CN116540532A - 一种考虑输入迟滞的压电微定位平台的自适应模糊输出反馈控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种考虑输入迟滞的压电微定位平台的自适应模糊输出反馈控制方法，步骤包括：1)建立具有迟滞非线性的压电微定位平台模型；2)基于模糊逻辑系统构造新型非线性扩张状态观测器以观测系统不可测状态、迟滞非线性和外部扰动；3)基于命令滤波动态面技术设计命令滤波补偿信号、虚拟控制律和自适应律；4)基于步骤1)‑3)和李雅普诺夫稳定性理论，设计压电微定位平台的自适应模糊输出反馈控制器。本发明所述控制方法利用新型非线性扩张状态观测器同时估计系统不可测状态和包括迟滞及外部扰动在内的系统广义扰动，解决了解析迟滞逆模型难以构造的问题，有效消除了输入迟滞的影响，实现了压电微定位平台的高精度跟踪控制。

Description

一种考虑输入迟滞的压电微定位平台的自适应模糊输出反馈 控制方法

技术领域

本发明属于压电微定位平台的跟踪控制技术领域，具体地，涉及一种考虑输入迟滞的压电微定位平台的自适应模糊输出反馈控制方法。

技术背景

随着工程应用对高精密定位技术的要求不断提高，以智能材料为核心的先进微纳驱动技术得到广泛的关注。压电微定位平台以其纳米级分辨率、高刚度和快速响应等优点成为微纳驱动领域的研究热点。然而，压电材料固有的物理特性使得压电微定位平台的执行器存在未知迟滞非线性，其存在使控制器设计复杂化，甚至可能影响系统稳定性和平台的控制精度。为了消除执行器迟滞非线性对定位系统的影响，大量关于迟滞现象的研究涌现。目前，处理执行器迟滞的方法可以被概括为两类。一类是建立精确的迟滞模型描述迟滞非线性，并建立逆迟滞模型作为补偿器消除迟滞非线性对系统的影响。这种控制方法直观易懂，然而控制精度受建模精度的影响，且精确的解析逆模型通常难以构建。另一类是利用自适应技术估计迟滞非线性，从而构造无需逆模型的鲁棒控制器。但自适应参数的引入增加了控制器的复杂性，会损害系统的瞬态性能。

此外，压电微定位平台的系统状态难以测量，并受未知的外部扰动影响。因此需要设计状态和干扰观测器。近年来，扩张状态观测器以其具有同时估计系统状态和扰动的能力受到研究人员的青睐。然而，为了保证高精度，扩张状态观测器通常具有较高的增益，这导致在初始时刻出现峰值现象。非线性扩张状态观测器线性增益替换为非线性函数来避免峰值现象。这个函数通常被选为一个分段连续、饱和且单调递增的fal(·)函数。但是，与线性扩张状态观测器相比，当误差较大时，此非线性扩张状态观测器的收敛速度较慢。

因此，如何构建能够避免峰值现象且收敛速度快的新型非线性扩张状态观测器，并在此基础上，为压电微定位平台设计无需建立精确逆迟滞且控制律复杂程度低的自适应模糊输出反馈控制器，从而实现系统的高精度跟踪控制，尚未见到相关技术。

发明内容

本发明的目的在于提出一种考虑输入迟滞的压电微定位平台的自适应模糊输出反馈控制方法，以克服现有技术中存在的不足。说明：本发明中表示估计量，(·)表示实际量。

本发明所采用技术方案的步骤是：

步骤1：考虑压电微定位平台固有的迟滞非线性和其运行过程中可能受到的外界干扰问题，将压电微定位平台设计为二阶非线性系统动力学模型；

步骤1的具体步骤中将压电微定位平台描述为二阶非线性系统动力学模型，该模型为：

其中为x₁,x₂真实值，x₁,x₂为系统的状态变量，

y为系统的输出；d(t)为系统的有界干扰；f₁(·)和f₂(·)为系统未知非线性函数；F_r[u](t)为Play算子；R为积分上界；ρ_N为系统未知控制增益bρ₀的先验已知部分；Δρ(u)＝bρ₀u-ρ_Nu为关于控制输入u的未知增益函数；ρ_b(r)＝bρ(r)为密度函数；

