CN1291225C - 应力性套损预测方法 - Google Patents

Abstract

一种应力性套损预测方法。解决了套损预测的问题。其特征在于：首先，监测套管的径向应变及地层应力；其次，在不考虑套管轴向应力影响的情况下，把套管看作是平面条件下的圆环受力问题，推导出圆环弹塑性变形产生的径向应变公式(3)及套管弹塑性强度公式(4)，利用公式(3)、(4)计算出套管应力载荷及在相应载荷作用下的极限强度。最后，通过套管应力载荷(或地层应力)与套管极限强度的比较，来判断套损发生的可能性。在套损发生前对套管采取补救措施，可以减缓或避免套损发生，大幅度地减少修理费用。

Description

应力性套损预测方法

技术领域：

本发明涉及油田油、水井套损的预测方法，属于应力性套损预测方法。

背景技术：

套损是指影响油田生产管道生产的、非正常的损毁或变形，油田油、水井套损的预测，在国内外各大油田均没有发现相关的技术报道和应用；套管应力载荷变化的监测方法，是利用现有套管井径测量仪器，即声波井径仪器、磁法井径仪器及机械井径仪器等，来监测套管径向应变变化，如果径应变沿圆周方向是均匀的，与原始套管比较，井径扩大可以判断外载荷类型为内压，井径缩小可以判断外载荷类型为均匀外压；如果径应变沿圆周方向是非均匀的，可以判断套管载荷为非均匀外载荷；而地层应力变化的监测，可以利用斯仑贝谢或阿特拉斯等石油公司的偶极声波测井仪器来监测地应力的变化，该仪器仅在钻井期间井眼稳定性控制以及压裂预测方面进行过应用，在套损预测方面也没有成功的报道。

在美国石油工程师协会(API)标准1984版、1994版5C3公式中有四个计算套管抗均匀外挤强度的公式，这四个公式是按径厚比不同采用不同公式计算的。API标准中抗内压强度公式是薄壁管壁厚按0.875修正的公式，而对套管的弹塑性强度公式没有报道。

发明内容：

为了克服现有的测井仪器只能监测套管应变及地层应力，而不能对套损进行预测的问题，本发明提供一种应力性套损预测方法，该方法可预测套损发生的可能性，在套损发生前对套管采取补救措施，可以减缓或避免套损发生，大幅度地减少修理费用。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案是：

1、近期预测方法是通过下述步骤实现的：

a、利用套管井径测量仪器监测套管的径向应变；

b、套管应力载荷反演方法：在不考虑套管轴向应力影响的情况下，把套管看作是平面条件下的圆环受力问题，在极坐标(r、0)下，套管应力满足如下方程：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{\∂{\mathrm{\σ}}_r}{\∂r}+\frac{1}{r}\frac{\∂{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{\θr}}}{\∂\mathrm{\θ}}+\frac{{\mathrm{\σ}}_r-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\θ}}}{r}=0\\ \frac{\∂{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{r\θ}}}{\∂r}+\frac{1}{r}\frac{\∂{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\θ}}}{\∂\mathrm{\θ}}+\frac{2{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{r\θ}}}{r}=0\end{array}\right.---\left(1\right)$

式中：σ_r-径向应力，σ_θ-切向应力，τ_rθ、τ_θr-剪切应力；应力边界条件：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\σ}}_r{|}_{r=r1}=-P_i;\\ {\mathrm{\τ}}_{\mathrm{r\θ}}{|}_{r=r1}=0;\\ {\mathrm{\σ}}_r{|}_{r=r2}=-P_o-\frac{S}{2}(1-\cos 2\mathrm{\θ});\\ {\mathrm{\τ}}_{\mathrm{r\θ}}{|}_{r=r2}=-\frac{S}{2}\sin 2\mathrm{\θ};\end{array}\right.---\left(2\right)$

