DE1528730C3

DE1528730C3 -

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Publication number: DE1528730C3
Application number: DE19661528730
Authority: DE
Priority date: 1965-03-03
Filing date: 1966-03-03
Publication date: 1976-02-05

Description

^a®

= V_r

dV_r V_r- cotg/V —p¹ +

2d/V dr

ist.

2. Verfahren nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß der Schaufelwinkel /V an einem beliebigen Punkt der Schaufel mit dem Zentrier-

winkel©.,, in

) — > veränderbar ist.

I/)'/ I/· und der Resultierenden «©der vier das flüssige Arbeitsmittel im Laufrad beeinflussenden Beschleunigungskomponenten graduell veränderbar ist, wobei die Resultierende

Die Erfindung betrifft ein Verfahren zur Bestimmung des Schaufelprofils bei Radiallaufrädern flüssigkeitsbeaufschlagter Kreise'maschinen.

Es ist bereits ein Verfahren zum berechnen von Schaufeln der Laufräder von Kreiselpumpen bekannt, bei dem der Schaufelwinkel β über die ganze Strecke zwischen Einlaß und Auslaß unter Berücksichtigung eines konstanten Verhältnisses Aß/Ar, graduell vergrößerbar oder verkleinerbar ist (»Kreiselpumpen« von Pfleiderer, 4. Auflage, S. 221—226, 228 und 259).

Jedoch genügt diese Maßnahme allein nicht zur Lösung der der Anmeldung zugrunde liegenden Aufgabe, einen höchstmöglichen Wirkungsgrad der Ener-. gieübertragrung von der Laufschaufel auf die Flüssigkeit zu erreichen.

Hierzu ist es vielmehr noch erforderlich, daß die im Laufrad auf die Flüssigkeit neben dem an sich bekannten konstanten Verhältnis Aß/Ar wirkenden vier Umfangsbeschleunigungen bei der Berechnung der Schaufelwinkel in den Laufrädern der Kreiselmaschinen berücksichtigt werden, um eine allmähliche Vergrößerung oder Verkleinerung der Schaufelwinkel über die ganze Strecke zwischen Einlaß und Auslaß zu erreichen.

Der Nachteil bei der mit den bekannten Methoden bezeichneten Laufschaufelabmessungen besteht darin, daß die auf die Laufschaufel durch das Medium übertragene Energie auf der Strecke vom Einlaß zum Auslaß der Laufschaufeln in weiten Grenzen schwankt, so daß sich der Energierverlust infolge örtlich abweichender oder gegenläufiger Strömungen des Mediums zwischen den Laufschaufeln vergrößert.

Die der Erfindung zugrunde liegende Aufgabe besteht darin, einen höchstmöglichen Wirkungsgrad der Energieübertragung von der Laufschaufel auf die Flüssigkeit zu erreichen.

Zur Lösung dieser Aufgabe ist erfindungsgemäß vorgesehen, daß der Schaufelwinkel β über die ganze Strecke zwischen Einlaß und Auslaß unter Berücksichtigung des an sich bekannten Verhältnisses von a® =

dV 2άιί

+ V_r ■ <>>' - V_r ■ cotg · β -— + w —

In weiterer Ausbildung des Verfahrens ist der Schaufelwinkel β an einem beliebigen Punkt der

Schaufel mit dem Zentnerwinkel ©_x in

veränderbar.

Das erfindungsgemäße Verfahren ermöglicht eine graduelle Vergrößerung oder Verkleinerung des Flügelwinkels über die ganze Strecke zwischen Einlaß und Auslaß. Damit kann die Leistung einer Kreiselmaschine mit einem flüssigen Arbeitsmittel beträchtlich gesteigert werden.

