DE19736897A1

DE19736897A1 - Verfahren zur Kalibrierung eines vektoriellen Netzwerkanalysators

Info

Publication number: DE19736897A1
Application number: DE19736897A
Authority: DE
Inventors: Burkhard Prof Dr Ing Schiek; Andreas Dipl Ing Gronefeld
Original assignee: Rohde and Schwarz GmbH and Co KG
Current assignee: Rohde and Schwarz GmbH and Co KG
Priority date: 1996-09-30
Filing date: 1997-08-25
Publication date: 1998-04-02
Anticipated expiration: 2017-08-26
Also published as: DE19736897C2

Description

Die Erfindung betrifft ein Verfahren zum Kalibrieren eines zwei Meßtore und vier Meßstellen aufweisenden vektoriellen Netzwerkanalysators laut Oberbegriff des Anspruchs 1.

Ein Verfahren dieser Art ist als sogenanntes 15-Term-Verfahren bekannt (DE-OS 43 32 273 bzw. Europäische Patentan meldung EP 0 706 059). Dieses bekannte Kalibrierverfahren ist allgemein gültig und berücksichtigt die Verkopplung der vier Meßstellen des Netzwerkanalysators, es setzt keine Einschrän kungen an die Eigenschaften der Verbindung zwischen den bei den Meßtoren und - während der Objektmessung - mit dem Meßob jekt bzw. - während des Kalibrierens - mit den jeweils ange schalteten Kalibrierstandards voraus. Es ist also für beliebige Verbindungen zwischen den Meßtoren und dem Meßobjekt bzw. den Kalibrierstandards gültig.

Es ist auch schon bekannt, hierbei eine sogenannte Selbstka librierung vorzunehmen. Dabei können mehrere Parameter der Kalibrierstandards unbekannt sein. Ihre Berechnung erfolgt durch die Selbstkalibriergleichungen lediglich aus den Meßwerten der Kalibriermessungen, bevor der eigentliche Kalibriervorgang durchgeführt wird, so daß für diesen vollständig bekannte Kalibrierstandards zur Verfügung stehen. So ist es möglich, bis zu fünf unbekannte Parameter der insgesamt 5×4=20 Parameter der Kalibrierstandards durch ein Selbstkalibrierverfahren zu berechnen.

Obwohl mit diesem bekannten Verfahren die Fehlerkorrekturwer te in geschlossener Form berechnet werden können besitzt es den Nachteil, daß noch fünf Kalibriermessungen an fünf Standards nacheinander durchgeführt werden müssen.

Es ist Aufgabe der Erfindung, ein Kalibrierverfahren dieser Art so weiterzubilden und zu verbessern, daß weniger Kali brierstandards nötig sind.

Diese Aufgabe wird ausgehend von einem Verfahren laut Oberbe griff des Hauptanspruches für den Spezialfall, daß die Ver bindung zwischen den Meßtoren des Netzwerkanalysators und dem Meßobjekt bzw. den Kalibrierstandards als reziprokes Viertor netzwerk darstellbar ist, mit nur vier Kalibrierstandards ge mäß kennzeichnendem Teil des Hauptanspruches gelöst. Vorteil hafte Weiterbildungen ergeben sich aus den Unteransprüchen.

Nach dem erfindungsgemäßen Verfahren ergibt sich nicht nur eine Reduktion der Anzahl der benötigten Kalibrierstandards, hierdurch wird vor allem auch eine genauere Fehlerkorrektur möglich, da mit jeder zusätzlichen Kalibriermessung die Ge fahr von Kontaktierungsfehlern besteht, die nicht im Fehler modell enthalten sind. Mit dem erfindungsgemäßen Verfahren ist also das Fehlermodell auch genauer zu bestimmen. Für das erfindungsgemäße Verfahren ist noch Voraussetzung, daß die Verbindung zwischen den Meßtoren und dem Meßobjekt bzw. den Kalibrierstandards einmodig ist, auf diesen Leitungen also nur ein einziger Wellentyp ausbreitungsfähig ist, da nur in diesem Fall die Verbindung durch ein Viertor beschrieben wer den kann.

Eine vorteilhafte Weiterbildung des erfindungsgemäßen Ver fahrens ergibt sich, wenn nach Anspruch 2 eine Vorabkalibrie rung des Netzwerkanalysators nach einem der bekannten Kali brierverfahren durchgeführt wird. Auf diese Weise können die Fehlermatrizen des Netzwerkanalysators bestimmt werden, so daß beim anschließenden Ausführen des erfindungsgemäßen Verfahrens das reziproke Viertornetzwerk der Meßverbindung vollständig, d. h. mit seiner physikalischen Beschreibung bestimmt werden kann.

Das erfindungsgemäße Verfahren eignet sich besonders für On-Wafer Messungen, bei denen unmittelbar auf dem Wafer von Halbleiterschaltungen mittels eines Wafer-Probers entspre chende Messungen durchgeführt werden, da bei einem Wafer- Prober die elektrische Verbindung zwischen den Meßtoren des Netzwerkanalysators und den Meßsystemen als reziprokes Viertornetzwerk dargestellt werden kann. Die geringe Anzahl an Standards ist dabei auch aus Platz- und Kostengründen von Vorteil. In Verbindung mit dem Verfahren nach Anspruch 2 ist es dabei auch möglich, die Eigenschaften des Wafer-Probers, also seine komplexen Streumparameter, vollständig zu bestim men. Wenn diese einmal bestimmt sind, genügt anschließend ei ne übliche 7-Term bzw. 10-Term-Kalibrierung des Netzwerkana lysators, da die Meßobjekte nun durch ein "Deembedding" der Wafer-Prober-Daten von den Einflüssen desselben befreit wer den können.

