CN114371616B - 一种死区非线性时滞系统的跟踪控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种死区非线性时滞系统的跟踪控制方法，首先采用径向基神经网络逼近死区非线性时滞系统中的时滞项，形成新的系统表达式；然后利用反推控制法对新的系统表达式进行反推控制，在反推控制的过程中，引入基于正时变积分函数的非线性滤波器，令反推控制法每一步的虚拟控制律通过非线性滤波器，利用所得滤波后的虚拟控制律去设计下一步的反推控制；在反推控制的最后一步进行控制器设计，在控制器设计时，利用自适应律对死区干扰项、神经网络误差项和非线性滤波器的未知项进行在线估计，使系统跟踪误差收敛到零，从而完成控制器设计。本发明能够有效地避免传统反推设计方法带来的“微分爆炸”问题，减少计算负担，还可以消除边界层误差。

Description

一种死区非线性时滞系统的跟踪控制方法

技术领域

本发明属于非线性系统控制技术领域，涉及一种死区非线性时滞系统的跟踪控制方法。

背景技术

近年来，非线性系统的自适应控制受到了广泛的关注。保证控制器满足系统稳态性能及精确跟踪性能是十分重要的。死区和时滞现象存在于大部分实际控制系统中，影响系统的稳定性。对于死区特性起初学界主要是通过构造死区逆来降低死区特性对系统的影响。文献1(Adaptive control of plants with unknown dead-zones[J].IEEETransactions on Automatic Control,1994,39(1):59-68)首次提出死区逆；文献2(Deadzone compensation in motion control systems using neural networks[J].IEEE Transactions on Automatic Control,2000,45(4):602-13)中通过构造死区逆模型，设计自适应控制方案，解决了一类具有死区输入的非线性控制问题，随后有学者在死区逆模型技术基础上结合反推法设计出的控制器，不仅可以保证系统稳定性，还能保证瞬态性，但是反推法存在“微分爆炸”的固有问题；为解决这一问题，文献3(Dynamic surfacecontrol for a class of nonlinear systems[J].IEEE transactions on automaticcontrol,2000,45(10):1893-9.)和文献4(Dynamic surface control for a class ofstate-constrained non-linear systems with uncertain time delays[J].IETControl Theory&Applications,2012,6(12):1948-57.)提出一种动态面控制技术，由于死区逆的构造十分复杂，不利于控制器设计；在文献5(Robust adaptive control of aclass of nonlinear systems with unknown dead-zone[J].Automatica,2004,40(3):407-13)中作者将死区模型进行简化为线性输入和有界扰动两个部分，此后基于简化死区模型的控制器设计取得大量成果；文献6(Adaptive tracking controller design ofnonlinear systems with time delays and unknown dead-zone input[J].IEEETransactions on Automatic Control,2008,53(7):1753-9.)在死区参数未知的情况下考虑了有界时滞，设计一种光滑的自适应状态观测器，系统可以收敛到任意小的邻域内；目前针对死区非线性时滞系统，文献7(Adaptive fuzzy decentralized control for a classof interconnected nonlinear system with unmodeled dynamics and dead zones[J].Neurocomputing,2016,214(972-80.)利用模糊控制技术逼近未知函数，构造LyapunovKrasovskii泛函处理了时滞项，可以成功解决系统跟踪问题；文献8(Indirect adaptiveneural network dynamic surface control for non-linear time-delay systems withprescribed performance and unknown dead-zone input[J].IET Control Theory&Applications,2018,12(14):1895-906.)利用径向基神经网络处理时滞项和死区特性，系统跟踪误差可以收敛到预定的范围内，但是该方法处理后的系统跟踪误差仍然较大。在实际生产中，输入死区及时滞对系统稳定性有较大影响，尤其是高精度系统的跟踪问题中。

发明内容

本发明的目的是解决现有技术中存在的上述问题，提供一种死区非线性时滞系统的跟踪控制方法。对于带有死区输入的非线性时滞系统，本发明采用自适应反推控制方法设计控制器。时滞导致控制系统的不稳定性和性能下降，为了解决该问题，本发明设计径向基神经网络逼近器对未知时滞项进行处理。该方案简化控制器设计结构，减小设计负担。为了消除常见的未知死区的影响，本发明设计一种自适应控制方案，无需构造死区逆。为解决重复微分“微分爆炸”问题，本发明设计一种新型动态面方案，不仅可以解决“微分爆炸”问题，而且消除边界层误差，使得系统最终跟踪误差渐进收敛到零。在高精尖控制领域，如医疗卫生，航空航天等存在大量的时滞问题，因此本发明具有十分重要的理论价值和应用价值。