其中式(3)满足如下条件：

A1：如下不等式成立：和/>其中d_M0，ρ_M0，α_iM和α_iM0为正常数，分别为d(t)，Δρ(u)，/>和/>的导数的界，i＝1,2。

A2：存在如下正常数l_i，i＝1,2，使如下不等式成立：

步骤2：构造新型非线性扩张状态观测器以观测系统不可测状态、迟滞非线性和外部扰动，其中观测器增益设计为一种新型非线性函数以实现快速平稳的状态观测，并引入模糊逻辑系统以解决系统非线性函数未知的问题；

其中，使用模糊逻辑系统对未知非线性函数f_i(·)逼近：

其中P_fi为正设计参数，为/>的模糊逼近误差；i＝1,2；/>是x_i＝[x₁,...,x_i]^T的估计状态；/>为模糊逻辑系统的理想权值向量；/>为模糊逻辑系统的模糊基函数；i＝1,2；

经过模糊逻辑系统逼近后，系统可改写并扩张为：

其中为系统的广义扰动，包括控制输入u的未知增益函数，迟滞非线性项以及外部干扰，将其扩张为系统的第3阶状态x₃；Δ(t)为L(t)的导数。

步骤2中构造的新型非线性扩张状态观测器为：

其中，和/>分别为/>和/>的估计值；/>是x₃的估计值；β_i，i＝1,2,3为新型非线性扩张状态观测器的增益；Λ(·)为新型非线性增益函数，该新型非线性增益函数为：

其中为状态x₁的观测误差；K₁,K₂,α∈(0,1)和β∈(0,1)为正设计参数；新型非线性增益函数为关于观测误差/>的奇函数，写作/>其中定义矩阵/>

步骤3：基于命令滤波动态面技术设计命令滤波补偿信号、虚拟控制律和自适应律，从而实现滤波误差补偿、动态面控制以及参数自适应更新；

其中，对于模糊逻辑系统中需要自适应调节的估计权值向量和/>其自适应律设计为：

其中γ₁,γ₂,c₁,c₂为正的待设计参数。

E₁和E₂为定义的第一和第二阶补偿跟踪误差：

q₁和q₂为设计的第一和第二阶命令滤波补偿信号：

其中，k₁，k₂为待设计正参数；q₁(0)和q₂(0)为q₁和q₂的初值；

e₁和e₂为定义的第一和第二阶动态误差面：

y_r为参考轨迹；为命令滤波器的输出变量；所述命令滤波器为：

其中为虚拟控制律，作为命令滤波器的输入变量；τ₂为命令滤波器的时间常数；和/>为/>和/>的初值；

利用动态面技术，设计的虚拟控制律如下：

步骤4：结合步骤1-步骤3和李雅普诺夫稳定性理论，设计自适应模糊输出反馈控制器，并用于压电微定位平台的跟踪控制。

其中，为闭环系统设计如下的李雅普诺夫函数V：

其中， 为观测误差向量；/>i＝1,2为观测误差；

定义于是有/>其中，Γ三阶正定矩阵；/>其中，/>且/>为/>的最大值；通过合理的选择增益β_i，i＝1,2,3，若/>则/>为赫尔维茨矩阵，即，存在三阶正定矩阵Γ和三阶对称正定矩阵Q，使得/>成立；

在区间[0,h^*]上的时变参数为关于时间t的凸函数，因此如下条件成立：于是有/>成立；根据管引理，存在一个正常数0＜σ＜1使不等式/>对于所有的β∈(1-σ,1)成立；

于是，对李雅普诺夫函数V求导可得：

设计自适应模糊输出反馈控制器为：

将步骤3中的命令滤波补偿信号(8)、虚拟控制律(11)和自适应律(6)，以及步骤4中的自适应模糊输出反馈控制器(14)代入到李雅普诺夫函数的导数(13)中，根据李雅普诺夫稳定性理论，对控制器设计过程中的相关参数合理选择后，保证闭环系统的半全局一致渐进稳定。

进一步地，相关参数按照如下原则选取：

对于命令滤波器，其时间常数τ₂应根据实际设备参数在0.001到0.1之间取值，本命令滤波器时间常数取值为：τ₂＝0.05；

对于新型非线性扩张状态观测器，其增益β_i,i＝1,2,3应按照劳斯-赫尔维茨准则选取，从而使矩阵A为赫尔维茨矩阵；K₁和K₂应满足K₁＞0，K₂＞0且α和β的值应在区间α∈(0,1)和β∈(0,1)内取得尽量大以保证收敛速度，但是过大的取值导致峰值现象的不利影响，因此需要在新型非线性扩张状态观测器的收敛速度和性能之间做权衡；参数选择为：β₁＝1.35，β₂＝1.17，β₃＝0.5，K₁＝1.1，K₂＝1.1，α＝0.9，β＝0.95；

