DE102009038844A1

DE102009038844A1 - Verfahren zur Abschätzung eines Leckstroms in einem Halbleiterbauelement

Info

Publication number: DE102009038844A1
Application number: DE102009038844A
Authority: DE
Inventors: Kyung-Tae Hwasung Do; Jung-Yun Hwasung Choi; Bong-Hyun Hwasung Lee; Young-Hwan Hwasung Kim; Hyo-Sig Hwasung Won; Wook Hwasung Kim
Original assignee: Samsung Electronics Co Ltd
Current assignee: Samsung Electronics Co Ltd
Priority date: 2008-08-28
Filing date: 2009-08-26
Publication date: 2010-03-25
Also published as: GB2462936B; JP2010056554A; US20100058258A1; US8156460B2; CN101661525B; JP5558758B2; KR101504594B1; GB0915132D0; CN101661525A; GB2462936A; KR20100025951A

Abstract

Für ein Verfahren zum Abschätzen des Leckstroms in einem Halbleiterbauelement wird ein Chip, der eine Vielzahl von Zellen enthält durch ein Rastermodell in Segmente eingeteilt. Eine räumliche Korrelation als räumliche Korrelation zwischen Prozessparametern, welche für den Leckstrom in jeder der Zellen verantwortlich ist, wird bestimmt. Eine virtuelle Zellleckstromcharakteristikfunktion der Zelle wird durch arithmetische Berechnung der realen Leckstromcharakteristikfunktion erzeugt. Eine Segmentleckstromcharakteristikfunktion wird durch arithmetische Berechnung der virtuellen Zellleckstromcharakteristikfunktion jeder der Zellen in dem Segment erzeugt. Dann wird eine Gesamtchipleckstromcharakteristikfunktion durch statistische Berechnung der Segmentleckstromcharakteristikfunktion von jedem Segment in dem Chip erzeugt. Dementsprechend kann die benötigte Rechenleistung für die Wilkinsonmethode zur Erzeugung der Gesamtchipleckstromcharakteristik deutlich verringert werden.

Description

Verweis auf die Prioritätsanmeldung
Diese Anmeldung beansprucht die Priorität der koreanischen Patentanmeldung Nr. 10-2008-0084718 , welche am 28. August 2008 angemeldet wurde und deren Inhalt hiermit komplett mit einbezogen wird.
Fachgebiet der Erfindung
Beispielhafte Ausführungsformen beziehen sich auf ein Verfahren zur Abschätzung des Leckstromes in einem Halbleiterbauselement, insbesondere auf ein Verfahren zum Simulieren und Abschätzen des Gesamtchipleckstromes für Schaltkreisdesigns in Halbleiterbauelementen.
Grundlagen
Mit der wachsenden Integration und der Verkleinerung der Halbleiterbauelemente erwachsen schwerwiegende Probleme in Bezug auf das Entstehen von Leckströmen. Die Abschätzung von Leckströmen und Techniken zur Reduktion der Leckströme sind daher einer der wichtigsten Designfaktoren in der Herstellung integrierter Schaltungen. Ein zunehmender Leckstrom behindert nicht nur den normalen Betrieb des integrierten Schaltkreises, sondern verbraucht auch übermäßig viel Leistung und wird daher immer kritischer für die Schaltkreisgüte integrierter Schaltkreise. Insbesondere haben Batteriebetriebene Geräte mit integrierten Schaltkreisen, sowie Mobil- und Handheld-Elektronik, immer mehr Verbreitung gefunden und daher ist der übermäßige Leistungsverbrauch ein kritischer Faktor für die Güte von batteriegetriebenen Geräten geworden. Aus diesen Gründen ist die Bestimmung von Leckströmen und Techniken zur Reduzierung von Leckströmen ein wichtiger Faktor beim Entwerfen von integrierten Schaltkreisen geworden. Die meisten der Techniken zur Bestimmung und Reduzierung von Leck strömen ist auf Unterschwellwertleckströme aufgrund der Verringerung der Betriebsspannungen und der damit einhergehenden Reduzierung der Schwellwertspannungen gerichtet. Durch den gegenwärtig hohen Grad der Integration und der abnehmenden Größe der integrierten Schaltkreise, ist auch der Gateleckstrom der an der Gateelektrode eines integrierten Schaltkreises auftritt genauso wie der Unterschwellwertleckstrom ein wichtiger Faktor beim Entwerfen von integrierten Schaltkreisen geworden. Dementsprechend wird eine genaue Bestimmung des Gesamtchipleckstroms immer häufiger gefordert für den Entwurf von Schaltkreisen um sowohl den Unterschwellwertleckstrom als auch den Gateleckstrom zu bestimmen Insbesondere bei der gegenwärtig sehr hohen Integrationsdichte der (VLSI) Chips tritt, wegen der reduzierten Dicke der Gateisolationsschicht, häufig das Tunneln von Ladungsträgern durch die Gateisolationsschicht häufig auf, und damit ist es nötig geworden, den Gateleckstrom beim Entwerfen von VLSI Chips zu berücksichtigen.
In den letzten Jahren wurden verschiedene Modelle zum Abschätzen des Gesamtleckstromes des Chips vorgeschlagen. Es ist bekannt, dass der Gesamtleckstrom in einem Chip von mehreren Faktoren beeinflusst wird, beispielsweise Prozessparameter, der Linienbreite und der kritischen Dimension (CD) der Bitmuster und äußeren Einflüssen wie beispielsweise Kanaltemperatur, Betriebsspannung (Vdd), Schaltkreistopologie und der zulässigen Last. Ein spezifisches Modell zum Abschätzen des Gesamtleckstroms in Bezug auf einen bestimmten Parameter ergibt daher keine genaue Information über den Gesamtleckstrom in einem Chip.
Es wurden daher statistische Modelle zur Gesamtleckstromabschätzung in einem Chip vorgeschlagen, bei welchem übliche experimentelle Ergebnisse von gut bekannten statistischen Verfahren verarbeitet werden und der Gesamtleckstrom des Chips unter Berücksichtigung aller oben genannter Parameter inklusive der Prozessparameter und der äußeren Einflüsse berücksichtigt werden. Insbesondere wird aus all den oben genannten statistischen Modellen ein normallogarithmisches Abschätzungsmodell als Modell für die Gesamtleckstromabschätzung benutzt. Entsprechend des normallogarithmisches Abschätzungsmodells wird jede Messgröße der Prozessparameter und der äußeren Einflüsse als eine Zufallsvariable der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (PDF) dargestellt, und dadurch eine normallogarithmische PDF in Bezug auf jeden der verschiedenen Prozessparameter und der äußeren Einflüsse erzeugt. Jede der normallogarithmischen PDFs wird dann in einer einzigen gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsfunktion zusammengefasst, wobei der Gesamtleckstrom des Chips unter Berücksichtigung all der oben genannten Faktoren minimiert wird. Die Werte der Zufallsvariablen am optimalen Punkt der einzigen gesamten Wahrscheinlichkeitsfunktion werden als optimale Designfaktoren aufgefasst, um den Gesamtleckstrom in einem Chip zu minimieren. Die Zufallsvariable der normallogarithmischen PDF entspricht einem Exponenten der Zufallsvariable der normalen PDF, und damit ist auch das Produkt der normallogarithmischen Zufallsvariablen entsprechend der normallogarithmischen Verteilung verteilt. Aus diesem Grund wird die normallogarithmische Variable häufig für statistische Abschätzungen und Berechnungen einer Situation herangezogen, in der der statistische Fehler stark von der Multiplikation der äußeren Faktoren abhängt.
Das statistische Modell zum Abschätzen des Gesamtleckstroms des Chips, welches die normallogarithmische PDF (im Weiteren als normallogarithmisches Leckstromabschätzungsmodell benannt) weist jedoch eine starke Berechnungskomplexität auf. Insbesondere erhöht sich die Berechnungskomplexität des normallogarithmischen Leckstromabschätzungsmodells wenn die Anzahl der äußeren Faktoren mit den statistischen Fehlern des normallogarithmischen Leckstromabschätzungsmodells in Beziehung steht. Die Anwendung des normallogarithmische Leckstromabschätzungsmodell ist daher in Bezug auf ein Schaltkreisdesign stark beschränkt.
Gemäß einem gebräuchlichen normallogarithmischen Leckstromabschätzungsmodell wird ein Halbleiterchip durch ein Raster in eine Vielzahl von Abschätzungsregionen eingeteilt und die normallogarithmische PDF wird für jede dieser Abschätzungsregionen erzeugt. Jede der normallogarithmischen PDFs an den Abschätzungsregionen wird unter Berücksichtigung der räumlichen Korrelation zwischen den Abschätzungsregionen statistisch aufsummiert, um dadurch eine normallogarithmische PDF des gesamten Chips zu erhalten, welche die Wahrscheinlichkeit eines Leckstroms des gesamten Chips auf einem Wafer angibt.
Insbesondere lässt sich der Leckstrom einer willkürlichen Zelle l auf dem Chip wie folgt ausdrücken, wenn der Leckstrom durch einen beliebigen äußeren Faktor i beeinflußt wird.
Der Polynomterm in der obigen Exponentialfunktion 1 entspricht einer Normalverteilung mit einem Mittelwert a₀ und einer Abweichung von Σa 2 / j falls die Parameter P_j und R entsprechend einer Standardnormalverteilung N(0, 1) verteilt sind. Der Leckstrom an einer beliebigen Zelle wird dann gemäß Gleichung (1) auf dem gesamten Chip berechnet, und ist daher für den gesamten Chip gemäß einer logarithmischen Normalverteilung verteilt.
In der obigen Gleichung (1), ist der Parameter P_j ein globaler Parameter der äußere Umgebungsfaktoren an jedem der Chips abbildet. Das bedeutet, der Parameter P_j umfasst eine Zufallsvariable, welche einer zufälligen Schwankung im Herstellungsprozess eines Halbleiterbauelementes entspricht. Die Zufallsvariable des individuellen Chips umfasst die Schwankung eines die-to-die Parameters gemäß welcher der Parameter über den gesamten Chip einheitlich schwankt und eine Schwankung eines within-die Parameter gemäß welcher der Parameter nicht einheitlich über den gesamten Chip schwankt, und die Schwankung des within-die Parameters daher als räumliche Korrelation ausgedrückt werden kann.
