DE10203200C1 - Das neue Auswerteverfahren von einzelnen Formflächen sowie von Werkstücken innerhalb der gesuchten Toleranzzonen - Google Patents

Abstract

Das neue Auswerteverfahren nutzt die Vorteile der Eindeutigkeit und Unempfindlichkeit des Least-square-Verfahrens und der normgerechten Minimierung der Betragsabstände des Chebyshev-Verfahrens. Die Konvergenz und Eindeutigkeit des neuen Auswerteverfahrens entspricht dem Least-square-Verfahren, während die Genauigkeit der Minimierung der Betragsabstände des Chebyshev-Verfahrens erreicht wird. Das Verfahren konvergiert sicher sowohl mit der minimalen als auch mit sehr großer Punktzahl, was in der Produktion-Meßtechnik sehr wichtig ist. Somit kann das vorteilhafte Verfahren in die Koordinaten-Meßtechnik praktisch ohne Einschränkungen eingesetzt werden. DOLLAR A Die Konvergenz und Eindeutigkeit des neuen Auswerteverfahrens beruht auf der überraschenden Eigenschaft des Chebyshev-Verfahrens, daß es erst mit der integrierten Nebenbedienung von der beliebig kleinen Gewichtung des Least-Squares, z. B. von 1/10000, eine Richtung der sicheren Konvergenz erhält, womit die globale Lösung gesichert ist. DOLLAR A Mit dem neuen Verfahren kann die eindeutige exakte Randlösung wahlweise nach Least-squares (Gauß) (1) oder nach Chebyshev (2) sowie jede Zwischenlösung ermittelt werden. Diese Zwischenlösung ist dabei keine wilde, zufällige, sondern eine gewünschte und definierte, von unendlich vielen möglichen, kontrollierbaren zwischen Least-square (Gauß)- und Chebyshev liegenden Lösungen. DOLLAR A Das Verfahren kann zusätzlich die automatische "Filterung" der Meßpunkte ausführen, womit die Auswertung nach ...

Description

Die vorliegende Patentanmeldung bezieht sich auf das nummerische on-line- Auswerteverfahren von einzelnen Formelementen oder von Werkstücken (oder Werkstücksteilen) bestehend aus mehreren Formelementen kombiniert oder verbunden miteinander, mit freier Orientierung im 3D-Raum, innerhalb aller geforderten Toleranzzonen gemäß ISO 1101, wie Form, Abstand, Neigung usw., wobei die Auswertung aus den Meßpunkten, dargestellt im karthesischen, sphärischen, zylindrischen oder irgendeinem anderen Koordinatensystem, bei viel größerer Meßpunktzahl als der Anzahl der gesuchten Parameter erfolgt.

Die Werkstücke sind dabei gekennzeichnet durch Kombinationen von tolerierten Bedingungen bzw. Verknüpfungen zwischen den "Formelementen" wie Gerade, Ebene, Kugel, Zylinder, Kegel oder Torus.

Unter "Formelemente" werden einfache geometrische Elemente oder Standard-Geometrie- Elemente mit Regelgeometrie (Gerade, Kreis, Zylinder, Kegel, Kugel usw.) verstanden.

Unter "Formflächen" werden die Oberflächen der Formelementen verstanden.

In der Koordinaten-Meßtechnik KMM (CMM) sind folgende herkömmliche Geometrie- Auswerteverfahren wohl bekannt:

• - Least squares bzw. Gauß-Methode (Minimierung der Fehlerquadratensumme),
• - Chebyshev-Methode (Minimierung der maximalen Betragsabstände) bzw. das Bestim­ men von zwei äquidistanten Profilen mit dem kleinsten Abstand voneinander, zwischen welchen sich alle Meßpunkte befinden ("Minimum Zone"),
• - Pferchelement,
• - Hüllelement,
• - Integrale Auswertung eines Werkstücks im Toleranzband nach Gauß oder nach Che­ byshev

Die sehr bekannte Gauß-Methode ("Methode der kleinsten Quadrate", bzw. "Least- squares-Methode") eines geometrischen Formelements angetastet mit n Messpunkten basiert auf der Zielfunktion für die Quadrate der Punktabstände f_l mit Parametern a = (a₁ a₂ . . . a_m)^T wird wie folgt optimiert:

Es gibt eine Vielzahl von Auswertungsmethoden entsprechend Chebyshev, zum Beispiel: Sogenannte Monte-Carlo Methode, Simplex-Methode, LP-Methode usw.

Allgemein kann die Chebyshev-Zielfunktion wie folgt geschrieben werden:

Die Zielfunktion der LP-Lösung kann wie folgt geschrieben werden:

wobei p eine große Potenz-Zahl (z. B. 80) ist.

Es ist bekannt, daß die normgerechte Chebyschev-Methode nicht immer konvergiert, insbesondere bei größerer Streuung und ungünstiger Verteilung der Meßpunkte. Bei der geringen Anzahl der Meßpunkte an einer Formfläche zeigt die Chebyshev-Lösung eine bessere Flächenform, als sie tatsächlich vorhanden ist. Mit der Erhöhung der Meßpunktzahl und deren Verteilung auf die Gesamtfläche kann eine größere Formabweichung ermittelt werden. Diese Methode benötigt theoretisch unendlich viele Meßpunkte um eine zuverlässige Lösung zu finden.

