Anregung aus den Anfangs- und Randwerten, sowie der Erregungsfunktion der partiellen Differentialgleichung eines schwingungsfähigen Systems.
Wie bereits vorstehend erwähnt, unterscheiden sich die Verfahren mit physikali- scher Modellierung von den übrigen Verfahren durch eine mögliche nuancierte Spielweise der simulierten Instrumente. Diese musikalische Phrasierbarkeit und die einfache Variabilität des Instrumentes und der daraus folgende Klang ist ein großer Vorteil der physikalischen Modellierung. Nachfolgend wird das erfindungsgemäße Verfahren mit einigen anderen Methoden zur Verdeutlichung der erfin- dungsgemäß erzielbaren Vorteile verglichen.
Die Finite-Diferenzen-Methode diskretisiert eine partielle Differentialgleichung des Modells und löst sie dann. Dies hat den Nachteil, daß durch die Diskretisierung Instabilitäten entstehen können, die bei einem kontinuierlichen Modell und damit bei der bei der hier vorgestellten Methode nicht vorhanden sind. Desweiteren müssen bei der Finiten-Differenzen-Methode alle Auslenkungen der Ortspunkte innerhalb des Abtastrasters zu jedem Zeitpunkt berechnet werden. Dies erfordert eine sehr hohe Rechenleistung, auch schon bei einfachen Strukturen. Bei der hier vorgestellten Methode können dagegen einzelne und beliebige Ortspunkte her- ausgegriffen und deren Bewegung simuliert werden. Dadurch wird die benötigte Rechenleistung stark begrenzt.
Bei der erfindungsgemäßen Technik kann die Gesamtschwingung eines Systems aus dessen Teilschwingungen synthetisieren werden. Im Gegensatz zur Modalen Synthese lassen sich hierbei aber auch die Schwingungsformen sehr komplexer Modelle direkt lösen, ohne daß auf eine experimentelle Analyse zurückgegriffen werden müßte. Dadurch sind im Prinzip beliebige Formen und Randbedingungen der schwingungsfähigen Gebilde möglich. Die hier vorgestellte Funktionaltransformationsmethode erlaubt außerdem eine physikalisch exakte und voneinander getrennte Behandlung von Erregungen, Anfangsbedingungen und Randbedingungen. Dies ist für das Verständnis des Syntheseverfahrens und damit für den Anwender von großer Bedeutung. Vorteilhaft ist dabei ferner, daß zur Erzeugung der Schwingungen digitale Strukturen angegeben werden.
Gegenüber der Wellenleiter-Methode hat das hier vorgestellte Verfahren den Vorteil, daß die Schwingung (z.B. einer Saite) zu jedem Zeitpunkt z.B. durch Ver- wendung der Sturm-Liouville-Transformation exakt (abhängig von der Exaktheit der Schwingungsdifferentialgleichung) berechnet wird. Mit der Wellenleiter- Methode kann dagegen die Schwingung nur näherungsweise berechnet werden. Zusätzlich kann bei der hier vorgestellten Methode in einfacher Weise die Abhörposition oder auch die Tonhöhe sowie jede andere physikalische Konstante des Musikinstrumentes geändert werden. Bei der Wellenleiter-Methode müssen dagegen die Übertragungsfunktionen neu berechnet werden.
Außerdem müssen in dem hier vorgestellten Verfahren lediglich die physikalischen Eigenschaften (Elastizitätsmodul, Maße, Dichte usw.) z.B. der Saite und deren Randbedingungen (Befestigungsarten an beiden Enden) angegeben werden. Dies verspricht eine direkte und leicht verständliche Klangbeeinflussung im Gegensatz zum Stand der Technik.
Durch den Einsatz des diskreten rekursiven Systems zur Berechnung der Schwin- gung ist Echtzeitfähigkeit gegeben. Das Verfahren und die Vorrichtung zeichnen sich hierbei auch durch hohe Geschwindigkeit aus.
Mit der physikalischen Modellierung lassen sich akustische Musikinstrumente wesentlich nuancierter und originalgetreuer nachbilden als durch andere Synthese- formen wie z.B. durch Sampling. Die Erfindung ist damit z.B. bei elektronischen Musikinstrumenten wie Keyboards, Synthesizern, Expandern und Computer- Soundkarten mit Algorithmen zur physikalischen Modellierung vorteilhaft einsetzbar. Auch können in sogenannten Software-Synthesizern die Algorithmen erfindungsgemäß ausgelegt werden, welche die Klangberechnung direkt auf der CPU eines PCs bzw. auf speziellen Soundkarten mit Digitalen Signalprozessoren (DSPs) durchführen.
