CN112731801A - 一种对称死区非线性的自适应动态面输出反馈控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种对称死区非线性的自适应动态面输出反馈控制方法，包括：引入高增益K滤波器估计系统的不可测量状态，获取当前具有死区输入的严反馈系统的控制函数，并对带有未知死区输入的系统设计自适应输出反馈控制律；基于高增益K观测器设计自适应动态面控制器，对对称死区非线性进行自适应动态面输出反馈控制。与现有技术相比，本发明具有对具有未知死区非线性影响的非线性系统进行高精度信号跟踪控制等优点。

Description

一种对称死区非线性的自适应动态面输出反馈控制方法

技术领域

本发明涉及动力系统控制技术领域，尤其是涉及一种对称死区非线性的自适 应动态面输出反馈控制方法。

背景技术

随着电动伺服系统、液压伺服系统等工业运动控制系统的广泛应用，工业控制 系统中大量执行器中存在的死区非线性问题得到了广泛的讨论研究。自适应控制是 一种有效处理不确定项的控制方法，对死区非线性系统的进行自适应控制一直以来 都是一个热门的研究领域。现有技术中，针对具有已知死区参数约束的线性系统提 出了一种自适应死区逆补偿方案，该方案保证了全状态已知的情况下的全局稳定性 和渐近跟踪。同样地，为了消除死区的影响，有研究学者构造了死区的自适应逆， 并提出了线性模型参考控制器。此外，针对自适应反步法控制器设计中的死区效应 的影响，已有技术构造了平滑的死区逆函数，并采用该逆函数来消除死区效应，但 另一方面，该方法难以构造各种死区逆的模型；因此该研究在不构造死区逆的情况 下，将死区非线性分为两部分：一部分是线性部分，另一部分是具有未知界的“类 扰动”部分，再利用鲁棒自自适应控制对其进行处理。另一种现有技术针对一类具 有未知非对称死区的多输入多输出非线性系统，提出了鲁棒性自适应动态面控制 (DSC)方案，并利用初始化技术，得到了跟踪误差的L_∞性能(一个系统的整体性能指标)。当只有输入和输出信号可测时，其他学者研究了基于跟踪微分器的死 区非线性系统的改进的输出反馈动态面控制，在所有控制函数都是正的和有界的前 提下，实现了稳态和瞬态性能。此外，基于模糊逻辑系统和神经网络技术，另有研 究提出了具有未知死区的非线性系统的半全局鲁棒自适应控制器。

基于上述关于死区的研究成果可知大多数现有的控制方法需要测量所有系统 状态。而对于具有死区的非线性系统，自适应输出反馈控制仍然具有挑战性。例如， 现有技术提出了一种受死区非线性输入影响的不确定非线性系统的自适应输出反 馈控制，但该方法无法保证系统的瞬态跟踪性能，这可能会导致一些不期望发生的 后果，如超调量过大等。另外，现有技术虽然实现了瞬态性能，但由于引入了跟踪 误差变换，因此需要更复杂的动态面控制设计。直到目前为止，对于具有死区的非 线性的系统，输出反馈控制的难点一直都是状态观测器的构造和相对简单的控制设 计过程，在消除死区影响的前提下，使得闭环系统稳定，保证系统的稳态和瞬态跟 踪性能。

发明内容

本发明的目的就是为了克服上述现有技术存在的缺陷而提供一种对称死区非 线性的自适应动态面输出反馈控制方法，该方法通过考虑未知死区输入的影响，引 入高增益K观测器对系统未知状态进行估计，并补偿未知死区非线性影响；利用 动态面技术，解决因虚拟控制微分导致的计算膨胀问题，减轻计算量；采用自适应 控制，对死区特性以及系统中的未知参数进行在线估计；通过初始化理论，调整设 计参数值，可以保证跟踪误差的性能，使跟踪误差收敛到任意小的一个邻域。