Die Anforderung zur Zunahme der Anzahl der Meßpunkte für schnelle und flexible Anwendung in der Fertigung führt zur Anwendung des Scannverfahrens in der Kombination mit Meßrobotern oder ähnlichen Meßmaschinen. Die volle Flexibilität solcher Meßmaschinen erfordert die manuelle Führung des Meßkopfes oder eine aufwendige programmierbare Steuerung, die auch über CAD erfolgen kann.

Die Anwendung der Chebyshev-Methode bei den Meßrobotern und ähnlichen Meßmaschi­ nen, die mit Hand geführt werden, ist nicht unproblematisch, sie ist praktisch begrenzt. Neben bekannten und in [1] erwähnten Effekten, Kräften und Ungenauigkeiten, müssen noch folgenden Effekte beachtet werden:

• - die Kräfte, die vom Operator verursacht werden (mit linearer und Drehbewegung unter­ schiedlicher Geschwindigkeiten, kombiniert mit Kräften in unterschiedliche Richtungen)
• - Radialspiel der vielen vorhandenen Lager
• - Beschleunigungskräfte, Impuls, Stoß und Ruck,
• - Hysterese die von einigen induktiven Meßköpfen mit schneller Änderung der Richtung und Größe der Kräfte verursacht wird.

Die überlagerten Deformationen des Mechanismus, mit allen diesen unterschiedlichen Kräften und Momenten in den unterschiedlichen Richtungen können bei Meßrobotern oder ähnlichen Meßmaschinen zusammen eine solche Ungenauigkeit hervorrufen, daß der Meßfehler trotz aller Korrekturen einen Wert größer als 10 Mikrometer annehmen kann.

Folglich ist die Streuung der Meßpunkte so groß, daß eine normgerechte Auswertung gemäß Chebyshev oder gar eine Formprüfung sowie die Wiederholungsgenauigkeit prak­ tisch und theoretisch ausgeschlossen sind.

Die stetigen Korrekturen, insbesondere die Biege- und Verdrehungsverformungen sowie die stetigen unzählige Korrekturen von den Meßpunkten mit Transformationen und Rücktrans­ formationen von Meßpunkten während der Auswertung stellen eine zusätzliche Verminde­ rung der Auswertequalität dar.

Zum Verdecken der vielen Fehler, die durch Hardware verursacht werden, werden folglich zu viele Meßpunkte von unterschiedlichsten "Filterkriterien" als Ausreißer abgesondert.

Trotz dieser Abhilfemaßnahmen bleibt die wahre Geometrie eines Formelements völlig verborgen.

Ein anderes Problem ist vorhanden bei der Vermessung der Werkstücke aus Kunststoff. Hier sind die geometrischen Abweichungen in solch einer Weise vorhanden, daß die Chebyshev Methode bei der Geometrie-Prüfung sehr begrenzt anwendbar ist.

Im einem neueren Verfahren zur integralen Auswertung von Formelementen innerhalb des Toleranzfeldes nach [2] verwendet man entweder nur die integrale Least-squares(Gauß)- Methode über allen Formelemente eines Werkstückes, oder die integrale Chebyshev- Methode (Minimum des größten Abstands der Meßpunkte zu jeweiligen Formelement bzw. Werkstücken).

Wenn nicht die problematische Filterung - wie oben in einem Beispiel beschrieben - angewendet wird, kann u. U. die Chebyshev-Methode auch hier versagen.

Bei dieser Methode können neben den kreisförmigen noch die quadratischen Toleranzfelder ausgewertet werden. Es ist evident, daß beim quadratischen Toleranzfeld auch solche Auswertungen zulässig sind, bei welchen die maximale Abweichung größer sein kann, als jeder der zwei betrachteten Projektionstoleranzen. Ein solcher Fall ist vorhanden, wenn die beiden Toleranzen in der oder nahe der Diagonale eines Parallelepipeds liegen, siehe Fig. 11.

Für diese Methode sind außerdem nur symmetrische Toleranzfelder vorgesehen. Die asymmetrischen Toleranzen sind jedoch gefordert und sind in der Konstruktion sehr häufig. Die elliptischen Toleranzen sind nicht vorgesehen, obgleich nur sie eine vollkommen maximal zulässige Abweichung garantieren können.

Der Erfindung liegt die Aufgabe zugrunde, das Auswerteverfahren für die Prüfung der Standardelemente und Werkstücke zu finden, das normgerecht, zuverlässig, eindeutig, anwenderfreundlich, einfach, wiederholbar und genau die Parameter der Formelemente (Standard Geometrie-Elemente) errechnen kann. Weiterhin soll ein solches Verfahren die Auswertung der Integralgeometrie vervollständigen, so daß alle gewünschten Formen der Toleranzfelder verlangt werden können (kreisförmige, quadratische, asymmetrische oder wahlweise elliptische Form).

Diese Aufgabe ist gelöst worden durch die Entdeckung der überraschenden Eigenschaft der Chebyshev-Methode, daß sie erst mit der integrierten Nebenbedingung von der beliebig kleinen Gewichtung der Least-squares-Methode, eine Lösung in die Richtung der sicheren Konvergenz erhält, womit die globale Chebyshev-Lösung gesichert ist.