式中：P_i-套管初始内压，P_o-套管初始外压，S-非均匀外载荷。

通过边界条件求得圆环弹塑性变形产生的径向应变为：

$u_r=\frac{(1-{\mathrm{\μ}}^2)P_p}{\mathrm{Er}}[-\frac{A}{(1-\mathrm{\μ})r_p}+\frac{2(1-2\mathrm{\μ}){\mathrm{Br}}_p}{1-\mathrm{\μ}}-(\frac{2A_1{r}_p}{1-\mathrm{\μ}}-\frac{4\mathrm{\μ}{B}_1{r}_p^3}{1-\mathrm{\μ}}-\frac{2C_1}{(1-\mathrm{\μ})r_p^3}$

$-\frac{4D_1}{r_p})\cos 2\mathrm{\θ}]+\frac{(1-{\mathrm{\μ}}^2)}{\mathrm{Er}}[-\frac{{\mathrm{\δ}}_1}{(1-\mathrm{\μ})r_p}+\frac{2(1-2\mathrm{\μ}){\mathrm{\δ}}_2{r}_p}{1-\mathrm{\μ}}]$ (3)

式中：

A＝(S_o-S_i+S/2)A′        B＝S_iB′-(S_o+S/2)C′

$A_1=-\frac{1+k^2+4k^4}{4{(1-k^2)}^3}$ $B_1=\frac{k^2}{2r_2^2{(1-k^2)}^3}$

$C_1=-\frac{r_p^4(1+k^2)}{4{(1-k^2)}^3}$ $D_1=\frac{r_p^4(1+k^3)(1+k+k^2)}{2{(1-k)}^3{(1+k)}^4}$

$k=\frac{r_p}{r_2}$ $A^{\′}=\frac{r_p^2{r}_2^2}{r_2^2-r_p^2}$

$B^{\′}=\frac{r_p^2}{2(r_2^2-r_p^2)}$ $C^{\′}=\frac{r_2^2}{2(r_2^2-r_p^2)}$

$\mathrm{\δ}=-\frac{2}{\sqrt{3}}{\mathrm{\σ}}_s\mathrm{lgo}\frac{r_p}{r_1}$                                δ₁＝-δA′+(P_o-P_i)A′

δ₂＝δB′+P_iB′-P_oC′

c、将方程(1)中的σ_r、σ_θ代入Von Mises屈服条件

${({\mathrm{\σ}}_r-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\θ}})}^2+{({\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\θ}}-{\mathrm{\σ}}_s)}^2+{({\mathrm{\σ}}_s-{\mathrm{\σ}}_r)}^2+6{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{r\θ}}^2=2{\mathrm{\σ}}_s^2,$ 利用弹塑性区边界r＝r_p处应力连续求出弹塑性强度。在塑性区取方程(1)中τ_rθ＝0，套管弹塑性强度为：

$P_p^{\′}=\frac{-Q_{10}+\sqrt{Q_{10}^2-4Q_9{Q}_{11}}}{2Q_9}---\left(4\right)$

式中：

$Q_9=S_1^2+Q_5^2+Q_7^2$                                  Q₁₀＝2S₁Q₃+2Q₅Q₆+2Q₇Q₈

$Q_{11}=Q_3^2+Q_6^2+Q_8^2+6{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{r\θ}}^2-2{\mathrm{\σ}}_s^2$                                  S₁＝σ_θ-σ_r

S₂＝σ_θ+σ_r $Q_1=\frac{{\mathrm{\δ}}_1}{r^2}+2{\mathrm{\δ}}_2$

$Q_2=-\frac{{\mathrm{\δ}}_1}{r^2}+2{\mathrm{\δ}}_2$ $Q_3=-\frac{2{\mathrm{\δ}}_1}{r^2}$

Q₄＝4δ₂                   Q₅＝σ_θ-μS₂

Q₆＝Q₂-μQ₂               Q₇＝μS₂-σ_r

Q₈＝Q₁-μQ₄ $\mathrm{\δ}=-\frac{2}{\sqrt{3}}{\mathrm{\σ}}_s\log \frac{r_p}{r_1}$

δ₁＝-δA′+(P_o-P_i)A′   δ₂＝δB′+P_iB′-P_oC′

上述公式(3)、(4)中符号说明：

P_p′-套管弹塑性强度，μ-泊松比，r₁-套管内半径，r₂-套管外半径，r_p-弹塑性交界处半径，r-测量点半径，E-杨氏模量，P_i-套管初始内压，P_o-套管初始外压，S-非均匀外载荷，S_i-抗内压载荷，S_o-抗均匀外载荷，其它各符号为中间变量。