为达到上述目的，本发明采用的技术方案如下：

一种死区非线性时滞系统的跟踪控制方法，首先采用径向基神经网络逼近死区非线性时滞系统中的时滞项，本发明利用径向基神经网络可以用来逼近未知非线性项这一原理，使未知非线性项转化为已知项来处理，形成新的系统表达式；然后利用反推控制法对所述新的系统表达式进行反推控制，在反推控制的过程中，引入基于正时变积分函数的非线性滤波器，令反推控制法每一步的虚拟控制律通过所述非线性滤波器，利用所得滤波后的虚拟控制律去设计下一步的反推控制；在反推控制的最后一步进行控制器设计，在控制器设计时，利用自适应律对死区干扰项、神经网络误差项和非线性滤波器的未知项进行在线估计，使系统跟踪误差收敛到零，从而完成控制器设计(完成控制器设计就相当于实现了跟踪控制)。

反推控制法每一步存在一个虚拟控制律，该虚拟控制律对下一步反推控制有控制作用，但是在下一步反推控制时，需要对上一步虚拟控制律求微分，这导致计算量增加，本发明引入一个基于正时变积分函数的非线性滤波器，令每一步的虚拟控制律通过该滤波器，利用所得滤波后的虚拟控制律去设计下一步的反推控制，可以避免求微分操作；

令虚拟控制律α_i通过该非线性滤波器得α_id，在下一步反推控制中用位置误差z_i＝x_i-α_id取代传统的位置误差。基于正时变积分函数的非线性滤波器设计如下：

其中，e_i是边界层误差，具体为e_i＝α_id-α_i；α_i为虚拟控制律；α_id为滤波后的虚拟控制律；α_i(0)为0状态时的虚拟控制律；α_id(0)为0状态时滤波后的虚拟控制律；τ_i是滤波器的时间常数；为M_i的估计值，M_i为未知项；z_i为第i步的位置误差；σ(t)是正时变积分函数，满足以下条件：

其中，σ₁，σ₂为任意正的常数，t表示时间；

对于任意的ε＞0，(实数域)，不等式/>成立；死区干扰项、神经网络误差项和非线性滤波器的未知项在利用自适应律进行在线估计之前分别用所述不等式进行缩放。

作为优选的技术方案：

如上所述的一种死区非线性时滞系统的跟踪控制方法，径向基神经网络模型如下：

对于任意的非线性连续未知函数F(Z)，存在径向基神经网络W^*ΤS(Z)，使得：

F(Z)＝W^*ΤS(Z)+E；

其中，Ω_Z是包含所有Z的集合，R^q表示q维的实数向量；S(Z)是基函数，表示为S(Z)＝[s₁(Z),...,s_l(Z)]^Τ∈R^l；l是神经网络中的神经元个数；R^l表示l维的实数向量；/>μ_i＝[μ_i1,...,μ_iq]^Τ是径向基的中心点，T表示转置，η_i为径向基的宽度；W^*是神经网络的理想权值，表示集合Z∈Ω_Z时括号内的上界；W表示神经网络的权值，W^T表示神经网络的权值的转置；E是神经网络的误差。

如上所述的一种死区非线性时滞系统的跟踪控制方法，采用径向基神经网络逼近死区非线性时滞系统中的时滞项是指将死区非线性时滞系统中的时滞项H(·)由径向基神经网络及其误差W^TS+E代替。

如上所述的一种死区非线性时滞系统的跟踪控制方法，采用径向基神经网络进行逼近之前，所述死区非线性时滞系统的表达式为其中x_i是第i步系统状态，/>为第i步系统状态导数，x_i+1为第i+1步系统状态，/>为第n步系统状态，θ_i，θ_n是未知常数，f_i(·)，f_n(·)是已知光滑函数，H_i(·)，H_n(·)是时滞项，N(u)是死区非线性项，N(u)＝mu+d，u是系统输入，m为死区斜率，β≤m，β为已知常数，d为死区干扰项，d≤D，D为未知常数，y是系统输出；

