DE4123983C2 - Iteratives Verfahren zur hochauflösenden Spektralanalyse und Extrapolation von Signalen - Google Patents
Iteratives Verfahren zur hochauflösenden Spektralanalyse und Extrapolation von SignalenInfo
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Description
Die Erfindung geht aus von einem Verfahren nach dem
Oberbegriff des Anspruchs 1.
Bekannte Verfahren zur iterativen Rekonstruktion,
also zur Extrapolation und Spektralanalyse von diskre
ten Signalen, sind darauf gerichtet, ein Signal ohne
Sprünge fortzusetzen (Franke, U. Selective deconvo
lution: A new approach to extrapolation and spectral
analysis of discrete signals, IEEE, ICASSP: 1987, S. 1300-1303;
Papoulis, A.: A new algorithm in spectral analysis
and band-limited extrapolation, IEEE Trans. on Circuits
and Systems, Vol. CAS-22, Nr. 9, Sept. 1975, S. 735-742;
Papoulis, A. und Chamzas, C.: Detection of hidden
periodicities by adaptive extrapolation, IEEE Trans.
on Acoustics, Speech, and Signal Processing, Vol.
ASSP-27, Nr. 5, Oct. 1979, S. 492-500.
Die aus den genannten Veröffentlichungen hervorgehenden
Verfahren berücksichtigen dabei sowohl Randbedingungen
im Zeit- als auch im Frequenzbereich. Es ergibt sich
dann ein Vorgehen, wie dies, auch zum besseren Ver
ständnis vorliegender Erfindung, anhand der den Stand
der Technik angebender Fig. 1 und 2, hier speziell
der Fig. 2 (iterative Rekonstruktion), gezeigt ist.
Hierzu wird im Zeitbereich der bekannte Signalabschnitt
mit Nullen verlängert. Das so verlängerte Signal wird
mittels der Diskreten Fouriertransformation in den
Frequenzbereich transformiert. Es werden zum einen
die betragsmäßig größten Frequenzlinien ausgewählt
(bei Franke), zum anderen wird eine Bandpaßfilterung
durchgeführt (Papoulis). In jedem Fall werden eine
gewisse Anzahl von Frequenzlinien zu Null gesetzt.
Danach wird wieder eine Transformation in den Zeitbe
reich durchgeführt. Die Begrenzung im Frequenzbereich
bewirkt bekanntermaßen eine Verschmierung des Signals
im Zeitbereich. In dem Bereich, der vorher mit Nullen
aufgefüllt wurde, befinden sich nun Signalanteile.
Aber es hat auch eine Veränderung des Signals im Be
obachtungsintervall stattgefunden. Die Signaländerun
gen innerhalb des Fensters können rückgängig gemacht
werden, da dort das Signal bekannt ist. Es werden also
die bekannten Werte innerhalb des Fensters wieder
eingesetzt, die neu hinzugekommenen Signalanteile
außerhalb dieses Bereiches werden beibehalten. Dadurch
ändert sich wiederum die Frequenzzusammensetzung des
Signals. Diese beiden Schritte im Frequenz- und Zeit
bereich werden nun wiederholt durchgeführt, indem
immer wechselweise im Frequenzbereich und im Zeitbe
reich gearbeitet und approximiert wird, bis ein Feh
lermaß, im allgemeinen die Summe der quadratischen
Abweichungen zwischen dem im Beobachtungsintervall
bekannten Signal und dessen nach der Rücktransforma
tion in den Zeitbereich erhaltenen Schätzung, unter
schritten wird. Bei den bekannten Verfahren wird also
über die Fouriertransformation zur iterativen Rekon
struktion wiederholt hin- und hergesprungen, so daß
diese Verfahren nicht nur sehr kompliziert sind, son
dern auch Echtzeitrealisierungen nicht möglich sind,
da eine solche Rekonstruktion zu langsam abläuft.
Es sei noch erwähnt, daß das Verfahren nach Franke
zunächst nicht alle Frequenzlinien in einem Schritt
auswählt, sondern daß es sukzessive neue Linien zu
bereits ausgewählten hinzunimmt.
Beide Ansätze benötigen in jedem Iterationsschritt
zwei Diskrete Fouriertransformationen. Dies ist sehr
rechenaufwendig und führt außerdem durch die vielen
Transformationen zu einer großen Fehlerakkumulation.
Die Signalfortsetzungen, die auf der Bandpaßeigen
schaft bei Papoulis beruhen, klingen darüber hinaus
sehr stark ab, was unerwünscht ist.
Bekanntlich besagt das Zeitgesetz der Nachrichtentech
nik, daß die spektrale Zusammensetzung eines Signals
für einen bestimmten Zeitabschnitt nur mit einer ge
wissen Genauigkeit bestimmt werden kann (Unschärfebe
ziehung).
Im allgemeinen wird angenommen, daß das Produkt aus
Frequenzauflösung und Beobachtungsdauer etwa 1 beträgt.
Steht Vorwissen über das Signal zur Verfügung oder
können sinnvolle Annahmen, dessen zeitlichen Verlauf
betreffend, gemacht werden, so ist es möglich, die
Frequenzauflösung für den gleichen Beobachtungszeit
raum wesentlich zu erhöhen.
Eine sinnvolle Annahme über den zeitlichen Verlauf
eines Signals zeigt Fig. 1 in Verbindung mit einer
Fensterfunktion. Das Beobachtungsintervall ist in
den einzelnen Abbildungen durch ein Rechteck gekenn
zeichnet. Innerhalb dieses Zeitraums ist das zu unter
suchende Signal bekannt.
Standardtechniken (Diskrete Fouriertransformation)
analysieren die spektrale Zusammensetzung eines Signal
abschnittes so, als ob dieser Abschnitt periodisch
fortgesetzt worden wäre. In Fig. 1 (unten rechts)
ist dieses veranschaulicht worden. Es wird deutlich,
daß an den Rändern des Beobachtungszeitraums durch
die periodische Fortsetzung Sprünge auftreten können.
Dies bewirkt, daß im Spektrum zusätzliche Komponenten
auftreten, die eigentlich im Signal gar nicht vorhanden
sind (das Spektrum wird verbreitert und verschmiert).
Abhilfe wird durch die Verwendung sogenannter Fenster
funktionen erreicht. Als Beispiele seien hier Hanning-,
Hamming- und Kaiser-Fenster genannt. Das Signal wird
zwecks Analyse nun nicht mit einem Rechteck, sondern
mit einer solchen Fensterfunktion multipliziert. Dies
führt dazu, daß das Signal dann an den Rändern des
Beobachtungsintervalls sehr stark reduziert wird oder
sogar den Wert Null annimmt. Die periodische Fortset
zung des Signalabschnitts weist dann nur geringe oder
überhaupt keine Sprünge auf.
