DE10309262A1

DE10309262A1 - Verfahren und Vorrichtung zum Schätzen der Frequenz und/oder der Phase einer digitalen Signalfolge

Info

Publication number: DE10309262A1
Application number: DE2003109262
Authority: DE
Inventors: Kurt Dr. Schmidt
Original assignee: Rohde and Schwarz GmbH and Co KG
Current assignee: Rohde and Schwarz GmbH and Co KG
Priority date: 2003-03-03
Filing date: 2003-03-03
Publication date: 2004-09-23
Anticipated expiration: 2023-03-04
Also published as: DE10309262B4

Abstract

Die Erfindung betrifft ein Verfahren zum Schätzen der Frequenz DOLLAR I1 und/oder der Phase (PHI) einer digitalen Eingangs-Signalfolge (x¶v¶). Zunächst wird eine Frequenz-Grobschätzung (22) unter Verwendung einer diskreten Fourier-Transformation durchgeführt. Anschließend erfolgt eine Frequenz-Feinschätzung (23) mittels Interpolation.

Description

Die Erfindung betrifft ein Verfahren und eine Vorrichtung zum Schätzen der Frequenz und/oder der Phase einer digitalen Signalfolge.

Verfahren zum Erfassen der Frequenz und/oder der Phase eines digitalen Signals werden in der digitalen Signalverarbeitung, beispielsweise für die Mobilfunktechnik benötigt. Es besteht daher ein Bedürfnis nach einem universell einsetzbaren robusten Verfahren, das mit geringem numerischen Aufwand auskommt.

Aus der DE 101 38 963 A1 geht ein Verfahren zum Schätzen von Parametern eines CDMA-Signals hervor. Unter anderem wird dort der Frequenzversatz und der Phasenversatz eines digitalen Signals gegenüber einem Referenz- bzw. Synchronisationssignal geschätzt. Dieses Verfahren ist speziell auf die orthogonalen Codekanäle eines CDMA-Signals abgestimmt und daher nicht universell einsetzbar.

Der Erfindung liegt die Aufgabe zugrunde, ein Verfahren und eine Vorrichtung zum Schätzen der Frequenz und/oder der Phase einer digitalen Eingangs-Signalfolge zu schaffen, welches einen geringen numerischen Aufwand erfordert, auch bei niedrigem Signa-Rausch-Abstand funktioniert, schnell konvergiert und universell einsetzbar ist.

Die Aufgabe wird hinsichtlich des Verfahrens durch die Merkmale des Anspruchs 1 und hinsichtlich der Vorrichtung durch die Merkmale des Anspruchs 12 gelöst.

Der Erfindung liegt das Konzept zugrunde, zunächst eine Frequenz-Großbschätzung unter Verwendung einer diskreten Fourier-Transformation durchzuführen und anschließend mittels Interpolation eine Frequenz-Feinschätzung vorzunehmen. Die Grobschätzung der Frequenz durch Maximumsuche im Frequenzraum ermöglicht eine grobe Bestimmung der Frequenz im Rahmen der Frequenzauflösung der Fourier-Transformation. Das nachfolgende Interpolationsverfahren setzt auf diese Information der Frequenz-Grobschätzung auf. Obwohl vorzugsweise nur eine lineare Interpolation vorgenommen wird, konvergiert das Interpolationsverfahren rasch.

Die Unteransprüche beinhalten vorteilhafte Weiterbildungen der Erfindung.

Im Rahmen der vorliegenden Anmeldung wird eine spezielle Interpolationsformel hergeleitet, die bei der Interpolation vorteilhaft verwendet wird. Die Berechnung des Feinschätzwerts der Frequenz wird vorzugsweise iterativ wiederholt, wobei in der nächsten Iterationsstufe eine kompensierte Signalfolge verwendet wird.

Ein Schätzwert für die Phase kann durch Auswertung aller Abtastwerte der Eingangs-Signalfolge durch arithmetische Mittelwertbildung berechnet werden.

Anspruch 13 betrifft ein digitales Speichermedium, Anspruch 14 betrifft ein Computerprogramm-Produkt und Ansprüche 15 und 16 betreffen ein Computerprogramm zur Durchführung des erfindungsgemäßen Verfahrens.

Die Erfindung wird nachfolgend anhand der Zeichnung näher beschrieben. In der Zeichnung zeigen:

1 ein Blockschaltbild eines der Erfindung zugrundeliegenden digitalen Übertragungssystems;

2 das Übertragungsmodell in äquivalenten Tiefpaßbereich;

3 ein systemtheoretisches Modell in zeitdiskreter Basisbanddarstellung;

4 eine schematische Darstellung einer Matrix;

5 ein Blockschaltbild zur Erläuterung des erfindungsgemäßen Verfahrens und

6 ein Blockschaltbild einer vorteilhaften Weiterbildung des erfindungsgemäßen Verfahrens.