Durch erfindungsgemäße graduelle Vergrößerung oder Verkleinerung des Winkels β unter Berücksichtigung der Beziehungen a@=k (d/V/dr) und a© = α®, + β®, + a©₃ + α©₄ kann man eine sehr hohe Energie-Ubertragungsleistung im Rahmen des Möglichen erzielen, wobei der Energieübertragungswert zwischen Flügel und Flüssigkeit harmonisch über die Strecke zwischen Einlaß und Auslaß verläuft. Die Erfindung wird nachfolgend an Hand eines in der Zeichnung dargestellten Ausführungsbeispiels näher beschrieben. In der Zeichnung zeigt

F i g. 1 eine Beziehung zwischen dem realtiven und dem absoluten Durchlaß im Inneren eines Flügelrades,

F i g. 2 ein Geschwindigkeitsdreieck für die Strömungsgeschwindigkeit in einem Flügelrad,

F i g. 3 Geschwindigkeitsdreiecke, gebildet aus den Punkten r und r + Ar,

F i g. 4 ein Diagramm eines einfachen Bogenflügels, welcher sich von /V₁ = 17 Grad auf /V₂ = 25 Grad ändert,

F i g. 5 ein Diagramm eines einfachen Bogenflügels, welcher sich von/V₁ = 25 Grad auf/V₂ = 17 Grad ändert,

F i g. 6 ein Diagramm eines aus zwei Bogen bestehenden Flügels, welcher sich von /V₁ = 17 Grad auf /V₂ = 25 Grad ändert,

F i g. 7 ein Diagramm, welches die Beziehung tan /V = . I r/r !©darstellt,

F i g. 8 eine Darstellung mit den o-Werten der Wölbung eines Flügels,

F i g. 9 eine vergleichende Darstellung von Flügelprofilen bei /V₁ = 17 Grad und /V₂ = 25 Grad; hierbei ist 1 ein einfacher Bogen, 2 ein zweifach zusammengesetzter Bogen, 3 ein Bogen nach dem erfindungsgemäßen Verfahren.

Fig. 10 eine vergleichende Darstellung von Flügelprofilen bei ß_x = 25 Grad und /V₂ = 17 Grad; hierbei ist 4 ein einfacher Bogen, 5 ein Bogen nach dem erfindungsgemäßen Verfahren,

Fig. 11 eine vergleichende Darstellung von Flügelprofilen zwischen einer graduellen Vergrößerung und einer graduellen Verkleinerung eines Flügelwinkels. Im folgenden wird die Ubertragungswirkung der Energie zwischen dem Flügel und der Flüssigkeit näher beschrieben. Um die Energie zwischen dem Flügel und der Flüssigkeit zu verändern, ist es er-

forderlich, eine Beschleunigung α zu erzeugen entlang einer Umfangslinie, wie dargestellt in der Gleichung des zweiten dynamischen Gesetzes von Newton, d. h., die zugeführte Energie ist proportional der dadurch erhaltenen Beschleunigung.

In einer Kreiselpumpe ist eine Beschleunigung entlang einer Umfangslinie der Flüssigkeit durch den Flügel gegeben. Die Flüssigkeit wird nach außen gedrückt, während in einer Wasserturbine eine Beschleunigungskraft entlang einer Umfangslinie durch den Durchtritt der Flüssigkeit von außen nach innen entsteht und damit dem Flügelrad eine Rotationskraft verliehen wird.

Der Ubertragungswert der Energie ist also an einem beliebigen Punkt zwischen den Flügeln proportional einer Beschleunigung v₀ entlang einer Umfangslinie, welche der Flüssigkeit zwischen diesen gegeben wird.

Im folgenden wird eine Betrachtung über das Geschwindigkeitsdreieck der Flüssigkeitsströmung innerhalb des Flügelrades durchgeführt.

Um an Hand eines Geschwindigkeitsdreiecks darzustellen, wie eine Beschleunigung entlang einer Umfangslinie für die Flüssigkeit innerhalb eines rotierenden Flügelrades entsteht, wird in einem Beispiel ein Geschwindigkeitsdreieck darstellt. Wenn der relative Weg einer Flüssigkeit innerhalb eines rotierenden Flügelrades von S₁ nach S₂ verläuft, so ist gemäß F i g. 1 der absolute Weg: S₁ nach S₂'.

Eine Umfangsgeschwindigkeit (absolut) des Flügelrades an einem beliebigen Punkt S innerhalb des Flügelrades besitzt den Vektor u und eine relative Geschwindigkeit der Flüssigkeit den Vektor w. Ein absoluter Geschwindigkeitsvektor υ der Flüssigkeit ist definiert als eine Diagonale eines Parallelogramms mit den beiden Seiten u und w gemäß Fig. 1.