Betrachtet man als Beispiel ein Signal, das aus zwei
Sinusschwingungen zusammengesetzt ist, dann werden
durch die endliche Beobachtungsdauer bei der Anwendung
eines Rechteckfensters für die Frequenzanalyse sehr
viele Frequenzanteile sichtbar. Außerdem gibt es auch
eine Störung der Anteile, die tatsächlich im Signal
enthalten sind. Die Störung nimmt ab, falls die beiden
Sinusschwingungen einen großen Frequenzabstand auf
weisen. Die Anwendung der anderen oben beschriebenen
Fensterfunktionen führt zu einer Reduzierung der An
zahl der scheinbaren Frequenzlinien und zu einer Ver
ringerung der Störung der im Signal enthaltenen Fre
quenzanteile, falls diese einen großen Frequenzabstand
haben, und zu einer Verstärkung dieser Störungen für
den Fall, daß die Frequenz der beiden Schwingungen
etwa gleich groß ist.
Der Einfluß der Fensterfunktionen im Frequenzbereich
ist also der, daß der Verschmierungseffekt sich nur
lokal auswirkt, aber dann um so größer ist.
Es wird demnach ein Kompromiß zwischen lokaler Fre
quenzauflösung und einer Verschmierung über einen
großen Frequenzbereich gesucht.
Fig. 1 unten links zeigt ein Beispiel für eine sinnvolle
Fortsetzung des Signals. Innerhalb des bekannten Be
reiches wird das Signal mit möglichst wenigen Schwin
gungen beschrieben. Im Gegensatz zur diskreten Fourier
transformation handelt es sich nicht um eine Fortset
zung, die ohne Rücksicht auf den Signalverlauf inner
halb des Beobachtungsintervalles einfach periodisch
durchgeführt wird, sondern es erfolgt eine signalange
paßte Fortsetzung. Man kann sich nun vorstellen,
wie diese Art der Signalfortsetzung zu einer höheren
Frequenzauflösung führt: Die Beobachtungsdauer wird
nicht erhöht, aber durch eine geeignete Fortsetzung
des Signals über den Beobachtungszeitraum hinaus wird die Beobach
tungsdauer scheinbar verlängert, so daß sich dadurch eine
höhere Frequenzauflösung nach dem oben angeführten
Zeitgesetz der Nachrichtentechnik ergibt. Da die eigent
liche Beobachtungsdauer konstant bleibt, erzielt man
nun ein Produkt aus Frequenzauflösung und Beobachtungs
dauer, welches deutlich unter 1 liegt. Es sei noch
einmal betont, daß als Vorwissen einzig verwendet
wurde, daß das Signal innerhalb des Fensters mit mög
lichst wenigen Frequenzlinien beschrieben wird, die
Fortsetzung des Signals über den Beobachtungszeitraum
hinaus infolge dessen also keine Sprünge aufweist.
Diese Art der Signalfortsetzung führt zu einer Fre
quenzanalyse, bei welcher der störende Einfluß des
Analysefensters weitgehendst oder sogar vollständig
(je nach Aufwand) eliminiert werden kann.
Der Erfindung liegt daher die Aufgabe zugrunde, ein
besonders schnelles und vor allen Dingen robustes,
sich für viele praktische Anwendungen eignendes, itera
tives Extrapolationsverfahren zur hochauflösenden
Spektralanalyse bei Signalen zu schaffen, welches
möglichst einfache und geringe Rechenoperationen erfor
derlich macht, so daß das Verfahren auch numerisch
sehr stabil ist.
Die Erfindung löst diese Aufgabe mit den kennzeichnenden
Merkmalen des Anspruchs 1 und hat den Vorteil, daß überhaupt
nur eine einzige Diskrete Fouriertransformation vor dem Beginn
der Iterationen benötigt wird, da diese dann vollständig im
Frequenzbereich ablaufen. Falls das extrapolierte Zeitsignal
von Interesse ist, muß nach dem Ende der Iterationen noch eine
Transformation des geschätzten Spektrums in den Zeitbereich
erfolgen. In einem Iterationsschritt werden nicht alle Fre
quenzlinien ausgewählt, sondern es werden nur bestimmte, im
folgenden näher beschriebene, signifikante Linien genommen.
Die Erfindung ermöglicht daher, mit sehr kleinen Fen
stern sehr sauber und sehr korrekt Signale zu schät
zen, wobei aufgrund des Umstandes, daß nur im Spektral
bereich Iterationen gemacht werden, erheblich schnel
ler und mit wesentlich weniger Fehlern gearbeitet
wird.
Durch die ausschließliche Durchführung der Selektion
der Spektrallinien und deren Schätzung im Fourier
bereich wird der zugrunde liegende Algorithmus extrem
effizient, wobei sich das erfindungsgemäße Verfahren
für eine Vielzahl von Anwendungsbeispielen eignet,
so etwa bei der Quellcodierung zur Datenreduzierung.
So ist es durch die Erfindung beispielsweise möglich,
bei der Übertragung digitaler Musik die Datenrate
auf ca. 1 Bit pro Abtastwert oder sogar weniger bei
Aufrechterhaltung guter Qualität zu senken. Um hier
nur ein Beispiel anzugeben: selbst bei einer Reduzie
rung auf eine Datenrate von 2 Bit erfordert diese
Reduzierung noch eine Übertragungsrate von mehr als
64 kBit/sec, was zum Beispiel neueste ISDN-Verbindun
gen bewältigen können. Durch die Erfindung gelingt
es daher beispielsweise, über übliche ISDN
digitale Musikdarbietung in HiFi-Qualität in voller
Dynamik und vollem Frequenzumfang zu übertragen.
Weitere Anwendungsmöglichkeiten ergeben sich bei:
- - Codierung (z. B. Audiosignalcodierung (Hörbeispiel), texturbasierte Bildcodierung): Transformationscodie rungsalgorithmen, die auf der FFT oder ähnlichen Spektraltransformationen basieren, können mit dem hier beschriebenen Verfahren arbeiten. Dies hat den Vorteil, daß nur die "eigentliche Information" codiert werden muß, da der Einfluß des Analysefen sters eliminiert werden kann.
- - Bildtelefon: Durch einen Segmentierungsprozeß wird eine Person vom Hintergrund unterschieden. Der Hin tergrund wird dann extrapoliert und übertragen. Danach muß nur die Information über den Vordergrund (Person) ständig übertragen werden. Nach Bedarf kann die Hintergrundinformation aktualisiert wer den.
- - Rauschunterdrückung: Zur Darstellung des Signals werden nur die signifikantesten Spektrallinien verwendet. Die wesentlichen Rauschanteile befinden sich dann im Differenzsignal zwischen dem Original signal und dem geschätzten Signal.
- - Trennung tonaler und rauschartiger Komponenten zwecks Analyse: Nachdem die signifikantesten Spek trallinien bestimmt worden sind, enthält das Dif ferenzsignal zwischen dem Originalsignal und dem geschätzten Signal nun die wesentlichen Rauschan teile, die dann parametrisch beschrieben werden können (vergleiche Rauschunterdrückung).