Die zur Zeit verfügbaren Selbstkalibrierverfahren für das 15- Term Fehlermodell weisen den recht gravierenden Nachteil auf, daß sie die Verwendung eines Standards voraussetzen, der in der gewählten Darstellung (Wellengrößen, Strom/Spannung) die Null-Matrix representiert. Für die Darstellung in Wellengrö ßen (Streuparameter) ist dies der ideale, an beiden Meßtoren angebrachte Doppel-M Standard, in Y-Parametern der ideale Doppel-Leerlauf. Ihre Null-Matrix erlaubt erst die Aufstel lung der Selbstkalibriergleichungen zur Berechnung der unbe kannten Parameter. In Streuparametern sind somit Selbstkali brierverfahren, die als absoluten Impedanzstandard lediglich eine Leitung mit der Systemimpedanz z₀ benötigen (L-Standard), beim bekannten Verfahren nicht möglich. Gerade diese haben jedoch beim 7-Term Fehlermodell als TLR- oder LLR-Verfahren große Bedeutung erlangt. Des weiteren führen Abweichungen der als ideal anzunehmenden Standards unweigerlich zu Fehlern der in der Selbstkalibrierung berechneten Parameter, selbst dann, wenn diese Abweichungen durch eine Vermessung der Standards bekannt sind.

Schließlich erlauben die bislang bekannten Selbstkalibrier verfahren für das 15-Term Fehlermodell nur in begrenztem Umfang unsymmetrische Reflexionsstandards. Auch hier fehlt damit bisher die Möglichkeit, durch Vorabmessungen der Standards Abweichungen von einem postulierten Verhalten im Selbstkalibrierprozeß Rechnung zu tragen.

Die erfindungsgemäßen Selbstkalibrierverfahren nach den Ansprüchen 5 bis 18 weisen diese Einschränkungen nicht auf. Die neuen Selbstkalibriergleichungen gestatten bei vier Kalibrierstandards die Bestimmung von maximal zwei unbe kannten Parametern der Kalibrierstandards, ohne Einschrän kungen an die übrigen, bekannten Parameter.

Ein weiterer Vorteil dieser erfindungsgemäßen Selbstkali brierverfahren besteht darin, daß die als bekannt vorausge setzten Parameter der Kalibrierstandards nicht durch postu lierte Werte in die Selbstkalibrierung einzugehen brauchen, sondern daß hierfür auch Meßwerte benutzt werden können. Hat man die Möglichkeit, die bekannten Standards vorab präzise zu vermessen, so kann durch das Einbringen dieser Meßwerte eine wesentliche Erhöhung der Genauigkeit bei der Bestimmung der unbekannten Parameter erreicht werden.

Auch die bekannten 15-Term Selbstkalibrierverfahren können mit der erfindungsgemäßen Selbstkalibrierung mit den bekannten Ergebnissen durchgeführt werden. Dazu nutzt man zunächst vier der fünf Kalibriermessungen zur Bestimmung der ersten beiden Selbstkalibriergleichungen und ersetzt dann jeweils einen der Standards durch den fünften, so daß insgesamt sechs Gleichungen zur Berechnung der fünf Unbekannten zur Verfügung stehen.

Die Erfindung wird im folgenden anhand mathematischer Herleitungen und schematischer Zeichnungen näher erläutert.

Fig. 1 zeigt das Prinzipschaltbild eines üblichen vektoriel len Netzwerkanalysators VNA, bei dem über einen Umschalter zwei getrennte Meßzweige mit jeweils zwei Meßstellen m1, m2 bzw. m3, m4 aus einem Hochfrequenzgenerator gespeist sind, der in einem vorgegebenen Frequenzbereich, beispielsweise im GHz-Bereich durchstimmbar ist. Die insgesamt vier Meßstellen m1 bis m4 sind als Meßbrücken oder Richtkoppler ausgebildet. Über zugeordnete Signaldetektoren werden Spannungsmessungen nach Betrag und Phase durchgeführt. Die beiden Meßzweige füh ren zu zwei Meßtoren 1 und 2. Die den beiden Meßzweigen imma nenten Fehlerzweitore A und B, wie sie in der nachfolgenden mathematischen Ableitung benutzt werden, sind zwischen diesen Meßtoren 1, 2 und den Meßstellen schematisch angedeutet. Die Meßtore 1, 2 sind über eine elektrische Verbindung, die als Viertornetzwerk 3 darstellbar ist, während einer Objektmessung mit einem Meßobjekt DUT bzw. während des Kali briervorganges mit Kalibrierstandards 4 verbunden. In der Tabelle nach Fig. 2 sind verschiedene übliche Kalibrierstan dards 6 bis 11 mit ihren zugehörigen Streumatrizen darge stellt. Fig. 3 bis 5 zeigen weitere gemäß der Erfindung einsetzbare Kalibrierstandards 12 bis 23.

Das die Verbindung zwischen Netzwerkanalysator und Meßobjekt bzw. Kalibrierstandards darstellende Netzwerk 3 kann nach dem 15-Term Modell als Fehlernetzwerk c dargestellt werden. Die Wellen a1, a2, b1, b2 am Meßobjekt DUT ergeben sich dann wie folgt aus den gemessenen Werten m_i (i=1 bis 4) der vier Meßstellen:

Daraus ergibt sich die Vektorgleichung

die zur Beschreibung der Messung beider Schalterzustände zur Matrixgleichung erweitert wird.