Das hier vorgestellte Verfahren simuliert somit Schwingungsvorgänge mit Hilfe einer Darstellung durch mehrdimensionale Modelle, wobei zur Realisierung rekursive Systeme eingesetzt werden. Es unterscheidet sich von den in elektronischen bzw. digitalen Musikinstrumenten bereits implementierten Algorithmen u.a. in der Exaktheit des Ergebnisses und in der direkten Eingabe von verschiedenartigen Schwingungsanregungen. Während bei den z.Z. üblichen Algorithmen zur physi- kaiischen Modellierung aufgrund deren inneren Strukturen die hörbaren Schwingungen von Saiten oder Luftsäulen nur angenähert werden können, vermag das hier vorgestellte Verfahren diese Schwingungen exakt zu reproduzieren. Trotz dieser Exaktheit ist die Echtzeitfähigkeit des vorgestellten Verfahrens gegeben.
Die Erfindung wird nachstehend anhand von Ausführungsbeispielen unter Bezugnahme auf die Zeichnungen näher beschrieben.
Fig. 1 zeigt ein schematisches, vereinfachtes Modell einer schwingenden Saite,
Fig. 2 zeigt eine Ein-Ausgangs-Beschreibung durch Übertragungsfunktionen,
Fig. 3 zeigt digitales System zur Nachbildung des Systems gemäß Fig. 2,
Fig. 4 zeigt die Struktur eines der für Erregung, Anfangs- oder Randwerte vorgesehenen digitalen Systeme gemäß Fig. 3,
Fig. 5 zeigt die Struktur eines in Fig. 4 gezeigten digitalen Systems, und
Fig. 6 zeigt den prinzipiellen Aufbau des Gesamtsystems eines Ausführungsbeispiels zur digitalen Klangsynthese. Ausgangspunkt der nachfolgenden Erläuterung ist ein physikalisches Modell in Gestalt einer partiellen Differentialgleichung. Es entsteht aus der Beschreibung des Verhaltens von Saiten, Luftsäulen oder anderen schwingungsfähigen Gebilden durch die Grundgleichungen der Akustik oder der Elastizitätstheorie. Je nach dem Detaillierungsgrad dieser physikalischen Modelle erhält man unterschiedliche partielle Differentialgleichungen, z.B. für Luftschwingungen; Longitudi- nalwellen einer Saite; oderTransversalwellen einer Saite mit oder ohne Berücksichtigung von Rotation und Scherung.
Fig. 1 zeigt ein vereinfachtes Modell einer schwingenden Saite. Mögliche Vereinfachungen sind z.B. die Vernachlässigung der Dicke gegenüber der Länge der Saite, die Annahme einer vollkommen starren Auflage an den Enden, die Vernachlässigung von Rotation und Scherung, etc. Unter diesen Bedingungen werden Transversalschwingungen dieser Saite durch folgende Differentialgleichungen beschrieben:
c y(χ> {) = - - y x, + Erregung dt2 " äx« und Anfangsbedingungen (1) und Randbedingungen
Der Koeffizient c enthält physikalische Kenngrößen des Saitenmaterials. Die Art der gemachten Annahmen bestimmt Anzahl und Ordnung der partiellen Ableitungen und die Koeffizienten der Differentialgleichung. Ein hier nicht näher angegebener Erregungsterm beschreibt die Anregung der Schwingung, z.B. durch einen gestrichenen Bogen. Die Anfangsbedingungen beschreiben den Zustand der Saite bei Beginn der Schwingung, z.B. durch Anschlagen oder Zupfen der Saite. Die Randbedingungen geben an, wie die Befestigung der Saite am Rand ihr Schwingungsverhalten beeinflusst.
Für die Umsetzung von partiellen Differentialgleichungen in zeit- und ortsdiskrete
Simulationsmodelle, die mit einem Digitalrechner oder mit Bauelementen der Digi- taltechnik realisiert werden können, gibt es verschiedene Verfahren. Dazu zählen
Finite-Differenzen- und Finite-Elemente-Methoden der numerischen Mathematik, die jedoch die numerische Lösung großer Gleichungssysteme erfordern und daher keine einfache technische Realisierung zulassen.
Bei einer bevorzugten Methode wird aus der Beschreibung von Schwingungen durch partielle Differentialgleichungen ein anderes gleichwertiges Modell in Gestalt einer mehrdimensionalen Übertragungsfunktion gewonnen. Das mathematische Werkzeug dazu sind geeignete Funktionaltransformationen für die Zeit- und die Ortskoordinate. Sie wandeln nicht nur die partielle Differentialgleichung in eine algebraische Gleichung um, sondern erlauben auch eine exakte Berücksichtigung der Anfangs- und Randbedingungen. Dieses Verfahren wird Funktionaltransfor- mationsmethode genannt. Die Handhabung dieser mathematischen Methode wird im nächsten Abschnitt skizziert.
Die Darstellung des Verhaltens von elektronischen Netzwerken - beschrieben durch gewöhnliche Differentialgleichungen - durch Übertragungsfunktionen ist seit langem Stand der Technik. Durch Anwendung der Laplace-Transformation auf eine gewöhnliche Differentialgleichung und die zugehörigen Anfangsbedingungen entsteht eine algebraische Gleichung, die die Anfangswerte als additive Terme enthält. Durch Auflösen der algebraischen Gleichung nach der Laplace- Transformierten des Ausgangssignals entsteht ein Ein-Ausgangsmodell in Gestalt einer Übertragungsfunktion. Dieses Vorgehen wird hier auf die vorliegende partielle Differentialgleichung übertragen. Zunächst wird auf die Transformation für die Zeitvariable eingegangen.
