DE1079866B

DE1079866B - Elektrischer Analogrechner

Info

Publication number: DE1079866B
Application number: DES35404A
Authority: DE
Inventors: Gerhard Liebmann
Original assignee: SUNVIC CONTROLS Ltd
Current assignee: SUNVIC CONTROLS Ltd
Priority date: 1952-08-28
Filing date: 1953-09-23
Publication date: 1960-04-14
Also published as: DE1079865B; US2846141A; FR1086969A; FR66028E; GB757783A; US2884193A; US2857099A; GB754113A; GB754114A

Description

Die Erfindung betrifft elektrische Analogrechner für die Lösung von partiellen Differentialgleichungen.

Um diese Gleichungen zu lösen, können sie durch entsprechende Gleichungen in endlicher Differenzform ersetzt werden, in denen Operatoren δ χ und by durch endliche Inkremente δ χ und by ersetzt werden. Die Lösung der endlichen Differenzgleichung ergibt eine starke Annäherung der Lösung der partiellen Differentialgleichung. In der Zeitschrift »British Journal of applied physics«, Bd. 1, S. 92, 1950, ist eine ίο elektrische Scheinwiderstands-Schaltanordnung beschrieben, die in der Lage ist, eine Differenzgleichung zu lösen, die einer Differentialgleichung zweiter Ordnung entspricht. Eine solche Schaltanordnung enthält ein Netzwerk mit einer Anzahl von Verbindungspunkten, die der räumlichen Lage von Punkten der Differenzgleichung entsprechen. Die relativen Größen der Scheinwiderstände hängen von der Form der Gleichung ab. Den Knotenpunkten des Netzwerks werden Ströme zugeführt, die den Ausdrücken der Gleichung entsprechen. Den Grenzknotenpunkten der Schaltung werden Spannungen zugeführt, welche die Grenzbedingungen darstellen. Die an den Knotenpunkten auftretenden Spannungen entsprechen der Lösung der Gleichung.

Bei vielen technischen Problemen treten partielle Differentialgleichungen vierter Ordnung auf. Beispiele für solche Probleme sind unter anderem die Spannungsverteilungen in einem Körper auf Grund von außen angreifenden Kräften oder auf Grund der thermischen Ausdehnung oder der Zentrifugalkräfte bei einem umlaufenden Körper oder schließlich beim Biegen von Platten. Bei all diesen Problemen sind die Grenzbedingungen gegeben. Es ist bisher praktisch nicht durchführbar gewesen, derartige Probleme durch eine elektrische Schaltungsanordnung zu lösen.

Gemäß der Erfindung werden partielle Differentialgleichungen vierter oder höherer Ordnung dadurch gelöst, daß zwei geometrisch ähnliche oder identische Widerstands-Schaltanordnungen vorgesehen sind, deren entsprechende Verbindungspunkte durch Widerstände verbunden sind, so daß die Spannungen in der einen Schaltungsanordnung entsprechende Ströme in den anderen Schaltungsanordnungen hervorrufen, wobei diese Widerstände einen höheren Wert haben als die Widerstände der Schaltungsanordnungen, um zu verhindern, daß der Strom in der anderen Schaltungsanordnung die Spannungen in der ersten Schaltungsanordnung beeinflußt.

Wenn die Gleichung eine solche Form hat, daß die Schaltungsanordnung eben ist, und wenn zu jedem Verbindungspunkt benachbarte Verbindungspunkte an zueinander senkrecht stehenden Achsen als auch an diagonalen Achsen entlang vorhanden sind, kann Elektrischer Analogrechner

Anmelder:
Sunvic Controls Limited, London

Vertreter: Dr.-Ing. W. Reichel, Patentanwalt,
Frankfurt/M. 1, Parkstr. 13

Beanspruchte Priorität:
Großbritannien vom 2. OktoTjer 1952

Gerhard Liebmann, Aldermaston, Berkshire

(Großbritannien),
igt als Erfinder genannt worden

gemäß der Erfindung eine einzige Scheinwiderstandsanordnung vorgesehen sein, deren benachbarte Verbindungspunkte an den senkrechten Achsen durch positive Widerstände und deren abwechselnde Verbindungspunkte an senkrechten Achsen durch negative Widerstände verbunden sind, während benachbarte Verbindungspunkte längs der diagonalen Achsen durch negative Widerstände verbunden sind.