Einfach gestrichene Größen bedeuten dabei die Meßwerte, die sich in Schalterstellung I ergeben, doppelt gestrichene Größen entsprechen den Meßwerten in Schalterstellung II.

Durch Einführen der Meßwertmatrix

ist das Fehlermodell als

[G_SS][M_S]+[E_SS]=[S]([F_SS][M_S]+[H_SS]) (2)

kompakt darstellbar. Dabei deutet das tiefgestellte "SS" an, daß das Meßobjekt in S-Parametern dargestellt ist und die Meßwertmatrix ebenfalls S-Parametercharakter hat. Wählt man nämlich in Gleichung (1) eine andere Anordnung der Meßobjekt wellen und der Meßwerte, so können Meßobjekt- und Meßwertma trix jeweils wahlweise in S- oder T-Parametern (Transmis sionsparameter) geschrieben werden. Das Fehlermodell behält dabei seine durch Gleichung (2) beschriebene Struktur und auch die Fehlerterme bleiben vom Wert her gleich, sie stehen je nach gewählter Darstellung lediglich an anderen Stellen der 4×4-Fehlermatrix.

Selbst wenn in Gleichung (1) das Meßobjekt durch seine Tor ströme und Torspannungen gemäß seiner Kettenmatrix beschrie ben wird, ergibt sich formal ein zu Gleichung (2) identisches Fehlermodell.

Stellt man die Fehlermatrix hingegen in Streuparametern auf

so bekommt das Fehlermodell eine gänzlich andere Struktur

[X]= {[S]^-1-[W]}[Y]^-1{[M_S]-[Z]} (3)

und wird insbesondere nichtlinear in den Fehlertermen.

Das in den Fehlertermen lineare Fehlermodell nach Gleichung (2) führt für jede Kalibriermessung eines Standards S_K mit seiner Meßwertmatrix M_K zu vier Gleichungen in den 16 Fehlertermen E_SS11. . .E_SS22, F_SS11. . . F_SS22, G_SS11. G_SS22 und H_SS11. . .H_SS22. Dieses homogene Gleichungssystem wird durch Festlegen eines Fehlertermes zu einem inhomogenen Gleichungssystem umgeformt, zu dessen Lösung 15 linear unabhängige Gleichungen benötigt werden.

Verfolgt man den Rang des inhomogenen Gleichungssystems in Abhängigkeit der Anzahl der Standards, so stellt man fest, daß mit vier Standards erst ein Rang von 14 erreicht wird. Ist das Fehlerviertor allgemeiner Art, so werden daher fünf Standards für seine Berechnung benötigt.

Der Spezialfall eines reziproken Fehlerviertors

Hat man allerdings weitere Informationen über das Fehlervier tor, so kann man diese benutzen, um den Kalibrierprozeß schon mit vier Kalibriermessungen durchzuführen. Insbesondere hat ein reziprokes Viertor mit den Wellendefinitionen von Fig. 1 in Streuparametern die Darstellung

und besteht, da [c^s] diagonalsymmetrisch ist, aus nur 10 verschiedenen Elementen.

Gleichung (4) läßt sich in die Form einer Transmissions matrix überführen. Dazu bildet man zunächst

löst die zweite Gleichung nach b₁ und b₂ auf und setzt das Ergebnis in die erste Gleichung ein, was den Zusammenhang

liefert. Der Vergleich mit Gleichung (1) zeigt, daß die Quadranten [w], [x], [y] und [z] von gleicher Struktur wie die Quadranten [G_SS], [E_SS], [F_SS] und [H_SS] sind. D.h. das Fehlermodell (2) kann auch in [w], [x], [y] und [z] geschrieben werden.

Bedingungen, die aus der Reziprozität folgen

Stellt man die Abhängigkeit der Matrizen [w], [x], [y] und [z] von den 10 Fehlertermen der reziproken S-Matrix des Fehlerviertores explizit dar, so ergibt sich:

Man erkennt, daß die 10 verschiedenen Fehlerterme der rezi proken 4×4 Streumatrix durch nichtlineare Operationen in 16 verschiedene Terme der [w], [x], [y] und [z] -Matrizen über führt werden. Die Reziprozität der Matrix findet sich jetzt in Abhängigkeiten zwischen den Fehlertermen wieder, die allerdings ebenfalls nichtlinearer Natur sind.

Die Berechnung determinantenförmiger Produkte liefert solche Abhängigkeiten. Von den insgesamt acht Beziehungen seien zwei genannt

deren Addition die weiteren wichtigen Zusammenhänge

z₁₁w₁₁-y₁₁x₁₁+(z₁₂w₁₂-y₁₂x₁₂) = 1 (6c)

z₂₂w₂₂-y₂₂x₂₂+(z₂₁w₂₁-y₂₁x₂₁) = 1 (6d)

liefern.

Bestimmung der [C_SS)-Matrix

Zur Bestimmung der Elemente der Fehlermatrix [C_SS] geht man von der Matrixgleichung (2) aus, die jetzt allerdings in den Termen [w], [x], [y] und [z] notiert werden soll.

[w][M_S]+[x] = [S]{[y][M]+[z]} (7)

Führt man die Matrizenoperationen auf beiden Seiten aus, so läßt sich (7) als lineares, homogenes Gleichungssystem in den Fehlerparametern (w₁₁ . . . z₂₂) darstellen:

Nach Festlegung eines Fehlertermes lassen sich mittels Gauss-Jordan Eliminierung oder der Methode der kleinsten Quadrate 14 Unbekannte als Funktion der verbleibenden Unbekannten darstellen. Wählt man z. B. w₁₁ = 1 und w₁₂ als letzte zu bestimmende Unbekannte, so kann das Gleichungssystem geschrieben werden als:

Dabei ist = (w₂₁,w₂₂,x₁₁,x₁₂,x₂₁,x₂₂,y₁₁,y₁₂,y₂₁,y₂₂,z₁₁,z₁₂,z₂₁,z₂₂)^T und und ergeben sich aus der Gauss-Jordan-Umformung.