对于命令滤波补偿信号、自适应律、虚拟控制律以及控制律：正设计参数，k₁，k₂，c₁，c₂的取值范围由李雅普诺夫稳定性理论确定，且其取值影响闭环系统稳定性；正设计参数γ₁和γ₂的取值影响自适应参数的收敛速度和效果；设计参数和/>的取值影响模糊逻辑系统逼近未知函数的速度和效果；选取参数为：k₁＝1.5，k₂＝1.05，c₁＝1，c₂＝3.1，γ₁＝γ₂＝diag{0.01,0.01}，/>

本发明的有益效果为：

本发明考虑执行器迟滞和外部扰动对压电微定位平台的影响，提出了一种自适应模糊输出反馈控制方法。该方法有以下三个优点：一是本发明中提出了一种新型非线性扩张状态观测器，该观测器可以同时估计系统状态和包括迟滞非线性、外部扰动以及不确定性在内的广义扰动。此新型扩张状态观测器克服了现有技术中扩张状态观测器的峰值现象和收敛速度慢的缺陷。二是本发明通过将系统迟滞扩张为系统新状态的一部分，并使用新型扩张状态观测器对其估计。此方法克服了现有技术中精确迟滞解析逆模型构造困难和自适应估计迟滞非线性导致控制器复杂化的缺陷。三是将动态面技术与命令滤波器结合，解决了反步技术固有的微分爆炸问题，并设计滤波误差补偿信号克服了动态面技术引入滤波器而导致控制精度下降的缺陷，所设计的控制器能够在保证控制效果的前提下降低计算复杂度。

本发明的控制方法考虑了压电微定位平台在实际应用中面临的执行器迟滞和扰动问题，为压电微定位平台在实际工程中的应用提供了理论基础和技术参考。

附图说明

图1是本发明的考虑输入迟滞的压电微定位平台的自适应模糊输出反馈控制方法控制框图；

图2是本发明的压电微定位平台的实验装置图；

图3是本发明的压电微定位平台实验装置原理示意图；

图4是本发明的跟踪变幅频轨迹时的参考轨迹和压电微定位平台的实际输出轨迹曲线对比图；

图5是本发明的跟踪变幅频轨迹时的参考轨迹和压电微定位平台的实际输出轨迹的误差曲线图；

图6是本发明的跟踪变幅频轨迹时压电微定位平台的控制信号曲线图；

图7是本发明的跟踪变幅频轨迹时的广义扰动x₃的估计曲线图；

图8是本发明的跟踪变幅频轨迹时的自适应参数w₁向量的调节曲线图；

图9是本发明的跟踪变幅频轨迹时的自适应参数w₂向量的调节曲线图。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施例对本发明内容做进一步详细说明。

本实施例中所述一种考虑输入迟滞的压电微定位平台的自适应模糊输出反馈控制方法的控制框图如图1所示。具体步骤为：

步骤1：将具有迟滞和外部扰动的二阶压电微定位平台非线性系统模型建立为：

其中，x₁,x₂为系统的状态变量，为x₁,x₂实际值，/>y为系统的输出；d(t)为系统的有界干扰；f₁(·)和f₂(·)为系统未知非线性函数；ω＝Π(u(t))为执行器的输出，Π(·)为执行器迟滞；b为执行器增益；u(t)为执行器的输入，也即系统的控制输入；执行器的迟滞非线性为：

其中，ρ₀为未知正常数；ρ(r)为密度函数，r为迟滞的阈值并满足r≥0；R为积分上界；F_r[u](t)为Play算子；

联立式(1)和式(2)，可以将系统重写为：

其中ρ_N为联立后系统新未知控制增益bρ₀的先验已知部分；Δρ(u)＝bρ₀u-ρ_Nu为关于控制输入u的未知增益函数；ρ_b(r)＝bρ(r)为新的密度函数；

其中式(3)满足如下条件：

A1：存在正常数d_M0，ρ_M0，α_iM和α_iM0，使如下不等式成立： 和/>i＝1,2；

A2：存在如下正常数l_i，i＝1,2，使如下不等式成立：

步骤2：

为了估计系统不可测量的状态，并估计和消除迟滞非线性和干扰等广义扰动对系统的影响，构造新型非线性扩张状态观测器的具体步骤为：

步骤2.1为处理系统的未知非线性函数f_i(·)，适用模糊逻辑系统对其逼近的步骤为：

定义新未知非线性函数其中P_fi为正设计参数；用模糊逻辑系统逼近，于是有/>ε_fi为模糊逻辑系统的逼近误差，满足|ε_fi|≤ε_M，ε_M为正常数；/>是x_i＝[x₁,...,x_i]^T的估计状态；/>为模糊逻辑系统的理想权值向量；为模糊逻辑系统的模糊基函数；i＝1,2；于是有

