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Die
Erfindung betrifft ein Verfahren zur Berechnung der Temperatur eines
Festkörpers
oder der zur Änderung
der Temperatur des Festkörpers
benötigten
Zeit; sie betrifft insbesondere ein Verfahren, bei dem der Festkörper eine
Anode einer Röntgenröhre ist.
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Aus
DE 198 11 041 ist ein Verfahren
und Lastrechner zur Berechnung der raumzeitlichen Temperaturverteilung
einer Anode einer Röntgenröhre bekannt.
Mit dem bekannten Verfahren ist es möglich, eine Röntgeneinrichtung
vor Überlastung
zu schützen
und gleichzeitig optimal auszulasten. Ein Nachteil des Verfahrens
besteht darin, dass die Berechnung der raumzeitlichen Temperaturverteilung wegen
des hohen Rechenaufwands zeitaufwändig ist. Das Verfahren ist
nicht universell anwendbar. Es muss an die Gegebenheiten der Röntgenröhre und an
die physikalische Beschaffenheit der Anode angepasst werden. Das
ist zeit- und kostenaufwändig.
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Aufgabe
der Erfindung ist es, die Nachteile nach dem Stand der Technik zu
beseitigen. Es soll insbesondere ein schnelles, einfaches und möglichst genaues
Verfahren bereitgestellt werden, welches ein Berechnen der Temperatur
der Anode einer Röntgenröhre ermöglicht.
Des Weiteren soll ein schnelles, einfaches und möglichst genaues Verfahren bereitgestellt
werden, welches ein Berechnen der für eine Änderung der Temperatur der
Anode benötigten
Zeit ermöglicht.
Nach einem weiteren Ziel der Erfindung soll ein Verfahren bereitgestellt
werden, das in einfacher Weise angepasst werden kann an unterschiedliche
physikalische Eigenschaften der Anode, an unterschied liche Röntgenröhrengeometrien,
Ausführungsarten
von Röntgenröhren sowie
verschiedene Lastfälle
der jeweiligen Röntgenröhre.
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Diese
Aufgabe wird durch das in Anspruch 1 beschriebene Verfahren gelöst. Zweckmäßige Ausgestaltungen
der Erfindung ergeben sich aus den Ansprüchen 2 bis 11.
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Nach
Maßgabe
der Erfindung ist ein Verfahren zur Berechnung der Temperatur T
eines Festkörpers
oder der für
eine Änderung
der Temperatur des Festkörpers
benötigten
Zeit t mit folgenden Schritten vorgesehen:
- i)
Verwendung der Differenzialgleichung dT/dt =
b – cT,wobei
T
die Temperatur des Festkörpers,
t
die Zeit,
b die pro Zeiteinheit durch Energieaufnahme verursachte
Temperaturänderung ΔTEA,
cT die pro Zeiteinheit durch Ableitung
von Wärme verursachte
Temperaturänderung ΔTWA ist,
- ii) Umformen der Differenzialgleichung in die folgende dimensionsfreie
Differenzialgleichung: dϑ/dτ = 1 – ϑ,wobei
ϑ eine
dimensionsfreie Temperatur,
τ eine
dimensionsfreie Zeit ist,
- iii) Ermitteln einer Lösungsfunktion ϑ(τ) oder deren
Umkehrfunktion τ(ϑ)
aus der dimensionsfreien Differenzialgleichung zum Erstellen einer
Matrix A = (aij),
mit i = 1, 2; j ∊ N+; a1j = τj und a2j = ϑj, wobei bei Verwenden einer Lösungsfunktion ϑ(τ) und vorgegebenen
Werten τj gilt: ϑj = ϑ(τj)
und bei Verwenden einer Umkehrfunktion und vorgegebenen Werten ϑj gilt: τj = τ(ϑj);
- iv) computergestützte
Ermittlung
der Temperatur T bei vorgegebener Zeit t oder
der
Zeit t bei vorgegebener Temperatur T jeweils durch
a) Berechnen
von τ oder ϑ für t oder
T;
b) Berechnen von ϐ oder τ mittels der in A enthaltenen Werte;
c) Berechnen
von T oder t für
die in lit. b) berechneten Werte von ϑ oder τ.
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Nach
dem erfindungsgemäßen Verfahren
ist die zeitliche Temperaturänderung
des Festkörpers durch
die pro Zeiteinheit durch Energieaufnahme verursachte Temperaturänderung
und die pro Zeiteinheit durch Ableitung von Wärme verursachte Temperaturänderung
gegeben. Die zeitliche Temperaturänderung kann durch eine Differenzialgleichung beschrieben
werden. Ein Umformen der Differenzialgleichung führt zu einer dimensionsfreien
Differenzialgleichung mit der dimensionsfreien Temperatur ϑ und
der dimensionsfreien Zeit τ.