Gewöhnlich stellt man die Beziehung zwischen den drei Vektoren u, w und υ mit einem Geschwindigkeitsdreieck ar (F i g. 2) an Stelle der beiden Seiten und der Diagonale eines Parallelogramms.

Bezeichnet man den Winkel eines Flügels mit ß, ist der Vektor ν der resultierende Vektor von u und w, und es ergibt sich der Winkel a · v@, und v_r sind Umfangs- und Radialkomponenten von v. Hierbei ist du©/dt die Beschleunigung a© entlang einer Umfangslinie.

Es ergeben sich folgende vier Faktoren für die Beschleunigung α© entlang einer Umfangslinie.

1. Die Komponente 0(OL₁ für die Verschiebung der Flüssigkeit entlang einer radialen Richtung.

a) u vergrößert sich von r · w auf (r + ar) w (s. Fig. 3);

b) damit läßt sich für a@__l folgende Gleichung aufstellen:

= co ■ v_r

(D

b) a@L₂ - {(r + dr) W₂ - r ■ o>[}dt = Μ ■ dr/dr = «/ · v_r.

(2)

a) Vergrößert sich v_r, vergrößert sich ebenfalls v_r cot ß, und r · w' verkleinert sich (F i g. 2)

a®_₃ = + (rdo//di) = -(di;_rcot/;/di)
= -Ic₁(OvJdI). (3)

b) dvjdt zeigt gewöhnlich einen negativen Wert; jedoch in Fall a©_₃ ist dieser positiv.

4. Die Komponente a©_₄ für den Wechsel den Winkel β

a) vergrößert sich der Winkel ß, verkleinert sich v_rcot(i, und r· w' vergrößert sich entsprechend (F i g. 2)

15

20

α®_₄ = u_r{cot(/f-
= Ic₂ dß/dr.

Damit ist die resultierende Beschleunigung entlang der Umfangsrichtung in der Schaufel

= a©_₁

a©_₂

a©_

Für ideale Verhältnisse einer Energieübertragung zwischen Flügel und Flüssigkeit und für rein hydrodynamische Verhältnisse ohne Reibungsverlust usw., wird ein Gleichgewicht des Ubertragungswertes für die Energie über das gesamte Gebiet vom Einlaß zum Auslaß angenommen.

i. Wie in den Gleichungen (1) bis (4) dargestellt, wirken folgende fünf Faktoren auf den Wert a :

ω, m', v_r, dvjdr und dß/dr,

a) die Winkelgeschwindigkeit des Flügelrades wird konstant,

b) W ist abhängig von v_r und cot/; (F i g. 2), c) die Geschwindigkeitskomponente v_r der

Flüssigkeit entlang der radialen Richtung ist durch folgende Gleichung bestimmt:

2. Die Komponente a©_₂ durch Vergrößerung der Winkelgeschwindigkeit o> der Flüssigkeit.

a) Nur w vergrößert sich in F i g. 2;

v_r = Q/7iDxbx. (6)

(Der Einfluß der Flügeldicke t wird vernachlässigt.)

hierbei bedeutet Q den Pumpbetrag pro Stunde, Dx ist der Durchmesser an einem beliebigen Punkt, bx ist die Flügelweite an einem beliebigen Punkt.

Um den Wert v_r über die ganze Strecke vom Einlaß bis zum Auslaß in vernünftigen Werten zu halten, wird die Flügelweite b über die ganze Strecke vom Einlaß bis zum Auslaß näherungsweise variiert.

d) Die Kontrolle von dvjdr geschieht in derselben Weise.

e) Zur zahlenmäßigen Messung des Ausgleichs des Wertes dß/dr werden die graduelle Vergrößerung, der konstante Wert und die graduelle Verkleinerung betrachtet.

ii. Innerhalb der fünf Faktoren ist die zahlenmäßige Messung zur Kontrolle von dß/dr ein schwieriges Problem.

55

3. Die Komponente a©_3 für den Wechsel der Geschwindigkeitskomponente v_r der Flüssigkeit entlang der radialen Richtung.

a) Der Flügel, dessen dß/dr konstant ist, ist als logarithmische Spirale bekannt.

b) Die Erfindung bezieht sich auf ein Verfahren zur Bestimmung des Schau fei pro fils bei Radiallaufrädern für einen Flügel bei sicherer gradueller Vergrößerung oder Verkleinerung von dß/dr.

