DE19743712C2 - Verfahren zum Kalibrieren eines zwei Meßtore und vier Meßstellen aufweisenden vektoriellen Netzwerkanalysators nach dem 15-Term-Fehlermodell - Google Patents

Description

Die Erfindung geht aus und betrifft ein Verfahren laut Oberbegriff des Patentanspruches.

Ein Verfahren dieser Art ist bekannt (DE-OS 43 32 273 bzw. europäische Patentanmeldung EP 0 706 059). Wenn das bei diesem 15-Term Fehlermodell benutzte Fehlerviertor keinen Übersprecher aufweist, werden von den insgesamt 16 Fehlertermen (von denen einer zu 1 gewählt werden kann), diejenigen 8, welche den Übersprecher charakterisieren zu Null. Das bedeutet, daß diese Fehlerterme bei der Kalibrierrechnung exakt zu Null bestimmt werden müssen, da sonst ein künstlicher (numerischer) Übersprecher in das System gelangt, der sich in einer reduzierten Dynamik bei der Messung von transmissionslosen Meßobjekten bemerkbar macht.

Es ist daher Aufgabe der Erfindung, bei einem Verfahren dieser Art die Meßdynamik zu verbessern.

Diese Aufgabe wird ausgehend von einem Verfahren laut Oberbegriff des Patentanspruches durch dessen kennzeichnende Merkmale gelöst.

Durch das erfindungsgemäße Aufteilen der insgesamt 16 Fehlerterme in zwei Gruppen und Berechnung der die Fehlanpassung und Transmissionsverluste beschreibenden "großen" Fehlerterme getrennt von den den Übersprecher charakterisierenden "kleinen" Fehlertermen wird die Meßdynamik eines solchen 15-Term Kalibrierverfahrens erheblich verbessert. Von den insgesamt 8 Fehlertermen des ersten Verfahrensschrittes zur Ermittlung der "großen" Fehlerterme wird vorzugsweise nach dem Prinzip des 15-Term Fehlermodells einer zu 1 gewählt.

Das erfindungsgemäße Verfahren ist nicht nur für das 15-Term Fehlermodell geeignet, sondern in analoger Weise auch auf das sogenannte 11-Term Fehlermodell anwendbar, wie es in der deutschen Patentanmeldung DE 197 36 897 beschrieben ist.

Die Erfindung geht von folgender Erkenntnis aus:
Die Berechnung der Fehlerterme geschieht im Normalfall durch Lösen eines linearen Gleichungssystemes. Beim 15-Term Modell stehen mit fünf Kalibrierstandards 20 Gleichungen zur Bestimmung der 15 Fehlerterme zur Verfügung, beim 11-Term Modell sind es, wegen der verwendeten vier Kalibrierstandards, 16 Gleichungen mit denen 14 Fehlerterme berechnet werden können (der 15. Term ergibt sich hier aus einer quadratischen Beziehung zwischen den Fehlertermen).

Mit der Darstellung des 15-Term-Fehlermodells gemäß der deutschen Patentanmeldung DE 197 36 897 liefert jede Kalibriermessung eine Gleichung der Form

aus der sich vier lineare, skalare Gleichungen in den Fehlertermmatrizen [G], [E], [F] und [H] ergeben. Das gesamte, zur Berechnung der Fehlerterme zu lösende Gleichungssystem lautet:

der transponierten S-Parameter-Meßwertmatrix [Mⁱ]^T der i-ten Kalibriermessung, den S- Parametern S i|jk des i-ten Standards und dem Fehlertermvektor

Ohne Verlust an Allgemeinheit soll nun angenommen werden, daß das homogene Gleichungssystem (2) durch Wahl von H₂₂ = 1 zu dem zu lösenden inhomogenen Gleichungssystem

umgeformt wird. Dabei ergibt sich [A^ideal] aus [A] durch Streichen der 16. Spalte, _r ergibt sich aus durch Weglassen von H₂₂ und ^ideal ist die 16. Spalte von [A] (mit negativem Vorzeichen).

