CN1515754A - 面板堆石坝的面板防裂设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种面板堆石坝面板的防裂设计方法，该设计方法是通过找到在该面板上受到最大平均拉应力的位置，从而找出该处的最大平均拉应力与面板和堆石体之间的摩擦角、凝聚力的关系，该面板的摩擦角和凝聚力的取值对应面板在出现最大平均拉应力处的拉应力等于或小于制造该面板的材料的抗拉强度。本发明的设计方法比现有技术中限制温差和增大面板的强度等方法具有更加可靠，也更加经济的优点。为堆石坝这种具有建造速度快、成本低的坝型的推广应用是具有积极意义的。

Description

面板堆石坝的面板防裂设计方法

技术领域

本发明提供面板堆石坝的一种面板防裂设计方法，适用于自重加均匀温降及干缩荷载。

背景技术

面板堆石坝是上世纪后半叶发展起来的一种新坝型，该坝型以其施工速度快、节省投资而成为现代首选坝型之一，如图1a、图1b、图1c和图1d所示，面板堆石坝主要由大坝堆石体1和防渗面板2组成构成，见图1a和图1b，在堆石体和混凝土面板之间设有垫层3和过渡层4或沥青垫层6和混凝土边墙7。在实践中发现，面板堆石坝的混凝土面板2经常会出现裂缝，裂缝产生的主要原因是温降和干缩。裂缝就其深度可分为表面裂缝和贯穿裂缝，表面裂缝主要是由面板内外温差和表面干缩引起的，而贯穿裂缝则是因温降和干缩等原因引起面板的整体收缩变形受到大坝堆石体的约束后会引起贯穿拉应力而产生。贯穿裂缝会引起面板漏水，从而威胁大坝的安全。

现有技术往往是从控制温度和提高材料强度等角度出发解决上述问题的，但是实践证明，单从这两个方面并不能从根本上解决面板裂缝问题。

发明内容

本发明的目的在于改进现有技术中的不足，提供一种从贯穿裂缝的根本原因——面板受堆石体约束入手，控制大坝堆石体对面板变形的约束来防止面板贯穿性裂缝的防裂设计方法。

本发明的目的是这样实现的：

混凝土面板一般为顶上薄、底部厚，取面板下端部位为直角坐标系的原点，设x方向为面板的轴向向上为正，y方向为面板的厚度方向，如图2所示，面板的厚度符合下面的厚度方程：

b(x)＝b₀+a(L-x)                                   (1)

其中：b₀为面板上端最薄处的厚度；

      a为面板厚度变化系数，一般为a＝0.003；

      L为面板的轴向的长度；

      b(x)为距离坐标原点x处面板的厚度。

在该面板上作用有三种外力：自重、堆石体的支撑力N2和摩擦力，见图3(N1为重力作用对面板的正压力)。

自重的分布为：

          g(x)＝b(x)ρ                            (2)

其中：ρ为面板混凝土的比重。

自重在面板轴向的分力，即下滑力f₁(x)为：

          f₁(x)＝-b(x)ρsinα                     (3)

其中：α是面板与水平方向的夹角。

当堆石体的摩擦力足够大时面板不能沿坝坡整体下滑。当面板因温降等影响而收缩时面板两端都要向中间变形，即顶部向下变形，底部向上变形，面板内部存在一个相对位移为零的点，在该点下方的面板具有向上收缩的趋势，在该点上方的面板具有向下滑动趋势。设该零位移点的坐标为x＝L₁，则在x≤L₁处，摩擦力方向向下，其值为：

          f₂(x)＝-b(x)ρcosαtgφ-C               (4)

其中：φ为面板与堆石体之间的摩擦系数。C为面板与堆石体之间的凝聚力。

在x＞L₁处，其摩擦力方向向上，其值为：

          f₃(x)＝b(x)ρcosαtgφ+C                (5)

考虑面板在轴向的受力平衡，则面板在下滑力F1、向下的摩擦力F2和向上的摩擦力F3联合作用下处于静力平衡状态，即：

          F2+F1+F3＝0                             (6)

其中：F1、F2、F3分别为(3)、(4)、(5)式沿面板轴向在相应范围内的积分。F2、F3为不动点的位置L1的函数，由(4)、(5)、(6)三式可以建立一个以L₁为未知量的方程，求解方程则可求出位移为零的点(即最大拉应力点)的位置L₁如下：

