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Stand der Technik
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Die
Erfindung betrifft ein Auswerteverfahren zur Bestimmung einer Frequenz,
einer Phase und einer Amplitude bei verrauschten, sinusförmigen
Signalen mit vergleichsweise wenigen, äquidistanten Abtastpunkten,
wobei die Eingangsdaten zunächst mit einer Fensterfunktion
gefiltert, eine Berechnung mittels schneller Fouriertransformation
FFT sowie eine Bestimmung der Lage des Maximums des Betrags der
FFT-Koeffizienten und eine Interpolation mit Hilfe der dem Maximum
benachbarten FFT-Koeffizienten durchgeführt werden.
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Es
gibt etliche Verfahren zur Frequenz- und Phasenschätzung.
Diese lassen sich in verschiedene Kategorien mit unterschiedlichen
theoretischen Eigenschaften einteilen (Quinn: „The
Estimation and Tracking of Frequency", Cambridge University Press).
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Zur
schnellen Schätzung einer unbekannten Frequenz bei sehr
wenigen Abtastpunkten eignen sich nur wenige Verfahren. Für
große Abtastlängen ist das Maximum einer FFT-basierten
Analyse (Analyseverfahren mittels schneller Fouriertransformation)
eine Lösung. Bei wenigen Abtastpunkten gibt es bei diesem
Verfahren jedoch Schwierigkeiten: die Ergebnisse haben einen frequenz-
und phasenabhängigen systematischen Fehler, wenn keine
vollständigen Signalperioden abgetastet wurden. Auch die
Interpolation der Lage des Maximums im Spektrum führt zu
Fehlern.
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Am
häufigsten findet sich in der Literatur eine gefensterte
FFT-Analyse, deren Ergebnis interpoliert oder durch Anhängen
von Nullen vor der FFT-Analyse verfeinert wird. Für Anwendungen,
bei denen es auf hohe Geschwindigkeit ankommt, ist nur die Interpolation
im Frequenzraum anwendbar. Eine ausführliche Darstellung
und Herleitung optimaler Interpolatoren findet sich in der o. g.
Ausführung von [Quinn]. Verschiedene Fensterfunktionen
wurden bereits mehrfach für unterschiedliche Anwendungsfälle
verglichen. In der Praxis tauchen dabei oft Hamming- oder Hanning-Fenster
auf. Interpoliert wird quadratisch oder schwerpunktbasiert unter
Verwendung von in der Regel drei bis fünf FFT-Koeffizienten
um das Maximum herum. Dieses Verfahren besteht aus drei Schritten:
- – Fensterung der Eingangsdaten mit
einer Fensterfunktion (z. B. mittels Hamming-Fenster),
- – Berechnung der FFT und Bestimmung der Lage des Maximums
des Betrages der FFT-Koeffizienten und
- –Interpolation mit Hilfe der dem Maximum benachbarten
FFT-Koeffizienten (z. B. Schwerpunkt).
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Eine
höhere Genauigkeit ist mit anderen (oft iterativen) Verfahren
erreichbar, jedoch sind diese deutlich langsamer.
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Eine
bevorzugte Anwendung derartiger Auswerteverfahren betrifft u. a.
die frequenzscannende Interferometrie.
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Interferometrische
Messsysteme können hochgenau Oberflächen vermessen.
Sofern eine schmalbandige Lichtquelle, wie beispielsweise ein Laser,
eingesetzt wird, sind die Ergebnisse nicht eindeutig, sondern das
Signal wiederholt sich nach einer halben Wellenlänge des
verwendeten Lichtes, wie dies z. B. bei phasenschiebender Interferometrie
der Fall ist. Solange die Oberfläche des abzutastenden Objektes
glatt ist, lässt sich dies durch so genanntes räumliches „Unwrapping"
lösen, was aber nicht auf rauen Oberflächen oder
bei Stufen funktioniert. Beim „Unwrapping" wird versucht,
die Mehrdeutigkeit der gemessenen Phase aufzulösen und
eine tatsächliche Phase zu bestimmen.