Außerdem entspricht der Parameter R in der oben genannten Gleichung (1) einem lokalen Parameter als eine einzige Zufallsvariable, in welcher mehrere unabhängige Variable zusammengefasst sind. Jede unabhängige Variable hat einen individuellen Einfluss auf den Leckstrom an einem Ort auf dem Chip unabhängig von anderen Variablen. Eine Vielzahl der unabhängige Variablen kann als eine einzige Variable behandelt werden ohne das ein Berechnungsfehler in Gleichung (1) auftritt, und daher kann die Anzahl der Variablen in der Stromgleichung (1) deutlich reduziert werden, wodurch auch die notwendige Rechenleistung signifikant reduziert wird.
Die Parameter a₀, a_j, a_n ₊₁, in Gleichung (1) sind Anpassungskoeffizienten, um die Verteilung der Wahrscheinlichkeitsfunktion gemäß Gleichung (1) in eine Normalverteilung zu transformieren und geben eine Korrelation zwischen dem globalen Parameter und dem lokalen Parameter und dem Leckstrom an. Wenn die Wahrscheinlichkeitsfunktion gemäß Gleichung (1) mit dem globalen Parameter und dem lokalen Parameter in eine Normalverteilung transformiert wird, wird das Produkt der logarithmischen Normalverteilung in eine Summe der Standardnormalverteilung transformiert, um dadurch die Rechenleistung, die nötig ist um den Leckstromabschätzungsprozess durchzuführen, signifikant zu reduzieren.
Da der Leckstrom an einer beliebigen Stelle durch Gleichung (1) in Bezug auf einen spezifischen Eingabeparameter berechnet wird, kann ein Mittelwert für den Leckstrom über den gesamten Chip (Gesamtchipleckstrom) in Bezug auf alle dieser Eingabeparameter durch folgende Gleichung (2) berechnet werden.
In Gleichung (2) oben entspricht Pr_i der Wahrscheinlichkeit, dass ein beliebiger Eingabeparameter i auf eine beliebige Zelle l auf dem Chip angewandt wird und wobei m die Anzahl der Eingabeparameter ist und p die Anzahl der Zellen auf dem Chip.
Wie in obiger Gleichung (2) gezeigt, wird der Gesamtleckstrom des Chips durch die Summation der normallogarithmischen Verteilungen berechnet und die Wilkinsonmethode ist weit verbreitet für die Summation der normallogarithmischen Verteilung.
Gemäß der Wilkinsonmethode wird mit Hilfe eines ersten und eines zweiten Momentes wie es im Folgenden gezeigt wird eine einzelne logarithmische Normalvertei lung erzeugt, welche statistisch gleich der Summe der individuellen logarithmischen Normalverteilungen sein kann.
In Gleichung (3) enthält jede der Wahrscheinlichkeitsverteilungen Y_i eine Normalverteilung mit einem Mittelwert von
und einer Standardabweichung von
. Unter der Annahme, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung Z der äquivalenten normallogarithmischen Wahrscheinlichkeitsfunktion eine Normalverteilung mit einem Mittelwert von
und einer Standardabweichung von
ist, ergeben sich die ersten und zweiten Momente der äquivalenten logarithmischen Normalverteilung wie folgt
In der obigen Gleichung (5) bedeutet r_ij einen Korrelationskoeffizienten zwischen den verschiedenen Wahrscheinlichkeitsverteilungen Y_i und Y_j.
Lösungen der beiden Gleichungen (4) und (5) stellen den Mittelwert und die Standardabweichung der Wahrscheinlichkeitsverteilung Z bereit, um daraus die logarithmische Normalverteilung Z bestimmen zu können. Dann wird der Gesamtleckstrom des Chips durch die logarithmische Normalverteilung Z abgeschätzt.
Wie jedoch der zweite Term in Gleichung (5) zeigt verursachen die Korrelationskoeffizienten zwischen den verschiedenen Wahrscheinlichkeitsverteilungen gewöhnlicherweise einen enormen Rechenaufwand um die statistische Summation von Gleichung (5) durchzuführen, wodurch die Rechenkomplexität von Gleichung (5) sich signifikant vergrößert.
Die Rechenkomplexität des normallogarithmischen Verteilungsmodells wird aus der Anzahl der individuellen logarithmischen Normalverteilung bestimmt und ausgedrückt als O(N²). N ist die Anzahl der individuellen logarithmischen Normalverteilungen die statistisch aufsummiert werden, indem die ersten und zweiten Momente berechnet werden. Entsprechend des gewöhnlichen normallogarithmischen Verteilungsmodells zur Bestimmung des Gesamtleckstroms des Chips werden eine Anzahl von (NC·M) von unabhängigen logarithmischen Nomalverteilungen erzeugt, wenn der gesamte Chip eine Anzahl von NC von Zellen enthält und es M Arten von Leckströmen gibt und sich die Rechenkomplexität der Wilkinsonmethode zu O((NC·M)²) ergibt. Die Betiebskomplexität nimmt daher extrem zu, wenn die Wilkinsonmethode für eine relativ große Anzahl von elektrischen Schaltkreisen durchgeführt wird und schließlich die Rechenkapazität von entgegenwärtigen Computersystemen übersteigt. Insbesondere, wenn der Integrationsgrad von Halbleiterbauelementen steigt, und damit die Anzahl der elektrischen Schaltkreise auf einem kleinen Bereich des Substratmaterials integriert wird, nimmt die Betriebskomplexität der Wilkinsonmethode weiter zu und am Ende kann die Wilkinsonmethode nicht angewandt werden, um den gesamten Leckstrom des gesamten Chips zu bestimmen.
Aus oben genannten Gründen gibt es daher einen Bedarf an einem verbesserten Abschätzmodell, um den Leckstrom eines gesamten Chips abzuschätzen in welcher der Gesamtchipleckstrom mit verbesserter Genauigkeit und mit relativ geringer Betriebskomplexität bestimmt werden kann.
Zusammenfassung
Beispielhafte Ausführungsformen stellen ein Verfahren zur Abschätzung des Gesamtchipleckstromes für ein Halbleiterbauelement bereit.
Entsprechend einiger beispielhafter Ausführungsformen wird ein Verfahren zum Abschätzen eines Leckstromes in einem Halbleiterbauelement bereitgestellt. Als erstes wird der Chip auf einem Substrat in eine Anzahl von Segmenten unterteilt. Der Chip kann eine Vielzahl von Zellen enthalten, auf denen mehrere Einheiten Leitfähiger Strukturen eines integrierten Schaltkreises ausgebildet werden. Eine räumliche Korrelation zwischen Prozessparametern, die für die Leckströme in jeder der Zellen von Bedeutung sind, kann ermittelt werden. Es kann eine virtuelle Zellleckstromcharakteristikfunktion der Zelle erzeugt werden durch die arithmetische Nutzung realer Leckstromcharakteristikfunktionen und einem virtuellen Leckstrom, der durch die virtuelle Zellleckstromcharakteristikfunktion erzeugt wird, welche dem Leckstrom in den Zellen entspricht. Eine Segmentleckstromcharakteristikfunktion lässt sich arithmetisch aus der virtuellen Zellleckstromcharakteristikfunktionen jeder Zelle in dem Segment erzeugen. Die Segmentleckstromcharakteristikfunktionen können einen virtuellen Leckstrom, welcher von allen Segmenten des Chips erzeugt wird, berechnen. Eine Gesamtchipleckstromcharakteristikfunktion kann durch statistische Berechnung der Segmentleckstromcharakteristikfunktion jedes Segments des Chips erzeugt werden. Die Gesamtchipleckstromcharakteristikfunktion kann einen virtuellen Leckstrom, wie er in einem gesamten Chip des Halbleiterbauelements erzeugt wird, berechnen.
Gemäß einer beispielhaften Ausführungsform werden die reale Leckstromcharakteristikfunktion und die virtuelle Zellleckstromcharakteristikfunktion im Bezug auf die Prozessparameter durch ein Exponentialpolynom ausgedrückt.
Zum Beispiel kann die reale Leckstromcharakteristikfunktion eine erste Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (PDF) enthalten, welche einen ersten Leckstrom ermittelt, welcher durch die Prozessparameter verursacht wurde und durch Gleichung (1) ausgedrückt werden kann und eine zweite PDF, welche einen zweiten Leckstrom ermittelt, der durch die Prozessparameter verursacht wird und durch Gleichung (2) ausgedrückt werden kann
Die virtuelle Zellleckstromcharakteristikfunktion kann eine dritte PDF enthalten, die der arithmetischen Summation der ersten und zweiten PDF entspricht und damit durch Gleichung (3) ausgedrückt wird
(wobei der kleine Buchstabe e in der obigen Gleichung auf den natürlichen Logarithmus hinweist und p_i den Prozessparameter wiedergibt, der den Leckstrom in der Zelle verursacht).
In einer weiteren beispielhaften Ausführungsform kann ein Exponentialterm der ersten PDF ein Polynom einer Normalverteilung umfassen mit einem Mittelwert a₀ und einer Schwankung von
so dass die erste PDF als logarithmische Normalverteilung gemäß Gleichung (4) ausgedrückt werden kann
Ein Exponentialterm der zweiten PDF umfasst ein Polynom einer Normalverteilung mit einem Mittelwert b₀ und einer Schwankung von
so dass die zweite PDF als logarithmische Normalverteilung gemäß Gleichung (5) ausgedrückt werden kann
Ein Exponentialterm der dritten PDF kann ein Polynom einer Normalverteilung umfassen mit einem Mittelwert von c₀ und einer Schwankung von
so dass die zweite PDF als logarithmische Normalverteilung entsprechend der Gleichung (6) ausgedrückt werden kann
unter der Bedingung, dass

wobei a, b und c einem Anpassungskoeffizienten einer Normalverteilung entspricht, M1 und M2 einem ersten und zweiten Moment einer dritten PDF entspricht, R einem lokalen Parameter entspricht bei dem die ersten und zweiten Leckströme unabhängig von einander erzeugt werden und P einem globalem Parameter entspricht, bei dem die ersten und zweiten Leckströme beide gemeinsam erzeugt werden.
