CN115981165B - 一种高阶非严格反馈非线性系统全局自适应跟踪控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种高阶非严格反馈非线性系统全局自适应跟踪控制方法。本发明针对一类高阶不确定非严格反馈非线性系统，提出一种基于双动态增益补偿的全局自适应实际跟踪控制方法。首先，通过引入动态增益补偿不确定非线性项，提出关于非线性函数的合理假设，且无需将其限制在一个紧集中。其次，在控制设计过程中引入一种新的双动态增益缩放方法，并结合增加幂积分技术及符号函数技术，递归地构建出一个鲁棒自适应控制器，从而实现一类高阶不确定非严格反馈非线性系统的全局自适应实际跟踪控制。经理论证明与仿真验证，本发明所提出的控制方案可以保证系统所有状态均全局有界，同时保持较小的跟踪误差。

Description

一种高阶非严格反馈非线性系统全局自适应跟踪控制方法

技术领域

本发明属于自适应控制技术领域，涉及高阶非线性系统的自适应控制，具体为一种高阶非严格反馈非线性系统全局自适应跟踪控制方法。

背景技术

作为非线性系统渐近跟踪的一种退化案例，实际跟踪进一步放宽了对非线性系统的约束，允许系统具有更加一般化的不确定性，且跟踪误差仅被要求收敛至一个足够小的范围内即可，因而在实际工程中得到了更广泛的应用。然而，各种不确定性，如未知控制系数、不确定系统参数、外界扰动在实际系统中广泛存在，这对系统的在线辨识与调节能力提出更高的要求。此外，当高阶非线性系统具有非严格反馈结构时，在反推过程中虚拟控制律包含系统所有状态会产生代数环问题，并且控制设计将变得异常复杂，因此现有的高阶严格反馈非线性系统的控制方案难以适用。

针对高阶非严格反馈非线性系统，通过引入单一的动态增益补偿非线性项，可以避免代数环问题，结合动态增益缩放技术与自适应控制设计方法可进一步实现系统的自适应状态反馈镇定，然而这种控制策略却无法保证系统存在跟踪解，且无法将跟踪误差调整至一个足够小的范围内，因此不可用于解决高阶非严格反馈系统的自适应实际跟踪问题，并且当系统受到外界扰动影响时，将会变得不稳定；基于变量分离或高斯函数技术，采取模糊逻辑系统或径向基神经网络逼近非线性项可有效克服非严格反馈结构带来的设计困难，但非线性项通常被要求限制在一个紧集中，因此仅能保证系统半全局稳定，并且大量的参数选择将会给在线计算带来严重负担。目前，具有非严格反馈结构的高阶非线性系统的全局自适应实际跟踪控制问题仍未被很好地解决，且未知控制系数及外界扰动带来的系统不确定性使这个问题具有更大的挑战性。

发明内容

针对现有技术的不足，本发明提出了一种高阶非严格反馈非线性系统全局自适应跟踪控制方法。为了克服非严格反馈结构导致的设计困难，在控制设计中引入一种新颖的双动态增益缩放方法，结合增加幂积分技术及符号函数技术，递归地构建出一个鲁棒自适应控制器，实现对一类高阶不确定非严格反馈非线性系统的全局自适应实际跟踪控制。

一种高阶非严格反馈非线性系统全局自适应跟踪控制方法，具体包括以下步骤：

步骤1、系统模型建立

针对包含未知控制系数及不确定参数的高阶非严格反馈非线性系统建立n维状态空间模型：

其中，为系统状态，/>表示n维向量集合； 分别为系统输入、输出，/>表示实数集；/>为系统的幂次，/>表示两个正奇数比值大于或等于1的实数集；f_i(·)表示非线性函数，θ为未知正实数；d_i(t)为未知非零时变函数，表示系统的控制系数；/>为外界扰动，且满足/>C为正实数。

对系统(1)施以下述假设：L(t)、M(t)均为动态增益，满足/>L(t)>M(t)≥1，r₁＝1，k₁＝1，l₁＝-2，/> j＝1,...,n；控制系数d_i(t)符号已知且恒定，且满足d_N≤|d_i(t)|≤d_M，d_N、d_M为未知正实数；参考信号y_r(t)连续可导，且满足|y_r(t)|≤A，/>A、B为未知正实数，系统跟踪误差可表示为y(t)-y_r(t)。