Durch die Anwendung der Laplace-Transformation: y(x,t) → L {y(χ,t)} = Y(χ,s) (2) auf das Anfangs-Randwertproblem (1) entsteht zunächst eine Randwertaufgabe für die Laplace-Transformierte Y(x,s) der gesuchten Lösung y(x,t).
c2s2Y(x, S) = -Γ- Y(X, S) + Erregung + Anfangswerte „. und Randbedingungen
Aus der zweiten Ableitung von y(x,t) in (1) wird hier eine Multiplikation mit der zweiten Potenz der komplexen Frequenzvariable s. Außerdem treten die Anfangsbedingungen aus (1) als additiver Term in (3) auf, der die gegebenen Anfangswerte enthält.
Es wird nun eine geeignete Transformation für die Ortsvariable durchgeführt, die die Randbedingungen in der gleichen Weise in einen additiven Term umwandelt, wie die Laplace-Transformation dies mit den Anfangsbedingungen getan hat. Eine solche Transformation ist die Sturm-Liouville-Transformation:
Y(x,s) → T {Y(x,s)} = f(ßμ,s). (4)
Die örtliche Frequenzvariable ßμ nimmt diskrete Werte an und entspricht den Eigenfrequenzen des Systems. Die genaue Definition der örtlichen Transformation T hängt von der Form der partiellen Differentialgleichung ab. In dem einfachen Fall von (1) lautet sie
T {Y(x,s)} = Ϋ(ßμ,s) = )γ(x,s)K(ßμ,s)dx (5)
Hier sind xo und Xi die Koordinaten von Anfangs- und Endpunkt der Saite. Der Transformationskern K(ßu,x) hängt ebenfalls von der partiellen Differentialgleichung (1) ab und beschreibt die Form der Eigenschwingungen. Im hier vorliegenden Fall sind sie sinusförmig, bei komplizierteren Schwingungsproblemen können sie andere Formen annehmen.
Die Eigenfrequenzen nehmen nur diskrete Werte an; im einfachsten Fall sind sie Vielfache der Grundschwingung. Die Rücktransformation besteht daher aus einer Summe über die vorkommenden Eigenschwingungen:
T ~^(ßμ,s)}= Y(x,s) = j~Ϋ(ßμ,s)K(ßμ,x) (6)
N.
Nμ ist ein Νormierungsfaktor. Wenn der Transformationskern K(ßμ,x) eine sin- oder cos-Funktion ist, entspricht die Rücktransformation T1 einer Entwicklung von Y(x,s) in eine Fourier-Reihe mit den Koeffizienten Y(ßμ,s) . Die Hintransformation T entspricht dann der Formel zur Berechnung der Fourier-Koeffizienten.
Durch inverse Laplace-Transformation erhält man aus (6) die Lösung der Gleichung (1):
mit
y(ßμ,t) = i 'l ^(ßμ,s)}. (8)
Diese Form der Lösung ist aber für die praktische Berechnung noch nicht optimal, da die Zeitverläufe der spektralen Komponenten y(ßμ,t) bekannt sein müssen.
Um sie zu erhalten, ist eine Ein-Ausgangs-Beschreibung der Gleichung (1) erforderlich, was im folgenden diskutiert wird.
Bei richtiger Wahl der Eigenfrequenzen ßμ und der Eigenfunktionen K(ßμ ,x) führt die Anwendung der Transformation T auf das Randwertproblem (3) zu einer algebraischen Gleichung:
c2s2Y(ßμ ,s) + ßμ Y(ßμ , s) - Erregung + Anfangswerte + Randwerte . (9)
Sie kann nach der Transformierten Y(ßμ,s) der gesuchten Lösung y(x,t) aufgelöst werden. Dadurch entsteht eine Ein-Ausgangs-Beschreibung mit der Erregungsfunktion, den Anfangswerten und den Randwerten als Eingängen und der gesuchten Lösung als Ausgang. Die Beziehungen zwischen den Eingängen und dem Ausgang werden durch Übertragungsfunktionen beschrieben, die die Kon- stante c aus (1), die komplexe Frequenzvariable s bezüglich der Zeit t und die diskrete Frequenzvariable ßμ bezüglich des Ortes x enthalten. Im einfachsten Fall lautet eine solche Übertragungsfunktion:
G(ßμ, s) (10) c s +κ
Abhängig von der Art der Erregung, den Anfangs- oder Randbedingungen kann auch der Zähler ein Polynom in s und ßμ sein.
Fig. 2 zeigt diese Ein-Ausgangs-Beschreibung in Form eines Blockdiagramms. Die Systeme 1 bis 3 (System 1 (SE) für die Erregung, System 2 (SA) für die An- fangswerte, und System 3 (SR) für die Randwerte) werden jeweils durch Übertragungsfunktionen nach (10) beschrieben. Ihre Ausgangssignale werden über einen Addierer 4 zur Bildung des Ausgangssignals y(x, t) zusammengefaßt.