Das neue Auswerteverfahren nutzt die Vorteile von den bekannten Verfahren:

• - Eindeutigkeit und Unempfindlichkeit der Least-square-Methode und
• - die normgerechte Minimierung der Betragsabstände der Chebyshev-Methode.

Die Konvergenz und Eindeutigkeit des neuen Auswerteverfahrens entspricht dem Least- square-Verfahren, während die Genauigkeit der Minimierung der Betragsabstände praktisch des Chebyshev-Verfahrens erreicht wird.

Die allgemeine grundlegende Zielfunktion der neuen Auswertungsmethode für einzelne Formelemente ist definiert als anteilige Summe der beiden Zielfunktionen der kleinsten Quadraten (1) und der Chebyshev-Zielfunktion (2 bzw. 3). Die Teilzielfunktionen (1 und 2, bzw. 3) sind mit jeweils einem Einstellparameter P₁ und P₂ multipliziert worden.

Die allgemeine grundlegende Zielfunktion für ein Werkstück aus mehreren Formflächen ist definiert als die Summe von Polynomen bestehend aus mehreren vereinzelten, sich ähnelnden neuen gemeinsamen Zielfunktionen (jede für eine Fläche des Werkstücks mit den dazugehörigen Meßpunkten) und mit zusätzlich mehreren Bedingungs- bzw. Verknüpfungsanforderungen zwischen den Elementen des Werkstücks, die in der integralen Zielfunktion durch den bekannten Lagrange'schen Multiplikatoren (als auch mit den Gewichtungskoeffizienten) gekoppelt sind, wobei jedes Teil der Einzeln-Zielfunktionen (Least-squares- und Chebyshevteil) mit Einstellparameter P1 und P2 multipliziert ist, wobei jede der tolerierten Bedingung- bzw. Verknüpfungsanforderungen (auch elliptische Verknüpfung) die vorgeschriebenen Toleranz-Grenzwerte und zusätzlich die Bedingungen, z. B. in Form einer Sinus-Funktion, beinhaltet, bei denen die Abweichung von der entsprechenden Bedingung- bzw. Verknüpfung zwischen zwei Elementen einen Wert kleiner bis gleich groß dem Toleranzwert erreicht und diesen Wert nie überschreiten kann.

Der Least Squares-Einstellparameter (Multiplikator) P₁ wird für die beiden neuen Zielfunktionen erfindungsgemäß sehr klein eingesetzt, während der Chebyshev- Einstellparameter (Multiplikator) P₂ groß gewählt wird.

Diese Einstellparameter P1 und P2 können stufenlos manuell unabhängig voneinander eingegeben oder automatisch generiert werden.

Dabei ist wichtig sowohl der absolute Wert der beiden Einstellparameter P1 und P2 als auch ihr Verhältnis P1/P2.

Die normgerechte Auswertung nach Chebyshev wird erzielt, wenn der Einstellparameter P1 den Wert Null einnimmt.

Die reine Least-square Auswertung wird erzielt, wenn der Einstellparameter P2 den Wert Null einnimmt.

Diese zwei Lösungen stellen lediglich die Randlösungen der neuen erfindungsgemäßen Zielfunktion dar. Mit unendlicher Vielzahl der Verhältnis von P1/P2 kann ebenso unendliche Vielzahl der Lösungen gefunden werden, die zwischen den beiden obigen Randlösungen liegen.

Dabei verändert sich kontinuierlich stets die Form als auch die Fehlerquadratensumme des jeweiligen Elements. Vergrößert man stets den Wert des Least-square Einstellparameters P1 von Null aufsteigend, so verschlechtert sich der Wert der Form von dem kleinsten Wert aufsteigend bis zu einer Form, die bei der Auswertung des Formelements nach der Least- square-Methode erscheint. Im gleichem Zug wird der Wert der Fehlerquadratensumme stets verbessert.

Vergrößert man dagegen stets den Wert des Chebyshev Einstellparameters P2 von Null aufsteigend, so verschlechtert sich der Wert der Fehler-Quadratensume von dem kleinsten Wert aufsteigend bis zur einen Wert, der bei der Auswertung des Formelements nach Chebyschev erscheint. Im gleichem Zug wird die Form des Elements stets verbessert.

Mit dem neuen Verfahren kann die eindeutige exakte Randlösung wahlweise nach Least- squares (Gauß) (1) oder nach Chebyshev (2) sowie jede Zwischenlösung ermittelt werden. Diese Zwischenlösung ist dabei keine wilde zufällige, sondern eine gewünschte und definierte, von unendlich vielen möglichen, kontrollierbaren zwischen Least-square(Gauß)- und Chebyshev liegenden Lösungen. Diese ununterbrochenen und stetigen Veränderungen der Form und Fehlerquadratensumme sind in der Fig. 6 bei am Beispiel eines Zylinders dargestellt.

Mit diese Erkenntnis liegt die Idee nahe, daß man diese Einstellparameter P1 und P2 so wählen kann, daß eine Auswertung jedes Elements immer erfolgen kann, sofern das Element mindestens nach der Least-square-Methode auszuwerten ist.

