CN114462788B - 一种基于半马尔科夫过程的多状态元件可靠性评估方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于半马尔科夫过程的多状态元件可靠性评估方法，包括，根据元件的维修标准判断元件的维修程度，构造相应的状态转移图；确定元件的初始条件以及各状态转移时间服从的分布类型，计算各状态转移对应的核函数以获得元件的核函数矩阵；构造描述元件半马尔科夫过程的积分方程组，求解所述积分方程组获得元件状态的概率分布，以对不同维修程度下的元件进行可靠性评估；本发明方法考虑了元件的中间性能，利用多状态元件来进行可靠性评估；元件各状态间的转移时间不再局限于指数分布，而可以是任意分布；还考虑了在不同维修程度下，状态转移时间服从任意分布的多状态元件的可靠性评估问题，以对元件在维修程度和维修成本之间进行权衡。

Description

一种基于半马尔科夫过程的多状态元件可靠性评估方法

技术领域

本发明涉及多状态元件可靠性评估技术领域，尤其是一种基于半马尔科夫过程的多状态元件可靠性评估方法。

背景技术

随着现代工业技术的迅猛发展，精密化、复杂化是设备的主流趋势，产品寿命、通讯系统工作等离不开对元件可靠性问题的研究。因此，对元件可靠性进行准确、高效地评估，具有不可估量的工程价值和社会影响。

在传统的可靠性分析中，认为元件只有两个状态，即“正常工作”状态和“完全故障”状态。然而随着元件的复杂化，如果只按照元件具有两个状态进行可靠性评估，评估结果与实际模型相差甚远，无法用于后续研究。因此有必要将元件运行状态分为多个状态，即受元件的内部因素或外部环境等影响，元件性能可以介于“正常工作”和“完全故障”之间，存在其他工作状态，这类元件也被称为多状态元件。

多状态元件可靠性指标的获得依赖于各状态的概率分布。由于在工程实践中，指数分布的应用最广，常用来描述元件的状态转移时间分布，因此传统的多状态元件往往是利用马尔科夫过程进行建模。然而并非所有的元件状态转移时间都服从指数分布，例如，在机械产品寿命分析中，威布尔分布就是对此类元件进行建模的最适合的统计模型。另外，正态分布、对数正态分布等也是常见的用于建立多状态元件的统计模型。因此，有必要对状态转移时间服从任意分布的多状态元件的可靠性评估方法进行深入研究，进而在更多工程元件中获得更准确的的可靠性分析结论。

另外，元件的维修程度越高，相应的可靠性越高，可以更好地胜任任务，但是维修程度的提高带来了维修成本的提高。考虑到高维修程度和低维修成本之间的矛盾，有必要研究元件在不同维修程度下的可靠性，从而在维修程度和维修成本之间进行权衡。

发明内容

本部分的目的在于概述本发明的实施例的一些方面以及简要介绍一些较佳实施例，在本部分以及本申请的说明书摘要和发明名称中可能会做些简化或省略以避免使本部分、说明书摘要和发明名称的目的模糊，而这种简化或省略不能用于限制本发明的范围。

鉴于上述和/或现有技术中所存在的问题，提出了本发明。

因此，本发明所要解决的技术问题是在传统的可靠性分析中，认为元件只有两个状态，即“正常工作”状态和“完全故障”状态，然而随着元件的复杂化，如果只按照元件具有两个状态进行可靠性评估，评估结果与实际模型相差甚远的问题。