Es ist bereits ein Verfahren bekannt für Flügel in Form eines Bogens, nach der Beziehung /> = tan~' ( Ir/. Ir·®).

Die Merkmale der Bogenflügel sind, daß sie aus einem einfachen oder zwei oder mehr Bogen bestehen.

a) Bei einem Bogenflügel ist es unvermeidlich, daß ein Zwischenwinkel wesentlich größer ist im Vergleich zum Bogeneinlaß oder Auslaß.

i. Ein Beispiel für die wechselnden Winkelgrößen, wobei Auslaßwinkel ft, größer als Einlaß winkel ft oder ft, kleiner als ft ist, ist in F i g. 4 oder 5 dargestellt.

ii. In F i g. 4 und 5 sind die Zwischenwinkel größer als die Winkel ft und ft.

b) Die Flügel haben mehr als zwei Bögen; da sich der Winkel β bereits bei einem einfachen Bogenflügel mit dem Verhältnis des Flügelaußendurchmessers zum Flügelinnendurchmesser stark vergrößert, entsteht hierbei ein irrationaler Wert. Zur Vermeidung dieses Problems wird ein Flügel mit mehr als zwei Bögen benötigt.

i. Der Wendewinkel für einen Flügel, welcher für Werte zwischen ft = 17° und ft, = 25° entworfen wurde, liegt nach F i g. 6 bei ß„, = 22^C.
ii. Im Vergleich dazu sind die Winkel bei einfachen Bögen wesentlich größer als bei ft = 17° und ft„ = 22° oder ft„ = 22° und ß₂ = 25° entsprechend dem vorliegenden Fall.

iii. Der maximale Wert für Zwischenwinkel des Flügels wird kleiner als jener bei einem einfachen Bogen, jedoch bleibt die Vergrößerung oder die Verkleinerung des Winkels erhalten.

iv. Weitere Nachteile entstehen auch bei einem zusammengesetzten Flügel mit mehr als zwei Bögen nach einer Methode, welche die Änderung der Flügelwinkel auf ungenügende Weise zu realisieren versucht.

Ein weiteres Verfahren ist in F i g. 7 dargestellt bei einem Flügelprofil mit tan β = (. Ir/r ■ /1©).

a) Die Zeichenmethode für den Flügel; der Einlaß mit dem Radius r, liege in F i g. 7 bei dem Punkt a.

Es werden Radiuslinien Oa, Ob, Oc, Od ... gezogen, jeweils mit dem Zentriwinkel I© (18° im vorliegenden Beispiel), wobei die Radiuslinie Oa die Basis bildet.

Tabelle 1

Beziehung zwischen Winkel β und r

entsprechend β — tan"¹ (. Ir/r ■ d@)

(bei gradueller Vergrößerung des Winkels ß)

Zentriwinkel® 0 18 36 54 72 des Flügels
(in Grad)
Flügelwinkel β
ίο (in Grad)
Radius r (mm)

Zentriwinkel ©
des Flügels
(in Grad)
Flügelwinkel β
(in Grad)
Radius r (mm)

17

34,0

90

18 19 20 21 37,27 41,08 45,52 50,72 126 144 162

108

22 21 24 25 26

56,84 64,05 72,57 82,7 94,8 Tabelle 2

Beziehung zwischen Winkel β und r im Falle gradueller Vergrößerung des Winkels β

Zentriwinkel 0 18 36 54

(in Grad)

Flügelwinkel β 17 18 19 20

(in Grad)
Radius r (mm) 34,0 37,4 41,6 46,6

Zentriwinkel 72 90 108 126 144

© des Flügels
(in Grad) "

Flügel winkel β 21 22 23 24 25 (in Grad)
Radius r (mm)

52,35 59,3 67,1 77,45 89,5

a) Hierbei ist folgendes zu beachten:

i. Die Berechnung wird η-mal fortgesetzt bis die folgende Gleichung durch Berechnung von /Ir nach und nach erfüllt ist (« ist nicht begrenzt):

= h

50

i. Ar wird nach folgender Gleichung berechnet, wobei sich die Punkte b, c, d ... nach und nach bestimmen lassen. iii.