Die ersten und zweiten Momente der dritten PDF können statistisch wie folgt erhalten werden: M1 = E[ef₁ + ef₂], M2 = E[(ef₁ + ef₂)2].
Der Anpassungskoeffizient c_j kann durch die folgenden Schritte erhalten werden: Erstens kann eine zweite Momentäquivalenzbedingung einer Zusammensetzung einer logarithmischen Normalverteilung angewandt werden unter der Bedingung, dass eine beliebige logarithmische Normalverteilung e^Z zu den rechten und linken Seiten von Gleichung (3) hinzugefügt werden, um eine Gleichung (7) wie folgt zu erhalten:
Die Gleichung (7) kann dann in eine Taylorreihe erster Ordnung entwickelt werden und die Taylorreihe von Gleichung (7) kann in eine identische Gleichung in Bezug auf eine beliebige Zufallsvariable z der beliebigen normallogarithmischen Verteilung e^Z entwickelt werden.
Gemäß einer weiteren Ausführungsform kann der globale Parameter eine chipbasierte Variable enthalten, die den Leckstrom des Chips umfasst und außerdem eine inner-Chip Variable mit einer räumlichen Korrelation zwischen den Leckströmen in dem Chip und den lokalen Parameter der Variablen ohne Korrelation zwischen den Leckströmen in dem Chip enthält.
In einer weiteren beispielhaften Ausführungsform können die ersten und zweiten Leckströme einen Unterschwellwertleckstrom beziehungsweise einen Gateleckstrom enthalten.
In einer weiteren Ausführungsform kann die virtuelle Zellleckstromcharakteristikfunktion eine PDF einer normallogarithmischen Funktion enthalten von der der Exponentialterm ein Polynom einer Normalverteilung mit einem Mittelwert c₀ und einer Schwankung von
ist, so dass die virtuelle Zellleckstromcharakteristikfunktion gemäß Gleichung (8) ausgedrückt werden kann,
(wobei, R einen lokalen Parameter bedeutet der keine räumliche Korrelation zwischen den Zellen in den Segmenten bedeutet und m eine Anzahl von Prozessparametern bedeutet die nicht als die lokalen Parameter in dem Segment behandelt werden). Die Segmentleckstromcharakteristikfunktion kann dann durch arithmetisches addieren der virtuellen Leckstromcharakteristikfunktion ausgedrückt durch Gleichung (8) an jeder Zelle in dem Segment erzeugt werden. Die Segmentleckstromcharakteristikfunktion umfasst eine PDF einer logarithmischen Normalverteilung von der der Exponentialterm einem Polynom einer Normalverteilung entspricht.
In einer weiteren Ausführungsform kann die virtuelle Zellleckstromcharakteristikfunktion miteinander wie folgt addiert werden. Eine zweite Momentäquivalenzbedingung einer normallogarithmischen Verteilungszusammensetzung kann in der Wilkinsonmethode angewandt werden um dadurch eine Exponentialpolynomgleichung zu erhalten. Die Exponentialpolynomgleichung kann dann in Taylor Reihen erster Ordnung entwickelt werden, und die Taylor Reihen der Exponentialpolynomgleichung können in Bezug auf die Zufallsvariable einer beliebigen normallogarithmischen Verteilung in eine identische Gleichung entwickelt werden. In diesem Fall enthält die Segmentleckstromcharakteristikfunktion entweder den Unterschwellwertleckstrom oder den Gateleckstrom.
In einer weiteren Ausführungsform umfasst der Schritt der Berechnung der Gesamtchipleckstromcharakteristikfunktion das Bestimmen eines Mittelwerts und einer Schwankung in dem die ersten und zweiten Momente einer Anzahl von Segmentleckstromcharakteristikfunktionen genutzt werden.
In einer weiteren Ausführungsform kann die reale Leckstromcharakteristikfunktion durch das Analysieren experimenteller Daten erhalten werden wobei die Daten den Leckstrom und die Prozessparameter umfassen. Beispielsweise kann die reale Leckstromcharakteristikfunktion durch eine Regressionsanalyse der experimentellen Daten erhalten werden, sodass eine statistische Beziehung zwischen dem Leckstrom und dem Prozessparameter erzeugt wird.
In einer weiteren Ausführungsform kann der Prozessparameter einen globalen Parameter mit einer chipbasierten Variable enthalten welche den Leckstrom des Chips einschließt und eine inner-Chip Variable welche eine räumliche Korrelation zwischen den Leckströmen im Chip aufweist und wobei der lokale Parameter die Variablen ohne räumliche Korrelation zwischen den Leckströmen im Chip einschließt.
In einer weiteren Ausführungsform kann der Prozessparameter einen beliebigen Parameter umfassen welcher in Beziehung zu einer beliebigen Schwankung steht die von äußeren Faktoren während des Herstellungsprozesses verursacht wurde und einen systematischen Parameter der eine Beziehung zu einer systematischen Schwankung hat, welche durch physikalische Faktoren des Prozesssystems des Herstellungsprozess verursacht wurde.
In einer weiteren Ausführungsform kann die beliebige Schwankung als eine PDF ausgedrückt werden mit dem beliebigen Parameter als Variable die die Wahrscheinlichkeitsverteilung bestimmt und wobei die systematische Schwankung als räumliche Korrelationsmatrix ausgedrückt werden kann.
In einem weiteren Ausführungsbeispiel kann der Prozessparameter eines der Folgenden enthalten: Temperatur eines Abscheideprozesses, Dicke einer abgeschiedenen Schicht, eine Strukturbreite und eine Gatespannung.
In einer weiteren Ausführungsform, kann die Schwankungsanalyse außerdem durch arithmetische Berechnung der virtuellen Zellleckstromcharakteristikfunktion und einer ergänzenden Leckstromcharakteristikfunktion welche einen ergänzenden Leckstrom der Zelle bestimmt ermittelt werden, um dadurch die Schwankung der virtuellen Zellleckstromcharakteristikfunktion in Folge der ergänzenden Leckstromcharakteristikfunktion zu analysieren.
Gemäß weiterer Ausführungsformen können die logarithmischen Normalverteilungen der Leckstromcharakteristikfunktion nicht durch einen statistischen Prozess sondern durch einen arithmetischen Prozess summiert werden welcher ein Exponentialpolynom der PDF einer normallogarithmischen Verteilung nutzt. Hierdurch kann die Komplexität der Wilkinsonmethode zur Erzeugung einer Gesamtchipleckstromcharakteristikfunktion entscheidend reduziert werden ohne die Genauigkeit der Gesamtchipleckstromcharakteristikfunktion zu verschlechtern.
Durch das Durchführen einer Hauptkomponentenanalyse (PCR) auf einen Waferchip kann zusätzlich die Rechenüberlastung zum Bestimmen der räumlichen Korrelationsmatrix erheblich verringert werden. Außerdem ist eine Schwankungsanalyse zum Analysieren des Einflusses einer Schwankung auf eine reale Leckstromcharakteristikfunktion auf eine virtuelle Zellleckstromcharakteristikfunktion als eine Schrittweise Analyse in der konventionellen Wilkinsonmethode bekannt, und kann durch lediglich eine Reihe von arithmetischen Operationen durchgeführt werden, um dadurch die Rechenlast der konventionellen Wilkinsonmethode erheblich zu verringern.
Kurze Beschreibung der Figuren
1 ist ein Flussdiagram eines Verfahrens zum Bestimmen eines Gesamtchipleckstroms eines Halbleiterbauelements;
2 ist eine Draufsicht welche einen Chip auf einem Wafer darstellt auf dem eine Vielzahl von Segmenten gemäß eines Rastermodells ausgebildet ist; und
3 zeigt ein Flussdiagram mit Prozessschritten zum Erzeugen der virtuellen Zellleckstromcharakteristikfunktion aus 1.
Beschreibung der Ausführungsformen
Im Folgenden werden verschiedene beispielhafte Ausführungsformen in Bezug auf die beigefügten Figuren in welchen einige beispielhafte Ausführungsformen gezeigt sind weiter ausgeführt. Dennoch kann die gegenwärtige Erfindung auf weitere verschiedene Arten ausgeführt werden und sollte daher nicht auf die folgenden nur beispielhaft genannten Ausführungsformen beschränkt werden. Vielmehr sind diese beispielhaften Ausführungsformen dargelegt damit diese Beschreibung deutlich und vollständig ist und den Umfang der vorliegenden Erfindung für den Fachmann vollständig offenbart. Zur besseren Darstellung sind Größen und relative Größen von Schichten und Bereichen eventuell übertrieben dargestellt.
Es ist klar dass falls ein Element oder eine Schicht als „auf”, „verbunden mit” oder „gekoppelt mit” zu einem anderen Element oder Schicht dargestellt ist, dass es dann sowohl „direkt auf”, „verbunden” oder „gekoppelt mit” dem anderen Element oder Schicht oder aber dass dazwischen liegende Elemente oder Schichten vorhanden sind. Im Gegensatz dazu, falls ein Element als „direkt auf”, „direkt verbunden mit” oder „direkt gekoppelt mit” einem anderen Element oder einer Schicht dargestellt ist, dass dann keine Zwischenelemente oder Schichten vorhanden sein können. Gleiche Bezugszeichen bezeichnen immer gleiche Elemente. Der Ausdruck „und/oder” bedeutet im Folgenden alle Kombinationen von einem oder mehreren der dazugehörenden Begriffe.
Es wird außerdem klargestellt, dass obwohl die Ausdrücke erster, zweiter, dritter, etc. genutzt werden um verschiedene Elemente, Komponenten, Bereiche, Schichten und/oder Sektionen zu beschreiben, diese Elemente, Komponenten, Bereiche, Schichten und/oder Sektionen sind nicht auf diese Ausdrücke beschränkt sind sondern dienen lediglich dazu ein Element, Komponente, Bereich, Schicht oder Sektion von einem anderen Bereich, Schicht oder Sektion zu unterscheiden. Ein erstes Element, Komponente, Bereich, Schicht oder Sektion wie im Folgenden verwendet, kann daher auch als zweites Element, Komponente, Bereich, Schicht oder Sektion ausgedrückt werden ohne die Lehre der vorliegenden Erfindung zu ändern.