本发明的目的可以通过以下技术方案来实现：

一种对称死区非线性的自适应动态面输出反馈控制方法，该方法包括如下步骤：

引入高增益K滤波器估计系统的不可测量状态，获取当前具有死区输入的严 反馈系统的控制函数，并对带有未知死区输入的系统设计自适应输出反馈控制律；

基于高增益K观测器设计自适应动态面控制器，对对称死区非线性进行自适 应动态面输出反馈控制。

进一步地，基于高增益K观测器设计自适应动态面控制器的具体步骤包括：

第1步、定义第一个动态面误差：

s₁＝y-y_d

对其求导数，得到：

其中：

Θ＝[b_m,θ₁,…,θ_r]^T，

取虚拟控制

为：

其中，c₁＞0为设计参数，

为p(＝b_m ^-1)的估计，

为

的估计，

σ为以小正常数；

参数

和

的更新率为：

其中，

γ_p为自适应增益，

η_p为正设计参数，

令

通过时间常数为τ₂的一阶滤波器，得到：

第i步、定义第i，2≤i≤n-1个动态面误差为：

S_i＝ζ_i-z_i

对其求导数得到：

取虚拟控制

为：

其中，c_i＞0是设计参数，

令

通过时间常数为τ_i+1的一阶滤波器：

第n步、定义第n个动态面误差：

S_n＝ζ_n-z_n

对其求导数得到：

取实际控制v为：

其中，c_ρ是正设计参数。

进一步地，基于高增益K观测器设计自适应动态面控制器过程中还包括初始 化操作，所述初始化操作包括调节设计参数步骤。具体内容为：

将高增益K观测器、参数更新率的初始值均设为0，并假设ω₁(0)＝y(0)， y_d(0)＝y(0)，则有：

则跟踪误差的

性能满足：

令y_d(0)＝y(0)，则动态面误差的表达式为：

S₁(0)＝y(0)-y_d(0)＝0

进而得出：

S_i(0)＝0,2≤i≤ρ

由高增益K滤波器的初始值，即ξ_i(0)＝0(1≤i≤r)，ζ(0)＝0，可知

于是ω₁(0)＝y(0)＝x₁(0)，ε₁(0)＝0，于是对于q≤1有：

因此，可得V(t)的上界值为：

则跟踪误差的

性能满足：

本发明提供的对称死区非线性的自适应动态面输出反馈控制方法，相较于现 有技术至少包括如下有益效果：

(1)引入高增益K观测器估计系统未知状态，在系统中考虑了被控系统中已 知的光滑函数的作用，并没有简单地将死区的系统的控制项当作有界扰动处理，可 补偿死区的影响；

(2)利用动态面技术，不仅可以规避因对虚拟控制进行微分造成的计算复杂 度问题，而且能简化控制器设计；

(3)设计的控制器能够消除死区非线性的影响，保证闭环系统的稳定性，并 且在理论上可通过调参使系统跟踪误差任意小；

(4)提出的自适应调参率，仅需在线估计一个标量值而不是向量值，可以降 低计算负担、利于实际应用；

(5)引入初始化理论，通过调节设计参数可以提高系统的瞬态跟踪性能。

附图说明

图1为实施例中输出信号及参考信号示意图；

图2为实施例中跟踪误差示意图；

图3为实施例中控制输入示意图；

图4为实施例中状态信号x₂及其观测器估计值

的示意图；

图5为实施例中高增益K观测器的观测误差ε的示意图；

图6为实施例中对称死区非线性的自适应动态面输出反馈控制方法的流程示 意图。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施例对本发明进行详细说明。显然，所描述的实施例是 本发明的一部分实施例，而不是全部实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通 技术人员在没有做出创造性劳动的前提下所获得的所有其他实施例，都应属于本发 明保护的范围。

实施例

本实施例涉及一种对称死区非线性的自适应动态面输出反馈控制方法，针对一类参数严反馈系统，考虑未知死区输入的影响，引入高增益K观测器来估计未知 状态和补偿死区的影响，采用动态面技术，解决了因虚拟控制微分导致的计算膨胀 问题，简化了控制器设计和减轻了计算量。对死区以及系统未知参数进行在线估计， 最终所设计的控制器，在消除死区影响的同时，可以保证闭环系统的稳定性，并通 过调节设计参数，可以实现跟踪误差的有界收敛。最后通过一个单连杆机器人动力 学模型仿真实例对该设计方案进行了验证。本发明对称死区非线性的自适应动态面 输出反馈控制方法步骤包括：

(1)引入高增益K滤波器估计系统的不可测量状态，这对于在无需跟踪误差 变换的情况下直接改善瞬态性能至关重要。

(2)采用自适应动态面控制消除死区效应，进而避免后推设计中固有的微分 爆炸的问题。另外，自适应律只需在设计的第一步中进行在线更新，这大大简化了 设计的过程，减少了计算量。

(3)在DSC中加入了一种初始化技术，以保证跟踪误差的性能。也就是说， 只要调整一些设计参数的值，就可以保证稳态跟踪误差和跟踪误差的最大超调量任 意小。

本发明的对称死区非线性的自适应动态面输出反馈控制方法具体包括如下步骤：

步骤一、获取当前具有死区输入的严反馈系统的控制函数，对控制函数进行变换。

考虑如下具有死区输入的严反馈系统的控制函数：

其中：

其中，

分别表示系统状态向量和输出信号；θ_i,i＝1,...,r 和b是未知常数；f_i,j(y),i＝1,…,r,j＝1,…n和g_i(y),i＝0,…,m,(g_m(y)≠0)均是已知光 滑函数；ρ(≥1)＝n-m表示系统相对阶，其中的n、m是已知常数；

