CN114185276A - 一种基于多维泰勒网的非线性严格系统输出反馈控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于多维泰勒网的非线性严格系统输出反馈控制方法，使得系统的输出能够自动跟踪期望信号。传统的非线性严格系统通常通过逆推法设计基本控制单元，而此种方法需要系统全部信息，有些情况难以满足要求，故而本发明提出了一种仅需要输出的反馈算法。首先将原有的非线性严格反馈系统进行变换，重新定义状态变量，以此得到新的标准状态。而后设计状态观测器，凭借多维泰勒网的良好逼近特性，完成自适应系统辨识过程，并以此为基础设计自适应控制律，从而完成系统跟踪输出。最后以液压伺服系统模型为控制对象进行了数值仿真，验证了本发明的有效性。

Description

一种基于多维泰勒网的非线性严格系统输出反馈控制方法

技术领域

本发明涉及非线性严格系统输出反馈控制领域，具体涉及一种基于多维泰勒网的非线性严格系统输出反馈控制方法。

背景技术

非线性系统广泛存在于日常生活中，几乎随处可见。针对此类的控制问题研究一直是研究重点，传统的控制方法诸如自适应控制，滑模控制，神经网络控制以及反步法都有一些成果，但是每种方法又具备自己的局限性，例如反步控制，在解决严格反馈系统问题有良好的效果，已经可以推广到高阶系统，然而为了更好的应用此方法，对于假设条件有较高的限制，而且需要求解高阶微分方程，计算量庞大。由此，诞生了通过低通滤波器解决相关问题的方法，即为动态面控制方法，但是动态面法还是需要知道系统全部状态。此外，神经网络由于其良好的逼近特性和独有的网状结构，能够从一定问题上解决多数非线性问题，但是随着神经元个数的增加，虽然效果会有显著提升，但是与此而来的计算量也是成几何级数增长。

发明内容

本发明所要解决的技术问题是针对上述现有技术的不足提供一种基于多维泰勒网的非线性严格系统输出反馈控制方法，本基于多维泰勒网的非线性严格系统输出反馈控制方法能够保证参数估计收敛，而且仅仅需要知道系统输出，无需全部内部状态，同时相较于神经网络控制方法，可以以同一结构，两种不同参数完成二次辨识过程，大大降低了计算量。