Die hier dargestellte mathematische Beschreibung eines schwingungsfähigen Systems durch Eigenfrequenzen und Eigenschwingungen (bzw. Eigenwerte und Eigenfunktionen) ist die Grundlage für die Konstruktion eines hier offenbarten digitalen Systems zur Schwingungssynthese, insbesondere Klangsynthese. Die Konstruktionsprinzipien werden im nächsten Abschnitt erläutert.
Nachstehend wird die Überführung des mathematischen Modells gemäß Fig. 2 in ein digitales System beschrieben. Der Zweck dieses digitalen Systems ist die Generierung von Klängen nach einem physikalischen Vorbild. Dabei sollen die Zeitverläufe der Schwingungsamplitude (Auslenkung, Schalldruck) an einem oder mehreren gewünschten Ortspunkten reproduziert werden. Das bedeutet, daß das Ausgangssignal des digitalen Systems der Ausgangsgröße y(x,t) aus Fig. 2 an den diskreten Zeitpunkten t=kT und den diskreten Ortspunkten x=xn möglichst exakt entspricht. Die diskreten Zeitpunkte sind ganzzahlige Vielfache des Abtastintervalls 7", das entsprechend dem Abtasttheorem zu wählen ist. Die diskreten Ortspunkte können nach Zahl und Lage beliebig gewählt werden.
Ausgangspunkt für die Konstruktion des digitalen Systems ist die Darstellung durch Übertragungsfunktionen nach Fig. 2. Jede Übertragungsfunktion nach (10) läßt sich für einen festen Wert von μ als Beschreibung eines ortsunabhängigen kontinuierlichen Systems zweiter Ordnung auffassen. Für die Überführung kontinuierlicher Systeme in diskrete Systeme existieren bekannte Transformationen, wie die impuls- oder sprunginvariante Transformation oder die bilineare Transformation. Wenn solche Transformationen auf jede der Übertragungsfunktionen nach (10) und für jeden Wert von μ angewandt werden, entsteht aus dem zeit- und ortskontinuierlichen System nach Fig. 2 ein zeitdiskretes System, dessen Reaktion den Ausgang von Fig. 2 für die Zeitpunkte t=kT nachbildet. Wird zusätzlich die Rücktransformation nach (6) an diskreten Ortspunkten x=xn ausgewertet, so entsteht ein zeit- und ortsdiskretes System nach Fig. 3 mit dem gleichen prinzipiel- len Aufbau wie in Fig. 2.
Fig. 3 zeigt ein digitales System zur Nachbildung des Systems aus Fig. 2, wobei nun digitale Teilsysteme DE, DA, DR (Systeme 5 bis 7) anstelle der kontinuierlichen Systeme 1 bis 3 mit den Übertragungsfunktionen SE, SA, SR vorgesehen sind. Die Ausgangssignale der Systeme 5 bis 7 werden auch hier wie bei Fig. 2 über einen Addierer 8 zu einem Ausgangssignal y(xn, kT) zusammengefaßt. Die Struktur der in Fig. 3 gezeigten einzelnen Teilsysteme 5 bis 7 (DE, DA, DR) ist jeweils gleich und in Fig. 4 für eines der Teilsysteme dargestellt. An den Eingängen Eingang 1 bis Eingang m liegen jeweils die Komponenten von Erregung, Anfangswerten bzw. Randwerten für die Eigenfrequenzen μ an. Bei nichtlinearen Modellen treten außerdem Kopplungen zwischen den einzelnen rekursiven Systemen 9, 11 und 12 auf.
Fig. 4 zeigt die Struktur eines der digitalen Systeme DE, DA, DR (eines der Syste- me 5 bis 7) aus Fig. 3 für Erregung, Anfangs- oder Randwerte. Der Aufbau ist für alle Systeme 5 bis 7 grundsätzlich gleich. Mit jedem Eingang 1 bis m ist jeweils eine Reihenschaltung aus einem System 9, 11 bzw. 13 (System R-i, R2, bzw. Rm) und einem Verstärker oder Multiplikator 10, 12 bzw. 14 verbunden, der das Ausgangssignal des zugehörigen Systems 9, 11 bzw. 13 mit einem Faktor Kμ(xπ) (mit μ = 1 bis m) multipliziert. Die Ausgangssignale der Multiplikatoren 10, 12, 14 ... werden über einen Addierer 15 addiert, der das Ausgangssignal yι(xn, kT) erzeugt. Die Systeme R1 bis Rm entstehen aus den Übertragungsfunktionen (10) durch die genannten Transformationen (impuls-, sprunginvariant, bilinear). Sie werden durch Differenzengleichungen beschrieben, die die gleiche Ordnung wie die Übertragungsfunktion (10) im zeitlichen Frequenzbereich oder ein Vielfaches davon besitzen. Eine vorteilhafte Realisierung dieser Systeme 10, 12 bzw. 14 ist in Fig. 5 gezeigt, die die Struktur eines dieser digitalen Systeme veranschaulicht. Alle Systeme sind vorzugsweise identisch so, wie in Fig. 5 gezeigt, aufgebaut.