Nachfolgend wird zunächst zum besseren Verständnis der Erfindung ein der Erfindung zugrundeliegendes Modell eines digitalen Übertragungssystems erläutert.
Im Rahmen der vorliegenden Anmeldung werden folgende Formelzeichen verwendet:
Im Rahmen der vorliegenden Anmeldung werden folgende Abkürzungen verwendet:
AWGN Additive White Gaussian Noise
const konstant
CRB Cramér-Rao-Grenze
DA Data Aided
dB Dezibel
FFT Fast Fourier Transformation
ISI Intersymbolinterferenz
LDS Leistungsdichtespektrum
LLF Log-Likelihood-Funktion
ML Maximum Likelihood
NDA Non Data Aided
QAM Quadratur-Amplituden-Modulation
SNR Signal-Rausch-Abstand (signal to noise ratio)
uML Universeller Maximum-Likelihood-Schätzer für Frequenz und Phase
Die Notwendigkeit der Frequenz- und Phasenschätzung zur Trägersynchronisation ergibt sich aus dem Aufbau von digitalen Übertragungssystemen. In 1 sind die Grundelemente der eines solchen Übertragungssystems dargestellt.
Nachdem durch ein Sendefilter 2 eine Impulsformung des zu übertragenden digitalen Quellensignals der digitalen Quelle 1 durchgeführt wurde, erfolgt in dem Modulator 3 die Modulation des Signals mit der Trägerfrequenz ⨍_TSender. Bei der Übertragung über den Kanal 4 wird das nun im Bandpaßbereich vorliegende Signal durch die Überlagerung von Störungen verfälscht. Im Rahmen dieser Anmeldung wird von einem sogenannten AWGN-Kanal ausgegangen, d.h. als Störung wird die Addition eines Rauschsignals mit gaußförmig verteilter Amplitude und einem für alle Frequenzen konstantem Leistungsdichtespektrum (LDS) von
angenommen. Das verrauscht beim Empfänger ankommende Signal wird durch den Demodulator 5 mit der Frequenz ⨍_TEmpfänger zurück ins Basisband transformiert. Mit Hilfe des nachfolgenden Empfangsfilters 6 wird anschließend die Störleistung reduziert. Dadurch und durch eine erfolgreiche Abtastung in der Abtasteinheit 7 bzw. Synchronisation in der Synchronisationseinheit 8 wird eine Decodierung des tatsächlich gesendeten Signals in der digitalen Senke 9 ermöglicht.
Im Rahmen der Synchronisation ist neben der Taktsynchronisation eine Frequenz- und Phasenschätzung notwendig, da sich zum einen die Frequenz der lokalen Oszillatoren von Sender und Empfänger geringfügig um Δ⨍ = ⨍TSender – ⨍TEmpfänger (1)unterscheidet. Zum anderen besteht auch eine Phasenverschiebung ϕ zwischen Sender und Empfänger. Dieser Frequenz- bzw. Phasenversatz muß durch Schätzung ermittelt und beim Empfangssignal kompensiert werden, damit in der digitalen Senke 9 auf die richtigen Symbolpunkte entschieden werden kann.
Ausgehend vom beschriebenen Blockschaltbild nach 1 läßt sich ein Übertragungsmodell für den äquivalenten Tiefpaßbereich nach 2 erstellen. Dabei wird die zeitdiskrete Folge komplexer Sendesymbole mit der Symboldauer T_s durch das Sendefilter 10 mit der Impulsantwort h_s(t) zum Sendesignal geformt. Der Frequenz- und Phasenversatz zwischen Sender und Empfänger wird in Form eines Drehzeigers durch den Multiplizierer 11 auf moduliert, wobei zusätzlich eine Verstärkung g berücksichtigt wird. Nachdem im Kanal weißes Rauschen durch den Addierer 12 additiv überlagert wurde, erfolgt im Empfänger die Filterung durch das Empfangsfilter 13 mit der Impulsantwort h_e(t). Das gefilterte Empfangssignal wird schließlich in Abständen von T_a abgetastet, wobei ein Zeitversatz ε·T_s gegenüber den idealen Abtastzeitpunkten auftreten kann.
Für eine erfolgreiche Frequenz- und Phasenschätzung sind nun mehrere Voraussetzungen notwendig. Zum einen muß beim Empfänger eine entsprechende Taktsynchronisation vorliegen, d.h. es wird
vorausgesetzt.
Zum anderen muß die erste Nyquistbedingung erfüllt sein, so daß eine intersymbolinterferenzfreie (ISI-freie) Abtastung erfolgen kann. Dafür müssen Sende- und Empfangsfilter so beschaffen sein, daß die Impulsantwort (3) hges(t) = hs(t)·he(t)der Gesamtübertragungsstrecke die Nyquistbedingung erfüllt:
Dies ist dann gegeben, wenn als Sendefilter 10 und Empfangsfilter 13 z.B. sogenannte Root-Raised-Cosine-Filter verwendet werden. Darüber hinaus muß der Frequenzversatz Δ⨍ zwischen Sender und Empfänger so klein sein, daß sich das Sendefilter 10 und das Empfangsfilter 13 im Frequenzbereich noch ausreichend überdecken. Es muß daher folgende Forderung erfüllt sein: |Δ⨍| << 1/Ts (5)
Falls die erste Nyquist-Bedingung erfüllt ist, kann das in 2 dargestellte Übertragungsmodell zu dem in 3 dargestellten zeitdiskreten Basisbandmodell vereinfacht werden. Dieses Modell stellt den Ausgangspunkt für die Betrachtungen und Simulationen im Rahmen dieser Anmeldung dar.
Die Symbole a_ν der zu sendenden Folge a werden dabei zunächst durch den Multiplizierer 14 mit einem Drehzeiger multipliziert, welcher den Frequenz- und Phasenversatz zwischen Sender und Empfänger modelliert. Nach einer Verstärkung mit dem reellen Faktor g durch den Multiplizierer 15 wird die entstandene Sendefolge s im zeitdiskreten Ersatzkanal durch die durch den Addierer 16 addierte komplexe Rauschfolge n gestört, so daß dadurch schließlich die Symbole r_ν der Empfangsfolge r entstehen.
Der in dieser Anmeldung vorgestellte Maximum-Likelihood (ML)-Schätzer für Frequenz und Phase bei großen Beobachtungslängen basiert auf einem universell einsetzbaren Frequenz- und Phasenschätzalgorithmus, der nach dem Maximum-Likelihood-Prinzip arbeitet. Ein universeller Maximum-Likelihood (nachfolgend als "uML" bezeichnet)-Schätzer für Frequenz und Phase wird im Folgenden vorgestellt.
Der uML-Algorithmus ist eine exakte Umsetzung des Maximum-Likelihood-Prinzips, d.h. er ist der optimale Schätzer für einen AWGN-Kanal. Es werden dabei keine Näherungen angewendet, so daß keine nichtlinearen Phänomene wie das Cycle-Slipping der Phase auftreten können. Dadurch wird auch bei sehr niedrigen Störabständen der ideale ML-Schätzwert ermittelt, d.h. die Schätzgenauigkeit ist nur durch die Cramer-Rao-Grenze festgelegt. Dabei arbeitet der Algorithmus auch für Symbolalphabete mit nicht konstanten Beträgen |a_ν| optimal.
Das Verfahren wird für den sogenannten Data-Aided-Fall (DA) hergeleitet, d.h. zur Durchführung der Frequenz- und Phasenschätzung wird eine Datensequenz übertragen, welche dem Empfänger bekannt ist. Es sei jedoch erwähnt, daß durch Anwendung einer Nichtlinearität zur Entfernung der Modulation der uML-Algorithmus auch für den Non-Data-Aided-Fall (NDA) verwendet werden kann.
Dem Schätzproblem liegt das Übertragungsmodell nach 3 zugrunde:
Die ungestörte Sendefolge s ist durch
vorgegeben und wird im AWGN-Kanal durch eine additive, weiße Rauschfolge n gestört.
Es entsteht dabei die Empfangsfolge r mit: rν = sν + nν (7)
Auf der Empfängerseite sollen nun aus der Empfangsfolge r nach dem Maximum-Likelihood-Prinzip folgende Parameter der Sendefolge s geschätzt werden:

– Frequenzversatz Δ⨍
– Phasenversatz ϕ
– Verstärkung g (reell)

Die Maximum-Likelihood-Schätzung der obengenannten Parameter erfolgt durch Minimierung der Log-Likelihood-Funktion. Folgende Gleichung (8) ist die für das vorliegende Übertragungsmodell bzw. Schätzproblem zutreffende Log-Likelihood-Funktion:
Mit der Kreisfrequenz Δω = 2π·Δ⨍ (9)und durch Ausmultiplizieren erhält man für die Log-Likelihood-Funktion:
Da der Date-Aided-Fall vorliegt, ist die gesendete Symbolfolge a dem Empfänger bekannt. Die Abhängigkeit der Empfangsfolge r von der Symbolfolge a kann deshalb entfernt werden. Es wird dazu die modulationsbereinigte Folge x eingeführt mit xν = rν·aν * (11)
Damit ergibt sich für die Log-Likelihood-Funktion:
Nachfolgend wird nun gezeigt, daß das vorliegende mehrdimensionale Schätzproblem in unabhängige, eindimensionale Schätzprobleme aufgeteilt werden kann, d.h. daß Frequenz, Phase und Verstärkung voneinander separiert werden können.
Aus (12) erkennt man, daß Frequenz und Phase nur im letzten Term auftreten. Die vorliegende Log-Likelihood-Funktion wird daher bezüglich Δ⨍ und ϕ minimiert, indem man den letzten Term maximiert. Da dabei die Verstärkung g und der Vorfaktor keinen Einfluß auf die Lage des Maximums haben, kann sie weggelassen werden. Man erhält so die äquivalente, zu maximierende Log-Likelihood-Funktion für die Frequenz- und Phasenschätzung:
Die darin enthaltene Realteilbildung darf mit der Summation vertauscht werden:
Diese Funktion ist maximal, wenn die Phase ϕ ~ den komplexen Gesamtzeiger Z auf die Realteilachse dreht. Für die geschätzte Phase gilt daher:
Es ist also festzuhalten, daß die Log-Likelihood-Funktion L₁ aus (14) dadurch maximiert wird, daß die Frequenz Δ ~ den Betrag des Gesamtzeigers |z | maximiert und gleichzeitig z durch die optimale Phase auf die Realteilachse gedreht wird. Es ergibt sich daraus folgende, nur noch von der Frequenz abhängige Log-Likelihood-Funktion, welche wiederum zu maximieren ist:
Man erkennt nun eine Ähnlichkeit zwischen der vorliegenden Log-Likelihood-Funktion und der Fast Fourier Transformation FFT. Mit Hilfe der FFT kann die LLF für bestimmte diskrete Frequenzen berechnet werden.
Die Definition der FFT lautet
mit N_FFT = 2^k und k ∈ N (18)
Die Quantisierung der FFT im Frequenzbereich, d.h. die Frequenzauflösung, beträgt dabei:
Beim Vergleich der Summation aus (16) mit der FFT-Definition erkennt man, daß eine Äquivalenz vorliegt, falls Δw ~ auf eine der diskreten Frequenzen der FFT fällt.
Wenn also der Zusammenhang
erfüllt ist, entspricht die zu maximierende LLF dem Betrag von FFT{x_ν}:
Dies bedeutet, daß die Frequenzschätzung in zwei Abschnitten durchgeführt werden kann. Zunächst wird ein grober Frequenzschätzwert Δ ~ _coarse dadurch ermittelt, daß das Betragsmaximum der Fouriertransformierten von x_ν gesucht wird. Allerdings kann dabei ein Schätzfehler |Δ⨍rest| ≤ ⨍Q/2 (22)auftreten, wenn die zu schätzende Frequenz Δ⨍ nicht genau einer der diskreten Frequenzen des Frequenzrasters der FFT entspricht.
Falls die FFT-Länge N_FFT entsprechend groß ist, wird der verbleibende Schätzfehler Δ⨍_rest jedoch so klein, daß er in einer nachfolgenden Feinschätzstufe durch lineare Approximation ermittelt werden kann. Dabei stellt sich jedoch das Problem, daß eine Linearisierung der Betragsfunktion aus (16) nicht möglich ist.
Folgendes Hilfsmittel führt zur Lösung: Da die LLF aus (16) wegen der Betragsbildung reell und für alle Δ ~ positiv ist, wird durch eine Quadrierung die Lage des Maximums der LLF nicht verändert. Es ergibt sich die äquivalente LLF
von der nachfolgend gezeigt wird, daß sie linearisierbar ist. Mit dem Zusammenhang |z|2 = z·z* (24)für komplexe Größen erhält man für die vorliegende LLF:
Nun werden die einzelnen Summenelemente von (24) in eine schematische Matrix eingetragen, die in 4 dargestellt ist.
Man erkennt dabei folgende Symmetrieeigenschaften:

