CN116383971B - 一种基于Kriging模型的分布鲁棒优化方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于Kriging模型的分布鲁棒优化方法，将航空涡轮发动机的支承刚度、阻尼作为优化变量与不确定性参数，构建双层Kriging模型，与分布鲁棒优化方法结合对结构进行优化。本发明采用了克里金代理模型，将优化模型分为内外层优化；采用样本平均近似法将不确定性问题转换成确定性问题；利用概率分布相似性的KL散度构建模糊集，在构造的模糊集中找到一个使目标函数期望最大化的概率分布。最后在子集模拟优化算法下，对航空发动机结构进行了分布鲁棒优化，结果表明，本发明方法在不确定性因素的影响下具有更符合实际的结果。

Description

一种基于Kriging模型的分布鲁棒优化方法

技术领域

本发明设计航空涡轮发动机领域，特别涉及一种基于Kriging模型的分布鲁棒优化方法。

背景技术

随着涡轮发动机技术日益完善，现代的航空发动机追求更高的性能和推重比，其结构也愈加复杂，工作条件越发苛刻，不确定性因素对发动机整体性能的影响也更为显著，一个好的发动机设计不仅需要较好的动力学性能，而且还需要良好的鲁棒性。从设计、生产再到使用的过程中充斥着诸多不确定性因素的影响。这些不确定因素会对发动机性能和安全造成一定的影响，在某些情况下会严重恶化飞行器的飞行性能，甚至带来安全隐患。发动机结构几何参数、材料力学性能参数、结构参数等也会由于不确定性因素的影响与制造装配后的真实值存在差异。对发动机结构进行传统的确定性优化设计时，无论是约束条件还是目标函数，其对应的参数都是确定的，然而，在实际问题中很难保证发动机结构中的某些参数不发生变动，尤其是考虑到发动机的复杂程度，甚至是当某个参数发生细微的扰动时极有可能导致一些特定问题原本的最优解变得毫无意义。

对发动机结构进行传统的确定性优化设计时，无论是约束条件还是目标函数，其对应的参数都是确定的，然而，在实际问题中很难保证发动机结构中的某些参数不发生变动，尤其是考虑到发动机的复杂程度，甚至是当某个参数发生细微的扰动时极有可能导致一些特定问题原本的最优解变得毫无意义。

随着对不确定性认识的加深，人们开始探究处理不确定性问题的方法，随机优化与鲁棒优化方法已经得到了广泛的应用。随机优化问题针对一个给定的概率分布，但很多情况下难以得到精确值，只能通过历史数据去估计真实的概率分布，由于估计存在误差，导致求出的结果出现较大的偏离；而鲁棒优化则太过保守，考虑的是最差情况，即便一些情况出现的概率极为微小甚至可以忽略，但鲁棒优化依旧让其优化解在该情况可行。近些年发展迅速的分布鲁棒优化方法则较好的解决了随机规划与鲁棒优化的缺点，分布鲁棒优化首先通过历史数据推导出一个近似的概率分布作为参考分布，考虑与参考分布相似的一系列分布构成一个分布集，然后再用鲁棒的思想来考虑分布集，使分布集中的“最坏情况最好”。

目前传统的分布鲁棒优化方法主要缺点在于进行优化时需要显式优化目标函数，利用拉格朗日对偶原理进行转换后直接进行优化求解；而在工程实际应用中，尤其是航空涡轮发动机领域，整体结构极其复杂，构建显示函数是极其困难的，所以本发明针对该问题采用了Kriging代理模型替代显式优化目标函数。

发明内容

为了克服现有方法的技术与不足，解决航空涡轮发动机结构优化的实际问题，本发明提出了一种基于Kriging模型的分布鲁棒优化方法，提出了一种新的分布鲁棒优化方法框架，将优化模型分成内外层两部分优化，利用Kriging代理模型构建对隐式函数的分布鲁棒优化模型；将内层优化中最大化期望下概率分布的求解算法以及外层优化的子集模拟优化算法结合，为航空涡轮发动机结构优化设计提供一种新方法。