Normalerweise wird die normgerechte Chebyshev-Lösung gesucht. Zum diesen Zweck wird das Verhältnis der Einstellparameter P1/P2 auf Null gesetzt. Ist dann die Auswertung nicht möglich, wird die Verhältnis der Einstellparameter P1/P2 ganz klein, z. B. 0,00001 gesetzt. Mit so kleinem Least-square-Anteil in der Zielfunktion ist in meisten Fällen gesichert, daß die Auswertung ganz nahe der reinen Chebyshev-Lösung liegt. Die Unterschiede in der Form sind kaum messbar und können im Ergebnis vielleicht erst nach den ersten 6-Kommastellen auftreten.

Eine vorteilhafte automatische Einstellung der Parameter P1/P2 im neuen Verfahren soll in solche Sprünge erfolgen, die eine schnelle und bestmögliche Auswertung in die Richtung der Chebyshev-Lösung ermöglichen.

Das Verfahren kann zusätzlich die automatische "Filterung" der Meßpunkte (Fig. 3) ausführen, womit die Auswertung nach Chebyshev nicht nur eindeutig, sondern auch von den zufälligen oder versteckten Ausreißern gesichert ist.

Man kann weiterhin die Einstellparameter so stetig verändern, daß eine sinnvolle Reihe der Lösungen erhalten werden kann. In dieser Reihe findet man dann ein Spektrum der kontinuierlichen, konvergenten Lösungen (Fig. 5), die dann ein Bild von Messung der Oberfläche vermitteln können.

Die Größe der Einstellparameter P1/P2 ist von der Streuung und Verteilung der Meßpunkte abhängig. Je größer die Streuung ist, desto kleiner sollen diese Parameterwerte gewählt werden um das Pendeln um das Minimum der neuen Zielfunktion zu vermeiden. Liegt ein solcher Fall vor, sollen die Einstellparameter den Wert von 1/100 und weniger betragen.

Bei manchen Elementen, wie z. B. eines Elements gezeigt in der Fig. 8, das ohne jegliche Einschränkung ausgewertet wird, kann die Achsrichtung der Chebyshev-Lösung um einen kleinen Winkel innerhalb der kleiner Zylinderzone gekippt werden und dabei immer noch die beste Form behalten. Im allgemeinen können die Chebyshev-Lösungen ein wenig gekippt werden wobei sich die beste Form nur geringfügig (um kleinen Wert, der nicht messbar ist) verschlechtert.

Dieser Effekt ist hier in der integralen Auswertungsmethode mit der neuen allgemein fun­ damentalen Zielfunktion, die sowohl einen Least Square- als auch Chebyshev Algorithmus beinhaltet, ausgenutzt.

In der Auswertung eines Körpers wirkt jede der eingegebenen bzw. vorgeschriebenen Bedingungen und Verknüpfungen praktisch als eine Einschränkung, die dann die Achse des Best-Fit-Elements in die geforderte Richtung zu neigen versucht. Anderseits lockert das Toleranzband das eingeschränkte Feld, womit sich die Achse ein wenig in die Richtung des Best-Fit-Elements zurückneigt.

Da alle Flächen (Elemente) gleichzeitig ausgewertet werden, werden diese solche Richtung annehmen, daß die geforderten Bedingungen und Verknüpfungen des Werkstückes erfült werden und die bestmöglichen Formen aller Formelemente erreicht werden.

Wenn eine der Oberflächen mehr oder weniger wichtig als die alle anderen Oberflächen ist, wird der Gradient dieses Elements durch Gewichtung entsprechend multipliziert.

Auf diese Weise wird sichergestellt, daß alle Änderungen der besten Formen der Formele­ mente die kleinste sind, während die geforderten Verknüpfungen erfüllt werden und die Auswertung auch klar konvergiert.

Diese Methode ist selbstverständlich dann erfolgreich, wenn die verknüpften Abweichun­ gen, die durch herkömmliche KMM-Auswerteverfahren gewonnen werden, von den vorgeschriebenen Toleranzgrenzen nicht sehr weit abweichen und wenn die einzelnen ausgewerteten Form jeder Oberfläche gut sind.

Das Verfahren konvergiert sicher sowohl mit der minimalen, als auch mit sehr großer Punktzahl, was in der Fertigungsmeßtechnik sehr wichtig ist.

Somit kann das vorteilhafte Verfahren in der Koordinaten-Meßtechnik KMM (CMM) praktisch ohne Einschränkungen eingesetzt werden.

Im Folgenden wird der neue Auswertungsalgorithmus beschrieben.

In der on-line Fertigung ist es sehr wichtig, daß eine genaue, schnelle und flexible Berech­ nung von Startparametern jedes geometrischen Elements (Formelements) automatisch erfolgt. Das Finden von Startparametern erforderlicher Qualität ist bei der Auswertung von Formelementen oder Werkstücken mit großer Streuung und schlechter Verteilung der Meßpunkte für die Auswertezeiten (automatische Einstellung der Einstellparameter P1 und P2) wichtig.

Das Finden von Startparameter der erforderlichen Qualität ist in zwei Schritten beschrieben:

1. SCHRITT Linearisierung der Elementgleichung

Zielfunktion lautet: minimiere die Summe von Fehlerquadraten (wobei Punktabstände gleich Null gesetzt sind)

Beispiel Zylinder

Wobei: x₀, y₀, z₀ = Koordinatenvektor; R = Radius; nx, ny, nz = Richtungsvektor (Cosines in drei Koordinatenebenen) der Achse; n = Anzahl der Meßpunkte; x_i, y_i,. z_i = Koordinaten der Meßpunkte.