Jedes System ist hierbei als rekursives Digitalfilter (IIR-Filter mit unendlicher Impulsantwort) ausgebildet, dessen am Eingang 20 anliegendes Eingangssignal über mehrere, hier drei Zweige 21 , 22 und 23 mit unterschiedlichen Gewichtungsfaktoren b0, bi, b2 bewertet und an Addierer 24, 27, 30 angelegt wird. Das vom Addierer 30 abgegebene Ausgangssignal yμ(k) bildet das Ausgangssignal des gesamten Systems 9, 11 oder 13 und wird über Zweige 25, 28 auf die Addierer 24 und 27 unter Bewertung mit abschwächenden Gewichtungsfaktoren -c0, -Ci rückgekoppelt. Das Ausgangssignal des Addierers 24 wird über ein Zeitverzögerungsglied 26 an einen dritten Eingang des Addierers 27 angelegt, dessen Aus- gangssignal seinerseits über ein Zeitverzögerungsglied 29 zu einem zweiten Eingang des ausgangsseitigen Addierers 30 gespeist wird. Die Gewichtungsfaktoren b0, bi, b2 berechnen sich aus den physikalischen Größen des Schwingungsmodells. Gleiches gilt auch für die Gewichtungsfaktoren -c0 und -c-i. Die Zeitkonstanten T der Zeitverzögerungsglieder 26 und 29 werden aus der Abtastfrequenz be- stimmt.
Die Ausgangssignale yμ(k), (mit μ=1,...,m) der Addierer 30 der einzelnen Systeme 9, 11 , 13 entsprechen im Rahmen der diskreten Approximation den Komponenten y(ßμ,t) aus Gleichung (8), abgetastet an den Zeitpunkten t=kT. Diese Signale be- schreiben die Zeitverläufe der einzelnen Eigenschwingungen. Daraus folgt durch die Rücktransformation T1 nach Gleichung (7) der Zeitverlauf des gesamten Ausgangssignals.
Der Summationspunkt 15 in Fig. 4 entspricht der Summe in (7).
Die Faktoren Kμ(xn) der Multiplizierer 10, 12, 14 (Fig. 4) sind aus den Eigenfunktionen K(ßμ,xn) an diskreten Ortspunkten xn und den Normierungsfaktoren Nμ in (7) gebildet: Kμ(xn) = jrK(ßμ,xn) (1 1 )
Da für die Klangsynthese nur das Schwingungsverhalten innerhalb des Hörbe- reichs von Interesse ist, muß die Summation nur diejenigen Eigenfrequenzen erfassen, die im Hörbereich, d.h. z.B. zwischen 16 Hz und 16 kHz liegen (hier mit μ=1,...,m bezeichnet). Das Ausgangssignal yι(xn,kT) stellt damit eine diskrete Approximation des hörbaren Schwingungsverhaltens dar. Dabei steht l=E,A,R jeweils für das Resultat aufgrund der Erregung, der Anfangs- und der Randwerte. Alle drei Systeme 5, 6, 7, die jeweils die Struktur gemäß Fig. 4 aufweisen, bilden zusammen das Ausgangssignal des digitalen Systems nach Fig. 3.
Den prinzipiellen Aufbau des Gesamtsystems zur digitalen Klangsynthese zeigt Fig. 6. Das physikalische Modell 33 und seine Parameter 34 sind einem akusti- sehen Vorbild entnommen und dienen lediglich dazu, die Auslegungsparameter des Gesamtsystems zu definieren, stellen als solche aber keinen Bestandteil des Gesamtsystems dar. Dabei spielt es keine Rolle, ob dieses akustische Vorbild mit technischen Mitteln und vertretbarem Aufwand realisiert werden kann oder nicht. Wichtig ist nur, daß es ein schwingungsfähiges System darstellt, das durch be- kannte physikalische Gesetze beschrieben wird. Die mathematische Beschreibung des akustischen Vorbilds steht als physikalisches Modell mit seinen Parametern für die Klangsynthese zur Verfügung.
Das in Fig. 6 unterhalb der gestrichelten Trennlinie gezeigte System besteht aus den Komponenten: eine Parallelanordnung 38 digitaler rekursiver Systeme; ein Rechenwerk 35;ein Koeffizientenspeicher 36; eine Anregungseinrichtung 37; und ein Steuerwerk (Steuereinrichtung) 39.
Die Parallelanordnung 38 digitaler rekursiver Systeme besteht aus den digitalen Systemen 5, 6, 7 (Systeme DE, DA, DR) aus Fig. 3 mit der in den Fig. 4 und 5 gezeigten Struktur.