本发明的技术方案如下：

步骤1，确立分布鲁棒优化数学模型，并将该优化数学模型分为内外两层；

步骤2，构建航空涡轮发动机结构优化的第一层Kriging代理模型；

步骤3，进行航空涡轮发动机结构的内层优化；

步骤3-1，为概率分布构建KL散度构造模糊集；

步骤3-2，基于KL散度模糊集，利用样本平均近似法用随机样本的平均估计来近似期望值，构建最大化期望值的概率密度分布；

步骤3-3，对所述设计变量重新抽样得到新生成样本点；

步骤3-4，根据3-2的概率密度分布以及第一层Kriging代理模型求得新生成样本点每点所对应的内部最大化期望值；

步骤4，进行航空涡轮发动机结构的外层优化；

步骤4-1，基于所述新生成样本点构建作为输入、所述内部最大化期望值作为响应值构建航空涡轮发动机结构优化的第二层Kriging代理模型；

步骤4-2，基于第二层Kriging代理模型，利用子集模拟优化算法进行优化，获得航空涡轮发动机结构的分布鲁棒优化解。

作为优选，步骤1中分布鲁棒优化数学模型为：式中x为设计变量，ξ为不确定参数，/>为模糊集；内层问题为：求解/>于内层优化中找到给定点在模糊集下的最大化期望值；外层问题为：求解/>于外层优化中找到最小的最大化期望值，式中E_P[]为期望，D_c()为Kriging代理模型构建的目标函数。

作为优选，步骤2中，构建第一层Kriging代理模型的方法为：将航空涡轮发动机前后支承的刚度和阻尼作为设计变量，对设计变量进行抽样得到训练样本点，利用有限元模型计算样本点对应的结构响应值，将训练样本点作为输入变量，结构响应值作为输出，从而构建出第一层Kriging代理模型。

作为优选，步骤2中，对构建好的第一层Kriging代理模型进行精度验证：重新对设计变量抽样生成验证样本点，用有限元模型计算验证样本点的响应值，将验证样本点及对应的响应值代入Kriging代理模型进行精度验证。

作为优选，步骤3-1中，基于KL散度构造的模糊集为：其中，/>为KL散度模糊集，/>为参考分布，p为概率分布，p_i为层间概率分布，/>为层间参考分布，r为模糊半径，基于KL散度模糊集，确定样本平均近似法中的真实概率所属空间。

作为优选，步骤3-2中，利用样本平均近似法，通过抽样的方法用样本表示分布鲁棒优化中的随机变量ζ，每个ζ都有对应的概率将不确定性问题转换为确定性问题，即：并构建此时的最大化期望值的概率分布p^*，式中，E_P[]为分布期望，D_c()为第一层Kriging代理模型构建的目标函数，X为设计变量，下标i表示第i个，i＝1,2,…,m，通过建立设计变量的概率分布的模糊集寻找最劣概率分布的最优决策。

作为优选，内层优化中最大化期望值对应的概率分布p^*表示为：

式中，/>为模糊集，x为设计变量，ζ为不确定参数，i＝1,2,…,m。

作为优选，基于KL散度将将设计变量不确定性参数的分布鲁棒规划模型转化为确定性模型，步骤1中的分布鲁棒优化数学模型表示为式中，/>为模糊集，x为设计变量，ζ为不确定参数，i＝1,2,…,m。

有益效果

1.传统的分布鲁棒优化模型仅能用于供电调度或者车间调度，且必须在目标函数为显示函数的基础上采用拉格朗日对偶原理的方法进行转换处理，方可优化求解，而本发明跳出原有领域的制约，考虑工程应用中目标函数及约束函数大多为隐式情况，从分布鲁棒优化数学模型出发，将其拆分为内外层进行优化，每一层Kriging代理模型都能够摆脱显示函数的制约，分布鲁棒优化应用于航空涡轮发动机中，打破传统方法的限制。

2.基于内外层优化，构建两层Kriging代理模型，针对设计变量和目标函数的隐式关系，先构建设计变量与目标函数的Kriging模型，对每一个样本点，考虑不确定性参数波动，利用内层优化算法求解得到每一个点对应的最大化期望值，接着根据已有的样本点和最大化期望值，构建设计变量和最大化期望值的Kriging代理模型，极大减少了有限元计算量提高了计算效率，并且最终只需针对第二层Kriging模型进行优化即可得到优化解。