- - "Korrektur" von Übertragungsfehlern: Die Fehler werden "herausgeschnitten", danach werden die Daten durch Extrapolation ergänzt. (Hörbeispiel)
- - Schnelle Sprachschalter: Die hochauflösende Spek tralanalyse ist hier so zu interpretieren, daß innerhalb eines kurzen Zeitabschnitts eine geforder te Frequenzauflösung erzielt wird. Das menschliche Gehör ist z. B. in der Lage, Sprache nach einer sehr kurzen Zeit (δt ≈ 0.5 * 1/f₁) zu erkennen. Herkömmliche FFT-Analysatoren benötigen mindestens δt = 1/f₁. Das hier vorgestellte Verfahren kann die Grundfrequenz der menschlichen Sprache f₁ mit einem wesentlich kürzeren Fenster analysieren.
- - Berechnung psychoakustischer Parameter: Die Modell bildung in der Psychoakustik kann nun wesentlich realistischere Ergebnisse liefern, da mit dem be schriebenen Verfahren eine effiziente Spektralana lyse zur Verfügung steht, die gegenüber der konven tionellen FFT dem Gehör besser angepaßt ist.
Weitere Ausgestaltungen der Erfindung sind Gegenstand
der Unteransprüche und in diesen niedergelegt.
Ein Ausführungsbeispiel der Erfindung wird im folgen
den anhand der Zeichnung im einzelnen näher erläutert.
Es zeigen:
Fig. 1 Signale beliebiger Verläufe mit zugeordne
ten Fensterfunktionen,
Fig. 2 die Grundform bekannter iterativer Rekonstruk
tionsverfahren (Stand der Technik),
Fig. 3 die Grundkonzeption einer erfindungsgemäßen
Realisierungsform mit Iteration im Spektralbe
reich,
Fig. 4 die Multiplikation eines Sinussignals (reprä
sentiert durch zwei Spektrallinien: Spektral
linienpaar) mit einer Fensterfunktion, während
Fig. 5 als Selektion mehrerer Linien verdeutlicht,
wie im allgemeinen Fall der Iteration im Spek
tralbereich vorgegangen wird;
Fig. 6 zeigt im Zeitbereich ein Originalsignal, be
stehend aus Kontur (Hüllkurve) und Inhalt
(Trägersignal) - vergl. Amplitudenmodulation -,
wobei die Hüllkurve entsprechend
Fig. 7 über eine sogenannte Hilberttransformation
als geschätzte Hüllkurve gezeigt ist; hierzu gehören
die
Fig. 8 und 9 im Spektralbereich, die eine Spektral
schätzung mit 16 Linienpaaren und das FFT-
Spektrum mit 2048 Linienpaaren angeben, während
Fig. 10 die Rekonstruktion und sinnvolle Extrapolation
des Originalsignals darstellt; die
Fig. 11-15 zeigen schließlich verschiedene Realisa
tionsmöglichkeiten zur Kombination des erfin
dungsgemäßen Verfahrens mit einer geeigneten
Zerlegung eines Audiosignals in Teilbänder
mittels einer gehörangepaßten Filterbank sowie
der Verwendung variabler Beobachtungsdauern
in den einzelnen Teilbändern; schließlich
zeigen die
Fig. 16, 17 und 18 in dieser Reihenfolge ein Origi
nalsignal f(n) mit Fensterdarstellung (gefen
stertes Signal), das FFT-Spektrum des gefen
sterten Originalsignals und (Fig. 18) das
geschätzte Spektrum, was identisch mit dem
Spektrum des Originalsignals ist, also Träger
und zwei Seitenbänder; die
Fig. 19 und 20 zeigen zweidimensionale Beispiele
von Extrapolationen, wobei die Figuren von
oben nach unten das Originalsegment, welches
dem segmentierten Bild entnommen worden ist,
die extrapolierte Textur und das rekonstruierte
Segment zeigen, welches man durch Multiplikation
der extrapolierten Textur mit der Fensterfunk
tion erhält.
Um den bei der Schätzung eines Kurzzeitspektrums
eines zeitdiskreten Signals f(n) mit der diskreten
Fouriertransformation auftretenden verschmierenden
Einfluß des Analysefensters ω(n) (Leakage-Effekt)
zu vermeiden, werden entsprechend der Erfindung die
Selektion der Spektrallinien und deren Schätzung
ausschließlich im Fourierbereich durchgeführt,
so wie dies schematisch im prinzipiellen Verlauf
der Iterationen in Fig. 3 gezeigt ist. Diese Figur
veranschaulicht das Selektionsverfahren.
Zunächst wird so vorgegangen, daß die Zeitfunktionen g(n) =
f(n) · ω(n) entsprechend der gewünschten Frequenz
auflösung mit Nullen ergänzt werden. Aus diesen ver
längerten Signalen werden dann G(k) und W(k) mittels
FFT berechnet.
- - Initialisierung: (o)(k) = 0, G(o)(k) = G(k).
- - i-ter Iterationsschritt: Selektiere das Linienpaar G(i-1)(ks (i)), G(i-1)(N-ks (i)), welches eine maxi male Verringerung des Fehlers bewirkt (die Reduzie rung des Fehlers kann als Funktion der Spektralwerte G(i-1)(ks (i)) und G(i-1)(N-ks (i)) ausgedrückt werden).
- - Berechne die Schätzwerte (ks (i)) und (N-ks (i))
- - Bilde die i-te Schätzung von F(k) mit (i)(k) = (i-1)(k) + FΔ (i)(k) (akkumuliertes Spektrum).
- - Berechne das neue Fehlerspektrum so daß nun nach Beendigung dieses Iterationsschrittes gilt:G(i)(ks (i)) = G(i)(N-ks (i)) = 0
- - Beginn des Schrittes i + 1 durch die Selektion eines neuen Linienpaares von G(i)(k).
Das Iterationsverfahren kann abgebrochen werden,
sobald das Fehlermaß unter einen vorher festgelegten
Wert gefallen ist oder falls die Selektion eines
neuen Spektrallinienpaares nur noch zu einer kleinen
Abnahme des Fehlers führt.
Fig. 4 zeigt bei einem Spektrallinienpaar, welches
Spektrum erhalten wird, wenn ein Sinussignal (hier
durch zwei Spektrallinien I1, I2 repräsentiert) mit
einer Fensterfunktion multipliziert wird, was im
Spektralbereich einer Faltung entspricht. In diesem
Beispiel ist das Fensterspektrum A ohne Beschränkung
der Allgemeinheit als bandbegrenzt angenommen worden.
Das resultierende Spektrum stellt die Überlagerung
zweier, an die Position der Spektrallinien verschobe
ner Fensterspektren A1, A2 dar. In Abhängigkeit
von dem Frequenzabstand der beiden Spektrallinien
I1′, I2′ bzw. I1, I2 gibt es eine Abweichung der
Spektralwerte bei der Frequenz der Sinusschwingungen
von den Originalwerten (unten rechts) oder keine
Abweichung (oben rechts). Da das Fensterspektrum
bekannt ist, dann dessen Einfluß auf die Spektralwerte
bei der Frequenz der Sinusschwingungen berechnet
werden, wobei auf diese Berechnung, nämlich Lösung
einer Gleichung, im folgenden noch genauer eingegangen
wird.