Die einzelnen rekursiven Systeme bestehen aus Addierern, Multiplizierern und Speicherelementen (Zeitverzögerungsgliedern), wie dies in Fig. 5 anhand eines Beispiels gezeigt ist. Die Anzahl der Speicherelemente ist gleich der Anzahl der zeitlichen Ableitungen in der zugrundeliegenden partiellen Differentialgleichung oder ein Vielfaches davon.
Dabei wird jede Eigenschwingung (Harmonische) des physikalischen Systems durch ein digitales rekursives System realisiert. Deren parallele Anordnung bildet dann das Obertonspektrum nach. Kopplungen dieser parallelen Systeme treten bei nichtlinearen Modellen auf. Die Anzahl der parallelgeschalteten rekursiven Systeme kann dabei vorzugsweise auf die Anzahl der Obertöne innerhalb des Hörbereichs begrenzt werden, ohne daß eine Beeinträchtigung des Höreindrucks entsteht.
Die gekoppelte Parallelanordnung 38 digitaler rekursiver Systeme ist grundsätzlich zur Nachbildung aller Schwingungsvorgänge geeignet, die durch die entsprechende partielle Differentialgleichung (auch nichtlinear) beschrieben werden. Die Synthese eines bestimmten Klangs erfordert die Festlegung der Koeffizienten der einzelnen digitalen Systeme. Sie werden im Rechenwerk 35 aus den Parametern des physikalischen Modells berechnet. Diese Parameter sind die physikalischen Kon- stanten, die den Schwingungsvorgang charakterisieren. Die Berechnungsvorschriften ergeben sich aus der Nachbildung der Übertragungsfunktion durch eine digitale Realisierung. Die Herleitung der Koeffizienten der rekursiven Systeme aus einer Übertragungsfunktion stellt dabei sicher, daß die Eigenfrequenzen und das zeitliche Abklingverhalten des physikalischen Systems und der digitalen Realisie- rung exakt übereinstimmen.
Der Koeffizientenspeicher 36 nimmt einen oder mehrere Koeffizientensätze aus dem Rechenwerk 35 entgegen und lädt sie auf Anforderung durch die Steuereinrichtung 39 in die Parallelanordnung 38 digitaler rekursiver Systeme.
Um die Parallelanordnung 38 digitaler rekursiver Systeme zur Synthese eines Ausgangssignals zu veranlassen, ist die Anregung durch ein oder mehrere Eingangssignale erforderlich. Auch diese Eingangssignale werden dem physikalischen Modell entsprechend nachgebildet und in der Anregungseinrichtung ge- speichert. Die Anregung wird aus der partiellen Differentialgleichung des schwingungsfähigen Systems abgeleitet und berücksichtigt die Anfangswerte (z.B. angeschlagene oder gezupfte Saite), die Randwerte (z.B. Seilschwingungen) und die Erregungsfunktion (z.B. Resonanzen).
Die Steuereinrichtung 39 (Steuerwerk) übernimmt die Ablaufsteuerung von Rechenwerk 35, Koeffizientenspeicher 36, Parallelanordnung 38 und Anregungseinrichtung 37. Diese Möglichkeiten können nicht nur genutzt werden, um die Schwingungen realer Musikinstrumente oder anderer Klangkörper nachzubilden, sondern auch um Klänge zu synthetisieren, deren natürliche Erzeugung aus technischen Gründen nicht möglich ist.
Das am Ausgang 40 der Parallelanordnung 38 abgegebene Ausgangssignal stellt das zu erzeugende, gewünschte Signal dar und kann in geeigneter Weise weiter verwendet oder bearbeitet werden. Beispielsweise kann zur akustischen Hörbar- machung von erzeugten Klangsignalen ein D/A-Wandler an den Ausgang 40 angeschlossen werden und dessen analoges Ausgangssignal ggfls. nach Verstärkung durch einen Verstärker an einen Lautsprecher angelegt werden.
Nachfolgend werden einige Erweiterungen und Variationen des vorstehend grundlegend beschriebenen digitalen Systems zur Klangsynthese sowie deren Auswirkungen erläutert.
Anstelle der in Fig. 5 gezeigten Struktur der rekursiven Systeme kann auch ver- wendet werden: eine andere Struktur eines rekursiven Systems mit gleichem Ein-
Ausgangsverhalten, z.B. Regelungsnormalform, Steuerungsnormalform, Zu- standsraumstruktur, Leiter (Lattice)-Struktur, Wellendigitalfilter-Struktur; eine andere Struktur eines rekursiven Systems, die das Ein-Ausgangsverhalten des Systems aus Fig. 5 approximiert; ein nichtrekursives System, das das Ein-Ausgangsverhalten des Systems aus Fig.
5 approximiert.
Die evtl. gekoppelte Parallelanordnung rekursiver Systeme gemäß Fig. 4 und Fig. 3 stellt eine spezielle Realisierung eines Systems mit mehreren Eingängen und mehreren Ausgängen (MIMO — multiple input, multiple Output) dar. Anstelle dieser Parallelanordnung kann auch verwendet werden: eine andere Struktur eines MIMO-Systems mit gleichem Ein-Ausgangsverhalten, eine andere Struktur eines MIMO-Systems, die das Ein-Ausgangsverhalten des Systems aus Fig. 3 und Fig. 4 approximiert.