Bei einer Ausführungsform wird der Schaltungsanordnung Wechselstrom zugeführt, und die positiven Widerstände werden durch Induktivitäten und die negativen Widerstände durch Kapazitäten dargestellt oder umgekehrt.

Die Erfindung wird an Hand schematischer Zeichnungen an mehreren Ausführungsbeispielen näher erläutert.

Fig. 1 zeigt schematisch die Anordnung der in Kaskadenform geschalteten Netzwerke zur Durchführung der Erfindung unter Verwendung reiner Widerstandsnetzwerke ;

Fig. 2 zeigt eine abgeänderte Ausführungsform des Netzwerks unter Verwendung negativer Widerstände;

Fig. 3 zeigt ein weiteres Ausführungsbeispiel, bei dem Induktivitäten und Kapazitäten verwendet werden;

Fig. 4 zeigt eine Anordnung von Verbindungspunkten zur Erläuterung des iterativen Verfahrens.

Die Anordnung nach Fig. 1 umfaßt zwei geometrisch ähnliche oder identische Widerstandsnetzwerke Nl und N 2, bei denen einander entsprechende Vermaschungsknotenpunkte P1 und P 2 durch Wider-

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stände R3 miteinander verbunden sind. Die Netzwerkwiderstände Rl und R2 müssen an allen Stellen innerhalb der beiden Netzwerke im gleichen Verhältnis zueinander stehen, und häufig besitzen sie für einander entsprechende Stellen in den beiden Netzwerken identische Werte; unter Erfüllung der erstgenannten Bedingung können die Werte von Rl (iindR2) innerhalb der ganzen Netzwerke konstant sein oder aber nach einem vorgeschriebenen Gesetz variieren, wie es z. B. bei der Darstellung von rotationssymmetrischen Problemen der Fall ist, wie die Rl (und R2) umgekehrt proportional zum Abstand des Punktes P1 (oder des Punktes P 2) von der Achse abgestuft sind. Um eine unerwünschte gegenseitige Beeinflussung der beiden Netzwerke zu vermeiden, ist es erforderlich, daß R3^>R1 und R3>R2. In der Praxis ist i?3 = 50i?l und £3 = 5000Al.

Es wurde bereits früher nachgewiesen (siehe z. B. Liebmann, British journal of applied physics,Bd. 1, S. 92, 1950), daß ein Widerstandsnetzwerk JV2 aus Widerständen R2 gleichen Wertes für bestimmte Grenzbedingungen der Funktion κ=κ (χ, y) die Differenzengleichung, die der partiellen Differentialgleichung zweiter Ordnung

Ct> CQ

g (2)

^v " δχ* ' Oy² "
entspricht, löst, wobei die Funktion g durch Ströme/2 dargestellt wird, die an den" Netzwerkknotenpunkten P2 zugeführt werden, wobei

I2=-k?g/R2 (3)

ist, während Ji = Ax = Ay das Vermaschungsintervall ist. Zur Darstellung der Grenzwerte der Funktion κ werden die erforderlichen elektrischen Potentiale an den Grenzknotenpunkten des Netzwerks JV 2 zugeführt. Nimmt man nun an, daß die Ströme /2 aus Potentialquellen mit verhältnismäßig hohen Werten von Φ (φ ^> κ) zugeführt werden, die an den Punkten P1 in dem Netzwerk N1 liegen, so ist

/2 = (φ-κ)//?3εοφ/Α3 (4)

Durch Kombination der Gleichungen (3) und (4) mit Gleichung (2) läßt sich zeigen, daß

φ=-ίι² (R3/R2) V²*

(5)

45

Aber die Potentialverteilung Φ an den Netzwerkknotenpunkten Pl ist ihrerseits die Lösung der Differentialgleichung (2), denn ihre eigenen gegebenen Grenzwerte, d. h.