Zwei an die Position der Spektrallinien verschobene
Fensterspektren werden nun mit den berechneten Spek
tralwerten gewichtet und überlagert. Dieses führt
zu einem Spektrum A1 + A2, welches in Fig. 4 oben
nur im Bereich A-A von den beiden Spektren A1 bzw.
A2 verschieden ist. Dagegen ist in der unteren Dar
stellung der Fig. 4 der Verlauf des überlagerten Spek
trums wesentlich komplizierter, da hier die beiden
Spektren näher beieinander liegen und dies zu einem
einheitlichen überlagerten Kurvenverlauf führt, der
durch das Bezugszeichen B zwischen den beiden Spek
tren dargestellt ist.
Dieses so gewonnene Spektrum wird von dem zuerst
berechneten Spektrum subtrahiert, welches dann ver
schwindet, da in diesem Fall beide Spektren identisch
sind. Werden statt der überlagerten Fensterspektren
nur die berechneten Spektralwerte bei der Frequenz
der Sinusschwingungen genommen, entspricht diese
Darstellung dann dem Spektrum eines Signals, das
ohne Sprünge fortgesetzt wird (hier eine Sinusschwin
gung).
Wie findet man nun die richtige Position der Spektral
linien? Dies muß nicht unbedingt die Stelle sein,
an der das Spektrum des gefensterten Signals ein
Betragsmaximum aufweist. Es kann auch ein Fehlermaß,
nämlich die Verringerung der Summe der quadratischen
Abweichungen zwischen dem innerhalb des Fensters
bekannten Signal und dessen Schätzung, in Abhängigkeit
von der gewählten Position angegeben werden. Es ist
also möglich, das Spektrallinienpaar auszuwählen,
welches diese Summe optimal reduziert. Für den Fall
einer Sinusschwingung wird also immer die richtige
Frequenz gefunden.
Fig. 5 (Selektion mehrerer Linien) verdeutlicht,
wie im allgemeineren Fall vorgegangen werden muß.
Es handelt sich hier um ein Signal, das neben einer
Sinusschwingung zusätzlich einen Gleichanteil beinhal
tet, siehe a) in Fig. 5. Wir nehmen an, daß im ersten
Schritt die Wahl des Gleichanteils erfolgt. Es wird
dann ein Fensterspektrum bei b) in Fig. 5, welches
in diesem Fall nicht verschoben wird (Gleichanteil!),
normiert mit dem optimalen Schätzwert für den Gleichan
teil, vom Spektrum des gefensterten Signals subtrahiert.
Die Ausgangssituation (Überlagerung dreier Spektren
D0, D1 und D2) ist in der Darstellung bei b) in Fig. 5
durchgehend mit dem Bezugszeichen C versehen, wobei
dieses Bezugszeichen zum besseren Verständnis häufiger
auftaucht. Der resultierende Verlauf des Differenz
spektrums, das sich nach der Subtraktion des gewichte
ten Spektrums D0 ergibt, ist bei c) in Fig. 5 mit
E gekennzeichnet.
Ein so berechnetes Differenzspektrum wird im folgen
den als Fehlerspektrum bezeichnet. Das Fehlerspektrum
wird nun auf gleiche Weise nach signifikanten Spek
trallinien (Positionen und Spektralwerte) durchsucht
(unten rechts). Nun wird wie für den Fall zweier
Spektrallinien fortgefahren. Der zweite Iterations
schritt liefert nun nicht sofort ein Fehlerspektrum,
das überall verschwindet (dies wäre wünschenswert,
da in unserem Beispiel das Signal aus nur drei Spek
trallinien bestand), sondern es wird wieder eine
dominante Komponente bei der Frequenz Null sichtbar
(unten links). Der Grund dafür liegt in der Tatsache,
daß bei der Schätzung des Gleichanteils im ersten
Iterationsschritt die Störung durch die Fensterspek
tren an den Positionen, die im zweiten Schritt gefun
den wurden, nicht berücksichtigt worden sind. Der
neue Schätzwert für den Gleichanteil wird zu dem
bereits berechneten und im akkumulierten Spektrum
abgelegten Wert addiert. Der nächste Schritt zeigt
dann in unserem Beispiel wieder einen Anteil bei
der Frequenz der Sinusschwingung . . . Diese Iteratio
nen lassen sich abkürzen, indem der Einfluß bereits
ausgewählter Spektrallinien bei der Wahl neuer Linien
mit berücksichtigt wird, worauf weiter unten unter
der Überschrift "Erweiterung" noch eingegangen wird.
Es muß, falls dies erwünscht wird, ein Gleichungssystem
(Dimension: Anzahl der selektierten Spektrallinien)
gelöst werden. Auch hier ist vorteilhaft, daß der
Aufwand erst mit der Anzahl der ausgewählten Linien
steigt. Auch bei der Suche nach neuen optimalen Spek
trallinien kann der Einfluß bereits ausgewählter
Linien mit einbezogen werden.
Der Beweis für die Konvergenz des Verfahrens und
die Herleitung der Kriterien für die Wahl geeigneter
Spektrallinien erfolgt weiter unten unter der Über
schrift "Der Extrapolationsalgorithmus" ohne Beschrän
kung der Allgemeinheit am Beispiel eines Rechteckfen
sters. Die Gültigkeit des Verfahrens läßt sich aber
auch für beliebige reellwertige positive Fensterfunk
tionen zeigen.
So ist es z. B. möglich, ein Signal mit Hilfe des
Verfahrens in Kontur (Hüllkurve) und in Inhalt (Trä
gersignal, vergleiche Amplitudenmodulation) zu zer
legen. Die Hüllkurve des Signals kann beispielsweise
mittels der sogenannten Hilberttransformation bestimmt
werden. Deren Spektrum wird hochauflösend mit dem
vorgestellten Verfahren unter Anwendung eines Recht
eckfensters berechnet. Hier kann die Selektionsstra
tegie so geändert werden, daß nur tieffrequente An
teile der Hüllkurve berücksichtigt werden, um auf
diese Weise gleichzeitig eine Tiefpaßfilterung der
Einhüllenden vorzunehmen, wie dies in Fig. 7 im Zeit
bereich dargestellt ist. In einem zweiten Schritt
wird diese Hüllkurve als Fensterfunktion für das
eigentliche Trägersignal betrachtet und ihr Einfluß
durch das Verfahren entfernt. Die Bildung des Pro
duktes aus Hüllkurve und Trägersignal ergibt dann
wieder das rekonstruierte Originalsignal (Fig. 10).
So wird eine für viele Anwendungen (z. B. die Codie
rung von Audio- und Bildsignalen, die Texturklassifika
tion oder die Segmentierung bei der segmentorientierten
Bildverarbeitung) sehr brauchbare Signalrepräsentation
gewonnen.