Die Linearisierung der Gleichung (a.1) in ein Polynom:

sind die Polynomkoeffiziente, die durch mehrstufigen Substitutionen, hier nicht gezeigt, definiert sind.

Die Gleichung (a.2) wird durch das Differenzieren von neun Variablen a_i in ein bekanntes System der Lineargleichungen entwickelt:

A ist Determinante (Jacobiane); B ist Vektor.

Zum Finden von Zylinder-Startparametern: x₀, y₀, z₀, nx, ny, nz, R muß danach noch das Gleichungssystem der Koeffizienten (a.3) gelöst werden.

SCHRITT 2 Iterative Auswertung von Parametern nach Methode der kleinsten Fehlerquadratensumme

Zielfunktion lautet: minimiere die Summe von Fehlerquadraten der Abweichungen (Least- square-Methode).

Beispiel Zylinder

Die Funktion (b.1) wird minimiert und auf bekannter Weise in die taylorische Reihe entwic­ kelt, wobei nur das lineare Reihenglied benutzt wird und in dem bekannten Newton'schen Iteratinsverfahren die Parameter stets verbessert werden. (Losung von nichtlinearen Glei­ chungssystemen).

Iterative Lösung des nichtlinearen Gleichungsystems, unter Verwendung der bekannten Newton'schen Methode:

wobei:
x _i die Variablen (x₀, y₀, z₀, R, nx, ny, nz) sind,
g Gradient ist, der aus der ersten Ableitung von (b.1) im Bezug auf die Variablen x _i entwic­ kelt ist,
J die Jacobiane-Matrix ist, die aus der ersten Ableitung des Gradients g im Bezug auf die Variablen x _i entwickelt ist,
k kennzeichnet den vorherigen Iterationsschritt.

Weil: J.Δ = g, (b.3)

kann die Gleichung (b.2) in eine geeignetere Form transformiert werden:

wobei Δ die iterative Verbesserungen der gesuchten Parameter sind.

Das Finden von Endparametern des Chebyshev-Formelements ist wohl bekannt, siehe [3], [5], [6].

Wenn jedoch die Startparameter auf irgendeiner Weise bereits vorhanden sind, können u. U. die erste zwei Schritte entfallen.

Im Folgenden werden die Algorithmen der neuen Zielfunktionen dargestellt:

• 1. Die allgemeine grundlegende Zielfunktion für einzelne Formelemente lautet:
  oder mit Lp-Approximationsteil:
  wobei:
  P₁ und P₂ die einstellbare Parameter (Multiplizierer) sind,
  p eine große Potenzzahl (z. B. 80) ist,
  λ_i Lagrang'sche Multiplikatoren für Nebenbedingungen sind,
  (mat _i) zeigt die mathematisch erforderlichen Bedingungen, wie z. B.:
  (nx² + ny² + nz² - 1 = 0),
  
• 2. Die allgemeine grundlegende Zielfunktion für ein Werkstück aus mehreren Formflächen lautet:
  Wobei:
  P₁ und P₂ die einstellbare Parameter (Multiplizierer) sind,
  stellt die Summe der partiällen Gaus-Zilefunktionen (Minimum der Fehler- Quadratensummen von 0 bis np Meßpunkte für jedes Formelement m) dar,
  stellt die Summe der partiällen Chebyshev-Zielfunktionen (Minimierung der betragsmaximalen von 0 bis np Meßpunktabstände) für jedes Formelement m) dar,
  m Anzahl der Formelemente ist,
  np Anzahl der Meßpunkte für jedes Formelement ist,
  k Anzahl der vorgeschriebenen und tolerierten Bedingungen bzw. Verknüpfungen zwi­ schen den Formelementen ist,
  v Anzahl der notwendigen mathematischen Bedingungen ist,
  g_m Gewichtungen der einzelnen Formflächen gemäß ihrer Wichtigkeit sind,
  p_k Gewichtungen (ponders) von einzelnen Bedingungen gemäß ihrer Wichtigkeit sind
  λ_v, λ_k Lagrang'sche Multiplikatoren für Nebenbedingungen sind,
  (mat _v) zeigt die mathematisch erforderlichen Bedingungen, wie z. B.:
  (nx² + ny² + nz² - 1 = 0),
  (p_k.Con _k + ϕ_D + tol_k.sin(α_k) zeigt die vorgeschriebenen und tolerierten Bedingungen bzw. Verknüpfungen zwischen den Elementen gemäß der Zeichnung,
  Con _k Winkel-Bedingungen (wie z. B. Parallelität, Orthogonalität, Neigung) oder die Ab­ standsbedingungen zwischen den kolerierten (verknüpften) Formflächen gemäß der Zeich­ nung sind,
  ϕ_D mittlere Abweichungen der Bedingungen für Abstände oder Winkel sind. Wenn ein vorgeschriebenes toleriertes Maß nicht symmetrisch ist, wird ein mittleres Toleranzmaß eingesetzt und die Exzentrizität (positive oder negative Differenz zwischen dem Wert 0 und dem mittleren Maß) wird zur vorgeschriebenen Bedingung für den Abstand oder Winkel addiert,
  tol_ke Größe der Toleranz (Toleranzbandbreite) gemäß der Zeichnung ist,
  α_ke Hilfsparameter (0 < α_ke < 2π) sind,
  sin(α_ke) stellt beispielsweise Sinus Funktion (oder Cosinus Funktion) dar, mit welcher gesichert werden kann, daß das vorgeschriebene Toleranzband zwar erreicht, aber nicht überschritten werden kann.