Die dimensionsfreie Differenzialgleichung und deren Lösungsfunktionen sind
unabhängig
von den physikalischen Eigenschaften, von der Geometrie, der Energieaufnahme
und Wärmeableitung
des Festkörpers.
Gleiches gilt für die
Werte aij der Matrix A. Die Ermittlung von T oder t im Schritt
lit. iv) basiert auf den bekannten Werten aij der
in Schritt lit. iii) erstellten Matrix A.
Die Schritte lit. iv) a) bis c) sind rechnerisch nicht aufwändig. Sie können schnell
durchgeführt
werden. Insbesondere können
die Berechnungen in lit. iv) a), c) und b) ein Ausführen von
Multiplikationen mit einfachen Skalierungsfaktoren und ein Anwenden
eines Näherungsverfahrens
enthalten. Das Näherungsverfahren
kann eine lineare Interpolation zwischen Werten in A sein. Insbesondere verringert sich bei
wiederholtem Berechnen von T oder t der Rechenaufwand und die Rechenzeit.
Das Berechnen der dimensionsfreien Größen aus der Temperatur und
der Zeit oder der Temperatur und Zeit aus den dimensionsfreien Größen kann
abhängig
sein von den physikalischen Eigenschaften, von der Geometrie, der
Energieaufnahme und Wärmeableitung
des Festkörpers.
Eine Anpassung des Verfahrens an verschiedene physikalische Eigenschaften
des Festkörpers,
Unterschiede in der Energieaufnahme, Wärmeabstrahlung und Ableitung
von Wärme
kann in einfacher Weise durch einen Austausch der Matrix A oder der Skalierungsfaktoren erreicht
werden. Eine Änderung
des Rechenverfahrens in Schritt lit. iv) ist nicht nötig. Des
Weiteren genügt
zur Berechnung der Werte aij der Matrix A die Auswertung von entweder ϑ(τ) oder τ(ϑ).
Das Verfahren ist selbst dann durchführbar, wenn die Umkehrfunktion ϑ(τ) von τ(ϑ)
oder τ(ϑ)
von ϑ(τ)
unbekannt, nicht existent oder aufwändig zu berechnen ist. Die
Größe von A, gegeben durch j ∊ N+, ist frei wählbar. Infolge dessen kann
T oder t beliebig genau berechnet werden.
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Nach
einer Ausgestaltung des Verfahrens kann der Festkörper die
Anode einer Röntgenröhre sein. ΔTEA kann durch eine Absorption von Elektronen
verursacht werden. Zur Berücksichtigung
verschiedener Lastfälle,
unterschiedlicher physikalischer Eigenschaften der Anode sowie Unterschiede in
der Energieaufnahme und Ableitung von Wärme genügt ein Wechsel der Skalierungsfaktoren.
Die Matrix A muss nicht ausgetauscht
werden.
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Bei
der Röntgenröhre kann
es sich um eine Drehkolbenröntgenröhre handeln.
Für diese
Art einer Röntgenröhre kann
die Temperaturänderung ΔTWA durch Ableitung von Wärme an ein Kühlmittel
verursacht werden.
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Nach
einer weiteren Ausgestaltung des Verfahrens wird die Kopplung des
Festkörpers
an das Kühlmittel
als ideal angesehen. Die Temperatur des Kühlmittels kann veränderbar
sein und die Temperatur des Festkörpers und des Kühlmittels
können übereinstimmen.
Die zeitliche Temperaturänderung des
Festkörpers
kann bei idealer Kopplung mit der zeitlichen Temperaturänderung
des Kühlmittels übereinstimmen.
Die durch Energieaufnahme verursachte Temperaturänderung ΔTEA kann
Terme enthalten, die eine von der Anode aufgenommene Energie und eine
durch Reibung der Drehkolbenröntgenröhre im Kühlmittel
verursachte Wärme
beschreiben. Das ermöglicht
eine genaue Berechnung von T oder t. Insbesondere kann anstelle
des Festkörpers
die zeitliche Temperaturänderung
des Kühlmittels
betrachtet werden.