其中为/>的模糊逼近误差；i＝1,2；经过模糊逻辑系统逼近后，系统可改写并扩张为：

其中为系统的广义扰动，包括控制输入u的未知增益函数，迟滞非线性项以及外部干扰，将其扩张为系统的第3阶状态x₃；Δ(t)为L(t)的导数。

步骤2.2为了估计不可测量的系统状态广义扰动，并避免建立复杂的解析迟滞逆模型，构造如下新型非线性扩张状态观测器：

其中，和/>分别为/>和/>的估计值；/>是x₃的估计值；β_i，i＝1,2,3为新型非线性扩张状态观测器的增益；Λ(·)为新型非线性增益函数，其能避免线性增益扩张状态观测器的峰值现象，且相比于传统非线性扩张状态观测器中的非线性增益函数收敛速度更快，该新型非线性增益函数设计为：

其中为状态x₁的观测误差；K₁,K₂,α∈(0,1)和β∈(0,1)为正设计参数；新型非线性增益函数为关于观测误差/>的奇函数，可以写作/>其中定义矩阵/>

步骤3：

基于命令滤波动态面技术设计命令滤波补偿信号、虚拟控制律和自适应律。

步骤3.1：

在设计命令滤波补偿信号、虚拟控制律和自适应律前，定义以下中间变量：

定义第一和第二阶动态误差面e₁和e₂为：

其中y_r为参考轨迹；为命令滤波器的输出变量；

命令滤波器设计如下：

其中为待设计的虚拟控制律，作为命令滤波器的输入变量；τ₂为命令滤波器的时间常数；/>为命令滤波器的输出变量；/>和/>为/>和/>的初值；

定义第一和第二阶补偿跟踪误差E₁和E₂为：

其中q₁和q₂为待设计命令滤波补偿信号；

步骤3.2：

基于步骤3.1中定义的中间变量，设计命令滤波补偿信号、虚拟控制律和自适应律的具体步骤为：

第一和第二阶命令滤波补偿信号q₁和q₂设计为：

其中，k₁，k₂为待设计正参数；q₁(0)和q₂(0)为q₁和q₂的初值；

利用动态面技术，设计虚拟控制律如下：

对于模糊逻辑系统中需要自适应调节的估计权值向量和/>其自适应律设计为：

其中γ₁,γ₂,c₁,c₂为正的待设计参数。

步骤4：

基于李雅普诺夫稳定性理论，设计压电微定位平台的自适应模糊输出反馈控制器。

为闭环系统设计如下的李雅普诺夫函数V：

其中， 为观测误差向量；/>i＝1,2为观测误差；

定义于是有/>其中，Γ三阶正定矩阵；/>其中，/>且/>为/>的最大值；通过合理的选择增益β_i，i＝1,2,3，若/>则/>为赫尔维茨矩阵，即，存在三阶正定矩阵Γ和三阶对称正定矩阵Q，使得/>成立；

在区间[0,h^*]上的时变参数为关于时间t的凸函数，因此如下条件成立：于是有/>成立；根据管引理，存在一个正常数0＜σ＜1使不等式/>对于所有的β∈(1-σ,1)成立；

于是，对李雅普诺夫函数V求导可得：

设计自适应模糊输出反馈控制器为：

将步骤3.2中的命令滤波补偿信号(11)、虚拟控制律(12)和自适应律(13)，以及步骤4中的自适应模糊输出反馈控制器(16)代入到(15)的李雅普诺夫函数的导数中，并通过杨氏不等式进行变换可得：

其中，并有/>和/> 其中∈为广义扰动的界，满足|Δ(t)|≤∈；ε_iM为ε_i的界，满足|ε_i|≤ε_iM，i＝1,2。

本发明的主要结果可以总结为以下定理。

定理1：若假设A1和A2成立，对于具有迟滞非线性和外部扰动的压电微定位平台(1)，通过设计新型非线性扩张状态观测器(6)、命令滤波器(9)、虚拟控制律(12)、自适应律(13)、命令滤波补偿信号(11)以及控制律(16)，本发明构造的自适应模糊输出反馈控制方法可以保证闭环系统半全局一致渐进稳定。