Einbringen der Reziprozitätsbedingungen

Mit Gleichung (8) läßt sich jeder Fehlerterm durch w₁₂ ausdrücken, so daß die Reziprozitätsbedingungen (6) zu quadratischen Gleichungen in w₁₂ führen.

Mit einer dieser quadratischen Gleichungen gelingt die Bestimmung von w₁₂ bis auf die Festlegung der richtigen Wurzel. Zur eindeutigen Bestimmung von w₁₂ ist daher noch Vorabinformation über das Fehlernetzwerk nötig.

Absolute Bestimmung des reziproken Fehlerviertors

Mit dem bis hierher beschriebenen Verfahren ist das Fehler viertor [C_SS] bis auf einen konstanten Faktor bestimmt. Für die Verwendung von [C_SS] zur Korrekturrechnung gemäß Glei chung (2) ist eine genauere Bestimmung von [C_SS] auch nicht nötig.

Eine vollständige (absolute) Bestimmung von [C_SS] ist aller dings mit Hilfe der Reziprozitätsbedingungen (6c) oder (6d) möglich.

Nachdem durch Wahl eines Fehlertermes zu 1 zunächst ein Parametersatz [], [], [] , und [] erzeugt wurde, setzt man diese Werte in Gleichung (6c) ein und erhält

₁₁₁₁-₁₁₁₁+(₁₂₁₂-₁₂₁₂) = α

Um Gleichung (6c) zu erfüllen sind demnach [], [], [], und [] durch die Wurzel von α zu dividieren:

Zur Wurzelentscheidung bei der Division in Gleichung (9), muß zumindest von einem Term der Fehlermatrix vorab das Vorzei chen bekannt sein.

Berechnung der [C_SS)-Matrix ohne Vorabkalibrierung

Bis hierhin wurde angenommen, daß der in Fig. 1 gezeigte VNA in den Meßportebenen kalibriert ist und die dort anfallenden Meßwerte k_i exakt bestimmt werden.

Es soll nun gezeigt werden, daß eine vollständige Kalibrie rung (ohne Kenntnis der dem VNA immanenten Fehlerzweitore [A] und [B] möglich ist und nur einen weiteren Fehlerterm in die Rechnung einbringt.

Dazu werden [A] und [B] zunächst in die Kettenschaltung ihrer reziproken und ihrer nicht reziproken Anteile gemäß

[A]=[A^nr][A^r] und [B]=[B^nr][B^r]

zerlegt. Dies ist mit den Reziprozitätsfaktoren

durch

unmittelbar möglich. Die reziproken Zweitore [A^r] und [B^r] werden nun mit dem reziproken Viertor [c^s] zu dem ebenfalls reziproken Viertor [c^r] mit seinen Quadranten [W^r], [X^r], [Y^r] und [Z^r] zusammengefaßt.

Bringt man auf gleiche Weise die Diagonalmatrizen [A^nr] und [B^nr] in [c^r] ein, so ergibt sich eine nunmehr nichtreziproke Streumatrix [c^nr], für die sich die Abhängigkeit

von den Elementen der reziproken Viertormatrix [c^r] und den Reziprozitätsfaktoren k_A und k_B finden läßt.

Beachtet man noch, daß bei dem in S-Parametern formulierten Fehlermodell nach Gleichung (3) [X^nr] mit einer Konstanten multipliziert werden darf, wenn man gleichzeitig [Y^nr] durch dieselbe Konstante dividiert, so läßt sich Gleichung (10) wie folgt weiter vereinfachen. Man dividiert [X^nr] durch k_A und multipliziert [Y^nr] mit k_A. Definiert man dann noch den Gesamtreziprozitätsfaktor k als

so treten in der [c^nr]-Fehlermatrix nur 11 Terme (inklusive k) auf:

Um das Kalibrierproblem nun auch für die zu dieser Streumatrix gehörende [C_SS] -Matrix zu lösen, rechnet man die [cⁿr]-Matrix, wie oben beschriebenen wieder in die [C_SS]- Matrix um und bildet die determinantenförmigen Terme der Gleichungen (6). Das ergibt:

Mit den für ein reziprokes Fehlerviertor ermittelten Beziehungen (6) folgen daraus die Bedingungen

Mit der Kenntnis von k ist diese Beziehung zur Berechnung des 15. Fehlerterms über eine quadratische Gleichung verwendbar.

Nun ist k² aber unmittelbar aus den Meßwerten einer der Kali briermessungen bestimmbar, wenn ein reziproker Standard gemessen wird. Dazu zerlegt man die Quadranten der teilweise nicht reziproken Fehlermatrix [c^nr] in ihrer reziproken und nichtreziproken Anteile:

Setzt man diese Ausdrücke in das Fehlermodell nach Gleichung (3) ein, so ergibt sich:

Verwendet man zur Kalibrierung einen reziproken Standard, so stellt die linke Seite eine ebenfalls reziproke Matrix dar und k berechnet sich aus den Meßwerten dieser Kalibriermessung zu:

Die einstufige Kalibrierung des die nichtreziproken Fehlerzweitore [A] und [B] beinhaltenden Fehlerviertores [C_SS] läuft nach dem selben Schema wie die oben beschriebene zweistufige Kalibrierung ab:

- Der Reziprozitätsfaktor k² errechnet sich aus den Meßwerten eines reziproken Kalibrierstandards gemäß Gleichung (13).
- Ein Fehlerterm wird zu 1 gewählt.
- 14 Fehlerterme werden durch das Gauss-Jordan-Verfahren durch den 15.Term dargestellt.
- Mit bekanntem k² liefert z. B. Gleichung (11a) die notwendige Beziehung, die wieder zu einer quadratischen Gleichung in dem letzten zu bestimmenden Fehlerterm führt.