作为优选，所述具有未知控制系数及不确定参数的高阶非严格反馈非线性系统可以是符合上述假设条件的机械臂运动控制系统、化学反应釜系统或机电系统等。

步骤2、引入基于双动态增益的模型坐标变换

引入公式(2)所示的坐标变换，将步骤1中建立的n维状态空间模型改写为公式(3)所示的形式：

其中，

进一步引入公式(4)所示的变换：

其中，λ_i表示虚拟控制律，ξ_i表示虚拟误差。ρ_i为正实数，将在步骤3对其进行选择。

步骤3、自适应跟踪控制器构建

基于增加幂积分技术，符号函数技术及不等式缩放方法，选取合适的关于跟踪误差及虚拟误差的Lyapunov函数，递归地对自适应控制器进行构建，具体步骤如下：

s3.1、选择第1个Lyapunov函数对其求导，并且定义虚拟控制律/>可以得到：

s3.2、假设存在一个正定的Lyapunov函数表示存在连续一阶导数的函数集合)和一系列的正实数γ₁,...,γ_k-1、μ_1,1,...,μ_1,k、μ_2,1,...,μ_2,k使得公式(6)成立：

选择第k个Lyapunov函数V_k＝γ_k-1V_k-1+U_k，对其求导，并且基于增加幂积分技术和不等式缩放可以得到：

s3.3、选择第n个Lyapunov函数V_n＝γ_n-1V_n-1+U_n，并且定义控制器及动态增益M分别为：

将公式(8)、(9)带入公式(7)，并通过不等式缩放可得：

其中，S、E、H均为正实数。

s3.4、选择类Lyapunov函数其中/>表示估计误差；/>表示未知正实数θ的估计值；ω为自适应律的增益系数，且ω>0。定义自适应律及第动态增益L分别为：

其中，σ表示修正参数，且σ>0。将公式(11)、(12)带入公式(10)，可以得到：

至此，控制器设计已完成。

本发明具有以下有益效果：

1、选择合适的动态增益补偿不确定非线性项，可有效避免代数环问题，同时为控制设计提供额外的自由度。通过在跟踪控制设计中引入一种新的双动态增益缩放方法，不仅能够保证系统存在跟踪解，并且对跟踪误差进行了补偿，从理论上保证了跟踪误差能够被调节至任意预设范围内。

2、控制器的所有参数均可以通过一般的代数计算得到，控制器构建过程不存在“复杂性爆炸”问题。所提出的控制方案可以确保闭环系统具有Lyapunov意义下的稳定性，系统所有状态全局有界，同时参考信号可以很好地被跟踪，并且可以通过对有关参数进行调整，使跟踪误差变得任意小。

附图说明

图1为数值仿真系统状态轨迹图；

图2为数值仿真控制输入轨迹图；

图3为数值仿真输出跟踪轨迹及误差轨迹图；

图4为实例仿真角位置、角速度、动态转矩轨迹图；

图5为实例仿真输入电压轨迹图；

图6为实例仿真输出角位置轨迹及误差轨迹图。

具体实施方式

以下结合附图对本发明作进一步的解释说明；

步骤1、依据实际物理系统的状态变量、输入信号和输出信号建立系统微分方程数学模型，使系统输出跟踪参考信号。

步骤2、建立关于跟踪误差及虚拟误差的Lyapunov函数，依据增加幂积分技术、符号函数技术及不等式缩放方法，递归地构建鲁棒自适应跟踪控制器。

以下两个步骤分别从理论方面和仿真实验方面，分析和验证本方法设计的控制器的控制效果。

步骤3、理论分析

根据可以推导出：

进一步，可得：

其中，根据/>可以推导出：

因此当且仅当/>时/>同时，当||Ξ(t)||→∞，/>时，V→∞。由于λ_i-1的连续性，表明V是正定且径向无界的，则存在一个/>类函数α(·)，使得：

其中，η(t)＝[η₁(t),...,η_n(t)]^T。进一步，可以得到：

因此系统的所有状态全局有界，此外，可以推导出：

由于最终的跟踪误差y(t)-y_r(t)将会收敛至区间[-(2θ/δ)^1/2,(2θ/δ)^1/2]内。从公式(12)～(20)可以看出，如果保持修正参数σ的值恒定不变，增大自适应律增益系数ω的值，则θ将会减小，跟踪误差则相应地减小，与此同时，动态增益L将会增加，这将导致控制输入u的幅值变大，从而导致控制器能耗增加。因此，为了实现理想的控制性能，在权衡跟踪精度与控制器能耗方面，需要对这些参数进行合理选择。

步骤4、仿真验证

仿真1、首先通过一个数值仿真验证本方法设计的控制方案的有益效果。建立下述高阶非严格反馈非线性系统的动态模型：

定义非线性函数f₁＝θ₁(x₁ sinx₃)、外界扰动/>

在仿真中，选择参数θ₁＝1.2、θ₂＝0.5、θ₃＝1、θ＝max{θ₁,θ₂,θ₃}，选择参考信号y_r＝sint+sin4t，自适应跟踪控制器设计为：

其中，η₁＝L^-1M²(y-y_r)、η₂＝L^-2M²x₂、ρ₁＝2.5、ρ₂＝13.5、ρ₃＝23。设置初始条件为x₁(0)＝0.1、x₂(0)＝0、x₃(0)＝0.05、M(0)＝1、/>L(0)＝1.2。