Räumlich relative Ausdrücke wie „darunter”, „unter”, „niedriger”, „über”, „obere” und ähnliche werden benutzt um ein Element oder Eigenschaft in Beziehung zu einem anderen Element oder Eigenschaft wie sie in den Figuren dargestellt ist leichter zu beschreiben. Es wird aber klargestellt, dass die räumlich relativen Ausdrücke verschiedene Richtungen der Bauelemente während der Nutzung oder des Betriebs zusätzlich zu der Richtung wie sie in den Figuren dargestellt ist umfasst. Falls das in den Figuren dargestellte Bauelement beispielsweise umgedreht wird, sind die Elemente die beschrieben sind „unter” oder „unterhalb” anderer Elemente oder Einrichtung würde dann in Bezug auf die anderen Elemente „über” ausgerichtet sein. Der beispielsweise verwendete Ausdruck „darunter” kann daher sowohl eine Orientierung über als auch unter bedeuten. Das Bauelement kann auch anders ausgerichtet sein (um 90 Grad gedreht oder entsprechend einer anderen Richtung) und die räumlich relativen Ausdrücke müssen dann entsprechend interpretiert werden.
Die folgende genutzte Terminologie dient ausschließlich dazu die speziellen beispielhaften Ausführungsformen zu beschreiben und es ist nicht beabsichtigt die vorliegende Erfindung darauf zu beschränken. Die Einzahlformen „ein”, „einer” und „der” sollen auch die Pluralform umfassen, es sei denn es ist im Zusammenhang klar anders dargestellt. Es soll außerdem klar gestellt werden, dass die Ausdrücke „enthält” und/oder „enthaltend” falls sie in der Beschreibung genutzt werden, das Vorhandensein beschriebener Merkmale, Schritte, Zahlen, Handlungen, Elemente und/oder Komponenten beschreiben aber dass das Vorhandensein oder das Hinzufügen von einem oder mehrerer anderer Eigenschaften, Zahlen, Schritte, Handlungen, Elemente, Komponenten, und/oder Gruppen davon nicht ausgeschlossen sind.
Beispielhafte Ausführungsformen sind im Folgenden im Bezug auf Querschnitte gezeigt, welche schematische Darstellung einer idealisierten beispielhaften Ausführungsform darstellen (und Zwischenstrukturen). Demgemäß sind auch Schwankungen der Formen der Abbildungen zum Beispiel der Herstellungstechniken und/oder Toleranzen zu erwarten. Solche beispielhaften Ausführungsformen sollen nicht einschränkend auf besondere Formen oder Bereiche wie dargestellt ausgelegt werden, sondern umfassen auch Abweichungen in Formen welche beispielsweise durch den Herstellungsprozess hervorgerufen werden. Beispielsweise hat ein implantierter Bereich der als rechtwinklig dargestellt ist typischerweise abgerundete oder gebogene Züge und/oder auch eine Implantatkonzentration zeigt an ihren Kanten eher einen Gradienten als einen binären Übergang von implantiert zu nicht implantieren Bereich. Ebenso kann ein vergrabener Bereich der durch Implantation hergestellt wurde auf das Ergebnis einer Implantation in einen Bereich zwischen der begrabenen Region und der Oberfläche entstanden sein durch welchen die Implantation durchgeführt wurde. Die in den Figuren dargestellten Regionen sind daher von Natur aus schematisch und ihre Formen zeigen nicht die reale Form der Region eines Bauelementes und beschränken nicht den Umfang der vorliegenden Erfindung.
Soweit nicht anders definiert, haben sämtliche Ausdrücke (inklusive der technischen und der wissenschaftlichen Ausdrücke) die Bedeutung die ein Fachmann auf dem Gebiet dieser Erfindung der Bedeutung entnimmt. Es wird außerdem klargestellt, dass solche Ausdrücke die in üblichen Wörterbüchern genutzt werden entsprechend der Bedeutung zu interpretieren sind, die der Bedeutung im Zusammenhang mit dem Stand der Technik zukommt und nicht in einer idealisierten oder in einem überformalen Sinn zu interpretieren sind es sei denn es ist ausdrücklich im Folgenden so definiert.
Im Folgenden werden die beispielhaften Ausführungsformen im Bezug auf die beigefügten Figuren genauer beschrieben.
1 ist ein Flussdiagramm das ein Verfahren zur Bestimmung eines Gesamtchipleckstroms eines Halbleiterbauelementes zeigt. 2 ist eine Draufsicht die einen Chip auf einem Wafer darstellt auf dem eine Vielzahl von Segmenten entsprechend eines Rastermodells ausgebildet ist.
Gemäß 1 und 2 wird ein Waferchip 100 in eine Vielzahl von Segmenten eingeteilt um entsprechend einer beispielhaften Ausführungsform des vorliegenden Erfindungskonzeptes (Schritt S100) einen Gesamtchipleckstrom zu ermitteln. Der Waferchip kann eine Vielzahl von Zellen enthalten auf denen eine Vielzahl leitfähiger Strukturen für integrierte Schaltkreise angeordnet ist.
In einer beispielhaften Ausführungsform enthält der Waferchip 100 ein DRAM Bauelement mit einem Transistor und einem Kondensator als Arbeitseinheit und ein Flashspeicherbauelement mit einem Auswahltransistor, einem Zelltransistor und einem Massetransistor, welche als Arbeitseinheit in einer Linie angeordnet sind. Die Oberfläche des Waferchips 100 kann durch ein virtuelles Raster in eine Vielzahl von Segmenten A eingeteilt werden und eine Vielzahl an Zellen an jedem der Segmente A positioniert werden. Eine Vielzahl an Arbeitseinheiten kann in jeder der Zellen angeordnet werden. In der vorliegenden beispielhaften Ausführungsform wird der Waferchip 100 in neun Segmente A eingeteilt und jedes der Segmente A wird mit einem Matrixindex gekennzeichnet. Verschiedene leitfähige Strukturen werden entsprechend des Herstellungsprozesses in jedem Segment A auf dem Wafer ausgebildet. Beispielsweise werden erste und zweite leitfähige Strukturen C1 und C2 auf einem ersten Segment A11 und eine dritte und vierte leitfähige Struktur C3 und C4 wird auf einem fünften Segment A22 und einem neunten Segment A33 entsprechend ausgebildet. Die dritten und/oder vierten leitfähigen Strukturen C3 und C4 sind im Wesentlichen identisch zu dem ersten und/oder zweitem leitfähigen Strukturen C1 und C2 was dem Fachmann aber bekannt ist.
Ein lokaler Leckstrom wird von jedem der Segmente A auf dem Waferchip 100 erzeugt und ein Gesamtleckstrom, welcher von dem Waferchip 100 erzeugt wird (Gesamtchipleckstrom) kann durch den folgenden Prozess abgeschätzt werden.
Als erstes werden verschiedene Prozessschwankungen, welche lokale Leckströme an jeder Zelle verursachen, detektiert und jeder Prozessparameter, der einer Prozessschwankung entspricht, kann für jede der Zellen gefunden werden. Dann wird eine räumliche Korrelation zwischen den Prozessparametern der gleichen Prozessschwankung auf dem Waferchip 100 bestimmt (Schritt S200).
In einer beispielhaften Ausführungsform werden verschiedene Bitmusterschwankungen durch die verschiedenen Faktoren in dem Herstellungsprozess eines Halbleiterbauelements generiert und der Leckstrom in einem Transistor kann durch die Bitmusterschwankungen beeinflusst werden. Beispielsweise kann die Größe oder die Form eines Bitmusters durch eine Linsenstörung im Belichtungsprozess verändert werden oder durch Schwankungen der Prozessbedingungen im Ätzprozess. Die Musterschwankung oberhalb eines erlaubten Bereiches können Prozessfehler in jedem einzelnen Prozess während des Herstellungsprozesses verursachen. Die Bitmusterschwankungen im Herstellungsprozess eines Halbleiterbauelements können eine zufällige Schwankung enthalten welche durch Schwankungen der Prozessbedingungen und eine systematischen Schwankung verursacht durch die Charakteristik und Spezifikation des Systems oder der Geräte zur Durchführung des einzelnen Prozesses.
Die zufällige Schwankung zeigt eine Art Bitmusterschwankung die entsprechend der Prozess und Waferbedingungen zufällig erzeugt wird, und ein statistisches Abschätzungsmodell mit allen Prozessparametern eines bestimmten einzelnen Prozesses als eine beliebige Variable kann eine genaue Gütevariation eines Halbleiterbauelements in Bezug auf die Prozessparameter bilden. Beispielsweise kann der Leckstrom auf Grund einer zufälligen Schwankung durch eine Wahrscheinlichkeitsdichte (PDF) im Bezug auf die beliebige Variable in Beziehung zur zufälligen Schwankung beschrieben werden.
Die systematische Schwankung bildet eine Art von Bitmusterschwankung ab die auf Grund der systematischen Faktoren der realen Geräte zur Durchführung des Prozesses erzeugt werden und ist im Bezug auf ein Referenzgebiet eine relative Schwankung des Bitmusters in einem lokalen Bereich. Die systematischen Faktoren der technischen Geräte umfassen beispielsweise Nebeneffekte auf einem entsprechenden Layout und Positionsschwankungen eines Wafers innerhalb des Herstellungsgerätes. Die systematische Schwankung kann daher numerisch quantifiziert werden durch eine ausgedehnte Korrelation basierend auf jeder Positionsfunktion des lokalen Bereiches auf dem Wafer, aber nicht durch eine einzige PDF im Bezug auf spezifische Prozessparameter im Falle einer beliebigen Schwankung.
Obwohl beispielsweise die zweite leitfähige Struktur C2 auf dem ersten Segment All gleich der dritten leitfähigen Struktur auf dem fünften Bereich A22 ist, kann die Wahrscheinlichkeit von Bitmusterschwankungen jeweils unterschiedlich sein, da die erste und fünfte leitfähige Struktur in verschiedenen Gebieten auf dem Waferchip 100 angeordnet ist. Der Wahrscheinlichkeitsunterschied der Bitmusterschwankung jeder leitfähigen Struktur an jedem der Segmente und der statistische Zusammenhang zwischen denselben leitfähigen Strukturen bei verschiedenen Segmenten wird auf dem Waferchip 100 bestimmt, um dadurch die räumliche Korrelation zwischen den Prozessparametern zu erhalten.