Es ist auch eine Parallel- oder Kaskadenanordnung mehrerer Systeme nach Fig. 6 möglich, wobei das Ausgangssignal eines Systems als Anregung für das nach- geschaltete System dient. Zusätzlich zu einer Parallel- oder Kaskadenschaltung mehrerer Systeme zur digitalen Klangsynthese nach Fig. 6 sind auch Kombinationen davon möglich.
Das System nach Fig. 3 kann das Schwingungsverhalten an ausgewählten Ortspunkten xn nachbilden. Diese Ortspunkte können zur Verbesserung der Schallfeldrekonstruktion auch so gewählt werden, dass das gesamte, vom schwingungsfähigen Körper ausgehende Schallfeld anhand der Syntheseergebnisse an den Punkten xn exakt oder näherungsweise approximiert werden kann.
Anstelle der Differentialgleichung (1) für eine Ortskoordinate (x) kann auch eine entsprechende Differentialgleichung für zwei oder drei Ortskoordinaten als physikalisches Modell verwendet werden, so daß mehrere Ortsdimensionen nachbildbar sind. Die Ortsfunktionen Kμ(xn) in Fig. 4 sind dann ebenfalls von zwei oder drei Ortsdimensionen abhängig.
Die vorstehend beschriebene Anordnung zur Klangsynthese anhand eines physikalischen Modells kann auch zur Synthese allgemeiner Schwingungen, d.h. zur Nachbildung von anderen physikalischen Schwingungsvorgängen dienen, wenn diese durch partielle Differentialgleichungen beschrieben werden können. Sie stellt dann eine digitale Realisierung zur Nachbildung von allgemeinen schwingungsfähigen Körpern, Fluiden und Energiefeldern dar.
Die vorstehend beschriebene Anordnung kann auch zur gleichzeitigen Synthese von Potential- und Flußgröße dienen. Dazu ist dann nicht von einer skalaren Diffe- rentialgleichung, sondern von einer Vektordifferentialgleichung für Potential- und Flußgröße auszugehen.
Das hier vorgestellte Verfahren läßt sich z.B. in der Programmiersprache JAVA zur Implementierung für eine schwingende Instrumentensaite realisieren, die auch die Rotationsträgheit und Scherung der Saite berücksichtigen kann. Dies wurde von den Erfindern erfolgreich durchgeführt. In diesem Programm können alle physikalischen Parameter der realen Saite eingegeben werden, was eine Simulation ihres Schwingungsverhaltens einfach ermöglicht.
Je nach Programmstruktur lassen sich auch die Nichtlinearitäten, die bei der Anregung einer Saite auftreten, berücksichtigen, und Echtzeitfähigkeit erreichen.

Claims

Patentansprüche
1. Vorrichtung zur Signalberechnung und -erzeugung, insbesondere zur digitalen Klangsynthese, mit einem Rechenwerk (35) zur Berechnung von Koeffizienten in Abhängigkeit von dem zu erzeugenden Signal, einem Koeffizientenspeicher (36) zur Speicherung der errechneten Koeffizienten, einer mit dem Koeffizientenspeicher (36) verbundenen Anordnung (38) mehrerer digitaler Einrichtungen (5 bis 7), an deren Ausgang (40) das zu erzeugende Signal abgegeben wird, einer mit der Anordnung (38) verbundenen Anregungseinrichtung (37), die
Erregungssignale an die Anordnung (38) anlegt, und einer Steuereinrichtung (39) zur Steuerung des Koeffizientenspeichers (36), der Anregungseinrichtung (37) und der Anordnung (38), derart daß die Anordnung (38) mit den berechneten und gespeicherten Koeffizienten und den Erregungs- Signalen betrieben wird.
2. Vorrichtung nach Anspruch 1 , dadurch gekennzeichnet, daß die Anordnung eine ggfs. gekoppelte Parallelanordnung (38) mehrerer digitaler rekursiver Einrichtungen (5 bis 7) ist.
3. Vorrichtung nach Anspruch 1 oder 2, dadurch gekennzeichnet, daß die digitalen Einrichtungen (5 bis 7) ggfs. gekoppelte parallele Zweige mit jeweils ei- nem rekursiven Filter (9, 11 , 13) und einem Multiplizierer (10, 12, 14) enthalten, deren Ausgangssignale an einen Addierer (15) angelegt sind.
4. Vorrichtung nach Anspruch 3, dadurch gekennzeichnet, daß die ggfs. gekoppelten rekursiven Filter (9, 11 , 13) jeweils mehrere Addierer (24, 27, 30), zwischen die Addierer geschaltete Zeitverzögerungsglieder (26, 29) sowie mit den Addierern verbundene Rückkopplungsschleifen (25, 28) enthalten.
