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Technisches
Gebiet
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Die
den Zustand eines Systems beschreibenden Größen sind häufig nicht einer direkten Messung
zugänglich.
Es können
jedoch häufig
Messungen vorgenommen werden, die es erlauben, Schätzwerte
für diese Größen zu gewinnen.
Ist der Zusammenhang zwischen den Messwerten und den zu bestimmenden
Größen mindestens
näherungsweise
linear, ist das Messrauschen, dem die Messwerte unterliegen, mindestens
näherungsweise
normalverteilt, ist die Zeitentwicklung der zu bestimmenden Größen mindestens
näherungsweise linear
und unterliegt diese Zeitentwicklung ebenfalls einem mindestens
näherungsweise
normalverteilten Rauschen, so können
die gesuchten Schätzwerte
vorteilhaft mit Hilfe eines diskreten Kalmanfilters berechnet werden.
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Ein
Vorteil des diskreten Kalmanfilters liegt darin, dass er mit vergleichsweise
geringem Aufwand sowohl bezüglich
der Rechenleistung als auch bezüglich
des Speicherbedarfs Schätzwerte
liefert, deren Abweichung von den tatsächlichen Werten der zu bestimmenden
Größen im quadratischen
Mittel minimal ist. Ein weiterer Vorteil besteht darin, dass der
diskrete Kalmanfilter im Rahmen der Berechnung der gewünschten Schätzwerte
zugleich die mittlere quadratische Abweichung der Schätzwerte
von den tatsächlichen
Werten der zu bestimmenden Größen berechnet.
Ein Nachteil liegt darin, dass der lineare Zusammenhang zwischen
den Messwerten und den zu bestimmenden Größen vollständig bekannt sein muss.
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In
der Praxis enthält
der lineare Zusammenhang zwischen den Messwerten und den zu bestimmenden Größen häufig Kalibrierparameter,
die nicht beliebig genau bestimmt werden können. Fehler in den Kalibrierparametern
werden im bekannten Algorithmus des diskreten Kalmanfilters nicht
berücksichtigt,
so dass die Qualität
mit Hilfe kalibrierter Messungen gewonnener Schätzwerte im Allgemeinen überschätzt wird.
Insbesondere kann der Fall eintreten, dass die Qualität der Schätzwerte
durch Verwendung schlecht kalibrierter Messungen im Rahmen des bekannten
Algorithmus herabgesetzt wird. Als ein typisches Beispiel einer
Vorrichtung, bei welcher sich die Qualität der Kalibrierung einzelner
Sensoren bemerkbar macht, sei ein Ortungsmodul in einem Kraftfahrzeug
genannt. Hier kommen neben GPS (Global Positioning System) als absolutem
Positionssensor auch Inertialsensoren wie ein Odometer und ein Gyroskop
zum Einsatz, welche kalibriert werden müssen.
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Stand der
Technik
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Aus
dem Stand der Technik sind verschiedene Verfahren bekannt, welche
die Messwerte von kalibrierten Sensoren in unterschiedlicher Weise
berücksichtigen.
Das einfachste Vorgehen besteht darin, diese bei jedem Messschritt
zu verwenden. Bei einer differenzierteren Methode werden sie durch
Messungen der absoluten Sensoren kalibriert, tragen aber nicht zu
einer Verfeinerung der Schätzwerte
bei. Erst wenn die Messqualität
der absoluten Sensoren zu gering ist, werden die Messungen der kalibrierten
Sensoren berücksichtigt.
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Es
ist bekannt, die zu bestimmenden Größen des Systems in einem Systemvektor
x zusammenzufassen. Der vor der Messung bekannte Schätzwert für den Systemvektor
wird mit x ^– bezeichnet,
der nach der Messung bestimmte Schätzwert für den Systemvektor mit x ^+. Entsprechend wird der Fehler x – x ^– in
dem Schätzwert
vor der Messung mit e– bezeichnet, der Fehler
x – x ^+ in dem Schätzwert nach der Messung mit
e+.
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Da
sowohl die Zeitentwicklung des Systemvektors als auch die Messungen
mit einem normalverteilten Rauschen behaftet sind, gilt dies auch
für die
für den
Systemvektor gewonnenen Schätzwerte.
Die diese Normalver-teilung der Schätzwerte charakterisierenden
Kovarianzmatrizen sind durch die Erwartungswerte
bzw.
gegeben.
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Es
wird eine lineare Messgleichung z = Hx + vzugrunde
gelegt, die den Messwert z über
die Messmatrix H und das normalverteilte Messrauschen v mit dem Systemvektor
x in Beziehung setzt. Dabei ist der Messwert ohne Verlust der Allgemeinheit
zunächst
als ein Skalar zu betrachten. Im bekannten Verfahren können mehrere
Messwerte zu einem Vektor zusammengefasst werden. Für das Verständnis des
erfindungsgemäßen Verfahrens
ist die Annahme eines Skalars von Vorteil.