Die Prozessparameter können beispielsweise eine Abscheidetemperatur und die Dicke einer abgeschiedenen Schicht in einem Abscheideprozess, eine Linienbreite eines Bitmusters und eine Spannung einer Gateelektrode (Vdd) umfassen.
Es kann dann eine reale Leckstromcharakteristikfunktion welche eine PDF eines Leckstroms einer bestimmten Struktur abbildet für eine Zelle des Waferchips 100 bestimmt werden, um dadurch verschiedene reale Leckstromcharakteristikfunktionen der Zelle zu erzeugen. Danach werden die verschiedenen realen Leckstromcharakteristikfunktionen statistisch aufsummiert um eine virtuelle Zellleckstromcharakteristikfunktion zu bilden welche eine PDF eines Gesamtleckstroms bezeichnet die von der Zelle auf dem Waferchip 100 erzeugt wird (Schritt S300).
Verschiedene reale Leckströme werden von jeder der Zellen auf dem Waferchip 100 entsprechend mechanischer Charakteristiken der Leckstrom und Prozessbedingungen erzeugt wobei die Prozessparamter entsprechend jedem der realen Leckströme gleich oder voneinander unterschiedlich sein können.
Ein spezieller Prozessparameter welcher einen besonderen realen Leckstrom umfasst und keinen Effekt auf die anderen realen Leckströme hat wird als lokale Variable definiert und ein anderer Prozessparameter der alle anderen realen Leckströme gemeinsam umfasst, wird als globale Variable definiert. Die globalen Variablen können eine chipbasierte Variable umfassen die den realen Leckstrom des Chips umfasst und eine inner-Chip Variable mit einer räumlichen Korrelation zwischen den realen Leckströmen des Chips. Die lokale Variable umfasst alle der inner-Chip Variablen und der außen-Chip Variablen die keine räumliche Korrelation zwischen den realen Leckströmen des Chips aufweisen.
3 ist ein Flussdiagram das die Prozessschritte zur Erzeugung der virtuellen Zellleckstromcharakteristikfunktion aus 1 zeigt.
In einer weiteren Ausführungsform wird ein Wafer auf dem verschiedene leitfähige Strukturen und Bitmuster in einem Herstellungsprozess ausgebildet wurden untersucht und verschiedene experimentelle Daten die eine Korrelation zwischen jedem der Prozessparameter und jedem der realen Leckströme bezeichnen können durch verschiedene gut bekannte Untersuchungsprozesse erhalten werden. Die experimentell gewonnenen Daten werden dann statistisch ausgewertet um ein Exponentialpolynom als reale Leckstromcharakteristikfunktion zu erhalten (Schritt S320).
Beispielsweise werden die Untersuchungsprozesse wiederholt an einem Testchip durchgeführt um die Leckstromcharakteristik zu untersuchen und verschiedene experimentelle Daten die einen Zusammenhang zwischen dem realen Leckstrom und den Prozessparametern werden erhalten und in einer vorbestimmten Datenstruktur gespeichert. Die Datenstruktur wird dann durch ein statistisches Modell statistisch ausgewertet um die reale Leckstromcharakteristikfunktion in einem Schaltkreisentwurf zu erzeugen.
Die Datenstruktur der Korrelation zwischen dem realen Leckstrom und den Prozessparametern wird statistisch mit einer Regressionsanalysemethode berechnet, und der reale Leckstromcharakteristikfunktion wird im Bezug auf den realen Leckstrom als eine PDF ausgedrückt (im Weiteren als Realleckstrom PDF bezeichnet).
Demgemäß wird der reale Leckstrom von einer besonderen Zelle eines spezifischen Segments auf dem Waferchip 100 mit einer logarithmischen Normalverteilung durch eine PDF im Bezug auf die oben genannten lokalen und globalen Variablen gemäß folgender Gleichung (1) definiert
Der Polynomausdruck in der PDF von Gleichung (1) entspricht einer statistischen Korrelation zwischen dem Prozessparameter und einem spezifischem realen Leckstrom einer spezifischen Zelle wie er durch die Regressionsanalysemethode erhalten wurde. Die Zufallsvariablen P und R in der obigen Gleichung (1) können entsprechend einer Normalverteilung variiert werden wobei die Normalverteilung einen Mittelwert a₀ und eine Standartabweichung von
und der Koeffizient a in der obigen Gleichung (1) einen Eigenwert zum Anpassen des realen Leckstroms an den jeweiligen Prozessparameter umfasst (im Folgenden als Anpassungskoeffizient bezeichnet).
Dementsprechend ist die Realleckstromcharakteristikfunktion eine PDF einer logarithmischen Normalverteilung, da der Exponentialterm von Gleichung (1) eine Normalverteilung darstellt.
Verschiedene reale Leckströme werden von dem Segment des Waferchips 100 gemessen und die Realleckstromcharakteristikfunktion wird in Bezug auf jeden der realen Leckströme durch die Regressionsanalysemethode entsprechend in jeder möglichen Zelle des gleichen Segments erzeugt. Dadurch kann eine Vielzahl realer Leckstromcharakteristikfunktionen in Bezug auf jeden realen Leckstrom in einer brauchbaren Zelle des Waferchips 100 erzeugt werden.
In der vorliegenden beispielhaften Ausführungsform wird die virtuelle Leckstromcharakteristikfunktion durch den folgenden Prozess erzeugt unter der Annahme, dass zwei Arten der realen Leckströme in dem gleichen Segment auf dem Waferchip 100 gemessen werden.
Werden jedoch drei oder mehr Arten des aktuellen Leckstroms im selben Segment gemessen, ist es dem Fachmann klar, dass die virtuelle Leckstromcharakteristikfunktion durch den gleichen Prozess gebildet werden kann. Ein erster Leckstrom wird entsprechend mit der ersten PDF wie durch Gleichung (1) beschrieben zugeteilt und ein zweiter Leckstrom wird entsprechend einer zweiten PDF in der folgenden Gleichung (2) beschrieben zugeteilt.
Der Exponentialausdruck in der zweiten PDF von Gleichung (2) definiert eine Normalverteilung mit einem Mittelwert b₀ und einer Standardabweichung von
und der Koeffizient b ist der Anpassungskoeffizient der zweiten PDF. Dementsprechend ist die aktuelle Leckstromcharakteristikfunktion welche dem zweiten realen Leckstrom entspricht eine PDF einer normallogarithmischen Verteilung da der Exponentialausdruck von Gleichung (2) eine Normalverteilung darstellt.
Jede der realen Leckstromcharakteristikfunktionen entsprechend dem ersten und zweiten realen Leckstrom kann arithmetisch, nicht statistisch, berechnet werden um dadurch die dritte PDF an eine virtuelle Zellleckstromcharakteristikfunktion in Bezug auf die spezielle Zelle des Segments zu erzeugen (Schritt S330). Angenommen, dass die erste, zweite und dritte PDF beschrieben ist als e^A, e^B und e^C, kann die virtuelle Zellleckstromcharakteristikfunktion durch die folgende Gleichung (3) genähert werden eA + eB = eC (3) Gleichung drei kann dann wieder als Polynomtyp gemäß folgender Gleichung (3-1) beschrieben werden
Die Polynome des Exponentialausdrucks von Gleichung (3) werden arithmetisch, nicht statistisch berechnet um wie im Folgenden beschrieben die Rechenlast im Vergleich zur konventionellen Wilkinsonmethode zu reduzieren. Die Bestimmung der Koeffizienten c_j in obiger Gleichung (3-1) erfordert (n + 2) gleichzeitige Gleichungen. Zwei der (n + 2) Gleichungen können durch eine statistische Methode erhalten werden und der Rest der n Gleichungen wird durch eine Korrelationsanalyse zwischen den realen Leekströmen ermittelt. Eine Lösung der (n + 2) parallelen Lineargleichungen bestimmt den Koeffizienten c_j aus obiger Gleichung (3-1) um hieraus die dritte PDF zu erzeugen.
Die obigen zwei Gleichungen welche man durch statistische Methoden erhält können ein erstes und ein zweites Moment einer dritten PDF sein wie sie im Folgenden beschrieben wird. Ein Mittelwert und eine Abweichung in der dritten PDF ist μ_c und σ_c, entsprechend der folgenden Gleichungen (4) und (5). μc = 2ln(M1) – 12 ln(M2) = c0 (4)
In oben genannten Gleichungen (4) und (5) sind M₁ und M₂ das erste und zweite Moment der dritten PDF welches jeweils statistisch durch die Wilkinsonmethode erhalten wird.
Um die anderen n Gleichungen zu erhalten wird auf der rechten und linken Seite von Gleichung (3) eine beliebige zusätzliche logarithmische Normalverteilung des be liebigen realen Leckstroms addiert. Wenn zwei beliebige logarithmische Normalverteilungen summiert werden, entspricht der Summationsprozess der vorliegenden Ausführungsform im Wesentlichen der konventionellen Wilkinsonmethode. Wird jedoch eine andere normallogarithmische Verteilung zu den Summationsergebnissen der beiden normallogarithmischen Verteilungen addiert, unterscheidet sich der Summationsprozess gemäß der vorliegenden Ausführungsform klar von der üblichen Wilkinsonmethode. Der Unterschied der Summation gemäß der üblichen Wilkinsonmethode und der vorliegenden Erfindung liegt in der Korrelation zwischen der auf der linken und rechten Seite ergänzten logarithmischen Normalverteilung in obiger Gleichung (3).