为解决上述技术问题，本发明提供如下技术方案：一种基于半马尔科夫过程的多状态元件可靠性评估方法，包括，

根据元件的维修标准判断元件的维修程度，构造相应的状态转移图；

确定元件的初始条件以及各状态转移时间服从的分布类型，计算各状态转移对应的核函数以获得元件的核函数矩阵；

构造描述元件半马尔科夫过程的积分方程组，求解所述积分方程组获得元件状态的概率分布，以对不同维修程度下的元件进行可靠性评估。

作为本发明所述基于半马尔科夫过程的多状态元件可靠性评估方法的一种优选方案，其中：所述元件的维修程度包括完全维修、不完全维修和视情维修。

作为本发明所述基于半马尔科夫过程的多状态元件可靠性评估方法的一种优选方案，其中：包括，

定义元件的性能空间G＝{g₁,g₂,…,g_n}，其中n为状态总数，定义状态性能关系为g₁＜g₂＜…＜g_n，g_i为元件处于状态i的性能。

作为本发明所述基于半马尔科夫过程的多状态元件可靠性评估方法的一种优选方案，其中：还包括，

如果元件只有在进入完全故障状态1时才进行维修，并且只存在最大维修1→n，则称为完全维修；

如果元件只有在进入完全故障状态1时才进行维修，但维修可使元件恢复到任一性能不为0的状态，即存在最小维修和较大维修，则称为不完全维修；

如果元件进入任一性能非最优的状态1,2,…,n-1时，均可进行维修，且维修存在最小维修和较大维修，则称为视情维修。

作为本发明所述基于半马尔科夫过程的多状态元件可靠性评估方法的一种优选方案，其中：具体包括，

计算不同维修程度下元件的状态概率分布，对比元件在不同维修程度下的可靠性，判断元件在规定时间内能否可靠完成任务。

作为本发明所述基于半马尔科夫过程的多状态元件可靠性评估方法的一种优选方案，其中：包括，

定义元件的状态数为n，其中，状态n为最优运行状态，状态1为完全故障状态，状态n-1、…、2为退化状态，且从状态n-1到状态2，元件性能降低；

元件的初始条件根据实际情况给出，定义初始时刻元件的状态为n，则初始条件为θ_n(0)＝1,θ_n-1(0)＝…＝θ_i+1(0)＝θ_i(0)＝θ_i-1(0)＝…＝θ₁(0)＝0。

作为本发明所述基于半马尔科夫过程的多状态元件可靠性评估方法的一种优选方案，其中：包括，

当元件由状态n转向状态n-1时，定义两状态间的状态转移时间为T_n,n-1，其分布函数为F_n,n-1(t)；

当元件由状态n转向状态i时，定义两状态间的状态转移时间为T_n,i，其分布函数为F_n,i(t)。

作为本发明所述基于半马尔科夫过程的多状态元件可靠性评估方法的一种优选方案，其中：包括，

定义初始时刻t＝0，则在时刻t之前从状态n转移到状态i能够发生需保证：

当前状态为n，下一状态为i时，在状态n的驻留时间不超过t；

当前状态为n，下一状态为状态n可转移到达的其他状态(此处为n-1、…、i+1、i-1、…、1)时，在状态n的驻留时间大于t；

作为本发明所述基于半马尔科夫过程的多状态元件可靠性评估方法的一种优选方案，其中：还包括

概率Q_n,i(t)需满足以下条件：

T_n,n-1＞t,…,T_n,i+1＞t,T_n,i≤t,T_n,i-1＞t,…,T_n,1＞t

作为本发明所述基于半马尔科夫过程的多状态元件可靠性评估方法的一种优选方案，其中：具体包括，

Q_n,i(t)的表达式如下：

其中：g_i：元件处于状态i的性能

θ_i(t)：在时刻t，元件处于状态i的概率

T_i,j：元件从状态i转移到状态j的时间

F_i,j(t)：元件从状态i转移到状态j的时间服从的分布函数

Pr(事件i)：事件i发生的概率

Q_i,j(t)：在时间段[0,t]内，元件从状态i转移到状态j的概率

Q(t)：元件的核函数矩阵

q_i,j(t)：核函数Q_i,j(t)对时间t的导数

F_i(t)：元件在状态i的驻留时间的累积分布函数

δ_ij：指示函数

λ：故障时间的指数分布参数

η：修复时间的威布尔分布的尺度参数

β：修复时间的威布尔分布的形状参数

本发明的有益效果：本发明方法考虑了元件的中间性能，利用多状态元件来进行可靠性评估；元件各状态间的转移时间不再局限于指数分布，而可以是任意分布；还考虑了在不同维修程度下，状态转移时间服从任意分布的多状态元件的可靠性评估问题，以对元件在维修程度和维修成本之间进行权衡。