Ist das Fehlerviertor übersprecherfrei, so werden 8 der 16 Fehlerterme zu Null (das 15-Term Modell geht in das 7-Term Modell über). In diesem Fall werden die Fehlerquadranten [G], [E], [F] und [H] zu Diagonalmatrizen. D. h. der Übersprecher wird vollständig durch die auf den Nebendiagonalen stehenden Fehlerterme beschrieben. Sind diese im übersprecherfreien Fall Null, so müssen sie durch die Kalibrierrechnung auch zu Null bestimmt werden. Wegen der endlichen Genauigkeit der Meßwerte und immer vorhandenen, wenn auch geringen Inkonsistenzen zwischen Meßwerten und postulierten Parametern der Standards gelingt dies jedoch nur begrenzt. Die folgende Fehlerabschätzung soll dies zeigen.

Anstelle der exakten (idealen) Koeffizientenmatrix [A^ideal] soll eine durch Meßunsicherheiten veränderte (reale) Koeffizientenmatrix

zur Berechnung der Fehlerterme in (3) verwendet werden. Da die rechte Seite aus der 16. Spalte von [A] entstanden ist, besteht auch hier die Möglichkeit einer Meßunsicherheit, so daß hier

angesetzt wird. Das inhomogene Gleichungssystem wird damit zu

seine direkte Lösung durch Invertieren von [A^ideal] liefert:

Neben dem erstem Term in (4), der die korrekte Lösung darstellt, treten zwei weitere Terme auf, die die Fehler bei der Berechnung von _r representieren. Insbesondere beim ersten dieser Fehlerterme sorgt die Multiplikation mit [A^ideal]^-1 dafür, daß sich die in [ΔM] enthaltenen Fehler gleichmäßig auf alle Fehlerterme in _r übertragen können.

Beträgt die Meßgenauigkeit z. B. 0.1%, so seien alle Meßwerte mit einer Ungenauigkeit von +/-0.001 behaftet angenommen. Für die berechneten Fehlerterme kann man dann nach (4) ebenfalls eine Unsicherheit in dieser Größenordnung erwarten. Die die Verkopplung beschreibenden Terme, die im übersprecherfreien Fall idealerweise Null werden müssen, werden daher ebenfalls mit der angenommenen Meßunsicherheit von +/-0.001 berechnet. Ein übersprecherfreies System erzielt daher bei einer Meßgenauigkeit von 0.1% eine Dynamik von maximal 60 dB.

Auch Untersuchungen der Konditionierungszahl des zu lösenden Gleichungssystems zeigen, daß das beschriebene Problem nicht numerischer Natur ist, sondern wie oben dargestellt, aus Meßunsicherheiten und ihrer (ungünstigen) Verteilung auf die verschiedenen Fehlerterme herrührt. Eine iterative Verbesserung, wie sie bei schlecht konditionierten Gleichungssystemen versucht werden kann, führt in diesem Fall daher zu nichts. Das Problem liegt vielmehr in dem sehr großen Verhältnis der "großen" Fehlerterme, die Fehlanpassung und Transmissionsverluste beschreiben, zu den "kleinen" Fehlertermen, die den Übersprecher charakterisieren und die im übersprecherfreien Fall zu Null werden. Eine besser an die Problemstellung angepaßte Berechnung der Fehlerterme muß daher zunächst einmal zwischen diesen zwei Klassen von Fehlertermen unterscheiden.

Die Erfindung löst das Problem daher wie folgt: Zunächst wird zwischen den beiden Klassen von Fehlertermen unterschieden. Mit

sollen daher zwei Fehlertermvektoren eingeführt werden, von denen die "kleinen", den Übersprecher beschreibenden Terme enthält. Während die Berechnung der "großen", in enthaltenen Terme unkritisch ist, erfordert die Berechnung von besondere Beachtung in Bezug auf die Fehlerfortpflanzung.

Für die Berechnung von ist die Erkenntnis wichtig, daß ein Maß für die erreichbare Dynamik (und damit die Größenordnung von ) mit den Transmissionsmeßwerten der transmissionslosen Reflexionsstandards vorhanden ist. Da diese Meßwerte überdies den Übersprecher am besten charakterisieren, muß versucht werden, die Berechnung von vor allem mit diesen Meßwerten durchzuführen.