Gemäß der üblichen Wilkinsonmethode, werden zwei beliebige logarithmische Normalverteilungen statistisch summiert um eine erste zusammengesetzte logarithmische Normalverteilung zu erzeugen welche von der originalen normallogarithmischen Verteilung komplett verschieden ist und statistisch äquivalent zu der Summe der originalen logarithmischen Normalverteilungen ist. Die ursprüngliche logarithmischen Normalverteilunge der Prozessparameter wird komplett ersetzt durch eine logarithmische Normalverteilung, nämlich die erste zusammengesetzte logarithmische Normalverteilung der gleichen Prozessparameter welche statistisch äquivalent zu der Summe der originalen normallogarithmischen Verteilung ist. Durch das Hinzufügen einer zusätzlichen logarithmischen Normalverteilung zu der ersten zusammengesetzten logarithmischen Normalverteilung erzeugt eine zweite zusammengesetzte logarithmische Normalverteilung die komplett verschieden von der ersten zusammengesetzten logarithmischen Normalverteilung ist und welche statistisch äquivalent zu der Summe der zusätzlichen logarithmischen Normalverteilung und der ersten zusammengesetzten logarithmischen Normalverteilung ist. Ein realer zusätzlicher Leckstrom ausgedrückt durch die zusätzliche logarithmische Normalverteilung hat daher eine statistische Korrelation mit einem virtuellen äquivalenten Leckstrom wie er der ersten zusammengesetzten logarithmischen Normalverteilung entspricht und hat keine statistische Korrelation mit den realen Leckströmen gemäß der originalen logarithmischen Normalverteilungen.
Aus oben genannten Gründen ist die zweite zusammengesetzte logarithmische Normalverteilung auf der linken Seite von Gleichung (3), beispielsweise das Ergebnis der Summation der zusätzlichen logarithmischen Normalverteilung zur linken Seite von Gleichung (3), nicht statistisch korreliert mit den Ergebnissen der Summation der logarithmischen Normalverteilung zur rechten Seite von Gleichung (3). Daher kann die zweite zusammengesetzte logarithmischen Normalverteilung auf der linken Seite von Gleichung (3) in Bezug auf die Ergebnisse der Summation auf der rechten Seite von Gleichung (3) Rechenfehler aufweisen.
Um die Rechenfehler in der zweiten zusammengesetzten logarithmischen Normalverteilung zu eliminieren, muss die Bildung der Summe zu Erzeugung der zweiten zusammengesetzten logarithmischen Normalverteilung das Bilden der Summe zum Erzeugen der ersten zusammengesetzten logarithmischen Normalverteilung enthalten. Das heißt, dass die Summenbildung der normallogarithmischen Verteilungen auf der linken Seite von Gleichung 3 parallel durchgeführt wird und nicht Schritt für Schritt nacheinander. Die Rechenlast der gewöhnlichen Wilkinsonmethode wird durch die steigende Zahl der addierten logarithmischen Normalverteilungen enorm erhöht.
Kann Gleichung 3 jedoch ohne das Addieren der zusätzlichen normallogarithmischen Verteilungen zur rechten und linken Seiten erreicht werden, kann die äquivalente logarithmische Normalverteilungen mit hoher Genauigkeit allein durch die arithmetische Summierung der logarithmische Normalverteilungen erreicht werden und nicht durch die statistische Summation der logarithmischen Normalverteilungen. Die arithmetisch äquivalente logarithmische Normalverteilung behält die statistische Korrelation zwischen den realen Leckströmen in Bezug auf die Prozessparameter bei und kann die Rechenfehler der gewöhnlichen Wilkinsonmethode ausreichend eliminieren.
Angenommen, dass die zusätzliche logarithmische Normalverteilung als e^z dargestellt wird, dann kann die Addition der zusätzlichen logarithmische Normalverteilung zu Gleichung 3 gemäß folgender Gleichung 6 ausgedrückt werden. (eA + eB) + eZ = eC + eZ (6)um eine statistisch gleiche linke und rechte Seite von Gleichung 6 zu erhalten, müssen die ersten und zweiten Momente auf der linken und rechten Seite von Glei chung 6 jeweils gleich sein. Die ersten und zweiten Momente aus Gleichung 6 lassen sich durch folgende Gleichungen 7 und 8 darstellen. E[eC + eZ] = E[eA + eB] + E[eZ] = E[eA + eB + eC] (7) E[(eC + eZ)2] = E[((eA + eB) + eZ)2] → E[eCeZ] = E[eAeZ + eBeZ] (8)
Gleichung 8 lässt sich durch folgende Gleichung 9 ausdrücken.
Danach lässt sich folgende Gleichung 10 aus Gleichung 9 ableiten.
Wenn dann der Koeffizient c_j unabhängig von der willkürlichen zusätzlichen normallogarithmischen Verteilung Z berechnet wird, und daher dann Gleichung 10 in Bezug auf Z identisch wird, lassen sich die Polynome der dritten normallogarithmischen Verteilung e^C unabhängig von den addierten logarithmischen Normalverteilungen berechnen.
Da Gleichung 10 jedoch sehr kompliziert ist, können zur Bestimmung von c_j Modifikationen von Gleichung 10 genutzt werden.
Beispielsweise lässt sich Gleichung 10 in Taylorreihen erster Ordnung entwickeln und die Taylorreihen können in Bezug auf Z unter der Bedingung, dass Gleichung 10 eine identische Gleichung in Bezug auf die Verteilung Z ist wie in folgender Gleichung 11 gezeigt, festgelegt werden.
In der obigen Gleichung 11 bedeutet k_j einen Mittelwert der Koeffizienten der normallogarithmischen Verteilung. Die dritte normallogarithmische Verteilung e^C umfasst die Summe der realen Leckströme in der gleichen Zelle und entspricht daher dem Mittelwert der Koeffizienten der ersten und zweiten normallogarithmischen Verteilungen e^A und e^B.
Der Parameter c_j der identischen Gleichung 11 lässt sich unabhängig von Z gemäß der folgenden Gleichung 12 berechnen.
Da E[e^C] = E[e^A] + E[e^B]
Die Koeffizienten c1 c_n lassen sich durch die Gleichung 13 berechnen und der Koeffizient cn + 1 lässt sich durch die folgende Formel 14 berechnen.
Die dritte logarithmische Normalverteilung e^C welche die arithmetische Summe der ersten und zweiten normallogarithmischen Verteilungen e^A und e^B lässt sich als Exponentialpolynom unabhängig von der beliebig hinzugefügten normallogarithmische Verteilungen e^z ausdrücken.
Als Ergebnis lassen sich mehrere reale Leckströme einer Zelle des Waferchips 100 Schritt für Schritt arithmetisch aufsummieren, um dadurch einen einzigen virtuellen äquivalenten Leckstrom der Zelle zu erhalten, welche sich als einzelne virtuelle Leekstromcharakteristikfunktion der Zelle ausdrücken lässt. Der äquivalente Leckstrom enthält daher alle Arten der realen Leckströme, wie sie von der Zelle erzeugt werden und die virtuelle Leckstromcharakteristikfunktion ist statistisch äquivalent zu allen Arten der realen Leckstromcharakteristikfunktionen. Im Folgenden wird die Zelle für die die Leckstromcharakteristik durch die virtuelle Leckstromcharakteristikfunktion bestimmt wird, als virtuelle Zelle bezeichnet.
Da die virtuelle Leckstromcharakteristikfunktion durch die arithmetische Summe der realen Leckstromcharakteristikfunktionen erhalten wird, lässt sich die Auswirkung eines zufälligen realen Leckstroms auf dem virtuellen äquivalenten Leckstrom der virtuellen Zelle gemäß dem vorliegenden Ausführungsbeispiel in der Erfindung leicht abschätzen.
Angenommen, dass die willkürliche virtuelle Zelle i von der die virtuelle Leekstromcharakteristikfunktion bestimmt wird drei Arten von realen Leckstromcharakteristikfunktionen A, B und C enthält und eine weitere beliebige virtuelle Zelle j drei Arten von realen Leckstromcharakteristikfunktionen A, B und D enthält, lässt sich die virtuelle Leckstromcharakteristikfunktion der virtuellen Zelle j leicht durch die folgenden arithmetischen Rechnungen ermitteln. ftotal)celli = f(A) + f(B) + f(C) (15) ftotal)cellj = ftotal)celli – f(C) + f(D) (16)
Ist dann die virtuelle Leckstromcharakteristikfunktion der ersten Zelle bekannt, lässt sich die virtuelle Leckstromcharakteristikfunktion der zweiten Zelle mit der bekannten virtuellen Leckstromcharakteristikfunktion oder einer dazu ähnlichen Leekstromcharakteristikfunktion als eine reale Leckstromcharakteristikfunktion allein durch arithmetische Berechnung der anderen Leckstromcharakteristikfunktionen, die den ersten und zweiten Zellen nicht gemeinsam sind leicht ermitteln. In dem vorliegenden Beispiel sind die realen Leckstromcharakteristikfunktionen C und D den beiden ersten und zweiten Zellen nicht gemeinsam und die reale Leckstromcharakteristikfunktion wird von der bekannten Leckstromcharakteristikfunktion, welche der virtuellen Leekstromcharakteristikfunktion der ersten Zelle entspricht abgezogen und die reale Leekstromcharakteristikfunktion D wird zu der bekannten realen Leckstromcharakteristikfunktion hinzu addiert. Ist die reale Leckstromcharakteristikfunktion einer Zelle gleich der einer anderen Zelle, dann lässt sich die virtuelle Leckstromcharakteristikfunktion der Zelle mit deutlich reduziertem Rechenaufwand leicht bestimmen.