Bei der Audiosignalcodierung, oder noch allgemeiner bei
psychoakustischen Analysen, läßt sich das Verfahren
kombinieren mit einer geeigneten Zerlegung eines
Audiosignals in Teilbänder mittels einer gehörangepaß
ten Filterbank (z. B. einer QMF(Quadrature Mirror
Filters)-Filterbank) und der Verwendung variabler
Beobachtungsdauern in den einzelnen Teilbändern, wie
die Fig. 11-15 zeigen. Die Länge des Beobachtungs
zeitraums sollte annähernd umgekehrt proportional der
mittleren Frequenzauflösung in einem Teilband sein. Die
Kombination der gehörbezogenen Filterbank mit hoch
auflösenden Spektralanalysatoren, die in den einzelnen
Teilbändern mit angepaßten Beobachtungszeitintervallen
arbeiten - im folgenden als VFR (Variable Frequency
Resolution FFT) bezeichnet - und gleichzeitig die
Hüllkurve in der oben beschriebenen Weise auswerten und
verarbeiten, stellt eine psychoakustisch sehr geeignete
Beschreibung der Auswertung von Audiosignalen im Zeit-
und Frequenzbereich dar.
Da sich also ein Hörvorgang durch eine Frequenzanalyse,
wie sie die VFR gehörrichtig nachbildet, nicht hinrei
chend beschreiben läßt, denn das Gehör wertet darüber
hinaus die Einhüllende des Signals aus, wird bei
der Codierung die Einhüllende dadurch berücksichtigt,
daß vor der Spektralschätzung die Einhüllende der
Teilbandsignale berechnet wird, die dann als Fenster
funktion für das Teilbandsignal betrachtet wird.
Zu den psychoakustischen Vorteilen kommt hinzu, daß
der Entfaltungsalgorithmus dann mit weniger Spektral
linien auskommt, da Modulationen im Signal nun bereits
weitgehend in der Einhüllenden codiert werden.
Die zur Codierung benutzte Einhüllende wird entweder
durch Hilbert-Transformation oder durch Betragsbil
dung ermittelt. Sie wird in den Frequenzbereich trans
formiert und ebenfalls mit dem beschriebenen Verfah
ren geschätzt, wobei hier aber nur sehr tieffrequente
Spektrallinien ausgewählt werden. Die so geschätzte
Hüllkurve wird codiert und wieder in den Zeitbereich
transformiert. Der Sender benutzt als Fensterfunktion die codier
te Einhüllende, wie sie auch der Empfänger nach der Rekonstruktion
verwendet. Ein Beispiel für eine sich so ergebende
Hüllkurve ist in Fig. 7 gezeigt. Die erforderliche
zusätzliche Datenrate zur Codierung der Einhüllenden
beträgt lediglich 0,1-0,2 Bit pro Abtastwert.
Es wird also das mit seiner Hüllkurve entfaltete
Signal codiert. Der Empfänger multipliziert das de
codierte Signal dann wieder mit der Einhüllenden.
Die guten Ergebnisse bei der Codierung mit niedrigen
Bitraten zeigen, daß die geschilderte gehörangepaßte
Art der Spektralanalyse tatsächlich eine psychoaku
stisch sehr gute Signalbeschreibung liefert, bei
entsprechend optimal angepaßter Auswahl der Filter
bankstruktur, der Filter, der Transformationslängen,
der Bitverteilung und anderer Details des Codierungs
algorithmus.
Nach der Erläuterung dieser Anwendungsbeispiele wird
anhand der Darstellung der Fig. 3 noch einmal der
prinzipielle Verlauf der Iterationen im Spektralbe
reich dargestellt.
Das akkumulierte Spektrum wird mit Nullen und das
Fehlerspektrum mit dem Spektrum des gefensterten Signals
vorbesetzt. Die Frequenzauflösung dieser Spektren
bestimmt die maximale Auflösung des Verfahrens. Eine
praktische Vorgehensweise ist z. B., daß das gefen
sterte Signal und auch das Fenster selbst mit Nullen
im Zeitbereich ergänzt und dann für die Ausführung
der Iterationen mittels FFT in den Spektralbereich
transformiert wird; es ergibt sich so ein interpolier
tes (kein hochaufgelöstes) Spektrum. Eine andere
Möglichkeit wäre, mit Hilfe der Diskreten Fouriertrans
formation nur für ausgewählte Frequenzen (z. B. auch
während der Iteration) das interpolierte Spektrum
zu berechnen. Welche der beiden Möglichkeiten in
Betracht gezogen wird, hängt vom gewünschten Aufwand
ab. Im allgemeinen wird der erste Weg aus Gründen
der Einfachheit des Verfahrens vorgezogen werden.
Es ist aber auch denkbar, beide Möglichkeiten zu kom
binieren. Die hänge des mit Nullen ergänzten Signales
gibt eine grobe Frequenzauflösung vor (z. B. für
die Suche nach signifikanten Spektrallinien), und
für die Berechnung von Zwischenwerten kann die allge
meinere Formel der Diskreten Fouriertransformation
Verwendung finden.
Die Iteration beginnt mit der Selektion eines oder
auch eventuell gleich mehrerer Linienpaare. Dies
läßt sich so ausführen, daß eine optimale Kombination
von Spektrallinien zu einer maximalen Reduzierung
des Schätzfehlers, der Summe der quadratischen Abwei
chungen zwischen dem Originalsignal im bekannten
Bereich und dem Schätzsignal, führt. Zur Schätzung
der Betrags- und Phasenwerte muß im allgemeinen
ein Gleichungssystem gelöst werden, siehe unten Extrapola
tionsalgorithmus. Die selektierten Spektralwerte
werden im akkumulierten Spektrum gespeichert. Die
Iteration wird mit der Berechnung des neuen Fehler
spektrums abgeschlossen: von dem aktuellen Fehler
spektrum werden die mit den Spektralwerten gewichte
ten und an deren Position verschobenen Fensterspektren
subtrahiert. Auch hier können Vereinfachungen des
allgemeinen Verfahrens vorgeschlagen werden. Falls
das Fensterspektrum schmalbandig ist (das kommt häu
fig vor), können für die Subtraktion der Fensterspek
tren nur die Werte herangezogen werden, deren Betrag
oberhalb einer Schwelle liegt. Dadurch wird die hohe
Effizienz des Verfahrens weiterhin gesteigert.
An dieser Stelle sei auch noch einmal betont, daß
die mathematischen Grundoperationen "iterative Sub
traktion gewichteter Fensterspektren" vergleichsweise
einfacher Natur sind, sich mit Ganzzahlarithmetik
realisieren lassen, für digitale Signalprozessoren
sehr geeignet sind und auch eine Hardware-Realisie
rung problemlos im Bereich des Möglichen liegt.
Im folgenden wird zum besseren Verständnis der Er
findung insbesondere auch für die mit den hier zugrun
de liegenden Problemen ständig befaßten Fachleute
sowie zur Vervollständigung der Erläuterung auch
vom mathematischen Standpunkt aus auf die zugrunde
liegenden rechnerischen Grundlagen genauer eingegangen.