对定理1的证明如下：

定义如下参数：

将式(18)带入式(17)可得：

其中，对式(19)进行求解，有

由式(20)和李雅普诺夫稳定性理论可知，闭环系统是半全局一致渐进稳定的。

用以下具体实施案例对本发明的有益效果进行验证。

实施案例：

使用本发明设计的自适应模糊输出反馈控制方法对图2所示压电微定位平台进行轨迹跟踪控制，验证所设计的控制器的控制效果。

①实验平台：实验平台的搭建原理图如图3所示。实验平台的设备包括：压电微定位平台、数据采集卡、集成定位控制器(包括驱动模块和传感器模块)、计算机以及隔振台。如图2所示，控制信号由计算机的RTW实时工作环境(Matlab/Simulink)生成。随后，通过数据采集卡的数字/模拟转换模块获取，并由集成定位控制器的驱动模块放大以驱动压电微定位平台。然后，产生的位移信号由数据采集卡经模拟/数字转换模块传输回计算机，构成闭环控制回路。压电微定位平台放置在隔振台上，从而减低外界噪声对实验的干扰。

②参考轨迹设计、控制器参数：

参考轨迹设计为：y_r＝9sin(2π×5t+1.5π)+9sin(2π×5.5t+1.5π)+18。控制器参数设计为：命令滤波器时间常数取值为：τ₂＝0.05；新型非线性扩张状态观测器参数选择为：β₁＝1.35，β₂＝1.17，β₃＝0.5，K₁＝1.1，K₂＝1.1，α＝0.9，β＝0.95；命令滤波补偿信号、自适应律、虚拟控制律以及控制律选取参数为：k₁＝1.5，k₂＝1.05，c₁＝1，c₂＝3.1，γ₁＝γ₂＝diag{0.01,0.01}，参数初值均设置为0。

实验结果如图4-图9所示。

如图4所示，使用本发明的自适应模糊输出反馈控制方法控制压电微定位平台，其输出位移能够较为理想的跟踪参考轨迹。将压电微定位平台的输出轨迹与参考轨迹做差，得到压电微定位平台的跟踪误差曲线如图5所示。从图5可以看出，在自适应模糊输出反馈控制器作用下，压电微定位平台的跟踪误差能够在短时间的调整后进入稳态阶段，且稳态误差在0.2μm以内，说明本发明的控制方法具有较好的动态和稳态性能。图6为所设计控制器的控制信号。图7为新型非线性扩张状态观测器观测到的压电微定位平台的广义扰动信号。图8和图9为自适应参数的调整曲线。从图4-图9的实验结果可以看出，本发明所述的控制方法能够获得较为理想的控制效果和跟踪精度。

Claims (2)

1.一种考虑输入迟滞的压电微定位平台的自适应模糊输出反馈控制方法，其特征在于，该方法的步骤如下：

步骤1：考虑压电微定位平台固有的迟滞非线性和其运行过程中可能受到的外界干扰问题，将压电微定位平台描述为二阶非线性系统动力学模型，该模型为：

其中为x₁,x₂真实值，x₁,x₂为系统的状态变量；

y为系统的输出；d(t)为系统的有界干扰；f₁(·)和f₂(·)为系统未知非线性函数；F_r[u](t)为Play算子；R为积分上界；ρ_N为系统未知控制增益bρ₀的先验已知部分；Δρ(u)＝bρ₀u-ρ_Nu为关于控制输入u的未知增益函数；ρ_b(r)＝bρ(r)为密度函数；

其中式(3)满足如下条件：

A1：如下不等式成立：和/>其中d_M0，ρ_M0，α_iM和α_iM0为正常数，分别为d(t)，Δρ(u)，/>和/>的导数的界，i＝1,2；

A2：存在如下正常数l_i，i＝1,2，使如下不等式成立：

步骤2：构造新型非线性扩张状态观测器以观测系统不可测状态、迟滞非线性和外部扰动，其中观测器增益设计为一种新型非线性函数以实现快速平稳的状态观测，并引入模糊逻辑系统以解决系统非线性函数未知的问题；

其中，适用模糊逻辑系统对未知非线性函数f_i(·)逼近：

其中P_fi为正设计参数，为/>的模糊逼近误差；i＝1,2；/>是x_i＝[x₁,...,x_i]^T的估计状态；/>为模糊逻辑系统的理想权值向量；/>为模糊逻辑系统的模糊基函数；i＝1,2；