Einer modifizierten beispielhaften Ausführungsform des vorliegenden Beispiels lässt sich die arithmetische Erzeugung der äquivalenten Leckstromcharakteristikfunk tion auf ein Erwartungsmodell zum Erwarten eines Effekts der ergänzenden aktuellen Leckstromcharakteristikfunktion auf eine virtuelle Leckstromcharakteristikfunktion einer willkürlichen virtuellen Zelle. Angenommen, dass eine willkürliche virtuelle Zelle i von der die virtuelle äquivalente Leckstromcharakteristikfunktion schon bekannt ist, die drei Arten der realen Leckstromcharakteristikfunktion A, B und C enthält und eine zusätzliche reale Leckstromcharakteristikfunktion D zu der virtuellen Zelle i hinzu addiert wird, lässt sich die virtuelle äquivalente Leckstromcharakteristikfunktion der willkürlichen virtuellen Zelle i leicht dadurch erhalten, dass nur die zusätzliche reale Leckstromcharakteristikfunktion D arithmetisch zu der bekannten virtuellen äquivalenten Leckstromcharakteristikfunktion addiert wird, wie in folgenden Gleichungen 17 und 18 gezeigt ist. ftotal)original = f(A) + f(B) + f(C) (17) ftotal)afteradding = ftotal)original + f(D) (18)
Wenn außerdem einige der realen Leckströme in der Zelle auf dem Waferchip 100 variiert werden, lässt sich die Änderung der äquivalenten Leckstromcharakteristikfunktion der virtuellen Zelle aufgrund der Änderung der realen Leckstromcharakteristikfunktion allein dadurch leicht erhalten, dass die Änderung der realen Leckstromcharakteristikfunktion arithmetisch verarbeitet wird. Eine Änderungsanalyse der realen Leekstromcharakteristikfunktion, welche im Wesentlichen identisch zu der schrittweisen Erhöhungsanalyse der üblichen Wilkinsonmethode ist, lässt sich mit deutlich reduzierter Rechenleistung durchführen. Die Änderungsanalyse der realen Leckstromcharakteristikfunktion lässt sich außerdem zu der schrittweisen Erhöhungsanalyse einer Zelle anwenden zum Analysieren der Änderung der äquivalenten Leckstromcharakteristikfunktion für den Fall, dass die virtuelle Zelle zu dem gesamten Waferchip 100 hinzugefügt oder weggenommen wird. Wenn jede der virtuellen Leckstromcharakteristikfunktionen aller Zellen auf dem Waferchip 100 berechnet sind (zum Beispiel eine Gesamtchipleckstromcharakteristikfunktion wird mit dem Waferchip 100 berechnet) und einige der Zellen werden entfernt oder geändert entsprechend der Anforderung des Schaltungsdesigns, lässt sich die Änderung der Gesamtchipleckstromcharakteristikfunktion aufgrund der Zelländerung durch die arithmetische Operation ohne Neuberechnung der Gesamtchipleckstromcharakteristikfunktion aufgrund des Zellwechsels leicht berechnen. Eine Änderung der Gesamtchipleckstromcharakteristikfunktion aufgrund eines Zellwechsels lässt sich beim Designen eines elektrischen Schaltkreises daher ohne zusätzlichen Rechenaufwand leicht bestimmen.
Eine Vielzahl virtueller Zellleckstromcharakteristikfunktionen lassen sich in dem gemeinsamen Segment zueinander addieren, um dadurch eine Segmentleckstromcharakteristikfunktion zu erhalten (Schritt S400). Falls eine einzelne Zelle in dem Segment A angeordnet ist, entspricht die virtuelle Zellleckstromcharakteristikfunktion der Segmentleckstromcharakteristikfunktion und wenn eine Vielzahl von Zellen in dem Segment A angeordnet sind entspricht die arithmetische Summe der virtuellen Zellleckstromcharakteristikfunktionen der Segmentleckstromcharakteristikfunktion.
Da die virtuellen Zellleckstromcharakteristikfunktionen als ein Exponentialpolynom der logarithmischen Normalverteilung in der die Koeffizienten nicht durch einen statistischen Prozess, sondern durch eine arithmetische Rechnung bestimmt werden, beschrieben werden kann, lässt sich die Segmentleckstromcharakteristikfunktion auch durch die gleiche arithmetische Summe der virtuellen Zellleckstromcharakteristikfunktionen erhalten. Auf eine detaillierte Beschreibung des arithmetischen Summationsprozesses zum Addieren der virtuellen Zellleckstromcharakteristikfunktionen kann daher verzichtet werden.
Werden die realen Leckströme jedoch durch verschiedene Prozessparameter hervorgerufen, lassen sich die realen Leckströme nicht durch eine einzige Zufallsvariable darstellen und die virtuelle Leckstromcharakteristikfunktion ist daher nicht äquivalent mit den realen Leckströmen. Die realen Leckströme aufgrund verschiedener Prozessparameter lassen sich daher nicht arithmetisch wie ein Exponentialpolynom addieren auch wenn die realen Leckströme in dem gleichen Segment A erzeugt werden.
Werden beispielsweise zwei verschiedene Prozesse in einer ersten und einer zweiten Zelle durchgeführt, ist die Schwellspannung der ersten Zelle unterschiedlich von der der zweiten Zelle und die verschiedenen Schwellspannungen der ersten und zweiten Zellen können nicht als eine einzige Zufallsvariable behandelt werden. Die Leckströme der ersten und zweiten Zellen können daher nicht in einem Schritt unter Verwendung von Exponentialpolynomen wie oben beschrieben zueinander addiert werden. Nur unter den gleichen Prozessbedingungen können für die ersten und zweiten Zellen die realen Leckströme arithmetisch zueinander addiert werden, obwohl die physikalischen Mechanismen der realen Leckströme voneinander verschieden sind wie beispielsweise der Unterschwellwertleckstrom und der Gateleckstrom.
Die Segmentleckströme können dann statistisch zueinander addiert werden, um eine einzige Gesamtchipleckstromcharakteristikfunktion zu erhalten, die den Gesamtleckstrom erzeugt von dem gesamten Waferchip 100 dominiert (Schritt S500).
Gemäß einer weiteren Ausführungsform wird die Gesamtchipleckstromcharakteristikfunktion durch einen statistischen Prozess erzeugt, um dadurch die Genauigkeit der Gesamtchipleckstromcharakteristikfunktion zu erhöhen. Beispielsweise kann eine Vielzahl von Segmentleckstromcharakteristikfunktionen durch die gewöhnliche Wilkinsonmethode miteinander addiert werden, um dadurch die PDFs der Gesamtchipleckstromcharakteristikfunktion zu bestimmen.
In dem Fall, in dem die Gesamtchipleckstromcharakteristikfunktion durch einen statistischen Prozess erzeugt wird, kann ein Mittelwert und eine Schwankung der Gesamtchipleckstromcharakteristikfunktion durch die Wilkinsonmethode berechnet werden, wobei der Mittelwert und die Schwankung der Segmentleckstromcharakteristikfunktionen genutzt werden. Demgemäß kann die Gesamtchipleckstromcharakteristikfunktion als eine statistische Verteilung bestimmt werden, nicht als ein Exponentialpolynom. Ein Gesamtleckstrom kann ausreichend durch die statistische Verteilung durch die Gesamtchipleckstromcharakteristikfunktion abgeschätzt werden.
Die Komplexität der Wilkinsonmethode zum Bestimmen der Gesamtchipleckstromcharakteristikfunktion variiert entsprechend der Anzahl der virtuellen Zellen. Verschiedene Zellen des gleichen Waferchips 100 unterliegen jedoch im Wesentlichen den gleichen Prozessbedingungen. Daher angenommen, dass eine vernachlässigbare Anzahl von Zellen verschiedenen Prozessparametern unterliegt, kann die Komplexität der Wil kinsonmethode zu Erzeugung der Gesamtchipleckstromcharakteristikfunktion im Wesentlichen der Anzahl der Segmente A des Rastermodells angenähert werden.
Als Ergebnis kann die Komplexität der Wilkinsonmethode zu Erzeugung der Gesamtchipleckstromcharakteristikfunktion im Vergleich zu dem gewöhnlichen Fall, bei dem jede der realen Leckstromcharakteristikfunktionen durch die Wilkinsonmethode behandelt werden muss, deutlich reduziert werden.
Entsprechend einiger beispielhafter Ausführungsformen werden logarithmische Normalverteilungen der Leckstromcharakteristikfunktion nicht durch eine statistische Methode, sondern arithmetisch aufsummiert, indem ein Exponentialpolynom der PDF der logarithmischen Normalverteilung genutzt wird. Die Komplexität der Wilkinsonmethode zur Erzeugung der Gesamtchipleckstromcharakteristikfunktion kann daher ohne eine Verschlechterung der Genauigkeit der Gesamtchipleckstromcharakteristikfunktion deutlich verringert werden.
Wird außerdem eine Hauptkomponentenanalyse (PCA) auf einem Waferchip durchgeführt, kann auch die Rechenlast zur Berechnung der räumlichen Korrelationsmatrix ausreichend minimiert werden. Außerdem kann eine Schwankungsanalyse zum Analysieren des Effekts der Schwankung auf eine Realleckstromcharakteristikfunktion auf einer virtuellen Zellleckstromcharakteristikfunktion, welche als schrittweise Erhöhungsanalyse in der gewöhnlichen Wilkinsonmethode bekannt ist, einfach durch eine Reihe arithmetischer Rechnungen durchgeführt werden, um dadurch die Rechenlast der konventionellen Wilkinsonmethode zu verringern.
Die vorgenannten Beispiele sind nur beispielhafte Ausführungsformen und sollen nicht einschränkend ausgelegt werden. Obwohl ein paar wenige Ausführungsbeispiele beschrieben sind, erkennt der Fachmann, dass viele Modifikationen davon möglich sind, ohne von der Lehre und den Vorteilen der vorliegenden Erfindung abzuweichen. Dinggemäß sollen alle solche Modifikationen von dem Umfang der vorliegenden Erfindung wie sie in den Patentansprüchen beansprucht ist umfasst werden. Die Patentansprüche umfassen auch means-plus-function Ausdrücke, um auch solche Vorrichtungen zu umfassen, die die beschriebene Funktion und nicht nur die strukturellen Gemeinsamkeiten, sondern auch die gemeinsamen Strukturen erfüllen. Es ist daher klar, dass alles Vorgenannte nur beispielhaft für verschiedene Ausführungsformen ist und nicht auf die bestimmten beispielhaften Ausführungsformen eingeschränkt werden kann, und dass Modifikationen der offenbarten beispielhaften Ausführungsformen genauso wie andere beispielhafte Ausführungsformen unter den Gegenstand der beiliegenden Patentansprüche fallen.
ZITATE ENTHALTEN IN DER BESCHREIBUNG
Diese Liste der vom Anmelder aufgeführten Dokumente wurde automatisiert erzeugt und ist ausschließlich zur besseren Information des Lesers aufgenommen. Die Liste ist nicht Bestandteil der deutschen Patent- bzw. Gebrauchsmusteranmeldung. Das DPMA übernimmt keinerlei Haftung für etwaige Fehler oder Auslassungen.