当a＝0时：

$L_1=\frac{(1-\frac{\mathrm{tg\α}}{\mathrm{tg\φ}})b_{0}L+\mathrm{DL}}{2(b_0+D)}$

当a≠0时：

$L_1=\frac{1}{a}\{(b_0+\mathrm{aL}+D)-\sqrt{{(b_0+\mathrm{aL}+D)}^2-a[(1-\frac{\mathrm{tga}}{\mathrm{tg\φ}})(b_{0}L+\frac{1}{2}a{L}^2)+\mathrm{DL}]}\}---\left(7\right)$

其中

$D=\frac{C}{\mathrm{\ρ}\cos \mathrm{\αtg\φ}}$

将面板在x＝L₁处截开成两部分，取任何一部分作为隔离体分析其受力平衡，可以求得该截面的最大平均应力为：

${\mathrm{\σ}}_{\max }=\frac{1}{b_0+a(L-L_1)}\left\{\right[b_0(L-L_1)+\frac{1}{2}a{(L-L_1)}^2](\cos \mathrm{\αtg\φ}-\sin \mathrm{\α})\mathrm{\ρ}+C(L-L_1)\}-----\left(8\right)$

式(8)为面板下底面与垫层的摩擦角φ和凝聚力C的函数，由式(8)可得出最大平均应力σ_max与摩擦角φC的关系。

如果再考虑在蓄水后渗透压力产生的坝轴向应力，则最大平均应力σ_max-H与摩擦角φ、凝聚力C的关系为：

${\mathrm{\σ}}_{\max }=\frac{1}{b_0+a(L-L_1)}\left\{\right[b_0(L-L_1)+\frac{1}{2}a{(L-L_1)}^2](\cos \mathrm{\αtg\φ}-\sin \mathrm{\α})\mathrm{\ρ}+C(L-L_1)\}+H_{L1}----\left(9\right)$

如果不考虑凝聚力C，则

        f₂(x)＝-b(x)ρcosαtgφ                          (4)’

        f₃(x)＝b(x)ρcosαtgφ                           (5)’

同样地，F1+F2+F3＝0                                      (6)’

则 $L_1=\frac{1}{a}[(b_0+\mathrm{aL})-\sqrt{{(b_0+\mathrm{aL})}^2-a(1-\frac{\mathrm{tg\α}}{\mathrm{tg\φ}})(b_{0}L+\frac{1}{2}a{L}^2)}]{----\left(7\right)}^{,}$

将面板在x＝L₁处截开成两部分，取任何一部分作为隔离体分析其受力平衡，可以求得该截面的最大平均拉应力为：

无水压力：

${\mathrm{\σ}}_{\max }=\frac{\mathrm{\ρ}}{b_0+a(L-L_1)}[b_0(L-L_1)+\frac{1}{2}a{(L-L_1)}^2](\cos \mathrm{\αtg\φ}-\sin \mathrm{\α})---{\left(8\right)}^{,}$

有水压力：

${\mathrm{\σ}}_{\max }=\frac{\mathrm{\ρ}}{b_0+a(L-L_1)}[b_0(L-L_1)+\frac{1}{2}a{(L-L_1)}^2](\cos \mathrm{\αtg\φ}-\sin \mathrm{\α})+H_{L1}--{\left(9\right)}^{,}$

如果堆石坝的体型与面板的几何尺寸(b₀、a、L、α)、材料参数ρ均已确定，则，面板上最易出现贯穿裂缝处的最大平均应力与面板下底面的摩擦角φ或其和凝聚力C的关系即可找出：如式(8)或(8)’以及式(9)或(9)’。由式(8)或(8)’以及式(9)或(9)’可知，摩擦角φ和凝聚力C越大，应力越大，反之应力越小。如果使面板与堆石体之间的摩擦角φ和凝聚力C取定这样一个数值，使面板的最大平均拉应力σ_max或σ_max-H小于或等于面板材料的许可应力σ_c，则可避免面板发生贯穿裂缝。

因此，本发明提供的面板堆石坝面板防裂设计方法即为：

一、确定在面板上可能出现最大拉应力的位置L₁：

(1)取得设计时已经确定的面板的几何尺寸：

坝顶端面板最薄处的厚度b₀，

面板的厚度变化系数a，

面板的轴向长度L，和

面板的倾斜角度α；

(2)根据上述参数确定出现最大拉应力的位置L₁：

当考虑凝聚力时：

$L_1=\frac{(1-\frac{\mathrm{tg\α}}{\mathrm{tg\φ}})b_{0}L+\mathrm{DL}}{2(b_0+D)}(a=0),$