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Nach
einer weiteren Ausgestaltung der Erfindung wird die Energieaufnahme
des Festkörpers durch
Vergleich der Temperatur T oder der Zeit t mit jeweils mindestens
einem vorgegebenen oder berechneten Grenzwert für T oder t gesteuert. Die Grenzwerte
können
aus den jeweiligen Betriebsparametern einer Röntgeneinrichtung ermittelt
werden. In dieser Ausgestaltung der Erfindung kann die von der Anode
aufgenommene Leistung oder die von einer Kathode freigegebene Leistung überwacht
und begrenzt werden. Die Röntgenröhre und
das Kühlsystem
können
vor Überhitzung,
Ausfall und Beschädigung
geschützt
werden. Zur Durchführung
des Verfahrens kann zweckmäßigerweise
ein ohnehin vorhandener Computer des Röntgen-Computertomographen verwendet
werden. Das erfindungsgemäße Verfahren
verursacht keine große
Rechenbelastung für
den Computer.
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Nachfolgend
wird das Verfahren anhand von Ausführungsbeispielen beschrieben.
Es zeigen:
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1 schematisch
einen an ein Kühlmittel gekoppelten
Anodenteller einer Drehkolbenröntgenröhre, wobei
die Kühlmitteltemperatur
konstant ist und
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2 schematisch
einen an ein Kühlmittel gekoppelten
Anodenteller einer Drehkolbenröntgenröhre, wobei
die Kühlmitteltemperatur
veränderbar ist.
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1 zeigt
schematisch einen an ein Kühlmittel 1 gekoppelten
Anodenteller 2, wobei die Temperatur TM des
Kühlmittels 1 konstant
ist. Ein von einer (hier nicht gezeigten) Kathode erzeugter Elektronenstrahl 3 trifft
auf den Anodenteller 2. An einer ersten Kontaktfläche 4 des
Anodentellers 2 mit dem Kühlmittel 1 erfolgt
eine Ableitung 5 von Wärme. Zweckmäßigerweise
wird die zeitliche Temperaturänderung
dTA/dt des Anodentellers 2 durch
folgende Differenzialgleichung beschrieben: dTA/dt = P/cpm – λF/cpm (TA – TM)
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Es
bezeichnen:
t die Zeit,
TA die
Temperatur des Anodentellers 2
TM die
konstante Temperatur des Kühlmittels 1,
P
die dem Anodenteller 2 zugeführte Leistung,
λ die Wärmeleitfähigkeit,
F
die erste Kontaktfläche 4,
cP die spezifische Wärmekapazität des Anodentellermaterials,
m
die Masse des Anodentellers 2.
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In
der Differenzialgleichung beschreibt der erste Term auf der rechten
Seite die durch Absorption von Elektronen des Elektronenstrahls 3 verursachte zeitliche
Temperaturänderung.
Der zweite Term auf der rechten Seite der Differenzialgleichung
beschreibt die durch die Wärmeableitung 5 vom
Anodenteller 2 an das Kühlmittel 1 verursachte
Temperaturänderung.
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Die
Abhängigkeit
der dimensionsfreien Temperatur ϑ von der dimensionsfreien
Zeit τ ist
gegeben durch folgende dimensionsfreie Differenzialgleichung: dϑ/dτ =
1 – ϑ.
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Es
gilt. τ =
t/tK, ϑ = TA/TK, mit TK =
(P/λF +
TM) und tK = cpm/λF.
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Eine
allgemeine Lösung τ(ϑ)
lautet: τ = – ln|1 – ϑ|
+ C,wobei C die Integrationskonstante ist. Zweckmäßig gilt
für eine
Anfangstemperatur ϑ0: τ (ϑ0) = 0.
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Mit
der Lösungsfunktion τ(ϑ)
kann die Matrix A = (aij), mit i = 1, 2 und j ∊ N+ erstellt werden, indem fest vorgegebene
Werte a2j = ϑj in
die Lösungsfunktion
eingesetzt und diese ausgerechnet wird. Für die zu berechnenden Werte
a1j der Matrix gilt: a1j = τ(ϑj). Mittels der Matrix kann die Temperatur
T einer zu einem Zeitpunkt t gemäß Schritt
lit. iv) des Verfahrens berechnet werden:
- a)
Berechnen von τ: τ = t/tK,
- b) Berechnen von ϑ:
– Auswahl von Werten a1j, a1(j + 1) der
Matrix A mit a1j ≤ τ < a1(j
+ 1)
– Lineare
Interpolation: ϑ = a2j + Δϑ/Δτ (t – a1j), wobei gilt: Δϑ = a2(j
+ 1) – a2j und Δτ = a1(j + 1) – a1j
- c) Berechnen von TA: TA = ϑ/TK.