Tatsächlich erweist sich das eingangs beschriebene zweistu fige Verfahren, mit seiner vollständig reziproken Fehler matrix, nunmehr physikalisch folgerichtig als Spezialfall der oben beschriebenen einstufigen Kalibrierung mit k = 1.

Die allgemeine Selbstkalibriergleichung

Ausgehend von dem bekannten 15-Term Fehlermodell der verkop pelten Reflektometer und dessen mathematischer Formulierung (2) ergeben vier Kalibriermessungen vier Gleichungen diesen Typs, die als

[G][M_i]+[E]=[S_i]([F][M_i]+[H]) (i = 1. . .4)

geschrieben werden sollen.

Zur Bestimmung von unbekannten Parametern der Kalibrier standards wird ein von den noch unbekannten Fehlerkoef fizienten E. . .H unabhängiger Zusammenhang zwischen S_i und M_i gesucht.

Subtraktion der Gleichung j von i (i ≠ j) liefert:

G(M_i-M_j) = S_iFM_i+S_iH-S_jFM_j-S)H+(S_jFM_i-S_jFM_i) = S_jF(M_i-M_j)+(S_i-S_j)(H+FM_i)

Dabei wurde durch die rechtsseitige Addition von 0=S_jFM_i-S_jFM_i für eine günstige Möglichkeit der Zusammen fassung von Termen gesorgt.

Eine weitere solche Gleichung ergibt sich analog aus der Kombination der Messungen j und k (i ≠ j ≠ k). Beide Glei chungen haben eine gemeinsame linke Seite

G-S_jF=(S_i-S_j)(H+FM_i)(M_i-M_j)^-1
G-S_jF=(S_j-S_k)(H+FM_k)(M_i-M_k)^-1,

so daß sie zu

(S_i-S_j)(H+FM_i)(M_i-M_j)^-1 = (S_j-S_k)(H+FM_k)(M_j-M_k)^-1,

kombiniert werden können, was mit den Abkürzungen:

ΔS_m,n = S_m-S_n m,n=1. . .4
ΔM_m,n = M_m-M_n m,n=1. . .4

als

kompakt geschrieben werden kann.

Gleichung (14) wird nach (H+FM_i) aufgelöst

und durch Hinzunahme der vierten Kalibriermessung (mit 1 bezeichnet) mit einer weiteren, zu (14) ähnlichen Gleichungen kombiniert. Diese wird durch Ersetzen des Standards j durch den Standard 1 so erzeugt, daß der Term (H+FM_i) unverändert bleibt:

Gleichsetzen von (14) und (15) liefert die gesuchte Ahnlich keitstransformation

deren Spur- und Determinanteninvarianz die von den Fehler termen unabhängigen Beziehungen

abgibt, mit denen zwei Gleichungen zur Verfügung stehen, die die S-Parameter der Kalibrierzweitore mit den Meßwerten der Kalibriermessungen verbinden.

Es ist wichtig festzustellen, daß die Ähnlichkeitstransfor mation (16) schon mit vier verschiedenen Kalibrierstandards arbeitet und so die Bestimmung von zwei unbekannten Parame tern der Kalibrierzweitore gestattet. Nimmt man einen fünften Standard S_m mit seinen Meßwerten M_m hinzu, so ergeben sich zwei weitere unabhängige Ähnlichkeitstransformationen z. B. als

(i durch in ersetzt) und

(j durch m ersetzt).

Bei Verwendung von fünf Standards stehen somit insgesamt sechs Gleichungen zur Verfügung, die zur Bestimmung der bei fünf Standards maximal möglichen fünf Unbekannten ausreichen.

Neue Selbstkalibrierverfahren

Mit (17) stehen erfindungsgemäß zwei Gleichungen zur Verfü gung, die die Berechnung von zwei beliebigen der insgesamt 16 Parameter der Kalibrierstandards erlauben. Die übrigen 14 Parameter gehen dabei als bekannte Größen in die Rechnung ein.

Das allgemeine LMRN-Verfahren

Benutzt man zur Kalibrierung die vier Standards

und bringt man diese in (16) ein, so liefert die Ähnlich keitstransformation die beiden Gleichungen

die nach zwei der Unbekannten l, m₁, m₂, r₁, r₂, q₁, q₂, t₁ und t₂ aufgelöst werden können.

Das LMRN-Verfahren

Für den Fall eines reziproken und symmetrischen N-Standards (q₁ = q₂ = q, t₁ = t₂ = t) ergibt die Auflösung von (20) und (21) nach q und t eine quadratische Gleichung für q

zu deren eindeutiger Lösung lediglich das Vorzeichen von q a-priori bekannt sein muß. Dabei wurden die Abkürzungen

verwendet. t ergibt sich bei bekanntem q aus der linearen Beziehung

t = a+bq (23)

Das Lmrg-Verfahren

Läßt man in (20) und (21) den N-Standard durch

q₁ = q₁, q₂ = q₂, t₁ = t₂ = 0

zum Reflexionsstandard entarten und setzt die drei Reflexionsfaktoren r,g und in zyklisch vertauscht gemäß

m₁ = m, m₂ = r, r₁ = g, r₂ = m, g₁ = r, g₂ = g

in die Standards R, M und N ein, so werden die Reflexionsfaktoren g und r durch

bestimmt. Wieder wird Vorzeicheninformation zur eindeutigen Bestimmung von g benötigt.