3.本发明基于双层优化提出的分布鲁棒优化方法，与随机优化方法根据固定分布进行优化与鲁棒优化根据极小概率进行优化相比更接近真实情况，优化结果更稳健，也更具说服力。

4.采用了子集模拟优化算法，能够将复杂优化问题进行拆解，同时结合Kriging代理模型，提高了分布鲁棒优化方法的计算效率。

附图说明

图1为本发明一个航空涡轮发动机结构有限元结构图；

图2为本发明一个分布鲁棒优化方法框架图；

图3为本发明一个航空涡轮发动机分布鲁棒优化流程图。

具体实施方式

下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

本发明考虑航空发动机结构的复杂程度，对结构优化设计方法提出了新的方法。本发明结合传统不确定性优化方法和基本鲁棒优化的特性，提出分布鲁棒优化模型，使同时处理设计变量和不确定性参数具有可行性。

如图1至图3所示，一种基于Kriging模型的分布鲁棒优化方法，应用于航空涡轮发动机结构，实现步骤包括：

步骤1，确立分布鲁棒优化数学模型，并将分布鲁棒优化模型进行拆分，分成内层最大化问题和外层最小化问题。分别构建两层Kriging代理模型意图于内层优化中找到给定点在模糊集下的最大化期望值，在外层优化中找到最小的最大化期望值，从而利用子集模拟优化得到最终的分布鲁棒优化解。

基于不确定性优化与鲁棒优化模型，确立航空涡轮发动机分布鲁棒优化数学模型为：

式中x为是设计变量，ξ为不确定参数，E_P[]为期望，为模糊集，D_c()为航空涡轮发动机转静间隙变化量，k₁和k₂为结构刚度，c₁和c₂为结构阻尼，s.t表示约束条件，/>和/>为发动机临界转速。

对优化问题分为内外两层，如图2，内层问题为求解部分，此部分为求解极大问题，外层问题为求解/>部分，为求解极小问题。

步骤2，由于D_c()没有具体的数学表达形式，所以需要采用Kriging代理模型获得设计变量与转静间隙变化量之间的映射关系。将航空涡轮发动机前后支承的刚度和阻尼作为设计变量，转静间隙变化量为响应值，构建航空涡轮发动机结构优化的第一层Kriging代理模型。

采用LHS抽样方法对设计变量进行抽样，生成200个训练样本点组成的样本池，从样本池中抽取43个点作为构建Kriging代理模型的训练样本点，基于有限元软件ANSYS计算得到训练样本点的结构响应值。本实施例中结构响应值为转静间隙变化量值，是航空涡轮发动机结构中转子与静子的间隙，在结构的刚度与阻尼等不确定性参数的影响下，对现有航空涡轮发动机结构进行有限元动力仿真，计算结构转子与静子的间隙变化量。基于图1有限元模型与转静间隙变化量值得到第一层Kriging初始样本点。计算结果如下表1：

表1第一层Kriging初始样本点

表中，k₁和k₂为结构刚度，c₁和c₂为结构阻尼，D_c为转子与静子之间的间隙变化量。

将初始训练样本点与有限元计算后对应的转静间隙变化量结合，构建第一层较高精度的Kriging代理模型，构建流程如图2所示：表中刚度与阻尼样本作为输入变量，间隙变化量为输出样本，输入输出样本通过Kriging模型即可得到Kriging代理模型，

Kriging模型为：

式中g_K(X)为Kriging模型，f_i(X)为随机向量基函数，β_i为回归函数待定系数，p为基函数个数，z(X)为随机过程。

在构建完第一层Kriging代理模型后，进行LHS抽样方法重新抽样生成验证样本点，计算验证样本点的响应值，接着将验证样本点代入构建好的Kriging代理模型，将带入代理模型中的数值与有限元模拟数值进行对比验证精度，见表2；与此同时，该Kriging代理模型将用于确定性优化以及内层优化中参数波动时响应的求取。

表2 Kriging代理模型响应预测值及真实值

本实施例中构造的第一层Kriging代理模型的真实值和预测值误差通过相对均方根误差(RMSE)、决定系数(R²)及最大相对误差(MRE)作为校验标准，精度验证结果如表3，根据工程实际应用，误差在可接受范围内，满足精度要求。