d、将步骤a中监测得到的径向应变值代入到公式(3)中，反演出套管应力载荷，即式中的P_p；

e、利用公式(4)计算出套管在相应载荷作用下的极限强度P_p′；

f、将上述步骤d、e计算出的P_p、P_p′相比较，判断套损发生的可能性；

2、远期预测方法是通过下述步骤实现的：

a、利用偶极声波测井仪器监测地应力；

b、利用近期预测方法中的公式(4)计算出套管在相应载荷作用下的极限强度P_p′；

$P_p^{\′}=\frac{-Q_{10}+\sqrt{Q_{10}^2-4Q_9{Q}_{11}}}{2Q_9}$

式中：

$Q_9=S_1^2+Q_5^2+Q_7^2$                                 Q₁₀＝2S₁Q₃+2Q₅Q₆+2Q₇Q₈

$Q_{11}=Q_3^2+Q_6^2+Q_8^2+6{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{r\θ}}^2-2{\mathrm{\σ}}_s^2$                                 S₁＝σ_θ-σ_r

S₂＝σ_θ+σ_r $Q_1=\frac{{\mathrm{\δ}}_1}{r^2}+2{\mathrm{\δ}}_2$

$Q_2=-\frac{{\mathrm{\δ}}_1}{r^2}+2{\mathrm{\δ}}_2$ $Q_3=-\frac{2{\mathrm{\δ}}_1}{r^2}$

Q₄＝4δ₂                  Q₅＝σ_θ-μS₂

Q₆＝Q₂-μQ₂              Q₇＝μS₂-σ_r

Q₈＝Q₁-μQ₄ $\mathrm{\δ}=-\frac{2}{\sqrt{3}}{\mathrm{\σ}}_s\log \frac{r_p}{r_1}$

δ₁＝-δA′+(P_o-P_i)A′  δ₂＝SB′+P_iB′-P_oC′

上述公式(4)中符号说明：

u_r-套管内壁径向位移，P_p-套管应力载荷，P_p′-套管弹塑性强度，μ-泊松比，r₁-套管内半径，r_p-弹塑性交界处半径，r-测量点半径，P_i-套管初始内压，P_o-套管初始外压，S_i-抗内压载荷，其它各符号为中间变量。

c、将上述步骤a监测得到的地应力与步骤b计算得出的极限强度进行比较，来判断套损发生的可能性。

本发明的有益效果是：由于本发明按照弹塑性理论导出了圆环弹塑性变形产生的径向应变公式和套管弹塑性强度公式，根据该公式可计算出套管应力载荷及在相应载荷作用下的极限强度。通过应力载荷和极限强度的比较，可预测套损发生的可能性；在套损发生前对套管采取补救措施，可以减缓或避免套损发生，大幅度地减少修理费用。

附图说明：

图1是本发明的套管均匀外载应力模型图；

图2是本发明的套管非均匀外载应力模型图；

图3是本发明的套管均匀与非均匀外载共同作用应力模型图；

图4是本发明以139.7×7.72mm套管为例计算的抗内压强度及对应径向变形图；

图5是本发明以139.7×7.72mm套管为例计算的抗均匀外压强度及对应径向变形图；

图6是本发明以139.7×7.72mm套管为例计算的抗非均匀外压强度及对应径向变形图；

具体实施方式：

下面结合附图对本发明进一步说明：

图1、图2、图3是本发明的套管应力模型图，把套管看作是平而条件下的圆环受力问题，在极坐标(r、θ)下，套管应力满足如下方程：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{\∂{\mathrm{\σ}}_r}{\∂r}+\frac{1}{r}\frac{\∂{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{\θr}}}{\∂\mathrm{\θ}}+\frac{{\mathrm{\σ}}_r-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\θ}}}{r}=0\\ \frac{\∂{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{r\θ}}}{\∂r}+\frac{1}{r}\frac{\∂{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\θ}}}{\∂\mathrm{\θ}}+\frac{2{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{r\θ}}}{r}=0\end{array}\right.---\left(1\right)$