$L_1=\frac{1}{a}\{(b_0+\mathrm{aL}+D)-\sqrt{{(b_0+\mathrm{aL}+D)}^2-a[(1-\frac{\mathrm{tga}}{\mathrm{tg\φ}})(b_{0}L+\frac{1}{2}a{L}^2)+\mathrm{DL}]}\}a\≠0--\left(7\right).$

其中： $D=\frac{C}{\mathrm{\ρ}\cos \mathrm{\αtg\φ}}$

当不考虑凝聚力时：

$L_1=\frac{(1-\frac{\mathrm{tg\α}}{\mathrm{tg\φ}})b_{0}L}{2b_0}(a=0),$

$L_1=\frac{1}{a}\{(b_0+\mathrm{aL})-\sqrt{{(b_0+\mathrm{aL})}^2-a\left[(1-\frac{\mathrm{tga}}{\mathrm{tg\φ}})(b_{0}L+\frac{1}{2}a{L}^2)\right]}\}a\≠0--\left(7^{,}\right).$

二、已知面板的材料(ρ)后确定L₁处最大平均拉应力σ_max与摩擦角φ和凝聚力C的关系：

当考虑凝聚力时：

${\mathrm{\σ}}_{\max }=\frac{1}{b_0+a(L-L_1)}\left\{\mathrm{\ρ}\right[b_0(L-L_1)+\frac{1}{2}a{(L-L_1)}^2](\cos \mathrm{\αtg\φ}-\sin \mathrm{\α})+C(L-L_1)\}-----\left(8\right)$

当不考虑凝聚力时：

${\mathrm{\σ}}_{\max }=\frac{1}{b_0+a(L-L_1)}\left\{\mathrm{\ρ}\right[b_0(L-L_1)+\frac{1}{2}a{(L-L_1)}^2\left](\cos \mathrm{\αtg\φ}-\sin \mathrm{\α})\right\}-----\left(8^{,}\right)$

在设计时也可以考虑裂隙水头，这时L₁处最大平均拉应力σ_max-H与摩擦角φ的关系：

当考虑凝聚力时：

${\mathrm{\σ}}_{\max }=\frac{1}{b_0+a(L-L_1)}\left\{\mathrm{\ρ}\right[b_0(L-L_1)+\frac{1}{2}a{(L-L_1)}^2](\cos \mathrm{\αtg\φ}-\sin \mathrm{\α})+C(L+L_1)\}+H_{L1}-----\left(9\right)$

当不考虑凝聚力时：

${\mathrm{\σ}}_{\max }=\frac{1}{b_0+a(L-L_1)}\left\{\mathrm{\ρ}\right[b_0(L-L_1)+\frac{1}{2}a{(L-L_1)}^2\left](\cos \mathrm{\αtg\φ}-\sin \mathrm{\α})\right\}+H_{L1}-----\left(9^{,}\right)$

三、根据面板材料的抗拉强度，使σ_max等于或小于面板材料的抗拉强度σ_c，以此确定满足抗裂条件的摩擦角φ和凝聚力C。

不考虑裂隙水时面板不发生贯穿裂缝的条件为：

当考虑凝聚力时：

$\frac{1}{b_0+a(L-L_1)}\left\{\mathrm{\ρ}\right[b_0(L-L_1)+\frac{1}{2}a{(L-L_1)}^2](\cos \mathrm{\αtg\φ}-\sin \mathrm{\α})+C(L-L_1)\}\≤{\mathrm{\σ}}_c-----\left(10\right)$

当不考虑凝聚力时：

$\frac{1}{b_0+a(L-L_1)}\left\{\mathrm{\ρ}\right[b_0(L-L_1)+\frac{1}{2}a{(L-L_1)}^2\left](\cos \mathrm{\αtg\φ}-\sin \mathrm{\α})\right\}\≤{\mathrm{\σ}}_c-----\left({10}^{,}\right)$

在设计时也可以考虑裂隙水，此时面板不发生贯穿裂缝的条件为：

当考虑凝聚力时：

$\frac{1}{b_0+a(L-L_1)}\left\{\mathrm{\ρ}\right[b_0(L-L_1)+\frac{1}{2}a{(L-L_1)}^2](\cos \mathrm{\αtg\φ}-\sin \mathrm{\α})+C(L+L_1)\}+H_{L1}\≤{\mathrm{\σ}}_c-----\left(11\right)$