Ir ist unbekannt (durch Rechnung ermittelt), so daß η ebenfalls nicht vorhanden ist. Weiterhin, wenn β und eine graduelle Vergrößerung oder Verkleinerung des Winkels in konstantem Verhältnis angenommen wird, kann der erhaltene Winkel ß₂ nicht mit dem gewünschten Winkel (i₂ übereinstimmen.

Zur exakten Bestimmung ist folgende Gleichung erforderlich; da jedoch Ar unbekannt ist, bleibt r_r + 1 ebenfalls unbekannt:

ii. Der Flügelwinkel am Punkt α ist ft. Die weiteren Winkel ß_x an den Punkten b, c, d ... ergeben sich zu

ft i.lftft ±zAß.

b) Ein rechnerisches Beispiel !angenommen, der Durchmesser des Flügeleinlasses sei 68 mm und ft = 17" und vergrößere sich je 18' Zentriwinkel um einen weiteren Grad; dann ergibt sich das rechnerische Ergebnis gemäß nachfolucnder Tabelle.

,Ir

tan

L) = I^

r_x+\)

iv.

Wie dargestellt, ist diese Methode nicht in der Lage, die Gleichung α ©₄ = k₂ (dß/dr) zu erfüllen, weiche für die Beziehung

erforderlich ist.

Das Verfahren nach der Erfindung wird nachfolgend näher beschrieben:

Die Flügelform ist hierbei derartig ausgebildet, daß der Flügelwinkel am Punkt des Zentriwinkels gleich

ist "

/V₁ ± (© m).

Die Größe in kennzeichnet hierbei das Verhältnis \©;\[l, wobei der Schaufel winkel [I den Wert l/< entsprechend der Änderung des Winkels 1© des Zentriwinkels © verändert.

A. Die theoretische Gleichung zur Bestimmung der Flügelform

Nach der Erfindung kann sich [I_x in Gleichung (7) folgendermaßen ändern:

ti χ = l'i ±

(8)

20

Weiterhin

tan

ar

dr

/ ©Λ
an ([I₁ ± ^- = V in J r

= tan(_A±%)dr.

Nach Integration obiger Gleichung:

logQr_x = Tmloge cos ([I₁ ± j +C.

Vergrößert sich Winkel [I graduell, ergibt sich

35

40

45

Bei gradueller Verkleidung von [i ergibt sich

r, = C-cos™ (ft -%■)■

(10)

Durch graduelle Vergrößerung oder Verkleinerung des Winkels [I um 1° während der Variation in dem Flügelkontrollwinkel durch m Grad und geeignete , Wahl von c ist es nach den Gleichungen (9) und (10) möglich, den Flügelwinkel vom Einlaß Ji_x bis zum Auslaß [I₂ zu ändern.

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B. Die Flügclform gemäß der Erfindung

a) Die Radien der «/-Werte an jedem Punkt des Flügels. Eine Länge d.v des Flügels wird durch folgende Gleichung dargestellt (Fig. 8):

(12)

Aus den Gleichungen (11) und (12) läßt sich folgende Gleichung für den Wert« bestimmen:

0 = r ■ sec [I

(13)

b) Die Werte, d.h. die Werte für die Wölbung des Flügels im vorliegenden Fall, können sich ändern gemäß

Der Außenwinkel eines Dreiecks lautetet

(14)

Gemäß F i g. 8 ist Λ auch

(15)

Mit den Gleichungen (14) und (15) ergibt sich

(16)

Setzt man die Gleichung (16) in die Gleichung (13) ein, folgt ■

m± 1

■ r ■ see f'n .

(17)

as = ο ■

¹V ·

(Ml ist hierbei proportional dem Produkt des Radius /· und sec [I.

Der Radius des «-Wertes differiert in jedem Punkt des Flügels, auch bei gradueller Vergrößerung oder Verkleinerung, da r und [I an jedem Punkt des Flügels vollständig verschieden sind.

c) Der Mittelpunkt des Radius der Auswölbung. Der Winkel [I zwischen der Richtung der Mittellinie und einer Radiallinie wird durch Gleichung (8) dargestellt.

Der Mittelpunkt des Bogcns an jedem Punkt des Flügels ist vollständig verschieden und wechselt graduell.