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Die
Berechnung der Zeit t, bei welcher der Anodenteller 2 eine
vorgegebene Temperatur besitzt, erfolgt analog zu dem oben ausgeführten Schritt
lit. iv). Die Durchführung
der obigen Schritte lit. iv) a) bis c) zeigt, dass der benötigte Rechenaufwand
und die damit verbundene Rechenzeit gering sind, insbesondere bei
wiederholtem Berechnen von T oder t. Das beschriebene Verfahren
kann in einfacher Weise an veränderte
Parameterwerte der Röntgeneinrichtung angepasst
werden. Es müssen
lediglich die Skalierungsfaktoren TK und
tk neu berechnet werden. Das Rechenverfahren
des Schrittes lit. iv) bleibt gleich. Die Genauigkeit des Verfahrens
kann durch eine geeignete Wahl der Werte von Δϑ oder Δτ sowie durch Wahl
eines geeigneten Näherungsverfahrens
beliebig eingestellt werden.
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2 zeigt
entsprechend zu 1 schematisch einen an das Kühlmittel 1 gekoppelten
Anodenteller 2, wobei hier allerdings die Temperatur TM des Kühlmittels 1 veränderbar
ist. Das Bezugszeichen 7 bezeichnet eine durch Reibung
der (hier nicht gezeigten) Drehkolbenröntgenröhre im Kühlmittel 1 verursachte
Energieaufnahme des Kühlmittels 1.
An einer zweiten Kontaktfläche 8 des
Kühlmittels 1 mit
einer Umgebung 9 erfolgt eine Wärmeableitung 6 vom Kühlmittel 1 an
die Umgebung 9.
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Zweckmäßigerweise
wird die zeitliche Temperaturänderung
dTM/dt des Kühlmittels 1 durch
folgende Differenzialgleichung beschrieben: dTM/dt = (P + PR)/cpm – λF/cpm(TM – TU)
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Es
bezeichnen:
t die Zeit,
TM die
Temperatur des Kühlmittels 1,
TU die konstante Temperatur der Umgebung 9,
P
die dem Anodenteller 2 zugeführte Leistung,
PR die dem Kühlmittel 1 zugeführte, durch
Reibung verursachte Leistung,
λ die Wärmeleitfähigkeit,
F die zweite
Kontaktfläche 8,
cP die spezifische Wärmekapazität des Kühlmittels 1,
m
die Masse des Kühlmittels 1.
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In
der Differenzialgleichung beschreibt der erste Term auf der rechten
Seite die durch Energieaufnahme verursachte zeitliche Temperaturänderung des
Kühlmittels 1.
Das Kühlmittel 1 und
der Anodenteller 2 sind ideal gekoppelt. Im ersten Term
wird die durch eine Absorption von Elektronen des Elektronenstrahls 3 verursachte
Energieaufnahme des Anodentellers 2 berücksichtigt. Des Weiteren berücksichtigt
der erste Term die durch Reibung der Drehkolbenröntgenröhre verursachte Energieaufnahme 7 des
Kühlmittels 1.
Der zweite Term auf der rechten Seite der Differenzialgleichung
beschreibt die durch Wärmeableitung 6 vom
Kühlmittel 1 an
die Umgebung 9 verursachte Temperaturänderung des Kühlmittels 1,
wobei die Temperatur der Umgebung 9 als konstant betrachtet
wird. Die Differenzialgleichung in diesem Beispiel ist identisch
mit der Differenzialgleichung im vorhergehenden Beispiel, wobei
gilt:
τ =
t/tK, ϑ = TM/TK, mit den Skalierungsfaktoren TK = [(P + PR)/λF + TU] und tK =
cpm/λF.
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Hinsichtlich
der weiteren Berechnung wird auf das vorhergehende Beispiel verwiesen.
Das Verfahren kann in einfacher Weise an veränderte Parameterwerte der Röntgeneinrichtung
angepasst werden. Es müssen
lediglich die Skalierungsfaktoren TK und
tk neu berechnet werden. Bei idealer Kopplung von
Anodenteller 2 und Kühlmittel 1 kann
anstelle des Anodentellers 2 auch das Kühlmittel 1 betrachtet werden.
Die vom Kühlmittel 1 aufgenommene
Energie kann außer
der durch Elektronenabsorp tion verursachten Energieaufnahme weitere
Terme enthalten. Diese erlauben eine möglichst genaue Beschreibung
der zeitlichen Temperaturänderung
des Kühlmittels 1 und
des Anodentellers 2.