所述新的系统表达式为其中，W_i ^T为第i步的神经网络的权值的转置，W_n ^T是第n步的神经网络的权值的转置，S_i是第i步的基函数，S_n第n步的基函数，E_i是第i步的神经网络误差项，E_n是第n步的神经网络误差项。

如上所述的一种死区非线性时滞系统的跟踪控制方法，利用反推控制法对所述新的系统表达式进行反推控制的具体过程为：

定义系统跟踪误差：

其中，y_r是期望信号，α_i-1d是滤波后的虚拟控制律；

首先，对第1步跟踪误差z₁求导：

设计虚拟控制律α₁和自适应律

其中，k₁，γ₁，Λ₁，η₁是正设计参数，分别是θ₁，W₁，E₁的估计值，θ₁表示未知常数，为θ_i中i＝1时的参数，W₁表示第1步的神经网络的权值，E₁表示第1步的神经网络误差项；

令α₁通过所述非线性滤波器得α_1d：

然后，对第i步跟踪误差z_i求导，i＝2～n-1；

设计虚拟控制律α_i和自适应律

其中，k_i，γ_i，Λ_i，η_i是正设计参数，分别是θ_i，W_i，E_i的估计值，W_i表示第i步的神经网络的权值，E_i表示第i步的神经网络误差项；

令α_i通过非线性滤波器得α_id：

最后，对第n步跟踪误差z_n求导：

设计实际控制律u和自适应律

其中k_n，γ_n，Λ_n，η_n，λ是正设计参数，分别是θ_n，W_n，E_n，D的估计值，θ_n表示θ_i中i＝n时的情况，W_n表示第n步的神经网络的权值，E_n表示第n步的神经网络误差项，D表示未知常数。

如上所述的一种死区非线性时滞系统的跟踪控制方法，利用所述不等式对死区干扰项进行缩放是指：对于死区干扰项d，d≤D，D为未知常数，其中，z_i为第i步跟踪误差， 是对D的估计值。

如上所述的一种死区非线性时滞系统的跟踪控制方法，利用所述不等式对神经网络误差项进行缩放是指：对于第i步神经网络误差项E_i，

如上所述的一种死区非线性时滞系统的跟踪控制方法，利用所述不等式对非线性滤波器的未知项进行缩放是指：对于第i步非线性滤波器的未知项M_i，

本发明的原理如下：

现有技术中的动态面技术采用一阶滤波器，可以避免“微分爆炸”问题，但无法消除边界层误差。本发明采用基于正时变积分函数的非线性滤波器，既可以避免传统反推控制因为虚拟控制器反复求导造成的“微分爆炸”问题，还能消除动态面技术中产生的边界层误差。引入基于正时变积分函数的非线性滤波器，令反推控制法每一步的虚拟控制律通过所述非线性滤波器，利用所得滤波后的虚拟控制律去设计下一步的反推控制，可以避免“微分爆炸”问题，该滤波器模型中含有α_1d-α₁项可以消除边界层误差。本发明采用基于正时变积分函数的非线性滤波器，使用这个滤波器可以得到更好的收敛效果，滤波器模型为(该式为i＝1时的情况，i为其他值的情况和i＝1时分析过程是一样的，得出的结论也是一样的)，其中正时变积分函数为σ(t)，正时变积分函数在后续稳定性分析中可以结合M的自适应律，再利用缩放令系统达到更好的收敛效果。边界层误差为α_1d-α₁，边界层误差导数中含有z₁项，滤波器中含有τ₁z₁，两个可以抵消，这说明了非线性滤波器消除动态面技术中产生的边界层误差。

现有技术没有处理神经网络误差，其系统跟踪误差中依旧存在神经网络误差，所以其系统跟踪误差无法收敛到零。本发明采用对神经网络误差在线估计，使得系统跟踪误差中不受神经网络误差以及动态面技术产生的边界层误差的影响，从而使系统跟踪误差可以收敛到零。