表3 Kriging代理模型精度验证结果

基于第一层Kriging代理模型，利用子集模拟优化算法求解航空涡轮发动机结构的确定性优化解，如表4。

表4转静间隙变化量确定性优化结果

步骤3，进行航空涡轮发动机结构的内层优化：

步骤3-1，基于KL散度构造的模糊集为

其中，为KL散度模糊集，/>为参考分布，p为概率分布，p_i为层间概率分布，/>为层间参考分布，r为模糊半径，Ω^m为概率空间。

基于KL散度模糊集，即可确定样本平均近似法中的真实概率所属空间。

步骤3-2，样本平均近似法为：假定不确定性参数ζ的样本ζ₁,…,ζ_m每个都有对应可能实现的概率当m的取值足够大并m→∞时，参考分布/>将无限接近于不确定参数ζ的真实概率分布p_ζ，根据该原理将含不确定性问题转换成确定性问题，原理如(3)所示。

则航空涡轮发动机所使用的分布鲁棒优化模型目标函数为

式中E_P[]为期望，D_c()为Kriging代理模型构建的目标函数。

考虑从不确定性参数的可能分布p_ζ中能获得m个独立样本ζ₁,,ζ_m，将该m个样本用于计算分布鲁棒优化问题中的期望，根据样本平均近似法可知参考分布可以代替真实概率分布p_ζ，因此式(4)可以转换为

步骤3-3，基于设计变量重新抽样生成新的一组样本点为构建第二层Kriging代理模型做准备，同时根据这些抽样点计算步骤3-4中的最大化期望值；

表5第二层Kriging初始输入样本点

步骤3-4，为求解内层优化中最大化期望值构建了其对应的概率分布为p^*。

根据步骤3-3重新生成的样本点与所求最大化期望值对应的概率分布p^*进行期望计算，得到内部最大化期望值，

计算概率分布p^*的期望值即可得到最大化期望值即内层优化结果，计算结果见表6。

表6样本点对应的最大化期望值D_c

步骤4，进行航空涡轮发动机结构的外层优化：

步骤4-1，将内部最大化期望值作为响应值，生成的样本点，从结构刚度与阻尼参数中生成样本点为输入，如表5，得到最大化期望值的Kriging代理模型。

步骤4-2，根据最大化期望的算法获得样本点对应的最大化期望值后，考虑到模型中设计变量维数较高的缘故，基于第二层Kriging代理模型，利用子集模拟优化算法进行优化。

子集模拟优化流程如下：

(1)设计变量初始化

假设含有n个独立的设计变量x＝{x₁,x₂,…,x_n}^T，设计变量的概率密度函数为f₁(x₁),f₂(x₂),…,f_n(x_n)，所有设计变量的联合概率密度函数为

(2)第一层模拟

根据概率分布由直接Monte Carlo模拟生成N个独立的同分布样本{x₁,x₂,…,x_N}。然后，计算所有随机样本对应的目标函数值并将其进行升序排序，即有{W_1,l:l＝1,…,N}。选择合适的层内条件概率p₁，如式(7)所示

其中I(·)为示性函数，满足条件时值为1，否则为0。第一个中间事件为有

(3)第k阶段模拟

第k层模拟从前一步F_k-1事件中的每个样本开始，可以生成相同分布的Markov链。与步骤(2)相同，目标函数值小于的样本被选为下一层段模拟的样本。

重复上述步骤，直到满足迭代终止条件或者优化迭代次数达到最大迭代次数。当搜索过程接近全局最优值时，序列中样本点的距离越来越小，当满足判据时，取目标函数序列里的最优值作为全局最优值。

获得航空涡轮发动机结构的分布鲁棒优化解，如表7。

表7子集模拟优化后的分布鲁棒优化结果

将分布鲁棒优化应用与航空涡轮发动机结构上的整体流程如图3所示。

采用子集模拟优化算法求得步骤2中第一层Kriging代理模型确定性优化解并与步骤4-2获得的分布鲁棒优化解对比以检验本专利方法的有益效果：

由于确定性优化解受参数波动及分布不确定性的影响较大，相对于分布鲁棒优化点更加敏感，容易发生较大的偏差，将表4和表7的优化解(最后一列)与表6中最差情况分布期望值0.5075相比可知，鲁棒优化解在满足优化需求时也更加稳定。