式中：σ_r-径向应力，σ_θ-切向应力，τ_rθ、τ_θr-剪切应力；应力边界条件：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\σ}}_r{|}_{r=r1}=-P_i;\\ {\mathrm{\τ}}_{\mathrm{r\θ}}{|}_{r=r1}=0;\\ {\mathrm{\σ}}_r{|}_{r=r2}=-P_o-\frac{S}{2}(1-\cos 2\mathrm{\θ});\\ {\mathrm{\τ}}_{\mathrm{r\θ}}{|}_{r=r2}=-\frac{S}{2}\sin 2\mathrm{\θ};\end{array}\right.---\left(2\right)$

式中：P_i-套管初始内压，P_o-套管初始外压，S-非均匀外载荷。

通过边界条件求得圆环弹塑性变形产生的径向应变为：

$u_r=\frac{(1-{\mathrm{\μ}}^2)P_p}{\mathrm{Er}}[-\frac{A}{(1-\mathrm{\μ})r_p}+\frac{2(1-2\mathrm{\μ}){\mathrm{Br}}_p}{1-\mathrm{\μ}}-(\frac{2A_1{r}_p}{1-\mathrm{\μ}}-\frac{4\mathrm{\μ}{B}_1{r}_p^3}{1-\mathrm{\μ}}-\frac{2C_1}{(1-\mathrm{\μ})r_p^3}$

$-\frac{4D_1}{r_p})\cos 2\mathrm{\θ}]+\frac{(1-{\mathrm{\μ}}^2)}{\mathrm{Er}}[-\frac{{\mathrm{\δ}}_1}{(1-\mathrm{\μ})r_p}+\frac{2(1-2\mathrm{\μ}){\mathrm{\δ}}_2{r}_p}{1-\mathrm{\μ}}]$ (3)

式中：

A＝(S_o-S_i+S/2)A′            B＝S_iB′-(S_o+S/2)C′

$A_1=-\frac{1+k^2+4k^4}{4{(1-k^2)}^3}$ $B_1=\frac{k^2}{2r_2^2{(1-k^2)}^3}$

$C_1=-\frac{r_p^4(1+k^2)}{4{(1-k^2)}^3}$ $D_1=\frac{r_p^4(1+k^3)(1+k+k^2)}{2{(1-k)}^3{(1+k)}^4}$

$k=\frac{r_p}{r_2}$ $A^{\′}=\frac{r_p^2{r}_2^2}{r_2^2-r_p^2}$

$B^{\′}=\frac{r_p^2}{2(r_2^2-r_p^2)}$ $C^{\′}=\frac{r_2^2}{2(r_2^2-r_p^2)}$

$\mathrm{\δ}=-\frac{2}{\sqrt{3}}{\mathrm{\σ}}_s\mathrm{lgo}\frac{r_p}{r_1}$                                    δ₁＝-δA′+(P_o-P_i)A′

δ₂＝δB′+P_iB′-P_oC′

将σ_r、σ_θ代入Von Mises屈服条件

${({\mathrm{\σ}}_r-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\θ}})}^2+{({\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\θ}}-{\mathrm{\σ}}_s)}^2+{({\mathrm{\σ}}_s-{\mathrm{\σ}}_r)}^2+6{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{r\θ}}^2=2{\mathrm{\σ}}_s^2,$ 利用弹塑性区边界r＝r_p处应力连续求出弹塑性强度。在塑性区取方程(1)中τ_rθ＝0，其结果造成非均匀载荷强度略偏大。套管弹塑性强度为：

$P_p^{\′}=\frac{-Q_{10}+\sqrt{Q_{10}^2-4Q_9{Q}_{11}}}{2Q_9}---\left(4\right)$

式中：

$Q_9=S_1^2+Q_5^2+Q_7^2$                                    Q₁₀＝2S₁Q₃+2Q₅Q₆+2Q₇Q₈

$Q_{11}=Q_3^2+Q_6^2+Q_8^2+6{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{r\θ}}^2-2{\mathrm{\σ}}_s^2$                                    S₁＝σ_θ-σ_r