Ein Reflexionsstandard mit der Streumatrix

und der dazugehörigen Meßwertmatrix

liefert gemäß (2) die vier Gleichungen:

Ist das Fehlerviertor verkoppelungsfrei und ist die Meßwertmatrix so aufgebaut, daß sie S- Parametercharakter hat, so sind die Werte M j|12 und M j|21 sehr klein (typ. 1 × 10^-5 = -100 dB . . . 1 × 10^-7 = -140 dB). Da der Standard transmissionslos sein soll, beschreiben sie das Rauschen des VNA. Die Meßwerte M j|11 und M j|22 sind dagegen bei großen Reflexionsfaktoren r und g groß (typ. 0 . . -5 dB) und wären selbst bei Anpassung (r = 0/g = 0) wegen der endlichen Richtschärfe der Reflektometer des Netzwerkanalysators bei ca. -30 dB.

Verfolgt man, mit welchen Faktoren die einzelnen Fehlerterme in den vier Gleichungen von (5) gewichtet werden, so erkennt man, daß sich die erste und die vierte Gleichung grundsätzlich von den beiden mittleren unterscheiden. Bei diesen werden große Fehlerterme mit kleinen Meßwerten multipliziert, während die kleinen Terme (die Null werden sollen) erheblich stärker gewichtet sind. Bei der ersten und der letzten Gleichung erfolgt diese Gewichtung gerade umgekehrt. Die Multiplikation der kleinen Fehlerterme mit kleinen Vorfaktoren führt dazu, daß diese Terme praktisch nichts zu der Summe beitragen.

Möchte man die kleinen Fehlerterme mit möglichst großer Präzision bestimmen, so sind dazu die mittleren Gleichungen besser geeignet, da bei ihnen die kleinen Fehlerterme stärker gewichtet werden. Für die Berechnung der acht Fehlerterme in sind demnach vier transmissionslose Standards (Reflexionsstandards) notwendig, von denen jeder zwei Gleichungen beisteuert.

Insgesamt sollen zur Kalibrierung daher die folgenden fünf Standards zur Verfügung stehen:

• 1. Standard mit Transmission (Durchverbindung o. ä.) [T₁₁] u. [T₁₂] (Gleichung 1 . . 4)
• 2. 2 . . . 5. vier Reflexionsstandards ohne Transmission [T_i1] u. [T_i2] (Gleichung 5 . . 20)

Die Gleichungen werden untereinander geschrieben und die Spalten der zugehörigen Koeffizientenmatrix so angeordnet, daß das folgende Gleichungssystem entsteht

Die Quadranten [T_ij] sind dabei 4 × 8 Matrizen, von denen jeweils zwei (j = 1, 2) zu Standard i gehören. Dabei sollen [T_1j] den Standard mit Transmission, [T_2j] . . [T_5j] die Standards ohne Transmission representieren. In letzteren führt man nun Zeilenvertauschungen in der oben angesprochenen Form durch. D. h. man sortiert die ersten und vierten Gleichungen der vier transmissionslosen Standards in die Zeilen 5 . . 12 und die jeweils zweiten und dritten Zeilen in die darauffolgenden Zeilen 13 . . 20 von (7).

Gegenüber (6) bleiben die ersten vier Zeilen somit erhalten. [R_ij] sind 8 × 8 Matrizen von denen [R_1j] jeweils die Zeilen eins und vier, [R_2j] die Zeilen zwei und drei der vier Reflexionsstandards aufnehmen.

Um die weitere Verarbeitung von (7) nachvollziehen zu können, ist es sinnvoll, sich die Quadranten [R_ij] explizit hinzuschreiben, wie sie durch Spalten- und Zeilenvertauschungen aus (2) hervorgehen:

Wegen der vier, nur mit Nullen besetzten Spalten in [R₁₂] und [R₂₁] kann deren Rang maximal vier werden. [R₁₁] und [R₂₂] können dagegen über den maximalen Rang verfügen.

Mit dieser Kenntnis kann die dritte Zeile von (7) zu

umgestellt werden.

Die ersten beiden Zeilen von (7) werden zusammengefaßt, so daß das überbestimmte Gleichungssystem

ensteht. Setzt man (8) in (9) ein, so ergibt sich ein homogenes Gleichungssystem für

das durch Wahl eines Fehlertermes zu einem inhomogenen Gleichungssystem und durch eine Ausgleichsrechnung gelöst wird. Die Berechnung der "kleinen" Fehlerterme erfolgt mit dem so berechneten in (8). Dabei ist von entscheidendem Vorteil, daß hier [R₂₁] multiplikativ auftritt. Diese Matrix ist ausschließlich mit Nullen und Meßwerten, die die Transmissionsdynamik beschreiben besetzt und charakterisiert den tatsächlich vorhandenen Übersprecher somit am genauesten.