– Die Haupt- und Nebendiagonalen besitzen einen jeweils identischen Drehzeiger e^-j...
– Die Matrix ist hermetisch, d.h. die Matrixelemente M haben paarweise konjugiert komplexe Werte: Mα,β = M*,
– Die Hauptdiagonale ist reell.

Diese Symmetrieeigenschaften lassen sich nutzen, indem man folgende alternative Summationsindizes einführt: ν = α – β und γ (25)
Mit Hilfe der Matrix veranschaulicht bedeutet dies, daß man nun nicht mehr über die Zeilen und Spalten der Matrix aufsummiert, sondern die Matrixelemente jeder Diagonalen aufsummiert und dann die Ergebnisse der einzelnen Diagonalen addiert. Dabei nutzt man für die Addition der paarweise konjugiert komplexen Werte zusätzlich folgende Beziehung: z + z* = 2·Re{z} (26)
Es ergibt somit sich die folgende, zu (24) äquivalente Darstellung:
Da der erste Term, der die Hauptdiagonale der Matrix beschreibt, nicht von der Frequenz abhängt, kann er zusammen mit dem Vorfaktor des zweiten Terms weggelassen werden, ohne das Maximum der LLF zu verschieben. Man erhält dadurch eine relativ einfache, geschlossene Darstellung:
In dieser LLF liegt eine (zyklische) Faltung der Form yν = xν·x*- (29)vor. Man erkennt, daß sich die Folge y mit Hilfe der Fouriertransformation berechnen läßt: Yμ = FFT{yν} = |Xμ|2 = |FFT{xν}|2 (30)
Zusätzlich besitzt y nachstehende Eigenschaften:

– Konjugiert komplexe Symmetrie der Folgenglieder: y-ν = y* (31)
– Die Folge y ist nur im Bereich –(N_Sym – 1) ≤ ν ≤ N_Sym – 1 ungleich Null (32)

Mit der definierten Folge y vereinfacht sich die LLF zu:
Mit Hilfe dieser Form der LLF kann eine Feinschätzung durchgeführt werden. Für das Verständnis der Grobschätzung ist jedoch eine weitere Umformung der LLF hilfreich. Zunächst kann (26) angewendet werden, was zu folgender Darstellung der LLF führt:
Nun kann man die Symmetrieeigenschaft von y aus (31) nutzen:
Da der hintere Term y₀ und der Vorfaktor keinen Einfluß auf die Lage des Maximums der LLF haben, können sie weggelassen werden. Dadurch erhält man die äquivalente LLF:
Man erkennt, daß es sich dabei um die Fouriertransformation der Folge y_ν bei der Frequenz Δ ~ handelt, da die Summationsgrenzen aufgrund der zyklischen Faltung der FFT verschiebbar sind. Somit gilt der Zusammenhang:
Zusätzlich läßt sich ablesen, daß für die Mindestlänge dieser FFT gilt: NFFT ≥ 2·NSym – 1 (38)
Bei kleinerem N_FFT käme es zu Aliasing im Zeitbereich. Jedoch sei bereits hier darauf hingewiesen, daß die Genauigkeit einer Grobschätzung mit dieser FFT-Länge nicht immer für eine sichere Konvergenz des iterativen Algorithmus der Feinschätzstufe ausreicht. Es ist deshalb entweder eine entsprechend größere FFT-Länge notwendig oder es muß entsprechend einer bevorzugten Weiterbildung des erfindungsgemäßen Verfahrens nach einer Frequenzgrobschätzung mit N_FFT = 2·N_S _ym die Frequenzauflösung entsprechend erhöht werden. Das Verfahren zur nachträglichen Verfeinerung der Frequenzauflösung der Grobschätzung ist weiter unten beschrieben.
Zusammengefaßt kann man aus den bisherigen Herleitungen erkennen, daß eine zweistufige Frequenzschätzung mit folgenden Schritten sinnvoll ist:

– Grobschätzung von Δ ^ mittels FFT
– Iterative Feinschätzung mittels linearer Interpolation

Die Grobschätzung wird in folgenden Schritten durchgeführt:

a) Berechne die modulationsbereinigte Folge x nach (11)
b) Erhöhe durch Zero-Padding (Einfügen von Nullen) am Ende der Folge die Länge von x auf die notwendige FFT-Länge N_FFT
c) Berechne die Fouriertransformierte X_μ = FFT{x_ν}
d) Suche nach (21) das Maximum von |X_μ|. Die Betragsbildung ist allerdings numerisch aufwendig. Daher ist es sinnvoller, stattdessen nach (30) das Betragsquadrat von X_μ zu bilden: Yμ = |Xμ| Die nun für Y_μ durchgeführte Maximumsuche liefert als Ergebnis den Index der diskreten Frequenz, bei der das Maximum vorliegt: μmax = arg{max(Yμ)} (39) Daraus ergibt sich mit (19) der Grobschätzwert der Frequenz:
e) Berechne die Folge y mit Hilfe der inversen FFT: yν = IFFT{Yμ + μ max} (41)
f) Kompensiere die Folge y mit dem ermittelten Grobschätzwert der Frequenz:

Man erkennt mit (40), daß die grob frequenzkompensierte Folge y_comp alternativ auch mit Hilfe des Modulationssatzes berechnet werden kann: yν,comp = IFFT{Yμ + μmax} (43)
Nach der Kompensation der Folge y mit dem groben Frequenzschätzwert Δ⨍_coarse verbleibt aufgrund der endlichen diskreten Frequenzauflösung der FFT der Frequenzversatz Δ⨍_fine, der von der Feinschätzstufe zu schätzen ist. Der Gesamtschätzwert setzt sich somit aus Δ ^ = Δ ^ coarse + Δ ^ fine (44)zusammen.
Dabei kann Δ ^ _fine durch Maximierung der zu (33) äquivalenten LLF
ermittelt werden, indem man die Ableitung nach der Frequenz bildet und gleich Null setzt:
Da durch eine entsprechende Wahl von N_FFT der Grobschätzstufe das zu schätzende Δω_fine ausreichend klein ist, darf linearisiert werden. Wendet man die für kleine x zulässige Linearisierung der Exponentialfunktion ex ≈ 1 + x (47)auf die vorliegende Gleichung an, so erhält man:
Daraus ergibt sich schließlich die gewünschte Berechnungsvorschrift für den Frequenz-Feinschätzwert:
Aufgrund des Linearisierungsfehlers der Feinschätzstufe entspricht der Gesamtschätzwert Δ ^ = Δ ^ coarse + Δ ^ fine nicht exakt der zu schätzenden Frequenz Δ⨍. Eine Verbesserung schafft hier die iterative Anwendung des Feinschätzalgorithmus. Dadurch kann der Linearisierungsfehler beliebig verkleinert werden.
Die Feinschätzung der Frequenz in nof_it Iterationen läuft dabei in folgenden Schritten ab:

a) Berechne den Feinschätzwert
der aktuellen Iteration nach der iterativ anwendbaren Berechnungsvorschrift aus (49)
Für die erste Frequenzschätzung wird dabei die am Ausgang der Grobschätzstufe vorliegende, nur mit Δf_coarse kompensierte Folge y_comp verwendet, d.h.
b) Addiere alle bisherigen Feinschätzwerte auf zu Δ ^ _{fine_total}
c) Bilde die für die nächste Feinschätzung benötigte Eingangsfolge durch Kompensation von y_comp mit Δ ^ _{fine_total}
d) Ist die gewünschte Iterationszahl nof_it noch nicht erreicht, so wird die nächste Iteration entsprechend Schritt a) bis c) durchgeführt.
e) Sobald nof_it Iterationen durchgeführt wurden, steht der Gesamt-Feinschätzwert
als Ausgangsgröße der iterativen Feinschätzstufe zur Verfügung.