本发明中使用径向基神经网络对时滞项进行逼近，时滞项H(·)可用神经网络及其误差W^TS+E逼近代替。神经网络的误差E可结合不等式后在线估计，其中不等式模型为利用这个模型，对E这个进行缩放，形如因此消除了神经网络误差对系统跟踪误差的影响。本发明无需采用死区逆模型，而是采用简化后的死区模型N(u)＝mu+d，其中d≤D，消除了D对系统跟踪误差的影响，为系统跟踪误差收敛到零创造了条件，从而解决时滞非线性对控制系统的影响并且可以使跟踪误差渐进收敛到零。相对于大多数只能使跟踪误差渐进收敛到零的邻域内的结果，本发明的方案系统跟踪性能进一步提升。

有益效果：

本发明的优点在于针对一类具有高度非线性的死区时滞系统，设计了一个基于神经网络动态面的控制器模型，可以有效地避免传统反推设计方法带来的“微分爆炸”问题，减少计算负担，还可以消除边界层误差，使得最终系统跟踪误差可以收敛到零。可为航空航天、医疗手术中的机构的高可靠、高精度控制提供坚实的保障，更广泛的扩大了该场景的应用范围，极大减少了普遍存在的高精度作业的安全隐患，具有较大的经济效益。

附图说明

图1为本发明实施步骤流程框图；

图2为仿真分析得到的系统输出y和期望信号y_r的曲线图；

图3为仿真分析得到的控制器u的曲线图。

具体实施方式

下面结合具体实施方式，进一步阐述本发明。应理解，这些实施例仅用于说明本发明而不用于限制本发明的范围。此外应理解，在阅读了本发明讲授的内容之后，本领域技术人员可以对本发明作各种改动或修改，这些等价形式同样落于本申请所附权利要求书所限定的范围。

本发明中缩略语和关键术语定义：

反推控制技术：最终控制信号通过一系列“虚拟”信号以递归的方式得到，虚拟信号事实上无需通过硬件，可直接经由计算得到，故可简化控制器的结构。

径向基神经网络：是一种使用径向基函数作为激活函数的人工神经网络。

动态面控制技术：是在反推技术的基础上发展起来的，为了克服传统反推设计时的计算复杂度问题，在非线性系统中引入一阶滤波器，与反推设计方法相结合的一种自适应控制方法。

本发明中，表示A的估计(A一个通用字母，可替换)，/>表示A的微分，/>为真实值和估计值的误差，A^T表示A的转置。

下面将结合附图和技术方案对本发明做进一步的详细说明。一种死区非线性时滞系统的跟踪控制方法，系统流程如图1所示，具体步骤如下：

步骤1：系统陈述及准备工作

1、径向基神经网络模型

对于任意的非线性连续未知函数F(Z)，存在径向基神经网络W^*ΤS(Z)，使得：

F(Z)＝W^*ΤS(Z)+E；

其中，Ω_Z是包含所有Z的集合，R^q表示q维的实数向量，Z表示径向基神经网络的输入，q表示Z的维数；S(Z)是基函数，表示为S(Z)＝[s₁(Z),...,s_l(Z)]^Τ∈R^l；l是神经网络中的神经元个数；R^l表示l维的实数向量；/>μ_i＝[μ_i1,...,μ_iq]^Τ是径向基的中心点，η_i为径向基的宽度；W^*是神经网络的理想权值， 表示集合Z∈Ω_Z时括号内的上界；W表示神经网络的权值，W^T表示神经网络的权值的转置；E是神经网络的误差；

2、基于正时变积分函数的非线性滤波器

由于传统反推控制法中存在固有的“微分爆炸”问题，使得计算负担增加，为了减小计算负担，引入滤波器。本发明使用的滤波器与以往研究不同，该非线性滤波器基于正时变积分函数设计，不仅可以避免“微分爆炸”问题，还能消除边界层误差。令虚拟控制律α_i通过该非线性滤波器得α_id，在下一步反推控制中用位置误差z_i＝x_i-α_id取代传统的位置误差。该非线性滤波器设计如下：