(6)

oder, bei Verwendung von Gleichung (5),
V² (V²«) = V⁴« = /l R

(7)

55

Somit löst das in »Kaskadenform« geschaltete Widerstandsnetzwerk nach Fig. 1 die Differentialgleichung vierter Ordnung (1), vorausgesetzt, daß die geeigneten Grenzbedingungen für κ am Netzwerk N1 und für Φ am Netzwerk N2 eingestellt sind und daß den Vermaschungspunkten P1 des Netzwerks JV1 die Ströme

Il = fhⁱR3/(RlR2) (S)

zugeführt werden. Dann ergibt die Spannungsverteilung an den Knotenpunkten P 2 des Netzwerks N 2 die gesuchte Lösung κ. Die Spannungskomponenten und aus diesen die Hauptspannungen und Scherspannungen werden dann nach den Regeln der Festigkeitslehre durch numerische oder graphische Differentiation der Funktion κ ermittelt. Die Summe der Hauptspannungen ist gleich \/²κ, und die Messung der Verteilung der Funktion Φ an den Knoten Pl des Netzwerks JV1 ergibt eine nützliche Probe auf die Richtigkeit der aus der Funktion κ ermittelten Spannungskomponenten.

Die Netzwerke können örtlich abgeändert werden (gemäß der Beschreibung in der weiter oben angezogenen Arbeit sowie gemäß der eingehenderen Beschreibung in Institution of Electrical Engineers Monograph No. 38), um örtliche Abänderungen der Randform der untersuchten Modelle abzubilden; natürlich müssen in den beiden Netzwerken N1 und JV 2 geometrisch identische Abänderungen vorgenommen werden, und die Werte der Verbindungswiderstände /?3 müssen den abgeänderten Feldern der Netzwerkmaschen umgekehrt proportional sein.

Das oben erläuterte Prinzip läßt sich auf die dritte Dimension ausdehnen, um Probleme zu lösen, die von drei unabhängigen Veränderlichen x, y, ε abhängen und sich nach einer Gleichung vom Typ \/*κ (χ, y, 2) = f(x,y,z) richten, wobei jedes der Netzwerke ΛΊ und N2 ein dreidimensionales Modell des Problems darstellt.

Es können ferner zusätzliche »Kaskaden« von Netzwerken hinzugefügt werden; jede zusätzliche Kaskade ist gleichwertig der Durchführung der Operation V² bei der durch die Potentialverteilung im nächstniedrigeren Netzwerk dargestellten Funktion; schaltet man z. B. drei Netzwerke in dieser Weise in »Kaskadenform« zusammen, so ergibt dies eine Darstellung der partiellen Differentialgleichung V^{6 κ} — f usw. Allerdings ist das Verfahren der Zusammenschaltung solcher Netzwerke in »Kaskadenform« in der Praxis durch die Spannungsteilung infolge der Bedingung P.3^> Rl und infolge ähnlicher Bedingungen für die folgenden Netzwerkkaskaden begrenzt, da der Spannungspegel im untersten Netzwerk, der die gesuchte Funktion darstellt^ bald.-auf einen Wert herabgesetzt wird, der im Verstärkergeräusch oder in vom Gerät aufgenommenen Störspannungen untergeht.

Während die Anwendung der Netzwerkanordnung nach Fig. 1 für den Fall beschrieben wurde, daß die Randbedingungen für κ und V² « bekannt sind, kommt es in der Praxis häufig vor, daß Randwerte für κ und

-p- oder -p- gegeben sind. In diesem Falle sind für das δχ by ^{ö ö}

Netzwerk JV2 zu viele Randbedingungen und für das Netzwerk 7Vl zu wenige gegeben, um eine Lösung ohne Umweg zu ermöglichen. Man kann diese Schwierigkeit jedoch durch ein Iterationsverfahren überwinden, indem man die Randwerte für κ am Netzwerk JV 2 und erste (willkürlich gewählte) Randwerte am Netzwerk JV1 einstellt und die resultierenden Randbedingungen für -=— und -^- mit den vorgeschriebenen Randbedingungen für-5^- und-^- vergleicht. Dann verändert man die Randbedingungen bei JVl, bis die am Netzwerk JV 2 gemessenen Randwerte für -=— und -«— mit ° ox Oy