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Eine
Lösung bietet der Einsatz breitbandiger Lichtquellen, wie
dies bei der Weißlichtinterferometrie der Fall ist. Ebenso
können auch mehrere schmalbandige Quellen Verwendung finden,
wobei derartige schmalbandige Quellen nacheinander – in
der frequenzscannenden Interferometrie – oder zeitgleich arbeiten.
Den zeitgleichen Einsatz findet man beispielsweise bei Heterodyninterferometern.
Die Eindeutigkeit steigt dann bis zu einer synthetischen Wellenlänge,
die im Fall von zwei Wellenlängen der Schwebungsfrequenz
entspricht. Diese liegt typischerweise im Bereich von einigen μm
bis mm.
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Frequenzscannende
Interferometer und zugehörige Auswerteverfahren sind in
verschiedenen Patenten beschrieben. Bespiele finden sich in den Schriften
US 20030231691 ,
US 20030234936 ,
US 5880841 ,
US 5926277 ,
WO 03/103105 sowie in der Schrift
WO 2004/001330 .
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Das
Funktionsprinzip besteht darin, dass durch Durchstimmen des Lasers
in äquidistanten Intervallen ein sinusförmiges
Signal an der Kamera aufgenommen wird, dessen Frequenz proportional zur
Entfernung des Punktes von der Referenzfläche ist. Das
Auswerteverfahren bestimmt dann diese Frequenz für jeden
Bildpunkt, und ermittelt somit die Höhenkarte.
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Die
Verfahren in der Literatur sind meist darauf optimiert, den mittleren
Fehler in einem sehr schmalen Frequenzbereich oder über
den gesamten Frequenzbereich zu optimieren. Die Zielsetzung bei Anwendungen
der Frequenzschätzung als Teil eines mehrstufigen Verfahrens
in der frequenzscannenden Interferometrie ist es jedoch, über
einen gegebenen, möglichst groß gewählten
Frequenzbereich den maximalen Fehler zu minimieren bzw. aus Stabilitätsgründen
einen Kompromiss zwischen der Minimierung des maximalen Fehlers
und der Minimierung des mittleren Fehlers zu finden.
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Die
oben erwähnte gefensterte FFT-Analyse ermöglichst
es zwar, sehr schnell eine Frequenz zu schätzen, die erzielte
Genauigkeit ist aber, beispielsweise bei Verwendung eines Hamming-Fensters
und Schwerpunktinterpolation, 16 Abtastpunkten, und einem relativen
Frequenzbereich von 1/8 bis 7/8 sowie einem Signal zu Rauschverhältnis
(SNR) von 10:1, verglichen mit der theoretisch möglichen
Genauigkeit oft deutlich schlechter.
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Es
ist daher Aufgabe der Erfindung, ein Auswerteverfahren bereitzustellen,
welches eine größere Genauigkeit bietet, ohne
dass die Rechenzeit nennenswert erhöht wird.
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Offenbarung der Erfindung
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Vorteile der Erfindung
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Die
Aufgabe wird dadurch gelöst, dass zusätzlich eine
frequenzabhängige Korrekturtabelle eingeführt
und eine gemeinsame Anpassung bzw. Optimierung der Korrekturtabelle,
der Fensterfunktion und/oder der Interpolation durchgeführt
wird. Mit dieser Erweiterung kann gegenüber dem Stand der Technik
eine deutlich größere Genauigkeit erzielt werden,
die nahe an das theoretische Optimum heranreicht, ohne dass dies
zu einer nennenswerten Verlängerung der Rechenzeit führt.
Durch die Korrekturtabelle ergeben sich größere
Freiheitsgrade für die Form der Fensterfunktion. Das Ergebnis
lässt sich gegenüber den Resultaten mit einem
Hamming-Fenster deutlich verbessern. So kann beispielsweise gegenüber
der Verwendung von Hamming-Fensterfunktionen ohne die zusätzlichen
Maßnahmen gemäß dem erfinderischen Verfahren
ein Genauigkeitsgewinn von etwa einem Faktor 2 erzielt werden.
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Wird,
wie in einer bevorzugten Verfahrensvariante vorgesehen, die frequenzabhängige
Korrekturtabelle, mit der systematische Fehler des Algorithmus bestimmt
und tabelliert werden können, vorab berechnet, kann dann
in weiteren Schritten eine gemeinsame Optimierung der Korrekturtabelle,
der Fensterfunktion und/oder der Interpolation durchgeführt
werden, was insgesamt die Rechenzeit minimiert.