Wenn das elliptische Toleranzband gefordert wird, dann werden zwei projizierten Toleranzgrenzen zwischen den betreffenden Elementen mit der Ellipsengleichung (10) gekoppelt, wobei die Ellipsenachsen der geforderten Toleranzen in den entsprechenden Projektionsebenen darstellen.

Schritt 4

Gleichgültig, ob es um die einzelnen Formelementen, oder um das komplizierte Werkstück handelt, wird die neue allgemeine fundamentale Zielfunktion minimiert und die nicht lineare Teile auf bekannter Weise in die taylorische Reihe entwickelt, wobei nur das lineare Rei­ henglied benutzt wird und in dem bekannten Newton'schen Iteratinsferfahren die Parameter stets verbessert werden. (Losung von Nichtlinearen Gleichungssystemen).

Iterative Lösung des nichtlinearen Gleichungsystems, unter Verwendung der bekannten Newton'schen Methode lautet:

wobei: a _i Variablen des jeweiligen Formelements, z. B. (x₀, y₀, R, nx, ny, nz) sind,
Gradient ist, der aus der ersten Ableitung von (4) bzw. (6) im Bezug auf die Variablen a _i entwickelt ist;
J Jacobiane-Matrix ist, die aus der ersten Ableitung des Gradientes im Bezug auf die Variablen a _i entwickelt ist;
k kennzeichnet den vorherigen Iterationsschritt.

kann die Gleichung (7) in eine geeignetere Form transformiert werden:

wobei die iterative Verbesserungen der gesuchten Parameter sind.

Die geforderte elliptische Gleichung lautet:

Bei dieser Anwendung soll bemerkt werden, daß das Toleranzbereich auch in elliptischer Form gegeben werden kann (siehe Fig. 12). Das wird in den Fällen gefordert, wo man sicher sein muß, daß in keiner Richtung im 3-D Toleranzraum die angegebenen Projektionstoleranzen nicht überschritten werden.

Die Konvergenz und Eindeutigkeit des neuen Auswerteverfahrens beruht auf die überraschende Eigenschaft des Chebyshev-Verfahrens, daß es erst mit der integrierten Nebenbedingung von der beliebig kleinen Gewichtung des Least-squares, z. B. von 1/10.000, eine Konvergenzrichtung erhält, die globale (gerichtete) Lösung sichert. Die Untersuchungen an den Beispielen von mehreren Formelementen aus der Praxis haben gezeigt, daß mit der kontinuierlichen Veränderung eines Einstellparameters sich auch die Fehlerquadratsumne (FQS) und die Form (F) (siege Fig. 6), Orts- und Richtungsvektor (Fig. 7) und Maßgroße des Elements verändern. Alle Veränderungen zeugen von stetigen, kontrollierbaren und wiederholbaren Veränderungsfunktionen. Es handelt sich hier um einen kontinuierlichen Übergang von Gauß- zur Chebyshev-Lösung (und umgekehrt: von Chebyshev- zur Gauß-Lösung.

Das neue Auswerteverfahren ist praktisch in neuer Software angewendet und erprobt worden, siehe Flußdiagramm (Fig. 10).

Bei Datenangabe in dieser Software genügen die Meßpunkte, Toleranzwerte, Tasterradius und vorgeschriebene Verknupfungtoleranzen; keine Informationen über Art oder Reihenfolge der angetateten Formfläche oder über Startparameter sind erforderlich.

Dankt sehr flexibles und sicheres "blinden Finden" und Auswertung von Formelementen mit freiem Richtungsvektor im 3-D Raum, der in Schritten 1 und 2 beschrieben wird, kann jede Selektion automatisch durchgeführt werden.

Mit der Eingabe der Einstellparameter P1 und P2 vor oder nach der Eingabe der Toleranzforderungen (Fig. 10) wird die gewünschte Auswertungsform durchgeführt. Dabei ist kein Fachwissen erforderlich.

In einer einfachen Ausführung des Verfahrens für die Auswertung von Formelementen können die Startparameter in eine Datei eingelesen werden, wobei die Art der Erstellung von Startparameter belanglos ist. Um die Konvergenz des Iterationsverfahrens zu gewährleisten, sollten jedoch diese Startparameter nähe der Lösungsparameter liegen.

Diese Technik kann sowohl für die feinste KMM als auch für Meßrobotern oder ähnlichen Meßmaschinen verwendet werden, ohne daß man eine Absonderung der Ausreißer durchführen muß und ohne Gefahr, daß die Chebyshev_Lösung ohne Ergebnis verläuft.