Das allgemeine NMRG-Verfahren

Benutzt man zur Kalibrierung die vier Standards

und bringt man diese in (16) ein, so liefert die Ähnlichkeitstransformation die beiden Gleichungen

die nach zwei der Unbekannten r₁, r₂, g₁, g₂, m₁, m₂, q₁, q₂, t₁ und t₂ aufgelöst werden können.

Das NMRG-Verfahren

Für den Fall eines reziproken und symmetrischen N-Standards (q₁ = q₂ = q, t₁ = t₂ = t) ergibt die Auflösung von (26) und (27) nach q und t:

Lediglich das Vorzeichen von t muß zur eindeutigen Lösung a-priori bekannt sein. Es wurden die Hilfsgrößen

verwendet.

Das NORM-Verfahren

Für den Fall eines reziproken und symmetrischen N-Standards (q₁ = q₂ = q, t₁ = t₂ = t) sowie eines idealen Leerlauf standards (g₁ = g₂ = 1) lassen sich (28) und (29) weiter vereinfachen und man erhält das NORM-Verfahren mit

verwendet, in die die idealen Leerlaufreflexionsfaktoren eingehen.

Das Nmrg-Verfahren

Verwendet man das allgemeine NMRG-Verfahren mit einem symmetrischen und reziproken N-Standard

q₁ = q₂ = q , t₁ = t₂ = t

und setzt die drei Reflexionsfaktoren r,g und in zyklisch vertauscht gemäß

m₁ = m, m₂ = r, r₁ = g, r₂ = m, g₁ = r, g₂ = g

in die Standards M,R und G ein, so können die Parameter des N-Standards wieder mit (30) und (31) berechnet werden.

Neue Selbstkalibrierverfahren bei Formulierung des Fehler modells in Kettenparametern

Wie oben dargelegt, ergibt sich auch bei der Charakterisie rung des Meßobjektes durch seine Torströme und Torspannungen ein strukturell zu Gleichung (2) identisches Fehlermodell

[G_K][M]+[E_K]=[K]([F_K][M]+[H_K]) (32)

in das das Meßobjekt durch seine Kettenmatrix [K] eingeht. Mit dieser Struktur ergibt sich die Selbstkalibriergleichung (16) natürlich völlig identisch, so daß auch in dieser Dar stellungsart Selbstkalibrierverfahren mit den erfindungs gemäßen Eigenschaften möglich sind. Die Selbstkalibrierglei chungen lauten nun

Dabei sind

ΔK_j,k=K_j-K_k und ΔM_j,k=M_j-M_k

die Differenzen der K-Parameter bzw. der Meßwertmatrizen der Standards j und k.

Selbstkalibrierverfahren mit drei Impedanzen in PI-Schaltung

Zur Kalibrierung sollen drei Impedanzen in einer Schaltung nach Fig. 3 verwendet werden, die vier Standards bilden und deren Darstellung in Kettenmatrizen

lautet.

Einsetzen in (33) liefert die Selbstkalibriergleichungen

die hier zu nur einer nützlichen Gleichung entarten.

Trotzdem nur eine Unbekannte durch die Selbstkalibrierung bestimmt werden kann ist das Ergebnis bemerkenswert. Die Se rienimpedanz z tritt in (34) überhaupt nicht in Erscheinung. Sie wird lediglich zur Erzeugung unterschiedlicher vier Standards benötigt und beeinflußt das Ergebnis nur insofern, als numerische Probleme auftreten können, wenn die Standards aufgrund einer ungeschickten Wahl von z zu ähnlich sind.

Ist die Querimpedanz u₁ bekannt, so liefert (34) unmittelbar das fehlerkorrigierte Ergebnis von u₂. Lediglich das Vorzeichen ist aufgrund der Wurzel unbestimmt.

Selbstkalibrierverfahren mit drei Impedanzen in T-Schaltung

Ein zur PI-Selbstkalibrierung duales Verfahren ergibt sich durch Anordnen der Impedanzen in einer T-Schaltung. Zur Kali brierung soll in diesem Fall mit den vier in Fig. 4 gezeig ten Standards 16 bis 19 und deren Kettenmatrizen

gearbeitet werden, was mit (33) zu den Selbstkalibrier gleichungen

führt. Auch diese sind abhängig und zeigen zu (34) duales Verhalten.

Ist die Serienimpedanz z₁ bekannt, so liefert (36) unmittel bar das fehlerkorrigierte Ergebnis von z₂. Lediglich das Vorzeichen ist aufgrund der Wurzel unbestimmt.

Selbstkalibrierverfahren mit drei Impedanzen in L-, T- und L-Schaltung

Haben die oben beschriebenen noch den Nachteil der Vorzei chenunsicherheit bei der Bestimmung des unbekannten Parame ters, so erlaubt das folgende Verfahren die unmittelbare Bestimmung des Meßobjektes ohne Einschränkungen. Zur Kali brierung sollen die vier Standards 20 bis 23 gemäß Fig. 5 mit ihren Kettenmatrizen

benutzt werden. Die sich ergebenden Selbstkalibrier gleichungen lauten

die wiederum zu einer nützlichen Gleichung entarten, wodurch nur eine Unbekannte bestimmt werden kann.