为实现上述技术目的，本发明采取的技术方案为：

一种基于多维泰勒网的非线性严格系统输出反馈控制方法，包括以下步骤：

步骤1：考虑如下一类严格反馈非线性系统：

其中

为系统状态变量，u为系统控制输入，_y为系统输出，f_i(·)为系统非线性映射，h_i(·)为系统非线性控制增益函数，且h₁(·)，…，h_i(·)全不为0；

步骤2：定义状态变量：

其中

为新的状态变量，那么，则有：

令

A₁＝f₁(x₁)，B₁＝h₁(x₁)；

则有

以此类推，可有如下表述：

其中

将步骤1中的原严格反馈非线性系统进行变换，得到：

其中A_n包含原严格反馈非线性系统中未知非线性映射

B_n包含原严格反馈非线性系统中未非线性控制增益函数

由于原假设中

所以假设增益函数B_n为有界函数，且大于0，即0＜B_min≤B_n≤B_max，其中，B_min和B_max为大于0的常数；

步骤3：构建如下状态观测器，用以观测z₁除外的高阶状态z_i：

其中，K₁,…,K_n+1＞0，为观测增益，

为状态量z₁,…,z_n的估计，上述状态观测器在有限时间内收敛；

步骤4：令多维泰勒网结构的输入为：

根据多维泰勒网结构可知，存在一组参数

能够使得多维泰勒网的输出具有如下结构：

其中，N(n,t)为展开式的总个数，w_i为多项式系数，λ_s,i为第i个多项式中z_s的幂次，并且有

定义

得到：

其中O_ut为多维泰勒网的输出；

步骤5：将

改写可得：

根据多维泰勒网结构即公式(6)可得：

其中，

为多维泰勒网项式组合，

和

均为多维泰勒网理想权值向量，ε₁和ε₂均为误差；

系统输入值u重新写为：

其中

为多维泰勒网总误差；

上述式子中

未知，用

代替，可得：

其中，

为系统总辨识误差，

将

通过低通滤波器

后得到：

其中，θ为滤波常数，s是拉普拉斯变换参数，设

初始值为0；

步骤6：引理1：考虑连续函数G(x)＝G₁(x)G₂(x)，应用低通滤波器后有如下结论：

G_θ(x)＝G_1θ(x)G_2θ(x)+ρ；

其中G₁(x)，G₂(x)均为连续性映射，G_1θ(x)为G₁(x)通过低通滤波器的函数，G_2θ(x)为G₂(x)通过低通滤波器的函数，ρ为高阶截断误差；

由引理1可得：

其中

为

通过低通滤波器后得到的值；

由此代入

可得：

其中λ＝ρ+ξ_θ为集总误差，

为广义权值向量，

为输入u的广义控制向量，u通过低通滤波器后得到u_θ，ξ通过低通滤波器后得到ξ_θ；

步骤7：定义参数：

其中β，γ为正常数；

基于F设计两个辅助变量P和Q：其中P∈R^2N×2N，Q∈R^2N×1；

其中P初始值为0，Q初始值为0；

由于β，γ均大于0，由此可保证P，Q均有界；

计算公式(9)可得：

令

则可得：

其中δ的范数为有界函数，即||δ||≤δ_max，δ_max表示上限，是正数；

定义误差向量：

则：

当

即有

设计基于S的自适应率：

其中Step＞0为自适应调整步长；

通过设计基于S的自适应率，使得误差向量

收敛到0点附近，也即

无限接近于

其中

表示实际的参数向量，

表示理想的参数向量；

步骤8：根据得到的u_θ，使得输出_y能够跟踪给定的期望输出信号。

本发明的有益效果为：

本发明针对一类严格反馈非线性系统，设计一种基于多维泰勒网的输出反馈控制器，使得系统输出能够跟踪给定信号。为了实现控制效果，需要对严格反馈系统进行变换，定义新的状态变量，经过变换后，原反馈系统具有标准形式。同时得到两个待辨识参数。

而后根据严格反馈系统一般标准形设计状态观测器，由于状态观测器的存在，无需知道系统内部全部状态信息，仅通过输出信号即可完成控制过程。

以多维泰勒网为主要工具，对两个待辨识参数进行辨识，完成自适应辨识过程，使得整个反馈控制器所需参数齐备。同时由于待辨识参数经过改造，可以有效减少因为奇异性带来的不利影响。

通过上述操作，控制所需变量齐备，进而完成整个自适应控制律设计，经过低通滤波器以及辅助变量的计算，完成系统输出反馈控制过程。

总得来说，本发明的控制方法能够保证参数估计收敛，而且仅仅需要知道系统输出，无需全部内部状态，同时相较于神经网络控制方法，可以以同一结构，两种不同参数完成二次辨识过程，大大降低了计算量。而且能够从一定程度上解决未知增益估计引发的奇异性问题。

附图说明

图1为多维泰勒网基本结构示意图。

图2为伺服液压系统示意图。

图3为采用本发明所提出的算法得仿真结果图。

具体实施方式

下面根据附图对本发明的具体实施方式作出进一步说明：

本实施例针对一类严格反馈非线性系统，设计一种基于多维泰勒网的非线性严格系统输出反馈控制方法，使得系统输出能够跟踪给定信号。为了实现控制效果，需要对严格反馈系统进行变换，定义新的状态变量，经过变换后，原反馈系统具有标准形式。同时得到两个待辨识参数。而后根据严格反馈系统一般标准形设计状态观测器，由于状态观测器的存在，无需知道系统内部全部状态信息，仅通过输出信号即可完成控制过程。以多维泰勒网为主要工具，对两个待辨识参数进行辨识，完成自适应辨识过程，使得整个反馈控制器所需参数齐备。同时由于待辨识参数经过改造，可以有效减少因为奇异性带来的不利影响。通过上述操作，控制所需变量齐备，进而完成整个自适应控制律设计，经过低通滤波器以及辅助变量的计算，完成系统输出反馈控制过程。