5. Vorrichtung nach einem der vorhergehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, daß eine digitale Einrichtung (5) für Erregungswerte, eine digitale Einrichtung (6) für Anfangswerte und eine digitale Einrichtung (7) für Randwerte vorgesehen sind.
6. Vorrichtung nach einem der vorhergehenden Ansprüche, gekennzeichnet durch einen Addierer (8) zum additiven Verknüpfen der Ausgangssignale der digitalen Einrichtungen (5, 6, 7).
7. Vorrichtung nach einem der vorhergehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, daß an das Rechenwerk (35) als Eingangsgrößen physikalische Parameter angelegt werden, die die physikalischen, einen Schwingungsvorgang eines zugrundegelegten physikalischen Modells charakterisierenden Konstanten darstellen, und das Rechenwerk hieraus die Koeffizienten berechnet.
8. Vorrichtung nach einem der vorhergehenden Ansprüche, dadurch ge- kennzeichnet, daß das Rechenwerk (35) die Koeffizienten aufgrund der Übertragungsfunktionen eines Schwingungsvorgänge ausführenden, hinsichtlich seines Schwingungsverhaltens nachgebildeten physikalischen Modells ermittelt.
9. Vorrichtung nach einem der vorhergehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, daß im Koeffizientenspeicher (36) als Koeffizienten Multipliziererwerte für die digitalen Einrichtungen (5 bis 7) gespeichert sind.
10. Vorrichtung nach einem der vorhergehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, daß die Anregungseinrichtung (37) mindestens eine Signalquelle zur Anregung der Anordnung (38) enthält.
11. Vorrichtung zur Signalberechnung und -erzeugung, insbesondere zur digitalen Klangsynthese, mit einem Rechenwerk (35) zur Berechnung von Koeffizienten in Abhängigkeit von einem physikalischen Modell (33), dessen Struktur in Form von partiellen Dif- ferentialgleichungen vorliegt, und von dessen Parametern (34), einem Koeffizientenspeicher (36) zur Speicherung der errechneten Koeffizienten, einer mit dem Koeffizientenspeicher (36) verbundenen Anordnung (38) mehrerer paralleler digitaler rekursiver Systeme (9, 11 , 13), deren Ausgangssigna- le nach gewichteter Aufsummierung das am Ausgang (40) abgegebene, zu erzeugende Signal bilden, wobei die rekursiven Systeme mehrere Addierer (24, 27, 30) enthalten, zwischen denen um jeweils eine aus der Abtastfrequenz bestimmte Zeitverzögerung verzögernde Zeitverzögerungsglieder (26, 29) angeordnet sind und an die Rückkopplungsschleifen (25, 28) angeschlossen sind, einer mit der Anordnung (38) verbundenen Anregungseinrichtung (37), die
Erregungssignale an die Anordnung (38) anlegt, und einer Steuereinrichtung (39) zur Steuerung des Koeffizientenspeichers (36), der Anregungseinrichtung (37) und der Anordnung (38), derart, daß die Anordnung (38) mit den berechneten und gespeicherten Koeffizienten und den Erre- gungssignalen betrieben wird.
12. Vorrichtung nach Anspruch 11 , dadurch gekennzeichnet, daß die digitalen rekursiven Systeme miteinander gekoppelt sind.
13. Vorrichtung nach Anspruch 11 oder 12, dadurch gekennzeichnet, daß die parallelen rekursiven Systeme zur Verabeitung von kontinuierlichen Erregungswerten, Anfangswerten und Randwerten des zugrundeliegenden Modells in Form von partiellen Differentialgleichungen ausgelegt sind.
14. Vorrichtung nach einem der vorhergehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, daß das Rechenwerk (35) die Koeffizienten aufgrund der Übertragungsfunktionen eines Schwingungsvorgänge ausführenden, hinsichtlich seines Schwingungsverhaltens nachgebildeten physikalischen Modells ermittelt.
15. Vorrichtung nach einem der vorhergehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, daß im Koeffizientenspeicher (36) als Koeffizienten Multipliziererwerte für die digitalen Einrichtungen (5 bis 7) gespeichert sind.
16. Vorrichtung nach einem der vorhergehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, daß die Anregungseinrichtung (37) mindestens eine Signalquelle zur Anregung der Anordnung (38) enthält.
17. Verfahren zur Signalerzeugung, insbesondere zur digitalen Klangsynthese, mit den Schritten:
Berechnung von Koeffizienten aus einem physikalischen Modell einer gewünschten Schwingungserzeugung,
Speicherung der Koeffizienten in einem Koeffizientenspeicher, Erzeugung von Anregungssignalen, und
Ansteuern einer Anordnung mit mehreren digitalen Einrichtungen mit den gespeicherten Koeffizienten und den Anregungssignalen zur Bildung eines Ausgangssignals, das das zu erzeugende Signal darstellt.
EP00925212A 1999-04-19 2000-04-14 Vorrichtung zur signalberechnung und -erzeugung, insbesondere zur digitalen klangsynthese Expired - Lifetime EP1175668B1 (de)

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