附图说明

为了更清楚地说明本发明实施例的技术方案，下面将对实施例描述中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动性的前提下，还可以根据这些附图获得其它的附图。其中：

图1是本发明方法的逻辑框图。

图2是不同维修程度下的状态转移图。

图3是n状态元件的状态转移图。

图4是三状态元件在不同维修程度下的状态转移图。

图5是不同维修程度下部件的最优运行状态概率分布图。

具体实施方式

为使本发明的上述目的、特征和优点能够更加明显易懂，下面结合说明书附图对本发明的具体实施方式做详细的说明。

在下面的描述中阐述了很多具体细节以便于充分理解本发明，但是本发明还可以采用其他不同于在此描述的其它方式来实施，本领域技术人员可以在不违背本发明内涵的情况下做类似推广，因此本发明不受下面公开的具体实施例的限制。

其次，本发明结合示意图进行详细描述，在详述本发明实施例时，为便于说明，表示器件结构的剖面图会不依一般比例作局部放大，而且所述示意图只是示例，其在此不应限制本发明保护的范围。此外，在实际制作中应包含长度、宽度及深度的三维空间尺寸。

再其次，此处所称的“一个实施例”或“实施例”是指可包含于本发明至少一个实现方式中的特定特征、结构或特性。在本说明书中不同地方出现的“在一个实施例中”并非均指同一个实施例，也不是单独的或选择性的与其他实施例互相排斥的实施例。