der gewünschten Genauigkeit mit den vorgeschriebenen Randwerten für -^- und -p- übereinstimmen. Wäh- Ox oy

rend dieses erforderliche Verfahren der schrittweisen Einstellung der Randwerte am Netzwerk JVl und des nachfolgenden Vergleichens der Randwerte am Netzwerk JV 2 mit den vorgeschriebenen Werten systematisch durchgeführt werden kann und schließlich zu der gewünschten richtigen Verteilung führt, zeigt es sich, daß· sich die Lösung nach diesem Verfahren

erheblich schneller finden läßt, wenn man mit der Anzeigevorrichtung arbeitet, die in der deutschen Patentanmeldung S 35028 IXb/42 m beschrieben ist. Mit Hilfe dieser Anzeigevorrichtung ist es möglich, gleichzeitig den Unterschied zwischen den Potentialwerten (oder Potentialgradienten), die im Netzwerk N2 z. B. längs der Begrenzung des am Netzwerk JV 2 eingestellten Modells bestehen, und die vorgeschriebenen Potentialwerte (oder Potentialgradienten) für eine große Zahl von Vermaschungspunkten abzubilden und die Annäherung der richtigen endgültigen Potentialverteilung bei N 2 infolge der Einstellung der Randwerte bei Nl zu verfolgen, ohne Zwischenablesungen der Spannungen vorzunehmen oder Zwischenberechnungen durchzuführen, um die Annäherung an die richtige Lösung zu überwachen.

Die Fig. 2 und 3 zeigen eine alternative Netzwerkanordnung für die Lösung der Gleichung (1). Zur Erläuterung ihrer Arbeitsweise und ihrer Konstruktionskonstanten dient zweckmäßig die Fig. 4, die einen Netzwerkpunkt PO zeigt, sowie dessen vier nächstbenachbarte Punkte im Netzwerk in der x- bzw. ^-Richtung, d.h. die Punkte Pl, P2, P3 und P4, seine vier übernächst benachbarten Punkte im Netzwerk in der x- bzw. ^/-Richtung, d. h. die Punkte PA, PB, PC und PD, und die vier nächstbenachbarten Punkte in den Diagonalrichtungen, d. h. die Punkte Pa, Pb, Pc und Pd. Hierbei sind die Abstände POP I = P0P2... = P0P4 = &, P0P.4=... = 2h und POPa= ... =]/2~ h. Man kann dann die die partielle Differentialgleichung (1) ersetzende Differenzengleichung wie folgt anschreiben:

-8

4 JO

{[(κΐ:- »0) + (κ2 - «0) + («3 - »0) + («4 - κθ)] [(KiI- - κθ) + (κΒ - κθ) + (κC - κθ) + (κ D - κθ)] [(κα - κθ) + («δ — κθ) + («c - «0) + (κά - κθ)]}

Hierin sind κθ, κΐ ... die Werte der Funktion κ an den Punkten PO, Pl ... Wenn man nun die Funktionswerte κθ, κ 1 . . . durch Spannungen darstellt, erkennt man, daß die Beziehung (9) durch das in Fig. 2 dargestellte Netzwerk befriedigt wird, wobei der Strom/0, der dem Punkt PO von einer äußeren Quelle zugeführt werden muß, durch folgende Beziehung bestimmt ist: 10=.—Wf OI (8 R) (10)

In dem Netzwerk nach Fig. 2 ist der Punkt PO mit seinen Nachbarpunkten P1... P4 durch positive Widerstände des Wertes R verbunden, mit den Netzwerkpunkten PA ... PD durch negative Widerstände vom Werte — 8 R und mit den Netzwerkpunkten Pa. .. Pd durch negative Widerstände des Wertes —4i?; somit bildet jeder NetzwerkknotenpunktPO die Verbindung zwischen zwölf Widerständen, von denen vier positiv und acht negative sind (oder umgekehrt, bei entsprechender Umkehrung des Vorzeichens des zugeführten Stromes /0), und ähnliche Bedingungen gelten für alle anderen Netzwerkpunkte innerhalb der Begrenzung des durch das Netzwerk dargestellten Modells.