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Wird
dabei mittels der frequenzabhängigen Korrekturtabelle eine
eindimensionale Korrektur in Abhängigkeit der geschätzten
Frequenz durchgeführt, kann dies mit geringem Speicherbedarf
realisiert werden und ist auf allen Rechnern hinsichtlich der Hardwareanforderungen
leicht umsetzbar.
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Wird
mittels der frequenzabhängigen Korrekturtabelle eine zweidimensionale
Korrektur basierend auf Frequenz und Phase oder auf Real- und Imaginärteil
in Abhängigkeit der geschätzten Frequenz durchgeführt,
ermöglicht dies eine weitere Verbesserung und kann ebenfalls
verhältnismäßig einfach umgesetzt werden.
Allerdings wird der Speicherbedarf erhöht.
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Zur
Anpassung bzw. zur gemeinsamen Optimierung der Fensterfunktion,
der Interpolationseigenschaften und der Korrekturtabelle können
die Anzahl der Abtastpunkte und/oder ein erwartetes Signal- zu Rauschverhältnis
und/oder der gewünschte Frequenzbereich und/oder eine Gewichtung
von Fehlern vorgegeben werden, wobei der gewünschte Frequenzbereich
auch unterschiedlich gewichtet werden kann, und die Gewichtung von
Fehlern entsprechend einer L1-Norm, L2-Norm, L∞-Norm
etc. erfolgen kann.
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Durch
eine einmalige, iterative Optimierung können dann die optimale
Fensterfunktion, Interpolationseigenschaften und Korrekturtabelle
ermittelt werden.
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Im
Hinblick auf eine Beschleunigung und Stabilisierung der Berechnung
ist in einer bevorzugten Verfahrensvariante vorgesehen, dass die
Interpolation hinsichtlich ihrer Eigenschaft an die Auswertungsanforderungen
angepasst wird. Es hat sich dabei hinsichtlich der Komplexität
als vorteilhaft erwiesen, wenn die Eigenschaften der Interpolation
vorher festgelegt und während der Optimierung nicht verändert
werden.
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Eine
besonders effiziente Methode zur Bestimmung des Optimums kann erreicht
werden, wenn verschiedene Interpolationen durch unterschiedliche Optimierungsläufe
miteinander verglichen werden.
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Eine
optimale Korrekturtabelle wird in bevorzugter Verfahrensvariante
durch die Fensterfunktion, durch die Eigenschaften der Interpolation
und die Optimierungsanforderungen bestimmt.
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In
einer bevorzugten Verfahrensvariante wird dabei die Korrekturtabelle
im Rahmen der Optimierung zunächst durch Simulation von
einem rauschfreien Signal bestimmt und erst im letzten Optimierungsschritt
mittels mehreren verrauschten Signalen endgültig optimiert.
Damit kann eine Beschleunigung erreicht werden, da eine Simulation
der verrauschten Signale, welche zwar eher der Realität
entsprechen, aber die Optimierung deutlich verlangsamen würden, nur
ein mal im letzten Schritt angewendet wird.
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Für
eine optimierte Fensterfunktion wird in einer bevorzugten Verfahrensvariante
eine symmetrische Funktion verwendet. Es hat sich dabei als vorteilhaft
erwiesen, wenn für die optimierte Fensterfunktion als Startwert
ein Hamming-Fenster oder ein durch eine eindimensionale Optimierung
gewonnenes Fenster verwendet wird. Eine derartige bevorzugte Funktion
als Startwert stellt beispielsweise eine Kaiser-Bessel-Funktion
dar. Mit dieser Art der Fensterfunktionen als Startwert kann bereits
sehr schnell im weiteren Verlauf der Optimierung ein Optimum gefunden
werden. Zur weiteren Optimierung des Fensters ist es vorteilhaft,
wenn für die optimierte Fensterfunktion zunächst
ganze Gruppen von Gewichtsfaktoren gemeinsam optimiert werden.