Der gesuchte Gesamt-Frequenzschätzwert Δ ^ für die zu schätzende Frequenz Δ⨍berechnet sich aus den Ergebnissen der Grob- und Feinschätzung:
Nach erfolgter Schätzung der Frequenz kann mit dem Frequenzschätzwert Δ ^ die Phase ϕ nach (15) geschätzt werden:
Die Schätzung der Verstärkung g Schätzers wird der Vollständigkeit halber hier mit aufgeführt.
Zur Schätzung der Verstärkung muß die Log-Likelihood-Funktion (12) maximiert werden. Dazu wird die Ableitung der LLF nach g ~ gleich Null gesetzt:
Daraus berechnet sich mit den zuvor ermittelten Frequenz- und Phasenschätzwerten der Schätzwert für die Verstärkung als:
Der vorstehend ausführlich beschriebene Ablauf der Frequenz- und Phasenschätzung mit dem universellen Maximum-Likelihood-Schätzer ist in 5 schematisch dargestellt.
Das in 5 dargestellte Blockschaltbild des erfindungsgemäßen Frequenz- und Phasenschätzers 1 teilt sich in einen Frequenz-Grobschätzer 22, einen Frequenz-Feinschätzer 23 und einen Phasenschätzer 24 auf. Dem Frequenz-Grobschätzer 22 wird die digitale Eingangs-Signalfolge x_ν zugeführt. In einem Block 25 erfolgt eine diskrete Fourier-Transformation, vorzugsweise eine schnelle Fourier-Transformation FFT. Die Länge der Fourier-Transformation muß mindestens doppelt so lang sein, wie die Länge der Eingangs-Signalfolge x_ν, d. h. es muß gelten N_FFT ≥ 2·N_Sym– 1. Durch die Fourier-Transformation entsteht im Frequenzraum die Fourier-Folge X_μ. In dem Block 26 erfolgt eine Betragsbildung oder Betragsquadratbildung. In einem Block 27 wird das Maximum des Betrags der Fourier-Folge oder, da dies numerisch einfacher und äquivalent ist, das Maximum des Betragsquadrats der Fourier-Folge gesucht.
Der Index μ_max des diskreten Werts Y_μ,max der Fourier-Folge, bei welchem das Maximum des Betrags bzw. Betragsquadrats vorliegt wird an dem Block 28 weitergegeben, in welchem eine Umrechnung in den Grobschätzwert Δ ^ _coarse der Frequenz gemäß Formel (40) vorgenommen wird. In dem Block 29 erfolgt eine inverse Fourier-Transformation, jedoch nicht der ursprünglichen Betragsquadrat-Fourier-Folge Y_μ, sondern der um den dem Maximum entsprechenden Index μ_max verschobenen Fourier-Folge Y_μ + μ_max. Nach Kompensation mit Formel (42) entsteht die rücktransformierte Signalfolge y_ν,comp.
Durch den Feinschätzer 23 erfolgt eine Feinschätzung der Frequenz. Dargestellt ist der bevorzugte Fall des iterativen Vorgehens. In einem Block 30 wird zunächst der Iterationszähler it auf 1 und der gesamte Feinschätzwert Δ ^ _{fine_total} auf Null gesetzt . In einem Block 31 erfolgt eine Berechnung des Feinschätzwerts der Frequenz gemäß Formel (50). Für den nächsten Iterationsschritt wird der Iterationszähler it im Block 32 inkrementiert. In Block 33 wird der in Formel (53) benötigte Kompensationsfaktor zur Verfügung gestellt. Die Kompensation entsprechend Formel (53) erfolgt schließlich durch den Multiplizierer 34.
Nach Berechnung des Feinschätzwert-Iterationsbeitrags dieser Iterationsstufe nach Formel (50) in Block 31 werden im Block 35 die Feinschätzwert-Iterationsbeiträge der einzelnen Iterationsstufen zum Feinschätzwert-Gesamtwert Δ ^ _{fine_total} aufaddiert. Hat der Iterationszähler it die Anzahl der vorgegebenen Iterationsstufen nof_it erreicht, so wird der Feinschätzwert-Gesamtbetrag über den nur symbolisch dargestellten Schalter 37 ausgegeben und in dem Addierer 38 mit dem Grobschätzwert zur Erzeugung eines Gesamtschätzwerts der Frequenz addiert.
Der Gesamtschätzwert der Frequenz und die Eingangs-Signalfolge werden dem Phasenschätzer 24 zugeführt, der entsprechend Formel (55) den Schätzwert der Phase berechnet.
Der Schätzwert der Phase kann zusammen mit der Eingangs-Signalfolge dem Block 25 zugeführt werden, der den Schätzwert für die Verstärkung gemäß Formel (57) berechnet.
Bei der Frequenz-Grobschätzung des erfindungsgemäßen universellen Maximum-Likelihood-Schätzers wird der Frequenzschätzwert mit Hilfe einer Fast-Fourier-Transformation ermittelt. Dabei ist nach (38) zu beachten, daß eine minimale FFT-Länge von NFFT ≥ 2·NSym – 1eingehalten werden muß, um Aliasing-Effekte im Zeitbereich zu vermeiden. Jedoch kann diese FFT-Länge nicht ausreichen. Aufgrund eines zu großen maximalen Schätzfehlers Δ⨍_rest,max am Ausgang der Grobschätzstufe ist bei dieser FFT-Länge eine sichere Konvergenz des nachfolgenden iterativen Feinschätzalgorithmus nicht immer gewährleistet. Der zusätzliche Rechenaufwand und Speicherbedarf durch eine entsprechende Erhöhung der FFT-Länge in der Grobschätzstufe wäre jedoch beträchtlich.