最后应说明的是：以上所述仅为本发明的优选实施例而已，并不用于限制本发明，尽管参照前述实施例对本发明进行了详细的说明，对于本领域的技术人员来说，其依然可以对前述各实施例所记载的技术方案进行修改，或者对其中部分技术特征进行等同替换。凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (6)

1.一种基于Kriging模型的分布鲁棒优化方法，包括航空涡轮发动机，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1，确立分布鲁棒优化数学模型，并将该优化数学模型分为内外两层，其中，分布鲁棒优化数学模型为：式中x为设计变量，ξ为不确定参数，/>为模糊集；

内层问题为：求解于内层优化中找到给定点在模糊集下的最大化期望值；

外层问题为：求解于外层优化中找到最小的最大化期望值，式中E_P[·]为期望，D_c(·)为Kriging代理模型构建的目标函数；

步骤2，将航空涡轮发动机结构作为设计变量，抽取样本点以构建结构优化的第一层Kriging代理模型；

步骤3，进行航空涡轮发动机结构的内层优化，具体包括：

步骤3-1，为概率分布构造KL散度构造模糊集；

步骤3-2，基于KL散度模糊集，利用样本平均近似法用随机样本的平均估计来近似期望值，构建最大化期望值的概率密度分布；

步骤3-3，对所述设计变量重新抽样得到新生成样本点；

步骤3-4，根据3-2的概率密度分布以及第一层Kriging代理模型求得新生成样本点每点所对应的内部最大化期望值；

步骤4，进行航空涡轮发动机结构的外层优化，具体包括：

步骤4-1，基于所述新生成样本点构建作为输入、所述内部最大化期望值作为响应值构建航空涡轮发动机结构优化的第二层Kriging代理模型；

步骤4-2，基于第二层Kriging代理模型，利用子集模拟优化算法进行优化，获得航空涡轮发动机结构的分布鲁棒优化解。

2.根据权利要求1所述的基于Kriging模型的分布鲁棒优化方法，其特征在于，步骤2中，构建第一层Kriging代理模型的方法为：将航空涡轮发动机前后支承的刚度和阻尼作为设计变量，对设计变量进行抽样得到训练样本点，利用有限元模型计算样本点对应的结构响应值，将训练样本点作为输入变量，结构响应值作为输出，从而构建出第一层Kriging代理模型。

3.根据权利要求2所述的基于Kriging模型的分布鲁棒优化方法，其特征在于，步骤2中，对构建好的第一层Kriging代理模型进行精度验证：重新对设计变量抽样生成验证样本点，用有限元模型计算验证样本点的响应值，将验证样本点及对应的响应值代入Kriging代理模型进行精度验证。

4.根据权利要求1所述的基于Kriging模型的分布鲁棒优化方法，其特征在于，步骤3-1中，基于KL散度构造的模糊集为：

其中，为KL散度模糊集，/>为参考分布，p为概率分布，p_i为层间概率分布，/>为层间参考分布，r为模糊半径，Ω^m为概率空间，N为参考分布离散个数，基于KL散度模糊集，确定样本平均近似法中的真实概率所属空间。

5.根据权利要求1至4任意一项所述的基于Kriging模型的分布鲁棒优化方法，其特征在于，步骤3-2中，利用样本平均近似法，通过抽样的方法用样本表示分布鲁棒优化中的随机变量ζ，每个ζ都有对应的概率将不确定性问题转换为确定性问题，即：并构建此时的最大化期望值的概率分布p^*，式中，E_P[·]为分布期望，D_c(·)为第一层Kriging代理模型构建的目标函数，X为设计变量，下标i表示第i个，i＝1,2,…,m，通过建立设计变量的概率分布的模糊集寻找最劣概率分布的最优决策。

6.根据权利要求5所述的基于Kriging模型的分布鲁棒优化方法，其特征在于，内层优化中最大化期望值对应的概率分布p^*表示为：

式中，/>为模糊集，x为设计变量，ζ为不确定参数，i＝1,2,…,m。