Eine Betrachtung der Fehlerfortpflanzung kommt für die Fehlerterme in zum gleichen Ergebnis wie die Eingangs in (4) geführte Untersuchung. Für diese Terme kann man Unsicherheiten in der Größenordnung der Unsicherheit der verwendeten Meßwerte erwarten:

Eingesetzt in (8) zeigt sich

Die korrekte Lösung ₀ wird jetzt nur noch durch einen Fehlerterm verfälscht, der durch die Multiplikation mit [R₂₁] um Δ unter der Größenordnung der Transmissionsdynamik liegt. D. h. die Unsicherheit Δ der "großen" Fehlerterme überträgt sich jetzt um die Transmissionsdynamik reduziert auf die "kleinen" Fehlerterme.

Durch die oben beschriebene dynamikoptimierte Auswertung entsteht kein numerischer Mehraufwand. Die Manipulation einer 20 × 16 Matrix weicht bei dieser Rechnung der Inversion einer 8 × 8 Matrix, zwei Matrixmultiplikationen mit 8 × 8 Matrizen, sowie der Ausgleichsrechnung mit einer 12 × 8 Matrix. Obgleich es aus numerischer Sicht sicher günstig ist, die Ordnung der zu manipulierenden Matrizen niedrig zu halten ist es zweifelhaft, ob sich dadurch Verbesserungen ergeben. Immerhin liegt die numerische Dynamik (300 dB) um mindestens 8 Zehnerpotenzen über einer maximalen Meßdynamik von 140 dB.

Wichtiger ist, daß bei der Festlegung des Fehlertermes, über den frei verfügt werden darf, einer der "großen" Terme gewählt wird. Würde hierzu ein Term aus gewählt, so ergäbe sich im Fall fehlender Verkopplung ein singuläres Gleichungssystem.

Ebenfalls von Wichtigkeit ist das Verhalten der dynamikoptimierten Auswertung für den Fall eines existierenden Übersprechers. In diesem Fall ist von Bedeutung, daß zur Berechnung der den Übersprecher charakterisierenden Fehlerterme in fast ausschließlich Meßwerte transmissionsloser Standards verwendet wurden, also Meßwerte, die den Übersprecher mit größtmöglicher Präzission bestimmen. Praktische Versuche haben gezeigt, daß dadurch Inkonsistenzfehler (Abweichungen der S-Parameter der Standards von ihren postulierten Werten) um ca. den Faktor 5 reduziert werden. Gegenüber der direkten Lösung des 20 × 16 Gleichungssystems stellt sich die dynamikoptimierte Auswertung somit auch als das robustere Verfahren zur Bestimmung der Fehlerterme dar.

Claims (1)

1. Verfahren zur Kalibrierung eines zwei Meßtore und vier Meßstellen aufweisenden vektoriellen Netzwerkanalysators nach dem 15-Term-Fehlermodell, bei dem anstelle des Meßobjektes nacheinander in beliebiger Reihenfolge mehrere Kalibrierstandards mit den beiden Meßtoren verbunden werden und aus den durch die Kalibriermeßwerte gewonnenen Kalibriergleichungen 16 Fehlerterme bestimmt werden, die bei einer anschließenden Objektmessung zur Systemfehlerkorrektur benutzt werden, dadurch gekennzeichnet, daß
   zur Kalibrierung mindestens vier transmissionslose Standards sowie mindestens ein Transmission aufweisender Kalibrierstandard verwendet werden,
   8 der insgesamt 16 Fehlerterme, welche die Transmissions- und Reflexionsfehler beschreiben, mit Hilfe der 4 Kalibriergleichungen des Transmission aufweisenden Standards sowie mindestens 4 Kalibriergleichungen der transmissionslosen Standards berechnet werden und die 8, den Übersprecher beschreibenden Fehlerterme mit Hilfe der restlichen mindestens 8 Kalibriergleichungen der transmissionslosen Standards berechnet werden.