Zur Verdeutlichung der Flexibilität der Software und des neuen Verfahrens soll nun bemerkt werden, daß man ohne Ausnahme allen 44 Testdateien des BCR-Tests [4] problemlos auswerten kann.

Die Meßpunkte können im karthesischen, sphärischen, zylindrischen oder anderem Koordinatensystem vorliegen.

Es zeigen die Figuren:

Fig. 1 eine Randlösung nach Gauß

Fig. 2 eine Randlösung nach Chebyshev

Fig. 3 automatische "Filterung" der Messpunkte fur die "gefilterete Chebyshev-Lösung

Fig. 4 eine Zwischenlösung (zwischen Gauß (least squares) und Chebyshev)

Fig. 5 ein Spektrum der kontinuierlichen, konvergenten Lösungen zwischen Gauß (least squares) und Chebyshev

Fig. 6 ein Diagramm der kontinuierlichen Veränderung der Fehlerquadratsummen und der Formabweichung zwischen der Chebyshev-Lösung und den Zwischenlösungen

Fig. 7 ein Diagramm der kontinuierlichen Veränderung der Winkeln und Winkelebene zwischen der Chebyshev-Lösung und den Zwischenlösungen

Fig. 8 eine Welle mit vielen Chebyshev Lösungen

Fig. 9 eine Pleuelstange mit den Toleranzen

Beschreibung der Figuren im Allgemeinen

Die Tabelle 1 bis 5 dienend nur als Illustration und diesen sollen nicht mit den realen Werten vom Einstellparameter verwechselt werden

In den Fig. 1 bis 3 sowie Fig. 6 bis 7 ist der Einstellwert des Parameters "P" gleich der Einstellwert des Parameters "P2" (des Chebyshev Multiplikators). Der Bereich des Einstellparameters wird zwischen null und 100 gewählt. Zum Beispiel wenn P gleich 30, dann ist P1 gleich 70. Die Summe P1 + P2 beträgt hier immer 100.

Fig. 1 zeigt eine Randlösung des erfindungsgemäßen Auswerteverfahrens, wobei der Einstellparameter "P" gleich 100 gesetzt ist. Diese Lösung entspricht exakt der least- square-Lösung

Fig. 2 zeigt eine Randlösung des erfindungsgemäßen Auswerteverfahrens, wobei der Einstellparameter "P" gleich Null gesetzt ist. Diese Lösung entspricht exakt der Chebyshev- Lösung.

Fig. 3 zeigt automatische "Filterung" der Meßpunkte für die Auswertung nach Chebyshev, womit dies Lösung nicht nur eindeutig, sondern auch von den zufälligen oder versteckten Außreißern gesichert wird. Die Absonderung der maximalen Punkten erfolgt intern nach der Gauß-Auswertung, die seriell vor der erfindungsgemäßen Auswertung eingeschaltet sein soll,

Fig. 4 zeigt eine Zwischenlösung des erfindungsgemäßen Auswerteverfahrens, wobei der Einstellparameter "P" zwischen Null und 100, gesetzt ist. Diese Zwischenlösung ist keine wilde, sonder eine gewünschte, definierte, von unendlich vielen möglichen, kontrollierbare Lösung zwischen Gauß und Chebyshev. In jeder diesen Zwischenlösung ist die Fehlerquadratsumme großer als bei der Gauß (least squares)-Lösung und geringer als bei Chebyshev-Lösung. Die Formabweichung ist dagegen kleiner als bei der Gauß-Lösung und großer als bei Chebyshev-Lösung.

Fig. 5 ein Spektrum der kontinuierlichen, konvergenten Lösungen zwischen Gauß (least squares) und Chebyshev. Man kann nämlich den Einstellparameter so stetig verändern, daß eine sinnvolle Reihe der Lösungen erhalten werden kann. In dieser Reihe findet man dann ein Spektrum der kontinuierlichen, konvergenten Lösungen, das dann ein Bild von Messung der Oberfläche vermitteln kann.

Fig. 6 ein Diagramm der kontinuierlichen Veränderung der Fehlerquadratsummen und Formabweichung zwischen der Chebyshev- und Gauß-Lösung.

Fig. 7 ein Diagramm der kontinuierlichen Veränderung der Winkeln und Winkelebene zwischen der der Chebyshev- und Gauß-Lösung. Die Untersuchungen an den Formelementen aus der Praxis, haben gezeigt, daß mit der kontinuierlichen Veränderung des Einstellparameters "P", auch die Ergebnisse kontinuierlich verändert werden, wie Fehlerquadratsumme und die Form (Fig. 6), Orts- und Richtungsvektoren (Fig. 7) und Maßgroße des Elements. Alle Veränderungen zeugen von stetigen, kontrollierbaren und wiederholbaren Veränderungsfunktionen. Es handelt sich hier um einen kontinuierlichen Übergang von Gauß- zur Chebyshev-Lösung (und umgekehrt: von Chebyshev- zur Gauß­ (least squares)-Lösung).

Fig. 8 zeigt eine Welle mit vielen Chebyshev Lösungen mit der gleichen minimalen Zylin­ derzone. Die Welle die ohne irgendwelche Einschränkung ausgewertet ist, kann durch einen kleinen Winkel innerhalb einer kleinen Zylinderzone gekippt werden wobei die Nei­ gung jedes Richtungsvektors innerhalb einer kleinen Zylinderzone immer das bes-fit Ele­ ment darstellt.