其中，e_i是边界层误差，具体为e_i＝α_id-α_i；α_i为虚拟控制律；α_id为滤波后的虚拟控制律；α_i(0)为0状态时的虚拟控制律；α_id(0)为0状态时滤波后的虚拟控制律；τ_i是滤波器的时间常数；为M_i的估计值，M_i为未知项，是一个未知正的常数；z_i为第i步的位置误差；σ(t)是正时变积分函数，满足以下条件：

其中，σ₁，σ₂为任意正的常数，t表示时间；

3、不等式

对于任意的ε＞0，下面的不等式成立：

4、死区非线性时滞系统的表达式具体形式为：

其中x_i，x_i+1，x_n是系统状态，θ_i，θ_n是未知常数，f_i(·)，f_n(·)是已知光滑函数，H_i(·)，H_n(·)是时滞项，d_i，d_n为具体延时，N(u)死区非线性项，N(u)＝mu+d，u为系统输入，m为死区斜率，β≤m，β为已知常数，d为死区干扰项，y是系统输出。

假设1：d≤D，D为未知常数。

假设2：期望信号y_r和它的微分有界。

采用径向基神经网络逼近死区非线性时滞系统中的时滞项，具体是将死区非线性时滞系统中的时滞项H_i(·)由径向基神经网络及其误差W^TS+E代替，形成新的系统表达式；

死区非线性时滞系统的表达式为

其中，x_i是第i步系统状态，x_i+1为第i+1步系统状态，为第n步系统状态，θ_i，θ_n是未知常数，f_i(·)，f_n(·)是已知光滑函数，H_i(·)，H_n(·)是时滞项，N(u)是死区非线性项，N(u)＝mu+d，u是系统输入，m为死区斜率，β≤m，β为已知常数，d为死区干扰项，d≤D，D为未知常数，y是系统输出；

新的系统表达式为

其中，W_i ^T为第i步的神经网络的权值转置，W_n ^T是第n步的神经网络的权值转置，S_i是第i步的基函数，S_n第n步的基函数，E_i是第i步的神经网络误差项，E_n是第n步的神经网络误差项。

步骤2：设计适合系统模型的控制器

定义系统跟踪误差：

其中，y_r是期望信号，α_i-1d是滤波后的虚拟控制律；

首先，对第1步跟踪误差z₁求导(对时间t求导)：

设计虚拟控制律如下：

其中，k₁是正设计参数，σ(t)为正时变积分函数；

设计自适应律如下：

其中，γ₁，Λ₁，η₁是正设计参数，分别是θ₁，W₁，E₁的估计值，θ₁表示未知常数，为θ_i中i＝1时的参数，W₁表示第1步的神经网络的权值，E₁表示第1步的神经网络误差项；

选择Lyapunov函数V₁如下：

其中，

根据不等式对神经网络误差项进行缩放可得：

结合上述式(4)～(7)，(9)，对式(8)求导可得：

为了避免“微分爆炸”问题，令α₁通过所述非线性滤波器得α_1d：

其中，e₁:＝α_1d-α₁，τ₁是时间常数；

然后，对第i步跟踪误差z_i求导(对时间t求导)，i＝2～n-1：

设计虚拟控制律α_i和自适应律

其中，k_i，γ_i，Λ_i，η_i是正设计参数，分别是θ_i，W_i，E_i的估计值，W_i表示第i步的神经网络的权值，E_i表示第i步的神经网络误差项；

选择Lyapunov函数V_i如下：

其中，

结合上式(13)～(16)，对式(17)求导可得：

令α_i通过滤波器得α_id：

其中，e_i:＝α_id-α_i；

最后，对第n个跟踪误差z_n求导(对时间t求导)：

设计实际控制律u和自适应律

其中，k_n，γ_n，Λ_n，η_n，λ是正设计参数，分别是θ_n，W_n，E_n，D的估计值，θ_n表示θ_i中i＝n时的情况，W_n表示第n步的神经网络的权值，E_n表示第n步的神经网络误差项，D表示未知常数；

根据不等式对死区干扰项进行缩放可得：

选择Lyapunov函数V_n如下：

其中，

结合上式(21)～(25)，对式(27)求导得：

步骤3：基于设计的控制器，对系统模型进行稳定性分析

对边界层误差e_i＝α_id-α_i微分得到：

其中，

其中，B_i(·)是连续函数；

选择Lyapunov函数V如下：

其中，μ_i(i＝1,…n-1)是正设计参数；

定义有界紧集：

Ω₂＝{V(t)≤ρ} (34)