Eine Abhilfe stellt das nachfolgende Verfahren als vorteilhafte Weiterbildung des erfindungsgemäßen Verfahrens dar. Hierbei wird zunächst unter Beachtung von (18) eine Grobschätzung mit NFFT = 2·NSym (58)durchgeführt. Mit geringem Zusatzaufwand wird dann durch Maximierung der entsprechenden LLF bei bestimmten Frequenzen die selbe Frequenzauflösung und damit auch die selbe Schätzgenauigkeit wie bei einer Grobschätzung mit N_FFT = 4·N_Sym erreicht. Damit ist sowohl die Konvergenz des Feinschätzalgorithmus als auch die Einhaltung festgelegter Genauigkeitsgrenzen sicher gewährleistet.
Die FFT der Grobschätzstufe mit der FFT-Länge hat nach (19) eine Frequenzauflösung von
Ziel ist es nun, diese Auflösung im Bereich um den gefundenen Grobschätzwert Δ ^ _coarse nachträglich zu verdoppeln und dadurch den maximalen verbleibenden Frequenzversatz Δ⨍_rest,max am Ausgang des Grobschätzers 22 zu halbieren.
Ausgangspunkt ist wie bei der Feinschätzung die Log-Likelihood-Funktion nach (45), bei der bereits die Kompensation mit dem Grobschätzwert Δ ^ _coarse berücksichtigt ist.
Durch Maximierung dieser LLF erhält man einen Schätzwert für den verbleibenden Frequenzversatz Δ⨍rest = Δ⨍ – Δ ^ coarse (61)am Ausgang der Grobschätzstufe.
Die angesprochene Verdopplung der Frequenzauflösung gegenüber der Auflösung ⨍_Q des Grobschätzers erreicht man nun dadurch, daß man die Funktionswerte der LLF L₄ bei den Frequenzen
berechnet und mit dem Funktionswert von L₄ bei ⨍ = 0 vergleicht. Aus den drei Frequenzen wird jene als Schätzfrequenz Δf ^ _int ausgewählt, bei der die LLF den größten Wert aufweist und die somit der zu schätzenden Frequenz Δ⨍_rest am nächsten kommt. Der nach der Kompensation der Folge y_comp mit dem Schätzwert Δf ^ _int noch verbleibende Frequenzversatz wird anschließend von dem vorzugsweise iterativ arbeitenden Feinschätzer 23 ermittelt.
Mit anderen Worten wird durch das obige Verfahren untersucht, ob eine der Frequenzen Δ ^ _coarse ± 0,5·⨍_Q genauer als Δ ^ _coarse der vom universellen Maximum-Likelihood-Schätzer zu schätzenden Frequenz Δ⨍ entspricht. Somit erreicht man die selbe Auflösung und Schätzgenauigkeit wie bei einer Grobschätzung mit N_FFT = 4·N_Sym.
Mathematisch läßt sich die Ermittlung des Schätzwertes Δf ^ _int zur nachträglichen Erhöhung der Frequenzauflösung wie folgt darstellen:
Für eine effizientere Implementierung z.B. auf einem digitalen Signalprozessor kann durch Vertauschung von Realteilbildung und Summation wie folgt weiter vereinfacht werden:
Der gesamte Ablauf des Verfahrens ist schematisch in 6 zusammengefaßt.
In 6 ist zunächst der Frequenz-Grobschätzer 22, der Frequenz-Feinschätzer 23 und der Phasenschätzer 24 sowie der Verstärkungs-Schätzer 25 in gleicher Weise wie in 5 dargestellt. Die diesbezüglichen Elemente sind mit gleichen Bezugszeichen versehen, so daß sich insoweit eine wiederholende Beschreibung erübrigt.
Im Unterschied zu 5 ist zwischen dem Frequenz-Grobschätzer 22 und dem Frequenz-Feinschätzer 23 zur Erhöhung der Frequenzauflösung der Block 40 eingeschoben. In dem Block 30 wird nicht nur im Block 41 entsprechend Formel (45) die Log-Likelihood-Funktion L₄ an der Stelle des Grobschätzwerts berechnet, sondern in den Blöcken 42 und 43 wird die Log-Likelihood-Funktion L₄ entsprechend Formel (60) in Verbindung mit Formel (62) bzw. (63) auch eine halbe
Schrittweite der Quantisierung ⨍_Q der FFT neben dem
Grobschätzwert berechnet. In einem Block 44 wird das Maximum dieser drei Alternativen von L₄ bestimmt und durch die arg-Funktion daraus der Frequenzbeitrag Δf ^ _int ermittelt, der in dem Addierer 45 zu den Grobschätzwert der Frequenz addiert wird.
Die sich daraus ergebenden Phasenkompensationswerte stehen in dem Block 46 in einer Tabelle zur Verfügung und die Signalfolge y_ν,comp wird in dem Multiplizierer 47 mit diesem Kompensationswerten multipliziert.