实施例1

参照图1～4，本实施例提供了一种基于半马尔科夫过程的多状态元件可靠性评估方法，包括，

S1：根据元件的维修标准判断元件的维修程度，构造相应的状态转移图。该步骤需要说明的是，

元件的状态用来描述元件不同的性能，最优运行状态指的是元件以最优性能工作，完全故障状态指的是元件完全故障、不可以工作。

多状态元件指的是：元件在运行过程中由于设备老化等原因，在“正常工作”和“完全故障”两种状态之间，还存在一系列不完全正常工作状态或不完全故障状态等中间状态。

元件的初始条件是元件在初始时刻的性能，即所处的状态，一般用概率表示。

元件的状态转移图指是用来描述元件各状态之间是否存在转移关系的结构框图。

元件的状态转移时间服从的分布函数用来描述元件的状态转移时间这一随机变量的分布规律。

元件在某一状态的驻留时间指的是元件在到达该状态后，转移到下一状态前所停留的时间。

半马尔科夫过程是一个随机过程，用于描述多状态元件的动态行为，元件各状态间的转移时间分布服从任意分布，根据元件的初始状态和核函数矩阵来确定元件的状态概率分布。

核函数指的是在整个时段内，元件从某一状态不经过其他任何中间状态，直接转移到另一状态的概率。核函数矩阵由元件所有状态间的核函数组成。

最大维修指的是从完全故障状态维修至最优运行状态，最小维修指的是从非最优运行状态维修至相邻的更优状态，较大维修指的是从非最优运行状态维修至非相邻的更优状态。

具体为：

根据元件维修程度的不同可分为完全维修、不完全维修和视情维修。

设元件的性能空间G＝{g₁,g₂,…,g_n}，其中n为状态总数。假定状态性能关系为g₁＜g₂＜…＜g_n，g_i：元件处于状态i的性能。

如果元件只有在进入完全故障状态1时才进行维修，并且只存在最大维修1→n，则称为完全维修；

如果元件只有在进入完全故障状态1时才进行维修，但维修可使元件恢复到任一性能不为0的状态，即存在最小维修和较大维修，则称为不完全维修；

如果元件进入任一性能非最优的状态1,2,…,n-1时，均可进行维修，且维修存在最小维修和较大维修，则称为视情维修。

三类维修的状态转移图见图2。

根据上述步骤，可以计算出不同维修程度下元件的状态概率分布，进一步对比元件在不同维修程度下的可靠性，来判断元件在规定时间内能否可靠完成任务。

具体的：

S2：确定元件的初始条件以及各状态转移时间服从的分布类型，计算各状态转移对应的核函数以获得元件的核函数矩阵。该步骤需要说明的是，

定义元件的状态数为n，其中，状态n为最优运行状态，状态1为完全故障状态，状态n-1、…、2为退化状态，且从状态n-1到状态2，元件性能降低。元件的初始条件根据实际情况给出，假设初始时刻元件的状态为n，则初始条件为θ_n(0)＝1,θ_n-1(0)＝…＝θ_i+1(0)＝θ_i(0)＝θ_i-1(0)＝…＝θ₁(0)＝0。

由元件的状态转移图(见图3)可知，从初始时刻的状态n可以分别转向状态n-1、…、i+1、i、i-1、…、1。当元件由状态n转向状态n-1时，定义两状态间的状态转移时间为T_n,n-1，其分布函数为F_n,n-1(t)。同理可知，当元件由状态n转向状态i时，定义两状态间的状态转移时间为T_n,i，其分布函数为F_n,i(t)。

定义初始时刻t＝0，则在时刻t之前从状态n转移到状态i能够发生需保证：

当前状态为n，下一状态为i时，在状态n的驻留时间不超过t。当前状态为n，下一状态为状态n可转移到达的其他状态(此处为n-1、…、i+1、i-1、…、1)时，在状态n的驻留时间大于t。因此概率Q_n,i(t)需满足以下条件：

T_n,n-1＞t,…,T_n,i+1＞t,T_n,i≤t,T_n,i-1＞t,…,T_n,1＞t

由此可以获得Q_n,i(t)的表达式如下：

其中：g_i：元件处于状态i的性能

θ_i(t)：在时刻t，元件处于状态i的概率

T_i,j：元件从状态i转移到状态j的时间

F_i,j(t)：元件从状态i转移到状态j的时间服从的分布函数

Pr(事件i)：事件i发生的概率

Q_i,j(t)：在时间段[0,t]内，元件从状态i转移到状态j的概率

Q(t)：元件的核函数矩阵

q_i,j(t)：核函数Q_i,j(t)对时间t的导数

F_i(t)：元件在状态i的驻留时间的累积分布函数

δ_ij：指示函数

λ：故障时间的指数分布参数

η：修复时间的威布尔分布的尺度参数

β：修复时间的威布尔分布的形状参数

其他状态间的转移概率用同样方法可以求得。

S3：构造描述元件半马尔科夫过程的积分方程组，求解所述积分方程组获得元件状态的概率分布，以对不同维修程度下的元件进行可靠性评估。该步骤需要说明的是，

定义元件状态的半马尔科夫过程的核函数矩阵为Q(t)＝[Q_ij(t)],i,j＝1,2,…,n，其中n为状态总数。设θ_ij(t)为t＝0时状态为i，在时刻t时状态为j的概率，θ_ij(t)可由下式求得。

其中

式(*)为描述半马尔科夫过程的积分方程组，在已知初始条件和核函数矩阵时，求解此积分方程组来获得状态的概率分布，以对元件进行可靠性评估。

施例2

参照图5，本实施将根据实际应用情况仿真验证本发明是否满足应用需求，具体的：

考虑某控制系统的一个机械部件，共有三个状态，即最优运行状态3、功能退化状态2、完全故障状态1。且该部件的故障时间均服从指数分布，修复时间均服从威布尔分布。故障时间分布参数为λ₃₂＝0.02,λ₂₁＝0.01,λ₃₁＝0.001，修复时间分布的尺度参数为η₁₂＝0.5,η₂₃＝1,η₁₃＝3，形状参数为β₁₂＝β₂₃＝β₁₃＝2。不同维修程度下的状态转移图如图4。