为未知 死区非线性的输出，其表达式如下：

u(t)＝mv(t)+d(t) (3)

其中：

其中，v是本发明方法所要设计的控制输入，m,d_r,d_l均是有界的未知正常数, 并且

是未知常数。

则利用式(4)可将式(1)重写为：

其中b_m＝bm。

步骤二、控制目标：针对带有未知死区输入的系统的公式(1)中设计自适应 输出反馈控制律，使系统输出跟踪误差y-y_d(y_d为参考信号)渐进收敛到原点， 并且闭环系统内所有信号均有界。自适应输出反馈控制律包括：

假设1：假设参考信号y_d是光滑已知的函数，并且当t≥0时，

始终 属于一个已知闭集。

假设2：假设系统参数b的符号已知，本实施例中假设为正。

假设3：假设系统中：

输入(y₀,y,x₂,...,x_ρ)，输出x_ρ+1是有界输入有界输出稳定。

步骤三、基于高增益K观测器设计自适应动态面控制器。

1)高增益K观测器

选择合适的向量k＝[k₁,k₂,…,k_n]^T，使A₀＝A-ke₁ ^T是Hurwitz矩阵。则式(5) 可改写为：

式中，bG(y)d(t)为系统的控制项。

由于系统中仅有输出信号可测，故采用高增益K观测器来估计系统状态，同时 补偿死区非线性的影响：

其中，Ψ＝diag(1,q,…,q^n-1),q≥1，q是观测器增益，e_n-i表示n维向量的第(n-i)个坐标向量。

状态估计为：

观测器估计误差定义为

则可以根据式(8)-(10)和式(11)得出：

其中，ε₁是向量ε的第一行。

引理1：定义如下二次型函数：

V_ε:＝ε^TPε (13)

其中，对称矩阵P满足

其中

满足：

其中，I是单位矩阵。此时，有以下不等式成立：

其中，

是关于y的连续函数，

λ_max(·)是·的最大特征值。

证明：使用坐标变换

可得

并有：

接下来定义如下二次型函数：

因此，可得

于是：

同时，存在一个非负连续光滑函数

满足

证明完成。

2)自适应动态面控制器设计

基于上述高增益K观测器，提出以下自适应动态面控制器设计：

第1步、定义第一个动态面误差(跟踪误差)

s₁＝y-y_d (20)

对其求导有：

其中：

Θ＝[b_m,θ₁,…,θ_r]^T，

取虚拟控制

为：

其中，c₁＞0是设计参数，

为p(＝b_m ^-1)的估计，

是

的估计，

在引理1中已定义，

而

σ 是以小正常数。

参数

和

的更新率为：

其中，

γ_p是自适应增益，

η_p是正设计参数。

为避免“微分爆炸”问题，让

通过时间常数为τ₂的一阶滤波器：

第i步、(2≤i≤n-1)定义第i个动态面误差为：

S_i＝ζ_i-z_i (26)

对其求导有：

取虚拟控制

为

其中c_i＞0是设计参数。

让

通过时间常数为τ_i+1的一阶滤波器：

第n步、定义第n个动态面误差：

S_n＝ζ_n-z_n (30)

对其求导有：

取实际控制v为：

其中，c_ρ是正设计参数。

步骤四、系统稳定性分析

定义

类似于动态面技术，根据式(8)-(10)，(20)-(32)，存在光滑连续函数B_i+1(·),i＝1,…,ρ-1使下面的不等式成立：

其中，

定义如下Lyapunov函数：

于是基于上述控制方法，可得到如下定理：

定理1：针对带有未知死区输入(3)的一类严反馈非线性系统(1)，在假设1-3的 条件下，应用高增益K观测器(8)-(10)，控制律(32)，自适应律(23)，(24)，则对于 任意初始条件满足V(0)≤C₂和

其中C₁、C₂是任意正常数，则可 以通过调节设计参数q,c_i,i＝1,...,ρ,τ_i+1,i＝1,...,ρ-1,

η_p和自适应增益

γ_p使闭环 系统信号半全局有界，并且可使跟踪误差信号收敛到任意小。

证明：定义有界紧集为

由上述可知在紧集Ω₁×Ω₂内存在正常数M_i+1满足|B_i+1(·)|≤M_i+1，结合式(33)，(34) 和杨氏不等式可得：

其中，ι是任意正常数。

利用引理1中的

和杨氏不等式可得如下不等式关系

并满足如下设计参数不等式

此外,

可写为

由该项可知当

时，

当

时，

有一个 上界，定义为

基于上述式(41)，(42)，(43)，则可得V的时间导数满足：

其中，

对式(44)求解可得：

此外，当t→∞时，有

且

由此，我们可得S_i,…,S_ρ,Y₂,…,Y_ρ,

ε是有界的。根据假设1和式(20)知y有 界，故而f_i,j(y),g_i(y),

有界，根据高增益K滤波器(8)-(10)得ω,ξ_i,ψ有界。 由状态估计知有下式成立：

所以ζ₁有界。依据式(22)，(25)知z₂有界，再根据式(26)知ζ₂有界，类似地，可 以得到z₃,…,z_ρ,ζ₃,…,ζ_ρ有界，又因式(47)得x₂,…,x_ρ有界。参照假设3知x_ρ+1有界， 因此ζ_ρ+1有界，根据式(32)可得控制律v有界。最后从式(8)知ζ有界，所以系统状 态信号x有界。因此，闭环系统中所有信号均有界，并且跟踪误差可以收敛到一个 闭集内。