S₂＝σ_θ+σ_r $Q_1=\frac{{\mathrm{\δ}}_1}{r^2}+2{\mathrm{\δ}}_2$

$Q_2=-\frac{{\mathrm{\δ}}_1}{r^2}+2{\mathrm{\δ}}_2$ $Q_3=-\frac{2{\mathrm{\δ}}_1}{r^2}$

Q₄＝4δ₂                    Q₅＝σ_θ-μS₂

Q₆＝Q₂-μQ₂                Q₇＝μS₂-σ_r

Q₈＝Q₁-μQ₄ $\mathrm{\δ}=-\frac{2}{\sqrt{3}}{\mathrm{\σ}}_s\log \frac{r_p}{r_1}$

δ₁＝-δA′+(P_o-P_i)A′    δ₂＝δB′+P_iB′-P_oC′

上述公式(3)、(4)中符号说明：

u_r-套管内壁径向位移，P_p-套管应力载荷，P_p′-套管弹塑性强度，μ-泊松比，r₁-套管内半径，r₂-套管外半径，r_p-弹塑性交界处半径，r-测量点半径，E-杨氏模量，P_i-套管初始内压，P_o-套管初始外压，S-非均匀外载荷，S_i-抗内压载荷，S_o-抗均匀外载荷，其它各符号为中间变量。

在实际使用过程中，可用两种方法对套损进行预测。一种方法是远期预测，利用偶极声波测井仪器来监测地应力；然后，根据本发明中套管弹塑性强度公式(4)计算套管在相应载荷作用下的极限强度。将地应力和极限强度进行比较，来判断套损发生的可能性；另一种方法是近期预测，利套管井径测量仪器，即声波井径仪器、磁法井径仪器及机械井径仪器等，来监测套管径向应变，如果径应变沿圆周方向是均匀的，与原始套管比较，井径扩大可以判断外载荷类型为内压，井径缩小可以判断外载荷类型为均匀外压；如果径应变沿圆周方向是非均匀的，可以判断套管载荷为非均匀外载荷，然后利用套管应力应变关系公式(3)计算出套管应力载荷。最后，利用套管弹塑性强度公式(4)计算套管在相应载荷作用下的极限强度；将套管应力载荷和极限强度进行比较，来判断套损发生的可能性。

上述两种方法对套损发生可能性的预测，如果套管应力载荷(或地层应力)很接近套管极限强度，则套损发生的可能性就大；如果套管应力载荷(或地层应力)增加比较快，则套损发生的可能性也很大，需要密切监视载荷变化；如果套管应力载荷(或地层应力)比较稳定，并且与相应载荷下的极限强度相比较小，则套损发生的可能性也较小；其它情况可依此类推。两种方法可以单独使用，也可以同时使用，同时使用可以互补，取得最好的预测效果；可以在套损发生前对套管采取补救措施，减缓或避免套损发生，大幅度地减少修理费用。

实施例：

实施例1：套管抗内压强度：

图4中系列1是套管内外压差为0时套管抗内压应力应变关系，套管弹塑性强度P_p′为66MPa，当外载荷(内压)达到这一数值时开始进入弹塑性阶段，其变化规律不再是线性关系，其应变变化范围也只有0.1毫米到0.2毫米的变化，现有套损检测仪器监测其变化十分困难。套管抗内压强度增加越来越缓慢，但数值仍然比较大，套管抗内压能力还是比较大的，油田套损主要类型不是这种。系列2、3、4是内压为10、20、30MPa时的情形，可见随内压增加套管抗内压能力降低了。系列5、6、7是外压为10、20、30MPa时的情形，由于外压抵消了部分内压，套管抗内压能力有所提高。

实施例2：抗均匀外压强度：

图5中系列1是套管内外压差为0时套管抗均匀外压应力应变关系，套管弹塑性强度P_p′为66MPa，当外载荷(外压)达到这一数值时开始进入弹塑性阶段，其变化规律不再是线性关系，其应变变化范围从0.2毫米到2.5毫米的变化，用套管井径测量仪器监测套管的径向应变u_r，通过本发明的公式(3)可以反演出套管应力载荷P_p。套管抗均匀外压强度增加越来越缓慢，但数值仍然比较大，套管抗外压能力还是比较大的，油田套损主要类型也不是这种。系列2、3、4是内压为10、20、30MPa时的情形，随内压增加套管抗外压能力有所提高。系列5、6、7是外压为10、20、30MPa时的情形，随外压增加套管抗均匀外压能力降低了。