Zitierte Patentliteratur

- KR 10-2008-0084718 [0001]

Claims

Verfahren zum Abschätzen eines Leckstroms in einem Halbleiterbauelement mit den Schritten: Aufteilen des Chips auf einem Substrat in eine Anzahl von Segmenten, wobei der Chip eine Vielzahl von Zellen enthält, auf denen verschiedene Einheiten leitfähiger Strukturen eines integrierten Schaltkreises ausgebildet sind; Bestimmen der räumlichen Verteilung von Prozessparametern, die verantwortlich für die Leckströme in jeder der Zellen sind; Erzeugen einer virtuellen Zellleckstromcharakteristikfunktion der Zelle durch arithmetisches Berechnen der realen Leckstromcharakteristikfunktionen, die die von der Zelle erzeugten Leckströme bestimmen, wobei die virtuelle Zellleckstromcharakteristikfunktion äquivalent zur realen Leckstromcharakteristikfunktionen ist und ein virtueller Leckstrom, der durch die virtuelle Zellleckstromcharakteristikfunktion erzeugt wird, gleich der Leckströme der Zelle ist; Erzeugen einer Segmentleckstromcharakteristikfunktion durch arithmetische Berechnung der virtuellen Zellleckstromcharakteristikfunktionen von jeder Zelle in dem Segment wobei die Segmentleckstromcharakteristikfunktion einen virtuellen Leekstrom, wie er von allen Segmenten des Chips erzeugt wird, bestimmt; und Erzeugen einer Gesamtchipleckstromcharakteristikfunktion durch statistische Berechnung der Segmentleckstromcharakteristikfunktionen jedes Segments in dem Chip, wobei die Gesamtchipleckstromcharakteristikfunktion einen virtuellen Leekstrom, wie er von dem gesamten Chip des Halbleiterbauelements erzeugt wird, bestimmt.
Verfahren nach Anspruch 1, wobei die reale Leckstromcharakteristikfunktion und die virtuelle Zellleckstromcharakteristikfunktion in Bezug auf die Prozessparameter als ein Exponentialpolynom ausgedrückt werden.
Verfahren nach Anspruch 2, wobei die reale Leckstromcharakteristikfunktion eine erste Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (PDF) umfasst, die den ersten Leckstrom bestimmt, der durch den Prozessparameter verursacht wurde und gemäß Gleichung 1 ausgedrückt werden kann und eine zweite PDF, die einen zweiten Leckstrom bestimmt, der durch den Prozessparameter verursacht wurde und gemäß Gleichung 2 ausgedrückt werden kann
und die virtuelle Zellleckstromcharakteristikfunktion eine dritte PDF umfasst, die gleich der arithmetischen Summe der ersten und der zweiten PDFs entspricht und somit als Gleichung 3 ausgedrückt werden kann,
(wobei der kleine Buchstabe e in den oben genannten Gleichungen den natürlichen Logarithmus bedeutet und p_i die Prozessparameter beschreibt, welche den Leckstrom in der Zelle verursachen).
Verfahren nach Anspruch 3, wobei ein Exponentialterm der ersten PDF ein Polynom einer Normalverteilung enthält mit einem Mittelwert von a₀ und einer Schwankung von
so dass die erste PDF einer normal logarithmischen Verteilung entspricht und als Gleichung 4 ausgedrückt werden kann,
ein Exponentialterm der zweiten PDF umfasst ein Polynom einer Normalverteilung mit einem Mittelwert b₀ und einer Schwankung von
so dass die zweite PDF einer normal logarithmischen Verteilung entspricht und gemäß Gleichung 5 ausgedrückt werden kann,
ein Exponentialterm der dritten PDF ein Polynom einer Normalverteilung umfasst mit einem Mittelwert c₀ und einer Schwankung von
so dass die zweite PDF einer normal logarithmischen Verteilung entspricht und durch Gleichung 6 ausgedrückt werden kann,
unter der Bedingung, dass dann die Terme

wobei a, b und c einem Anpassungskoeffizienten einer Normalverteilung entspricht, M1 und M2 den ersten und zweiten Momenten der dritten PDF entspricht, R einen lokalen Parameter darstellt, bei dem die ersten und zweiten Leckströme unabhängig voneinander erzeugt werden und P einen globalen Parameter darstellt, bei dem die ersten und zweiten Leckströme beide gemeinsam erzeugt werden.
Verfahren nach Anspruch 4, wobei die ersten und zweiten Momente der dritten PDF statistisch zu erhalten sind gemäß: M1 = E[ef₁ + ef₂], M2 = E[(ef₁ + ef₂)2].
Verfahren nach Anspruch 4, wobei der Anpassungskoeffizient c_j durch die folgenden Schritte zu erhalten ist: Anwenden einer zweiten Momentäquivalenzbedingung einer normallogarithmischen Verteilungszusammensetzung in einer Wilkinsonmethode unter der Bedingung, dass eine willkürliche logarithmische Normalverteilung e^Z zur rechten und linken Seite von Gleichung 4 addiert wird, um dadurch eine Gleichung 7 wie folgt zu erhalten
Entwickeln der Gleichung 7 als eine Taylorreihe erster Ordnung; und Entwickeln der Taylorreihen von Gleichung 7 als eine in Bezug auf die willkürliche Zufallsvariable z der beliebigen logarithmischen Normalverteilung e^z als identische Gleichung.
Verfahren nach Anspruch 4, wobei der globale Parameter eine chipbasierte Variable umfasst, die den Leckstrom des Chips beeinflusst und eine inner-chip Variable, welche eine räumliche Korrelation zwischen den Leckströmen in dem Chip aufweist und der lokale Parameter Variablen umfasst, welche keine räumliche Korrelation zwischen den Leckströmen im Chip aufweisen.
Verfahren nach Anspruch 3, wobei die ersten und zweiten Leckströme jeweils einen von Unterschwellwertleckstrom und Gateleckstrom umfasst.
Verfahren nach Anspruch 1, wobei die virtuelle Zellleckstromcharakteristikfunktion eine PDF einer logarithmischen Normalverteilung umfasst, von welcher der Exponentialterm ein Polynom einer Normalverteilung ist mit einem Mittelwert c₀ und einer Schwankung von
so dass die virtuelle Leckstromcharakteristikfunktion durch Gleichung 8 ausgedrückt werden kann
(wobei R den lokalen Parameter, welcher keine räumliche Korrelation zwischen den Zellen in dem Segment darstellt und m eine Anzahl von Prozessparametern darstellt, die nicht als lokaler Parameter in dem Segment genutzt werden, und wobei die Segmentleckstromcharakteristikfunktion durch arithmetisches Addieren der virtuellen Zellleckstromcharakteristikfunktion ausgedrückt durch Gleichung 8 für jede Zelle in dem Segment erzeugt wird.
Verfahren nach Anspruch 9, wobei die Segmentleckstromcharakteristikfunktion eine PDF einer logarithmischen Normalverteilung umfasst, von welcher der Exponentialterm ein Polynom einer Normalverteilung ist.
Verfahren nach Anspruch 10, wobei die arithmetische Addition der virtuellen Zellleckstromcharakteristikfunktion folgende Schritte umfasst: Anwenden einer zweiten Momentäquivalenzbedingung einer normallogarithmischen Verteilungszusammensetzung in einer Wilkinsonmethode, um dadurch eine Exponentialpolynomgleichung zu erhalten; Ausdrücken der Exponentialpolynomgleichung durch Taylorreihen erster Ordnung; und Ausdrücken der Taylorreihen der Exponentialpolynomgleichung durch eine in Bezug auf eine Zufallsvariable einer beliebigen logarithmischen Normalverteilung identischen Gleichung.
Verfahren nach Anspruch 9, wobei die Segmentleckstromcharakteristikfunktion einen von Unterschwellwertleckstrom oder Gateleckstrom enthält.
Das Verfahren nach Anspruch 1, wobei das Erzeugen der Gesamtchipleckstromcharakteristikfunktion das Beschaffen eines Mittelwertes und einer Schwankung durch das Nutzen der ersten und zweiten Momente der Anzahl von Segmentleckstromcharakteristikfunktionen umfasst.
Verfahren nach Anspruch 1, wobei die reale Leckstromcharakteristikfunktion durch das Analysieren der experimentellen Werte, die auch die Leckströme und die Prozessparameter enthalten, umfasst.
Verfahren nach Anspruch 14, wobei das Analysieren der experimentellen Daten das Durchführen eines Regressionsanalyseprozesses und der experimentellen Daten umfasst, so dass eine statistische Beziehung zwischen dem Leekstrom und dem Prozessparameter erzeugt wird.
Verfahren nach Anspruch 14, wobei der Prozessparameter einen globalen Parameter mit einer chipbasierten Variable den Leckstrom des Chips beeinflusst und eine inner-chip Variable, die die räumliche Korrelation zwischen der Leckströme im Chip und der lokalen Parameter enthält und der lokale Parameter die Variablen enthält, die keine räumliche Korrelation zwischen den Leckströmen im Chip aufweisen.
Verfahren nach Anspruch 16, wobei der Prozessparameter einen Zufallsparameter umfasst, der in Beziehung zu einer Zufallsschwankung, welche durch äußere Faktoren des Herstellungsprozesses zufällig verursacht sind und einen systematischen Parameter, der in Relation zu einer systematischen Schwankung steht, die von physikalischen Faktoren eines Prozesssystems zur Durchführung des Prozesses verursacht sind.
Verfahren nach Anspruch 17, wobei die Zufallsschwankung durch eine PDF ausgedrückt werden kann mit dem Zufallsparameter als eine Variable, welche die Wahrscheinlichkeitsverteilung bestimmt und, wobei die systematische Schwankung durch eine räumliche Korrelationsmatrix ausgedrückt wird.
Verfahren nach Anspruch 17, wobei der Prozessparameter eines von Temperatur des Abscheideprozesses, Dicke der abgeschiedenen Schicht, Strukturbreite und Gatespannung enthält.
Verfahren nach Anspruch 1 außerdem umfassend Durchführen einer Variationsanalyse durch arithmetische Berechnung der virtuellen Zellleckstromcharakteristikfunktion und einer zusätzlichen Leckstromcharakteristikfunktion, die den zusätzlichen Leckstrom, der von der Zelle erzeugt wird, berechnet, um dadurch die Schwankung der virtuellen Zellleckstromcharakteristikfunktion aufgrund der zusätzlichen Leckstromcharakteristikfunktion zu analysieren.