其中，B₀是一个正常数，存在一个正的M_i在Ω₁×Ω₂且满足|B_i()|≤M_i；

对V求导得：

根据不等式对非线性滤波器的未知项进行缩放得：

/>

设计自适应律

可以得到：

对式(38)两边在时间[0,t]内求积分得：

根据式(39)可以得到z_i，z_n，e_i，/>是有界的。因此，x_i，x_n，α_id，α_i，/>是有界的。此外根据式(39)可得：

根据Barbalat引理，考虑式(40)，可得：

分析结果表明跟踪误差可以渐近收敛到零。

对高精度金属切削机床进行数学模型的建立，只考虑带有死区和时滞的特殊情况下其简化数学模型为：死区非线性时滞系统，进行仿真分析：

其中θ₁,θ₂是未知参数，为了方便仿真，假设θ₁＝0.2，θ₂＝0.5。本发明目的是为设计动态面控制器u使得输出y渐近跟踪期望信号，y_r＝sin(t)。对死区非线性时滞系统设计以下参数f₁＝x₁，f₂＝x₁·x₂ ²，d₁＝0.5，d₂＝0.8,H₁＝x₁·x₁(t-d₁)，H₂＝x₁·x₂·x₂(t-d₂)。在仿真中设计参数为k₁＝150，k₂＝100，γ₁＝γ₂＝0.5，Λ₁＝Λ₂＝10，σ(t)＝1/10(1+t²)，η₁＝η₂＝2，β＝0.5，τ₁＝0.1，β₁＝2，μ＝3。本发明采用[x₁(0),x₂(0)]^T＝[0.5,0]^T，/>为仿真的初始条件。

仿真结果如图2、3所示，由图2可以看出本文的控制方案具有良好的跟踪性能。图3曲线表明控制信号u有界。

步骤4：设计结束

以上为整个设计过程。第一步陈述死区非线性时滞系统具体表达式，不等式，径向基神经网络模型及基于正时变积分函数的非线性滤波器表达式；第二步设计系统模型的控制器：采用基于正时变积分函数的非线性滤波器，解决了这一类死区非线性时滞系统的控制设计中出现的“微分爆炸”和边界层误差无法消除的两个问题；引入径向基神经网络模型，得到以径向基神经网络描述的未知函数系统模型；第三步考虑控制器设计完成后，从控制理论上又严格证明了闭环系统的稳定性。经过上述各步骤后，设计结束。

Claims (8)

1.一种死区非线性时滞系统的跟踪控制方法，其特征在于：首先采用径向基神经网络逼近死区非线性时滞系统中的时滞项，形成新的系统表达式；然后利用反推控制法对所述新的系统表达式进行反推控制，在反推控制的过程中，引入基于正时变积分函数的非线性滤波器，令反推控制法每一步的虚拟控制律通过所述非线性滤波器，利用所得滤波后的虚拟控制律去设计下一步的反推控制；在反推控制的最后一步进行控制器设计，在控制器设计时，利用自适应律对死区干扰项、神经网络误差项和非线性滤波器的未知项进行在线估计，使系统跟踪误差收敛到零，从而完成控制器设计；

基于正时变积分函数的非线性滤波器设计如下：

α_id(0)＝α_i(0) i＝1,,n-1

其中，e_i是边界层误差，具体为e_i＝α_id-α_i；α_i为虚拟控制律；α_id为滤波后的虚拟控制律；α_i(0)为0状态时的虚拟控制律；α_id(0)为0状态时滤波后的虚拟控制律；τ_i是滤波器的时间常数；为M_i的估计值，M_i为未知项；z_i为第i步的位置误差；σ(t)是正时变积分函数，满足以下条件：