一种基于多维泰勒网的非线性严格系统输出反馈控制方法，具体包括步骤1至步骤8：

步骤1：考虑如下一类严格反馈非线性系统：

其中

为系统状态变量，u为系统控制输入，y为系统输出，f_i(·)为系统非线性映射函数，h_i(·)为系统非线性控制增益函数，且h₁(·)，…，h_i(·)全不为0。

传统的控制方法针对此类问题通常需要全部状态变量信息，即x₁,x₂,…,x_n，同时多步逆推控制器设计存在误差积累问题，并且过程复杂繁琐。为此，本实施例提出一种仅基于输出的反馈算法，以此简化控制算法，降低计算量。

为实现控制算法，需要将原严格反馈系统进行变换，即步骤2。

步骤2：定义状态变量：

其中

为新的状态变量，那么，则有：

令

A₁＝f₁(x₁)，B₁＝h₁(x₁)；

则有

以此类推，可有如下表述：

其中

为定义参数，

为定义参数；

经过上述变化之后，步骤1中的原严格反馈非线性系统可表示成如下形式：

此外，A_n包含原严格反馈非线性系统中未知非线性映射

B_n包含原严格反馈非线性系统中未非线性控制增益函数

由于原假设中

所以为严谨，假设增益函数B_n为有界函数，且大于0，即0＜B_min≤B_n≤B_max。其中，B_min和B_max为大于0的常数，作为原参数的上下限。

经过变换后，原严格反馈系统具有一般标准形，由于z₁＝x₁，也即经过变换后，系统输出没有发生变化，也即原控制目标一致，但是由于A_n，B_n未知，且z₁除外的高阶状态z_i，i＝2,…,n不可得，所以需要设计状态观测器。

步骤3：针对上述严格反馈系统，可构建如下状态观测器，用以观测z₁除外的高阶状态z_i：

其中，K₁,…,K_n+1＞0，为观测增益，

为状态量z₁,…,z_n的估计，上述状态观测器在有限时间内收敛。

步骤4：多维泰勒网可以用有限的不连续点逼近任何非线性函数；结构简洁是多维泰勒网的优点，其参数易于调整；多维泰勒网基本结构如图1所示；

令多维泰勒网结构的输入为：

换句话说，存在一组参数

能够使得多维泰勒网的输出具有如下结构：

其中，N(n,t)为展开式的总个数，w_i为多项式系数，λ_s,i为第i个多项式中z_s的幂次，并且有

为简便，定义

得到：

其中O_ut为多维泰勒网的输出。

自适应系统辨识：

若想设计处一种理想反馈控制器，则需要A_n，B_n已知，因此涉及到系统辨识。传统的辨识方法通常是针对A_n，B_n而言。并且由于B_n中由于过零点等问题，往往容易引起系统发散等奇异性问题。为了解决这一困难，我们对系统进行如下变形，也即步骤5。

步骤5：将

改写可得：

由此可针对

和

这两个未知数进行系统辨识即可避免系统奇异性问题，根据多维泰勒网结构即公式(6)可得：

其中，

为多维泰勒网项式组合，由于

未知，由前述可知可用

代替

尽管二者之间存在误差，可通过权重调节进行改善。

和

均为多维泰勒网理想权值向量，ε₁和ε₂均为误差。

与传统神经网络方法不同，传统神经网络需要两组基向量，每组基向量需要单独计算，因此计算量大。而相较于多维泰勒网，有统一的多项式组合，即仅通过改变参数值即可达到辨识效果。