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Eine
bevorzugte Verfahrensvariante sieht zur Bestimmung der Phase und
der Amplitude bei bekannter Frequenz das Verfahren der kleinsten
Fehlerquadrate („linear least square") vor. Die Phase kann
aus der Phase der Fourierkoeffizienten bestimmt werden, wobei in
der Literatur in der Regel die Phase im Frequenzraum zwischen mehreren
Fourierkoeffizienten linear interpoliert wird. Eine weitere Verfahrensvariante
wird in einer parallelen Anmeldung der Anmelderin beschrieben.
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Ein
geringeres Rauschen bei sehr stark verrauschten Daten und wenigen
Abtastpunkten kann erreicht werden, indem die Phase des betragsmäßig größten
Fourierkoeffizienten verwendet wird.
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Die
Amplitude kann einfach aus der Energie des Signals bestimmt wird,
welche im Fourierraum erhalten bleibt. Das Maximum der Amplitude
kann auch aus den Energiewerten der Fourierkoeffizienten bestimmt
werden. Diese sind bereits bei der Fouriertransformation berechnet
werden, so dass diese Werte einfach aufsummiert und durch die Anzahl
der Abtastpunkte geteilt werden.
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Neben
diesen Verfahrensvarianten können auch zur Bestimmung des
Maximums der Amplitude die Fourierkoeffizienten um das Maximum herum
herangezogen werden, was insbesondere den Einfluss des Rauschens
deutlich reduziert.
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Eine
bevorzugte Anwendung des zuvor beschriebenen Auswerteverfahrens
sieht den Einsatz bei der frequenzscannenden Interferometrie vor.
Insbesondere in dieser Anwendung kann bei verbesserter Genauigkeit
der Frequenzschätzung eine schnelle Auswertung von sinusförmigen,
verrauschten Signalen erzielt werden.
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Das
Auswerteverfahrens kann auch bei Radarsystemen eingesetzt werden,
bei denen insbesondere oft eine schnelle Frequenzschätzung
erforderlich ist.
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Im
Hinblick auf beispielsweise die Auswertung von Pilotsymbolen zur
Kanalschätzung kann das Auswerteverfahren auch bei Kommunikationssystemen
vorteilhaft eingesetzt werden.
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Eine
weitere Anwendung des Auswerteverfahrens sieht den Einsatz bei der
Aufnahme von Polarisationsserien ohne Synchronisation von Kamera und
Filter vor. Eine weitere Verwendung des Auswerteverfahrens kann
bei einer phasenschiebenden Interferometrie bei geringer Präzision
der verwendeten Phasenschiebeverfahren vorgesehen sein.
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Kurze Beschreibung der Zeichnungen
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Die
Erfindung wird im Folgenden anhand eines in den Figuren dargestellten
Ausführungsbeispiels näher erläutert.
Es zeigen:
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1 die
Grundzüge einer vereinfachten Verfahrensvariante in einem
schematischen Ablaufdiagramm
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2 ein
schematisches Ablaufdiagramm für eine spezielle Verfahrensvariante
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3 eine
Darstellung einer optimierten Fensterfunktion und
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4 eine
Darstellung einer Frequenz-Bias-Korrektur als grafische Darstellung
einer Korrekturtabelle.
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Ausführungsformen
der Erfindung
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Eine
vereinfachte Variante des Auswerteverfahrens 1 wird anhand
eines schematischen Ablaufdiagramms in 1 erläutert.
Ausgehend von einer Dateneingabe 10 wird zunächst
der Verfahrensschritt Eliminierung Mittelwert 20 durchgeführt.
Anschließend wird ein Filter mit Fensterfunktion 30 angewendet.
Daran schließt sich eine FFT-Berechnung 40 an, bei
der die Fourierkoeffizienten bestimmt werden. Nach einer anschließenden
Spektrum-Interpolation 50 wird der Schritt Anwendung Korrekturtabelle 60 zur
Korrektur systematischer Fehler des Algorithmus durchgeführt.
Daraus resultiert ein Ergebnis der Frequenzschätzung 70.
Unabhängig wird im Folgenden eine Phasenschätzung 80 und
eine Modulationsschätzung 100 mit dem Ergebnis
für die Phasenschätzung und der Modulationsschätzung 90, 110 durchgeführt.