实施例3：抗非均匀外压强度：

图6系列1是套管内外压差为0时套管抗非均匀外压应力应变关系，套管弹塑性强度为5.6MPa，不到均匀时的10％，当外载荷(非均匀外压)达到这一数值时开始进入弹塑性阶段，其变化规律不再是线性关系，抗载强度迅速下降，其应变变化范围从0.3毫米到15毫米的变化，用套管井径测量仪器监测套管的径向应变u_r，通过本发明的公式(3)可以反演出套管应力载荷P_p。这种类型的套损危害最大。系列2、3、4是内压为10、20、30MPa时的情形，随内压增加套管抗非均匀外压能力降低了。系列5、6、7是外压为10、20、30MPa时的情形，由于外压增加降低了套管外载非均匀程度，套管抗非均匀外压能力有所提高。所以准确地说，套损增加并不是注水的错，而是当地层的结构发生变化，例如：地层的滑移、断层复活及泥岩蠕变等导致会管非均匀加载，容易出现套损；油田注入水应该密切注意注入水去向，加强两个剖面测井、井身及地层结构变化等监测，严格避免非均匀加载出现。这就解释了为什么有时注水压力不太高却很容易出现套损，而有时注水压力很大却不出现套损问题。

Claims (2)

1、一种应力性套损预测方法，其特征在于：近期预测方法是通过下述步骤实现的：

a、利用套管井径测量仪器监测套管的径向应变u_r；

b、套管应力载荷反演方法：在不考虑套管轴向应力影响的情况下，把套管看作是平面条件下的圆环受力问题，在极坐标(r、θ)下，套管应力满足如下方程：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{{\∂\mathrm{\σ}}_r}{\∂r}+\frac{1}{r}\frac{{\∂\mathrm{\τ}}_{\mathrm{\θr}}}{\∂\mathrm{\θ}}+\frac{{\mathrm{\σ}}_r-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\θ}}}{r}=0\\ \frac{{\∂\mathrm{\τ}}_{\mathrm{r\θ}}}{\∂r}+\frac{1}{r}\frac{{\∂\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\θ}}}{\∂\mathrm{\θ}}+\frac{{2\mathrm{\τ}}_{\mathrm{r\θ}}}{r}=0\end{array}\right.---\left(1\right)$

式中：σ_r-径向应力，σ_θ-切向应力，τ_rθ、τ_θr-剪切应力；

应力边界条件：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\σ}}_r{|}_{r=r1}=-P_i;\\ {\mathrm{\τ}}_{\mathrm{r\θ}}{|}_{r=r1}=0;\\ {\mathrm{\σ}}_r{|}_{r=r2}=-P_o-\frac{S}{2}(1-\cos 2\mathrm{\θ});\\ {\mathrm{\τ}}_{\mathrm{r\θ}}{|}_{r=r2}=-\frac{S}{2}\sin 2\mathrm{\θ};\end{array}\right.---\left(2\right)$

式中：P_i-套管初始内压，P_o-套管初始外压，S-非均匀外载荷；通过边界条件求得圆环弹塑性变形产生的径向应变为：

$u_r=\frac{(1-{\mathrm{\μ}}^2)P_p}{\mathrm{Er}}[-\frac{A}{(1-\mathrm{\μ})r_p}+\frac{2(1-2\mathrm{\μ}){\mathrm{Br}}_p}{1-\mathrm{\μ}}-(\frac{{2A}_1{r}_p}{1-\mathrm{\μ}}-\frac{{4\mathrm{\μB}}_1{r}_p^3}{1-\mathrm{\μ}}-\frac{{2C}_1}{(1-\mathrm{\μ})r_p^3}$