通过引入多维泰勒网，系统输入值u重新写为：

其中

为多维泰勒网(MTN)总误差；

上述式子中

未知，可以用

代替，因此可得：

其中，

为系统总辨识误差，

未得到未知网络权值

的估计，设计如下控制策略：

由于仅对

进行估计，而系统

的导数，即

未知，所以引入低通滤波器

其中θ为滤波常数。利用Laplace反变换，在不考虑初始值影响的条件下，可得如下式子：

其中，θ为滤波常数，s是拉普拉斯变换参数，设

初始值为0，也即

相应，可将低通滤波器应用于其他变量中，且设初始值均为0。

步骤6：引理1：考虑连续函数G(x)＝G₁(x)G₂(x)，应用低通滤波器后有如下结论：

G_θ(x)＝G_1θ(x)G_2θ(x)+ρ；

其中G₁(x)，G₂(x)均为连续性映射，G_1θ(x)为G₁(x)通过低通滤波器的函数，G_2θ(x)为G₂(x)通过低通滤波器的函数，ρ为高阶截断误差；

由引理1可得：

其中

为

通过低通滤波器后得到的值；

由此代入

可得：

其中λ＝ρ+ξ_θ为集总误差，

为广义权值向量，

为输入u的广义控制向量，u通过低通滤波器后得到u_θ，ξ通过低通滤波器后得到ξ_θ。

若想控制好系统，需要有理想的输入，就需要有理想的向量

和

为了方便，统一定义

自适应控制律设计：

通过调节

使其无限接近

进而最终达到控制目的。为此，设计一种基于误差的自适应调整率，即

具体如步骤7所述。

步骤7：定义参数：

其中β，γ为正常数；

基于F设计两个辅助变量P和Q：

也即

其中P∈R^2N×2N，Q∈R^2N×1；P∈R^2N×2N表示P为一个2N×2N的矩阵，同理，Q∈R^2N×1表示Q为一个2N×1的向量；其中P初始值为0，Q初始值为0，P和Q是关于时间的函数，因此P(0)＝0和Q(0)＝0；

由于β，γ均大于0，由此可保证P，Q均有界；

有前述可以得到：

也就是PQ之间近在最后一项存在差异，也即二者除了参数

外，还差一个积分项，

令Q＝PW^*+Δ；

代入上式中，可以反推出

也即为

因此计算公式(9)可得：

τ是定积分的积分变量，t表示时间；

令

则可得：

其中δ的范数为有界函数，即||δ||≤δ_max，δ_max表示上限，是正数；

定义误差向量：

则：

当

即有

由此，经过低通滤波器、辅助变量F、P和Q的计算，得到S，设计基于S的自适应率：

其中Step＞0为自适应调整步长；

通过设计基于S的自适应率，使得误差向量

收敛到0点附近，也即

无限接近于

其中

表示实际的参数向量，

表示理想的参数向量。

相较于传统梯度法，本实施例通过构造辅助变量F，P和Q，进而设计基于S的自适应率，可保证误差向量

收敛到0点附近，也即

无限接近于

故而保证系统估计的准确性。

步骤8：根据得到的u_θ，使得输出_y能够跟踪给定的期望输出信号。

步骤7中自适应率证明：

定理：如上述自适应率，在Ψ_θ持续激励的条件下，权值误差向量最终收敛到0点附近。

证明：定义Lyapunov函数：

对上式求导可得：

由于Ψ_θ持续激励，即存在正常数κ，对

有：

由辅助变量P可知：

为简便，定义

进而可得：

由于

和

均大于0，由Lyapunov定理可知，V和误差向量

按照指数规律收敛到0点附近。

证毕。

实例仿真：

针对结构如图2所示的伺服液压系统，其中P₁和P₂表示液压腔内的压强，由于两侧压强有差别，会在活塞两侧形成压力差，进而推动活塞工作，Q₁和Q₂是表示进油流量，流量会影响压强，P_z和P_r为油口，一个为进油口，一个为出油口，u为控制量，控制角阀开合程度，可以影响流量，x_q为输出位移，F_a为液压驱动器输出驱动力，m为负载质量，k_s为弹簧系数，c为阻尼系数，V_t为液压缸中的总容积，β_e为液压油的弹性模数，ω为液压缸内活塞的有效作用面积，C_t为液压缸内的泄漏系数，χ为伺服阀输入与输出的有效转化比率。

该系统具备典型非线性特征，系统模型如下：

其中，

模型参数如下：m＝380kg，k_s＝1.425×10⁴N/m，c＝1.425×10³N·s/m，V_t＝5.6×10^-5m³，β_e＝600MP_a，ω＝2.8×10^-4m²，C_t＝4×10^-13m³·P_a/s，χ＝1×10^-2m³·V/s。

选择原点为跟踪期望信号，也即x_d＝0，系统初始状态为x(0)＝[0.5,0.03,0.02]，微分器参数选择如下K₁＝20，K₂＝2.5，K₃＝0.5，K₄＝0.1，采用本发明所提出的算法，得仿真结果如图3所示。