Das zu extrapolierende Signal sei f(n) und w(n) die
Fensterfunktion. Man erhält dann mit g(n) = f(n)·w(n),
0nN-1, im diskreten Fourierbereich
Es ist erwünscht, F(k) ⊷ f(n) für 0n, kN-1
zu schätzen. Im folgenden werden nur reelle Signale
betrachtet, so daß die Symmetriebeziehungen F(k) =
F*(N-k) und G(k) = G*(N-k) gelten. Des weiteren sollen
die Fenster w(n) binär sein, das heißt w²(n) = w(n).
Der Algorithmus läßt sich aber auch auf komplexwertige
Signale erweitern. In diesem Fall würde in einem
Iterationsschritt anstatt eines Spektrallinienpaares
nur jeweils eine Spektrallinie selektiert. Es können
auch beliebige Fensterfunktionen verwendet werden.
Die Beschränkung auf binärwertige Fenster erfolgt
nur, um das Prinzip des neuen Extrapolationsverfahrens
besser zu verdeutlichen.
Grundsätzlich wird wie folgt verfahren:
Zunächst wird ein Spektrallinienpaar G(ks), G(N-ks)
an den Stellen ks und N-ks selektiert. Dann werden
die korrespondierenden Linien F(ks), F(N-ks) des
unbekannten Spektrums F(k) geschätzt durch
wobei (ks) und *(ks) die geschätzten Linien reprä
sentieren. Die Lösung dieses Gleichungssystems für
(ks) führt zu
wobei W*(0) = W(0) benutzt wurde. F(k) wird dann
geschätzt durch
(k) = (ks) · δ(k-ks) + *(ks) · δ(k-(N-ks)) (4)
Im Zeitbereich erhält man dann als extrapoliertes
Signal
Dieser Iterationsschritt wird beendet, indem man
ein "Fehlerspektrum" berechnet:
Man beachte, daß nach Gl. (2) G(1)(ks) = G(1)(N-ks) = 0
gilt. G(k) wird nun ersetzt durch G(1)(k), und
der nächste Iterationsschritt beginnt mit der Selektion
eines neuen Spektrallinienpaares.
Ausgehend von Gl. (6) wird nun gezeigt, daß die Schät
zung durch Gl. (3) optimal im Sinne des mittleren
quadratischen Fehlers ist. Die Anwendung der inversen
DFT auf Gl. (6) ergibt
G(1)(k) ⊷ g(1)(n) = g(n) - (n) · w(n) = w(n)(f(n) - (n)) (7)
welches das Differenzsignal zwischen dem gegebenen
Signal f(n) und seiner Schätzung (n) innerhalb des
Fensters w(n) darstellt.
Unter Benutzung des Parseval′schen Theorems läßt
sich die Energie Eg von g(1)(n), die proportional
zum mittleren quadratischen Fehler (MQF) zwischen
f(n) und seiner Schätzung innerhalb von w(n) ist,
als Summe quadrierter Amplitudenwerte EG durch
G(1)(k) ausdrücken
Es wird nun bewiesen, daß,wenn ein Spektrallinienpaar
selektiert wird, die Energie (1/N)EG von G(1)(k)
und also auch der MQF minimiert wird, indem man F(ks)
und F(N-ks) = F*(ks) wie in Gl. (3) schätzt.
Der Beweis wird indirekt geführt. Man nehme an, es
wäre ein anderer Schätzwert F(ks) gegeben, der nicht
nach Gl. (3) ermittelt worden ist. Generell seien
(ks) und (ks) durch (ks) +a verknüpft, wobei a
komplexwertig ist. Das Spektrum (Gl. 6) des Fehler
signals muß dann durch
ersetzt werden, dabei ist C(k) = (1/N)(aW(k-ks) +
a*W(k+ks)). Man erhält für die Differenz ΔE(a) zwi
schen der Energie G von (1)(k) und EG
Es wird nun gezeigt, daß ΔE(a) stets größer oder
gleich Null ist. Gl. (10) wird nun umgeschrieben in
Die Verwendung von ΣkS₁(k)·S₂*(k) = N·Σns₁(n)·s₂*(n)
(Parseval) ergibt
Da w(n) ein binäres Fenster ist, gilt w(n)g(1) (n) =
g(1)(n), und Gl. (12) wird dann zu
Mit G(1)(ks) = G(1)(N-ks) = 0 aus Gl. (2) und Gl. (6),
bleibt von Gl. (13) nur noch
Dies ist ein positiver Ausdruck für a ≠ 0. Damit ist
bewiesen, daß der MQF
minimal ist, falls (n) ⊷ (k) nach Gl. (3) geschätzt
wird.
Die rekursive Extrapolation wird wie folgt durchgeführt:
- - Initialisierung: (o)(k) = 0, G(o)(k) = G(k).
- - i-ter Iterationsschritt: Selektiere ein Linienpaar G(i-1(ks (i)), G(i-1)(N-ks (i)) des Spektrums G(i-1(k).
- - Schätze (ks (i)),(N-ks (i)), so daß G(i)(ks (i)) = G(i)(N-ks (i)) = 0, das heißt (vergleiche Gl. 2))
- - Bilde die i-te Schätzung von F(k) mit (i)(k) = (i-1(k)+FΔ (i)(k), wobei (vergleiche Gl. (3)) FΔ (i)(k) = (ks (i)) δ (k-ks (i)) + *(ks (i)) δ (k-(N-ks (i))).
- - Beende diesen Iterationsschritt mit der Bildung des neuen Fehlerspektrums
- - Beginn des Schrittes i+1 durch die Selektion eines neuen Linienpaares von G(i)(k).
Bisher wurde noch nicht gesagt, welches Linienpaar
von G(i-1(k) im i-ten Iterationsschritt selektiert
werden sollte. Da es unser Ziel ist, den mittleren
quadratischen Fehler zu minimieren (Gl. (15)) und
daher auch EG (i), sollte das Paar ausgewählt werden,
dessen Schätzwert nach Gl. (16) EG (i) so stark wie
möglich reduziert. Die Reduktion von EG (i), die man
mit dem optimal geschätzten Linienpaar (ks (i)),
(N-ks (i)) erreichen kann, ist mit Gl. (14)
oder Gl. (17) umgeschrieben
Da für ein binäres Fenster w²(n) = w(n) gilt, erhält
man unter Verwendung des Parseval′schen Theorems
Die Kombination von Gl. (18), Gl. (19), und Gl. (16)
führt zu
ΔE = * (ks (i)) · G(i-1) (ks (i)) + (ks (i)) · (G(i-1) (ks (i)))* (20)
Schließlich kann die Reduzierung der Energie des Feh
lersignals mit Gl. (16) als Funktion der Spektrallinie
des Fehlerspektrums G(i-1)(ks (i)) ausgedrückt werden
Es sollte im i-ten Iterationsschritt das Linienpaar
selektiert werden, für das Gl. (21) maximal wird.
Man beachte, daß die Betrachtungen zur optimalen
Schätzung eines Spektrallinienpaares, die zur Gl. (14)
führten, gleichzeitig eine Strategie für die Wahl
des besten Linienpaares liefern, das heißt das Paar,
welches den mittleren quadratischen Fehler minimiert.