Die positiven Widerstände können durch gewöhnliche Widerstände dargestellt werden, während sich die negativen Widerstände aus Verstärkerröhren- bzw. Germaniumdiodenkreisen oder in bekannter Weise aus Generatoren enthaltenden Hilfswiderstandsnetzwerken zusammensetzen können. In der Praxis erweist es sich jedoch meist als vorteilhafter, die positiven Widerstände durch Induktivitäten und die negativen Widerstände durch Kapazitäten (oder umgekehrt) darzustellen, wobei zur Speisung des Netzwerks eine Spannung fester Kreisfrequenz (pulsatance) ω verwendet wird. Bei einer Arbeitsfrequenz von 8 Kilohertz wäre z. B. ω?ο5 · 10⁴, und bei einer Induktivität von 2 = 0,01 Henry zur Darstellung der Widerständetmüßten die den Wert (—4 ie) darstellenden Kapazitäten Cso 0.,Ol μΈ betragen, während die den Wert (-8R) darstellenden Kapazitäten C£o 0,005 μΈ betragen müßten. Diese Induktivitäts- und Kapazitätswerte sind von einer solchen Größenordnung, daß die Bauteile verhältnismäßig klein und billig sind und daß es möglich ist, unerwünschte Effekte wie Störinduktivitäten und Störkapazitäten durch geeignete Siebmittel genügend klein zu halten. Der resultierende »Netzwerkstern« für den Netzwerkknoten P O ist in Fig. 3 dargestellt. Die jeweiligen Werte der positiven und negativen Widerstände in Netzwerken, die durch Wiederholung der »Netzwerkstern«-Anordnung nach Fig. 3 für jeden inneren Netzwerkpunkt gebildet sind, sind derart, daß das Netzwerk normalerweise von Resonanzerscheinungen frei ist. Bei bestimmten Schwingungsproblemen ist jedoch die in Gleichung (1) verwendete Funktion / proportional zu κ selbst und besitzt die Form

T = ^K νν*κ (11)

Hierin ist K eine Konstante, die von den Materialkonstanten des Problems und von Maßstabsfaktoren abhängt, und v0 die Schwingungsfrequenz. In diesem Falle ist es erforderlich, an den Vermaschungsknotenpunkten positive Ströme zuzuführen, die dem örtlichen Funktionswert κ proportional sind, oder negative Ströme abzuführen. Dies kann automatisch dadurch erreicht werden, daß man die Vtrmaschungsknotenpunkte durch negative Widerstände mit dem Punkt vom Potential Null verbindet. Bei Netzwerken des in Fig. 3 dargestellten Typs würde man z. B. den Punkt PO über eine geeignete Kapazität erden. Bei einem willkürlich gewählten Kapazitätswert, der einen bestimmten Wert ν Φ vO darstellt (der als eine Erregerfrequenz betrachtet werden kann), tritt in diesem Netzwerk immer noch keine Resonanz auf. Durch Kombination der Gleichungen (10) und (11) läßt sich jedoch zeigen, daß Resonanz auftritt, wenn der Wert des negativen Widerstandes, der durch diese Kapazität gegen Erde dargestellt wird, nachstehender Formel entspricht:

ie'= -8 ie/(α⁴ zvo²) (12)

Die Schwingungsfrequenzen eines solchen Systems lassen sich daher ermitteln, indem man die Kapazitäten der Netzwerkknotenpunkte gegen Erde synchron einstellbar macht und sie verändert, bis Resonanz ein-

tritt. Aus den erforderlichen Werten der Kapazitäten und den Material- und Maßstabskonstanten läßt sich dann der Wert der Schwingungsfrequenz bestimmen, und der entsprechende Verlauf der stehenden Schwingung kann ausgemessen werden.