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Dies
führt bereits für sich zu einer leichten Verbesserung
des Ergebnisses gegenüber dem Stand der Technik. Eine ganz
erhebliche weitere Verbesserung kann durch eine optimale Anpassung
und gemeinsame Optimierung von Fensterfunktion, Interpolationsverfahren
und Korrekturtabelle erreicht werden, wie dies bereits zuvor beschrieben
wurde.
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Im
Prinzip kann jedes Optimierungsverfahren angewendet werden, das
aus der Menge aller möglichen Fenster und zugehörigen
Interpolationsverfahren und Korrekturtabellen die beste Lösung
findet. Da ein Fenster bei N = 32 aber ein 32-dimensionales Problem
darstellt, wobei die zusätzlichen Freiheitsgrade durch
die verschiedenen Interpolatoren noch gar nicht berücksichtigt
sind, ist es in der Praxis erforderlich, eine schnelle Implementierung
dafür zu finden.
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Es
können hierbei einige Annahmen getroffen werden, um die
Berechnung schneller und stabiler zu machen. Ob diese bei der konkreten
Anwendung zutreffen, ist im Einzelfall zu prüfen.
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Der
Interpolator wird beispielsweise vorher festgelegt, und während
der der Optimierung nicht verändert. Verschiedene Interpolatoren
werden durch verschiedene Optimierungsläufe miteinander verglichen.
Stark nichtlineare Interpolatoren (z. B. Fit einer Gausskurve durch
Logarithmieren und anschließenden Parabelfit) zeigen in
Gegenwart von Rauschen deutlich schlechtere Ergebnisse. Verwendung
einer größeren Anzahl von Koeffizienten ist wenig
Erfolg versprechend, weil die weiteren Koeffizienten ein sehr schlechtes
Signal- zu Rauschverhältnis aufweisen, was sich bei größeren
Abtastlängen allerdings ändert. Und zuletzt sind
die Unterschiede zwischen den in Frage kommenden Interpolatoren
(bei drei Punkten z. B. Schwerpunkt oder Parabelfit) sehr gering.
Die Korrekturtabelle unterscheidet sich dabei aber sehr deutlich.
Hier sind durch andere Interpolatoren keine Fortschritte zu erwarten.
Möglicherweise lassen sich bessere Ergebnisse mit Interpolatoren
erzielen, die komplexe Koeffizienten und nicht nur den Betrag verwenden,
allerdings erscheint die Konstruktion solcher Interpolatoren im
Rahmen der Optimierung schwierig.
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Die
beste Korrekturtabelle ist durch Fenster, Interpolator und Optimierungsanforderungen
eindeutig bestimmt, d. h. sie ist nicht Teil der eigentlichen Optimierung,
muss aber für jede zu untersuchende Parameterkombination
bestimmt werden. Diese Tabelle kann im Rahmen der Optimierung durch
Simulation eines rauschfreies Signals bestimmt werden, und erst
in den letzten Optimierungsschritten durch die – theoretisch
richtige, aber sehr viel langsamere – Ermittlung aus vielen
Instanzen eines verrauschten Signals ersetzt werden.
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Für
das zu optimierende Fenster gilt:
- • Das
Fenster ist symmetrisch
- • Die Skalierung spielt für die Lage des Maximums keine
Rolle
- • Als Startwert kann z. B. ein Hamming-Fenster oder
ein durch eine eindimensionale Optimierung gewonnenes Fenster (z.
B. Kaiser-Bessel mit optimalem Parameter Alpha) verwendet werden
- • Zur Optimierung des Fensters ist es sinnvoll, zunächst
nicht einzelne Gewichte, sondern ganze Gruppen von Gewichten gemeinsam,
oder mit Glattheitsannahmen verknüpft, zu optimieren, beispielsweise
mit einem Gradientenverfahren, und die Glattheitsvorgaben dann allmählich
aufzugeben.
- • Wenn sich ein Gewicht an einer Stelle des Fensters
verändert hat, ist es sinnvoll, gleich danach zur Optimierung
des vorherigen Gewichts zurückzuspringen, anstelle z. B.
immer linear von rechts nach links zu optimieren.