Das beschriebene Iterationsverfahren kann abgebrochen
werden, falls der MQF zwischen g(n) und w(n)(n)
unter einen vorher festgelegten Wert gefallen ist
oder falls die Selektion eines neuen Spektrallinien
paares nur noch zu einer kleinen Abnahme des MQF′s
führt.
Die obigen Betrachtungen, die für die Selektion eines
Spektrallinienpaares abgeleitet worden sind, können
ähnlich angewendet werden, falls nur eine Spektral
linie z. B. G(0) selektiert wird. Ebenfalls läßt
sich der Algorithmus so erweitern, daß während eines
Iterationsschrittes mehr als ein Linienpaar betrach
tet wird. Dies ist aus folgendem Grund von Vorteil:
Immer wenn ein Spektrallinienpaar an den Stellen
ks (i), N-ks (i) im i-ten Schritt geschätzt wird, gilt
für das Fehlerspektrum G(i)(ks (i)) = G(i)(N-ks (i)) = 0.
Wenn auch im vorhergehenden Schritt i-1 erreicht
wurde, daß G(i-1)(ks (i-1) = G(i-1(N-ks (i-1) = 0,
so gilt im allgemeinen G(i)(ks (i-1) = (G(i)(N-ks i-1))* ≠ 0, da die Schätzformeln Gl. (3)
und Gl. (16) nur garantieren, daß G(i)(ks (i)) = 0,
dies impliziert, daß die gleiche Spektrallinie
mehrmals während des Iterationsprozesses selektiert
werden kann.
Um den MQF und daher auch die Energie G(i)(k) auf
dem niedrigsten Niveau für eine gegebene Untermenge
von Spektrallinien, die bereits selektiert worden
sind, zu halten, muß sichergestellt sein, daß G(i)(k)
an allen korrespondierenden Stellen verschwindet.
Genauer formuliert: (i)(k) muß so geschätzt werden,
daß gilt G(i)(ks (j)) = 0, j = 1,. . .,i.
Dies beinhaltet, daß bei der Selektion eines neuen
Linienpaares (ks (i)), (N-ks (i) die "alten" Paare
(ks (j)),F(N-ks (j)), j = 1,. . .,i-1 entsprechend modi
fiziert werden müssen. Daher muß in diesem Fall
Gl. (16) durch ein Gleichungssystem ersetzt werden:
Dieses System konjugiert komplexer Gleichungspaare für
den Schritt i erhält man aus dem vorhergehenden Schritt
i-1, indem man ein neues Gleichungspaar für das
neu selektierte Spektrallinienpaar (ks (i)), (N-ks (i))
hinzunimmt. Die Lösung des Gleichungssystems mittels
einer LR-Zerlegung - der Choleskyalgorithmus kann
hier angewendet werden, da die dem Gleichungssystem
zugrundeliegende Matrix positiv definit ist - wird
so stark vereinfacht, da die LR-Zerlegung aus dem
Schritt i-1 rekursiv verwendet werden kann.
Man beachte weiterhin, daß wegen des vorhergehenden
Schrittes G(i-1(ks (j)) = 0 für j = 1,. . .,i-1 gilt.
Das Spektrum FΔ (i)(k) ist dann
Das neue Fehlerspektrum G(i)(k) und die Schätzung
(i)(k) werden wie bereits beschrieben gebildet.
Das i-te Linienpaar kann so gewählt werden, daß mit
der Berücksichtigung bereits selektierter Linien
der MQF minimal wird. Wenn das geschätzte Spektrum
maximal so viele Linien enthält wie die Anzahl der
Abtastwerte von f(n) innerhalb w(n) beträgt, ver
schwindet der MQF selbstverständlich. Da in der Regel
zwei Linien je Iterationsschritt zum geschätzten
Spektrum addiert werden, ist die Anzahl i der notwen
digen Iterationen für einen verschwindenden NQF klei
ner als die Hälfte der Anzahl der bekannten Abtast
werte.
Die obigen Betrachtungen für eindimensionale Signale
lassen sich auch auf höherdimensionale Probleme er
weitern.
Es bedarf keiner weiteren Erläuterung, daß der Algo
rithmus auch in der Lage ist, wenn ein bekanntes
Frequenzband vorgegeben ist, unter der Annahme dominan
ter Abtastwerte im Zeitbereich, das Spektrum zu extra
polieren
Der beschriebene Algorithmus wurde sowohl auf
eindimensionale als auch auf zweidimensionale Probleme
angewendet.
So zeigt Fig. 16 ein abgetastetes AM-Signal f(t) =
(1+0,25 cos(2πf₁t)). cos(2πfot), mit f₁ = 468,25 Hz,
fo = 2812,5 Hz. Das Fenster w(n) ist durch die beiden
weißen Balken gekennzeichnet. Fig. 17 stellt das
Spektrum G(k) dar, welches 1024 Linien enthält.
Der verschmierende Einfluß von w(n) ⊷ W(k) ist
offensichtlich. Fig. 18 zeigt das geschätzte Spektrum
F(k), welches in diesem Fall identisch mit F(k) ist.
Es enthält den Träger und zwei Seitenbänder.
In Fig. 19 und 20 sind zweidimensionale Beispiele
dargestellt. Die Extrapolationen basieren auf relativ
wenig signifikanten Spektrallinien. Die Originalseg
mente sind durch eine Bildsegmentierungsprozedur
erhalten worden, die auf einem statistischen Modell
basiert. Die Figuren zeigen jeweils von oben
nach unten:
- - das Originalsegment, das dem segmentierten Bild entnommen worden ist,
- - die extrapolierte Textur und
- - das rekonstruierte Segment, das man durch die Multi plikation der extrapolierten Textur mit der Fenster funktion erhält.
Das Segment in Fig. 19 enthält 2775 Bildpunkte, und
die Rekonstruktion basiert auf 100 Spektrallinien.
Das Segment in Fig. 20 besteht aus 381 Bildpunkten,
und seine Textur wurde mit 20 Linien rekonstruiert.
Das Original und die rekonstruierte Textur stimmen
sichtbar gut überein. Wenn es erforderlich ist, kann
der MQF zwischen der Originaltextur und seiner Rekon
struktion durch die Hinzunahme weiterer Linien stärker
reduziert werden.
Claims (14)
1. Iteratives Verfahren zur hochauflösenden Spektral
analyse und Extrapolation von Signalen, dadurch
gekennzeichnet, daß die Iterationen ausschließlich
im Spektralbereich durchgeführt werden.
2. Verfahren nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet,
daß ein zu analysierendes Signal mit einer Fen
sterfunktion multipliziert und bei bekanntem
Fensterspektrum dessen Einfluß auf die Spektral-
Werte bei der Frequenz des zu analysierenden
Signals berechnet wird, daß anschließend die an
die Position der Spektrallinien verschobenen Fen
sterspektren mit den berechneten Spektrallinien
gewichtet und überlagert und ein so gewonnenes
Spektrum von dem zuerst berechneten Spektrum
subtrahiert wird.