要求在控制系统工作的前2个月内，该部件运行在最优状态时的概率不低于0.97，下面将分析不同维修程度下的部件能否满足控制系统的工作要求。

2.假设三类维修程度下，系统开始时刻均处于最优运行状态3，即初始条件为θ_i,3(0)＝1,θ_i,1(0)＝θ_i,2(0)＝0,i＝1,2,3，记θ_i(0)＝[θ_i,1(0),θ_i,2(0),θ_i,3(0)]。

完全维修下的部件状态转移图如图4(a)所示，修复仅发生在状态1、3之间，则相应的核函数矩阵为：

其中的核函数按下式获得：

由式(*)建立积分方程组，结合初始条件θ₁(0)，求解各状态概率分布，作出完全维修下部件的最优运行状态概率分布见图5。

不完全维修下的部件状态转移图如图4(b)所示，修复发生在状态1、3与状态1、2之间，则相应的核函数矩阵为：

其中的核函数按下式获得：

由式(*)建立积分方程组，结合初始条件θ₂(0)，求解各状态概率分布，作出不完全维修下部件的最优运行状态概率分布见图5。

视情维修下的部件状态转移图如图4(c)所示，修复发生在任意两状态之间，则相应的核函数矩阵为：

其中的核函数按下式获得：

由式(*)建立积分方程组，结合初始条件θ₃(0)，求解各状态概率分布，作出视情维修下部件的最优运行状态概率分布见图5。

观察图线可知，视情维修下机械部件处于最优运行状态的概率始终稳定在很高的水平，且在较短时间内趋于稳定值0.9811。而完全维修和不完全维修下部件的性能退化较快，处于最优状态的概率几乎呈现直线下降趋势，可靠性明显低于视情维修。另外，完全维修下的可靠性比不完全维修的可靠性高，符合工程经验。

t＝2时，完全维修和不完全维修下处于最优运行状态的概率均为0.959左右，明显低于0.97，无法满足控制系统工作要求。而视情维修下，处于最优运行状态的概率始终大于0.98，可以完全胜任。

如果要求的概率门限值降到0.95，那么三类维修情况均可满足要求。但如果控制系统工作周期延长，完全维修和不完全维修下的部件仍面临一定的危险。因此在不考虑维修成本的情况下，应采用视情维修的元件维护方式，保证运行的高可靠性。当维修成本有一定限制时，应限制系统工作周期，确保完全或不完全维修下的部件在工作时间内有较高的可靠性。

将用来描述元件状态的模型从两状态扩展到多状态，可以更准确地刻画元件性能；元件状态间的转移时间所服从的分布函数不必是指数分布，可以是任意类型的分布函数，并且可以利用半马尔科夫过程对元件的状态概率分布进行求解；利用基于半马尔科夫过程的多状态元件状态概率分布的求解方法，对不同维修程度下的元件进行可靠性评估，给出解决高维修程度和低维修成本之间的矛盾的可行性建议。

应说明的是，以上实施例仅用以说明本发明的技术方案而非限制，尽管参照较佳实施例对本发明进行了详细说明，本领域的普通技术人员应当理解，可以对本发明的技术方案进行修改或者等同替换，而不脱离本发明技术方案的精神和范围，其均应涵盖在本发明的权利要求范围当中。

传统的技术方案认为所有的元件状态转移时间都服从指数分布，直接采用马尔科夫过程对元件状态进行建模，并利用微分方程组进行求解。但是并非所有的元件状态转移时间都服从指数分布，当元件状态转移时间服从非指数分布时，若采用指数分布进行建模，对模型的刻画是不合理的。

由于马尔科夫过程无法对非指数分布的元件状态转移时间进行建模，无法解决此类问题，因此才引入半马尔科夫过程来对元件进行建模和求解。

Claims (3)