- • Der Schrittweitenbereich des Optimierungsverfahrens
für die Gewichte sollte im Laufe des Gesamtverfahrens angepasst
werden hin zu immer kleineren Schrittweiten.
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Der
schematische Ablauf einer bevorzugten Variante des Auswerteverfahrens 1 ist
in der 2 dargestellt, wobei die zuvor beschriebenen Vorgehensweisen
zur Optimierung der Fensterfunktion im Schritt Modifikation 230 in
der 2 angewandt werden können.
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In
einem ersten Schritt Parametervorgabe 120 werden der Frequenzbereich,
die Abtastpunkte, das Rauschniveau und die Interpolationsfunktion
gewählt Im zweiten Schritt Auswahl Start-Fensterfunktion 130 wird
ein Anfangs-Fenster gesetzt, beispielsweise ein Hamming- oder Hanning-Fenster.
Im nächsten Schritt folgt eine Simulation 140 mit
einem rauschfreien Signal. Daran schließen sich die Verfahrensschritte
Eliminierung Mittelwert 20, Durchführung der FFT-Berechnung 40 und
die anschließende Spektrum-Interpolation 50 an,
wie dies bereits in der Verfahrensvariante gemäß 1 aufgezeigt
ist. Anschließend erfolgt eine Bias-Berechnung 150 aus
der im nächsten Schritt eine Korrekturtabellen-Generierung 160 für
eine Bias-Korrektur 180 erfolgt. Danach wird eine erneute
Simulation 170, jetzt mit dem verrauschten Signal, durch geführt,
wobei dieser Schritt insbesondere im Rahmen der letzten Optimierungsschleife
durchgeführt wird. Daran schließen sich wieder
die Verfahrensschritte Eliminierung Mittelwert 20, Durchführung
der FFT-Berechnung 40 und die anschließende Spektrum-Interpolation 50 an.
Im nächsten Schritt erfolgt die Bias-Korrektur 180,
gefolgt von einer Fehlerbestimmung 190 und einem Vergleich 200 mit
den vorhergehenden Ergebnissen aus den zuvor durchgeführten
Optimierungsschritten. Ist ein Optimum gefunden, was mittels einer
Abfrage 210 ermittelt wird, wird die optimale Fensterfunktion 220 und
Korrekturtabelle für die weitere Auswertung gespeichert.
Ist noch ein weiteres Optimierungspotenzial beim Vergleich 200 und
der Abfrage 210 identifiziert worden, wird die Fensterfunktion
im Schritt Modifikation 230 weiter optimiert und erneut
die zuvor beschriebenen Verfahrensschritte, beginnend mit der Simulation 140 mit
einem rauschfreien Signal durchgeführt.
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In
der Praxis lässt sich auf einem handelsüblichen
PC eine solche Optimierung in wenigen Minuten durchführen.
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Die
Ergebnisse der Frequenzschätzung sind im Folgenden dargestellt.
Für N = 16 Abtastpunkte, einem Signal zu Rauschverhältnis
(SNR) von 10, einen gewünschten Frequenzbereich von 1/8
bis 7/8 (relativ zur Nyquist-Frequenz) und die L2-Norm
ergibt sich bei Verwendung eines Hanning-Fensters und Schwerpunkt-Interpolation,
als in diesem Fall beste der oben skizzierten konventionellen Lösungen,
ein mittlerer Fehler von 0,55% (Hamming-Fenster: 0,58%). Eine Kaiser-Bessel
optimierte Interpolation erreicht 0,38%. Ein frei optimiertes Fenster
erreicht 0,36%. In allen Fällen erzielt eine Schwerpunkt-Interpolation
die besten Ergebnisse.
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Erweitert
man das Verfahren um die vorgeschlagene Korrekturtabelle, so ergibt
sich ein Fehler von 0,360% (mit Hamming-Fenster) bzw. 0,34% (mit Hanning-Fenster).