Bei diesem Verfahren liefert die Spurgleichung direkt das Verhältnis des gesuchten Widerstandes (z. B. z₂) zu der bekannten Impedanz (z₁).

Selbstkalibrierverfahren mit fünf Standards

Hat man mit S_i, S_j, S_k und S_l vier Kalibrierstandards mit den zugehörigen Meßwertmatrizen M_i, M_j, M_k und M_l, so liefert (16) eine Ähnlichkeitstransformation, deren Spur- und Determinan tenäquivalenz (17) zwei Gleichungen zur Bestimmung von zwei Unbekannten liefert.

Nimmt man einen fünften Standard S_m mit Meßwertmatrix M_m hinzu, so lassen sich zwei weitere, unabhängige Ähnlichkeitstransformationen erzeugen, indem zunächst S_i und M_i durch S_m und M_m ersetzt werden

wodurch sich zwei weitere Gleichungen

ergeben. Als nächstes ersetzt man in (3.6) S_j und M_j durch S_m und M_m

wodurch zwei weitere Beziehungen zwischen den Meßwerten und den Parametern der Standards entstehen.

Mit (17), (40) und (41) stehen somit sechs Gleichungen zur Verfügung, mit denen sich maximal fünf Streuparameter der fünf Kalibrierstandards berechnen lassen.

Fünf Unbekannte stellen bei fünf Kalibrierstandards das Maximum der durch die Selbstkalibrierung berechenbaren Parameter dar, da die insgesamt 20 zur Verfügung stehenden Kalibriergleichungen einen Rangabfall von 5 aufweisen. Bei vier Standards beträgt der Rangabfall gerade 2, weshalb in diesen Fällen nur zwei Unbekannte berechenbar sind.

Claims

1. Verfahren zur Kalibrierung eines zwei Meßtore (1, 2) und vier Meßstellen (m₁, m₂, m₃, m₄) aufweisenden vektoriellen Netzwerkanalysators (VNA),
bei dem anstelle des Meßobjektes (DUT) nacheinander in beliebiger Reihenfolge mehrere Kalibrierstandards (4) mit den beiden Meßtoren (1, 2) verbunden werden und aus den hierbei gewonnenen Meßwerten Fehlerkorrekturdaten bestimmt werden, die bei einer anschließenden Objektmessung zur Systemfehlerkorrektur benutzt werden, dadurch gekennzeichnet, daß
für eine Meßanordnung, bei der die Verbindung zwischen den Meßtoren (1, 2) und dem Meßobjekt (DUT) bzw. den Kalibrier standards (4) als reziprokes Viertornetzwerk (3) darstell bar ist,
nur vier Kalibriermessungen an vier beliebigen, unter schiedlichen Kalibrierstandards durchgeführt werden, wobei mindestens einer der Kalibrierstandards Transmission aufweist und mindestens einer der Kalibrierstandards reziprok ist,
und aus den ermittelten Meßwerten nach dem 15-Term Fehler modell unter Berücksichtigung der Reziprozität des Viertor netzwerkes (3) die Fehlerkorrekturwerte in geschlossener Form berechnet werden (einstufiges 11-Term Verfahren).

2. Verfahren nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß der Netzwerkanalysator nach einem bekannten Kalibrierverfahren und erst dann gemäß dem Verfahren nach Anspruch 1 kalibriert wird und aus den so ermittelten Fehlerkorrekturdaten die physikalischen Parameter des Viertornetzwerkes (3) vollständig und in geschlossener Form berechnet werden (zweistufiges 11-Term Verfahren).

3. Verfahren nach Anspruch 1 oder 2 dadurch gekennzeichnet, daß die Meßtore (1, 2) mit dem Meßobjekt (DUT) bzw. den Kalibrierstandards (4) über das als reziprokes Viertornetzwerk (3) darstellbare Meß spitzen-Meßsystem eines Wafer-Probers verbunden sind.

4. Verfahren nach Anspruch 1, 2 oder 3 dadurch gekennzeichnet, daß von den vier Kalibrier standards alle 16 Parameter vollständig bekannt sind.

5. Verfahren nach Anspruch 1, 2 oder 3 dadurch gekennzeichnet, daß von den durch die vier Kalibrierstandards gegebenen 16 Parameter maximal zwei unbekannt sein dürfen und diese durch eine Ähnlichkeits transformation (Formeln 16, 17) aus den gemessenen Werten der Kalibrierstandards berechnet werden können.

6. Verfahren nach Anspruch 5 dadurch gekennzeichnet, daß in zwei weiteren Schritten jeweils einer der vier Standards durch einen fünften Stan dard ersetzt wird, die Ähnlichkeitstransformation (Formel 16) dreimal angewendet wird und mit den dadurch zur Verfü gung stehenden sechs Gleichungen (Formel 17, 40 und 41) maximal fünf unbekannte Parameter der fünf Standards berechnet werden können.

7. Verfahren nach Anspruch 5, dadurch gekennzeichnet, daß
zur Kalibrierung eine Leitung der Systemimpedanz Z₀ (8), zwei Reflexionsstandards (10), die unsymmetrisch sein dürfen und von deren Reflexionsfaktoren maximal drei auch Null sein können, und ein beliebiger Netzwerkstandard (6) verwendet werden,
wobei zwei, der in den Kalibrierstandards vorhandenen 9 Parameter unbekannt sein dürfen.