1.一种基于半马尔科夫过程的多状态元件可靠性评估方法，其特征在于：包括，

根据元件的维修标准判断元件的维修程度，构造相应的状态转移图；

所述元件的维修程度包括，完全维修、不完全维修和视情维修；

确定元件的初始条件以及各状态转移时间服从的分布类型，计算各状态转移对应的核函数以获得元件的核函数矩阵，包括：

定义元件的性能空间G＝{g₁,g₂,…,g_n}，其中n为状态总数，定义状态性能关系为g₁＜g₂＜…＜g_n，g_i为元件处于状态i的性能；

如果元件只有在进入完全故障状态1时才进行维修，并且只存在最大维修1→n，则称为完全维修；

如果元件只有在进入完全故障状态1时才进行维修，但维修可使元件恢复到任一性能不为0的状态，即存在最小维修和较大维修，则称为不完全维修；

如果元件进入任一性能非最优的状态1,2,…,n-1时，均可进行维修，且维修存在最小维修和较大维修，则称为视情维修；

计算不同维修程度下元件的状态概率分布，对比元件在不同维修程度下的可靠性，判断元件在规定时间内能否可靠完成任务，包括：

定义元件的状态数为n，其中，状态n为最优运行状态，状态1为完全故障状态，状态n-1、…、2为退化状态，且从状态n-1到状态2，元件性能降低；

元件的初始条件根据实际情况给出，定义初始时刻元件的状态为n，则初始条件为θ_n(0)＝1,θ_n-1(0)＝…＝θ_i+1(0)＝θ_i(0)＝θ_i-1(0)＝…＝θ₁(0)＝0；

当元件由状态n转向状态n-1时，定义两状态间的状态转移时间为T_n,n-1，其分布函数为F_n,n-1(t)；

当元件由状态n转向状态i时，定义两状态间的状态转移时间为T_n,i，其分布函数为F_n,i(t)；

定义初始时刻t＝0，则在时刻t之前从状态n转移到状态i能够发生需保证：

当前状态为n，下一状态为i时，在状态n的驻留时间不超过t；

当前状态为n，下一状态为状态n可转移到达的其他状态时，在状态n的驻留时间大于t；

构造描述元件半马尔科夫过程的积分方程组，求解所述积分方程组获得元件状态的概率分布，以对不同维修程度下的元件进行可靠性评估，包括：

定义元件状态的半马尔科夫过程的核函数矩阵为Q(t)＝[Q_ij(t)],i,j＝1,2,…,n，其中n为状态总数；

设θ_ij(t)为t＝0时状态为i，在时刻t时状态为j的概率，θ_ij(t)可由下式求得：

其中

θ_ij(t)为描述半马尔科夫过程的积分方程组；

其中，θ_i(t)：在时刻t，元件处于状态i的概率；g_i：元件处于状态i的性能；Q(t)：元件的核函数矩阵；q_i,j(t)：核函数Q_i,j(t)对时间t的导数；Q_i,j(t)：在时间段[0,t]内，元件从状态i转移到状态j的概率；δ_ij：指示函数。

2.根据权利要求1所述的基于半马尔科夫过程的多状态元件可靠性评估方法，其特征在于：构造描述元件半马尔科夫过程的积分方程组，求解所述积分方程组获得元件状态的概率分布，以对不同维修程度下的元件进行可靠性评估，包括：

概率Q_n,i(t)需满足以下条件：

T_n,n-1＞t,…,T_n,i+1＞t,T_n,i≤t,T_n,i-1＞t,…,T_n,1＞t。

3.根据权利要求2所述的基于半马尔科夫过程的多状态元件可靠性评估方法，其特征在于，还包括：

Q_n,i(t)的表达式如下：

其中，T_i,j：元件从状态i转移到状态j的时间；F_i,j(t)：元件从状态i转移到状态j的时间服从的分布函数；Pr(事件i)：事件i发生的概率。