Die beiden beschriebenen Netzwerkanordnungen besitzen spezifische Vorteile und Nachteile, und die Wahl des Netzwerktyps zur Lösung der Gleichung (1) richtet sich daher nach den Gegebenheiten. Bei dem ausschließlich aus Widerständen zusammengesetzten Netzwerk nach Fig. 1 ist es verhältnismäßig leicht, Modelle komplizierter Geometrie darzustellen, jedoch liegt der Signalpegel im Netzwerk N2 niedrig. Dieser Nachteil wird bei dem gemäß den Fig. 2 und 3 aufgebauten Netzwerk vermieden; jedoch ist dieses Netzwerk seiner Natur nach verwickelter und daher nicht so leicht für Probleme verwickelter Geometrie einzustellen.

Zur Bestimmung der erforderlichen Randbedingungen kann man z. B. die Spannungen an den fraglichen Punkten mittels einer Kathodenstrahlröhre sichtbar machen. In diesem Falle würde man die die Spannungen an allen in Frage stehenden Punkten darstellenden Spuren auf einer Teilung des Leuchtschirms nebeneinander oder übereinander sichtbar machen.

Auf diese Weise lassen sich die hervorgerufenen Veränderungen leicht verfolgen.

Claims

Patentansprüche.·

1. Elektrischer Analogrechner mit einem elektrischen Impedanznetzwerk, das eine partielle Differentialgleichung in endlicher Differenzform darstellt, deren Lösung durch Zuführung von Strömen, die durch die Ausdrücke der Gleichung bestimmt sind und Verbindungspunkten des Netzwerks zugeführt werden, sowie durch Zuführung von Spannungen zu Grenzpunkten des Netzwerkes erhalten wird, wobei die sich ergebenden Spannungen, welche die Lösung darstellen, an den Verbindungspunkten abgelesen werden, dadurch gekennzeichnet, daß zwei oder mehr geometrisch einander ähnliche oder miteinander identische Widerstandsnetzwerke (JVl und /V 2) an den einander entsprechenden Verbindungspunkten durch Widerstände (RS) verbunden sind, so daß die Spannungen an dem einen Netzwerk (/Vl) proportionale Ströme in dem zweiten Netzwerk (N 2) erzeugen, wobei diese Widerstände (J? 3) Werte auf weisen, - die um soviel größer sind als die Werte der Widerstände in jedem Netzwerk, daß der Stromfluß in dem zweiten Netzwerk (N 2) die Spannungen in dem ersten Netzwerk (JV 1) nicht wesentlich beeinflussen kann, so daß partielle Differentialgleichungen vierter oder höherer Ordnung gelöst werden können.

2. Elektrischer Analogrechner mit einem elektrischen Impedanznetzwerk, das eine partielle Differentialgleichung in endlicher Differenzform darstellt, deren Lösung durch Zuführung von Strömen, die durch die Ausdrücke der Gleichung bestimmt sind und Verbindungspunkten des Netzwerks zugeführt werden, sowie durch Zuführung von Spannungen an Grenzpunkten des Netzwerkes erhalten wird, wobei die sich ergebenden Spannungen, welche die Lösung darstellen, an den Verbindungspunkten abgelesen werden, und bei dem die Gleichung eine solche Form hat, daß das Netzwerk eben ist und in der Nähe jedes Verbindungspunktes weitere Verbindungspunkte liegen, die sowohl entlang aufeinander senkrecht stehender Koordinatenachsen als auch entlang diagonaler Koordinatenachsen angeordnet sind, dadurch gekennzeichnet, daß ein einziges Impedanznetzwerk vorgesehen ist, dessen an aufeinander senkrecht stehenden Koordinatenachsen liegende Verbindungspunkte durch positive Widerstände verbunden sind, während alle zweiten an den senkrecht stehenden Koordinatenachsen liegenden Verbindungspunkte durch negative Widerstände verbunden sind, und daß die einander benachbarten Verbindungspunkte entlang der diagonalen Koordinatenachsen durch negative Widerstände verbunden sind.

3. Elektrischer Analogrechner nach Anspruch 2, bei dem ein Wechselstrom dem Netzwerk zugeführt wird, dadurch gekennzeichnet, daß die positiven Widerstände durch Induktivitäten und die negativen Widerstände durch Kapazitäten oder umgekehrt gebildet werden.

Hierzu 1 Blatt Zeichnungen

& 909 770/225 4.60