8. Verfahren nach Anspruch 5, dadurch gekennzeichnet, daß
zur Kalibrierung eine Leitung der Systemimpedanz Z₀ (8), zwei Reflexionsstandards (10), die unsymmetrisch sein dürfen und von deren Reflexionsfaktoren maximal drei auch Null sein können, und ein reziproker und symmetrischer Netzwerkstandard (7) verwendet werden,
wobei der Reflexionsfaktor und der Transmissionsfaktor des Netzwerkstandards (7) unbekannt sind (LMRN-Selbstkalibrierverfahren).

9. Verfahren nach Anspruch 5, dadurch gekennzeichnet, daß
zur Kalibrierung eine Leitung der Systemimpedanz Z₀ (8 und drei Reflexionseintore mit den Reflexionsfaktoren in, g und r verwendet werden,
wobei diese Reflexionseintore durch zyklisches Vertauschen zu drei Kalibrierzweitoren (11) mit den Reflexionsfaktoren mq, rm und gr kombiniert werden,
und zwei der drei Reflexionsfaktoren in, g und r unbekannt sein dürfen (Lmrg-Selbstkalibrierverfahren).

10. Verfahren nach Anspruch 7, 8 oder 9, dadurch gekennzeichnet, daß die Leitung (8) eine Durchverbindung (T) ist.

11. Verfahren nach Anspruch 5, dadurch gekennzeichnet, daß
zur Kalibrierung ein beliebige Netzwerkstandard (6) mit Transmission und drei unterschiedliche Reflexionszweitore (10), die auch unsymmetrisch sein dürfen, verwendet werden,
wobei zwei, der in den Kalibrierstandards vorhandenen 10 Parameter unbekannt sein dürfen.

12. Verfahren nach Anspruch 5, dadurch gekennzeichnet, daß
zur Kalibrierung ein reziproker und symmetrischer Netz werkstandard (7) und drei unterschiedliche Reflexionszwei tore (10), die auch unsymmetrisch sein dürfen, verwendet werden,
wobei der Reflexionsfaktor und der Transmissionsfaktor des Netzwerkstandards unbekannt sind (NMRG-Selbstkalibrierverfahren).

13. Verfahren nach Anspruch 5, dadurch gekennzeichnet, daß
zur Kalibrierung ein reziproker und symmetrischer Netz werkstandard (7), ein idealer Leerlaufstandard sowie zwei weitere unterschiedliche Reflexionszweitore (10), die auch unsymmetrisch sein dürfen, verwendet werden,
wobei der Reflexionsfaktor und der Transmissionsfaktor des Netzwerkstandards unbekannt sind (NORM-Selbstkalibrierverfahren).

14. Verfahren nach Anspruch 5, dadurch gekennzeichnet, daß
zur Kalibrierung ein reziproker und symmetrischer Netz werkstandard (7) und drei Reflexionseintore mit den Reflexionsfaktoren in, g und r verwendet werden,
diese Reflexionseintore durch zyklisches Vertauschen zu drei Kalibrierzweitoren (11) mit den Reflexionsfaktoren mg, rm und gr kombiniert werden,
und der Reflexionsfaktor und der Transmissionsfaktor des Netzwerkstandards unbekannt sind (Nmrg-Selbstkalibrierverfahren).

15. Verfahren nach Anspruch 5, dadurch gekennzeichnet, daß
zur Kalibrierung ein reziproker und symmetrischer Netz werkstandard (7) und drei Reflexionseintore mit den Reflexionsfaktoren in, g und r verwendet werden,
diese Reflexionseintore durch zyklisches Vertauschen zu drei Kalibrierzweitoren (11) mit den Reflexionsfaktoren mg, rm und gr kombiniert werden,
wobei der Netzwerkstandard (7) bekannt ist und zwei der drei Reflexionsfaktoren in, g und r unbekannt sind (Nmrg-Selbstkalibrierverfahren).

16. Verfahren nach Anspruch 5, dadurch gekennzeichnet, daß
zur Kalibrierung zwei Querimpedanzen (12, 13), eine Längs impedanz (14) und die PI-Schaltung (15) dieser drei Impedanzen verwendet wird,
wobei eine der beiden Querimpedanzen unbekannt sein darf und im Rahmen der Selbstkalibrierung berechnet wird.

17. Verfahren nach Anspruch 5, dadurch gekennzeichnet, daß
zur Kalibrierung zwei Längsimpedanzen (16, 17), eine Quer impedanz (18) und die T-Schaltung (19) dieser drei Impedanzen verwendet wird,
wobei eine der beiden Längsimpedanzen unbekannt sein darf und im Rahmen der Selbstkalibrierung berechnet wird.

18. Verfahren nach Anspruch 5, dadurch gekennzeichnet, daß
zur Kalibrierung zwei Längsimpedanzen (16, 17), eine Querimpedanz (18) und die T-Schaltung dieser drei Impedanzen verwendet werden,
der 1. Standard aus der L-Schaltung (20) der Querimpedanz u und den Längsimpedanzen besteht und die Querimpedanz am einen Tor des Standards angebracht ist,
der 2. Standard aus der T-Schaltung (21) der drei Impedan zen besteht,
als 3. Standard der 1. Standard mit vertauschten Toren verwendet wird (22)
und als 4. Standard eine der Impedanzen (23) benutzt wird, wobei die Reihenfolge der Kalibrierstandards beliebig ist,
und eine der beiden Längsimpedanzen unbekannt sein darf und im Rahmen der Selbstkalibrierung berechnet wird,
und diese Berechnung auch dann noch möglich ist, wenn auch die Querimpedanz u unbekannt ist.