当不考虑凝聚力时：

$\frac{1}{b_0+a(L-L_1)}\left\{\mathrm{\ρ}\right[b_0(L-L_1)+\frac{1}{2}a{(L-L_1)}^2\left](\cos \mathrm{\αtg\φ}-\sin \mathrm{\α})\right\}+H_{L1}\≤{\mathrm{\σ}}_c-----\left({11}^{,}\right)$

四、根据由式(10、10’或11、11’)确定的摩擦角φ和凝聚力C选择面板和堆石体之间垫层的材料和/或控制施工的质量，使面板与堆石体之间(如与相邻坝块接触时还应考虑与相邻坝块之间的接触摩擦)各点的摩擦角和凝聚力C均等于或小于确定的摩擦角φ和凝聚力C。

对于分块分期施工面板，后施上的板块会受到两侧先期块的止水结构压紧后的接触约束，则，该面板中的所述摩擦力还应该包括条状块对应于两侧先期块的约束力。在施工中也可以这样施工：在该条状块面板两侧的止水结构或相邻条状块面板与该条状块相邻的侧面设置一个隔离层，例如一层塑料薄膜，或是在该侧面设置一油膜层，这样可以使该止水结构或相邻条状块面板不构成或尽量少地构成对条状块面板的约束，以此来降低所述摩擦角φ，使面板不发生贯穿裂缝。

使用本发明提供的设计方法，因为使面板与垫层之间的摩擦角和凝聚力C，也就是堆石体(如与相邻坝块接触时还应考虑与相邻坝块)相对于面板的约束力足够小，使面板上的最大平均拉应力小于或等于材料的抗拉强度，因此，保证了面板在具有最大拉应力处的应力是面板的材料所能够承受的，故从根本上解决了面板出现贯穿性裂缝的问题。本发明的设计方法比起现有技术中限制温差、增大面板的强度或分缝等方法更加可靠，也更加经济。为堆石坝的推广应用是具有积极意义的。

附图说明

下面结合附图对本发明作进一步说明。

图1a为典型面板堆石坝简略示意图；

图1b为面板局部结构简略示意图；

图1c为挤压混凝土边墙式面板堆石坝局部结构；

图1d为坝的正面沿大坝的宽度方向面板由若干条状块构成的结构示意图；

图2为面板的坐标系及在该坐标系下面板的各个位置的几何参数的示意图；

图3为面板的受力模型示意图；

图4不计裂隙水压力无凝聚力时最大拉应力随坝坡角和摩擦角的变化曲线图；

图5考虑裂隙水压力无凝聚力时最大拉应力随坝坡角和摩擦角的变化曲线图；

图6为当C＝1.5t/m²不计裂隙水压力时的最大可能拉应力随坝坡脚和摩擦角的变化曲线图。

具体实施方式

对于体型一定的如图1所示的面板堆石坝，面板1参数(b₀、a、L、α)已知，则由(7)、(8)可以求出最大拉应力部位L₁、最大拉应力σ_max，由(9)、(10)式可以求出满足抗裂条件的面板底部最大摩擦系数。适当选择垫层材料，使之满足根据本发明求出的摩擦角条件，则可以保证面板不出现贯穿性裂缝。

应用例1

取一坝高为200米的面板堆石坝，面板上端最薄处的厚度为b₀＝0.3米，厚度变化系数为a＝0.003，则，面板各点的厚度由厚度方程确定为：

b(x)＝0.3+0.003(L-x)