C. Rechnerische Werte

Ein Flügelrad mit 68 mm Durchmesser am Einlaß und 179 mm am Auslaß ist bei gradueller Vergrößerung von /;, = 17 Grad auf [I₁ = 25 Grad und Verkleinerung von /;, = 25 Grad auf [I₁= 17 Grad dargestellt.

509 526/153

a) Die Beziehung zwischen dem Winkel β und r ist in Tabelle 2 dargestellt. Ein Flügelprofil nach F i g. 9 und Profilen nach F i g. 4 und 6 werden verglichen, besonders im Falle gradueller Vergrößerung des Winkels ß.

b) Im Falle gradueller Verkleinerung des Winkels [1 ist die Beziehung zwischen dem Winkel [I und r in Tabelle 3 dargestellt. Ein Flügelprofil nach Fig. 10c wird verglichen mit dem nach F i g. 5 c.

c) Der Unterschied zwischen den Profilen des Flügels mit gradueller Vergrößerung von [I₁ = 17 Grad auf ji₂ = 25 Grad und gradueller Verkleinerung von [\ = 25 Grad auf ß₂ = 17 Grad ist in F i g. 11 dargestellt.

d) Die Differenz in der Dimension zwischen der Flügelgröße (Tabelle 1) nach der Beziehung [I = tan"¹ ( I r/r ■ I©) für wechselnde Winkel/i und der Flügelgröße (Tabelle 2) gemäß der Erfindung ist die Tabelle 4 dargestellt.

Tabelle 3

Beziehung zwischen Winkel β und r
bei gradueller Verringerung des Winkels β

Zentriwinkel 0	18	36 54
© des Flügels
(in Grad)
Flügelwinkel β 25	24	23 22
(in Grad)
Radius (mm) 34,0	39,25	45,0 51,25
Zentriwinkel 72	90	108 126 144
(h) des Flügels
(in Grad)
Flügel winkel fi 21	20	19 18 17
(in Grad)
Radius (mm) 58,0	65,2	72,8 81,0 89,5

ίο

Tabelle 4
Vergleich zwischen r in Tabellen 1 und 3

0 18 36 54 72

Zentriwinkel
(B) des Flügels
(in Grad) "

Flügelwinkel /;
(in Grad)
Radius (mm)
Tabelle 1

Tabelle 2

Zentriwinkel
(η) des Flügels
(in Grad) "
Flügelwinkel β
(in Grad)
Radius (mm)
Tabelle 1
Tabelle 2

17

34,0
34,0

19

20 21

37,27 41,08 45,52 50,72 37,4 41,6 52,35 52,35

90 108 126 144 162

22 23 24 25 26

56,84 64,05 72,57 82,7 94,1
59,3 67,1 77,45 89,5 —

i. Werte, welche gleich sind, besitzen gleiches r_t und r₂; Ji₁ und ß₂ sind ebenfalls gleich.

ii. Durch Substitution der Gleichung (T) für die Gleichung (7), Verkleinerung von , !©und wiederholter Rechnung mit angenäherten Werten erreichen die Werte in Tabelle 1 jene in Tabelle 2; jedoch ist es unmöglich, daß r₂ und ß₂ gleichzeitig übereinstimmen mit den Werten von Tabelle 2.

iii. Es ist selbst durch Gleichungen (7) und (7') unmöglich, den gewünschten Wert ß₂ am Punkt r₂ durch graduelle Veränderung in einem konstanten Verhältnis zu erzielen.

Die Angabe für die Flügelform, wie in Tabellen 2 und 3 dargestellt, wird durch den Zentriwinkel © und den Radius r bestimmt.

Hierzu 5 Blatt Zeichnungen

Claims

Patentansprüche:

1. Verfahren zur Bestimmung des Schaufelprofils bei Radiallaufrädern flüssigkeitsbeaufschlagter Kreiselmaschinen, dadurch gekennzeichnet, daß der Schaufelwinkel/) über die ganze Strecke zwischen Einlaß und Auslaß unter Berücksichtigung des an sich bekannten konstanten Verhältnisses von Aß/Ar und der Resultierenden a@ der vier das flüssige Arbeitsmittel im Laufrad beeinflussenden Beschleunigungskomponenten graduell veränderbar ist, wobei die Resultierende