定理2：在假设1、2下，通过应用初始化技术，将高增益K观测器、参数更 新率的初始值均设为0，并假设ω₁(0)＝y(0)，y_d(0)＝y(0)，则有：

则跟踪误差的

性能满足：

证明：

让y_d(0)＝y(0)，根据式(20)有：

S₁(0)＝y(0)-y_d(0)＝0 (50)

根据式(23)，(24)和初始条件可得

根据式(22)，可得

因此，根据式(25)，可得z₂(0)＝0，

同样地，可以得出：

S_i(0)＝0,2≤i≤ρ (51)

此外，根据式(25)-(29)有

Y_i+1(0)＝0,1≤i≤ρ-1 (52)

根据式(35)，(43)，(51)和(52)，可得

将式(53)代入式(45)得：

由高增益K滤波器的初始值，即ξ_i(0)＝0(1≤i≤r)，ζ(0)＝0，可知

于是ω₁(0)＝y(0)＝x₁(0)，ε₁(0)＝0，于是对于q≤1有：

因此，可得V(t)的上界值：

上式意味着跟踪误差的

性能满足：

因此，通过调节设计参数，可以使||S₁||_∞收敛到原点的任意小邻域内。证明结束。

以上所述，仅为本发明的具体实施方式，但本发明的保护范围并不局限于此， 任何熟悉本技术领域的工作人员在本发明揭露的技术范围内，可轻易想到各种等效 的修改或替换，这些修改或替换都应涵盖在本发明的保护范围之内。因此，本发明 的保护范围应以权利要求的保护范围为准。

Claims (4)

1.一种对称死区非线性的自适应动态面输出反馈控制方法，其特征在于，包括：

引入高增益K滤波器估计系统的不可测量状态，获取当前具有死区输入的严反馈系统的控制函数，并对带有未知死区输入的系统设计自适应输出反馈控制律；

基于高增益K观测器设计自适应动态面控制器，对对称死区非线性进行自适应动态面输出反馈控制。

2.根据权利要求1所述的对称死区非线性的自适应动态面输出反馈控制方法，其特征在于，基于高增益K观测器设计自适应动态面控制器的具体步骤包括：

第1步、定义第一个动态面误差：

s₁＝y-y_d

对其求导数，得到：

其中：

Θ＝[b_m,θ₁,…,θ_r]^T，

取虚拟控制

为：

其中，c₁＞0为设计参数，

为p(＝b_m ^-1)的估计，

为

的估计，

σ为以小正常数；

参数

和

的更新率为：

其中，

γ_p为自适应增益，

η_p为正设计参数，

令

通过时间常数为τ₂的一阶滤波器，得到：

第i步、定义第i，2≤i≤n-1个动态面误差为：

S_i＝ζ_i-z_i

对其求导数得到：

取虚拟控制

为：

其中，c_i＞0是设计参数，

令

通过时间常数为τ_i+1的一阶滤波器：

第n步、定义第n个动态面误差：

S_n＝ζ_n-z_n

对其求导数得到：

取实际控制v为：

其中，c_ρ是正设计参数。

3.根据权利要求2所述的对称死区非线性的自适应动态面输出反馈控制方法，其特征在于，基于高增益K观测器设计自适应动态面控制器过程中还包括初始化操作，所述初始化操作包括调节设计参数步骤。

4.根据权利要求3所述的对称死区非线性的自适应动态面输出反馈控制方法，其特征在于，所述初始化操作的具体内容为：

将高增益K观测器、参数更新率的初始值均设为0，并假设ω₁(0)＝y(0)，y_d(0)＝y(0)，则有：

则跟踪误差的

性能满足：

令y_d(0)＝y(0)，则动态面误差的表达式为：

S₁(0)＝y(0)-y_d(0)＝0

进而得出：

S_i(0)＝0,2≤i≤ρ

由高增益K滤波器的初始值，即ξ_i(0)＝0(1≤i≤r)，ζ(0)＝0，可知

于是ω₁(0)＝y(0)＝x₁(0)，ε₁(0)＝0，于是对于q≤1有：

因此，可得V(t)的上界值为：

则跟踪误差的

性能满足：

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