Fig. 9 zeigt eine Pleuelstange mit allen Toleranzen zwischen zwei Augen der Pleuelstange sowie die Toleranz zwischen dem großen Auge und der Bezugsfläche (A).

In der Fig. 10 ist der Flußdiagramm der wirksamen Software dargestellt, die auf der be­ schriebenen Methode für ein Werkstück basiert, das aus mehreren Formelementen besteht. Die Schritte 1-3 der Auswertung sind bereits oben beschrieben. Der Schritt 3 ist hier als Schritt 3a und 3b dargestellt. Die unterscheiden sich nur in der Art des Toleranzbandes, nämlich ob ein quadratisches oder ein elliptisches Toleranzband vorliegt.

In der Fig. 11 sind die erforderlichen Eingabedaten zur Auswertung einer Pleuelstange gemäß Fig. 9 dargestellt.

In Fig. 12 ist ein quadratisches und ein elliptisches Toleranzfeld dargestellt.

Literaturhinweise

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[7] DE 199 00 737 C2

Claims (7)

1. Verfahren für die nummerische Auswertung von Formelementen, wie Gerade, Kreis, Ellipse, Ebene, Kugel, Kegel, Zylinder oder Torus mit freien Ausrichtungen im dreidimensionalen Raum, aus Messpunkten, die in einem karthesischen, sphärischen, zylindrischen oder einem anderen Koordinatensystem dargestellt sind, wobei die Messpunktzahl großer als die Anzahl der zu berechnenden Parameter ist und die Parameter mit einer Zielfunktion entsprechend der Gauss-Methode als Minimum der Summe der Quadrate der Messpunktabstände von dem Formelement oder entsprechend der Chebyshev-Methode als Minimum der betragsmaximalen Messpunktabstände von dem Formelement bestimmt werden, dadurch gekennzeichnet, dass die Parameter mit einer Zielfunktion berechnet werden, die sowohl einen Anteil entsprechend der Gauss-Methode als auch einen Anteil entsprechend der Chebyshev- Methode aufweist, wobei die Gewichtung der jeweiligen Anteile fest vorgegeben oder in Form eines Einstellparameters frei wählbar ist.

2. Verfahren für die nummerische integrale Auswertung von Werkstücken, beste­ hend aus mehreren Formelementen mit freien Ausrichtungen im dreidimensionalen Raum, aus Messpunkten, die in karthesischen, sphärischen, zylindrischen oder einem anderen Koordinatensystem dargestellt sind, wobei die Messpunktzahl größer als die Anzahl der zu berechnenden Parameter ist,
bei dem die Parameter des Werkstückes und die theoretischen Verknüpfungen der einzel­ nen Formelementen zueinander mit einer
integralen Zielfunktion,
die sowohl Anteile entsprechend Gauss-Methode als auch Anteile entsprechend der Chebyshev-Methode für jedes einzelnen Formelement aufweist, wobei eine Gewichtung der jeweiligen Anteile fest vorgegeben oder in Form eines Einstellparameters frei wählbar ist, und in die zusätzlich sämtlichen tolerierten Verknüpfungen zwischen den Formflächen und Gewichtungen der einzelnen Formflächen eingeschlossen werden,
unter Berücksichtigung aller Toleranzen für die jeweiligen Formelementen und für die Verknüpfungen ermittelt werden.

3. Verfahren für die nummerische Auswertung der Formelementen oder von Werk­ stücken nach Anspruch 1 oder 2, dadurch gekennzeichnet, dass sich die freien einstellbaren Parameter im ganzen Bereich von einer Randlösung entsprechend der exakten Chebyshev-Lösung in Richtung der exakten Gauss-Lösung automatisch bis zum bestmöglichen normgerechten Lösung verändern.

4. Verfahren für die nummerische Auswertung von Werkstücken nach Anspruch 2 oder einem der folgenden Ansprüchen, dadurch gekennzeichnet, dass das quadratische oder elliptische Toleranzfeld für die Verknüpfung der vorgeschriebe­ nen Toleranzen in zwei Projektionsebenen eingesetzt werden kann.

5. Verfahren für die nummerische Auswertung von Werkstücken nach Anspruch 2 oder einem der folgenden Ansprüchen, dadurch gekennzeichnet, dass die sowohl das symmetrische als auch das asymmetrische Toleranzband eingegeben werden kann

6. Verfahren für die nummerische Auswertung der Formelementen oder von Werkstü­ ken nach Anspruch 1 oder 2 und einem der folgenden Ansprüchen, dadurch gekennzeichnet, dass das iterative Finden von Werkstücksparamatern ohne stetige Koordinatentransforma­ tion in dreidimensionalem Raum erfolgt.

7. Verfahren für die nummerische Auswertung der Formelementen oder von Werkstüc­ ken nach Anspruch 1 oder 2 und einem der folgenden Ansprüchen, dadurch gekennzeichnet, dass das Finden von Startparameter von Formelementen nach der modifizierten Least- Square-Zielfunktion erfolgt bei welcher die Abständen der Meßpunkte zum jeweiligen Formelement gleich Null gesetzt werden und die Linearisierung durch Substitutionen in mehreren Stufen erfolgt.