$-\frac{{4D}_1}{r_p})\cos 2\mathrm{\θ}]+\frac{(1-{\mathrm{\μ}}^2)}{\mathrm{Er}}[-\frac{{\mathrm{\δ}}_1}{(1-\mathrm{\μ})r_p}+\frac{{2(1-2\mathrm{\μ})\mathrm{\δ}}_2{r}_p}{1-\mathrm{\μ}}]$ (3)

式中：

A＝(S_o-S_i+S/2)A′          B＝S_iB′-(S_o+S/2)C′

$A_1=-\frac{1+k^2+4k^4}{4{\left({1-k}^2\right)}^3},B_1=\frac{k^2}{{2r}_2^2{\left({1-k}^2\right)}^3}$

$C_1=-\frac{r_p^4(1+k^2)}{4{(1-k^2)}^3},D_1=\frac{r_p^2(1+k^3)(1+k+k^2)}{2{(1-k)}^3{(1+k)}^4}$

$k=\frac{r_p}{r_2},A^{\′}=\frac{r_p^2{r}_2^2}{r_2^2-r_p^2}$

$B^{\′}=\frac{r_p^2}{2(r_2^2-r_p^2)},C^{\′}=\frac{r_2^2}{2(r_2^2-r_p^2)}$

$\mathrm{\δ}=-\frac{2}{\sqrt{3}}{\mathrm{\σ}}_s\log \frac{r_p}{r_1},{\mathrm{\δ}}_1=-{\mathrm{\δA}}^{\′}+{(P_o-P_i)A}^{\′};$

δ₂＝δB′+P_iB′-P_oC′

c、将方程(1)中的σ_r、σ_θ代入Von Mises屈服条件

${({\mathrm{\σ}}_r-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\θ}})}^2+{({\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\θ}}-{\mathrm{\σ}}_z)}^2+{({\mathrm{\σ}}_z-{\mathrm{\σ}}_r)}^2+{6\mathrm{\τ}}_{\mathrm{r\θ}}^2={2\mathrm{\σ}}_s^2,$ 利用弹塑性区边界r＝r_p处应力连续求出弹塑性强度，在塑性区取方程(1)中τ_rθ＝0，套管弹塑性强度为：

$P_p^{\′}=\frac{-Q_{10}+\sqrt{Q_{10}^2-4Q_9{Q}_{11}}}{{2Q}_9}---\left(4\right)$

式中：

$Q_9=S_1^2+Q_5^2+Q_7^2$ Q₁₀＝2S₁Q₃+2Q₅Q₆+2Q₇Q₈

$Q_{11}=Q_3^2+Q_6^2+Q_8^2+{6\mathrm{\τ}}_{\mathrm{r\θ}}^2-{2\mathrm{\σ}}_s^2$ S₁＝σ_θ-σ_r

$S_2={\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\θ}}+{\mathrm{\σ}}_r$ $Q_1=\frac{{\mathrm{\δ}}_1}{r^2}+{2\mathrm{\δ}}_2$

$Q_2=-\frac{{\mathrm{\δ}}_1}{r^2}+2{\mathrm{\δ}}_2,Q_3=-\frac{{2\mathrm{\δ}}_1}{r^2};$

Q₄＝4δ₂                  Q₅＝σ_θ-μS₂

Q₆＝Q₂-μQ₂               Q₇＝μS₂-σ_r

Q₈＝Q₁-μQ₄ $\mathrm{\δ}=-\frac{2}{\sqrt{3}}{\mathrm{\σ}}_s\log \frac{r_p}{r_1}$

δ₁＝-δA′+(P_o-P_i)A′    δ₂＝δB′+P_iB′-P_oC′

上述公式(3)、(4)中符号说明：

u_r-套管内壁径向位移，P_p-套管应力载荷，P_p′-套管弹塑性强度，u-泊松比，r₁-套管内半径，r₂-套管外半径，r_p-弹塑性交界处半径，r-测量点半径，E-杨氏模量，P_i-套管初始内压，P_o-套管初始外压，S-非均匀外载荷，S_i-抗内压载荷，S_o-抗均匀外载荷，其它各符号为中间变量；