不同上游坝坡度(即面板的倾斜角度α)、不同摩擦角、考虑与不考虑裂隙水以及考虑与不考虑凝聚力时的面板最大拉应力见图4、5和6。

如果该面板材料的抗拉强度σ_c为1.5MPa且不考虑凝聚力C，则

(1)上游坝坡度为1∶1.3时，根据计算或查如图4、5所示的图线得出，不

计裂隙水压力式最大摩擦角φ为45.44度；当考虑了水压力时，最大允许摩擦角φ为32.91度。

(2)上游坝坡度为1∶1.5时，根据计算或查如图4、5所示的图线得出，不计裂隙水压力式最大摩擦角φ为45.37度；当考虑了水压力时，最大摩擦角φ为29.33度。

(3)上游坝坡度为1∶1.7时，根据计算或查如图4、5所示的图线得出，不计裂隙水压力式最大摩擦角φ为41.75度；当考虑了水压力时，最大摩擦角φ为26.35度。

应用例2

取a＝0，其它参数同例1，上游坝坡度为1∶1.6，根据计算得出，不计裂隙水压力式最大摩擦角φ为42度；当考虑了水压力时，最大摩擦角φ为26.8度。

应用例3

取凝聚力C＝1.5t/m²，其它参数同例1，上游坝坡度为1∶1.6，根据计算得出不同摩擦角、坝坡角时的可能最大拉应力见图6，由图可见，当凝聚力部位0时，最大可能拉应力远大于混凝土的允许抗拉强度，温降收缩可能引起贯穿裂缝。因此面板下材料应尽量选择无凝聚力的材料。

根据上述参数选择垫层材料，既可以保证面板不出现贯穿性裂缝。

在堆石坝的防裂方面通过本发明可知，面板与垫层之间的约束越小越好，但是，凝聚力和摩擦力的减小是与垫层的材料的选择和控制施工的质量有关，而这些可能会提高大坝制造成本。通过上述设计方法找到了不产生贯穿裂缝的最大摩擦角，由此，就可以在有效地防止裂缝的出现和恰当地选择垫层材料以及控制垫层的施工而不过多地增加施工成本方面提供可靠的保证。

如图1d所示，对于分块分期施工面板的板块2，后施工的板块会受到两侧先期块等的止水结构压紧后的接触约束，则，该面板中的所述摩擦力还应该包括条状块对应于两侧先期块的约束力。在施工中也可以这样施工以尽可能地减小该约束力：在该条状块面板两侧的止水结构或相邻条状块面板与该条状块相邻的侧面设置一个隔离层5，例如一层塑料薄膜，或是在该侧面设置一油膜层，这样可以使该止水结构或相邻条状块面板不构成或尽量少地构成对条状块面板的约束，以此来降低所述摩擦角φ，使面板不发生贯穿裂缝。

Claims (4)

1、一种符合如下数学和力学模型的面板堆石坝的面板防裂设计方法：

A、确定在面板上可能出现最大拉应力的位置L₁：

(1)取得根据设计时已经确定的面板的几何尺寸：

   坝顶端面板最薄处的厚度b₀，

   面板的厚度变化系数a，

   面板的轴向长度L，和

   面板的倾斜角度α；

(2)根据上述参数确定出现最大拉应力的位置L₁：

a＝0时：

$L_1=\frac{(1-\frac{\mathrm{tg\α}}{\mathrm{tg\φ}})b_{0}L+\mathrm{DL}}{2(b_0+D)}$

a≠0时：

$L_1=\frac{1}{a}\{(b_0+\mathrm{aL}+D)-\sqrt{{(b_0+\mathrm{aL}+D)}^2-a[(1-\frac{\mathrm{tga}}{\mathrm{tg\φ}})(b_{0}L+\frac{1}{2}a{L}^2)+\mathrm{DL}]}\}---\left(7\right)$

B、已知面板的材料的密度ρ后确定L₁处最大平均拉应力σ_max与摩擦角φ和凝聚力C的关系：

${\mathrm{\σ}}_{\max }=\frac{1}{b_0+a(L-L_1)}\left\{\mathrm{\ρ}\right[b_0(L-L_1)+\frac{1}{2}a{(L-L_1)}^2](\cos \mathrm{\αtg\φ}-\sin \mathrm{\α})+C(L-L_1)\}+H_{L1}-----\left(9\right)$

C、根据面板材料的抗拉强度，使σ_max等于或小于面板材料的抗拉强度σ_c，以此确定满足抗裂条件的摩擦角φ和凝聚力C：

不考虑裂隙水时面板不发生贯穿裂缝的条件为：

$\frac{1}{b_0+a(L-L_1)}\left\{\mathrm{\ρ}\right[b_0(L-L_1)+\frac{1}{2}a{(L-L_1)}^2](\cos \mathrm{\αtg\φ}-\sin \mathrm{\α})+C(L-L_1)\}\≤{\mathrm{\σ}}_c-----\left(10\right)$