可以看出，采用本发明所提方法，系统输入可以快速归零，达到无差跟踪。由此可以看出本发明所提算法有效。

本实施例提供的一种基于多维泰勒网的非线性严格系统输出反馈控制方法，使得系统的输出能够自动跟踪期望信号。传统的非线性严格系统通常通过逆推法设计基本控制单元，而此种方法需要系统全部信息，有些情况难以满足要求，故而本实施例提出了一种仅需要输出的反馈算法。首先将原有的严格反馈系统进行变换，重新定义状态变量，以此得到新的标准状态。而后设计状态观测器，凭借多维泰勒网的良好逼近特性，完成自适应系统辨识过程，并以此为基础设计自适应控制律，从而完成系统跟踪输出。最后以液压伺服系统模型为控制对象进行了数值仿真，验证了本发明的有效性。

本发明的保护范围包括但不限于以上实施方式，本发明的保护范围以权利要求书为准，任何对本技术做出的本领域的技术人员容易想到的替换、变形、改进均落入本发明的保护范围。

Claims (1)

1.一种基于多维泰勒网的非线性严格系统输出反馈控制方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1：考虑如下一类严格反馈非线性系统：

其中

为系统状态变量，u为系统控制输入，y为系统输出，f_i(·)为系统非线性映射，h_i(·)为系统非线性控制增益函数，且h₁(·)，…，h_i(·)全不为0；

步骤2：定义状态变量：

其中

为新的状态变量，那么，则有：

令

A₁＝f₁(x₁)，B₁＝h₁(x₁)；

则有

以此类推，可有如下表述：

其中

将步骤1中的原严格反馈非线性系统进行变换，得到：

其中A_n包含原严格反馈非线性系统中未知非线性映射

B_n包含原严格反馈非线性系统中未非线性控制增益函数

由于原假设中

所以假设增益函数B_n为有界函数，且大于0，即0＜B_min≤B_n≤B_max，其中，B_min和B_max为大于0的常数；

步骤3：构建如下状态观测器，用以观测z₁除外的高阶状态z_i：

其中，K₁,…,K_n+1＞0，为观测增益，

为状态量z₁,…,z_n的估计，上述状态观测器在有限时间内收敛；

步骤4：令多维泰勒网结构的输入为：

根据多维泰勒网结构可知，存在一组参数

能够使得多维泰勒网的输出具有如下结构：

其中，N(n,t)为展开式的总个数，w_i为多项式系数，λ_s,i为第i个多项式中z_s的幂次，并且有

定义

得到：

其中O_ut为多维泰勒网的输出；

步骤5：将

改写可得：

根据多维泰勒网结构即公式(6)可得：

其中，

为多维泰勒网项式组合，

和

均为多维泰勒网理想权值向量，ε₁和ε₂均为误差；

系统输入值u重新写为：

其中

为多维泰勒网总误差；

上述式子中

未知，用

代替，可得：

其中，

为系统总辨识误差，

将

通过低通滤波器

后得到：

其中，θ为滤波常数，s是拉普拉斯变换参数，设

初始值为0；

步骤6：引理1：考虑连续函数G(x)＝G₁(x)G₂(x)，应用低通滤波器后有如下结论：

G_θ(x)＝G_1θ(x)G_2θ(x)+ρ；

其中G₁(x)，G₂(x)均为连续性映射，G_1θ(x)为G₁(x)通过低通滤波器的函数，G_2θ(x)为G₂(x)通过低通滤波器的函数，ρ为高阶截断误差；

由引理1可得：

其中

为

通过低通滤波器后得到的值；

由此代入

可得：

其中λ＝ρ+ξ_θ为集总误差，

为广义权值向量，

为输入u的广义控制向量，u通过低通滤波器后得到u_θ，ξ通过低通滤波器后得到ξ_θ；

步骤7：定义参数：

其中β，γ为正常数；

基于F设计两个辅助变量P和Q：其中P∈R^2N×2N，Q∈R^2N×1；

其中P初始值为0，Q初始值为0；

由于β，γ均大于0，由此可保证P，Q均有界；

计算公式(9)可得：

令

则可得：

其中δ的范数为有界函数，即||δ||≤δ_max，δ_max表示上限，是正数；

定义误差向量：

则：

当

即有

设计基于S的自适应率：

其中Step＞0为自适应调整步长；

通过设计基于S的自适应率，使得误差向量

收敛到0点附近，也即

无限接近于

其中

表示实际的参数向量，

表示理想的参数向量；

步骤8：根据得到的u_θ，使得输出_y能够跟踪给定的期望输出信号。

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