其中，σ₁，σ₂为任意正的常数，t表示时间；

对于任意的ε＞0，z∈R，不等式成立；死区干扰项、神经网络误差项和非线性滤波器的未知项在利用自适应律进行在线估计之前分别用所述不等式进行缩放。

2.根据权利要求1所述的一种死区非线性时滞系统的跟踪控制方法，其特征在于，径向基神经网络模型如下：

对于任意的非线性连续未知函数F(Z)，存在径向基神经网络W^*ΤS(Z)，使得：

F(Z)＝W^*ΤS(Z)+E；

其中，Ω_Z是包含所有Z的集合，R^q表示q维的实数向量；S(Z)是基函数，表示为S(Z)＝[s₁(Z),...,s_l(Z)]^Τ∈R^l；l是神经网络中的神经元个数；R^l表示l维的实数向量；/>μ_i＝[μ_i1,...,μ_iq]^Τ是径向基的中心点，η_i为径向基的宽度；W^*是神经网络的理想权值，/> 表示集合Z∈Ω_Z时括号内的上界；W表示神经网络的权值，W^T表示神经网络的权值的转置；E是神经网络的误差。

3.根据权利要求1所述的一种死区非线性时滞系统的跟踪控制方法，其特征在于，采用径向基神经网络逼近死区非线性时滞系统中的时滞项是指将死区非线性时滞系统中的时滞项H(·)由径向基神经网络及其误差W^TS+E代替。

4.根据权利要求3所述的一种死区非线性时滞系统的跟踪控制方法，其特征在于，采用径向基神经网络进行逼近之前，所述死区非线性时滞系统的表达式为其中，x_i是第i步系统状态，x_i+1为第i+1步系统状态，/>为第n步系统状态，θ_i，θ_n是未知常数，f_i(·)，f_n(·)是已知光滑函数，H_i(·)，H_n(·)是时滞项，N(u)是死区非线性项，N(u)＝mu+d，u是系统输入，m为死区斜率，β≤m，β为已知常数，d为死区干扰项，d≤D，D为未知常数，y是系统输出；

所述新的系统表达式为其中，W_i ^T为第i步的神经网络的权值的转置，W_n ^T是第n步的神经网络的权值的转置，S_i是第i步的基函数，S_n第n步的基函数，E_i是第i步的神经网络误差项，E_n是第n步的神经网络误差项。

5.根据权利要求4所述的一种死区非线性时滞系统的跟踪控制方法，其特征在于，利用反推控制法对所述新的系统表达式进行反推控制的具体过程为：

定义系统跟踪误差：

其中，y_r是期望信号，α_i-1d是滤波后的虚拟控制律；

首先，对第1步跟踪误差z₁求导：

设计虚拟控制律α₁和自适应律

其中，k₁，γ₁，Λ₁，η₁是正设计参数，分别是θ₁，W₁，E₁的估计值，θ₁表示i＝1时的θ_i，W₁表示第1步的神经网络的权值，E₁表示第1步的神经网络误差项；

令α₁通过所述非线性滤波器得α_1d：

α_1d(0)＝α₁(0)

然后，对第i步跟踪误差z_i求导，i＝2～n-1；

设计虚拟控制律α_i和自适应律

其中，k_i，γ_i，Λ_i，η_i是正设计参数，分别是θ_i，W_i，E_i的估计值，W_i表示第i步的神经网络的权值，E_i表示第i步的神经网络误差项；

令α_i通过非线性滤波器得α_id：

α_id(0)＝α_i(0) i＝1,,n-1

最后，对第n步跟踪误差z_n求导：

设计实际控制律u和自适应律

其中k_n，γ_n，Λ_n，η_n，λ是正设计参数，分别是θ_n，W_n，E_n，D的估计值，θ_n表示i＝n时的θ_i，W_n表示第n步的神经网络的权值，E_n表示第n步的神经网络误差项。

6.根据权利要求1所述的一种死区非线性时滞系统的跟踪控制方法，其特征在于，利用所述不等式对死区干扰项进行缩放是指：对于死区干扰项d，d≤D，其中，z_i为第i步跟踪误差，D表示未知常数，/>是对D的估计值。

7.根据权利要求6所述的一种死区非线性时滞系统的跟踪控制方法，其特征在于，利用所述不等式对神经网络误差项进行缩放是指：对于第i步神经网络误差项E_i，是E_i的估计值。

8.根据权利要求7所述的一种死区非线性时滞系统的跟踪控制方法，其特征在于，利用所述不等式对非线性滤波器的未知项进行缩放是指：对于第i步非线性滤波器的未知项M_i，为M_i的估计值。