考虑裂隙水时面板不发生贯穿裂缝的条件，其公式为：

$\frac{1}{b_0+a(L-L_1)}\left\{\mathrm{\ρ}\right[b_0(L-L_1)+\frac{1}{2}a{(L-L_1)}^2](\cos \mathrm{\αtg\φ}-\sin \mathrm{\α})+C(L-L_1)\}+H_{L1}\≤{\mathrm{\σ}}_c-----\left(11\right)$

D、根据由式(10或11)确定的摩擦角φ和凝聚力C选择面板和堆石体之间垫层的材料和/或控制施工的质量，使面板与堆石体之间各点的摩擦角和凝聚力C均等于或小于确定的摩擦角φ和凝聚力C。

2、根据权利要求1所述的设计方法。其特征在于：当所述面板在大坝的宽度方向分块分期施工时，后期块施工之前，在相邻面板块的侧面铺设塑料膜或刷一防渗水油层。

3、根据权利要求1所述的设计方法。其特征在于：在施工中按分期分块施工的面板，则后期块的受力平衡方程中的约束力还包括先期条状块和两侧止水结构对其的接触摩擦力。

4、一种符合如下数学和力学模型的面板堆石坝的面板防裂设计方法面板堆石坝面板防裂设计方法即为：

(一)、确定在面板上可能出现最大拉应力的位置L1：

(1)取得设计时已经确定的面板的几何尺寸：

坝顶端面板最薄处的厚度b0，

面板的厚度变化系数a，

面板的轴向长度L，和

面板的倾斜角度α；

(2)根据上述参数确定出现最大拉应力的位置L1：

当不考虑凝聚力时：

$L_1=\frac{(1-\frac{\mathrm{tg\α}}{\mathrm{tg\φ}})b_{0}L}{2b_0}(a=0),$

$L_1=\frac{1}{a}\{(b_0+\mathrm{aL})-\sqrt{{(b_0+\mathrm{aL})}^2-a\left[(1-\frac{\mathrm{tga}}{\mathrm{tg\φ}})(b_{0}L+\frac{1}{2}a{L}^2)\right]}\}a\≠0--\left(7^{,}\right).$

(二)、已知面板的材料(ρ)后确定L1处最大平均拉应力σmax与摩擦角φ的关系：

当不考虑凝聚力时：

${\mathrm{\σ}}_{\max }=\frac{1}{b_0+a(L-L_1)}\left\{\mathrm{\ρ}\right[b_0(L-L_1)+\frac{1}{2}a{(L-L_1)}^2\left](\cos \mathrm{\αtg\φ}-\sin \mathrm{\α})\right\}-----\left(8^{,}\right)$

在设计时也可以考虑裂隙水头，这时L1处最大平均拉应力σmax-H与摩擦角φ的关系：

当不考虑凝聚力时：

${\mathrm{\σ}}_{\max }=\frac{1}{b_0+a(L-L_1)}\left\{\mathrm{\ρ}\right[b_0(L-L_1)+\frac{1}{2}a{(L-L_1)}^2\left](\cos \mathrm{\αtg\φ}-\sin \mathrm{\α})\right\}+H_{L1}-----\left(9^{,}\right)$

(三)、根据面板材料的抗拉强度，使σmax等于或小于面板材料的抗拉强度σc，以此确定满足抗裂条件的摩擦角φ。

不考虑裂隙水时面板不发生贯穿裂缝的条件为：

当不考虑凝聚力时：

$\frac{1}{b_0+a(L-L_1)}\left\{\mathrm{\ρ}\right[b_0(L-L_1)+\frac{1}{2}a{(L-L_1)}^2\left](\cos \mathrm{\αtg\φ}-\sin \mathrm{\α})\right\}\≤{\mathrm{\σ}}_c-----\left({10}^{,}\right)$

在设计时也可以考虑裂隙水，此时面板不发生贯穿裂缝的条件为：

当不考虑凝聚力时：

$\frac{1}{b_0+a(L-L_1)}\left\{\mathrm{\ρ}\right[b_0(L-L_1)+\frac{1}{2}a{(L-L_1)}^2\left](\cos \mathrm{\αtg\φ}-\sin \mathrm{\α})\right\}+H_{L1}\≤{\mathrm{\σ}}_c-----\left({11}^{,}\right)$

(四)、根据由式(10’或11’)确定的摩擦角φ选择面板和堆石体之间垫层的材料和/或控制施工的质量，使面板与堆石体之间、如与相邻坝块接触时还应考虑与相邻坝块之间的接触摩擦的各点的摩擦角均等于或小于确定的摩擦角φ。

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