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Die
bekannten Verfahrensschritte des diskreten Kalman-filters werden
anhand der 1 erklärt. Ausgangspunkt sind der
nach der vorangehenden Messung bestimmte Schätzwert x ^+ für den Systemvektor
sowie die zugehörige
Kovarianzmatrix P+. In einem Prädiktionsschritt
(10) werden zunächst
mit Hilfe der Übergangsmatrix
A und der Systemrauschmatrix Q ein Schätzwert x ^– für den Zeitpunkt
der Messung und die zugehörige Kovarianzmatrix
P– gewonnen.
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In
einem Updateschritt (12) werden dann unter Verwendung des
Messwertes z und einer Kalmanmatrix K ein neuer Schätzwert x ^+ und die zugehörige Kovarianzmatrix P+ bestimmt; diese bilden den Ausgangspunkt
für die
darauffolgende Iteration des Algorithmus. Die Kalmanmatrix wird
unter Berücksichtigung
der Kovarianzmatrix R des Messrauschens wie folgt bestimmt: K = P–HT(HP–HT + R)–1.
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Darstellung der Erfindung,
Aufgabe, Lösung,
Vorteile
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Es
ist nun Aufgabe der vorliegenden Erfindung, ein Verfahren anzugeben,
das den bekannten Algorithmus des diskreten Kalmanfilters um eine
Berücksichtigung
der Fehlerbehaftetheit von Kalibrierparametern erweitert. Insbesondere
ist es Ziel der Erfindung, sicherzustellen, dass kalibrierte Messungen
nur dann zur Modifikation der Schätzwerte für die zu bestimmenden Größen verwendet
werden, wenn sichergestellt ist, dass die Qualität der Schätzwerte dadurch erhöht wird.
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Erfindungsgemäß wird diese
Aufgabe mittels eines Verfahrens mit den im Anspruch 1 genannten Merkmalen
gelöst.
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Dadurch,
dass
- – die
Kovarianzmatrix P+ nach dem Updateschritt
zur Berücksichtung
des Kalibrierfehlers nach oben abgeschätzt wird,
- – die
so abgeschätzte
Kovarianzmatrix P+ und die Kovarianzmatrix
P– verglichen
werden
- – und
die durch Berücksichtigung
der Messung gewonnenen Werte verworfen werden, wenn der Vergleich keine
Verbesserung der Qualität
des Schätzwertes
des Systemvektors ergibt, wird vorteilhaft erreicht, dass die Messwerte
der kalibrierten Sensoren erst bei ausreichender Qualität der Kalibrierung
in den Filterprozess integriert werden.
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In
bevorzugter Ausgestaltung der Erfindung ist vorgesehen, dass die
im Updateschritt bestimmte Kovarianzmatrix P
+ zur
Berücksichtigung
des Kalibrierfehlers gemäß der Relation
modifiziert wird, wobei C
die Kovarianzmatrix des Kalibrierfehlers ist. Hierdurch wird eine
praktische Regel zur Verfügung
gestellt, die Qualität
der Kalibrierung der Sensoren einzuschätzen und zu entscheiden, ob
sie in den Filterprozess integriert werden können.
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Weitere
bevorzugte Ausgestaltungen der Erfindung ergeben sich aus den übrigen,
in den Unteransprüchen
genannten Merkmalen.
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Bester Weg
zur Ausführung
der Erfindung
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Im
Fall einer kalibrierten Messung hängt die Messmatrix H von Kalibrierwerten
c ab, die mit einem unbekannten Kalibrierfehler dc behaftet sind.
Es wird vorausgesetzt, dass der Kalibrierfehler einer bekannten Normalverteilung
mit dem Erwartungswert
und der Kovarianzmatrix
unterliegt. Die Messgleichung
lautet nunmehr
z = H(c)x + v + H ~(x)dc,wobei
sich die Matrix H ~ durch Linearisierung von H bezüglich c im Punkt x ergibt.
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Der
Fehler in dem Schätzwert
nach einer kalibrierten Messung ergibt sich nunmehr zu e+ = (I – KH)e– – Kv – KH ~dc =
e+0 – KH ~dc.
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Dabei
ist e + / 0 der Fehler, der sich in der bekannten Theorie des diskreten
Kalmanfilters ohne Berücksichtigung
des Kalibrierfehlers ergibt.
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Es
werden folgende Konventionen verwendet: Die Quadratwurzel einer
positiv semidefiniten symmetrischen Matrix wird gezogen, indem die
Matrix durch eine orthogonale Transformation in Diagonalgestalt
gebracht wird, aus den Diagonalelementen die Quadratwurzel gezogen
wird und dann die der orthogonalen Transformation inverse Transformation
angewandt wird:
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Die
Schreibweise A < B
bedeutet, dass die Matrix A–B
negativ definit ist:
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Die
Schreibweise A ≤ B
bedeutet, dass die Matrix A–B
negativ semidefinit ist:
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Die
Schreibweise A ≥ B
bedeutet, dass die Matrix A–B
positiv semidefinit ist:
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Die
erfindungsgemäße Erweiterung
des Algorithmus des Kalmanfilters wird mit Bezug auf 2 erklärt. Die
Schritte (10) und (12) sind dabei identisch mit
den entsprechenden Schritten des bekannten Algorithmus.