数值仿真实验结果如图1～3所示，其中，图1为系统状态轨迹图；图2位为控制输入轨迹图；图3为输出跟踪轨迹及误差轨迹图。根据仿真轨迹图可知，系统所有状态均有界，同时系统输出可以很好地跟踪参考信号，并且保持较小的跟踪误差。

仿真2、以单连杆机械臂运动控制系统为例，验证本方法所设计的控制方案的实际应用效果。单连杆机械臂运动控制系统的动态模型可表示为

其中，x₁,x₂，x₃分别表示角位置，角速度，动态转矩；K为惯性系数；g为重力加速度；N为传动杆连接处的摩擦系数；T为电枢电感；G_m为反电动势系数；R为电枢电阻；u为输入电压。

在仿真中，选择参数K＝1kg·m²、g＝10m/s²、N＝1Nm/s、T＝0.1H、G_m＝0.2Nm/A、R＝1Ω，选择参考信号y_r＝4sint。自适应跟踪控制器设计为

其中，η₁＝L^-1M²(y-y_r)、η₂＝L^-2M²x₂、η₃＝L^-3M²x₃；ρ₁＝6、ρ₂＝17、ρ₃＝25。设置初始条件为x₁(0)＝0.01、x₂(0)＝0.5、x₃(0)＝0、M(0)＝1、L(0)＝1.1。

实例仿真实验结果如图4～6所示，其中，图4为角位置、角速度、动态转矩轨迹图；

图5为输入电压轨迹图；图6为输出角位置轨迹及误差轨迹图。根据仿真轨迹图可知，在输入控制电压的作用下，系统状态角位置、角速度、动态转矩均有界，且输出角位置可以很好地跟踪参考信号。

Claims (2)

1.一种高阶非严格反馈非线性系统全局自适应跟踪控制方法，其特征在于：具体包括以下步骤：

步骤1、系统模型建立

针对包含未知控制系数及不确定参数的高阶非严格反馈非线性系统建立n维状态空间模型：

其中，为系统状态，/>表示n维向量集合；/> 分别为系统输入、输出，/>表示实数集；/>为系统的幂次，/>表示两个正奇数比值大于或等于1的实数集；f_i(·)表示非线性函数，θ为未知正实数；d_i(t)为未知非零时变函数，表示系统的控制系数；/>为外界扰动，且满足/>C为正实数；

对系统(1)施以下述假设：L(t)、M(t)均为动态增益，满足/>L(t)>M(t)≥1，r₁＝1，k₁＝1，l₁＝-2，/> j＝1,...,n；控制系数d_i(t)符号已知且恒定，且满足d_N≤|d_i(t)|≤d_M，d_N、d_M为未知正实数；参考信号y_r(t)连续可导，且满足|y_r(t)|≤A，/>A、B为未知正实数，系统跟踪误差可表示为y(t)-y_r(t)；

步骤2、引入基于双动态增益的模型坐标变换

引入公式(2)所示的坐标变换，将步骤1中建立的n维状态空间模型改写为公式(3)所示的形式：

其中，

进一步引入公式(4)所示的变换：

其中，λ_i表示虚拟控制律，ξ_i表示虚拟误差；ρ_i为正实数，将在步骤3对其进行选择；

步骤3、自适应跟踪控制器构建

基于增加幂积分技术，符号函数技术及不等式缩放方法，选取n个关于跟踪误差及虚拟误差的Lyapunov函数，递归地对自适应控制器进行构建，具体步骤如下：

s3.1、选择第1个Lyapunov函数对其求导，并且定义虚拟控制律/>可以得到：

s3.2、假设存在一个正定的Lyapunov函数和一系列的正实数γ₁,…,γ_k-1、μ_1,1,…,μ_1,k、μ_2,1,…,μ_2,k使得公式(6)成立：

其中表示存在连续一阶导数的函数集合；

选择第k个Lyapunov函数对其求导，并且基于增加幂积分技术和不等式缩放可以得到：

s3.3、选择第n个Lyapunov函数V_n＝γ_n-1V_n-1+U_n，并且定义控制器及动态增益M分别为：

将公式(8)、(9)带入公式(7)，并通过不等式缩放可得：

其中，S、E、H均为正实数；

s3.4、选择类Lyapunov函数其中/>表示估计误差；/>表示未知正实数θ的估计值；ω为自适应律的增益系数，且ω>0；定义自适应律及第动态增益L分别为：

其中，σ表示修正参数，且σ>0；将公式(11)、(12)带入公式(10)，可以得到：

至此，控制器设计已完成。

2.如权利要求1所述一种高阶非严格反馈非线性系统全局自适应跟踪控制方法，其特征在于：所述包含未知控制系数及不确定参数的高阶非严格反馈非线性系统是符合步骤1假设条件的机械臂运动控制系统、化学反应釜系统或机电系统。