3. Verfahren nach Anspruch 2, dadurch gekennzeichnet,
daß das durch Subtraktion gewonnene Differenzspek
trum als Fehlerspektrum anschließend nach signifi
kanten Spektrallinien (Positionen und Spektralwer
te) durchsucht wird.
4. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 3,
dadurch gekennzeichnet, daß die Position der
Spektrallinien bestimmt wird, an welcher das
Spektrum des gefensterten Signals ein Betrags
maximum aufweist.
5. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 3,
dadurch gekennzeichnet, daß die richtige Position
der Spektrallinien an der Stelle bestimmt wird, an
welcher sich eine optimale Reduzierung eines
Fehlermaßes, nämlich die Verringerung der Summe
der quadratischen Abweichungen zwischen dem
innerhalb des Fensters bekannten Signal und dessen
Schätzung ergibt.
6. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 5,
dadurch gekennzeichnet, daß nach einer Initiali
sierung des iterativen Verfahrens die Selektion
eines Linienpaares, daran anschließend die Schät
zung von Betrag und Phase, daran anschließend die
Bildung eines akkumulierten Spektrums und daraus
die Berechnung des Fehlerspektrums durchgeführt
wird.
7. Verfahren nach Anspruch 6, dadurch gekennzeichnet,
daß nach Schätzung der Betrags- und Phasenwerte
die selektierten Spektralwerte im akkumulierten
Spektrum gespeichert und die Iteration mit der
Berechnung des jeweils neuen Fehlerspektrums
abgeschlossen wird, wobei von dem aktuellen
Fehlerspektrum die mit den Spektralwerten gewich
teten und an deren Position verschobenen Fenster
spektren subtrahiert werden.
8. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 7,
dadurch gekennzeichnet, daß zunächst das gefen
sterte Signal g(n) und die Fensterfunktion w(n)
entsprechend der gewünschten Frequenzauflösung mit
Nullen
ergänzt und aus diesen verlängerten Signalen
anschließend das Spektrum der Signale G(k) und
W(k) mittels FFT berechnet werden, wobei nach den
Initialisierungen des Spektrums dem extrapolierten
Signals (o)(k) = 0, und des Fehlerspektrums G(o)(k)
= G(k) als i-ter Iterationsschritt das Linienpaar
G(i-1)(ks (i)), G(i-1)(N-ks (i)) selektiert wird, welches
eine maximale Verringerung des Fehlers bewirkt,
wobei die Reduzierung des Fehlers als
Funktion der Spektralwerte G(i-1)(ks (i)) und G(i-1)
(N-ks (i)) ausgedrückt wird und anschließend die
Schätzwerte (ks (i)) und (N-ks (i)) nach
berechnet werden, wobei
FΔ (i) = (ks (i)) δ (k-ks (i)) + *(ks (i)) δ (k-(N-ks (i)))ist, und anschließend die i-te Schätzung von F(k) mit (i)(k) = (i-1(k)+FΔ (i))(k) als akkumuliertes Spektrum gebil det wird und anschließend das neue Fehlerspektrum berechnet wird, so daß nun nach Beendigung dieses Iterationsschrittes gilt: G(i)(ks (i)) = G(i)(N-ks (i)) = 0 und der Iterationsschritt i+1 durch die Selektion eines neuen Linienpaars von G(i)(k) beginnt, wobei das Iterationsverfahren dann abgebrochen wird, wenn das Fehlermaß unter einen vorher festgelegten Wert gefallen ist oder die Selektion eines neuen Spektrallinienpaares nur noch zu einer kleinen Abnahme des Fehlers führt.
FΔ (i) = (ks (i)) δ (k-ks (i)) + *(ks (i)) δ (k-(N-ks (i)))ist, und anschließend die i-te Schätzung von F(k) mit (i)(k) = (i-1(k)+FΔ (i))(k) als akkumuliertes Spektrum gebil det wird und anschließend das neue Fehlerspektrum berechnet wird, so daß nun nach Beendigung dieses Iterationsschrittes gilt: G(i)(ks (i)) = G(i)(N-ks (i)) = 0 und der Iterationsschritt i+1 durch die Selektion eines neuen Linienpaars von G(i)(k) beginnt, wobei das Iterationsverfahren dann abgebrochen wird, wenn das Fehlermaß unter einen vorher festgelegten Wert gefallen ist oder die Selektion eines neuen Spektrallinienpaares nur noch zu einer kleinen Abnahme des Fehlers führt.
9. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 8,
dadurch gekennzeichnet, daß ein zu analysierendes
Signal in Kontur (Hüllkurve) und Inhalt (Trägersi
gnal) zerlegt und das Spektrum der Hüllkurve mit
einem (Rechteck) Fenster abgeschätzt wird, wobei
ausschließlich tief frequente Linien selektiert
werden und anschließend die geschätzte Hüllkurve
als Fensterfunktion für die breitbandige Spektral
schätzung des Zeitsignals verwendet wird.
10. Verfahren nach Anspruch 9, dadurch gekennzeichnet,
daß zur Berechnung der Hüllkurve zunächst aus dem
reellen Zeitsignal g(n) ein komplexes Signal z(n) er
zeugt wird, wobei g(n) den Realteil und die
Hilberttransformierte (n) = H{g(n)} den Imaginär
teil bildet und der Betrag des komplexen Signals
dann die Einhüllende von g(n) darstellt.
11. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 10,
dadurch gekennzeichnet, daß das zu analysierende,
gefensterte Signal und auch das Fenster selbst
zunächst mit Nullen im Zeitbereich ergänzt und
dann für die Durchführung der Iterationen mittels
FFT in den Spektralbereich transformiert wird zur
Gewinnung eines interpolierten Spektrums.
12. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 10,
dadurch gekennzeichnet, daß lediglich ausgewählte
Frequenzen mit Hilfe der diskreten Fouriertrans
formation zur Berechnung des interpolierten
Spektrums auch während der Iteration zugrunde
gelegt werden.
13. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 12,
dadurch gekennzeichnet, daß ein Audiosignal
zunächst in Teilbänder mittels einer gehörangepaß
ten Filterbank zerlegt wird und daß diese Teil
bandsignale dann mit variablen Beobachtungszeit
intervallen verarbeitet werden.
14. Verfahren nach Anspruch 13, dadurch gekennzeich
net, daß die Länge der Beobachtungszeiträume in
dem untersuchten Teilband in etwa umgekehrt
proportional der mittleren Frequenzauflösung des
Gehörs ist.
Priority Applications (1)
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DE4123983A Expired - Fee Related DE4123983C2 (de) | 1990-09-11 | 1991-07-19 | Iteratives Verfahren zur hochauflösenden Spektralanalyse und Extrapolation von Signalen |
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DE102017205499A1 (de) | 2016-11-23 | 2018-05-24 | Robert Bosch Gmbh | Verfahren und Vorrichtung zum Detektieren von Mehrdeutigkeiten in einer Matrix einer 2D-Struktur |
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1991
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