经过模糊逻辑系统逼近后，系统改写并扩张为：

其中为系统的广义扰动，包括控制输入u的未知增益函数，迟滞非线性项以及外部干扰，将其扩张为系统的第3阶状态x₃；Δ(t)为L(t)的导数；

步骤2中构造的新型非线性扩张状态观测器为：

其中，和/>分别为/>和/>的估计值；/>是x₃的估计值；β_i，i＝1,2,3为新型非线性扩张状态观测器的增益；Λ(·)为新型非线性增益函数，该新型非线性增益函数为：

其中为状态x₁的观测误差；K₁,K₂,α∈(0,1)和β∈(0,1)为正设计参数；新型非线性增益函数为关于观测误差/>的奇函数，写作/>其中定义矩阵/>

步骤3：基于命令滤波动态面技术设计命令滤波补偿信号、虚拟控制律和自适应律，从而实现滤波误差补偿、动态面控制以及参数自适应更新；

其中，对于模糊逻辑系统中需要自适应调节的估计权值向量和/>其自适应律设计为：

其中γ₁,γ₂,c₁,c₂为正的待设计参数；

E₁和E₂为定义的第一和第二阶补偿跟踪误差：

q₁和q₂为设计的第一和第二阶命令滤波补偿信号：

其中，k₁，k₂为待设计正参数；q₁(0)和q₂(0)为q₁和q₂的初值；

e₁和e₂为定义的第一和第二阶动态误差面：

y_r为参考轨迹；为命令滤波器的输出变量；所述命令滤波器为：

其中为虚拟控制律，作为命令滤波器的输入变量；τ₂为命令滤波器的时间常数；/>和/>为/>和/>的初值；

利用动态面技术，设计的虚拟控制律如下：

步骤4：结合步骤1-步骤3和李雅普诺夫稳定性理论，设计自适应模糊输出反馈控制器，并用于压电微定位平台的跟踪控制；

其中，为闭环系统设计如下的李雅普诺夫函数V：

其中，为观测误差向量；/>为观测误差；

定义于是有/>其中，Γ三阶正定矩阵；/>其中，/>且/>为/>的最大值；通过合理的选择增益β_i，i＝1,2,3，若/>则/>为赫尔维茨矩阵，即，存在三阶正定矩阵Γ和三阶对称正定矩阵Q，使得/>成立；

在区间[0,h^*]上的时变参数为关于时间t的凸函数，因此如下条件成立：于是有/>成立；根据管引理，存在一个正常数0＜σ＜1使不等式/>对于所有的β∈(1-σ,1)成立；

于是，对李雅普诺夫函数V求导可得：

设计自适应模糊输出反馈控制器为：

将步骤3中的命令滤波补偿信号(8)、虚拟控制律(11)和自适应律(6)，以及步骤4中的自适应模糊输出反馈控制器(14)代入到李雅普诺夫函数的导数(13)中，根据李雅普诺夫稳定性理论，对控制器设计过程中的相关参数合理选择后，保证闭环系统的半全局一致渐进稳定。

2.根据权利要求1所述的考虑输入迟滞的压电微定位平台的自适应模糊输出反馈控制方法，其特征在于，相关参数选取如下：

对于命令滤波器，其时间常数τ₂应根据实际设备参数在0.001到0.1之间取值，本命令滤波器时间常数取值为：τ₂＝0.05；

对于新型非线性扩张状态观测器，其增益β_i,i＝1,2,3应按照劳斯-赫尔维茨准则选取，从而使矩阵A为赫尔维茨矩阵；K₁和K₂应满足K₁＞0，K₂＞0且α和β的值应在区间α∈(0,1)和β∈(0,1)内取得尽量大以保证收敛速度，但是过大的取值导致峰值现象的不利影响，因此需要在新型非线性扩张状态观测器的收敛速度和性能之间做权衡；参数选择为：β₁＝1.35，β₂＝1.17，β₃＝0.5，K₁＝1.1，K₂＝1.1，α＝0.9，β＝0.95；

对于命令滤波补偿信号、自适应律、虚拟控制律以及控制律：正设计参数，k₁，k₂，c₁，c₂的取值范围由李雅普诺夫稳定性理论确定，且其取值影响闭环系统稳定性；正设计参数γ₁和γ₂的取值影响自适应参数的收敛速度和效果；设计参数和/>的取值影响模糊逻辑系统逼近未知函数的速度和效果；选取参数为：k₁＝1.5，k₂＝1.05，c₁＝1，c₂＝3.1，γ₁＝γ₂＝diag{0.01,0.01}，/>