Das beste Kaiser-Bessel-Fenster erreicht 0,30%. Mit quadratischer
Interpolation können in diesem Fall jeweils vergleichbar
gute Ergebnisse erzielt werden: Hamming-Fenster 0,36%, Kaiser-Bessel
0,31% und Hanning-Fenster 0,33%
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Mit
der optimalen Fensterfunktion 220, wie sie in 3 dargestellt
ist, wobei der Gewichtsfaktor 222 in Abhängigkeit
der Fensterposition 221 dargestellt ist, und einer zugehörigen
Korrekturtabelle für die Bias-Korrektur 180, wie
diese als Funktion in 4 dargestellt ist, wobei ein
Frequenz-Bias 182 in Abhängigkeit der wahren Frequenz 181 aufgetragen ist,
ergibt sich anstelle des Hamming-Fensters schließlich ein
mittlerer Fehler (RMS) von 0,265% (Schwerpunkt) bzw. 0,257% (quadratische
Interpolation). Dies stellt eine Reduktion des RMS-Fehlers um mehr
als 50% gegenüber dem häufig verwendeten Hamming-Fenster
mit Schwerpunkt-Interpolation dar. Die theoretische Grenze der Genauigkeit
(Cramer Rao Lower Bound) liegt unter den gegebenen Bedingungen bei
0,175%.
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Ein
analoges Vorgehen ergibt vergleichbare Ergebnisse für andere
Abtastlängen und Signal zu Rausch-Werte (SNR). Prinzipbedingt
sind die Ergebnisse nie schlechter als die konventionelle Lösung mit
Hamming-Fenster, da diese einen Spezialfall darstellt. Ob sich der
Mehraufwand lohnt, ist stark anwendungsabhängig. Der Vorteil
des neuen Verfahrens nimmt mit steigender Anzahl an Abtastpunkten und
kleinerem Frequenzbereich ab. In diesem Fall nähen sich
die Ergebnisse beider Verfahren der theoretischen, im Wesentlichen
rauschbedingten Grenze an.
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Wenn
das Rauschen so stark ist, dass die Lage des Maximums der FFT dadurch
verschoben werden kann, sind all diese Verfahren nicht mehr anwendbar. Ähnliches
gilt, falls der geforderte Frequenzbereich sehr dicht an die Nullfrequenz
oder die Nyquist-Frequenz heranreicht.
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Zur
Berechnung der Phase und der Amplitude bei nun bekannter Frequenz
kann auf viele in der Literatur bekannte Verfahren zurückgegriffen
werden. Ein Verfahren stellt beispielsweise das Verfahren „linear
least squares parameter estimation" bzw. Parameterschätzung
mittels kleinster Quadrate dar. Eine aktuelle Untersuchung der Eigenschaften
dieses Verfahrens findet sich in der Literaturstelle „On Linear
Least Squares Approach for Phase Estimation of Real Sinusoidal Signals",
Hing-Cheung So, IEICE Trans. Fundamentals, No. 12 December 2005.
Ein optimiertes Verfahren dazu ist in einer Parallelanmeldung der
Anmelderin beschrieben. Ist die Geschwindigkeit von großer
Bedeutung, können Amplitude und Phase auch basierend auf
dem oben skizzierten Algorithmus bestimmt werden.
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Die
Phase kann aus der Phase der Fourierkoeffizienten bestimmt werden.
In der Literatur wird dabei in der Regel die Phase im Frequenzraum
zwischen mehreren Fourierkoeffizienten linear interpoliert. Das
ist zwar möglich, aber bei verrauschten Daten nicht die
beste Lösung.
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Ein
geringeres Rauschen kann erreicht werden, in dem man nur die Phase
des betragsmäßig größten Fourierkoeffizienten
sowie – bei Bedarf – die geschätzte Frequenz
verwendet: φ = mod{tan–1(Im(FFTpeak)/Re(FFTpeak)) – π (shift·FREQestimate
+ peaknumber/N + mod(peaknumber, 2)), 2π}
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Dies
entspricht der Phase in der Mitte des Abtastblockes, wenn man bei äquidistanter
Abtastung annimmt, dass die Abtastpunkte an den Punkten k·n
liegen (mit –N/2:k:+N/2, und dann bei Bedarf die Phase
mit Hilfe der Frequenzschätzung verschiebt). Diese Phase
ist nur von der Position des Maximums und der Phase an diesem Maximum
abhängig.