d、将步骤a中监测得到的径向应变值代入到公式(3)中，反演出套管应力载荷，即式中的P_p；

e、利用公式(4)计算出套管在相应载荷作用下的极限强度P_p′；

f、将上述步骤d、e计算出的P_p、P_p′相比较，判断套损发生的可能性。

2、一种应力性套损预测方法，其特征在于：远期预测方法是通过下述步骤实现的：

a、利用偶极声波测井仪器监测地应力；

b、在不考虑套管轴向应力影响的情况下，把套管看作是平面条件下的圆环受力问题，在极坐标(r、θ)下，套管应力满足如下方程：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{{\∂\mathrm{\σ}}_r}{\∂r}+\frac{1}{r}\frac{{\∂\mathrm{\τ}}_{\mathrm{\θr}}}{\∂\mathrm{\θ}}+\frac{{\mathrm{\σ}}_r-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\θ}}}{r}=0\\ \frac{{\∂\mathrm{\τ}}_{\mathrm{r\θ}}}{\∂r}+\frac{1}{r}\frac{{\∂\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\θ}}}{\∂\mathrm{\θ}}+\frac{{2\mathrm{\τ}}_{\mathrm{r\θ}}}{r}=0\end{array}\right.---\left(1\right)$

式中：σ_r-径向应力，σ_θ-切向应力，τ_rθ、τ_θr-剪切应力；将方程(1)中的σ_r、σ_θ代入Von Mises屈服条件 ${({\mathrm{\σ}}_r-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\θ}})}^2+{({\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\θ}}-{\mathrm{\σ}}_z)}^2+{({\mathrm{\σ}}_z-{\mathrm{\σ}}_r)}^2+{6\mathrm{\τ}}_{\mathrm{r\θ}}^2={2\mathrm{\σ}}_s^2,$ 利用弹塑性区边界r＝r_p处应力连续求出弹塑性强度，在塑性区取方程(1)中τ_rθ＝0，套管弹塑性强度为：

$P_p^{\′}=\frac{-Q_{10}+\sqrt{Q_{10}^2-4Q_9{Q}_{11}}}{{2Q}_9}---\left(4\right)$

式中：

$Q_9=S_1^2+Q_5^2+Q_7^2$ Q₁₀＝2S₁Q₃+2Q₅Q₆+2Q₇Q₈

$Q_{11}=Q_3^2+Q_6^2+Q_8^2+{6\mathrm{\τ}}_{\mathrm{r\θ}}^2-{2\mathrm{\σ}}_s^2$ S₁＝σ_θ-σ_r

S₂＝σ_θ+σ_r $Q_1=\frac{{\mathrm{\δ}}_1}{r^2}+{2\mathrm{\δ}}_2$

$Q_2=-\frac{{\mathrm{\δ}}_1}{r^2}+{2\mathrm{\δ}}_2,Q_3=-\frac{{2\mathrm{\δ}}_1}{r^2}$

Q₄＝4δ₂                  Q₅＝σ_θ-μS₂

Q₆＝Q₂-μQ₂               Q₇＝μS₂-σ_r

Q₈＝Q₁-μQ₄ $\mathrm{\δ}=-\frac{2}{\sqrt{3}}{\mathrm{\σ}}_s\log \frac{r_p}{r_1}$

δ₁＝-δA′+(P_o-P_i)A′     δ₂＝δB′+P_iB′-P_oC′

$A^{\′}=\frac{r_p^2{r}_2^2}{r_2^2-r_p^2}$

$B^{\′}=\frac{r_p^2}{2(r_2^2-r_p^2)},C^{\′}=\frac{r_2^2}{2(r_2^2-r_p^2)}$

上述公式中符号说明：

u_r-套管内壁径向位移，P_p-套管应力载荷，P_p′-套管弹塑性强度，μ-泊松比，r₁-套管内半径，r₂-套管外半径，r_p-弹塑性交界处半径，r-测量点半径，E-杨氏模量，P_i-套管初始内压，P_o-套管初始外压，S-非均匀外载荷，S_i-抗内压载荷，S_o-抗均匀外载荷，其它各符号为中间变量；

c、利用公式(4)计算出套管在相应载荷作用下的极限强度P_p′

d、将上述步骤a监测得到的地应力与步骤c计算得出的极限强度P_p′进行比较，来判断套损发生的可能性。

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