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Im
Allgemeinen kann nicht vorausgesetzt werden, dass e
– und
dc voneinander stochastisch unabhängig sind. Da der Erwartungswert
im Allgemeinen nicht bekannt
ist, wird die Kovarianzmatrix P
+ des Fehlers
in dem Schätzwert
nach der Messung nach oben abgeschätzt. In einer bevorzugten Ausgestaltung
der Erfindung wird die Ungleichung
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Dabei
ist P + / 0 die Kovarianzmatrix, die sich in der bekannten Theorie des
diskreten Kalmanfilters ohne Berücksichtigung
des Kalibrierfehlers ergibt. Die obere Schranke wird in einem zusätzlichen
Schritt (
14) berechnet. Dies geschieht in der besagten,
in der Zeichnung gezeigten bevorzugten Ausgestaltung der Erfindung durch
Addition des Terms
zu der entsprechend der bekannten
Theorie gewonnenen Kovarianzmatrix.
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Für den diskreten
Kalmanfilter ist eine Array-Methode bekannt. Bei Verwendung dieser
Methode liegt die Kovarianzmatrix P
+ in
zerlegter Form vor. In einer bevorzugten Ausgestaltung der Erfindung
wird diese Zerlegung bei der Addition des Terms
vorteilhaft genutzt. Wird
eine solche Zerlegung nicht verwendet, so kann in einer weiteren
Ausgestaltung der Erfindung die Berücksichtigung der Kalibrierfehler
in einer für
viele in der Praxis auftretenden Fälle ausreichenden Näherung auf
die Hauptdiagonalelemente der Kovarianzmatrix beschränkt werden.
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In
der bekannten Theorie des diskreten Kalmanfilters gilt stets P+ < P–,
das heißt
die Qualität
des Schätzwertes
für den
Systemvektor wird durch die Berücksichtigung
der Messung verbessert. Dies ist im vorliegenden Fall nicht gewährleistet.
Dem Verfahren wird daher ein Entscheidungsschritt (16)
hinzugefügt,
in dem die modifizierte Kovarianzmatrix P+,
die sich unter Berücksichtigung
der Messung ergeben würde,
mit der Kovarianzmatrix P– verglichen wird, die
vor Berücksichtigung
der Messung bekannt war. In einer bevorzugten, in der Abbildung
gezeigten Ausgestaltung der Erfindung wird bei diesem Vergleich
die Bedingung P+ < P– geprüft. In einer
weiteren Ausgestaltung der Erfindung wird bei diesem Vergleich die
Bedingung tr P+ < tr P– an die
Spuren der Kovarianzmatrizen geprüft.
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Ergibt
der Vergleich eine Verbesserung, so werden der durch Berücksichtigung
der Messung gewonnene Schätzwert x ^+ und die zugehörige erfindungsgemäß modifizierte
Kovarianzmatrix P+ verwendet und dienen
als Ausgangswerte für
die nächste
Messung. Ergibt der Vergleich keine Verbesserung, so werden in Schritt
(18) die durch Berücksichtigung
der Messung gewonnenen Werte verworfen, und stattdessen werden der
vor Berücksichtigung
der Messung bekannte Schätzwert x ^– und
die zugehörige
Kovarianzmatrix P– als Ausgangswerte für die nächste Messung
verwendet.
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In
der bekannten Theorie des diskreten Kalmanfilters wird die optimale
Kalmanmatrix K durch Minimierung der Spur der Kovarianzmatrix P
+ bestimmt. Eine solche Minimierung ist für die nach
oben abgeschätzte Kovarianzmatrix
im Allgemeinen nur unter erheblichem Rechenaufwand möglich. Eine
der bekannten Optimierung analoge Rechnung unter partieller Berücksichtigung
der Kalibrierfehler legt jedoch folgende Form für die Kalmanmatrix nahe:
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Dabei
ist λ ∈ [0,1]
ein wählbarer
Parameter. Die Wahl λ =
0 führt
zu der bekannten Kalmanmatrix. Weitere Ausgestaltungen der Erfindung
ergeben sich, wenn λ =
1 gewählt
wird, sowie wenn λ gewählt wird,
indem die Kovarianzmatrix P+ für verschiedene
Werte von λ berechnet
wird und die Ergebnisse verglichen werden.
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Die
erfindungsgemäße Modifikation
des Kalmanfilters hat zur Folge, dass das Ergebnis von der Reihenfolge
abhängen
kann, in der die Messungen verschiedener Sensoren berücksichtigt
werden. Günstigerweise
werden dabei gleichzeitige Messungen mehrerer Sensoren in der Reihenfolge
aufsteigender Qualität
ihrer Kalibrierung berücksichtigt,
das heißt
die mit den größten Kalibrierfehlern
behafteten Sensoren werden zuerst berück sichtigt, und die Sensoren,
die keiner Kalibrierung bedürfen,
werden zuletzt berücksichtigt.
gegeben.
unterliegt. Die Messgleichung lautet nunmehr