Claims

Verfahren zum Schätzen der Frequenz (Δ⨍) und/oder der Phase (Φ) einer digitalen Eingangs-Signalfolge (x_ν) mit folgenden Verfahrensschritten: – Durchführen einer Frequenz-Grobschätzung (22) unter Verwendung einer diskreten Fourier-Transformation und – anschließendes Durchführen einer Frequenz-Feinschätzung (23) mittels Interpolation.
Verfahren nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß bei der Frequenz-Grobschätzung (22) zur Erzeugung eines Grobschätzwerts (Δ ^ _coarse) der Frequenz eine diskrete Fourier-Transformation (25) der Eingangs-Signalfolge (x_ν) zur Erzeugung einer Fourierfolge (X_μ), eine Betragsbildung (26) der Fourierfolge (X_μ) und eine Bestimmung des Maximums des Betrags (|X_μ|) oder einer Funktion (|X_μ|²) des Betrags der Fourierfolge erfolgt.
Verfahren nach Anspruch 2, dadurch gekennzeichnet, daß der Grobschätzwert Δ ^ _coarse der Frequenz aus dem Maximum des Betrags (|X_μ|) oder einer Funktion (|X_μ|²) des Betrags der Fourierfolge gemäß
berechnet wird, wobei ⨍_Q die Quantisierung des diskreten Fourier-Transformation im Frequenzbereich, N_FFT die Länge der Fourierfolge (X_μ) und μ_max der Index des diskreten Werts der Fourierfolge, bei welchem das Maximum des Betrags (|X_μ|) bzw. der Funktion (|X_μ|²) des Betrags der Fourierfolge (X_μ) vorliegt, bedeuten.
Verfahren nach Anspruch 2 oder 3, dadurch gekennzeichnet, daß die Fourierfolge (X_μ), der Betrag (|X_μ|) oder eine Funktion (|X_μ|²) des Betrags der Fourierfolge entsprechend dem Index (μ_max), bei welchem das Maximum des Betrags (|X_μ|) oder der Funktion (|X_μ|²) des Betrags der Fourierfolge (X_μ) vorliegt, verschoben wird, und dann zur Erzeugung einer rücktransformierten Signalfolge (y_ν) eine inverse diskrete Fourier-Transformation (29) durchgeführt wird und die rücktransformierten Signalfolge (y_ν) mit dem Grobschätzwert (Δ ^ _coarse) zur Erzeugung einer kompensierten, rücktransformierten Signalfolge (y_ν,_comp) kompensiert wird.
Verfahren nach Anspruch 4, dadurch gekennzeichnet, daß die Kompensation gemäß
erfolgt, wobei y_ν die rücktransformierten Signalfolge, y_ν,comp die kompensierten, rücktransformierten Signalfolge, Δ ^ _coarse den Grobschätzwert der Frequenz, T_a die Abtastperiode der digitalen Eingangs-Signalfolge (x_ν) und ν den Symbolindex der rücktransformierten Signalfolge bedeuten.
Verfahren nach Anspruch 5, dadurch gekennzeichnet, daß zur Erhöhung der Frequenzauflösung nach der inversen diskreten Fourier-Transformation (29) die Berechnung einer Log-Likelihood-Funktion (L₄) an der Abweichung Null (Δf ~ _int = 0 ) von dem Grobschätzwert (Δ ^ _coarse) der Frequenz als auch an einer Abweichung
von dem Grobschätzwert (Δ ^ _coarse), die der Hälfte der Quantisierung (⨄_Q) der diskreten Fourier-Transformation entspricht, erfolgt und daß zu dem Grobschätzwert (Δ ^ _coarse) der Frequenz ein Zusatzwert (Δf ~ _int) addiert wird, welcher der Abweichung (Δf ~ _int) von dem Grobschätzwert (Δ ^ _coarse) der Frequenz entspricht, an welcher die Log-Likelihood-Funktion (L₄) ihr Maximum (max{L₄(Δf ~ _int)}) hat.
Verfahren nach Anspruch 5 oder 6, dadurch gekennzeichnet, daß ein Feinschätzwert Δ ^ _fine der Frequenz gemäß
berechnet wird, wobei N_Sym die Länge der Eingangs-Signalfolge (x_ν) bedeutet.
Verfahren nach einem der Ansprüche 2 bis 7, dadurch gekennzeichnet, daß die Berechnung des Feinschätzwerts (Δ ^ _fine) der Frequenz iterativ wiederholt wird.
Verfahren nach Anspruch 8, dadurch gekennzeichnet, daß in sukzessiven Iterationstufen Feinschätzwert-Iterationsbeiträge gemäß
erzeugt werden, wobei it den Iterationsindex it-ten Iterationstufe bedeutet, daß die Feinschätzwert-Iterationsbeiträge der bereits durchgeführten Iterationsstufen gemäß
aufaddiert werden und daß die rücktransformierte, kompensierte Signalfolge y_ν,comp zusätzlich gemäß
zur Erzeugung einer kompensierten Iterations-Signalfolge
kompensiert wird, und die nächste Iterationsstufe mit der kompensierten Iterations-Signalfolge durchgeführt wird.
Verfahren nach einem der Ansprüche 7 bis 9, dadurch gekennzeichnet, daß der Feinschätzwert (Δ ^ _fine) der Frequenz und der Grobschätzwert (Δ ^ _coarse) der Frequenz zur Erzeugung eines Gesamtschätzwerts (Δ ^) der Frequenz addiert werden.
Verfahren nach Anspruch 10, dadurch gekennzeichnet, daß aus dem Gesamtschätzwert der Frequenz ein Schätzwert der Phase gemäß
berechnet wird, wobei x_ν die Eingangs-Signalfolge bedeutet.
Vorrichtung (21) zum Schätzen der Frequenz (Δ⨍) und/oder der Phase (Φ) einer digitalen Eingangs-Signalfolge (x_ν), insbesondere mit den Verfahrensschritten der Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 11, mit – einem Frequenz-Grobschätzer (22) zum Durchführen einer Frequenz-Grobschätzung unter Verwendung einer diskreten Fourier-Transformation und – einem Frequenz-Feinschätzer (23) zum anschließenden Durchführen einer Frequenz-Feinschätzung (23) mittels Interpolation.
Digitales Speichermedium mit elektronisch auslesbaren Steuersignalen, die so mit einem programmierbaren Computer oder digitalen Signalprozessor zusammenwirken können, daß das Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 11 ausgeführt wird.
Computerprogramm-Produkt mit auf einem maschinenlesbaren Träger gespeicherten Programmcode-Mitteln, um alle Schritte gemäß einem der Ansprüche 1 bis 11 durchführen zu können, wenn das Programm auf einem Computer oder einem digitalen Signalprozessor ausgeführt wird.
Computerprogramm mit Programmcode-Mitteln, um alle Schritte gemäß einem der Ansprüche 1 bis 11 durchführen zu können, wenn das Programm auf einem Computer oder einem digitalen Signalprozessor ausgeführt wird.
Computerprogramm mit Programmcode-Mitteln, um alle Schritte gemäß einem der Ansprüche 1 bis 11 durchführen zu können, wenn das Pogramrn auf einem maschinenlesbaren Datenträger gespeichert ist.