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Wenn
die Phase an einer anderen Stelle, z. B. zwischen zwei Abtastpunkten,
gewünscht ist, kann dies durch Einsetzen der Verschiebung „shift"
in obiger Gleichung ermittelt werden. Für diese Phase spielt
dann zusätzlich der Fehler der Frequenzschätzung
eine Rolle: je weiter man sich vom Zentrum des Abtastblockes entfernt,
desto größer wird der Fehler.
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Die
Amplitude kann über die Energie des Signals bestimmt werden.
Diese bleibt im Fourierraum erhalten. Da für die Suche
des Maximums die Energie der Fourierkoeffizienten bereits berechnet
wurde, können diese Werte einfach aufsummiert und durch die
Anzahl der Abtastpunkte geteilt werden. Es muss jedoch dabei berücksichtigt
werden, dass durch die vorherige Fensterung die Energie des Signals
verändert wurde. Dieser Faktor kann bei der Optimierung des
Fensters berechnet und zusätzlich gespeichert werden.
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Neben
diesem Verfahren gibt es auch die Möglichkeit, nur die
Koeffizienten um das Maximum herum zur Berechnung heranzuziehen.
Der Einfluss des Rauschens wird zwar reduziert, kann allerdings zu
stärkeren frequenz- und phasenabhängigen Fehlern
führen, die aber beispielsweise durch eine Korrekturtabelle
in Abhängigkeit der Frequenz korrigiert werden können.
Die Auswahl der Methode hängt daher vom Rauschmodell ab.
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Mit
den beschriebenen Verfahrensvarianten ergibt sich somit beispielsweise
gegenüber dem im Stand der Technik beschriebenen Beispiel
insgesamt eine Reduktion des Fehlers gegenüber dem konventionellen
Ansatz mit Hamming-Fenstern und Schwerpunktinterpolation um nahezu
55%. Der Abstand zum theoretischen Optimum liegt bei weniger als 15%.
Das Verfahren ist dabei auch für andere Abtastlängen
anwendbar. Der Vorteil kann dann größer oder kleiner
als in dem oben beschriebenen Beispiel sein, wobei allerdings das
Verfahren nie schlechter ist als der konven tionelle Ansatz, welcher
einen Spezialfall darstellt. Der Rechenaufwand erhöht sich
dabei lediglich um 1 bis 2 Speicherzugriffe und eine Addition pro
Frequenzschätzung.
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Erfindungsgemäß ist
vorgesehen, das Auswerteverfahren insbesondere innerhalb der interferometrischen
Messtechnik, insbesondere bei der frequenzscannenden Interferometrie
einzusetzen. Aber auch außerhalb dieses Anwendungsgebietes
ist die Anwendung dieses Verfahrens denkbar. So könnten bei
Radarsystemen schnelle Frequenzschätzungen vorgenommen
werden, oder bei Kommunikationssystemen u. a. die Auswertung von
Pilotsymbolen zur Kanalschätzung verbessert werden. Ein
anderes mögliches Anwendungsfeld betrifft die Aufnahme
von Polarisationsserien ohne Synchronisation von Kamera und Filter
oder die phasenschiebende Interferometrie bei geringer Präzision
der verwendeten Phasenschiebeverfahren. Dieses Verfahren kann auch
bei der Ermittlung von Drehraten als Nebeneffekt anderer Aufnahmen
(ohne speziellen Drehratensensor), z. B. aufgrund weniger Kamerabilder
bei der Aufnahme von Polarisationsserien, genutzt werden.
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ZITATE ENTHALTEN IN DER BESCHREIBUNG
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-
Zitierte Patentliteratur
-
- - US 20030231691 [0009]
- - US 20030234936 [0009]
- - US 5880841 [0009]
- - US 5926277 [0009]
- - WO 03/103105 [0009]
- - WO 2004/001330 [0009]
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Zitierte Nicht-Patentliteratur
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- - „The
Estimation and Tracking of Frequency", Cambridge University Press [0002]
- - „On Linear Least Squares Approach for Phase Estimation
of Real Sinusoidal Signals", Hing-Cheung So, IEICE Trans. Fundamentals, No.
12 December 2005 [0053]